0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)"

Átírás

1 Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses átmenetvalószín ségeket az alábbi módon: p n (i, j) = P (X n = j X 0 = i) = P (X n+k X k = i), ahol az utolsó egyenl séget a homogenitás indokolja A teljes valószín ség tétele alapján ekkor P (X n = j) = i S ϕ 0 (i)p (X n = j X 0 = i) Megmutatjuk, hogy az n-lépéses átmenetvalószín ség tulajdonképpen a P n mátrix (i, j) eleme Ez n = 1 esetén triviális Tegyük fel most, hogy n-re is igaz Megmutatjuk, hogy ekkor n + 1-re is teljesül: P (X n+1 = j X 0 = i) = k S P (X n = k X 0 = i)p (X n+1 = j X n = k) = k S p n (i, k)p(k, j) Mivel p n (i, k) a P n mátrix (i, k) eleme, ezért a mátrixszorzás szabályai miatt a kapott összeg a P n P = P n+1 mátrix (i, j) eleme A kezdeti ϕ 0 eloszlás egy N hosszúságú vektor, mely az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségeit adja meg a 0 id pontban Adott ϕ 0 esetén n lépés múlva az eloszlás: ϕ n = ϕ 0 P n Példa Legyen a kétállapotú Markovláncra vonatkozó példában p = 1/4 és q = 1/6, továbbá legyen n = 6 Ekkor P 6 = [ 3/4 1/4 1/6 5/6 ] 6 [ 0,424 0,576 0,384 0,616 Tegyük fel, hogy a telefonvonal szabad volt a 0 id pontban Ekkor a kezdeti eloszlás ϕ 0 = [1 0] Az n = 6 id pontban az eloszlás tehát: ϕ 6 = ϕ 0 P 6 = [ 1 0 ] [ ] 0,424 0,576 = [ 0,424 0,576 ] 0,384 0,616 Vagyis az n = 6 id pontban a vonal kb 0,424 valószín séggel lesz szabad és 0,576 valószín séggel lesz foglalt Feladatok 1 Egy Markovlánc lehetséges állapotai 1,2,3 Átmenetvalószín ség mátrixa és kezdeti eloszlása az alábbi: 0,2 0,2 0,6 P = 0,5 0 0,5 ϕ 0 = [ 0,5 0,5 0 ] 0,4 0,4 0,2 Határozzuk meg a 2 és 3 lépéses átmenetvalószín ség mátrixokat, és az alábbi valószín ségeket! ] a) P (X 1 = 2 X 0 = 1) b) P (X 3 = 2 X 2 = 1) c) P (X 2 = 1 X 0 = 2) d) P (X 4 = 1 X 2 = 2) e) P (X 3 = 2 X 0 = 3) f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2) Megoldás: A két- és háromlépéses átmenetvalószín ségmátrixok: 0,38 0,28 0,34 0,352 0,212 0,436 P 2 = 0,30 0,30 0,40 P 3 = 0,370 0,220 0,410 0,36 0,16 0,48 0,344 0,264 0,392 a) P (X 1 = 2 X 0 = 1) a P mátrix (1,2) eleme, azaz 0,2

2 b) Mivel a Markov-lánc homogén, ezért csak az számít, hogy egy lépés alatt melyik állapotból melyik állapotba vált a rendszer, de az nem, hogy mikor, ezért P (X 3 = 2 X 2 = 1) = P (X 1 = 2 X 0 = 1) = 0,2 c) A P (X 2 = 1 X 0 = 2) valószín ség a P 2 mátrix (2,1) eleme, azaz 0,5 d) P (X 4 = 1 X 2 = 2) = P (X 2 = 1 X 0 = 2) = 0,5 e) A P (X 3 = 2 X 0 = 3) valószín ség a P 3 mátrix (3,2) eleme, azaz 0,264 f) P (X 2 = 3) = 3 P (X 2 = 3 X 0 = i)p (X 0 = i) Itt P (X 2 = 3 X 0 = i) értékei a P 2 mátrix harmadik oszlopából származnak, P (X 0 = i) értékei pedig ϕ 0 megfelel koordinátái Így P (X 2 = 3) = 0,34 0,5 + 0,40 0,5 + 0,48 0 = 0,37 Vegyük észre, hogy a kérdéses valószín ség tulajdonképpen a ϕ 0 P 2 vektor harmadik eleme g) Ez pedig a ϕ 0 P 3 vektor els eleme Hasonlóan az el z höz, P (X 3 = 1) = 3 P (X 3 = 1 X 0 = i)p (X 0 = i) = 0,352 0,5 + 0,370 0,5 + 0,344 0 = 0,361 h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) = P (X 4 = 1 X 2 = 2) + P (X 4 = 2 X 2 = 2) = 0,30 + 0,30 = 0,6 i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 3 X 0 = 2) = P (X 7 = 3 X 4 = 1) P (X 4 = 1 X 2 = 3) P (X 2 = 3 X 0 = 2) = = 0,436 0,36 0,40 = 0, j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 3) = 3 P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 3 X 0 = i) P (X 0 = i) = = 3 P (X 7 = 3 X 4 = 1) P (X 4 = 1 X 2 = 3) P (X 2 = 3 X 0 = i) P (X 0 = i) = = P (X 7 = 3 X 4 = 1) P (X 4 = 1 X 2 = 3) 3 P (X 2 = 3 X 0 = i) P (X 0 = i) = = P (X 7 = 3 X 4 = 1) P (X 4 = 1 X 2 = 3) P (X 2 = 3) = 0,436 0,36 0,37 = 0, Hosszútávú viselkedés és invariáns eloszlás Egy véges állapotter Markovlánc hosszútávú viselkedésének vizsgálata a fentiek szerint tulajdonképpen P n vizsgálatát jelenti nagy n-ek esetén Nézzük például a kétállapotú Markovláncra vonatkozó példában az átmenetvalószín ség mátrixot p = 1/4 és q = 1/6 esetén: [ ] 3/4 1/4 P = 1/6 5/6 Bármely matematikai szoftverrel (pl Matlab, Scilab, Maple, Mathematica, stb) könnyedén kiszámíthatjuk pl az ezredik hatványát is, és kapjuk a következ t: [ ] P n 0,4 0,6 0,4 0,6 Nézzük most az egyszer sorbanállási modellre vonatkozó példát p = 1/4 és q = 1/6 esetén Ekkor az átmenetvalószín ség mátrix: 3/4 1/4 0 P = 1/8 2/3 5/24 0 1/6 5/6 Elegend en nagy n esetén pedig P n 0,182 0,364 0,455 0,182 0,364 0,455 0,182 0,364 0,455 Láthatólag mindkét esetben létezik P n határértéke (határmátrixa) és ennek minden sora megegyezik, azaz P n = Π = n

3 Az els példában = [0,4, 0,6], a másodikban pedig = [2/11, 4/11, 5/11] Könnyen látható, hogy ezekben az esetekben tetsz leges ϕ 0 kezdeti eloszlás esetén n ϕ 0P n = ϕ 0 Π =, tehát a kezdeti eloszlás id vel elveszti jelent ségét Legyen most határeloszlás, azaz valamely ϕ 0 kezdeti eloszlás esetén n ϕ 0P n = Ekkor = ϕ 0P n = ϕ 0P n+1 = ϕ 0P n P = P n n n }{{} A eloszlást invariáns (vagy stacionárius, vagy egyensúlyi, vagy állandósult) eloszlásnak nevezzük, ha = P Figyeljük meg, hogy ekkor az 1 sajátértékhez tartozó baloldali sajátvektora P -nek Az invariáns eloszlással kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: Minden P sztochasztikus mátrix esetén létezik invariáns eloszlás? Az invariáns eloszlás egyértelm? Milyen esetekben mondhatjuk azt, hogy P n = n, és így tetsz leges ϕ 0 kezdeti eloszlás esetén ϕ 0P n =? n Legyen P egy olyan sztochasztikus mátrix, melynek minden eleme pozitív Ekkor a PerronFrobenius tétel alapján az 1 egyszeres sajátértéke P -nek, az 1-hez tartozó baloldali sajátvektorok között van olyan, melynek minden eleme pozitív (és így egy megfelel konstans szorzóval valószín ség eloszlás készíthet bel le), P -nek minden más sajátértékének az abszolút értéke kisebb, mint egy A fentekb l következik, hogy ilyenkor az invariáns eloszlás egyértelm és tetsz leges ϕ 0 kezdeti eloszlás esetén n ϕ 0P n = A sorbanállási modellnél láttuk azonban, hogy nem csak ilyen tulajdonságú sztochasztikus mátrixok esetén létezik határeloszlás Az ottani átmenetvalószín ség mátrixra nem igaz, hogy minden eleme pozitív, de mégis létezik határeloszlás Tekintsük viszont az átmenetvalószín ség mátrix négyzetét: P 2 = 0,594 0,354 0,052 0,177 0,510 0,312 0,021 0,250 0,729 Láthatólag P 2 már kielégíti a tétel feltételeit, ebb l következ en az 1 egyszeres sajátértéke P 2 -nek a invariáns eloszlással, mint a hozzá tartozó baloldali sajátvektorral, továbbá P 2 minden más sajátértékének abszolút értéke kisebb egynél Megállapíthatjuk tehát a következ t: Legyen P egy sztochasztikus mátrix Ha van olyan k N, melyre P k minden eleme pozitív, akkor létezik invariáns eloszlás,

4 az invariáns eloszlás egyértelem, a határmátrix pedig n P n = Feladatok 1 Tekintsük az el z részben meghatározott átmenetvalószín ség mátrixokat a) Melyek tesznek eleget a fentebb meghatározott feltételnek? b) Vizsgáljuk P n viselkedését nagy n-ek esetén! c) Ahol csak tudjuk, határozzuk meg az invariáns eloszlást! 2 Egy Markovlánc állapottere legyen S = {1,2,3}, átmenetvalószín ség mátrixa pedig az alábbi: 0,4 0,2 0,4 P = 0,6 0 0,4 0,2 0,5 0,3 a) Határozzuk meg az invariáns eloszlást! b) Hosszú id alatt mi a valószín sége, hogy a lánc az 1 állapotban lesz? Megoldás: a) Megoldandó a = P egyenlet Koordinátánként kiírva: 1 = 0, , ,2 3 2 = 0, ,5 3 3 = 0, , ,3 3 Nullára rendezve és tízzel szorozva: 0 = = = Az els höz hozzáadva a második háromszorosát, továbbá a másodikhoz hozzáadva a harmadik 2,5- szeresét: 0 = = = ,5 3 1 = Ne felejtsük el, hogy van még egy egyenletünk: = 1, hiszen valószín ség eloszlás Tehát azt kapjuk, hogy 1 = = ( = ) = = ,3636, 1 = ,2576, 2 = ,3788

5 b) Ezt a valószín séget 1 adja meg, tehát kb 0, Tegyük fel, hogy a holnapi id járás csupán a mai nap id járásától függ Ha ma esik az es, akkor holnap 0,4 valószín séggel fog ismét esni, míg ha ma nem esik, akkor holnap 0,2 valószín séggel kapunk es t a) Modellezzük az id járást Markovlánc segítségével, és írjuk fel a folyamat átmenetvalószín ségeit! b) Hosszú távon mekkora az es s napok aránya? Körülbelül mennyi az es s napok száma egy évben? 4 Barátn nk (barátunk) minden egyes napon lehet vidám, átlagos hangulatú vagy szomorú A holnapi hangulatát csak a mai hangulata befolyásolja Ha ma vidám, akkor holnap rendre 0,4, 0,5 és 0,1 valószín séggel lehet vidám, átlagos vagy szomorú Ha közepes hangulata van, akkor 0,3, 0,4 és 0,3 a megfelel valószín ségek, ha pedig szomorú, akkor 0,1, 0,3 és 0,6 a) Adjuk meg a barátn nk (barátunk) hangulati ingadozásait leíró átmenetvalószín ség mátrixot! b) Hosszú távon mennyi a vidám napok aránya? c) Feltéve, hogy ma vidám, akkor mekkora valószín séggel lesz holnapután is vidám? d) Ha ma vidám, akkor mekkora valószín séggel lesz holnapután vidám és három nap múlva szomorú? e) Mekkora annak a valószín sége, hogy a mai vidám napot három szomorú követi? Megoldás: a) Az állapotok sorrendje legyen vidám (1), átlagos hangulatú (2), szomorú (3) Így az átmenetvalószín ség mátrix: 0,4 0,5 0,1 P = 0,3 0,4 0,3 0,1 0,3 0,6 b) A válaszhoz meg kell határoznunk az invariáns eloszlászt (), azaz a = P egyenlet olyan megoldását keressük, melyre = 1 Hasonlóan járhatunk el, mint a 2 feladatban, s így kapjuk a következ ket: 1 = ,2542, 2 = ,3898, 3 = ,3559 Tehát a vidám napok aránya az összeshez viszonyítva c) A válasz formálisan a P (X 2 = 1 X 0 = 1) = valószín ség meghatározását kéri Ehhez kell a kétlépéses átmenetvalószín ség mátrix: 0,32 0,43 0,25 P 2 = 0,27 0,40 0,33 0,19 0,35 0,46 A keresett valószín ség a P 2 mátrix (1,1) eleme, tehát 0,32 d) A mai nap legyen a kezdeti (0) id pont Így a holnapután a 2, a három nap múlva pedig a 3 id pillanat P (X 3 = 3 és X 2 = 1 X 0 = 1) = P (X 3 = 3, X 2 = 1 X 0 = 1) = P (X 3 = 3 X 2 = 1) P (X 2 = 1 X 0 = 1) = = 0,1 0,32 = 0,032 e) P (X 3 = 3, X 2 = 3, X 1 = 3 X 0 = 1) = P (X 3 = 3 X 2 = 3) P (X 2 = 3 X 1 = 3) P (X 1 = 3 X 0 = 1) = = 0,6 0,6 0,1 = 0, Állapotok osztályozása Egy Markovlánc i és j állapota kapcsolódó (jelölése: i j), ha léteznek olyan n, m 0 egészek, melyekre teljesül p m (i, j) > 0 és p n (j, i) > 0 is Más szavakkal két állapot kapcsolódó, ha az egyikb l a másik pozitív valószín séggel elérhet, és ez fordítva is igaz Az így deniált reláció ekvivalencia reláció az állapottéren, azaz reexív: i i, hiszen p 0 (i, i) = 1 > 0, szimmetrikus: i j-b l a deníció alapján következik, hogy j i,

6 tranzitív: ha i j és j k, akkor i k Ez is teljesül, hiszen ha p m1 (i, j) > 0 és p m2 (j, k) > 0, akkor p m1+m 2 (i, k) = P (X m1+m 2 = k X 0 = i) P (X m1+m 2 = k, X m1 = j X 0 = i) = azaz p m1+m 2 (i, k) > 0 = P (X m1 = j X 0 = i)p (X m1+m 2 = k X m1 = j) = p m1 (i, j)p m2 (j, k) > 0, Ez az ekvivalencia reláció az állapotteret diszjunkt halmazokra osztja fel, melyeket kapcsolódó osztályoknak nevezünk Az i és a j állapot akkor és csak akkor tartozik ugyanabba az osztályba, ha i j Ha csak egyetlen osztály van, akkor a Markovlánc irreducibilis (felbonthatatlan), egyébként reducibilis (felbontható) Példák 1 Tekintsük a szimmetrikus véletlen bolyongást visszaver falakkal Könnyen látható, hogy ekkor bármely állapotból eljuthatunk bármely állapotba, tehát a lánc egyetlen osztályból áll, tehát irreducibilis 2 Tekintsük a szimmetrikus véletlen bolyongást elnyel falakkal A lánc ekkor három osztályból áll: {0}, {1,2,, N 1} és {N} Ekkor, ha a kezdeti állapot az 1,2,, N 1 állapotok valamelyike, akkor a Markovlánc 1 valószín séggel elhagyja ezt az osztályt és nem tér vissza Az ilyen tulajdonságú állapotokat tranziensnek (átmenetinek) nevezzük, a többit pedig rekurrensnek (visszatér nek) Vagyis itt az {0} és az {N} állapot rekurrens, a többi tranziens Ha egy Markovlánc egy rekurrens osztályból indult, akkor sohasem fogja elhagyni azt az osztályt Feladatok 1 Egy Markovlánc állapottere legyen S = {0,1,2,3,4,5}, átmenetvalószín ség mátrixa pedig az alábbi: 0,5 0, ,3 0, P = 0 0 0,1 0 0,9 0 0,25 0, ,25 0, ,7 0 0, ,2 0 0,2 0,2 0,4 a) Melyek a kapcsolódó osztályok? Melyek rekurrensek és melyek tranziensek? b) Tegyük fel, hogy a lánc a 0-ból indul Mi a valószín sége, hogy hosszú id elteltével ismét a 0-ban lesz? c) Tegyük fel, hogy a lánc az 5-b l indul Mi a valószín sége, hogy hosszú id elteltével ismét az 5-ben lesz? d) Módosítsuk úgy az átmenetvalószín ség mátrixot, hogy a lánc csak egyetlen osztályból álljon! Megoldás: a) A kapcsolódó osztályok: {0,1} rekurrens, {2,4} rekurrens, {3,5} tranziens b) Az invariáns eloszlást kellene megtalálni, de tudjuk, hogy a 0-ból indultunk, továbbá azt is, hogy a 0 rekurrens állapot, ezért elegend a {0,1} rekurrens osztály viselkedését leíró P mátrixszal dolgozni [ ] P 0,5 0,5 = 0,3 0,7 Megoldandó tehát a = P egyenlet A megoldás: 1 = 3/8 = 0,375, 2 = 5/8 = 0,625 c) Mivel az 5 tranziens állapot, ezért a kérdéses valószín ség 0 d) Itt nyilván nagyon sokféle helyes megoldás lehet Egy viszonylag kevés változtatást igényl megoldás: 0,5 0, ,3 0,6 0, P = 0 0 0,1 0 0,9 0 0,25 0, ,25 0, ,6 0,1 0, ,2 0,1 0,2 0,2 0,3

12. előadás - Markov-láncok I.

12. előadás - Markov-láncok I. 12. előadás - Markov-láncok I. 2016. november 21. 12. előadás 1 / 15 Markov-lánc - definíció Az X n, n N valószínűségi változók sorozatát diszkrét idejű sztochasztikus folyamatnak nevezzük. Legyen S R

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

Legyen adott egy S diszkrét halmaz. Leggyakrabban S az egész számoknak egy halmaza, például S = {0, 1, 2,..., N}, {0, 1, 2,... }.

Legyen adott egy S diszkrét halmaz. Leggyakrabban S az egész számoknak egy halmaza, például S = {0, 1, 2,..., N}, {0, 1, 2,... }. . Markov-láncok. Definíció és alapvető tulajdonságok Legyen adott egy S diszkrét halmaz. Leggyakrabban S az egész számoknak egy halmaza, például S = {0,,,..., N}, {0,,,... }.. definíció. S értékű valószínűségi

Részletesebben

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.) Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz

Részletesebben

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum

Részletesebben

E.4 Markov-láncok E.4 Markov-láncok. Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható "folytonos idejű Markovláncok " segítségével.

E.4 Markov-láncok E.4 Markov-láncok. Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható folytonos idejű Markovláncok  segítségével. E.4 Markov-láncok Sok sorbanállási hálózat viselkedése leírható "folytonos idejű Markovláncok " segítségével. Egy Markov-láncot (MC) meghatároznak az alapját adó sorbanállási hálózat állapotai és az ezek

Részletesebben

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága

Függvények határértéke, folytonossága Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok

Sztochasztikus folyamatok Sztochasztikus folyamatok Pap Gyula, Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet, Sztochasztika Tanszék Utolsó frissítés: 2014. február 8. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 2 1. Sztochasztikus folyamatok

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Opkut deníciók és tételek

Opkut deníciók és tételek Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja

Részletesebben

1. tétel - Gráfok alapfogalmai

1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer . gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel

Részletesebben

Markov láncok. jegyzet február 18. Honnan hová lehet eljutni? Hány lépésben? Van-e stacionárius kezdeti eloszlás? Hány?

Markov láncok. jegyzet február 18. Honnan hová lehet eljutni? Hány lépésben? Van-e stacionárius kezdeti eloszlás? Hány? Markov láncok jegyzet 2009. február 18. 1. Bevezetés Tekintsünk egy megszámlálható sok csúcspontú, irányított gráfot úgy, hogy minden élre egy nemnegatív szám van írva, és minden csúcs kimen éleire írt

Részletesebben

ZH feladatok megoldásai

ZH feladatok megoldásai ZH feladatok megoldásai A CSOPORT 5. Írja le, hogy milyen szabályokat tartalmazhatnak az egyes Chomskynyelvosztályok (03 típusú nyelvek)! (4 pont) 3. típusú, vagy reguláris nyelvek szabályai A ab, A a

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz

Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 13-14. előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 2016. november 28. és december 5. 13-14. előadás 1 / 35 Bevezetés A diszkrét

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

Diszkrét és folytonos paraméter Markov láncok. Csiszár Vill

Diszkrét és folytonos paraméter Markov láncok. Csiszár Vill Diszkrét és folytonos paraméter Markov láncok Csiszár Vill Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 1 I. Diszkrét paraméter Markov láncok 2 2. Visszatér ség 2 2.1. Markov-tulajdonság............................. 2

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Diszkrét matematika I. gyakorlat 1. gyakorlat Gyakorlatvezet : Dr. Kátai-Urbán Kamilla Helyettesít: Bogya Norbert 2011. szeptember 8. Tartalom Információk 1 Információk Honlapcímek Számonkérések, követelmények

Részletesebben

Atomok és molekulák elektronszerkezete

Atomok és molekulák elektronszerkezete Atomok és molekulák elektronszerkezete Szabad atomok és molekulák Schrödinger egyenlete Tekintsünk egy kvantummechanikai rendszert amely N n magból és N e elektronból áll. Koordinátáikat jelölje rendre

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok feladatgy jtemény

Sztochasztikus folyamatok feladatgy jtemény Sztochasztikus folyamatok feladatgy jtemény Kevei Péter, Körmendi Kristóf, Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet, Sztochasztika Tanszék Utolsó frissítés: 203. május 4. . Megállási id és ltráció..

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 1613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 016. május 3. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Halmazok. Halmazelméleti alapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai.

Halmazok. Halmazelméleti alapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai. Halmazok Halmazelméleti alapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai. 1. lapfogalmak halmaz és az eleme fogalmakat alapfogalmaknak tekintjük, nem deniáljuk ket. Jelölés: x

Részletesebben

Lineáris algebra (10A103)

Lineáris algebra (10A103) Lineáris algebra (10A103) Dr. Hartmann Miklós Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~hartm Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat teljesítése.

Részletesebben

Véletlen szám generálás

Véletlen szám generálás 2. elıadás Véletlen szám generálás LCG: (0 < m, 0

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

Shor kvantum-algoritmusa diszkrét logaritmusra

Shor kvantum-algoritmusa diszkrét logaritmusra Ivanyos Gábor MTA SZTAKI Debrecen, 20 január 2. Tartalom és kvantum-áramkörök 2 A diszkrét log probléma Kvantum bit Állapot: a B = C 2 komplex euklideszi tér egy egységvektora: az a 0 + b szuperpozíció

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai

Bázistranszformáció és alkalmazásai Bázistranszformáció és alkalmazásai Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Elmélet Gyakorlati végrehajtás 2 Vektor bevitele a bázisba Rangszámítás Lineáris egyenletrendszer

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41 Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét

Részletesebben

Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata

Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Bucz Gábor Témavezet : Dr. Fehér László Dr. Lévay Péter Szeged, 2015.04.23. Bucz Gábor Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata Szeged, 2015.04.23. 1 / 27 Tartalom

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Matematikai logika. 3. fejezet. Logikai m veletek, kvantorok 3-1

Matematikai logika. 3. fejezet. Logikai m veletek, kvantorok 3-1 3. fejezet Matematikai logika Logikai m veletek, kvantorok D 3.1 A P és Q elemi ítéletekre vonatkozó logikai alapm veleteket (konjunkció ( ), diszjunkció ( ), implikáció ( ), ekvivalencia ( ), negáció

Részletesebben

Diszkrét Matematika - Beadandó Feladatok

Diszkrét Matematika - Beadandó Feladatok Diszkrét Matematika - Beadandó Feladatok Demjan Adalbert - SFDAGZ 2014. december 6. Tartalomjegyzék 1. 2.1-2/c 2 2. 2.2-1/c 3 3. 2.3-13/a 4 4. 2.3-13/b 5 5. 4.1-5/a 6 6. 4.1-5/b 7 7. 4.1-5/c 8 8. 4.4-16

Részletesebben

Parciális dierenciálegyenletek

Parciális dierenciálegyenletek Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok

Részletesebben

Megoldások 9. osztály

Megoldások 9. osztály XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege

Részletesebben

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.

Részletesebben

Komplex számok trigonometrikus alakja

Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =

Részletesebben

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 004. október. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:

Részletesebben

13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste

13.1.Állítás. Legyen  2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre  =2 K, ekkor K() az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste 13. GYÖKB½OVÍTÉS GALOIS CSOPORTJA, POLINOMOK GYÖKEINEK ELÉRHET½OSÉGE 13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a

Részletesebben

Kódelméleti és kriptográai alkalmazások

Kódelméleti és kriptográai alkalmazások Kódelméleti és kriptográai alkalmazások Wettl Ferenc 2015. május 14. Wettl Ferenc Kódelméleti és kriptográai alkalmazások 2015. május 14. 1 / 11 1 Hibajavító kódok 2 Általánosított ReedSolomon-kód Wettl

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1 Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése). Feladat. Határozzuk meg az f(x) x 2 függvény x 0 pontbeli differenciahányados

Részletesebben

Fiók ferde betolása. A hűtőszekrényünk ajtajának és kihúzott fiókjának érintkezése ihlette az alábbi feladatot. Ehhez tekintsük az 1. ábrát!

Fiók ferde betolása. A hűtőszekrényünk ajtajának és kihúzott fiókjának érintkezése ihlette az alábbi feladatot. Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1 Fiók ferde betolása A hűtőszekrényünk ajtajának és kihúzott fiókjának érintkezése ihlette az alábbi feladatot. Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt azt látjuk, hogy egy a x b méretű kis kék téglalapot

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

Lineáris algebra gyakorlat

Lineáris algebra gyakorlat Lineáris algebra gyakorlat 0. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 23. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok)

Részletesebben

Kaotikus vagy csak összetett? Labdák pattogása lépcs n Gruiz Márton, Meszéna Tamás, Tél Tamás. 1. Bevezetés. 2. A modell

Kaotikus vagy csak összetett? Labdák pattogása lépcs n Gruiz Márton, Meszéna Tamás, Tél Tamás. 1. Bevezetés. 2. A modell . Bevezetés Kaotikus vagy csak összetett? Labdák pattogása lépcs n Gruiz Márton, Meszéna Tamás, Tél Tamás Egy osztrák gimnáziumi tankönyvben több, közismerten kaotikus mozgással járó jelenség bemutatása

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

Geometria II gyakorlatok

Geometria II gyakorlatok Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés

Részletesebben

Kibernetika korábbi vizsga zárthelyi dolgozatokból válogatott tesztkérdések Figyelem! Az alábbi tesztek csak mintául szolgálnak a tesztkérdések megoldásához, azaz a bemagolásuk nem jelenti a tananyag elsajátítását

Részletesebben

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség 5. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. Gondolkodnivalók Vektortér 1. Gondolkodnivaló Alteret alkotnak-e az R n n (valós n n-es mátrixok) vektortérben az alábbi részhalmazok? U 1 =

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 14

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 14 Komplex számok Wettl Ferenc 2012-09-07 Wettl Ferenc () Komplex számok 2012-09-07 1 / 14 Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet egy speciális

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 1 mintapélda Frissítve: 01. novermber 19. :07:41 1. Azonosságok 1.1. Azonosság. A sin és cos szögfüggvények derékszög háromszögben vett, majd kiterjesztett

Részletesebben

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 2.NEHEZÍTETT VÁLTOZAT 2.a) Paramétert nem tartalmazó eset

ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 2.NEHEZÍTETT VÁLTOZAT 2.a) Paramétert nem tartalmazó eset ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 2.NEHEZÍTETT VÁLTOZAT 2.a) Paramétert nem tartalmazó eset A bázistranszformáció nehezített változatában a bázison kívül elhelyezkedő vektorokból amennyit csak lehetséges

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

A relációelmélet alapjai

A relációelmélet alapjai A relációelmélet alapjai A reláció latin eredet szó, jelentése kapcsolat. A reláció, két vagy több nem feltétlenül különböz halmaz elemei közötti viszonyt, kapcsolatot fejez ki. A reláció értelmezése gráffal

Részletesebben

Pénzügyi matematika. Vizsgadolgozat I. RÉSZ. 1. Deniálja pontosan, mit értünk amerikai vételi opció alatt!

Pénzügyi matematika. Vizsgadolgozat I. RÉSZ. 1. Deniálja pontosan, mit értünk amerikai vételi opció alatt! NÉV: NEPTUN KÓD: Pénzügyi matematika Vizsgadolgozat I. RÉSZ Az ebben a részben feltett 4 kérdés közül legalább 3-ra kell hibátlan választ adni ahhoz, hogy a vizsga sikeres lehessen. Kett vagy kevesebb

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Halmazok. Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai.

Halmazok. Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai. Halmazok Halmazelméleti lapfogalmak, hatványhalmaz, halmazm veletek, halmazm veletek azonosságai. 1. lapfogalmak halmaz és az eleme fogalmakat alapfogalmaknak tekintjük, nem deniáljuk ket. Jelölés: x H,

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

A matematika nyelvér l bevezetés

A matematika nyelvér l bevezetés A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások

Részletesebben

Érdekes informatika feladatok

Érdekes informatika feladatok A keres,kkel és adatbázissal ellátott lengyel honlap számos díjat kapott: Spirit of Delphi '98, Delphi Community Award, Poland on the Internet, Golden Bagel Award stb. Az itt megtalálható komponenseket

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon:

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: A Formális nyelvek vizsga teljesítése a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: 1. Öt kis kérdés megválaszolása egyenként 6 pontért, melyet minimum 12

Részletesebben

1. A k-szerver probléma

1. A k-szerver probléma 1. A k-szerver probléma Az egyik legismertebb on-line probléma a k-szerver probléma. A probléma általános deníciójának megadásához szükség van a metrikus tér fogalmára. Egy (M, d) párost, ahol M a metrikus

Részletesebben

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi

Részletesebben