2015/16/1 Kvantummechanika B 2.ZH

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "2015/16/1 Kvantummechanika B 2.ZH"

Ildikó Papné
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 2015/16/1 Kvantummechanika B 2.ZH december 10. Információk 0. A ZH ideje minimum 90 perc, maximum 180 perc. 1. Az összesen elérhet pontszám 270 pont. 2. A jeles érdemjegy eléréséhez nem szükséges az összes feladat hibátlan megoldása 3. Az elégséges jegy megszerzéséhez mindenképpen oldjatok a sok állapotú rendszereket, és a könnyebb degenerált perturbáció számításokat! 4. Nem véletlenül lehet füzetet használni! 5. Minden feladat legyen külön lapon, szépen, jól átláthatóan leírva! 6. Egyéb kérdéssel forduljatok bizalommal a gyakorlatvezet khöz!

1. Hidrogénatom 1.1. Várható értékek Legyen egy hidrogén atom n, l = n 1 kvantumszámokkal rendelkez állapotban. hullámfüggvény radiális része az következ : ( R n,l 1 = N n r n 1 exp r ) na a.

2 1. Hidrogénatom 1.1. Várható értékek Legyen egy hidrogén atom n, l = n 1 kvantumszámokkal rendelkez állapotban. hullámfüggvény radiális része az következ : ( R n,l 1 = N n r n 1 exp r ) na a. Határozzuk meg a normálási tényez t! Megmutatható, hogy a (1) b. Határozzuk meg r és r 2 várható értékeket! c. Mutassuk meg, hogy σ r = r 2n+1 d. Növekv n-re egyre keskenyebb, és ezzel egyidej leg egyre csúcsosabb lesz a hullámfüggvény, Mit jelent ez zikailag? 1.2. Hullámfüggvény Jelöljek be mindegyik képhez, hogy mely nlm kvantumszámokhoz tartoznak! 1

3 2. Elektron mágneses térben 2.1. Konstans tér B = B0 e z. Az elektron Hamilton operátora (spin- Vegyünk egy elektront és tegyük konstans mágneses térbe: függ rész): a. Írjuk fel ezt mátrix alakban! H 0 = eb z m S z (2) Kapcsoljunk be egy perturbációt, úgy hogy egy konstans x irányú mez t alkalmazunk: H = e m B xs x (3) b. Írjuk fel ezt is mátrix alakban! c. Oldjuk meg H = H 0 + H sajátérték problémáját! d. Becsüljük meg az alapállapoti energiát variációs módszerrel is. Legyen az próbafüggvény az alábbi: ( ) cos(α) Ψ = sin(α) (4) e. Mennyire tér el az egzakt megoldástól? 2.2. Oszcilláló tér Legyen a mágneses tér id függ : B = B 0 cos(ωt) e z (5) a. Határozzuk meg az elektron Hamilton operátorát! H = γ B S (6) b. Kezdeti állapot legyen olyan, hogy S x -et megmérve h 2 -t kapunk. Határozzuk meg az állapot id fejl dését! Vigyázat! Hamilton is függ explicite az id t l! c. Mekkora annak valószín sége, hogy az elektron x irányú spinjének mérésekor h 2 -t mérünk! Lehetséges, hogy teljesen megforduljon? Hogy függ ez a mágneses tér nagyságától? 3. Variáció számítás 3.1. Elméleti alapok Bizonyára felmerült a kérdés mindenkiben, hogy a variációs módszernél egyáltalán minek próbafüggvény? Mindenki tud variálni, és megkeresni egy funkcionál széls értékét. Amennyiben ez a széls érték minimum, meg is találtuk a keresett hullámfüggvényt! a. Keressük meg a variációszámítás szabályait alkalmazva az energia-funkcionál széls értékét. Milyen egyenletet kapunk? Olyan függvényekre szorítkozunk, melyeknek egyre normáltak. Tekintsük ezt egy holonom kényszernek! b. A kapott dierenciál egyenlet megoldása mennyire közelíti jól a valódi megoldását a problémának? c. Milyen esetben kapunk egzakt megoldást? 2

4 3.2. Mi lehet a baj? Természetesen ismerjük a dobozba zárt részecske kvantummechanikáját. Azt is tudjuk, hogy megfelel koordinátázás esetén az alapállapoti hullámfüggvény: Míg az energia: Ψ(x, y, z) = 8 ( π ) ( π ) ( π ) abc sin a x sin b y sin c z E 111 = h2 π 2 2m ( 1 a b ) c 2 (7) (8) Alkalmazzuk erre a variációs módszert! Harmonikus oszcillátor esetén láttunk, hogy e bx2 vissza kaptuk az egzakt megoldást! Most legyen a próbafüggvényünk a következ : próbafüggvénnyel Ψ p = N sin (k x x) sin (k y y) sin (k z z) (9) a. A fenti próbafüggvényt használva becsüljük meg az alapállapoti energiát! b. Az egyszer, naiv számolás során beleütközünk egy problémába, hogy 0-t kapunk eredményül, ami biztosan nem lehet jó! Mi lehet ennek az oka? Ezek szerint nem jó mindenre ez a módszer? Mikor alkalmazható? 3.3. Összehasonlítás Perturbáljuk az egydimenziós harmonikus oszcillátort egy λx 6 -os taggal. a. Mikor tekinthet ez a tag perturbációnak? Adjuk meg egy skálázást a bemenetei paraméterekkel (m, ω 0, h). b. Oldjuk meg a. részt máshogyan is! Mihez lehet még mérni λ paramétert? c. Vegyük próbafüggvénynek az alábbit Ψ p = Ne bx2 Becsüljük meg az alapállapoti energiát variációs módszerrel! d. Mekkora az energiajárulék a perturbálatlan energiához képest? Hasonlítsuk össze ezt az energiajárulékot azzal, amit nem degenerált perturbációszámításnál kapunk! 3.4. Hélium alapállapota Becsüljük meg a Hélium atom alapállapoti energiáját! A próbafüggvényt legyen két hidrogénatom alapállapoti hullámfüggvényének (100 állapotának) szorzata. A Hamilton függvény tartalmazza a két Coulomb potenciálban mozgó részecske hullámfüggvényét, és a kölcsönhatási tagot is! H = p2 1 2m + Ze2 + p2 2 r 1 2m + Ze2 e 2 + r 2 r 1 r 2 (10) ( Z 3 Φ 100 = πa 3 0 ) 3 2 e Zr a 0 (11) Annyit még tegyünk meg, hogy a Hidrogén hullámfüggvénybe egy módosított Z-t teszünk bele (Z Z ). Ennek van zikai megfontolása is. Mi lehet ez a megfontolás? Ezt a módosított Z lesz az paraméter, amelyet hangolunk majd (Z < Z). Megoldás során mindenképpen maradjon érvényben a többet ésszel, mint er vel elv! Vegyük észre a lehetséges trükköket! 4. Degenerált perturbációszámítás 4.1. A speciálisan választott paraméterek Adott egy olyan rendszer, hogy x, y irányban be van zárva egy dobozba, z irányban pedig kvadratikus potenciálban mozog! V (x, y, z) = 1 2 mω2 z 2 + V (x, y) doboz (12) 3

5 A doboz méretei a, b, ahol a = b. Abban az érdekes helyzetben vagyunk, hogy van egy összefüggés a kvadratikus potenciál paramétere és a doboz paramétere között: 2ω = hπ2 ma 2 (13) a. Melyik a legalacsonyabb degenerált energiaszint? Hányszorosan degenerált? Mik a hozzá tartozó hullámfüggvények? b. Van-e háromszorosan degenerált energiaszint? Mik a hullámfüggvények? c. Vegyük az utóbbi esetet. Adjunk a potenciálhoz egy V (x, y) p = λxyz tagot. Adjuk meg a szintek felhasadását. Ábrázoljuk ezt a szokásos diagramon is! 4.2. Hét állapotú rendszer Adott az alábbi hét állapotú rendszer leíró Hamilton operátor: ɛ ɛ ɛ H 0 = ɛ ɛ ɛ ɛ 2 (14) Perturbáció legyen a következ : 0 0 w w 0 w H = w w iw iw 0 (15) Legyen w ɛ 0 < ɛ 1 < ɛ 2. Oldjuk meg a felhasadások problémáját! Mik a jó saját függvények? Ezek után legyen ɛ i = ɛ(i + 1), míg w = 4 3 ɛ. Mik lesznek a nívók sorrendjei, ha kezdetben s 1 = s 2 = s 3 = ɛ, p 1 = p 2 = 2ɛ, d 1 = d 2 = 3ɛ voltak. Legyenek ezek a szintek index szerint növekv sorrendben (s 3 s 2 s 1 ). 4

6 5. Pontozás Feladatszám Maximális pontszám Szerzett pontszám Összesített 270 Gyakorlat értékelése (ett l nem függ az érdemjegy :)) Értékeld 1-5 közötti skálán az alábbi kérdéseket Kérdés Értékelés (1-5) Mennyire volt érthet a gyakorlat anyaga? Milyen volt az óra hangulata? Kielégít ek voltak-e a kérdésekre adott válaszok? Elégedett vagy-e a kapott jeggyel (els ZH)? Elegend tudást nyújtott-e a gyakorlat? Min változtatnál? Bármely megjegyzés 5

Hasonló dokumentumok

Kvantummechanika gyakorlat Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje

Kvantummechanika gyakorlat Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje Kvantummechanika gyakorlat 015 1. Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje 1. Mutassuk meg, hogy A és B tetsz leges operátorokra igaz, hogy e B A e B = A + [B, A] + 1![ B, [B, A] ] +....