Kombinatorika (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla

Átírás

1 Kombiatoria (017 február 8 Bogya Norbert, Kátai-Urbá Kamilla 1 Kombiatoriai alapfeladato A ombiatoriai alapfeladato léyege az, hogy bizoyos elemeet sorba redezü, vagy éháyat iválasztu belőlü, és esetleg utáa redezzü sorba Mide ilye feladatál fel lehet tei a övetező érdéseet Sorba ell-e redezi az összes elemet? (Permutáció Ki ell-e választai özülü valameyit? (Variáció vagy ombiáció Az eleme ülöbözőe, vagy azoosa is vaa özöttü? (Ismétlés élüli vagy ismétléses A iválasztás utá számít a sorred vagy em? (Variáció vagy ombiáció A övetezőbe a feti felsorolás zárójelbe lévő fogalmait fogju potosa defiiáli 11 Variáció 1 Defiíció Egy elemű halmaz elemeiből épezhető -tagú ismétlődést megegedő sorozatot az elem -tagú ismétléses variációjáa Példa A H = {1,,, 7, 8, 10} halmaza az 1, 8, 7, 1, 10 sorozat egy 5-tagú ismétléses variációja Megjegyzés Az elem -tagú ismétléses variációját egy -elemű halmaza egy -elemű halmazba való leépezésée is teithetjü Az előző példáál = 5, tehát az a 1,, a 5 elemehez hozzáredeljü a H elemeit úgy, hogy leépezést (ϕ apju, azaz mide eleme potosa egy épe va: a 1 ϕ = 1, a ϕ = 8, a ϕ = 7, a 4 ϕ = 1, a 5 ϕ = 10 4 Defiíció Egy elemű halmaz elemiből épezhető -tagú ismétlés élüli sorozatot az elem -tagú ismétlés élüli variációjáa Ilye csa aor létezi, ha 5 Példa A H = {1,,, 7, 8, 10} halmaza a, 10, 7, 1, sorozat egy 5-tagú ismétlés élüli variációja 6 Megjegyzés Az elem -tagú ismétlés élüli variációját egy -elemű halmaza egy -elemű halmazba való ijetív leépezésée is teithetjü Az előző példáál = 5, tehát az a 1,, a 5 elemehez hozzáredeljü a H elemeit úgy, hogy ijetív leépezést (ψ apju, azaz mide eleme potosa egy épe va, és ülöböző elemee ülöböző a épe: a 1 ψ =, a ψ = 10, a ψ = 7, a 4 ψ = 1, a 5 ψ = Felmerül a érdés, hogy háy ülöböző variációja és ismétléses variációja va egy elemű halmaza Azaz ülöböző elemből iválasztva darabot, majd ezeet sorba redezve háy ülöböző sorozatot aphatu Erre ad választ a övetező ét tétel 7 Tétel Legye, N Eor elem -tagú ismétléses variációia száma 8 Tétel Legye, N és Eor elem -tagú ismétlés élüli variációia száma ( 1 ( ( + 1 =! (! 9 Példa Háyféleéppe tölthetü i egy totószelvéyt? (A magyar totó 14 meccs végeredméyére lehet fogadi, és midegyi meccs imeetele háromféle lehet: 1, 0 vagy x A {0, 1, x} halmaz elemeiből ell épezü egy hosszú sorozatot Nyilvá ét meccs eredméye lehet ugyaaz is, ezért ismétléses variációt apu Mivel = és = 14, így 14 -féleéppe tölthetü i egy totószelvéyt 10 Példa Egy taácsba 10 ember ül, és i aarjá magu özött sorsoli, hogy i legye az igazgató és az igazgató helyettese Háyféleéppe végződhet a sorsolás? Ismétlés élüli variációról va szó = 10 és = paramétereel (A sorred valóba számít a isorsolta özött, mert em

2 midegy, i lesz az igazgató, és i lesz a helyettese Tehát a sorsolás 10 9, azaz 90-féleéppe végződhet 11 Példa Háy ülöböző égybetűs szó épezhető a SAJTÓ szó betűiből? Az 5 ülöböző betű özül ell iválasztai 4-et (a feladat em modja, hogy em ismétlődhete, és ezeet ell sorbaredezi, tehát ismétléses variációt ell alalmazi = 5 és = 4 paramétereel, így 5 4 szó épezhető 1 Példa Egy erépárlaato egy 4 számjegyből álló ombiáció yitja és zárja a zárszerezetet Elfelejtettü ezt a ombiációt Legrosszabb esetbe háy ombiációt ell végigpróbáli? Ismétléses variáció = 10 és = 4 paramétereel, mivel a 10 ülöböző számjegyből ell 4-et iválasztai, és azoból sorozatot épezi (A laat az ismétlődő számjegyeet em tiltja Így 10 4 ombiáció lehetséges 1 Példa Egy bajoságo 8 csapat idult Háyféle sorred alaulhat i a dobogó, ha sehol sem lehet holtversey, és mide csapat csa egy darab helyezést érhet el Ismétlés élüli variációt ell alalmazi, mert a 8 csapatból ell iválasztai -at, őet sorba redezi, mert a dobogó számít a sorred, és az ismétlést a feladat szövege tiltja Összese sorred lehetséges 1 Permutáció 14 Defiíció Adott ülöböző elem eseté azoa egy sorba redezését az elem (ismétlés élüli permutációjáa 15 Példa A H = {1,,, 7, 8, 10} halmaza a 8, 1,, 7, 10, sorozat egy permutációja 16 Megjegyzés Középisolába általába a permutációat elülöítve taítjá a variációtól, pedig észre ell veü, hogy az ismétlés élüli permutáció egy olya variáció, ahol egy elemű halmazból elemet választu i, és ezeet raju sorba Tehát olya, mit az ismétlés élüli variáció = paramétereel A permutációa is létezi ismétléses változata, azoba ee defiiálásához vissza ell emléezü a redszer fogalmára A redszer a halmazhoz hasoló fogalom, ayi a ülöbség, hogy a redszerbe egy elemet többször is felsorolhatu Például az 1, 1,, 4, 6, 6, 7 egy 7-elemű redszer A redszere elemeit szádéosa em tesszü apcsos zárójelbe, mert azt halmazo eseté haszálju, és a redszer em halmaz 17 Defiíció Egy elemű redszer elemeie sorozatba redezését az elem ismétléses permutációjáa 18 Példa A,, 4, 4, 4, 5, 5 redszere a 4,, 5, 4, 5,, 4 sorozat egy ismétléses permutációja 19 Tétel Legye N 0 Eor elem ismétlés élüli permutációia száma ( 1 ( 1 =!, megállapodás szerit 0! = 1! = 1 0 Tétel Teitsü egy elemű redszert, melybe r ülöböző elem va, és mide ülöböző elemből 1,,, r darab va a redszerbe Tehát = r Eor az elem ismétléses permutációia száma! 1! r! A i számoat az i-edi elem multiplicitásáa evezzü, ez mutatja, hogy az i-edi eleme háy példáya va a redszerbe 1 Példa Háyféleéppe tudu 6 ülöböző öyvet sorba redezi a öyvespolco? A válasz 6! = 70 Példa Háy ülöböző 5-betűs szó észíthető az ABLAK szó betűiből, midegyiet felhaszálva? Azaz 5 elemet ell sorba redezi, ám az eleme özött vaa egyformá Eor ismétléses permutációt haszálu, a válasz 5!! = 5 4 = 60 Példa Háyféleéppe lehet egy 5 lapos póer-palit megeveri? A válasz 5!, ami egy 68 jegyű szám

3 4 Példa Háyféle ülöböző sorredje va a MATEMATIKA szó betűie? Azaz 10 elemet ell sorba redezi, ám az eleme özött vaa egyformá Eor ismétléses permutációt haszálu, a válasz 10!!!! = Példa Háy 10 jegyű szám észíthető 6 darab ettes, darab hetes és darab hatos számjegyből, ha midegyiet fel aarju haszáli? Ismétléses permutációról va szó, ahol a redszer 10 elemű, azaz = 10 Továbbá három darab ülöböző elem va a redszerbe:, 7, 6 Az ezehez tartozó multiplicitáso: = 6, 7 = és 6 = Tehát a válasz a érdésre: 10! 6!!! 1 Kombiáció 6 Defiíció Egy -elemű halmaz -elemű részhalmazait az elem -tagú ismétlés élüli ombiációia 7 Példa A H = {1,,, 7, 8, 10} halmaza a {, 7, 8} halmaz egy -tagú ombiációja Vegyü észre, hogy egy -elemű halmaz -elemű részhalmazáa megadása azt jeleti, hogy elemből iválasztu darabot, mivel részhalmazról va szó, eze iválasztásál az eleme sorredje em számít 8 Defiíció Egy elemű halmaz elemű részredszereit az elem -tagú ismétléses ombiációia 9 Példa A H = {1,,, 7, 8, 10} halmaza a, 7,, 1, 10, 1, redszer egy 7-tagú ismétléses ombiációja 0 Megjegyzés Az előző defiícióba a részredszer épzése azt jeleti, hogy egy elemet többször is iválaszthatu a halmazból Az eleme sorredje most sem számít, mivel a redszerbe em számít az eleme sorredje 1 Tétel Legye, N és Eor elem -adosztályú ismétlés élüli ombiációia száma (! ( 1 ( + 1 = =!(! 1 Defiíció Az előző tételbe szereplő ( ifejezést biomiális együtthatóa Tétel Legye, N, eor elem -adosztályú ismétléses ombiációia száma ( Példa Háyféleéppe tudju itöltei az ötöslottót? (Magyarországo 90 számból 5-öt ell megtippeli Mivel a sorsolás utá a megjelölt számo sorredje teljese irrelevás, így a 90 számból 5 darab iválasztásáál a sorred em számít Tehát ( féleéppe tölthető i egy ötöslottószelvéy 5 Példa Háyféleéppe osztható szét forityi jutalom dolgozó özött, ha midei csa rel osztható összeget aphat? (Természetese az is megegedett, hogy valai em ap semmit Ismétléses ombiációról va szó, mert mide tízezresre i ell választai egy embert a három özül Tehát -ból választu 10 helyre, és egy-egy embert yilvá több tízezreshez is i lehet választau, így a megoldás ( ( = Példa Háy olya domió va, amelye midét felé a poto száma 0-tól 6-ig terjed? Így 7 elemből ell iválasztai -t, de egy elemet midét oldalra is iválaszthatu, azaz ismétléses ombiációt ell haszáli Így ( ( 7+ 1 = 8 = 8 domió va, ami a feladat feltételée eleget tesz

4 Emléezzü vissza a özépisolába is tault Biomiális tétel (a + b = a + ab + b és (a + b = a + a b + ab + b azoosságora Mit ahogy az a övetező tételből látható lesz, ez a -es és -as itevő általáosítható tetszőleges természetes itevőre 7 Tétel (Biomiális tétel Ha N, továbbá a és b valós számo, aor ( ( ( ( (a + b = a + a 1 b + a b + + ab vagy rövidebbe (a + b = =0 ( a b ( b, Azért, hogy lássu, a biomiális tétel hogya apcsolódi a ombiatoriai problémához, vizsgálju meg a jobboldali összegbe fellépő általáos ( a b tagot Képzeljü el, hogy az darab (a + b téyezőt elezdjü összeszorozi egymással Azoat a tagoat számolju, ahol darab b-t, és darab a-t szorzu össze Háyféleéppe tehettü ezt meg? Potosa ayiféleéppe, aháyféleéppe ( az darab (a+b téyezőből i tudju választai az darab b-t Ez pedig potosa Ȧ biomiális együtthatóból felépíthető Pascal-háromszögből azoal látszóda a biomiális együttható legfotosabb tulajdoságai Az alábbi ábrá látható a Pascal-háromszög első éháy sora, melybe az ( értée vaa feltütetve ( 0 = 0, = 0 ( 1 0 ( 1 1 = 1, = 0, 1 ( 0 =, = 0, 1, ( 1 ( 1 1 ( 0 1 =, = 0, 1,, ( ( ( ( = 4, = 0, 1,,, 4 4 ( 4 ( 4 ( 4 ( ( = 5, = 0, 1,,, 4, 5 5 ( 5 ( 5 ( 5 ( 5 ( A biomiális együttható és a Pascal-háromszög legfotosabb tulajdoságait az alábbi tétel foglalja össze 8 Tétel Legye, N 0 és Eor érvéyese az alábbi összefüggése (1 ( ( 0 = = 1 (A háromszög ét oldalá 1-ese álla ( ( ( = (A háromszög tegelyese szimmetrius ( Ha 0 < <, aor ( ( = 1 ( (A háromszögbe bármelyi elem a felette lévő ét elem összege, feltéve, hogy va felette ét elem (4 Bármely N 0 -ra ( =0 = (A Pascal-háromszögbe az -adi sor összege 1 Természetese adódi a érdés, hogy a itevő általáosítása utá, tudju-e tovább általáosítai a problémát, modju a változó számát teitve A választ az alábbi tétel adja meg 9 Tétel (Poliomiális tétel Ha N, továbbá a 1,, a valós számo, aor (a a = i 1,,i N 0 i 1 ++i =! i 1! i! ai 1 1 a i a i 4

5 Szitaformula Köye megfigyelhető a halmazora voatozó alábbi állítás 40 Tétel Ha A, B véges halmazo, aor A B = A + B A B A feti állítás szemléletese öye igazolható, ugyais az A B halmazba azo az eleme vaa, amelye legalább az egyibe bee vaa Így megszámolju azoat, amelye bee vaa A-ba, illetve ülö, ami bee vaa B-be, de mivel a metszetüet étszer számoltu, így a metszet elemszámát egyszer le ell voi, hogy mide elemet csa egyszer számolju Természetese a feti állítás iterjeszthető több halmazra is 41 Tétel Legyee A 1, A véges halmazo Eor A 1 A = ( 1 r 1 r=1 {i 1,i r} {1,,} {i 1,,i r} =r A i1 A ir A feti tétel első ráézésre egyáltalá em tűi éyelmese Segíthet, ha megértjü, mi törtéi a épletbe Va darab véges halmazu, és eressü az uióju elemszámát Az r = 1 eseté összeadju a halmazo elemszámát Így éháy elemet étszer számoltu ezért le ell vou belőle bizoyos elemszámoat, például r = eseté a ettős metszete elemszámát Ezutá hozzáadju a hármas metszete elemszámát, levoju a égyes metszete elemszámát, és ezt folytatju, míg el em jutu az r = esethez, ami az összes halmaza a metszete A feti tétel övetezméye a szitaformula 4 Tétel (Szitaformula Legyee A 1, A halmazo a véges U uiverzum részhalmazai Eor A 1 A = U + ( 1 r A i1 A ir r=1 {i 1,i r} {1,,} {i 1,,i r} =r A szitaformula a 41 Tétel egyees övetezméye, ugyais A1 A = U A1 A 4 Példa A Szegedi Tudomáyegyetem matematia taszécsoportja 100 matematia, 00 biológia és 400 iformatia szaos hallgatót otat Ai egyszerre matematia és biológia szaosa, azoa a száma 1, a matematia és iformatia szaosoé 44, illetve a biológia-iformatia szaos hallgató száma 6 Négy fő végzi egyszerre mid a három szaot Háy hallgatót otat a matematia taszécsoport? Jelölje I, B, M redre az iformatia, biológia és matematia szaos hallgató halmazát Eor a 41 Tétel szerit I B M = I + B + M I B I M B M + I B M = = 64 5