Példa keresztmetszet másodrendű nyomatékainak számítására

Átírás

1 Példa keresztmetszet másodrendű nyomatékainak számítására Készítette: Kossa Attila BME, Műszaki Mechanikai Tanszék február 22. Tekintsük az alábbi keresztmetszetet. 1. ábra. A vizsgált keresztmetszet méretei Feladatok: a) Határozzuk meg a keresztmetszet súlypontját! b) A súlyponton átmenő x és y tengelyekre valamint az xy tengelypárra határozzuk meg a keresztmetszet másodrendű nyomatékait! c) Számítsuk ki a főmásodrendű nyomatékokat és határozzuk meg a főtengelyek irányát! 1

2 Megoldás a) A súlypont helyének meghatározása érdekében első lépésként egy koordinátarendszert kell felvennünk amelyben számítjuk az S súlypont koordinátáit. Legyen ez a 2. ábrán szemléltetett x-ỹ koordinátarendszer. A keresett koordináták ez esetben: x S és ỹ S. A további számításokhoz a vizsgált keresztmetszetet elemi részekre bontjuk melyek súlypontjait ismerjük. Jelen esetben legyen az A 1 és A 2 terület által jellemzett téglalapok. A keresett súlypont koordináták számítása: 2. ábra. Súlypont számítása x S = 10 A A 2 A 1 +A 2, x S = 27,14 mm, (1) ỹ S = 20 A 1 +5 A 2 A 1 +A 2, ỹ S = 13,57 mm, (2) ahol A 1 = = 800 mm 2 és A 2 = = 600 mm 2. b) Az x-tengelyre számított másodrendű nyomatékot (I x ) úgy számítjuk, hogy az elemi keresztmetszetrészek másodrendű nyomatékait kiszámítjuk az x-tengellyel párhuzamos X 1 és X 2 tengelyekre (melyek az elemi keresztmetszetrészek súlypontjain átmenő tengelyek), majd a Steiner-tétel segítségével átszámítjuk ezeket az x-tengelyre. Az x S és ỹ S ismeretében a tengelytávolságok számíthatóak. Ezeket a 3. ábra szemlélteti. Tehát az x-tengelyre számított másodrendű nyomaték: I x = I X1 + t 2 1 A 1 + I X2 + t 2 3 A 2, (3) ahol I X1 és I X2 az 1-es és 2-es keresztmetszetrész másodrendű nyomatéka a saját súlypontján átmenő X 1 -, valamint X 2 -tengelyre: I X1 = = ,67 mm 4, I X2 = = mm 4. (4) 2

3 3. ábra. Tengelytávolságok A (3) kifejezésben szereplő első zárójeles mennyiség az 1-es keresztmetszetrész másodrendű nyomatéka az x-tengelyre, míg a második zárójeles tag a 2-es keresztmetszetrész másodrendű nyomatéka az x-tengelyre. Visszaírva az ismert mennyiségeket (3)-ba, kapjuk, hogy I x = ( ,67+6, ) + ( , ), (5) Hasonló gondolatmenet alapján számíthatjuk I y -t is: I y = I x = ,52 mm 4. (6) I Y1 + t 2 2 A 1 + I Y2 + t 2 4 A 2, (7) ahol I Y1 = = ,67 mm 4, I Y2 = Visszaírva (7)-ba kapjuk, hogy = mm 4. (8) I y = ( ,67+17, ) + ( , ), (9) I y = ,10 mm 4. (10) A xy-tengelypárra számított másodrendű nyomatékot is úgy határozzuk meg, hogy az elemi keresztmetszetek saját súlyponti tengelypárra számított másodrendű nyomatékait a Steiner-tétel segítségével átszámítjuk xy-ra. Vagyis: I xy = I X1 Y 1 +x S1 y S1 A 1 + I X2 Y 2 +x S2 y S2 A 2, (11) aholx S1,y S1,x S2 ésy S2 az elemi keresztmetszetrészek súlypontjainak (előjeles) koordinátái az xy koordinátarendszerben (ahova át akarjuk számítani a másodrendű nyomatékot). 3

4 Az I X1 Y 1 és I X2 Y 2 másodrendű nyomatékok értéke 0, mivel az X 1 Y 1 és X 2 Y 2 tengelypárok a vizsgált keresztmetszetrészek főirányival esnek egybe. Visszaírva (11)-be kapjuk, hogy I xy = (0+(+t 1 )( t 2 ) A 1 )+(0+( t 3 )(+t 4 ) A 2 ) () = (0+(6,43)( 17,14) 800)+(0+( 8,57)(22,86) 600), (13) I xy = ,29 mm 4 (14) c) A keresztmetszet x-y-koordinátarendszerben számított másodrendű nyomatékait az alábbi mátrixba rendezhetjük 1 : [ ] [ ] Ix I I = xy , ,29 = mm 4. (15) , ,10 (x,y) I xy I y A keresett főmásodrendű nyomatékok az I mátrix sajátértékei, míg a főirányok az I mátrix sajátvektorai által kijelölt irányok. A sajátértékek számítása: det ( I λe ) = 0, (16) ([ ] [ ]) Ix I det xy 1 0 λ = 0, (17) I xy I y 0 1 ([ ]) Ix λ I det xy = 0, (18) I y λ I xy (I x λ)(i y λ) ( I xy )( I xy ) = 0, (19) λ 2 (I x +I y ) λ ( I 2 xy I x I y ) = 0. (20) A keresett sajátértékeket a fenti másodrendű egyenlet megoldásával kapjuk 2. Jelen esetben: λ ,62λ ,5079 = 0, (21) λ 2 ( 9, ) λ 1, = 0, (22) λ 1,2 = 9, ± (9, ) , , (23) 2 Vagyis a keresett főmásodrendű nyomatékok 3 : λ 1,2 = 9, ±7, , (24) 2 λ 1 = , λ 2 = (25) I 1 = mm 4, I 2 = mm 4. (26) 1 Az I xy mennyiséget negatív előjellel kell beírni az 1,2 és 2,1 helyekre! 2 Egy valós elemű szimmetrikus mátrix sajátértékei mindig valósak. Emiatt a megoldandó másodfokú egyenlet gyökei valósak lesznek. Ha nem akkor valamit elszámoltunk! 3 A nagyobbat jelöljük 1-gyel. 4

5 Főirányok számítása: az 1-es főirányt az I 1 -hez tartozó e 1 sajátvektor jelöli ki. Az e 1 vektor koordinátáit felírhatjuk az 1-es tengely és az x-tengely között bezárt ϕ szög segítségével: e 1 = [ cosϕ sinϕ ]. (27) 4. ábra. A főirányok helyzete Az e 1 sajátvektor számítása: ( I λ1 E ) e 1 = 0, (28) ([ ] [ ])[ ] [ ] , , cosϕ =, (29) , , sinϕ 0 [ ][ ] [ ] , ,29 cosϕ 0 =, , , sinϕ 0 (30) [ ][ ] [ ] , ,29 cosϕ 0 = , , 9 sinϕ 0 (31) A fenti egyenlet az alábbi két egyenletre bontható: ,48 cosϕ ,29 sinϕ = 0, (32) Az első egyenlet átrendezésével kapjuk, hogy tanϕ = ,29 cosϕ ,9 sinϕ = 0. (33) ,48 = 3,0783 ϕ = arctan[3,0783], (34) ,29 ϕ = 1,2567 rad, ϕ = 72. (35) Vagyis az 1-es főirány 72 -os szöget zár be az x-tengellyel az óramutató járásával megegyező értelemben. Az 1-re merőleges irány a 2-es főirány 4. A főirányokat a 4. ábra szemlélteti. 4 A 2-es irányt meghatározhatnánk az e 2 sajátvektor számításával is. Minden esetben azt kapjuk, hogy a 2-es irány merőleges az 1-re. Ez abból a tételből következik, hogy valós elemű szimmetrikus mátrix sajátvektorai egymásra merőlegesek. 5