Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok
|
|
- György Farkas
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor
2 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént) Eze az irracionális számo Egyszerű példá: 2, 3, 5, 6, 7 stb. De: irracionális szám a G (vagy: φ), az e és a π is A racionális és az irracionális számo együtt hézagmentesen lefedi a teljes számegyenest Állítás: Egy szám racionális törtfelírása periodius, vagy egy idő múlva periodius Ez bármely (egész alapú) számrendszerben igaz Feladat: mi az eredeti szám, ha a tört ala 0,3777 0,57878 Minden periodiusságot nélülöző szám irracionális Vigyázzun, a felírás lehet néha becsapós, pl. 0, *0-es számrendszerben egy leegyszerűsített törtszám tizedes alaja véges, ha a nevezőjében csa a 2 és 5 (hatványai) szerepelne tiszta szaaszos (periodius), ha a nevezőjében csa 2-től és 5-től ülönböző príme (hatványai) szerepelne vegyes szaaszos (egy idő múlva periodius), ha a nevezőjében vegyesen szerepelne 2 és 5, ill. 2-től és 5-től ülönböző príme (hatványai) 2
3 A valós számo ategorizálása Vanna olyan szép irracionális számo, amelye egyszerű egész együtthatós egyenlete megoldásai, pl. 2 : x 2 = 2, : x 3 = 2, 3 2 (G vagy φ) : x 2 = x + Egy számot algebraina nevezün, ha található olyan egész (vagy: racionális) együtthatós véges(egész)foú polinom (egyenlet), amelyne ő gyöe (megoldása) Megj.: csupa 0 együttható nem megengedett Nyilvánvaló, hogy a racionális számo is algebraia (p/q-ra: = q/p x vagy 0 = p/q x) Természetes érdés: minden irracionális szám ilyen vajon? Vá.: nem! Liouville, 844: létezne nem algebrai számo (transzcendens számo elnevezés: Euler; amelye nem elégítene i semmiféle algebrai egyenletet sem)! 2! 3! 4! Konrétan a onstans transzcendens 880-as éve eleje: már ismert, hogy az e és a π is transzcendens Cantor: szinte minden szám transzcendens (!) Az algebrai számo megszámlálhatóan soan vanna (ugyanúgy, mint a racionális számo), a transzcendens számo számossága ellenben nem megszámlálhatóan végtelen Azaz: a számegyenesre véletlenül ráböve szinte biztosan transzcendens számot apun 3
4 A valós számo ategorizálása Lánctört ala Az irracionális (tehát: algebrai és transzcendens) számo jegyeiben hagyományos (tizedes)tört felírás általában nem látszi semmiféle szabályosság A lánctört ala azonban már mélyebb bepillantást enged a számo 6 = 2, = 2 + természetébe, és itt egyes irracionális 2 + számo megszelídülne 4 + Ilyenor a lánctört ala mindig végtelen Állítás (már tudju): Egy szám megoldása egy másodfoú algebrai egyenletne lánctört alaja periodius, vagy egy idő múlva periodius Ezeet a számoat vadratius irracionalitásna is nevezi ( 2, 3, 5 stb.) Továbbá tudju, hogy az e számnál és a vele apcsolatban levő számonál is látszi bizonyos szabályosság Általában azonban egy szám, amely nem vadratius irracionalitás, nem mutat a lánctört alajában szabályosságot Példá: 2. slidesor *Feladat: Próbáljun eresni olyan egyéb irracionális számot, amely nem tartozi a fenti ategóriába, és mégis mutat valamilyen szabályosságot a lánctört alajában! 4
5 Algebrai számo Tétel: Algebrai számo összege, ülönbsége, szorzata és hányadosa (nem nulla nevezővel) is algebrai szám Pl. : megoldása az x 4 0x 2 + = 0 egyenletne x Pl. 2: felírható ént, és így gyöe az polinomna Bármilyen gyöös ifejezést írun fel, az mindig algebrai Pl.: gyöe az ( x 3) 2 polinomna De: nem minden algebrai szám írható fel gyöös ifejezésént! (eml.: ötödfoú egyenlete) Pl.: az x 5 4x 2 polinom gyöei nem állítható elő gyöös ifejezésént 5
6 Transzcendens számo Probléma: a transzcendens számoat nehéz elépzelni Az általun használt számo néhány ivételtől elteintve nem ilyene Ha véletlenszerűen írun számjegyeet egy tizedestörtbe, szinte biztosan transzcendens számot apun Persze a végtelenségig ell folytatnun a felírást De: anna pontos bizonyítása, hogy egy megadott onrét onstans valóban transzcendens (pl. e + π, e π, π π ) nehéz (vagy: nagyon nehéz) feladat (!) Hilbert (900, Párizs): 23 egyszerűen megfogalmazható probléma, amelye az aori matematia számára megoldhatatlano volta (és nagyon nehezen megoldhatóna tűnte) 2 A 7. probléma: igazolju, hogy 2 transzcendens! Megoldás (930-as éve, Gelfond és Schneider, tétel): Ha a 0, algebrai szám, és b nem racionális algebrai szám, aor a b transzcendens Ezzel rengeteg transzcendens szám onstruálható *A tétellel igazolható, hogy e π transzcendens. Valóban, az Euler-féle azonosságból e i π = (az i épzetes egység algebrai). ( ) ( ) i π ( ) i i i π Átalaítással e =, azaz e =. 6
7 Transzcendens számo *Az első ismert transzcendens szám ilyen tulajdonságána (vázlatos) igazolása Tétel (Liouville, 844): Az α = = 0, onstans transzcendens! = 0 Megj.: Az összeg nyilvánvalóan véges A bizonyításban ihasználju (igazolás nélül): Tétel 2. (Liouville): Ha α gyöe egy egész együtthatós n-edfoú polinomna, aor csa véges so olyan p/q tört létezi, amelyre p α < n+ q q Azaz: az algebrai számo racionális törteel nem özelíthető nagyon jól, tehát ha egy szám törteel nagyon-nagyon jól özelíthető, aor transzcendens Bizonyítás: Teintsü α özelítő részösszegeit. A -adi részösszeg legyen p /q, ahol lno(p, q ) =. 0A + Közös nevezőre hozva =, azaz q = 0!, és p utolsó jegye. n!! 0 0 n= A γ ülönbség becsülhető a övetezőéppen: 0 p < γ = α = <. m! ( + )! q 0 0 m= + Itt felhasználtu, hogy γ -ban az első nullától ülönböző jegy a (+)!-adi helyen szerepel, és a további jegye özött so nulla is van; ezért γ biztosan isebb azon számnál, ahol az eggyel isebb pozícióban szerepel, és utána csupa 0 van. Mivel ( + )! =! + (! ) >!, ezért γ < /0! = /(q ) -nál. Legyen most n rögzített, és teintsü az összes > n + számot. p Ezere α = γ <. q ( q ) ( q ) n+ Eze a törte egyszerűsíthetetlen alaban vanna megadva, ezért mind ülönbözőe. Eszerint α bármely n-re végtelen soszor jól özelíthető, tehát egyetlen n-re sem lehet gyöe egy egész együtthatós n-edfoú polinomna. Így α transzcendens. 7
8 Nevezetes onstanso A G (vagy: φ) szám (már tudju) Bevezetés (már az óorban is ismert): az aranymetszés aránya Kapcsolat a Fibonacci-sorozattal és az eulideszi algoritmussal Algebrai szám, lánctört alaja egyszerű π (már tudju) Bevezetés (már az óorban is ismert) Nevezetes óori probléma a ör négyszögesítése Jegye meghatározása legalább éves problémaör Irracionalitás és transzcendens tulajdonság igazolása (Lambert és Lindemann) e szám (már tudju) n Bevezetés (Bernoulli): bani probléma (690.), lim + = e ζ(2) Vizsgálat (Euler, 740-es és 50-es éve): fontosabb tulajdonságo, irracionalitás, e x függvény Transzcendens tulajdonság igazolása (Hermite, 873) 2 π = 6 Bevezetés: Riemann zeta-függvény, négyzetszámo reciproösszege Reciproa: anna esélye, hogy ét véletlenül választott nagy szám relatív prím Transzcendens További nevezetes onstanso Euler-γ és Catalan-állandó (még nem ismert, hogy irracionálisa-e), ζ(3) irracionális, sin() transzcendens, Champernowne-onstans transzcendens n n 8
9 Nevezetes onstanso A Brun-onstans Sejtés: Végtelen so ierprím van Tétel (Brun): Az ierpríme reciproösszege véges Definíció (Brun-onstans): B = = Nem tudju, hogy a Brun-onstans irracionális vagy racionális-e Maple program a Brun-onstans meghatározására, futtatási eredménye 0-ig:, ig:, ig:, ig:, ,
10 Ajánlott irodalom Fried Ervin: Létezne-e transzcendens számo?, KÖMAL, 200/4. Edward Kofler: Fejezete a matematia történetéből, Gondolat, Budapest, 965 Németh Regina: Nevezetes számo a matematiában (szadolgozat), ELTE, 203 Pelián József: Matematiai onstanso (előadás, pdf változat Törö L., Hrasó A.),
Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok
Kiegészítő részelőadás. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 04 05 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
RészletesebbenTartalom. Algebrai és transzcendens számok
Nevezetes számelméleti problémák Tartalom 6. Nevezetes számelméleti problémák Számok felbontása hatványok összegére Prímszámok Algebrai és transzcendens számok 6.1. Definíció. Az (x, y, z) N 3 számhármast
Részletesebben3. előadás Prímtulajdonság, lnko, Euklideszi algoritmus, lánctörtek
3. előadás Prímtulajdonság, lnko, Euklideszi algoritmus, lánctörtek Dr. Kallós Gábor 206 207 Tartalom Prímtulajdonság, lnko Kiterjesztett egészek Prímfaktorizáció, a számelmélet alaptétele Euklideszi algoritmus
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
RészletesebbenDiszkrét matematika I. középszint Alapfogalmakhoz tartozó feladatok kidolgozása
Diszrét matematia I. özépszint Alapfogalmahoz tartozó feladato idolgozása A doumentum a övetező címen elérhető alapfogalmahoz tartozó példafeladato lehetséges megoldásait tartalmazza: http://compalg.inf.elte.hu/~merai/edu/dm1/alapfogalma.pdf
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
Részletesebben2018, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 4. előadás mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia 2018, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? számtartományok: racionális
RészletesebbenKövetkezik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.
Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges
RészletesebbenFüggvények hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, konvergenciatartomány
Függvénye hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, onvergenciatartomány Taylor-sor, ) Állítsu elő az alábbi függvénye x helyhez tartozó hatványsorát esetleg ülönféle módszereel) éa állapítsu meg a hatványsor
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenI. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL
A primitív függvény és a határozatlan integrál 5 I A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL Gyaorlato és feladato ( oldal) I Vizsgáld meg, hogy a övetező függvényene milyen halmazon van primitív
RészletesebbenHatványozás. A hatványozás azonosságai
Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Részletesebben= Itt a jobb oldalon föllelhető az először az Egyiptomi Középbirodalomban használt
2 Átmenet az analitikus számelmélet felé: Lánctörtek 2 Történeti bevezetés Az általános vélekedéssel szemben nem Diofantosz volt az első, aki egész együtthatós határozatlan egyenletek egész megoldásait
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
RészletesebbenBizonyítási módszerek - megoldások. 1. Igazoljuk, hogy menden természetes szám esetén ha. Megoldás: 9 n n = 9k = 3 3k 3 n.
Bizonyítási módszerek - megoldások 1. Igazoljuk, hogy menden természetes szám esetén ha (a) 9 n 3 n (b) 4 n 2 n (c) 21 n 3 n (d) 21 n 7 n (e) 5 n 25 n (f) 4 n 16 n (g) 15 n (3 n 5 n) 9 n n = 9k = 3 3k
RészletesebbenA 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Otatási Hivatal A 015/016 tanévi Országos Középisolai Tanulmányi Verseny másodi forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értéelési útmutató 1 Egy adott földterület felásását három munás
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =
RészletesebbenNegatív alapú számrendszerek
2015. március 4. Negatív számok Legyen b > 1 egy adott egész szám. Ekkor bármely N 0 egész szám egyértelműen felírható N = m a k b k k=1 alakban, ahol 0 a k < b egész szám. Negatív számok Legyen b > 1
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
Részletesebbenb, b > 0 racionális szám, hogy a
3. A lánctörtek alkalmazásai. 3.. Diofantikus approximáció. Alapkérdés: Mennyire jól közelíthetők az irracionálisok racionális számokkal? Megjegyzés. Mindenek előtt azt kell tisztázni, hogy mit jelent
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis
RészletesebbenSZTE TTIK Bolyai Intézet
Néhány érdekes végtelen összegről Dr. Németh József SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj Háttéranyag: Németh József: Előadások a végtelen sorokról (Polygon, Szeged,
RészletesebbenA CSOPORT 4 PONTOS: 1. A
A CSOPORT 4 PONTOS:. A szám: pí= 3,459265, becslése: 3,4626 abszolút hiba: A szám és a becslés özti ülönbség abszolút értée Pl.: 0.000033 Relatív hiba: Az abszolút hiba osztva a szám abszolút értéével
Részletesebben1. előadás Prímtulajdonság, lnko, Euklideszi algoritmus, lánctörtek
. előadás Prímtulajdonság, lnko, Euklideszi algoritmus, lánctörtek Dr. Kallós Gábor 203 204 Tartalom Prímek és felbonthatatlanok Prímtulajdonság, lnko Kiterjesztett egészek Prímfaktorizáció, a számelmélet
RészletesebbenSpeciális függvénysorok: Taylor-sorok
Speciális függvénysoro: Taylor-soro Állítsu elő az alábbi függvénye x 0 0 helyhez tartozó hatványsorát esetleg ülönféle módszereel és állapítsu meg a hatványsor onvergenciatartományát! A cos 5x függvény
RészletesebbenMagyary Zoltán Posztdoktori beszámoló előadás
Magyary Zoltán Posztdoktori beszámoló előadás Tengely Szabolcs 2007. november 9. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 1 Eredmények Eredmények Chabauty (T.Sz.): On the Diophantine equation
Részletesebben3. előadás Prímtulajdonság, lnko, Euklideszi algoritmus, lánctörtek
3. előadás Prímtulajdonság, lnko, Euklideszi algoritmus, lánctörtek Dr. Kallós Gábor 206 207 Tartalom Prímek és felbonthatatlanok Prímtulajdonság, lnko Kiterjesztett egészek Prímfaktorizáció, a számelmélet
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
Részletesebben1. Komplex szám rendje
1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,
RészletesebbenHHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:
Gábor Miklós HHF0CX 5.7-16. Vegyük úgy, hogy a feleségek akkor vannak a helyükön, ha a saját férjeikkel táncolnak. Ekkor már látszik, hogy azon esetek száma, amikor senki sem táncol a saját férjével, megegyezik
Részletesebben2016, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 2. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? Követelmények,
Részletesebben25. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel
5. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel Axióma: Bizonyítás: olyan állítás, amelynek igazságát bizonyítás nélkül elfogadjuk.
RészletesebbenBevezetés az algebrába az egész számok
Bevezetés az algebrába az egész számok Wettl Ferenc V. 15-09-11 Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V. 15-09-11 1 / 32 Jelölések 1 Egész számok és sorozataik 2 Oszthatóság 3 Közös osztók
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenTanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz
Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz (111 óra, 148 óra, 185 óra) A tanmenetben olyan órafelosztást adunk, amely alkalmazható mind a középszintû képzés (heti 3 vagy heti 4 óra), mind az emelt szintû képzés
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logaritmus
Logaritmus DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak nevezzük. Bármely pozitív
Részletesebben1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 +
. Fourier-soro. Bevezet definíció Enne a fejezetne a célja, hogy egy szerint periodius függvényt felírjun mint trigonometrius függvényeből épzett függvénysorént. Nyilván a cos x a sin x függvénye szerint
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiMat II Végtelen halmazok
DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy
Részletesebben1. Polinomok számelmélete
1. Polinomok számelmélete Oszthatóság, egységek. Emlékeztető Legyen R a C, R, Q, Z egyike. Azt mondjuk, hogy (1) a g R[x] polinom osztója f R[x]-nek R[x]-ben, ha létezik olyan h R[x] polinom, hogy f (x)
Részletesebbendr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém, Matematika Tanszék november 3.
Számosságok dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém, Matematika Tanszék 2008. november 3. ### Szamoss1www.tex, 2008.09.28. Ebben a rövid jegyzetben els½osorban a végtelen halmazok méretét, elemeinek
RészletesebbenDr. Klukovits Lajos SZTE Bolyai Intézet. Bolyai Nyári Akadémia július
A számfogalom alakulásának néhány lépése az ókortól a XX. század közepéig. Dr. Klukovits Lajos SZTE Bolyai Intézet Bolyai Nyári Akadémia Szováta 2006. július 6-22. A legtöbb tudományban mindegyik generáció
Részletesebben1. Polinomfüggvények. Állítás Ha f, g C[x] és b C, akkor ( f + g) (b) = f (b) + g (b) és ( f g) (b) = f (b)g (b).
1. Polinomfüggvények Behelyettesés polinomba. Definíció Legyen b komplex szám. Az f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n polinom b helyen felvett helyettesítési értéke f (b) = a 0 + a 1 b + a 2 b
RészletesebbenEgész pontokról racionálisan
Egész pontokról racionálisan Tengely Szabolcs 2008. április 16. Intézeti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 1 Algebrai görbék Algebrai görbék Legyen f Q[X, Y ], C(R) = {(x, y) R 2 : f(x, y) = 0}. génusz
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László
Részletesebben1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
Részletesebben1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1
numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egész számok H406 2017-09-04,06,08,11 Wettl Ferenc
RészletesebbenMatematika. Specializáció. 11 12. évfolyam
Matematika Specializáció 11 12. évfolyam Ez a szakasz az eddigi matematikatanulás 12 évének szintézisét adja. Egyben kiteljesíti a kapcsolatokat a többi tantárggyal, a mindennapi élet matematikaigényes
Részletesebben2018, Diszkre t matematika. 10. elo ada s
Diszkre t matematika 10. elo ada s MA RTON Gyo ngyve r mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tansze k Marosva sa rhely, Roma nia 2018, o szi fe le v MA RTON Gyo ngyve r 2018,
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
Számelméleti alapfogalma A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelme léteze q és r természetes számo, amelyere igaz: a b q r, r b Megevezés: a osztadó b osztó q
RészletesebbenAlgebrai és transzcendens számok
MATEMATIKA Szakköri füzet Algebrai és transzcenens számok Készítette: Klement Anrás 00 SZAKKÖRI FÜZET Algebrai és transzcenens számok Bevezetés A szakköri füzetben áttekintjük a számhalmazokat és új szempont
RészletesebbenMatematika 8. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály I. rész: Algebra Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék I. rész: Algebra................................
RészletesebbenSzámelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla
Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
RészletesebbenA végtelen a matematikában Dr. Németh József egyetemi docens SZTE TTIK Bolyai Intézet.
A végtelen a matematikában Radnóti Gimnázium 203. 04. 23. Dr. Németh József egyetemi docens SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj 2 Pólya György: Ha a tudomány
RészletesebbenALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK
ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával
Részletesebben1. Egyensúlyi pont, stabilitás
lméleti fizia. elméleti összefoglaló. gyensúlyi pont, stabilitás gyensúlyi pontna az olyan pontoat nevezzü, ahol a tömegpont gyorsulása 0. Ha a tömegpont egy ilyen pontban tartózodi, és nincs sebessége,
RészletesebbenÖrök visszatérés Periodikus sorozatok Sorozatok 2. feladatcsomag
Örök visszatérés Periodikus sorozatok Sorozatok 2. feladatcsomag Életkor: Fogalmak, eljárások: 13 16 év szabályfelismerés, szabályalkotás oszthatóság, maradékosztályok racionális és irracionális számok
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
Részletesebben: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!
nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési
RészletesebbenOSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.
Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :
RészletesebbenNevezetes számok a matematikában
Nevezetes számok a matematikában SZAKDOLGOZAT Készítette: Németh Regina Matematika BSc - elemz szakirány Témavezet : Ágoston István, egyetemi docens ELTE TTK, Algebra és Számelmélet Tanszék Eötvös Loránd
RészletesebbenA híres Riemann-sejtés
A híres Riemann-sejtés Szakács Nóra Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Egyetemi Tavasz 205. 04. 8. A Riemann-sejtés története Tartalom A Riemann-sejtés története 2 A n s alakú összegek 3 Komplex számok
RészletesebbenNEVEZETES SZÁMELMÉLETI FÜGGVÉNYEKRŐL
NEVEZETES SZÁMELMÉLETI FÜGGVÉNYEKRŐL SZAKDOLGOZAT Készítette: Farkas Mariann Matematika BSc Tanári szakirány Témavezető: Pappné Dr. Kovács Katalin, egyetemi docens Algebra és Számelmélet Tanszék Eötvös
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
RészletesebbenIrodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0
Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon
RészletesebbenRacionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q
Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N
RészletesebbenOsztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév
9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 00/009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.
RészletesebbenLiouville tétele és az elemi függvények. Laczkovich Miklós szeptember 18.
Liouville tétele és az elemi függvények integrálása Laczkovich Miklós 2018. szeptember 18. Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. A racionális törtfüggvények integrálja 6 3. Az algebrai függvények integrálja
RészletesebbenA PiFast program használata. Nagy Lajos
A PiFast program használata Nagy Lajos Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. Bináris kimenet létrehozása. 3 2.1. Beépített konstans esete.............................. 3 2.2. Felhasználói konstans esete............................
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenMechanizmusok vegyes dinamikájának elemzése
echanzmuso vegyes dnamáána elemzése ntonya Csaba ranslvana Egyetem, nyagsmeret Kar, Brassó. Bevezetés Komple mechanzmuso nemata és dnama mozgásvszonyana elemzése nélülözhetetlen a termétervezés első szaaszaban.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenTÖRTénet EGÉSZ pontokról
TÖRTénet EGÉSZ pontokról Tengely Szabolcs 2008. március 21. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 1 Algebrai Algebrai Elliptikus Legyen f É [X, Y ], C(R) = {(x, y) R 2 : f(x, y) = 0}. génusz
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben9. tétel: Elsı- és másodfokú egyenlıtlenségek, pozitív számok nevezetes közepei, és ezek felhasználása szélsıérték-feladatok megoldásában
9. tétel: Elsı- és másodfoú egyelıtlesége, pozitív számo evezetes özepei, és eze felhaszálása szélsıérté-feladato megoldásáa Egyelıtleség: Két relációsjellel összeapcsolt ifejezés vagy függvéy. Az egyelıtleséget
RészletesebbenDrótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1
Drótos G.: Fejezete az elméleti mechaniából 4. rész 4. Kis rezgése 4.. gyensúlyi pont, stabilitás gyensúlyi pontna az olyan r pontoat nevezzü valamely oordináta-rendszerben, ahol a vizsgált tömegpont gyorsulása
RészletesebbenDr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007)
A Fibonacci-sorozat általános tagjára vontozó éplet máséppen is levezethető A 149 Feladatbeli eljárás alalmas az x n+1 ax n + bx, n 1 másodrendű állandó együtthatós lineáris reurzióal adott sorozato n-edi
Részletesebben4. Sorozatok. 2. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 100 =
4. Sorozatok Megjegyzés: A szakirodalomban használt a sorozat tagjáról, máskor eleméről beszélni. Az alábbiakban mindkét kifejezést használtuk megtartva a feladatok eredeti fogalmazását. I. Feladatok.
RészletesebbenFourier sorok február 19.
Fourier sorok. 1. rész. 2018. február 19. Függvénysor, ismétlés Taylor sor: Speciális függvénysor, melynek tagjai: cf n (x) = cx n, n = 0, 1, 2,... Állítás. Bizonyos feltételekkel minden f előállítható
RészletesebbenA folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2.
Pithagoraszi számhármasok, Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 014. április 1. Definíciók. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha a + b = c. Az x + y = z egyenletet szokás Pithagoraszi egyenletnek nevezni.
RészletesebbenTizenegyedik gyakorlat: Parciális dierenciálegyenletek Dierenciálegyenletek, Földtudomány és Környezettan BSc
Tizenegyedi gyaorlat: Parciális dierenciálegyenlete Dierenciálegyenlete, Földtudomány és Környezettan BSc A parciális dierenciálegyenlete elmélete még a özönséges egyenleteénél is jóval tágabb, így a félévben
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
RészletesebbenKezdődhet-e egy kettőhatvány 2016-tal? Érdekességek az első számjegyek kapcsán
Kezdődhet-e egy kettőhatvány 2016-tal? Érdekességek az első számjegyek kapcsán Besenyei Ádám badam@cs.elte.hu Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Matematikai Intézet Eötvös Loránd Tudományegyetem,
RészletesebbenRSA algoritmus. P(M) = M e mod n. S(C) = C d mod n. A helyesség igazoláshoz szükséges számelméleti háttér. a φ(n) = 1 mod n, a (a 1,a 2,...
RSA algoritmus 1. Vegyünk véletlenszerűen két különböző nagy prímszámot, p-t és q-t. 2. Legyen n = pq. 3. Vegyünk egy olyan kis páratlan e számot, amely relatív prím φ(n) = (p 1)(q 1)-hez. 4. Keressünk
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenOsztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból
Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,
RészletesebbenMATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam
MATEMATIKA tanterv emelt szint 11-12. évfolyam Batthyány Kázmér Gimnázium, 2004. 1 TARTALOM 11.osztály (222 óra)... 3 1. Gondolkodási műveletek (35 óra)... 3 2. Számelmélet, algebra (64 óra)... 3 3. Függvények,
RészletesebbenA SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA
A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA TERMÉSZETES SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 1-5. OSZTÁLY Számok értelmezése 0-tól 10-ig: Véges halmazok számosságaként Mérőszámként Sorszámként Jelzőszámként A számok fogalmának kiterjesztése
Részletesebben(1 pont) A súlypont képlete miatt
Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny, 2007 2008-as tanév MATEMATIKA, III. kategória a gimnáziumok speciális matematikai osztályainak tanulói részére Az első forduló feladatainak megoldásai
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben