Legfontosabb bizonyítandó tételek

Átírás

1 Legfontosabb bizonyítandó tétele 1. A binomiális tétel Tetszőleges éttagú ifejezés (binom) bármely nem negatív itevőj ű hatványa polinommá alaítható a övetez ő módon: Az nem más, mint egy olyan n tényezős szorzat, amelyne minden tényező je (a+b), azaz: = (a+b)*(a+b)* (a+b) (n>=) esetében. Ha mindegyi (a+b) tényezőbő l az a-t szorozzu össze adódi. Ha n-1 tényezőből az a-t, egybő l a b-t szorozzu össze, lesz a szorzat. de mivel ilyen szorzatot n esetben apun, mert az n tényez ő bármelyiéből választhatju a b-t, tehát n* lesz az eredmény. Ha n- tényezőből a-t, ettőbő l b-t veszün, lesz a szorzat. Mivel azonban a b-t -féleéppen választhatju i az n darab (a+b) tényezőből, összesen lesz az eredmény. Végül az egyi tényezőből sem választun a-t, mindegyiből b-t választun, aor lesz az eredmény. így: ezzel a tételt bizonyítottu.

2 . Két halmaz uniójána valószínűségére vonatozó tétel: Tétel: Ha A és B ét tetszõleges esemény, aor anna a valószínûsége, hogy özülü legalább az egyi beövetezi, P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B). Bizonyítás: Az (A B) esemény előállítható ét egymást izáró esemény összegeént, azaz Ezért a III.axióma szerint és A B esemény is előállítható ét egymást izáró esemény összegeént, azaz és Ismét a III.axióma alapján Innen Ez utóbbit a összefüggésbe helyettesítve 3. Visszatevéses és visszatevés nélüli mintavétel tételei: Adott N ülönböző elem, özülü M db itüntetett (N, M N, M N). Kiválasztun özülü n db ot (n N, n N). Anna a valószínűsége, hogy a iválasztotta özött db itüntetett ( N, n, M) van n n M visszatevéses módszernél P = p q, ahol p =, q = 1 p ; N M N M n visszatevés nélüli módszernél P = N n Visszatevéses mintavétel: Tegyü fel, hogy N elem ű halmazban, pl. egy N golyót tartalmazó urnában, M feete és N M piros golyó van. Húzzun i egymás után találomra n számú golyót úgy, hogy a ihúzott golyót miután a színét feljegyeztü, visszadobju az urnába.

3 Határozzu meg anna a valószínűségét, hogy egy ilyen n húzásból álló sorozatban a feete golyó száma (a többi n pedig nyilván piros). Jelöljü A -val azt az eseményt, hogy az n golyó özül feete van. A feete golyó számára iválasztott lapra a feete golyó húzását M -féleépp, a többi n helyre a piros golyó húzását (N M) n -féleépp lehet feljegyezni. Így az összes lehetőség száma M (N M) n. A lap iválasztása n -féle módon lehet bárhogy is jelöljü i a lapot, a feladatna megfelel ő eredmény mindig M (N M) n. n Így az A esemény M ( N ) módon jöhet létre. Az összes elemi M eseménye száma N n, így anna a valószínűsége, hogy az pontosan darab feete van: P( A) n n M ( N M ) = n. N n ihúzott golyó özött Vezessü be a és a jelöléseet, ahol p a feete, q a piros golyó húzásána a valószín sége. Eor n P ű ( A) = p g épletet Bernoulli-féle épletne nevezzü. n (=0, 1,, n). Ezt a Mintavétel visszatevés nélül: Teintsün egy N elem ű halmazt (pl. egy N golyót tartalmazó urnát), amelyben M feete és N M piros golyó van. Vegyün i találomra n számú golyót az urnából, de úgy, hogy egyetlen golyó sem erülhet többször iválasztásra. Kétféle módon tehetjü meg: vagy egyszerre emeljü i az n golyót vagy egymás után húzzu i az urnából, de egyiet sem tesszü vissza. Mindét eljárást visszatevés nélüli mintavételne nevezi. Határozzu meg anna a valószínűségét, hogy az n golyó özött a feete golyó száma, a pirosaé pedig n. Az eseményt A -val jelöljü. A ét esetet ülön vizsgálju. Az els ő esetben az elemi eseménye száma az n számú pirosat =0,1 n. ; n N n -féleéppen M min (M,N-M) N n. M A számú feete golyót, M N lehet iválasztani. ( ) n P A = N Ha az M és az N értée nagy az n-hez épest, aor P értée a gyaorlat számára ielégít ő pontossággal özelíthető a visszatevéses mintavételnél megismert n M valószínű ségértéeel, azaz 4. Teljes valószínűség tétele

4 Tétel: Ha a H eseménytér B 1, B, B n eseményei teljes eseményrendszert alotna és P(B )>0 (=1,,.,n), aor bármely a H-hoz tartozó A esemény valószínûsége: teljes valószínűség tétele, mert egy A esemény valószínűségét (teljes) feltételes valószínűségeből (részvalószínűsége) határozzu meg. Bizonyítás: Az, hogy a B (=1,,.,n) eseménye teljes eseményrendszert alotna, azt jelenti, hogy egymást övet ő páronént izárjá és összegü biztos eseménye összegeént az alábbi módon: és ezért Alalmazva a szorzási szabályát) az egyes épletet (a valószínsége valószínűségere, a bizonyítandó álltást apju. 5. Bayes-tétel Tétel: Ha a H eseménytérhez tartozó B,... 1, B Bn eseménye teljes eseményrendszert alotna és P B ) >0, (=1,, n) aor bármely, a H-hoz ( tartozó pozitív valószínűség ű A eseményre igaz, hogy: P( B A) Bizonyítás: = n P( A B ) P( B ) i= 1 i, (=1,, n). P( A B ) P( B ) i A valószínűsége szorzási szabálya értelmében a és a összefüggéseet jelen esetre alalmazva apju, hogy Innen pedig A teljes valószínűség tétele szerint azonban

5 Amit az előz ő tört nevezőjébe helyettesítve a bizonyítandó tételhez jutun. 6. Várható érté négyzetes minimum tulajdonsága Tétel: Adott a ξ valószínűségi változó és az a valós szám. Az M [( ξ-a) ] érté pontosan aor minimális, ha a=m(ξ). 7. A binomiális eloszlás definíciója valószínűség-eloszlást határoz meg, illetve várható értééne meghatározása Tétel: Adott a ξ valószínűségi változó. Ha ξ lehetséges értéei 0, 1, n és n P(ξ = ) = p q n, ahol 0<p<1, q=1-p és =0, 1,,, n, aor az így definiált binomiális eloszlás valóban valószínűség-eloszlást határoz meg és az eloszlás várható értée: M(ξ)=n*p. Bizonyítás:

6 A valószínűégi változó eloszlásána éplettel történ ő definiálásaor legelőször azt ell tisztázni, hogy a éplet tényleg valószínűségeloszlást határoz-e meg: a ξ egyes értéeihez nemnegatív számona ell tartozniu és eze összegéne 1-ne ell lennie. A araterisztius és egyenletes eloszlásnál ezt a hozzárendelés módja biztosította. A binomiális eloszlásnál a a binomiális tételből ismert, hogy: negatív nem lehet, mert a p 0 és 1 özötti szám; továbbá Tehát a ξ egyes értéeihez tartozó valószínűsége összege: hiszen q = 1-p

7 8. A Poisson-eloszlás definíciója valószínűség-eloszlást határoz meg, illetve várható értééne meghatározása Tétel: Adott a ξ valószínűségi változó. Ha ξ lehetséges értéei 0, 1, λ λ és P( ξ = ) = e, ahol λ>0 és =0, 1,, aor az így! definiált Poisson eloszlás valóban valószínűség-eloszlást határoz meg és az eloszlás várható értée: M(ξ)=λ. 9. Folytonos egyenletes eloszlás várható értée

8 Tétel: Ha a ξ valószínűségi változó az ]a;b[ intervallumon egyenletes eloszlású, aor várható értée: Bizonyítás: a + b M ( ξ ) =. A várható érté: A folytonos egyenletes eloszlás a diszrét egyenletes eloszlás folytonos megfelelője, és olyan eseteben alalmazzu, amior az ]a;b[ intervallum bármely, részintervallumába az intervallum hosszával arányos valószínűséggel esi. 10. Exponenciális eloszlás sűrűségfüggvénye valóban sűrűségfüggvény Tétel: Adott a ξ valószínűségi változó. Ha sűrű ségfüggvénye λ x λ e, ha x 0 f ( x) = 0, ha x 0, ahol λ>0, x valós szám, aor az így definiált exponenciális eloszlás valóban valószínűség-eloszlást határoz meg. Bizonyítás: 11. Kapcsolat az N(m,σ) és az N(0,1) normális eloszlás függvényei özött

9 Tétel: A normális eloszlású valószínű ségi változó várható értée m, szórása σ, sűrűségfüggvénye f ( x m) 1 σ ( x) = e, σ π x ( x m) 1 σ ( x) = e eloszlásfüggvénye F dx, aor a standard σ π normális eloszlású valószínűségi változóna, melyne várható 1 értée 0, szórása 1, sűrűségfüggvénye f ( x) = e, π eloszlásfüggvénye x x 1 F( x) = e π dx. x 1. Várható értére szimmetrius onfidencia-intervallumba esés valószínűsége normális eloszlás esetén

10 Bizonyítás: Tétel: Adott a ξ normális eloszlású valószínűségi változó, m a várható értée, σ a szórása. Anna a valószínűsége, hogy δ [m-δ;m+δ] intervallumba esi Φ 1 σ. (δ>0, valós szám.) ξ értée A ξ normális eloszlású valószínűségi változó szimmetrius onfidencia-intervallumba esése csa a t paramétertől függ: (1) t =1 (egy szigma szabály) esetén örnyezetbe. valószínű séggel esi () t = esetén örnyezetbe. valószínűséggel esi (3) t = 3 esetén örnyezetbe. valószínűséggel esi Marov - Csebisev egyenlőtlenség Marov: Legyen η olyan nemnegatív valószínűségi változó, amelyne létezi várható értée: M(η)>0 és legyen t >1. Eor 1 P( η t M ( η)) t. Az a = t * M(η) jelölést bevezetve a tétel más, ezzel evivalens alaban is felírható; tető szelges a >0

11 Bizonyítás: Ha η diszrét valószínűségi változó és lehetséges értéei y1, y, (y i 0), aor Ha folytonos g sűrűségfüggvénnyel, aor Csebisev: Legyen ξ olyan valószínű ségi változó amelyne létezi szórása. Ha D(ξ)>0, aor tetsző leges t>1 esetén 1 P( ξ M ( ξ) td( ξ) ) (D(ξ)> 0) t Bizonyítás: Alalmazzu a Marov-egyenlő tlenséget az valószínűségi változóra és t helyett t -re. Eor a, egyenlőtlenséget apju. Mivel azonban, így Amiből már gyövonással övetezi a bizonyítandó állítás 1 P( ξ M ( ξ) td( ξ) ) (t > 0) t Komplementer eseménye:

12