IV.FEJEZET KOMPLEX SZÁMOK ÉS ALKALMAZÁSAIK

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "IV.FEJEZET KOMPLEX SZÁMOK ÉS ALKALMAZÁSAIK"

Átírás

1 4 Komplex számo és alalmazásai IVFEJEZET KOMPLEX SZÁMOK ÉS ALKALMAZÁSAIK IV Gyaorlato (9 oldal) Végezd el a övetező műveleteet!,, +, a) ( ) ( ) ( ) ; b) (, ) (, ) ; c) (, ) (, ) ; d) (, ) + (, ) + (, ) ; e) (, ) (, ) + (, ) (, ) ; f) ( a, b) ( a, b) ; g) ( a, b ) ( a, b ) ( c, d ) ( c, d + ) ( a + c, b + d ) ( a + c, b + d ) + + ( a c, b d ) ( a c, b d ) Megoldás a) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, + ) (, 7) ; b) (, ) (, ) (, + ) (, 5) ; c) (, ) (, ) ( ( ), ( ) + ) ( 5, ) ; d) (, ) + (, ) + (, ) (, + ) + (, ) (, ) ; Megjegyzés (, ) + (, ) + (, ) ( +, + ) (, ) e) (, ) (, ) + (, ) (, ) (, ) (, ) (, + ) (, ) (, ) (, ) ; f) ( a, b) ( a, b) ( a a b ( b), a ( b) + b a) ( a ) + b, ; g) ( a, b ) ( a, b ) ( c, d ) ( c, d + ) ( a + c, b + d ) ( a + c, b + d ) + + ( a c, b d) ( a c, b d) ( a, b) ( a, b) ( c, d) ( c, d + ) ( (, ) (, ))((, ) (, )) ((, ) (, ))((, ) (, a b + c d a b + c d + a b c d a b c d) ) ( a, b)( a, b) ( c, d)( c, d + ) [( a, b)( a, b) + ( a, b)( c, d) + ( c, d)( a, b) + + ( c, d)( c, d) + ( a, b)( a, b) ( a, b)( c, d) ( c, d)( a, b) + ( c, d)( c, d) ] + + +

2 Komplex számo és alalmazásai 4 ( a, b)( a, b) ( c, d)( c, d ) ( a, b)( a, b) ( c, d)( c, d + + ) (, ) Bizoyítsd be, hogy ha ( a, b) (, ), aor létezi olya ( c, d), hogy ( a, b) ( c, d) ( c, d) ( a, b) (, ) Megoldás Tudju, hogy ( c, d) eseté ( a, b)( c, d) ( c, d)( a, b) ( ac bd, ad + bc) Így a bizoyítadó tulajdoság evivales azzal, hogy ab,, a és b egyszerre em ulla, azaz a + b, cd, úgy, hogy ac bd és ad + bc Tehát igazoli ell, hogy az ac bd egyeletredszere (c és d ismeretlee) bc + ad a va megoldása, ha a + b A redszer megoldása c és a + b b d, amelye léteze, mert a + b a + b Megjegyzés Ugyaezt az eredméyt felírhattu vola az g alapjá is Határozd meg az ( a, b) omplex számot, amelyre a) ( a, b ) + (, 5) (, ); b) ( a, b) (, ) (, ) Megoldás a) ( a, b ) + (, 5) (, ) ( a +, b 5) (, ) a + és b 5, tehát a és b 7, vagyis ( a, b ) (, 7) (Tehát ( a, b) (, ) (, 5) ) b) ( a, b ) (, ) (, ) ( a, b a + b ) (, ) Tehát ( a, b ) (, ) a b a a + b b + + Beszorozzu a feladatbeli egyeletet, 5 5 -el és apju, hogy ( a, b) (, ) (, ), 5 5, ahoa ( a, b) (, ) Megjegyzés A feladat alapjá (, ), (, )

3 44 Komplex számo és alalmazásai 4 Bizoyítsd be, hogy (, ) + (, ) (, ) Va-e más megoldása -be az x + egyelete? Megoldás (, ) + (, ) (, ) (, ) + (, ) (, ) + (, ) (, ) x ( a, b) ab, (, ) Legye, és tudju, hogy A feladatbeli egyelet a övetezőéppe alaul: ( a, b ) + (,) (, ) ( a, b) ( a, b) + (, ) (, ) ( a b,ab) + (,) (,) ( a b +, ab) (, ) a b + () és ab () Mivel ab, ab a vagy b Ha a, aor az () b b { (, ), (, ) } összefüggésből ±, tehát x Azoal elleőrizhető, hogy eze valóba megoldáso Ha b, aor az () összefüggésből a +, ee pedig ics valós megoldása Tehát az x + egyelete -be a (, ) -e ívül egyetle más megoldása va, az x (, ) omplex szám 5 Ha ( a, b) (, ),,,, Számítsd i ( ab, ) ( ab, ) ( ab, ) ( ab, ) -t! Megoldás Ha ( a, b ) (, ), aor (, ) (, ), (, ) (, ), 4 (, ) ( 4, ) ( 4) (, ) Tudju, hogy (, ) (, ), * (( a, b ) (,), ab, ), tehát tetszőleges eseté 4 4 (, ) (, ) ( 4) (, ) (( 4), ) ; 4 4, +,, 4,, 4, 4, 4 ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ) 4 4 (, ) (, ) (, ) ( 4) (, ) (, ) ( 4) (, ), ( 4) 4 4 (, ) + (, ) (, ) ( 4) (, )(, ) ( 4 ), ( 4) ( ) ( ) + ; Az előbbi eredméyeet a övetező alaba is írhatju:

4 Komplex számo és alalmazásai 45 (( 4 ), ), ha 4, N (( 4 ), ( 4 ) ), ha 4 +, (, ) (, ( 4 ) ), ha 4 +, ( ( 4 ), ( 4 ) ), ha 4 +, Ha ( a, b),, aor,,,, ( ), Aárcsa az előbb tetszőleges eseté,, (, ) (, ) ; +,,, (, ),, ; +,,, (, ),, Tehát,, ha +, ;, (, ), ha, ;,, ha +, Ha ( a, b),, aor, (, ),,, 4,,,, tehát ) és ( ) ( ) ( 4 4 eseté,, ( ) (, ) (( ) ), ; 4+ 4,,, ( ), ; ,,, ( ) (, ) (, ( ) ) ;

5 46 Komplex számo és alalmazásai 4+ 4,, +, ( ), ( ) ( ),, ha 4, ; ( ),, ha 4, + ; Tehát, + (, ( ) ), ha 4 +, ; + ( ),, ha 4 +, IV Gyaorlato (4 oldal) Végezd el az alábbi műveleteet! a) ( + i) ; b) ( + i) ( i ); c) ( + i) + ( + i)( i) ; 4 + i + i d) i + i + i + i ; e) ; f) i i Megoldás a) ( + i) + i + i + i i; b) ( + i) ( -i) i + i i; c) ( + i) + ( + i)( i) ( + i)( + i) ( + i)( i) 9i d) i + i + i + i i i + ; + i + i ( + i) e) ( + i) ( + i) i; i i f) + i i 4i i ( i) i + i 5 5 5, 4 v, v ; i, 4v +, v ; Bizoyítsd be, hogy i, 4v +, v ; i, 4v +, v Megoldás i i,i,i 4 i és i, tehát eseté ( ) 4 4 i 4 i, i i i i, i i i, i + 4 i i i + i i Bizoyítsd be, hogy + i + i, bármely eseté! Megoldás + i i és i i, tehát i + i i

6 Komplex számo és alalmazásai 47 + i i, ha páratla i ( i) i ( ( ) ) i i + i, ha páros A feladat alapjá, ha páros, aor i ±, tehát i + ( i ), eseté i + 5i 4 Bizoyítsd be, hogy i 7+ 6i 9 Megoldás + 7i 9 i 64 8i ( 9 + 7i) i, 9 i i 7 6i 7 85 ( 5i) i + i 7 + 6i i 4 A fetie alapjá + ( i) ( 4i) 7 9 i i, 4 + 5i 4 ( i) ( 4i) i 4i i + 5i Tehát i 7 4i 4 9 i 7+ 6i 5 Bizoyítsd be, hogy a z + i omplex szám megoldása a z z + 8z + egyelete! Megoldás ( i) ( + i) + 8 ( + i) + ( + i) ( + i ) i + ( + 6i 9) i i 4i i IV Gyaorlato és feladato (69 oldal) Határozd meg az x és y valós számoat az alábbi egyelőségeből! a) ( x + i) ( i) 4x iy ; b) ( x + y) + ( y + x) i 5x + 5i x y c) + i ; d) ( 5+ i) x ( + 5i) y i i + i Megoldás a) ( x + i) ( i) 4x iy x + + ( 6 x) i 4x iy x + 4x x 6 x y y x b) ( ) i x + y 5 x + y + ( y + x) i 5x + 5 x y + x 5 y x ( y ) ( x c) + i )( + i) ( y )( i) + i i + i x + xi i y yi + i x + y 5 x y + + i + i i *

7 48 Komplex számo és alalmazásai x + y 5 x + y 7 x x y + x y 7 y 7 d) ( 5+ i) x ( + 5i) y i 5x + xi y 5yi i i 5x y 5x y + ( x 5y) i x x 5y y Végezd el a övetező műveleteet! + i i a) ( i) ( + i) + ( i)( + i) ; b) + i + i c) ( + i) + ( + i) + ( + ) 4 + i + i i ; d) + i i Megoldás a) ( i)( + i) + ( i)( + i) + i 6i i i Megjegyzés A feladatot a övetezőéppe is megoldhatju: ( i)( + i) ( i)( + i ) ( i)( + i) + ( i)( + i) Re[ ( + i)( i) ] ( + 4) 4 + i i ( + i)( + i) ( i)( i) b) + + i + i + i + i + i i 4 5 Megjegyzés Ismét godolodhatu úgy is, hogy + i i + i + i 4 Re + i Re + i + + i i i i + i 5 ( ) ( ) 4 ( ) ( ( ) ( ) ) c) ( + i) + + i + + i + i + + i + + i i ( + i + i) i( i + ) 6+ 4i + i + i ( + i)( + i) ( + i)( + i) ( + i)( + 4i + + i) d) + + i i 4 4 ( + i)( 5+ 5i) 5 ( + i) 5 i 5i i Számítsd i z -t, ha z + 6i! Megoldás z ( ) ( ) 7 5i 7 5i 7 5i + 6i + 6i + 6i

8 Komplex számo és alalmazásai 49 4 Határozd meg a z omplex számot az alábbi egyelőségeből! a) z 7 + 6i; b) z 8+ 6i; c) z + 4i z + 5 ; d) z i z + i ; e) ( z) + z + ; f) z + z 5+ i; g) z + z + 8i ; h) z + z + +i ; i) z z + 8z + ; j) z + i Megoldás a) z x +yi, xy,, tehát ( x + yi) 7 + 6i x y 7 x y i x 6 x y + xyi vagy xy 6 xy 8 y x 6 Tehát a megoldáso z 6+ i és z 6 i y z Megjegyzés z 7 + 6i z 9 ( + 4i) + 4i elegedő megoldai a z + 4i egyeletet és ie z z b) z x + yi, x, y Ebből övetezi, hogy z ( x + iy) i x y + xyi 8+ 6i x, x z i, z i y + y c) I módszer ( 4i) 6 6 6i 4i ± 6i z, z 5i és z i II módszer z + 4i z + 5 ( z + i) + 9 z + i ± i z 5i és z i d) I módszer 9+ 4i 4i u és u i, u x 4 x y x x iy xy y x x 4 x x, ± ( i) y y y x i ± ( i) Ebből övetezi, hogy z, z i + és z i i II módszer z iz + i z i ( z i) 4i 4 z i ± ( i) z + i és z + i

9 5 Komplex számo és alalmazásai e) z x + yi ( x yi) + ( x + yi) + x y xyi + x + yi + x y + x + y( x ) y vagy x Ha y, aor x + x + ( x + ) x z Ha x, aor y 4 y ± z + i vagy z i Megjegyzés z + z Rez, tehát a z + z + egyelet evivales a ( z ) 4Rez egyelettel Ebből övetezi, hogy z ± i Rez, ha Re z és z ± Rez, ha Re z < Az első esetbe Re z és a másodiba ± Re z Re z, tehát Re z {, } Visszahelyettesítve ugyaazohoz a megoldásohoz jutu f) z x + iy, x, y, tehát x y + xy + x iy 5+ i x y + x 5 x 5 + x y + / 4 4 xy y ( x ) y ( x ) + 4( x ) 4y 7 (y, mert y ( x ) ) x y y 7 4y + 7y y 9, y () y y Észrevehető, hogy y megoldása a feti egyelete Ebbe az esetbe x Tehát az eredeti egyelet egy megoldása z + i Ha az () egyeletet végigosztju ( y ) -el, aor apju, hogy 4y + 4y + y + 9 Ezt az egyeletet Cardao módszerével oldju meg Az y t helyettesítéssel a övetező egyelethez jutu t t 4 t t 4 t t t 4 8t 4 4t 4 t + + 4t + + t t + t + / 54 () 7 6t + 6t + 4 ( 6t) + 77 ( 6t) + 4 Ismert az ( u + v) u + v + uv( u + v) ( u + v) uv( u + v) u v azoosság Ha az egyelet megoldását u + v 6t alaba eressü, aor

10 Komplex számo és alalmazásai 5 u v 59 és u + v 4 ell legye Tehát u és v az r + 4r 59 egyelet megoldásai, r, 6 ± 7 87, tehát u és v u + v Ebből övetezi, hogy t a () egyelet valós megoldása Ez alapjá 6 y Tehát megoldása az () egyelete és így 6 y x y z ( ) ( ) i 6 Imz 8 g) z + z + 8i Im z 4 Ha Re z x, z + Rez aor z x + 4i és z x + 4i x x + 7 Tehát x x x x x + 7 x x x és x R x x + 7 >, tehát x x + 7 4x 5x ± 8 x 5x + 5 x, x > és x 4 Ebből övetezi, hogy z 4+ 4i h) z + z + +i Im z és z + Rez + Ha Re z x, aor z x i, és z + x + x +5, tehát x + x + 5 x + x + x, x + x + 5>, x, eze szerit x + x + 5 x + 4x + 4 x z i i) Az egyelete z megoldása Elosztva az egyelet midét oldalát (z + )- gyel, a z z + egyelethez jutu Ee megoldásai z ± i y / j) z x x x x x + iy + yi xy y i + i xy y / ( ),

11 5 Komplex számo és alalmazásai Ez utóbbi egy homogé egyeletredszer, x xy 6xy+ y x 6x y xy + y Mivel y em megoldás, eloszthatju az egyeletet y -el Az x t y x x x 6 + y y y () helyettesítéssel a t 6t t + egyeletet apju, amelye x t megoldása y x y x x x x x 8 4 x y, tehát z + i Ismerve t értéét meghatározhatju az () egyelet t és t gyöeit is, amelyeből megapju z -t illetve z -t Viszot tudju, hogy ha z a z a ( * a ) egyelet gyöe, aor z εz illetve z ε z a mási ét gyö ( ε + i - harmadredű egységgyö), tehát z ( i) i + i + + +, z ( i) i i Így a megoldáshalmaz M + i, + i, + i 5 Határozd meg az m paraméter értéeit úgy, hogy a z + ( + i) z z ( m + i ) egyelete legye legalább egy valós gyöe Megoldás Ha x az egyelet valós gyöe, aor x + x x m + ( x ) i x + x x m x x + x x m x ± m ( ) ( ) + ( ) 5 és m + Tehát az m {, 5} eseté va legalább egy valós gyö 6 Oldd meg az z z + egyelőtleséget a omplex számo halmazába! Ábrázold a megoldáshalmazt és általáosítsd a feladatot és az eredméyt tetszőleges másodfoú, valós együtthatós egyelőtleségre!

12 Komplex számo és alalmazásai 5 Megoldás Ahhoz, hogy értelme legye a z z + egyelőtlesége, elsősorba a z z + ifejezés értée valós ell legye Ebből övetezi, hogy z z + z z + z z z z z z z z ( z z)( z + z) ( z z) z z vagy z + z Ha z z, aor z Ebbe az esetbe z z + ( z )( z ) z, Ha z + z Rez Re z és y Im z tetszőleges, tehát z +yi Ebbe az esetbe a ( z ) ( z ) egyelőtleség evivales az + yi + yi egyelőtleséggel, ahoa a y 4 egyelőtleséget apju Ez y eseté igaz Tehát M + yi y, Megjegyzés Általába az az + bz + c egyelőtleség megoldáshalmaza az x, x itervallum és az itervallum felező merőlegese, ha abc,, és b 4ac 7 Oldd meg az i z egyelőtleséget a omplex számo halmazába! Megoldás i z aor értelmezett, ha i z Re z z yi, y i z i yi y y Ez alapjá { y y, y } M i 8 Hozd egyszerűbb alara az a + bi a bi E ( a + i) ( a i) a bi a + bi és E ( a + i) ( a ifejezéseet! i) a + bi a bi a bi a bi Megoldás E + + a bi a + bi a bi a + bi a + bi Tudju, hogy z z iimz és z + z Rez z eseté Ha z, a bi a bi aor z és ie E ( z z)( z + z) 4iImz Rez a + bi a + bi ( a + bi) a b ab ab z + i, tehát Im z a bi a + b a + b a + b a + b, ( ) Re z a b, és 8ab ( a b ) + a b E i ( a + b )

13 54 Komplex számo és alalmazásai Az E iszámolása Ha z a +i, aor E ( )( ) z z z z z + z ( z + z) zz ( Rez) z z z ( z z)( z + z) z + z Rez Mivel Re z a és z a + 4a a a, övetezi, hogy E a a Megjegyzés A feti számításo az a, b esetébe érvéyese, de ha a, b, aor számolással ugyaezehez az eredméyehez jutu 9 Határozd meg a sí azo ( xy, ) potjait, amelyere a) x i y 4 és y 4 ; b) x + y + i x + y, x + y és x + y Mi törtéi ha lemodu az egyelőtleségeről, amelye a gyö alatti ifejezése em egatív voltát biztosítjá? Megoldás a) x i y 4, y 4 x + 4+ y 4 y x Tehát az ( xy), poto az x i y 4 y x egyeletű parabola azo potjai, amelyere y 4 x 4 x 6 6, 6 x, tehát (, x ) b) x + y + i x + y x + y, tehát az { 6, 6 } M x R x ( xy, ) x + y + x + y x + y poto az x + y egyeese vaa Ugyaaor x + y és y + x is ell teljesüljö y x x + x {( ) } x és ( x) + x x Tehát M x, x x, Ha az a) potba lemodu az egyelőtleségeről, amely a gyö alatti ifejezés em egatív voltát biztosítjá, aor y < 4 -re y 4 i 4 y, tehát az x y egyelőséghez jutu Ez potosa aor teljesül, ha ( x y ) 4( 4 y) + Tehát az y < 4 félsíba egy görbéhez jutu Ee a görbée a hozzávetőleges épe a IV ábrá látható A b) pot esetébe, ha midét gyö alatti ifejezés egatív, em jutu megoldáshoz, míg ha csa az egyi egatív, aor a ( x + y ) + 4( x + y) illetve ( x + y ) + 4( x + y) egyeletehez jutu E ét egyelete megfelelő görbéet a IV ábrá láthatju

14 Komplex számo és alalmazásai 55 IV ábra y y IV ábra x O x Bizoyítsd be a övetező azoosságoat: a) ( zz z z z )( + z ) b) ; z + z + z + z + z + z z + z + z + z + z + z ; c) z ( z z z z z z z z z z z ) Értelmezd geometriailag is a bizoyított azoosságoat! Megoldás a) + z z ( )( ) + ( z z)( z z) ( )( ) + ( z z)( z z) zz zz zz b) ( )( ) + z z + z + z + z + z z + z + z + z + z + z ( z + z)( z + z) + ( z + z)( z + z) + ( z + z)( z + z) zz + z + z + z + z z + z z + z z + z z + z z + z z z + z + z + + z ( z + z + z ) + z ( z + z + z ) + z ( z + z + z ) z + z + z + ( z + z + z )( z + z + z ) z + z + z + z + z + z Geometriai értelmezés Ha OBDA, OBFC és OCEA paralelogrammá, valamit G egy olya pot, amelyre a BDGF, GFCE és GDAE égyszöge is paralelogrammá, aor OD + OE + OF OA + OB + OC + OG Ha az előbbi tulajdoság ábráját térbeli ábraét ézzü, a paralelepipedo övetező tulajdoságát apju Az egy csúcsból iiduló lapátló égyzetösszege egyelő az +

15 56 Komplex számo és alalmazásai illető csúcsból iiduló éle égyzetösszegée és a csúcshoz tartozó testátló égyzetée F G összegével B D IV ábra C E O A c) z z + z z + z z + z + z + z ( z z)( z z) + ( z z)( z z) + ( z z)( z z) + + ( z + z + z)( z + z + z) zz zz zz + zz zz zz zz + ( ) z + z + z Geometriai értelmezés Ha G-vel jelöljü az A( z ), Bz ( ) és C( z ) poto által meghatározott háromszög súlypotját, és M egy tetszőleges pot a síba, aor AB + BC + CA MA + MB + MC MG + Bizoyítsd be a övetező feltételes azoosságoat! a) ha z zz, aor z + z ( z + z) z + ( z + z) +z ; b) ha a, aor z a az ; c) ha z z z és z + z + z, aor z, z és z egy egyelő oldalú háromszög csúcsaia affixumai; d) ha z z z, z + z + z és z + z + z, aor z + z + z ; e) ha z z z, aor z + z + z zz z + z z + z z + z + z + z Megoldás Igazolju, hogy ( ) ( ) ( ) ( ) z z z z z z z z z

16 Komplex számo és alalmazásai 57 ( z + z) z + ( z + z) + z ( z + z) z + ( z + z) + z + ( z z) z + ( z z) z ( z z) z ( z z) z ( z + z) + z + + z + z + zz z ( zz ) ( z + z) z z ( z + z) + ( zz ) ( z + z) z + z ( z + z) + z + z zz ( z + z ) + z + ( z z)( z z) z + z zz zz + z z + z + z Tehát ( z + z ) ( z + z) z + ( z + z) + z Ebből övetezi, hogy z + z ( z + z) z + ( z + z) +z, mert midettő pozitív b) az a az a ( az ) a a az a a z a z z a c) módszer Ábrázolju a omplex számoa megfelelő potoat a síba A IV 4 ábra jelölései alapjá a C pot a D pota O-ra voatozó szimmetriusa Így az OADB rombuszba az OD átló hossza megegyezi az oldala hosszával Ebből övetezi, hogy az OAD és OBD háromszöge egyelő oldalúa, tehát az AOB D szög mértée Hasoló meggodolás alapjá az AOC és BOC szöge mértée is, tehát az ABC háromszög egyelő O oldalú C B módszer z z z α, α, α,π) úgy, hogy z cos α + isi α, z cos α + isi α, z cos α + i si α Feltételezzü, hogy α α (em változtat a feladat általáosságá) z + z + z z ( z + ) z + z z z A IV 4 ábra

17 58 Komplex számo és alalmazásai z + z ( cosα + cosα ) + ( siα + siα ) cos α + cos α + cos αcos α + si α + si α + si α si α cos α + si α + cos α + si α + ( cos αcos α + si αsi α) + cos( α α) Tehát cos( α α), α, α,π) és α α Ebből övetezi, hogy π 4π α α {, } Ha α α π, aor z z, ahol ε π π ε cos + i si harmadredű egységgyö és z ( z + z ) ( + ε) z ε (mert + ε+ ε ) Eor z z z zε z ε ε ; z z z z z + ε ; ε ε ε ε ε ε z z z z z ε ε ε ε ε Tehát z z z z z z z, z, z egy egyelő oldalú háromszög 4π csúcsai Hasolóa tárgyalható az α α eset is d) ( z + z + z ) z + z + z + ( z z + z z + z z ), tehát z z + z + z z z + z z + z z () Másrészt zz ( zz )( zz ) z + z + z ( zz ), tehát z + z + z zz () zzz Az előbbi ét összefüggés alapjá z + z + z e) z + z + z ( z + z + z)( z + z + z) zz z z z zz zz zz zz zz zz Továbbá zz zz zz ( zz zz zz)( zz zz zz) zz zz z z z z zz z z z z + zz zz zz z z + z zz + z zz + z zz + + z z + z zz + z zz + z zz + z z Tehát z z z zz zz zz z + z + z zz

18 Komplex számo és alalmazásai 59 Bizoyítsd be a övetező egyelőtleségeet: a) z z z + z z + z ; b) ( )( ) c) ( + z )( + z ); z z z z ; d) z + z + z + z + z + z z + z + z + z + z + z (Hlawa egyelőtleség) Megoldás a) A feladatbeli egyelőtlesége igazolásához elegedő bizoyítai, hogy ( z z ) z z ( z z ) + + () ( ) z z z + z z z z + z ( z + z )( z + z ) z z + z z + z z + z z z + z + z z + z z ( ) z + z z + z + z z Így () z z zz z z zz z z zz 4 z z ( zz )( zz ) 4 z z ) ( zz) + ( zz) zz 4zzzz ( zz zz (mert zz zz ) ( iimzz) 4( Imzz) Az utóbbi egyelőtleség igaz, tehát () is igaz és így z z z + z z + z Cz ( + z) Az ( ) Geometriai értelmezés A IV 5 ábra jelölései alapjá, az OAC háromszögbe felírju a háromszög egyelőtleséget OA AC OC OA + AC, tehát z z z + z z + z O Bz ( ) b) I módszer A feladatbeli egyelőtleség evivalese átalaítható: ( zz)( zz) ( zz)( zz) IV 5 ábra zz zz zz zz zz zz zz zz zz z ( z z ) z ( z z ) ( z z )( z z ) z Ez utóbbi egyelőtleség igaz, tehát ( )( ) II módszer ( )( ) z z z z z z z z z + z z z z + z z

19 6 Komplex számo és alalmazásai ( ) ( ) zz zz zz c) I módszer A IV5 feladat alapjá ( )( ) + z + z + z z + z z + z z + z z + z z II módszer ( )( ) + z + z + z + z + z z + z z + z z ( ) ( ) Itt felhaszáltu, hogy a + b ab, ab,, z + z z + z és z z d) Ha az igazoladó egyelőtleség midét oldalá szereplő ifejezést égyzetre emeljü, a övetező, az eredetivel evivales egyelőtleséghez jutu: z + z + z + z + z + z + ( ) + z + z z + z + z + z z + z + z + z z + z z + z + z + z + z + z + + ( z z + z z + z z ) + ( ) + z z + z + z + z z + z + z + z z + z + z () Tehát () z + z z + z + z + z z + z + z + z z + z z z + z z + z z + z z + z + z + z z + z + z + z z + z + z z z + z z + z z + z + z z + z z + z z + z + z z + z z + z z + z zz + z + z + z Ez utóbbi egyelőtleség pedig igaz, mert zz + z zz + z, O Cz ( ) Bz ( ) F Az ( ) zz + z zz + z, zz + z zz + z Tehát z + z + z + z + z + z z + z + z + z + z + z Geometriai bizoyítás A IV 6 ábra jelölései alapjá OG + EB OE + BG és E G OB + OA OD, tehát OA + OB + EB + OG OD + OE + BG () IV 6 ábra D Mive OA z, OB z, EB z, l OG z + z + z, OD z + z, OE z + z BG OF z + z, () éppe a bizoyítadó egyelőtleség és

20 Komplex számo és alalmazásai 6 Megjegyzés Igazolható a övetező általáosabb egyelőtlesége is: ( ) z + z zi + i< i C z z + zi + + z i i < < i Az első egyelőtleséget 964-be DD Adamovič, míg a másodiat 96-ba D Ž Djoović özölte Vizsgáld meg az alábbi függvéye ijetivitását és szürjetivitását: a) :, f () z Re z + ω Im z, ha ω \ ; f ω ω b) f :, f ( z) z + z z Ha valamelyi bijetív függvéy, számítsd i az iverzét Lehet-e valamelyi függvéy egyelő a saját iverzével? Me goldás a) Legye ω a + bi, ab,, b Vizsgálju az ijetivitást: z x + yi, z x + y i C ( x, yx,, y ) f () z f ( z ) x + y( a + bi) x + y ( a + bi) ω ω by by x + ay x + ay x + ay + byi x + ay + by i y y és b y y x x Tehát z z f ω ijetív ω \ Vizsgálju a szürjetivitást Legye u + iv A érdés az, hogy létezi-e x + yi úgy, hogy fω ( x + iy) u + iv x + ay + byi u + iv av x + ay u x u b av v Tehát by v v f u ω + i a + vi, vagyis f y b b ω b szürjetív Mivel f ω ijetív és szürjetív is, övetezi, hogy f ω bijetív, és ay y fω ( x + yi) x + b b i Megvizsgálju, lehet-e fω fω ay y fω fω x + ay + byi x + i xy, b b ay ay x + ay x ay b b ( b + ) a y xy, y y R by by b b b b ± Ha b, aor ( b + ) a a ω a i Ha b, aor a { } {} Tehát ω a i a i eseté f f fz () z+ z b) Vizsgálju az ijetivitást ω ω z j

21 6 Komplex számo és alalmazásai Hasolóa fz ( ) fz ( ) z + z z + z ( z z) z z R z z R Im z Im z fz ( ) f( z) r( cosα+ i siα), r, α R, r z + z r( cosα+ isiα) z r cosα z + r siαi α z r cos z + r siαi α+ α + 4 z r cos z r z cos r si α z + r cosα z r z + r cosα z r Tehát z és z x + r cosαx r egyelet pozitív, valós megoldása Ez utóbbi egyelet megoldásai ( cos α cos α) r + + r cos α + cos α x és x z z Belátható, hogy x és x f ( z) f( z) z + z z + z z z f ijetív Vizsgálju a szürjetivitást z eseté?z úgy, hogy x ( ) z z + z z x + iy, xy,, z x + iy, x, y + iy x + yi + x + y i y x x x x y x ( x x) x + 4 y x 4xx + x Ez 4 6x x + y 4x + y, hogy a megoldáso teljesíti-e az x I x x y x y + i x x y 4xx + 4x x + 4 -be egy másodfoú egyelet, és x, x feltételt 4x + 4x + y x 4x 4x y 6 ez em igaz mide x-re, mert ± +y 4 x 4 x 6 x x + y x > x x 4x 4x + y x II x 4x 4x y 6 az egyelőtleség igaz, x, mert + 4 x a Elleőrizzü, 4x + y x és x 4x + y Ez x + y x x x, x

22 Komplex számo és alalmazásai 6 4x 4x y y + Tehát z x + iy eseté f i + x + i 6 y Ebből övetezi, hogy f szürjetív f ijetív is és szürjetív is, tehát f bijetív és 4x 4x + y y f ( x + iy) + i 6 Megvizsgálju, hogy teljesülhet-e az f f egyelőség f f f () z f () z, z ( z x + iy) 4x + 4x + y y x + yi + x + y + i, xy, 6 4x 4x + y y x x + y és y, xy,, 6 ez pedig em lehetséges 4 Bizoyítsd be, hogy mide -től ülöböző egységyi modulusú omplex szám + λi felírható z alaba, ahol λ λi Megoldás z z cos α+ isi α, α, π ) A z összefüggésből α tg övetezi, hogy α, π) \ { π} Tudju, hogy co s α α és + tg si α α tg α α π (a felírás létezi, mert [, π) \ + { } tg α α α α ( ) ( ) α α α ( + itg )( itg ) ) Ie övetezi, hogy tg + tg i + itg + i tg α z α λ tg + tg i tg 5 Bizoyítsd be, hogy ha z z z, aor z + z a), ha zz ; z + z + z b), ha zz z z Megoldás a) megoldás A z omplex szám potosa aor valós, ha egyelő z z z z a ojugáltjával, tehát elégséges igazoli, hogy + + Másrészt + zz

23 64 Komplex számo és alalmazásai + z z + z + z z z z + z z zz, tehát + z zz z z megoldás z z α, α [,π) úgy, hogy z cos α + isi α és z cos α + i si α zz α + α ( + ) π, Z z ( ) + z cos α + cos α + i si α + si α + cos( α + α) + isi( α + α) α + α α α α + α α α cos cos + i si cos α + α α + α α + α cos + i si cos α α α + α α + α α α cos ( cos + i si ) cos α α α α α α α + α cos ( cos + i si ) cos α + α α + α cos, mert ( ) π + megoldás A feladatot a övetezőéppe is megoldhatju: z ( )( ) + z + z + z + zz Ha z z cos α+ i si α + z + cosα+ isiα α α α α α α cos + i si cos cos cos + i si α α α + α α + α α α 4cos cos ( cos + i si ) cos cos z + z α + α α + α α + α α + α cos ( cos + i si ) cos b) módszer z z z zz zz zz z + z + z zzz + + zz z z z z zz zz zz z + z + z + z z z z módszer Az a) pot harmadi megoldásához hasolóa, ha z cos α + isi α,,, α, α, α ( + ) π, aor

24 Komplex számo és alalmazásai 65 z ( )( )( ) + z + z + z z z z z z + zzz ( + i ) ( + i ) α α α α α α α α α 8 cos cos cos cos si α + α + α α + α + α α + α + α cos cos si α α α 4 cos cos cos α + α + α cos Megjegyzés A feladat általáosítható Ha z z z, zz z, aor i< i< < i zz z i i i A z Bizoyítás z cos α + i si α, α ( + ) π α α α cos cos i si + ( + z)( + z) ( + z ) A z α α α cos cos + i si α cos α cos + z + z 6 Bizoyítsd be, hogy ha z \ és Im, aor z z + z + z + z + z + z megoldás Az egyelőség evivales a z + z z + z ( z z)( zz ) egyelőséggel De z \, tehát z z, és így zz Ez azt jeleti, hogy z + z + z + z + z megoldás Ha Im, aor λ z + z z + z

25 66 Komplex számo és alalmazásai + z + z λ λz + λz ( λ) z + ( + λ) z + λ ( ) λ + λ ( λ ) λ + λ + λ 4 λ + λ + λ 4+ 8λ 4λ Viszot z R, tehát R \ λ ± i ( λ ) λ λ, és z, ( λ) Ie övetezi, hogy ( + λ) + ( λ ) λ z + λ + λ + λ λ + 4 ( λ) 4 8λ + 4λ Mivel z írhatju, hogy z 7 Bizoyítsd be, hogy ha z, z, z és zz a valamit zzz b, aor létezi olya {,, }, hogy z Megoldás Ha létezi {,, } b a úgy, hogy z, aor b és így b z Ha z,,,, aor a zz + zz + +, tehát z z z z z z { } a b + + z z z b a + + z z z b Viszot , tehát mi z z z z z z z a {,, + + } z z z (mert három szám harmoius özéparáyosa a legisebb és a legagyobb szám özött va) {,, } úgy, hogy b z a 8 Bizoyítsd be, hogy ha z, z, z \ pároét ülöböző omplex számo azoos modulusúa, és a z, z, valamit z + z z ifejezése értée valós szám, aor zzz Megoldás A feltétele alapjá létezi olya α, α és α valós szám a (, π) \ { π } itervallumba, amelyre z r (cos α + isi α ), ha,, r

26 Komplex számo és alalmazásai 67 Im( z + z z ) r( si α + r si( α + ), tehát z potosa aor valós α ) szám, ha si α + r si( α + α ) Hasoló godolatmeet alapjá si α + + r si( α + α) si α r si( α és + + α ) Ha az α + α + összeget S-sel jelöljü, az si α + r si( S α ),, tehát si α ( r cos S) + cos α ( r si S), ha, Ha r c oss, α egyeletredszerhez jutu, r si S aor az előbbi egyelőségeből övetezi, hogy tg α,, r coss eseté Ez em lehetséges, mert a z, z és z omplex számo pároét ülöböze, tehát r c oss és r si S Ebből övetezi, hogy r, és így zz z cos S+ isi S 9 Oldd meg az alábbi egyeleteet! a) z z ; b) + xi + i tgα xi, x i tgα c) ( x + i) + ( x i), x d) ( + z) + ( z) z Megoldás a) z z z z vagy z Ha z, aor z Ha z, aor z z z z π π z U cos + isi, Az U mide elemére igaz az egyelőség, tehát az egyelet megoldáshalmaza U { } b) A IV5 feladatba láttu, hogy + i tg α cos α+ i si α Továbbá x, i tgα π π tg :, π π bijetív, tehát létezi β, úgy, hogy x tg β + xi + tgβ i (tulajdoéppe β arctg x ) Ez alapjá cos β +i si β, xi tgβ i tehát a feladatbeli egyelet a övetezőéppe alaítható: ( cos β + isi β) cos α+ isi α cos β + isi β cos α + isi α β α+ π, úgy, hogy β π π, α+ π π α+ π π π π β < < α < π < α α α < π < π π Ebből övetezi, hogy az egyelet megoldáshalmaza M tg α + π α, α π π

27 68 Komplex számo és alalmazásai π c) Legye y arcctg x, y (, π) x ctg y x, ha y tgy π I Ha y x i + ( i) Ez igaz páratla természetes szám eseté Tehát ha páratla, aor x megoldás π II Ha y, aor x tg y ( ) x + i + ( x i) i i + + tgy tg y / ( tgy) ( + tgy) + ( tgy) + itgy itgy + cos π i si π itgy + itgy ( cos y + i si y) cos π + i si π cos y + i si y cos π + i si π y π + π, Z úgy, hogy y, π, ( ) + tehát y π +, < < < + <, Ebből x + ctg, π Ha páratla, aor a feti halmaz ( esetbe) tartalmazza -t is Számítsd i a övetező összegeet! a) S C cos( ) α ; b) S cos α ; π π ( ) c) cos cos cos π S ; d) S C C + C + Megoldás a)!! (! ) C C,! ( )! ( )!( )! ( )! ( ( ) ( ) )! {,, } Ez alapjá S C cos( ) α C cos α Ha S C si α, aor S + i S C ( cos α+ isi α) C ( cos α+ isi α) ( + cos α+ isi α) α α α cos + isi cos

28 Komplex számo és alalmazásai 69 ( ) ( ) cos cos si α α α + i α ( ) α α ( ) α cos cos + i cos si α ( ) α S cos cos b) Ha S si α, aor S + is ( cos α+ isi α) ( cos α+ isi α) + z z potja alapjá S + i S z ( z) z z, ahol z cos α+ isi α Az I 5 9 feladat a) cosα isiα cos( + ) α+ isi ( + ) α ( cos α+ isi α) ( cosα isiα ) ( cosα isiα) ( ) α α α si si i cos cos( ) si( ) ( cos si ) + α+ i + α α+ i α α α α α α α si ( si i cos ) si ( si i cos ) α α π α π si ( cos + i si ) ( cos α+ i si α) ( ) α α π α π si cos + i si α si cos( ) isi ( ) cos si si si ( + α + + α α π α π i α α π α π α cos i si ) ( + ) α + π ( + ) α+ π α cos + i si si α si ( ) Tehát α+ π + α + π S cos cos α si α si A feti számításo csa a z esetbe, azaz α π esetbe érvéyese Ha ( + ) α π, aor S

29 7 Komplex számo és alalmazásai c) S egy sajátos esete az S( α) cos α+ cos α+ + cos( ) α összege Legye S ( α) siα Ha z cos α+ isi α, z ( α π, ), z aor S( α) + i S ( α) ( cosα + isiα) z z z cos( ) α isi( ) α ( cos α+ i si α) cosα i siα ( + ) α ( ) α π ( ) α si π cos + i si ( cos α+ i si α) α α π α π si ( cos + i si ) ( + ) α ( ) α α si si cos α α α cos + i si si S ( α) α si π π,, ( ) π π ( ) π π si cos si cos π S S π π si si Megjegyzés A feladat megoldható omplex számo haszálata élül is Írju fel az összeg tagjait fordított sorredbe, majd adju össze a oszlopoét a tagoat a melléelt diagram szerit π π ( ) S cos cos cos π ( ) π ( ) π π S cos + cos + + cos π ( ) π π S cos cos π cos cos π + + π π cos cos S d) Írju fel Newto biomiális épletével az ( ) +, ( ), ( + i), ( i) ifejtéseet ( + ) C + C + C + C + C + C + C ( ) C C C C C C C ( i) C Ci C Ci C Ci C ( i) C Ci C Ci C Ci C

30 Komplex számo és alalmazásai Ebből övetezi, hogy + + i + i 4 C + C + C + ( ) ( ) ( ) π π Ugyaaor ( + i) π π cos + isi cos + isi és π π ( i) cos isi π π cos si 4 4 i 4 4, tehát 4 8 π 4 ( C + C + C + ) + cos π C + C + C + + cos 4 Bizoyítsd be, hogy ( ) ( ) 4 5 a) C + C + C C + C ; π b) C C C C si Megoldás a) 4 ( ) 4 + i C + C i C C i + C + ( C + C + ) Re( + i) és 5 ( C C C ) Im( i) Ebből a ét összefüggésből övetezi, hogy 4 5 ( ) ( ) ( ) C + C + C C + C + i + i b) Newto biomiális épletét haszálju ( + i) C ( ) i C + C i + C + i + C i Im ( + i) ( C C + C C + ) C + C i C C i + C + C i C C i + Im + i 5 7 C C + C C + Másrészt ( + π π i) cos isi π π + cos + isi Im ( + π 5 7 π i) si C C + C C + si a) Bizoyítsd be, hogy ha z, z,, z az egység -ed redű gyöei, aor z z ( z + ) ( ) b) Mi az előbbi egyelőség geometriai jeletése? c) Bizoyítsd be, hogy ha AA A egy szabályos -szög és M egy mozgó pot az AA A -be írt örö, aor MA ostas

31 A A A 7 Komplex számo és alalmazásai Megoldás a) z z ( z z )( z z ) ( zz zz z z + z z ) ( z z zz zz) ( z ) z z z z ( z ), z,, és z, mivel > mert b) Ha AA A egy szabályos szög az egységsugarú örö és M egy tetszőleges pot a síba, aor sugara r, aor MA MO + r MA ( MO ( ) +) Általába, ha a soszög öré írt ör Bizoyítás Legye O a oordiátaredszer özéppotja és ( OA ( Ox A csúcso affixumai redre A π π cos + isi,, π π A cos + isi,, A ( cos π + isi π) Ha M affixuma a z omplex szám, aor MA z z és MO alapjá MA ( MO +) (lásd a IV 7 ábrát) z Az a) pot c) Legye O a soszög és egybe a oordiátaredszer özéppotja, ( az Ox tegely, M affixuma z és A affixuma z,, Mivel A A szabályos, övetezi, hogy z R ε,,, ahol egységgyöö IV 7 ábra M A ε π π cos + i si az -ed redű IV 8 ábra A A O A O A A - A fetie alapjá MA ( z z z z zz zz) A - + z r z z z z z r ( ) ( ), + +

32 Komplex számo és alalmazásai 7 mert z (-ed redű egységgyöö, és egy szabályos soszög affixumai) z O, tehát MA álladó álladó, mert M rajta va a beírt örö, amelye özéppotja szité Megjegyzés Tulajdoéppe em szüséges, hogy M a beírt örö legye, haem csa az, hogy egy olya örö mozogjo, melye özéppotja O Bizoyítsd be, hogy azabcd és ABC D paralelogrammá megfelelő csúcsait összeötő szaaszo felezőpotjai is egy paralelogramma csúcspotjai Megoldás Jelöljü az ábécé megfelelő isbetűivel a poto affixumait egy tetszőleges oordiátaredszerbe ABCD paralelogramma b a c d ABC D paralelogramma b a c d a + a b + b M, N, P, Q az AA, BB, CC, DD felezőpotjai m,, c + c d + d p, q, tehát a b + a b d c + d c m és q p Mivel b a c d és b c c d, az előbbie alapjá m q p, tehát MNPQ paralelogramma IV 9 ábra A M A B N D B Q D C P C 4 Bizoyítsd be, hogy ha az ABC oldalaira (ifele) egymással hasoló ABM, BCN és CA P egyelőszárú háromszögeet szeresztü, aor az MNP és ABC súlypotjai egybeese! Megoldás Jelöljü a megfelelő isbetűel a poto affixumait Így a ét súlypot affixuma a + b + c m + + p gabc és g MNP

33 74 Komplex számo és alalmazásai a m b c p Továbbá MAB ~ NBC ~ PCA z b m c a p IV ábra Az P a m z( b m), b z( c ) és M A c p z( a p) egyelősége összeadásából övetezi, hogy ( a + b + c ( m + + p) )( z), tehát a + b + c m + + p, mert z Eszerit gabc g MNP, vagyis GABC G MNP B C Megjegyzés A bizoyítás öyebbe átteithető (és általáosítható), ha a hasoló háromszögeet egy XYZ, velü hasoló N háromszöghöz viszoyítju A taöyv 4 8 tétele alapjá az ABM, BCN és CAP háromszöge potosa aor hasoló az XYZ háromszöghöz, ha teljesüle az alábbi egyelősége: ay ( z) + bz ( x) + mx ( y) by ( z) + cz ( x) + x ( y) cy ( z) + az ( x) + px ( y) Ha ezt a három egyelőséget összeadju, övetezi, hogy m + + p a + b + c Ebből a bizoyításból látható, hogy tetszőleges oldalú soszögre is érvéyes hasoló tulajdoság Potosabba, ha az oldalaira ifele egymással hasoló háromszögeet szeresztü (úgy, hogy a szeresztett háromszögebe az eredeti soszög oldalaival szembe fevő szöge ogruese legyee), aor háromszögee, az eredeti soszög csúcsaitól ülöböző csúcsai által alotott soszög súlypotja egybeesi az eredeti soszög súlypotjával 5 Bizoyítsd be, hogy ha az ABC oldalai felvesszü az M, N és P potoat BM CN AP úgy, hogy M BC, N CA és P AB valamit, aor MC NA PB az ABC és MNP háromszöge súlypotjai egybeese! (Papposz tétele) IV ábra Megoldás Az eddigi jelöléseel a + b + c m + +p A gabc és g MNP BM CN AP b + c m, MC NA PB + P c + a a + b, p Ebből övetezi, + + N hogy ( a + b + c)( + ) m + + p a + b + c + B M C G G ABC MNP

34 Komplex számo és alalmazásai 75 6 a) Igaz-e az előbbi tétel fordítottja? b) Általáosítsd Papposz tételét égyszögre! Megoldás a) A tétel fordítottja is igaz Ha az ABC oldalá felvesszü az M BC, N CA és P AB potoat úgy, hogy az ABC és MNP BM C háromszöge súlypotjai egybeese, aor MC N AP NA PB Bizoyítás Tudju, hogy a + b + c m + + p Ha MC, NA és AP PB, aor b + c c + a a + b m, és p Ha ezeet az összefüggéseet behelyettesítjü az a + b +c m + + p egyelőségbe és redezzü a tagoat, a övetező egyelőséghez jutu: a b c Mivel az A, B és C poto icsee egy egyeese, ez az egyelőség csa aor teljesülhet, ha az zárójelebe levő ifejezése ullával egyelő Ebből övetezi, hogy b) A tétel általáosítható tetszőleges soszögre: Ha az AA A soszög oldalai felvesszü az M, M,, M potoat úgy, hogy AM AM A M Mi AA i i +, i,, M AA és MA MA M A AM MA, aor az AA A és MM M soszöge súlypotjai egybeese ai + ai+ Bizoyítás Ha összeadju az m i, i,, a + a egyeleteet, + ( + )( a + + a ) az m + + m a + + a, egyelőséghez jutu, ( + ) ahoa GM G A 7 Az ABC oldalaira ifele megszeresztjü a BCM, CAN és ABP háromszögeet úgy, hogy BCM ~ CAN ~ ABP Bizoyítsd be, hogy az MNP és ABC súlypotjai egybeese Megoldás Ugyaaz, mit a 4 feladat, mert aál em haszáltu fel, hogy a háromszöge egyelőszárúa 8 Bizoyítsd be, hogy egy háromszög oldalfelezőivel lehet háromszöget szeresztei Általáosítsd ezt a tulajdoságot! Megoldás Jelöljü M-mel, N-el és P-vel a BC, CA illetve AB oldala felezőpotjait, és mide pot affixumát a megfelelő isbetűvel Az előbbie alapjá b + c a + c a + b m, és p, tehát BM CN

35 76 Komplex számo és alalmazásai ( m a) + ( b) + ( p c) ( m + + p) ( a + b + c) ( a + b + c) ( a + b + c) Ebből övetezi, hogy az AM, BN és CP szaaszoal, iráyu megőrzésével szereszthető háromszög Általáosítás Ha az ABC -be M BC, N AC, P AB úgy, hogy BM CN AP, aor az AM, BN, CP szaaszoal szereszthető MC NA PB háromszög b + c c + a a ++ b Bizoyítás m,, p ( m a) + ( b) + ( p c) ( m + + p) ( a + b + c) a + b + c + ( a + b + c) ( a + b + c) ( a + b + c) ( a + b + c) + Tehát az AM, BN, CP szaaszoal, iráyu megőrzésével, szereszthető háromszög Geometriai bizoyítás A IV ábra jelöléseit haszálju Az M poto át húzzu párhuzamost a BN szaaszhoz és szeresszü meg a BMQN paralelogrammát Az NQ BM NC BC BC AC és mqnc ( ) macb ( ) összefüggése alapjá az ABC és CQN háromszöge hasoló, tehát m( A CQ ) mcab ( ) Eszerit QC AB és QC NC AP, tehát az APCQ égyszög is paralelogramma Így az AMQ AB AC AB háromszög oldalhosszai éppe az AM, BN és CP szaaszo hosszai A P N Q IV ábra B M C 9 Az OA B, DOC és EFO háromszöge hasolóa és azoos örbejárásúa (csúcso sorredjée megfelelőe) Bizoyítsd be, hogy BC, DE és AF szaaszo felezőpotjai által meghatározott háromszög is hasoló OAB -vel! megoldás OA B ~ DOC ~ EFO a o o d f e ( a o) + ( o d) + ( f e) b o c d o e ( b o) + ( c d) + ( o e )

36 Komplex számo és alalmazásai 77 a + f d + e ( a + f) ( d + e) p ( b + c) ( d + e) b + c d + e m Ebből övetezi, hogy OA B ~ MNP IV ábra megoldás Válasszu egy XYZ háromszöget, amely hasoló az adott B A háromszögehez A hasolóságo alapjá érvéyese a övetező egyelősége: M oy ( z) + az ( x) + bx ( y), C dy ( z) + oz ( x) + cx ( y), ey ( z) + f( z x) + ox ( y), oy ( z) + oz ( x) + ox ( y) O P Ha az első három egyelőség összegéből D ivoju az utolsót, és az eredméyt elosztju ettővel, az N E F e + d a + f b + c ( y z) + ( z x) + ( x y) egyelőséghez jutu, ami éppe azt fejezi i, hogy az ED, AF és BC szaaszo felezőpotjai által meghatározott háromszög hasoló az XYZ háromszöghöz Az MNP, MAB, DNC és EFP háromszöge hasolóa és azoos örbejárási iráyal redeleze Bizoyítsd be, hogy a BC, DE és AF szaaszo felezőpotjai által meghatározott háromszög is hasoló MNP -el! b + c d + e megoldás A IV 4 ábra jelöléseit haszálju q, r és a + f s MN P ~ MAB ~ DNC ~ EFP m m a d e f p b a c p f ( m ) + ( m a) + ( d ) + ( e f) ( m ) + ( d + e) ( a + f) ( p ) + ( b a) + ( c ) + ( p f) ( p ) + ( b + c) ( a + f) d + c a + f ( m ) + m + r s b + c a + f ( p ) + p + q s m m + r s (( m ) + ( r s) ) ( m ) r s Tehát Eszerit p p + q s (( p ) + ( q s) ) ( p ) q s m r s p q s MNP ~ RSQ

37 78 Komplex számo és alalmazásai megoldás A számoláso itt is soal átteithetőbbe, ha egy háromszöghöz viszoyítu A hasolóságo alapjá my ( z) + z ( x) + px ( y), my ( z) + az ( x) + bx ( y), dy ( z) + z ( x) + cx ( y), ey ( z) + f( z x) + px ( y) Ha az utolsó három egyelőség összegéből ivoju az elsőt, és az eredméyt e + d a + f b + c elosztju ettővel, az ( y z) + ( z x) + ( x y) egyelőséghez jutu, ami éppe azt fejezi i, hogy az ED, AF és BC szaaszo felezőpotjai által meghatározott háromszög hasoló az XYZ háromszöghöz B A S Q M IV 4 ábra C P E N R D A alózo egy laatla szigete miutá az A aasztófára a zedülőet felhúztá, elástá a icseiet a övetező módo: Az aasztófától a Forrásig (F pot) imérté a távolságot és itt jobbra fordulta és ugyaayit lépte mit A -tól F -ig, majd itt megjelölté a K potot Hasolóa az aasztófától a ősziláig lépedve balra fordulta és ugyaayit lépte mit A-tól K -ig Az így apott potot K -vel jelölté meg, majd a KK felezőpotjáál elástá a icset Húsz év múlva a apitáy visszatért, hogy icseit magával vigye Nagy meglepetésére az aasztófát sehol sem találta Megtalálhatja-e a icset? K A aasztófa K(ics) K F(forrás) K(őszila) IV 5 ábra

38 Komplex számo és alalmazásai 79 megoldás m( A FK ) 9, AF FK f ( a f) i m( AKK ) 9, AK KK a ( ) i / i ai i + ( i) f + ai A fetie alapjá + ( i) f + ( + i), tehát ( + i) ai a ics helye em függ az aasztófa helyétől Próbálju meghatározi omplex számo élül a helyet + f + i( f) x +, x f + i( f) x f i( f) Tehát a icset úgy találju meg, hogy a őszilától a forrásig imérjü a távolságot, itt jobbra fordulu, majd ugyaayit lépü, mit a őszilától a forrásig, az így apott x potot összeötjü a őszilával, és a felezőpotba va a ics elásva megoldás A taöyv 4 feladatát haszálju Legye A és A az A pota az F-re és a K-ra voatozó szimmetriusa Az AA K és AA K háromszöge egyelőszárúa, derészögűe és azoos a örüljárási iráyu, tehát teljesíti az említett feladat feltételeit Így az AA, AA és KK szaaszo felezőpotjai által meghatározott háromszög is egyelőszárú és derészögű Tehát az FKK háromszög K -ba derészögű és FK KK Az AA A soszög oldalaia felezőpotjait megjelöltü, majd a soszöget itöröltü Meg lehet-e szeresztei a soszöget a megjelölt poto ismeretébe? Hát aor, ha oldalú soszögből idulu i? Megoldás A feladatot + illetve oldalú soszögere ülö oldju meg Ha a + a a + a a, a,, a + a soszög csúcsaia affixumai, aor m, m, a + a, + a m és + + a m + (*) az oldala felezőpotjaia affixumai A érdés az, hogy az m, m,,m omplex számo ismeretébe + megadhatju-e egyértelműe az a, a,, a+ omplex számoat A (*) egyelőségsorozat alapjá a m a ; a m a m m + a ; a4 m a m m + m a Matematiai iducióval igazolható, hogy a m m + + ( ) m + ( ) a, {,,, } + Tehát a m m + m + a Másrészt a m a + + +

39 H 8 Komplex számo és alalmazásai a m m m m a a m m + m m4 + + m + és a,,, a + egyértelmű függvéye a -e, tehát a felezőpoto ismeretébe megszereszthetjü a soszöget A oldalú soszög esetébe a m a + a ( ) ( ) m m + + m + a Ebből övetezi, hogy a m m + + m a Másrészt a m a, tehát a ét utóbbi egyeletet ivova egymásból a m m + m összefüggéshez jutu A szeresztés csa aor lehetséges, ha ez az egyelőség feáll (Ha a poto egy soszög oldalaia felezőpotjai, aor az összefüggés feáll) A végeredméy az, hogy em szereszthető meg a soszög egyértelműe, de ha a -et tetszőlegese válasszu meg, aor egyetle oldalú soszög létezi úgy, hogy m, m,, m az oldala felezőpotjaia affixumai legyee Megjegyzés oldalú soszög eseté a szeresztés a övetezőéppe végezhető el Felveszü egy tetszőleges B potot a síba, majd megszeresztjü a ( B ) potsorozatot úgy, hogy a B szaasz felezőpotja M legye, mide B + +, eseté A BB szaasz felezőpotja éppe a eresett soszög A csúcsa Ebből a csúcsból iidulva megszereszthető a többi csúcs is Az AA AA 4 örbeírható égyszögbe H, H, H, H 4 -el az AA A4, AAA 4, AAA 4 illetve AA A háromszöge ortocetrumait jelöltü Bizoyítsd be, hogy: a) HHHH 4 AAAA 4 b) Az AAA, AAA 4, AAA 4 és AA A4 háromszöge Euler egyeesei összefutóa Megoldás a) Jól ismert tulajdoság, hogy A egy tetszőleges ABC -be az O, G és H H4 A IV 6 ábra H A G H A4 poto ollieárisa, OG GH és G ( OH) (H jelöli a háromszög ortocetrumát, G a súlypotját és O a háromszög öré írt ör özéppotját) Az OH egyeest szotá Euler egyeese evezi A feti feladatba az AA A, AA A4, AAA 4 és AA A 4 háromszöge öré írt ör ugyaaz, mert AAAA 4 örbeírható égyszög Tehát az AA AA 4 öré írt ör O özéppotja megegyezi a égy háromszög öré írt ör özéppotjával

40 Komplex számo és alalmazásai 8 Legye O az origó Eszerit az előbb említett tulajdoság alapjá h g a + a + a 4, h g a + a + a4 h g a + a + a 4, h 4 g 4 a + a + a A feti összefüggéseből övetezi, hogy h h a a, h h a a, h h 4 a4 a és h4 h a a4 Az utolsó égy összefüggés pedig azt jeleti, hogy AA AA 4 HHHH4 b) Az O pot rajta va mid a égy háromszög Euler egyeesé, tehát eze az egyeese yilvá összefutóa 4 Az ABC oldalai felvettü az M BC, N CA és P AB potoat Bizoyítsd be, hogy az ANP, BMP és CMN háromszöge öré írható öröe va egy özös potja! Sőt ha M, N és P ollieárisa, aor ez a pot rajta va az ABC öré írt örö (Miquel tétele) Megoldás Legye S az APN és CM N A IV 7 ábra háromszöge öré írt örö másodi metszéspotja Igazoli fogju, hogy S rajta va a BPM öré írt örö Az APSN és MS NC N égyszöge örbeírhatóa, tehát p a s m s c és a p s s m c P S C Továbbá N AC a M c, M BC m c, B m b p b P AB p a Összeszorozva az előbbi összefüggéseet, apju, hogy p b m s m b p s MBPS örbeírható égyszög Ie övetezi, hogy az AN P, BM P és CM N háromszöge öré írható öröe va özös potju Rátérü a feladat másodi részée a bizoyítására m p MN, és P ollieárisa m m c s MSNC örbeírható c m s MSPB örbeírható m s b p b s m p N AC c c a

41 8 Komplex számo és alalmazásai b a P AB b p Összeszorozva a feti összefüggéseet, apju, hogy c s b a S rajta b s c a va az ABC öré írt örö 5 Az ABCD égyszög átlóia felezőpotjait jelöljü M-mel és N-el (M ( AC), N ( BD) ), a metszéspotjuat O-val Bizoyítsd be, hogy: a) MN AC AB AD + CB CD ; b) 4T[ MON] TABCD [ ] Megoldás a + c b + d a) A feltétel szerit m és a + c b d MN AC m a c a c a + c b d a c a c ab ad + bc + cd AB AD + BC CD b a d a + c b d c bd ab ad + a + cd c bd + bc ( bd ab ad a ) ( cd c bd bc) Tehát teljesül a ívát egyelőtleség a c ad ad + bc + cd MN AC D A O N M IV 8 ábra C B b) megoldás Feltételezzü, hogy az ABCD égyszög ovex Eszerit O It( ABCD) Legye O az origó AC BD si ( COD ) a c b d si ( COD ) TABCD MO ON si ( MON ) m si ( COD ) 4T MON 4 4

42 Komplex számo és alalmazásai 8 ( ) ( a c) ( b d ) si( COD ) a + c b + d si COD + + a c b d si ( COD ) TABCD Ezzel az egyelőtleséget igazoltu Megjegyzés A bizoyítás sorá felhaszáltu, hogy a + c a c és b + d b d Eze az egyelősége valóba teljesüle, mert O [ A C] és O [ BD] megoldás A taöyv 4 4 feladata (vagy a Kiril Docev-tétel) alapjá 4 TMON [ ] Im( m) és T [ ABCD] Im( dc + ad + ba + cb) A ívát egyelőtleséget a övetező alaba írhatju: Im( ab + ad + cb + cd) Im( dc + ad + ba + cb) Ez potosa aor teljesül, ha Im( ab + cd) Im( ba + dc) és ez igaz, mert az OAB és OCD háromszöge területe pozitív 6 Bizoyítsd be, hogy egy egyelő oldalú háromszög síjába elhelyezedő P pota a háromszög csúcsaitól mért távolságai lehete egy háromszög oldalaia hosszai Szeresszél egy olya háromszöget, amelye oldalhosszai aráyosa ezeel a távolságoal! (Pompeiu tétel) P IV 9 ábra A P B C Megoldás Az ábrát B örül pozitív trigoometriai iráyba forgatva 6 -al, a P pot a P potba, a C pot pedig az A potba erül Eor a BP P egyelő oldalú háromszög, tehát PP BP Ebből övetezi, hogy a PP A oldalaia a hosszai π π PP BP, P A CP és PA AP Ha B az origó és ε cos + i si, aor a cε, p pε és a p c p ε c p, p p p ε p p b, p a p a A feti összefüggéseből övetezi, hogy az a, p és p affixumú poto által alotott háromszög oldalaia hossza CP,BP és AP

43 84 Komplex számo és alalmazásai Megjegyzése A tulajdoság azoali övetezméye Ptolemájosz I tételée (lásd a taöyv 4 6 feladatát) Ha a P pota a háromszög oldalaira eső vetületeit P -gyel, P -vel és P -mal jelöljü, aor a PP P háromszög oldalai aráyosa az AP, BP és CP szaaszoal Ha P az ABC háromszög öré írható örö helyezedi el, aor a PP P háromszög elfajult 7 Bizoyítsd be, hogy ha M egy pot az O özéppotú ABC egyelő oldalú háromszög síjába, aor az M pota BC-re, AC-re és AB -re eső vetületei által meghatározott háromszöge a súlypotja az OM szaasz felezőpotja π π Megoldás Ha O az origó, OC Ox, ε cos + i si az egyi harmadredű egységgyö, és az [ OC ] szaasz hosszát teitjü IV ábra y az egysége, aor a C,A és B poto A affixumai c a ε illetve b ε m m m + i Im m + Az ábrát elforgatju -al Így az m pot az M C m m ε potba, az m pot pedig az M M O mε m ε m B C + potba erül Tovább M forgatva az ábrát 4 -al, m az m potba x erül és mε m ε ε m m m ε ε + + Ha ismét 4 -al forgatu, aor m az mε potba és m az mε m ε m + potba erül Egy további -os szöggel való elforgatás mε m ε ε m utá m ε + mε + A feti elforgatáso ε m mε ε m mε eredméyeéppe m +, m + és m m m + Ezeből az összefüggéseből övetezi, hogy m + m + m m m m GMMM ( ε + ε+) + ( ε + ε+ ), tehát 6 6 az OM szaasz felezőpotja G M

Komplex számok. 6. fejezet. A komplex szám algebrai alakja. Feladatok. alábbi komplex számokat és helyvektorukat:

Komplex számok. 6. fejezet. A komplex szám algebrai alakja. Feladatok. alábbi komplex számokat és helyvektorukat: 6 fejezet Komplex számo A omplex szám algebrai alaja D 61 Komplex száma evezü mide olya a+bi alaú ifejezést amelybe a és b valós szám i pedig az összes valós számtól ülöböz épzetes egysége evezett szimbólum

Részletesebben

( ) ; VI. FEJEZET. Polinomok és algebrai egyenletek. Polinomok és algebrai egyenletek 215. VI.2.7. Gyakorlatok és feladatok (241.

( ) ; VI. FEJEZET. Polinomok és algebrai egyenletek. Polinomok és algebrai egyenletek 215. VI.2.7. Gyakorlatok és feladatok (241. Poliomo és algebrai egyelete 5 VI FEJEZET Poliomo és algebrai egyelete VI7 Gyaorlato és feladato ( oldal) A övetező ifejezése özül melye moomo? Háy változósa, háyad foúa és meyi az együtthatóju? 7 XX X,,

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak Számelméleti alapfogalma A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelme léteze q és r természetes számo, amelyere igaz: a b q r, r b Megevezés: a osztadó b osztó q

Részletesebben

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II.forduló -10. osztály

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II.forduló -10. osztály Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 016. február 11

Részletesebben

V. RADÓ FERENC EMLÉKVERSENY Kolozsvár, május 19. V. osztály

V. RADÓ FERENC EMLÉKVERSENY Kolozsvár, május 19. V. osztály Kolozsvár,. május 9. V. osztály a5b. Határozd meg 7cd legagyobb törtet! alaú ( a ), 8-cal egyszerűsíthető legisebb és. Az,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,,,, 4, 5 és 6 számoat oszd ét csoportba úgy, hogy ha az egyi

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

9. tétel: Elsı- és másodfokú egyenlıtlenségek, pozitív számok nevezetes közepei, és ezek felhasználása szélsıérték-feladatok megoldásában

9. tétel: Elsı- és másodfokú egyenlıtlenségek, pozitív számok nevezetes közepei, és ezek felhasználása szélsıérték-feladatok megoldásában 9. tétel: Elsı- és másodfoú egyelıtlesége, pozitív számo evezetes özepei, és eze felhaszálása szélsıérté-feladato megoldásáa Egyelıtleség: Két relációsjellel összeapcsolt ifejezés vagy függvéy. Az egyelıtleséget

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

286 Versenyre előkészítő feladatok VIII. FEJEZET. ÖSSZEFOGLALÓ FELADATOK VIII.1. Versenyre előkészítő feladatok (337. oldal)

286 Versenyre előkészítő feladatok VIII. FEJEZET. ÖSSZEFOGLALÓ FELADATOK VIII.1. Versenyre előkészítő feladatok (337. oldal) 86 Verseyre előészítő feladato VIII FEJEZET ÖSSZEFOGLALÓ FELADATOK VIII Verseyre előészítő feladato (7 oldal) Két samtás, 66 lletve 88-cm agyságú szőyegdarab (mde mező cm agyságú) segítségével le ell fed

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények

90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények 9 Folytoos függvéye IV Folytoos függvéye Az előző fejezetbe adott f : D függvéy viseledését a D halmaz torlódási potjáa öryezetébe vizsgáltu Az pot em feltétleül tartozott a D halmazhoz ( D ) Ebbe a fejezetbe

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20.

Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20. 1. Adott az ABCD tetraéder, határozzuk meg: a) AB + BD + DC b) AD + CB + DC c) AB + BC + DA + CD Vektoralgebra feladatlap 018 január 0.. Adott az ABCD tetraéder. Igazoljuk, hogy AD + BC = BD + AC, majd

Részletesebben

10.M ALGEBRA < <

10.M ALGEBRA < < 0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész

Részletesebben

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y Koordiátageometria összefoglalás Vektorok A helyvektor hossza Két pot távolsága r x y d x x y y AB A két potot összekötő vektort megkapjuk, ha a végpot koordiátáiból kivojuk a kezdőpot koordiátáit. Vektor

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

I. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL

I. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL A primitív függvény és a határozatlan integrál 5 I A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL Gyaorlato és feladato ( oldal) I Vizsgáld meg, hogy a övetező függvényene milyen halmazon van primitív

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február osztály -- I. forduló

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február osztály -- I. forduló Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4..

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007)

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) A Fibonacci-sorozat általános tagjára vontozó éplet máséppen is levezethető A 149 Feladatbeli eljárás alalmas az x n+1 ax n + bx, n 1 másodrendű állandó együtthatós lineáris reurzióal adott sorozato n-edi

Részletesebben

Divergens sorok. Szakdolgozat

Divergens sorok. Szakdolgozat Diverges soro Szadolgozat Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Készítette: Szabó Szilárd Matematia Bsc., taári szairáy Témavezető: Gémes Margit Műszai gazdasági taár Aalízis taszé Budapest,

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az

Részletesebben

A feladatokat összeállító bizottság és a verseny szervező bizottsága

A feladatokat összeállító bizottság és a verseny szervező bizottsága ezt a feladváyt hóapoal ésőbb sierült a fürdőádba megoldaom. Modaom sem ell, hogy hatalmas atarzist oozott a hosszú godolodás siere. A mai apig hasoló atartius örömet ooz, ha egy ehéz feladatot sierül

Részletesebben

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk

Részletesebben

Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely

Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Ebben a részben geometriai problémák szélsőértékeinek a megállapításával foglalkozunk, a síkgeometriai

Részletesebben

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala

Részletesebben

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan

Mezei Ildikó-Ilona. Analitikus mértan Mezei Ildikó-Ilona Analitikus mértan feladatgyűjtemény Kolozsvár 05 Tartalomjegyzék. Vektoralgebra 3.. Műveletek vektorokkal.................................. 3.. Egyenes vektoriális egyenlete..............................

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.

ANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC. ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC

Részletesebben

A teveszabály és alkalmazásai

A teveszabály és alkalmazásai A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is

Részletesebben

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be, 6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1 . Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

k n k, k n 2 C n k k=[ n+1 2 ] 1.1. ábra. Pascal háromszög

k n k, k n 2 C n k k=[ n+1 2 ] 1.1. ábra. Pascal háromszög Alapfeladato Megoldás A ombináció értelmezése alapján felírhatju, hogy n, n Ha n páros, aor n és n özött veszi fel értéeit Ha n páratlan, aor n, vagyis > n n+, ami azt jelenti, hogy és n özött veszi fel

Részletesebben

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk: Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai

Részletesebben

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.

Részletesebben

3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.

3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819. 3.4. gyakorlat Matematika B1X 2003. február 1819. 1. A harmadik el adás (II. 17.) 1.1. Számosság Egyel számosságú halmazok. Véges, megszámlálhatóa végtele és kotiuum számosságú halmazok. Hatváyhalmaz számossága

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4..

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját

Részletesebben

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

Kitűzött feladatok Injektivitás és egyéb tulajdonságok 69 KITŰZÖTT FELADATOK

Kitűzött feladatok Injektivitás és egyéb tulajdonságok 69 KITŰZÖTT FELADATOK Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 69 1. KITŰZÖTT FELADATOK Határozd meg az összes szigorúa mooto f:z Z függvéyt, amely teljesíti az f ( xy) = f ( y), x, y Z összefüggést és létezik k

Részletesebben

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0. Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,

Részletesebben

Bizonyítások. 1) a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl).

Bizonyítások. 1) a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl). ) a) Értelmezzük a valós számok halmazá az f függvéyt az f x = x + kx + 9x képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl) ( ) Számítsa ki, hogy k mely értéke eseté lesz x = a függvéyek lokális szélsőértékhelye

Részletesebben

XL. Felvidéki Magyar Matematikaverseny Oláh György Emlékverseny Galánta 2016 Megoldások 1. évfolyam. + x = x x 12

XL. Felvidéki Magyar Matematikaverseny Oláh György Emlékverseny Galánta 2016 Megoldások 1. évfolyam. + x = x x 12 XL. Felvidéi Magyar Matematiaverseny Oláh György Emléverseny Galánta 016 Megoldáso 1. évfolyam 1. Oldju meg az egész számo halmazán az egyenletet. x 005 11 + x 004 1 = x 11 005 + x 1 004 Az egyenlet mindét

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1 A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k

Részletesebben

B1 teszt 87. 1, x = 0 sorozat határértéke

B1 teszt 87. 1, x = 0 sorozat határértéke B teszt 87 B teszt A világot csak hat szám vezérli. (Marti Rees) Ezt a köyvet öt betű.. Az = + +,, = sorozat határértéke ( + ) a) ; b) ; c) d) ; e) em létezik.. A lim{ e } határérték ({ } az törtrésze)

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

g x ugyanabba az halmazba kerüljön mint különböző módon tehetjük meg. A feladat állítása alapján igazolnunk kell, hogy ( ) n m m

g x ugyanabba az halmazba kerüljön mint különböző módon tehetjük meg. A feladat állítása alapján igazolnunk kell, hogy ( ) n m m A itűzött feldto megoldási X osztály 47 g ugybb z hlmzb erüljö mit figyelembe veü, hogy ( H -vel jelöljü z elemeie számát, or ezt j A j ülöböző módo tehetjü meg A feldt állítás lpjá igzolu ell, hogy m

Részletesebben

II. FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK, A KOMBINATORIKA ELEMEI

II. FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK, A KOMBINATORIKA ELEMEI 44 Számlálási feladato, a ombiatoria elemei II FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK, A KOMBINATORIKA ELEMEI II Gyaorlato és feladato (4 oldal) Háy darab legfeljebb hatjegyű természetes szám létezi? megoldás Mide,

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+

4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+ 4 Vektorok I Feladatok Milyen hosszú a v a b c vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? c b, a, b, c és az a és Mit állíthatunk az BCD konvex négyszögről, ha B D B BC CB CD DC D 0? Igaz-e, hogy

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

Elsőfokú egyenletek...

Elsőfokú egyenletek... 1. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezést: 1967. N 1. Elsőfokú egyenletek... I. sorozat ( 1 a 1 + 1 ) ( 1 : a+1 a 1 1 ). a+1 2. Oldja meg a következő egyenletet: 1981. G 1. 3x 1 2x 6 + 5 2 = 3x+1

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

XXII. Vályi Gyula Emlékverseny április 8. V. osztály

XXII. Vályi Gyula Emlékverseny április 8. V. osztály V. osztály 1. Egy anya éveinek száma ugyanannyi, mint a lánya életkora hónapokban kifejezve. Mennyi idősek külön-külön, ha az anya 23 évvel és 10 hónappal idősebb a lányánál? 2. Melyek azok a 2016-nál

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II. Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek

Részletesebben

A1 teszt 7. kifejezés értéke (x,

A1 teszt 7. kifejezés értéke (x, A teszt 7 A teszt (Algebra IX. osztály) Szeretük és ápoluk kell a tévedést, mert ő a megismerés ayaöle. (Nietzsche). Az E y y = + + y + y kifejezés értéke (, y ) a), y, ; b) függ -től és y -tól; c) csak

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

2.2. Indukció a geometriában

2.2. Indukció a geometriában .. Idukció a geometriába... Számítási feladatok... Feladat. Határozzuk meg az R sugarú körbe írt, oldalú szabályos sokszög oldalhosszát! Megoldás eseté a oldalú szabályos sokszög a égyzet; az R sugarú

Részletesebben

Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged

Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged Magas szitű matematiai tehetséggodozás Számelméleti érdeessége dr. Kosztoláyi József, Szeged A számelmélet bőveledi olya érdésebe, problémába, összefüggésebe, amelye elemi módszereel megözelíthető. Bizoyos

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Kardos Montágh verseny Feladatok

Kardos Montágh verseny Feladatok Krdos Motágh versey Feldtok Az ABC háromszög hozzáírt köreiek középpotji O, P, Q, beírt köréek középpotj K Melyik állítás igz z lábbik közül? K z OPQ háromszög A) súlypotj B) mgsságpotj C) szögfelezőiek

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Oktatási Hivatal A 0/04 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi erseny második forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 57 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +

Részletesebben

(a b)(c d)(e f) = (a b)[(c d) (e f)] = = (a b)[e(cdf) f(cde)] = (abe)(cdf) (abf)(cde)

(a b)(c d)(e f) = (a b)[(c d) (e f)] = = (a b)[e(cdf) f(cde)] = (abe)(cdf) (abf)(cde) 2. házi feladat 1.feladat a b)c d)e f) = a b)[c d) e f)] = = a b)[ecdf) fcde)] = abe)cdf) abf)cde) 2.feladat a) Legyen a két adott pontunk helyzete A = 0, 0), B = 1, 0), továbbá legyen a távolságok aránya

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szit 1011 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formai előírások: Fotos tudivalók

Részletesebben

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25) I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

Bevezetés az algebrába komplex számok

Bevezetés az algebrába komplex számok Bevezetés az algebrába komplex számok Wettl Ferec Algebra Taszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december 6.

Részletesebben

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz Radiális szivattyú járóeré fő méreteie meghatározása előírt - üzemi pothoz iret hajtás eseté szóa jövő asziromotor fordlatszámo % üzemi szlip feltételezésével: 90, 55, 970, 78 /mi Midegyi fordlatszámhoz

Részletesebben

Algebrai egyenlőtlenségek versenyeken Dr. Kiss Géza, Budapest

Algebrai egyenlőtlenségek versenyeken Dr. Kiss Géza, Budapest Magas szitű matematikai tehetséggodozás Algebrai egyelőtleségek verseyeke Dr Kiss Géza, Budapest Néháy helyettesítési módszer és a Cauchy-Schwarz-egyelőtleség speciális esetéek alkalmazása bizoyítási feladatokba

Részletesebben

n természetes szám esetén. Kovács Béla, Szatmárnémeti

n természetes szám esetén. Kovács Béla, Szatmárnémeti osztály Igzolju, hogy 3 < ármely természetes szám eseté Kovács Bél, Sztmárémeti Az összeg egy tetszőleges tgj: Ezt ővítjü és lítju úgy, hogy felothssu ét tört összegére ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) )( (

Részletesebben

Kombinatorika (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla

Kombinatorika (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla Kombiatoria (017 február 8 Bogya Norbert, Kátai-Urbá Kamilla 1 Kombiatoriai alapfeladato A ombiatoriai alapfeladato léyege az, hogy bizoyos elemeet sorba redezü, vagy éháyat iválasztu belőlü, és esetleg

Részletesebben