Csoporthatások. 1 Alapfogalmak 1 ALAPFOGALMAK. G csoport hatása az X halmazon egy olyan µ: G X X leképezés, amelyre teljesül

Átírás

1 1 ALAPFOGALMAK Csoporthatások 1 Alapfogalmak G csoport hatása az X halmazon egy olyan µ: G X X leképezés, amelyre teljesül és µ(g, µ(h, x)) = µ(gh, x) µ(1 G, x) = x minden g, h G és x X esetén. Multiplikatív jelölés: gx = µ(g, x) ha g G és x X.

2 1 ALAPFOGALMAK Multiplikatív jelölésmódban a csoporthatás deníciójában szerepl feltételek és g(hx) = (gh)x 1 G x = x Észrevétel. Az egyes g G elemekre értelmezett µ g : X X x gx leképezések bijektívek, és teljesül µ g µ h =µ gh, azaz µ : G Sym(X) g µ g egy m velettartó leképezés (hatás-homomorzmus).

3 1 ALAPFOGALMAK Példák: 1. ν X triviális hatás, ahol gx=x minden g G és x X-re. 2. G csoport λ G : G G G (g, h) gh és ρ G : G G G (g, h) hg -1 bal-, ill. jobbreguláris hatása önmagán. 3. Lineáris csoportok hatása vektorok összességén. 4. Geometriai alakzat szimmetriacsoportjának hatása pontjainak, ill. kitüntetett részalakzatainak (csúcspontok, élek, stb.) halmazain. 5. G csoport H <G részcsoporthoz tartozó µ G/H : G (G/H) G/H (g, xh) (gx)h coset-hatása a (baloldali) mellékosztályok G/H halmazán.

4 1 ALAPFOGALMAK µ 1 :G X 1 X 1 és µ 2 :G X 2 X 2 csoporthatások ekvivalensek, jelben µ 1 = µ 2, ha létezik olyan λ:x 1 X 2 bijektív leképezés, hogy µ 2 =λ µ 1, vagyis λ(gx) = gλ(x) minden g G és x X esetén. Észrevétel. Ekvivalens hatások alaphalmazainak számossága megegyezik. Feladat: adott csoport összes hatásának osztályozása ekvivalencia erejéig. Példák: 1. ν X és ν Y triviális hatások ekvivalensek, ha X = Y. 2. λ G bal- és ρ G jobbreguláris hatások mindig ekvivalensek. 3. µ G/H és µ G/K coset-hatások akkor ekvivalensek, ha H és K konjugált részcsoportjai G-nek.

5 2 AZ ORBIT-STABILIZÁTORTÉTEL 2 Az orbit-stabilizátortétel =W X stabil részhalmaz, ha gw =W minden g G-re, ahol gw = {gx x W } Hatás lesz kítése egy W X stabil részhalmazra: µ W : G W W (g, x) µ(g, x) Pálya: minimális stabil részhalmaz. Pályák partíciónálják X-et: két pálya vagy megegyezik egymással, vagy diszjunkt, és uniójuk kiadja X-et egyazon pályához tartozni egy ekvivalencia-reláció, és minden stabil részhalmaz el áll pályák uniójaként.

6 2 AZ ORBIT-STABILIZÁTORTÉTEL Kvóciens-tér: pályák összessége G\X = {Gx x X} x 1, x 2 X egyazon pályához tartozik x 2 =gx 1 valamely g G-re Egy hatás tranzitív, ha csak egy pálya van (maga az X alaphalmaz), azaz a kvóciens-tér egyelem. Hatás lesz kítése egy pályára mindig tranzitív. Minden cosethatás tranzitív (ideértve a reguláris hatásokat is)! Ha gx = x, akkor { x X xpontja g G-nek g G stabilizálja x X-et

7 2 AZ ORBIT-STABILIZÁTORTÉTEL g G csoportelem xpont-halmaza x X pont stabilizátora Fix(g) = {x X gx=x} Stab G (x) = {g G gx=x} = G x Példa. A µ G/H cosethatás esetén Fix(g) = {xh g x H} míg az xh mellékosztály stabilizátora Stab G (xh) = xhx 1 Észrevétel. Stabilizátor mindig részcsoportja G-nek, G x < G, mert g, h Stab G (x) esetén ( gh 1) x=g ( h 1 x ) =gx=x.

8 2 AZ ORBIT-STABILIZÁTORTÉTEL Fix ( hgh 1) = hfix(g) és Stab(gx) = g Stab(x) g 1 Egyazon pályához tartozó pontok stabilizátorai egymás konjugáltjai. Orbit-stabilizátortétel: bijektív megfeleltetés létezik egy x X pont Gx={gx g G} pályája (orbitja) és stabilizátorának (baloldali) mellékosztályai között. Gx G/G x Következmények: 1. pálya hossza (számossága) = stabilizátor részcsoport indexe Gx = [G : G x ] 2. minden tranzitív hatás ekvivalens egy cosethatással! µ = µ G/Gx bármely x-re

9 3 HATÁSOK ÖSSZEGE ÉS SZORZATA 3 Hatások összege és szorzata A páronként diszjunkt X i halmazok (i I) feletti µ i :G X i X i csoporthatások µ= i I µ i összege a µ (g, x) = µ i (g, x) ha x X i módon értelmezett hatás az i I X i halmazon. Összeghatás ekvivalenciaosztálya csak a tagok osztályaitól függ, továbbá és µ 1 (µ 2 µ 3 ) = (µ 1 µ 2 ) µ 3 µ 2 µ 1 = µ 1 µ 2

10 3 HATÁSOK ÖSSZEGE ÉS SZORZATA Tranzitív dekompozíció: minden hatás felbontható tranzitív hatások összegére (sorrend erejéig egyértelm en)! µ = W G\X Minden µ W tranzitív összetev ekvivalens egy µ G/H cosethatással, ahol H a W valamely pontjának stabilizátora. Pályák stabilizátorok tranzitív összetev k (multiplicitással). µ W Egy-egyértelm kapcsolat hatások ekvivalencia-osztályai és részcsoportok konjugált osztályain értelmezett számosságérték függvények között!

11 3 HATÁSOK ÖSSZEGE ÉS SZORZATA µ 1 :G X 1 X 1 és µ 2 :G X 2 X 2 csoporthatások µ 1 µ 2 szorzata a azaz (µ 1 µ 2 ) (g, (x 1, x 2 )) = (µ 1 (g, x 1 ), µ 2 (g, x 2 )) g(x 1, x 2 ) = (gx 1, gx 2 ) módon értelmezett hatás az X 1 X 2 halmazon. Példa. Triviális hatások szorzata szintén triviális, ν X ν Y = ν X Y ; továbbá, ha X egy n számosságú véges halmazt jelöl, akkor ν X µ = µ µ }{{} n

12 3 HATÁSOK ÖSSZEGE ÉS SZORZATA Szorzathatás ekvivalenciaosztálya csak a tényez k osztályától függ, továbbá µ 1 (µ 2 µ 3 ) = (µ 1 µ 2 ) µ 3 µ 2 µ 1 = µ 1 µ 2 és µ 1 (µ 2 µ 3 ) = (µ 1 µ 2 ) (µ 1 µ 3 ) Burnsidegy r : hatások ekvivalencia-osztályainak összessége a hatások összegének és szorzatának m veletével (valójában félgy r ). Elég ismerni a tranzitív hatások szorzatainak tranzitív dekompozícióit µ i µ j = k N k ijµ k fúziós szabályok N k ij nemnegatív egész multiplicitások a struktúraállandók.

13 4 PERMUTÁCIÓS HATÁSOK 4 Permutációs hatások Permutációs hatás: véges halmazon értelmezett csoporthatás (hatás foka = alaphalmaz számossága). Minden φ: G S n homomorzmus egy permutációs hatásból származik. tranzitív hatások részcsoportok konjugált osztályai véges csoportnak csak véges sok inekvivalens tranzitív hatása van! Reguláris hatás: olyan tranzitív hatás, melyben csak az egységelemnek vannak xpontjai (triviális részcsoporthoz tartozó cosethatás). Cayley tétele: minden véges csoport izomorf egy permutációcsoporttal.

14 4 PERMUTÁCIÓS HATÁSOK Cauchy-Frobeniuslemma: pályák száma = xpontok átlagos száma G\X = 1 G g G Fix(g) Egy ekvivalencia-reláció a hatással kompatibilis, ha x =y esetén minden g G-re gx =gy. Tranzitív hatás esetén egy-egyértelm kapcsolat hatással kompatibilis ekvivalenciák és stabilizátort tartalmazó részcsoportok között. Egy permutációs hatás k-tranzitív, ha tranzitív az X {k} ={(x 1,..., x k ) x i X, x i x j } halmazon a g(x 1,..., x k )=(gx 1,..., gx k ) komponensenkénti hatás.