m,p) binomiális eloszlás.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "m,p) binomiális eloszlás."

Átírás

1 A Valószíűségszámítás I. előadássorozat hatodi témája. Néháy fotos diszrét eloszlás. Ismertetem éháy fotos diszrét eloszlás defiicióját, és tárgyalom eze legfotosabb tulajdoságait. Az eloszláso bevezetés előtt ismertete éháy olya példát, amelyebe azo megjelee. Eze özül éháyal már orábba is találoztu. Az első példa a övetező. a. A biomiális eloszlás. Teitsü először egy tipius példát, amelybe a biomiális eloszlás megjelei. Dobju fel egy pézdarabot alalommal egymástól függetleül, és mide egyes dobásba legye p, 0 p 1, a fejdobás valószíűsége. Mi a valószíűsége aa, hogy potosa fejdobás övetezi be? Ee valószíűsége p 1 p. Valóba, olya fej-írás sorozat létezi, amely fej és írásjelet tartalmaz, és az adott feltétele mellett mide ilye dobássorozat valószíűsége p 1 p. Az ilye jellegű feladato leírására vezetté be a biomiális eloszlás fogalmát. A biomiális eloszlás defiiciója. Azt modju, hogy a ξ valószíűségi változó biomiális eloszlású és p paraméterrel, = 1,2,..., 0 p 1, ha Pξ = = p 1 p mide 0 számra, és Pξ = = 0 egyébét. Ezt az eloszlást szoás B,p-vel jelöli. Egy B1,p eloszlású ξ valószíűségi változót, azaz egy olya ξ valószíűségi változót, amelyre Pξ = 0 = 1 p, Pξ = 1 = p Beroulli eloszlásúa is szota evezi. Jegyezzü meg, hogy valóba eloszlást defiiáltu, azaz a em-egatív valószíűsége összege egy, mert a biomiális tétel szerit p 1 p = p + 1 p = 1. Jegyezzü meg, hogy a B,p és Bm,p biomiális eloszláso ovoluciója a B + m,p biomiális eloszlás. Emléeztetőül felidézem, hogy egy P = {p 0,p 1,...} és Q = {q 0,q 1,...} eloszlás ovoluciója az az R = {r 1,r 2,...} eloszlás amelye elemeit az r = p q, = 1,2,..., éplet határozza meg. Ee valószíűségi tartalma a övetező: Ha ξ és η ét függetle, em egatív egész értéeet felvevő valószíűségi változó, amelyere Pξ = = p, Pη = = q, = 0,1,2,..., aor ξ + η olya em egatív egész értéeet felvevő valószíűségi változó, amelyre Pξ + η = = r, = 0,1,2,... 1

2 Valóba a feti ovolucióról szóló állítás érvéyes, mivel a teitett ét eloszlás ovoluciója egy olya p, 0 + m eloszlás, amelyre p = j=0 m p j 1 p j p j 1 p m j j j = p 1 p j=0 m = j j + m p 1 p, mert j=0 m = j j + m. Ez utóbbi állítása ombiatorius bizoyítását megadtam az első téma jegyzetébe a Néháy a tárgyalt ombiatorius érdéseel apcsolatos eredméy feladatsor 7. feladatáa az ismertetésébe. Sőt, e feladatsor 9. feladatába megadtam eze azoosság egy általáosításáa aalitius az 1 + x α függvéy hatváysoráa az alajá alapuló bizoyítását is. Két eloszlás ovolucióját iszámolhatju az alább ismertetedő geerátorfüggvéy módszere evezett eljárás segítségével is. Ha adva va ét P = {p 0,p 1,...} és Q = {q 0,q 1,...} eloszlás, aor redeljü hozzáju az Fx = p x és Gx = q x hatváysoroat. Ezeívül redeljü a P és Q eloszláso R = {r 0,r 1,...} ovoluciójához a Hx = r x hatváysort. Eor teljesül az FxGx = Hx azoosság. =0 Továbbá, ha ismerjü a Hx függvéyt, aor aa szucessziv deriválásával majd a ulla érté behelyettesítésével iszámolhatju a miet érdelő r meyiségeet. Ie az is övetezi, hogy ha FxGx = Hx, aor a P és Q eloszláso ovoluciója a R eloszlás. Megmutatom azt is, hogya lehet a biomiális eloszláso ovoluciójáa alajáról szóló állítást a geerátorfüggvéy módszer segítségével beláti. Számolju i a B,p biomiális eloszlás F,p x geerátorfüggvéyét. Ie F,p x = =0 p 1 p x = 1 p ] = 1 p + px. = 1 p [ 1 + px 1 p px 1 p F,p xf m,p x = 1 p + px 1 p + px m = 1 p + px +m = F +m,p x mide 1, m 1 egész és 0 p 1 valós számra. Ez azt jeleti, hogy a B,p és Bm,p eloszláso ovoluciója a B + m,p eloszlás. 2 =0

3 Feladat: 1. Adju egyszerű, a biomiális eloszlás valószíűségi tartalmát ihaszáló bizoyítást arra, hogy a B,p és Bm,p biomiális eloszláso ovoluciója a B+m,p biomiális eloszlás. Megoldás: Elég megmutati, hogy léteze olya függetle B, p paraméterű ξ és Bm, p paraméterű η biomiális eloszlású valószíűségi változó, amelye ξ + η összege B + m,p paraméterű biomiális eloszlású valószíűségi változó. Ee érdeébe teitsü egy olya pézdarab + m darab egymás utái függetle feldobását, amely p valószíűséggel esi a fej és 1 p valószíűséggel az írás oldalra. Legye ξ az első dobásba, η pedig az +1-i dobástól az +m-ig dobásig tartó dobássorozatba megjeleő fej dobáso száma. Eze a ξ és η valószíűségi változó teljesíti a ívát tulajdoságoat. Számítsu i egy B, p eloszlású valószíűségi változó várható értéét és szóráségyzetét. A legegyszerűbb módszer a övetező: Legyee ξ 1,...,ξ függetle, B1,p eloszlású valószíűségi változó. Eor ξ = ξ j B,p eloszlású valószíűségi változó, és Eξ j = 1 p+0 1 p = p, Eξj 2 = 1 p+0 1 p = p, Var ξ j = Eξj 2 Eξ j 2 = p p 2 mide j = 1,..., számra. Ezért a eresett várható érté és szóráségyzet Eξ = Eξ j = p és Var ξ = Var ξ j = p1 p. Feladat: 2. Számítsu i egy B,p eloszlású valószíűségi változó várható értéét és szóráségyzetét az e fogalmaat defiiáló összege iszámításáa a segítségével. Megoldás: Eξ = p 1 p, Eξ 2 = =1 2 p 1 p, és Var ξ = Eξ 2 Eξ 2. Ezeet a ifejezéseet ell iszámolu. Vegyü észre, hogy = 1 1, 2 = + 1 = Ie 1 1 Eξ = 1 1 = p p +1 1 p 1 =1 p 1 p 1 = p1 + 1 p 1 = p, Eξ 2 = p +1 1 p p +2 1 p 2 3

4 2 2 = p + 1p 2 p 1 p 2 = p + 1p 2 p + 1 p 1 = p + 2 p 2, és Var ξ = p + 2 p 2 2 p 2 = p1 p. A biomiális eloszlás természetes többdimeziós általáosítása a poliomiális eloszlás. Ee megértéséhez teitsü a övetező feladatot. Adva va r ura. Ezebe bedobu összese golyót egymástól függetleül. Az egyes golyó p 1 valószíűséggel ese az első p 2 valószíűséggel a másodi,... p r valószíűséggel az r-i urába. Mi a r valószíűsége aa, hogy a j-i urába j golyó esi, 1 j r, r =?! Ez a valószíűség 1! 2! r! p 1 1 p r! r, mert 1! 2! r! ilye dobássorozat va, és mide ilye dobássorozat valószíűsége p 1 1 p r r. Itt a lehetséges dobássorozato összeszámlálásáál megülöböztettü ét olya dobássorozatot, amelyebe ugyaayi golyó esett az egyes urába, de más sorredbe. A poliomiális eloszlás defiiciója. A ξ 1,...,ξ r r változós véletle vetor poliomiális eloszlású, = 1,2,..., és p j, 1 j r, paramétereel, p j = 1, r ha Pξ 1 = 1,ξ 2 = 2,...,ξ r = r =! 1! 2! r! p 1 1 p 2 2 p r r az olya 0 j, 1 j r számora, amelyere r j =. A poliomiális eloszlás valóba eloszlás, azaz Pξ 1 = 1,ξ 2 = 2,...,ξ r = r 0 mide lehetséges 1,..., r értére, és Pξ 1 = 1,ξ 2 = 2,...,ξ r = r = 1. Ez utóbbi azoosságot vagy a poliomiális eloszlás valószíűségi tartalmáa felhaszálásával vagy a poliomiális tétel segítségével láthatju, mely szerit Pξ1 = 1,ξ 2 = 2,...,ξ r = r = j 0,,...,r r = = p p r = 1.! 1! 2! r! p 1 1 p 2 2 p r r Feladat: 3. Legye ξ 1,...,ξ r poliomiális eloszlású véletle vetor és p j, 1 j r, r p j = 1 paramétereel. Eor Eξ j = p j, Varξ j = p j 1 p j, 1 j r, és Cov ξ j,ξ = p j p, 1 j, r, j. 4

5 b. A egatív biomiális eloszlás és aa speciális esete, a geometriai eloszlás. Most is először egy olya tipius példát teite, amelybe eze az eloszláso megjelee. Rögzítsü egy r pozitív egész számot, és dobju fel egy pézdarabot, amely p valószíűséggel esi a fej 1 p valószíűséggel az írás oldalra egymás utá többször egymástól függetleül, egésze addig amior az r-i fejdobás megjelei. Mi a valószíűsége aa, hogy ez a + r-i dobás? Ez a valószíűség +r 1 r 1 1 p p r. Ez ugyais azt jeleti, hogy az első + r 1 dobásba potosa r 1 fej és írás dobás törtét, amie valószíűsége +r 1 r 1 1 p p r 1, valamit a + r-i dobás fej, amie a valószíűsége p, és függetle az előző eseméytől. A egatív biomiális és geometriai eloszlás defiiciója. Azt modju, hogy a ξ valószíűségi változó egatív biomiális eloszlású r, r = 1,2,..., és p, 0 < p 1, paraméterrel, ha ξ r,r + 1,..., értéeet vesz fel és + r 1 Pξ = + r = 1 p p r, = 0,1,2,... r 1 Az r = 1 és p paraméterhez tartozó egatív biomiális eloszlást, azaz azt az eloszlást, amelyre Pξ = + 1 = p1 p, = 1,2,..., p paraméterű geometriai eloszlása is evezi. A másodi téma jegyzetébe tárgyalt 3. és 5. feladat megoldási módszerée a segítségével megmutatható, hogy a egativ biomiális eloszlás valóba valószíűségeloszlás, azaz Pξ = + r = 1 p p r = 1. E feladatoba ezt az állítást +r 1 r 1 csa egy speciális esetbe igazoltu, ha = 3, és p = 1 6, de az ott alalmazott módszer alalmazható az általáos esetbe is. Megmutatom, hogya lehet az 5. feladat megoldásába haszált módszert alalmazi az általáos esetbe. A övetező azoosságot fogju haszáli, amely a egatív biomiális eloszlás más tulajdoságaia a bizoyításába is haszos. + r 1 + r 1 + r 1 + r 2 r + 1r = = r 1! rr r 2 + r 1 = 1! r r 1 r + 2 r + 1 r = 1 = 1.! Eze azoosság alapjá + r 1 Pξ = + r = r 1 1 p p r = r 1 1 p p r = 5 = 0,1,2,..., r p 1 p r,

6 egy r és p paraméterű egatív biomiális eloszlásra. A egatív biomiális eloszlás feti reprezetációja az oa eze eloszlás elevezésée. Ebből a épletből, illetve az 1 + x r függvéy 1 + x r = x, ha x < 1 alaú Taylor sor előállításából az is övetezi, hogy + r 1 r 1 amit állítottam. r 1 p p r = p r r p 1 = p r [1 + p 1] r = 1, Tárgyalju meg a egatív biomiális eloszlás éháy további fotos tulajdoságát. Feladat: 4. Bizoyítsu be valószíűségi meggodoláso segítségével, hogy egy r 1 és p paraméterű valamit egy r 2 és p paraméterű egatív biomiális eloszlás ovolúciója egy r 1 +r 2 és p paraméterű egatív biomiális eloszlású valószíűségeloszlás. Követezéséppe, egy r és p paraméterű egatív biomiális eloszlás előáll, mit r darab p paraméterű geometriai eloszlás ovoluciója. Megoldás: Teitsü ét egymásól függetle végtele fej-írás dobássorozatot, amelyebe az egyes dobáso p valószíűséggel ese a fej és 1 p valószíűséggel az írás oldalra. Teitsü azt a dobássorozatot, amely az első dobássorozat elemeiből áll, amíg az r 1 -i fejdobás megjelei, majd a másodi dobássorozat elemeivel folytatódi egész addig, amíg abba az r 2 -i fejdobás megjelei, majd a sorozat abbamarad. Jelölje ξ az így defiiált sorozat hosszát, ξ 1 e sorozata az első végtele dobássorozattal, ξ 2 pedig e sorozata a másodi dobássorozattal özös részée a hosszát. Eor ξ 1 és ξ 2 függetle valószíűségi változó, ξ 1 + ξ 2 = ξ, továbbá ξ 1, ξ 2 és ξ egatív biomiális eloszlású valószíűségi változó r 1,p, r 2,p, illetve r 1 + r 2,p paramétereel. Ie övetezi a feladat állítása. Lássu be az előbbi feladat állítását özvetle számolással is. Elég megmutati azt, hogy egy r és p paraméterű egatív biomiális eloszlású és egy p paraméterű geometriai eloszlás ovoluciója egy r + 1 és p paraméterű egatív biomiális eloszlás. Ehhez azt ell beláti, hogy r + j 1 1 p j p r 1 p j p = r 1 j=0 + r r 1 p p r+1. Ezt az azoosságot öye látju, ha tudju, hogy érvéyes a övetező azoosság: j + r 1 + r =. r 1 r j=0 Az utóbbi azoosság viszot övetezi például a övetező ombiatoriai érvelésből. A természetes számo halmazá +r r módo jelölhetü i r + 1 számot úgy, hogy a 6

7 agyság szerit r+1-i szám a +r+1 szám legye, és az azoosság jobboldala ezzel egyelő. Ezt viszot úgyis iszámolhatju, hogy azt teitjü, háy olya elredezés va, amelybe az r-i ijelölt pot a j + r, az r + 1-i pedig a + r + 1 szám, majd összegezü 0 j -ra. Mivel rögzített j-re az ilye elredezése száma j+r 1 r 1, ie övetezi a felírt azoosság. Megmutatom, hogy hogya lehet a 4. feladat állítását aalitius módo bebizoyítai. Teitsü az r és p paraméterehez tartozó g r,p x geerátorfüggvéyt, azaz a övetező összeget: + r 1 g r,p x = 1 p p r x +r. r 1 Ha belátju, hogy ez az összeg overges például az 1 < x < 1 itervallumo, valamit g r1,pxg r2,px = g r1 +r 2,px, aor ie az ötödi téma ismertetésée végé tett észrevételeből övetezi az állítás. A g r,p x függvéy viszot egyszerűe zárt alara hozható az 1 azoosság segítségével. Valóba, r r g r,p x = 1 1 p p r x +r = px r 1 px = px r 1 1 px r = px 1 1 px ami az 1+x r függvéy hatváysoráa az alajából látható. Ie viszot öye látható a geerátorfüggvéyere felírt azoosság. Számítsu i egy egatív biomiális eloszlású valószíűségi változó várható értéét és szóráségyzetét. Ezt iszámíthatju a geerátorfüggvéy deriválásáa segítségével. Először egy más módszert választu. Egy geometriai eloszlású valószíűségi változó várható értéét és szóráségyzetét iszámolju diret módo, majd az általáos esetet visszavezetjü erre. Legye ξ geometriai eloszlású valószíűségi változó p paraméterrel, azaz legye Pξ = + 1 = p 1 p, = 0,1,... Eor Eξ = r, + 11 p p = p 1 p 1, Eξ 2 = p 2 1 p 1, és Var ξ = Eξ 2 Eξ 2. Deriválju étszer a x < 1 azoosságot. Azt apju, hogy 1 1 x 2 = x 1, =1 2 1 x 3 = 1x 2. =2 7 x = 1 1 x,

8 1 Ie x = 1 p helyettesítéssel p = 1 p 1, Eξ = p 1 p 1 = p 2 p = 1 2 p, =1 =1 2 1 p 1 = 1 p 11 p p 1 = 21 p p p, 2 Eξ 2 = 21 p p 2 Feladat: + 1 p =2, Varξ = 21 p p 2 =1 + 1 p 1 p 2 = 1 p 2 1 p = 1 p p Számítsu i egy és p paraméterű egatív biomiális eloszású valószíűségi változó várható értéét és szóráségyzetét aa az ismerete a segítségével, hogy egy p paraméterű geometriai eloszlású valószíűségi változó várható értée 1 p és szóráségyzete 1 p p. 2 Megoldás: Teitsü függetle geometriai eloszlású ξ 1,...,ξ r valószíűségi változót, és legye S = ξ j. Eor S egatív biomiális eloszlású valószíűségi változó és p paramétereel. Továbbá, ES = Eξ 1 = 1 p p, Var S = p. 2 Tárgyalju meg, hogya lehet egy egatív biomiális eloszlású valószíűségi változó várható értéét és szóráségyzetét iszámoli a geerátorfüggvéye ismeretébe. Sőt, lássu be egy olya formulát, amely általáosabb esetbe is alalmazható. Legye P = {p : = 1,2,...}, p 0, = 0,1,2,..., p = 1, valószíűség eloszlás a em egatív egész számoo. Vezessü be az eze eloszláshoz tartozó gx = g P x = p x. geerátorfüggvéyt. Vegyü észre, hogy a gx függvéyt defiiáló hatváysor overges a 1 < x < 1 itervallumba. Továbbá étszeri deriválás és az x = 1 formális helyettesítés azt sugallja, hogy valamit g x = p x 1, g x = =1 g 1 = p, g 1 = =1 1p x 2, =2 1p, és eze azoosságo segítségével iszámolhatju a eresett várható értéet és szóráségyzetét. Ugyais Eξ = p = g 1, Eξ 2 = 2 p = 1p + p = g 1 + g 1, ahoa Varξ = Eξ 2 Eξ 2 = g 1 + g 1 g 1 2. Felmerül a érdés, szabad-e az alábbi számolásoat végrehajtai. A problémát az oozza, hogy hatváysoroat szabad tagoét deriváli a overgeciatartomáy 8 =2 =2 =1

9 belsejébe, de mi az x = 1 helyettesítést hajtottu végre, és lehet, hogy a gx függvéy hatváysora em terjeszthető i egy a 1, 1 itervallumál agyobb itervallumra. A egatív biomiális eloszlás geerátorfüggvéye eseté egy ilye iterjesztés lehetséges, de érdemes az általáos esetet is teitei, amior em lehet ezt a lehetőséget izári. Az aalízis bizoyos eredméyei biztosítjá a feti számolás jogosságát. Egyrészt igaz az, hogy ha egy hx = a x hatváysor overges egy A,A itervallum- ba, és a ha = a A összeg overges, aor lim hx = ha. Másrészt, ha x A a hx Taylor-sor a együtthatói em egatíva, aor lim hx = ha. Speciálisa, x A ha ebbe az esetbe lim hx < aor ha <. Ezee az eredméyee az x A alalmazásával A = 1 és hx = g x illetve hx = g x választással meg lehet mutati a feti számoláso jogosságát. Érdemes megjegyezi, hogy az általáos esetbe a g 1 = lim g x, g 1 = lim g x épletet ell alalmazu aa érdeébe, hogy x 1 x 1 a g 1 és g 1 számoat értelmezi tudju. Megjegyzés: Az, hogy egy hatváysor hogya viseledi a overgeciaörée szélé, a omplex függvéyta egyi ehéz és fotos érdése. Aa érdeébe, hogy lássu egy egyszerű példát, amely rávilágíthat arra, hogy vigyázi ell a formális számoláso sorá, teitsü az hx = 1 1+x = 1 x hatváysort. Eor hx overges a 1 < x < 1 itervallumba, h1 = 1 2, és hx hatváysora az x = 1 potba, a 1 sor, diverges. Ez a példa azért em mod elle a fet elmodottaa, mert ebbe a hatváysorba vaa egatív együttható is. Feladato: 6. Lássu be, hogy ameyibe egy ξ valószíűségi változó geerátorfüggvéye valamely gx függvéy, aor Eξ = g 1, Var ξ = g 1 + g 1 g 1 2, ahol az általáos esetbe a g 1 = lim g x és g 1 = lim g x éplete defiiáljá x 1 x 1 ezeet a meyiségeet. Számolju i egy r és p paraméterű egatív biomiális eloszlású valószíűségi változó várható értéét és szóráségyzetét, felhaszálva, px hogy e valószíűségi változó geerátorfüggvéye a 1 1 px r függvéy. Megoldás: A gx = p x függvéy ét egymásutái deriválása és az x = 1 helyettesítés adja, hogy g 1 = p = Eξ, g 1 = 1p = Eξξ =1 =1 1. Mit azt az előadáso megtárgyaltu az aalízis bizoyos eredméyei lehetővé teszi a fet alalmazott tagoéti deriválást. Ezért Eξ = g 1, Eξ 2 = g 1 + g 1, és Var ξ = g 1 + g 1 g

10 Az r és p paraméterű egatív biomiális eloszlás geerátorfüggvéye r px gx =. 1 1 px Ie g x = rp px 1 1 px r px 2, r 2 g x =rr 1p 2 px px 1 1 px 4 + rp px 1 1 px r 1 21 p 1 1 px 3. Behelyettesítéssel Eξ = r p, g 1 = r2 +r p 2 2r p, Varξ = g 1+g 1 g 1 2 = r1 p 7. Mutassu példát olya P = {p : = 1,2,...}, p 0, = 0,1,2,..., p 2. p = 1, valószíűség eloszlásra a em egatív egész számoo, amelye gx = p x geerátorfüggvéye semmilye ε > 0 szám eseté em terjeszthető i a 1 ε < x < 1 + ε itervallumra. Megoldás: Legye α > 1 tetszőleges szám. Eor Cα = 1 <, és p α = 1 p α = Cα, = 1,2,..., valószíűségeloszlás. Ee geerátor függvéye a α p x = 1 x Cα semmilye ε > 0 számra em overgál a 1 ε < x < 1+ε α =1 =1 x itervallumo, mert mide x > 1 számra lim =. α 8. Legye ξ geometriai eloszlású valószíűségi változó, azaz legye Pξ = = p1 p 1, = 1,2,... Itt a geometriai eloszlása az eredeti defiiciótól formálisa eltérő, de azzal evivales jellemzését adtu meg. A Pξ = valószíűségeet adtu meg = 1,2,... értéere a Pξ = + 1, = 0,1,2,... valószíűsége helyett. Lássu be, hogy ξ teljesíti a övetező diszrét öröifjú tulajdoságot. Pξ = + l ξ > l = p1 p 1 = Pξ =, l = 0,1,2, = 1,2,... 2 Adju meg ee az azoossága a valószíűségszámítási magyarázatát is. Megoldás: Pξ = + l ξ > l = Pξ = + l = Pξ = l + j =1 p1 p+l 1 p1 p l+j 1 = 1 p 1 = p1 p 1 = Pξ =. 1 p j j=0 10

11 Teitsü egy a fej-oldalára p valószíűséggel eső pézérme végtele egymás utái feldobását. A most bebizoyított azoosság baloldalá aa a feltételes valószíűsége áll, hogy az l-i dobás utá még dobást ell tei ahhoz, hogy az első fejdobás megjeleje, feltéve, hogy az első l dobásba, em volt fejdobás. Mivel az első l dobás és az utáa övetező dobáso eredméyei egymástól függetlee, és az egyes dobáso fej-oldalra való esésée ugyaayi a valószíűsége, ezért ez a feltételes valószíűség megegyezi aa a valószíűségével, hogy a -i dobás az első fejdobás. A 2 azoosság ezt a téyt fejezi i. Megjegyzés. Összegezve a 2 formulát rögzített l-re és mide > m-re valamilye rögzített m em egatív egész számra azt apju, hogy mide l > 0 és m > 0 egész számra Pξ > l + m ξ > l = Pξ > m. Ezt az azoosságot lehet úgy iterpretáli, hogy ha valaie az élettartama geometriai eloszlású, azaz aa a valószíűsége, hogy a időpotba fog meghali Pξ = = p1 p, = 1,2,..., aor aa a valószíűsége, hogy az illető az l időpot utá még legalább m ideig fog éli feltéve, hogy az l életort megélte ugyaayi, mit aa a valószíűsége, hogy egy hasoló eloszlású újszülött legalább m ideig fog éli. Ezért ezt az azoosságot szoás diszrét öröifjú tulajdosága evezi. A diszrét jelző itt arra utal, hogy a geometriai eloszlás csa em egatív egész számora teljesíti ezt az azoosságot. Később láti fogju, hogy va egy olya eloszlás, az expoeciális eloszlás, amely teljesíti ee az azoossága egy természetes általáosítását mide pozitív valós számra. Ezt hívjá öröifjú tulajdosága, ami az expoeciális eloszlása egy agyo fotos tulajdosága. c. A hipergeometrius eloszlás. Teitsü először egy tipius példát, amelybe ilye eloszláso megjelee. Adva va egy urába M piros és N M fehér golyó. Visszatevés élül ihúzu, N, golyót. Mi aa a valószíűsége, hogy piros golyót húztu i? Ez a valószíűség M N M. Valóba, ha megülöböztetjü az egyes golyóat, N aor N ülöböző húzáseredméy alaulhat i. Nem ülöböztetü meg ét húzáseredméyt, ha ugyaazoat a golyóat húztu i csa más sorredbe. Kissé részletesebbe ifejtve: Az urába levő golyóat számozzu meg 1-től N-ig úgy, hogy a piros golyó apjá az 1,...,M és a fehér golyó az M + 1,...,N számoat. Egy hosszúságú visszatevés élüli húzássorozat eredméye egy az 1,..., N számoból álló hosszú számsorozat, amelye mide tagja ülöböző. A ülöböző húzássorozato számát számolju i, ha azoosítu ét olya sorozatot, amelybe ugyaazo a számo szerepele csa más sorredbe. Ezutá azo hosszúságú húzássorozato számát számolju össze, amelyebe piros, azaz az 1,...,M számo valamelyiével idexezett golyó va. Olya húzássorozat, amelybe az M piros golyóból -t, az N M fehér golyóból pedig -t húzu M N M va. Mivel eze azo az hosszú húzássorozato, amelyebe potosa piros golyót húzu, és az egyes húzássorozato valószíűsége megegyezi, ie övetezi az állítás. A hipergeometrius eloszlás defiiciója. Azt modju, hogy a ξ valószíűségi változó hipergeometrius eloszlású N, M és paramétereel, ahol N, M és em 11

12 egatív egész számo, M < N, < N, ha ξ valamely egész értéet vesz fel, amelyre 0, és M N M Pξ = = N, 0. Ilye módo valóba eloszlást defiiáltu. A Pξ = = 1 azoossággal evivales eloszlás vizsgálatába. M N M = N azoosságot más jelöléssel beláttu a biomiális A övetező feladat egy tipius probléma, ahol a hipergeometrius eloszlás megjelei. Számolju i aa valószíűségét, hogy a lottóba potosa három találatu lesz. E feladat megoldását tartalmazza a 2. téma ismertetésée 6. feladata. Ezért ezt em ell újra tárgyalom. Oldju meg a övetező feladatoat. Feladato: 9. Számolju i egy N, M és paraméterű hipergeometrius eloszlású ξ valószíűségi változó várható értéét és szóráségyzetét, azaz egy olya valószíűségi változó várható értéét és szóráségyzetét, amelyre M N M Pξ = = N, 0. Mutassu meg, hogy Eξ = M N, Var ξ = M N 1 M N N 1. Megoldás: Teitsü egy urát, amely M piros és N M fehér golyót tartalmaz, és húzzu i golyót visszatevés élül. Defiiálju a övetező ξ j, 1 l, valószíűségi változóat. Legye ξ j = 1, ha a j-i húzás piros, ξ j = 0, ha a j-i húzás fehér. Eor a megoldadó feladat evivales az S = ξ j összeg várható éréée és szóráségyzetée a iszámolásával. Viszot már orábbi eredméyeből övetezi, hogy Eξ j = M N, Varξ j = M N M N mide 1 j N idexre, továbbá, Cov ξ j,ξ = M M 1 N N 1 M 2 N mide 1 j,, j számpárra. A várható érté additivitásából övetezi, hogy ES = M N. Itt ics szüség az összeadadó függetleségée a feltételezésére. Az összeg szóráségyzetée iszámítására tault általáos épletből, amior az összeadadó em feltétleül függetlee és a feti formulából övetezi, hogy Var S = Var ξ 1 + 1Cov ξ 1,ξ M M = N M M 1 M + 1 N N N 1 N 12 2

13 = M 1 M N M 1 N N N 1N = M 1 M 1 1 = M N N N 1 N 1 M N N N 1. Ha egy urahúzásba N és N M agy, azaz so fehér és piros golyó va az urába, és fix számú golyót ihúzu, aor a húzáseredméy szempotjából alig va jeletősége aa, hogy a ihúzott golyóat visszadobju-e vagy sem. Ilye jellegű állítást fogalmaz meg a övetező egyszerű feladat. M 10. Ha N, lim N N = p, 0 < p < 1, rögzített egész szám, aor M N M lim N N = p 1 p mide 0 számra. Megoldás: M N M N =!!! MM 1 M + 1 NN 1 N + 1 p 1 p ha N, N M N M N N + 1 mert MM 1 M +1 NN 1 N +1 p, és N M N M ++1 N N +1 1 p, ha N. A hipergeometrius eloszlás természetes többváltozós általáosítása a polihipergeometrius eloszlás. Ee megértése érdeébe teitsü a övetező feladatot: Egy urába r ülöböző szíű golyó va, N 1 1-es, N 2 2-es,... N r r-es szíű golyó. Legye N = r N j. Ezeből a golyóból ihúzu -et visszatevés élül. Mi aa a valószíűsége, hogy 1 1-es, 2 2-es,... r r-es szíű golyót húzu i? A válasz: N1 N2 1 2 Nr N, ha = r r, egyébét pedig ulla. Ee az állítása a bizoyítása hasolóa törtéhet, mit a hipergeometrius eloszlás bevezetése előtt teitett feladaté. Ee a feladata az alapjá vezetté be a övetező fogalmat. A polihipergeometrius eloszlás defiiciója. Azt modju, hogy a ξ 1,...,ξ r véletle vetor polihipergeometrius eloszlású N 1,...N r és paramétereel, ahol N j, 13 r

14 1 j r, és em egatív egész számo, és N = r N j jelöléssel < N, ha olya 1,..., r egész számoból álló vetoro az értéei, amelyere 0 j N j mide 1 j r idexre, és Pξ 1 = 1,...,ξ r = r = N1 és Pξ 1 = 1,...,ξ r = r = 0, ha r j. N2 1 2 Nr N, ha = r r j, Mivel a polihipergeometrius eloszlás számura evésbé fotos, ezért egy ilye eloszlású véletle vetor várható értéée és ovariaciáia iszámolását csa a em ötelező taayagot tartalmazó 2. iegészítésbe tárgyalom. d. A Poisso eloszlás. A Poisso eloszlást özvetleül fogom defiiáli. Azo a tulajdoságai, amelye miatt fotos szerepet játszi a valószíűségszámításba eze eloszlás tárgyalása sorá foga iderüli. A Poisso eloszlás defiiciója. Egy ξ valószíűségi változó λ paraméterű Poisso eloszlású, ha ξ em egatív egész értéeet vesz fel, és Pξ = = λ! e λ, = 0,1,2,... Ez valóba valószíűség eloszlás, mert Pξ = = λ! e λ = e λ λ! = e λ e λ = 1. Számítsu i egy λ paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változó geerátorfüggvéyét. Ez Pξ = x = λ! e λ x = e λ λx! = e λ e λx = e λx 1. A övetező állítást fotossága miatt fogalmazzu meg Tétel formájába. Tétel függetle Poisso eloszlású valószíűségi változó összegée eloszlásáról. Ha ξ és η ét függetle, λ illetve µ paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változó, aor ξ + η λ + µ paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változó. 14

15 Bizoyítás: Pξ + η = = = Pξ = j,η = j = j=0 j=0 Pξ = jpη = j j=0 λ j µ j e λ j! j! e µ = e λ+µ! = e λ+µ λ + µ.! j=0! j! j! λj µ j Feladat: 11. Mutassu meg, hogy a Poisso eloszlás geerátorfüggvéyée alajából látható, hogy ha ξ és η ét függetle, λ illetve µ paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változó, aor ξ + η λ + µ paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változó. Megoldás: Mivel egy λ paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változó geerátorfüggvéye e λx 1, egy µ paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változó geerátorfüggvéye e µx 1, és egy λ+µ paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változó geerátorfüggvéye e λ+µx 1 a feladat állítása övetezi az azoosságból. e λx 1 e µx 1 = e λ+µx 1 A feti eredméy övetezméye, hogy ameyibe véges so függetle, Poisso eloszlású valószíűségi valószíűségi változóa vesszü az összegét, az ismét Poisso eloszlású lesz, amelye paramétere az egyes valószíűségi változó paramétereie az összege. A övetező feladat állítása, amelye érdees övetezméyei vaa, teithető úgy, mit ee az állítása a megfordítása. Abba ugyais egy alalmas ostrució segítségével egy Poisso eloszlású valószíűségi változót botu fel függetle, isebb paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változó összegére. Feladat: 12. Legye adva darab ura, és ezebe dobju be véletle ξ számú golyót, ahol ξ Poisso eloszlású valószíűségi változó λ > 0 paraméterrel. Legyee az egyes dobáso eredméyei egymástól és a ξ valószíűségi változótól függetlee. Tegyü fel továbbá, hogy mide egyes dobásál a golyó p j 0 valószíűséggel esi a j-i urába, j = 1,...,, p j = 1. Jelölje η j a j-i urába eső golyó számát. Eor az η j, j = 1,...,, valószíűségi változó függetlee, és η j Poisso eloszlású λp j paraméterrel, j = 1,...,. 15

16 Megoldás: Pη 1 = l 1,...,η = l = Pξ = l l l l! p l 1 l 1! l! 1 p l = λl 1+ +l p l 1 l 1! l! 1 p l e λ = λl1 λ l l 1! l! pl 1 1 p l e λp 1+ +p = λp j l j tetszőleges l 1 0,..., l 0 egész számora. Ie adódi az állítás. Lássu be az előző feladat segítségével a övetező állítást: l j! e λp j 13. Legye adva egy ξ Poisso eloszlású valószíűségi változó λ paraméterrel. Dobju le egymástól és a ξ valószíűségi változótól függetleül véletleül egyeletese ξ darab potot az egységitervallumra, azaz tegyü fel, hogy mide pot b a valószíűséggel esi valamely [a, b] [0, 1] itervallumba. Eor a [0, 1] itervallum tetszőleges felbotására [s 0,s 1 ], [s 1,s 2 ],..., [s 1,s ] diszjut itervallumora, 0 = s 0 < s 1 < < s = 1 igaz az, hogy az egyes itervallumoba eső poto száma egymástól függetle Poisso eloszlású valószíűségi változó s j s j 1, 1 j, paraméterrel. Megoldás: Teitsü a övetező uramodellt. Veszü ξ számú golyót, tehát ayit, aháy ledobott potot vettü az előző feladatba. Tegyü az l-i golyót a j- i urába, ha a l-i pot az [s j 1,s j ] itervallumba esett, 1 j. Aor az előző feladat eredméye alapjá az egyes urába eső golyó száma egymástól függetetle Poisso eloszlású valószíűségi változó s j s j 1, 1 j, paraméterrel. Ie övetezi a feladat állítása. Megjegyzés. Az előző feladat eredméye egyszerű módszert ad úgyevezett Poisso folyamato ostruálására. Ez azoba em témája ee az előadássorozata. Számítsu i egy ξ λ paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változó várható értéét és szóráségyzetét. Eξ = Eξ 2 = =1 =1 λ! e λ = e λ λ 2 λ! e λ = =2 =1 = e λ λ 2 és Var ξ = Eξ 2 Eξ 2 = λ + λ 2 λ 2 = λ. λ 1 1! = λe λ+λ = λ, 1 λ! e λ + 16 =2 =1 λ! e λ λ 2 2! + λ = λ2 + λ,

17 Megjegyzem, hogy a Poisso eloszlás várható értéére és szóráségyzetére apott eredméye összhagba vaa azzal a téyel, hogy függetle Poisso eloszlású valószíűségi változó összege olya Poisso eloszlású valószíűségi változó, amelye paramétere az összeadadó paramétereie az összege. Ugyais mid a várható érté mid a szóráségyzet additív függetle valószíűségi változó összegzése eseté. Feladat: 14. Legyee ξ j, j = 1,...,r, függetle Poisso eloszlású valószíűségi változó λ j, 1 j r, paramétereel. Mutassu meg, hogy r P ξ 1 = 1,...,ξ r = r ξ j =! r λ = j j 1! r! r j, λ s s=1 ha r j =. Azaz a ξ 1,...,ξ r vetor feltételes eloszlása feltéve, hogy r j = a poliomiális eloszlás és p j = λ j r, 1 j r, paramétereel. λ s s=1 Megoldás: r P ξ 1 = 1,...,ξ r = r ξ j = = Pξ 1 = 1,...,ξ r = r r P ξ j = = Pξ 1 = 1 Pξ r = r r, P ξ j = mert {ω: ξ 1 ω = 1,...,ξ r ω = r } {ω: valószíűségi változó függetlee. Ie r ξ jω = }, és a ξ 1,...,ξ r r P ξ 1 = 1,...,ξ r = r ξ j = = r = s=1 r! 1! r! λ j j j! e λ j λ s 1+ +r e λ 1 + +λ r r! λ j j r j. λ s s=1 A övetező eredméy a biomiális eloszlás Poisso özelítéséről szól. Lemma a biomiális eloszlás Poisso özelítéséről. Mide = 1, 2,... számra teitsü egy S biomiális eloszlású valószíűségi változót B,p eloszlással, azaz 17

18 és p paramétereel. Tegyü fel továbbá, hogy a λ = p, = 1,2,..., számo teljesíti a lim λ = λ feltételt valamilye λ > 0 számmal. Eor mide = 0,1,2,... számra. lim PS = = λ! e λ Bizoyítás: PS = = λ! 1 λ 1 λ λ = λ λ! e λ, ha mide = 0,1,2,... számra, mert λ! λ!, 1 λ e λ, 1 λ 1, és , ha. Az előző lemma eredméye azt modja, hogy ha teitü függete, egyforma eloszlású ξ j, 1 j, valószíűségi változót, amelyere Pξ j = 0 = 1 Pξ j = 1 = λ, majd vesszü eze S = ξ j összegét, aor és λ λ eseté az S összege eloszlása tart a λ paraméterű Poisso eloszláshoz. Korábbi eredméyeiből az is övetezi, hogy olya T = η j alaú = 1,2,..., véletle összegere, amelyebe rögzített számra az η j valószíűségi változó függetlee és Poisso eloszlásúa λ paraméterrel, és lim λ = λ > 0 szité teljesül a lim PT = = λ! e λ reláció mide egész számra. Eor ugyais T Poisso eloszlású λ paraméterrel. Az előbb teitett ét példa speciális esete egy általáosabb határeloszlástétele Poisso határeloszlással. Ismertetem ezt az eredméyt, majd megtárgyalom aa övetezméyeit. Megmutatom, hogy eze eredméy alapjá miért természetes feltei, hogy bizoyos jeleségebe megjeleő véletle meyisége pl. csillaghullásor a lehulott csillago száma vagy rádióatív bomlásba a széthasadt uráatomo száma Poisso eloszlású. Határeloszlástétel Poisso határeloszlással. Legye adva mide rögzített = 1,2,... számra ξ 1,...,ξ függetle egyforma eloszlású, em egatív egész értéeet 18

19 felvevő valószíűségi változó olya sorozata, mely sorozato teljesíti a övetező feltételeet: a lim P ξ 1 = 1 = λ > 0. b lim P ξ 1 2 = 0. Eor az S = ξ j, = 1,2,..., véletle összegere teljesül a lim PS = = λ! e λ reláció mide em egatív egész számra. Megjegyzés: Érvéyes e tétel állításáa megfelelő általáosítása. Alalmas feltétele mellett függetle em egatív egész értéű, de em feltétleül azoos eloszlású valószíűségi változó összegée az eloszlása overgál egy Poisso eloszláshoz. Egy ilye a feti tételhez hasolóa bizoyítható állítást megfogalmazo em ötelező házi feladat formájába. Ee az eredméye több ülöböző bizoyítása ismeretes. Az egyi taulságos bizoyítás a geerátorfüggvéye módszeré alapul. Itt ezt a bizoyítást fogom ismerteti. A tétel bizoyításáa godolata: Teitsü az S valószíűségi változó G x = PS = jx j, = 1,2,..., j=0 geerátorfüggvéyeit. A geerátorfüggvéy módszer azt sugallja, hogy lássu be a lim G x = Gx relációt valamilye A < x < A, A > 0, itervallumba, ahol Gx = e λx 1, a λ paraméterű Poisso eloszlás geerátorfüggvéye. Ugyais, mivel hatváysoro overgeciájából övetezi a hatváysoro deriváltjaia a overgeciája is, és hatváysoroat szabad tagoét deriváli, e relációból övetezi a lim d G x dx x=0 = dg x dx x=0 = λ e λ összefüggés mide = 0,1,2,... számra. Ee az érve a jogosságát issé részletesebbe tárgyaltam az 5. téma ismertetésébe. Az idolás felhaszálja az aalízis éháy alapvető, de em triviális eredméyét. Azaz ebből a relációból övetezi, hogy! lim! e λ mide = 0,1,... számra. PS = =! λ A bizoyítadó reláció igazolásáa érdeébe vegyü észre, hogy a G x függvéyt felírhatju a geerátorfüggvéye tulajdoságai miatt a övetező alaba: G x = gx mide 1 < x < 1 számra, ahol g x = Pξ 1 = jx j, a ξ 1 valószíűségi változó geerátorfüggvéye. 19 j=0

20 A feti azoosságot felhaszálva, majd a bizoyítadó relációba logaritmust véve elég megmutati azt, hogy lim log g x = λx 1. Továbbá, mivel P ξ 1 = 0 = 1 P ξ 1 = 1 P ξ 1 = j, ezért j=2 g x = 1 + P ξ 1 = 1 x 1 + P j=2 ξ 1 = j x j 1. Ezért az a és b feltétele miatt azt várju, hogy a g x 1 + λ x 1 formula jó özelítés. Mivel log1 + u u is u számora, ezért természetes azt vári, hogy log g x λ x 1 jó özelítés, és lim log g x = λ x 1, ahoa övetezi a Tétel állítása. A Tétel bizoyítását befejezzü, ha igazolju a feti özelítése jogosságát. A Tétel bizoyításáa befejezése. Vegyü észre, hogy mide ε > 0 számra létezi olya 0 = 0 ε üszöbidex, amelyre g x 1 + λ x 1 < ε, ha 0 és x < 1. Valóba a g x = 1 + P ξ 1 = 1 x 1 + x P ξ 1 = j j 1 azoosság teljesül. Ezeívül a b relációból övetezi, hogy x P ξ 1 = j j 1 2 P ξ 1 = j = 2P ξ 1 2 ε 2, j=2 j=2 és az a relációból pedig az, hogy P ξ 1 = 1 x < 1. Ezért igaz a feti azoosság. j=2 x 1 λ x 1 < ε 2, ha 0 és Továbbá, mivel mit azt például a log1 + x függvéy Taylor sorfejtéséből lehet láti, log1 + u u < u 2, ha u < 1 2, ezért a feti egyelőtleségből u = g x 1 választással apju, hogy log g x g x 1 < 2ε log, és g x λx 1 < 3ε, ha 1, és x 1 alalmas 1 = 1 ε üszöbidexre. Mivel ez az állítás igaz mide ε > 0 számra, ezért lim log g x = λx 1, lim g x = e λx 1, ha x < 1. Viszot láttu, hogy ie övetezi a Tétel állítása. Nem ötelező házi feladat. Legye ξ 1,1...,ξ 1,1.. ξ,1...,ξ,

21 szériasorozat, azaz tegyü fel, hogy az egy sorba álló valószíűségi változó függetlee. Tegyü fel továbbá, hogy e valószíűségi változó teljesíti a övetező feltételeet: 1. A ξ,j valószíűségi változó em egatív egész értéeet vesze fel. 2. Pξ,j = 1 = λ,j, lim λ,j = λ > sup λ,j 0, ha, és P ξ,j 2 0, ha. 1 j Eor az S = ξ,j valószíűségi változó eloszlásba overgála a λ paraméterű Poisso eloszláshoz, ha, azaz lim PS = l = λl l! e λ mide l = 0,1,2,... számra. A most bizoyított határeloszlástétel szemléletes tartalma: Teitsü például a csillaghullást. Háy hullócsillagot látu egy adott időitervallumba, modju egy óra alatt egy yár éjszaai megfigyelése? Szereté tudi, hogy a lehullott csillago véletle száma milye valószíűségi törvéyee tesz eleget. Ezt megértedő, osszu fel az egy óra időitervallumot rövid T hosszúságú időitervallumora. A lehullott csillago száma e rövid T időitervallumoba lehullott csillago számáa az összege. Feltehetjü, hogy diszjut időitervallumoba lehullott csillago száma egymástól függetle, és a ülöböző rövid itervallumoba lehulló csillago száma hasoló valószíűségi törvéyeet teljesít. Aa a valószíűsége, hogy egy rövid időitervallumba lehull egy csillag agyo icsi, és aráyos az időitervallum hosszával. Aa a valószíűsége, hogy egy is időitervallumba ettő vagy még több csillag is lehull, még ehhez épest is elhayagolhatóa icsi. Ez azt jeleti, hogy természetes feltei, hogy teljesüle az előbb megfogalmazott tétel feltételei. Ezért az alalmazható, és ie övetezi, hogy egy adott időitervallumba lehullott csillago száma Poisso eloszlású. Hasoló érvelés alalmazható so más hasoló esetbe. Ez magyarázza meg, hogy miért ülööse fotos a Poisso eloszlás. A diszrét eloszlású valószíűségi változóról szóló ismertetést egy a hipergeometrius eloszlással apcsolatos statisztiai problémával zárom az 1. iegészítésbe. Ez a példa azért is érdees lehet, mert természetes módo megismertet miet a matematiai statisztia éháy olya fotos fogalmával, mit a becslés vagy a ofideciaitervallum. 21

22 1. iegészítés. Egy a hipergeometrius eloszlással apcsolatos statisztiai problémáról. Teitsü először a övetező problémát: Feladat: Egy tóba 3000 hal va. Véletleül ihalásza belőle 1000 darabot, és ezere piros pöttyöt festee és visszaegedi őet. Ezutá ismét ifoga véletleül 1000 halat. Mi aa a valószíűsége, hogy a ifogott hala özött 100 megfestett va? Megoldás: , mert eyi aa a valószíűsége, hogy 1000 hal iválasztása eseté az 1000 megfestett halból 100-at a 2000 meg em festett halból pedig 900 halat választu. Megjegyzés: A gyaorlatba előforduló érdés ee a fordítottja. Elvégezzü a feti isérletet, megszámolju a másodi fogásba ifogott megfestett hala számát, és ebből próbálu a tóba levő hala ismeretle számára övetezteti. Milye eljárás segítségével tudju ezt jól megtei? Érdemes ezt a problémát részletesebbe megtárgyali. Nem tudju, hogy háy hal va a tóba. De ee megbecslése érdeébe a övetező eljárást alalmazhatju: Végezzü ét fogást, az első fogásba ifogott halaat jelölju meg, és számolju meg, hogy a másodi fogásba háy megjelölt és megjelöletle halat fogtu. Ee alapjá meg aarju állapítai, hogy háy hal lehet összese a tóba. Ezt természetese csa bizoyos véletletől függő potossággal tudju meghatározi. Az ilye tipusú feladato tipiusa a matematiai statisztiába, az ilye problémá vizsgálatát evezi becsléselmélete. Világos, hogy a feladatba szereplő adato eseté em valószíű, hogy 1000-él alig több hal va a tóba, mert aor soal több megjelölt hal lee a másodi fogásba. Az hogy regeteg, modju hal lee a tóba szité em túl valószíű, mert aor soal evesebb megjelölt hal lee a másodi fogásba. A matematiai statisztiába idolgozta egy általáos elvet, egy maximum lielihood módszere evezett eljárást, amely agyo általáos feltétele mellett jó módszert ad a miet érdelő meyiség becslésére. Megtárgyalju, hogy milye eredméyt ad ez a jele esetbe is alalmazható módszer. Teitsü egy issé általáosabb problémát. Vezessü be a övetező jelöléseet: x jelöli a tóba lévő hala ismeretle számát. jelöli az első fogásba ifogott és megjelölt hala számát. r jelöli a másodi fogásba ifogott hala számát. jelöli a másodi fogásba ifogott, előzöleg megjelölt hala számát. Aa valószíűsége, hogy adott ismeretle x és, r számo eseté potosa megjelölt halat fogu i x q x,,r = r x. r 22

23 Teitsü az ismeretle x szám maximum lielihood becslésée azt az x számot, amelyre a q x,,r meyiség rögzített, és r számo mellett maximális. Határozzu meg a feti feladatba a maximum lielihood becslést. Némi számolás mutatja, hogy q x,,r q x 1,,r = x x r + x r x = x2 rx x + r x 2 rx x + x. Ez a tört isebb mit egy, ha r < x, agyobb mit egy, ha r > x. Ezért a becslés r = x, azaz x = r, potosabba az e számot özrefogó egész számo valamelyie. Valóba x < r esetébe a q x,,r függvéy mit az x változó függvéye rögzített, és r paramétereel mooto ő, x > r esetébe pedig a q x,,r függvéy mooto csöe. Természetes érdés az, hogy az így apott becslés valóba jó-e. Azt em várhatju, hogy az adott becslés teljese potos. A természetes elvárás az, hogy meg tudju adi az x pota viszoylag egy is öryezetét, egy olya [x a,x+a] itervallumot, amelyre igaz, hogy aa valószíűsége, hogy a hala valódi száma ebbe az itervallumba esi agyobb, mit egy előírt egyhez özeli szám. A matematiai statisztiába az adott tulajdosággal redelező véletle itervallumot ofidecia megbízhatósági itervalluma hívjá. Ahhoz, hogy ilye ofideciaitervallumot tudju szeresztei szüség va bizoyos valószíűségi változó eloszlásáa jobb ismeretére, és ez a valószíűségszámítás egyi alapvető feladata. Jegyezzü meg, hogy a most vizsgált feladatba, ha a tóba x számú hal va, és az első fogásba, a másodi fogásba pedig r halat fogu i, aor a másodi fogásba ifogott véletle számú megjelölt hal számáa a várható értée E = r x. Ahhoz, hogy vizsgáli tudju meyire jó a becslés, hogya lehet jó ofideciaitervallumot ostruáli, azt ell megérteü, hogy meora az igadozása a valószíűségi változóa a várható értée örül. Ezért érdemes egy hipergeometrius eloszlás szóráségyzetét iszámoli. További értées iformációat yerhetü, ha tételeet bizoyítu hipergeometrius eloszláso aszimptotius eloszlására aor, amior a bee szereplő paramétere agyo. Bár ezzel a érdéssel em fogu foglalozi, hasoló problémáat fogu tárgyali, amelye vizsgálatába ilye jellegű érdése megoldása haszos. 23

24 2. iegészítés. A polihipergeometrius eloszlás várható értée és szóráségyzete. Először a övetező lemmát látom be. Lemma 1. Legyee ξ 1,...,ξ L és η 1,...,η M valószíűségi változó ugyaazo a valószíűségi mező. Eor L M L M Cov ξ j, = Cov ξ j,η. η =1 =1 Bizoyítás. L M Cov ξ j, Ee alapjá =1 η L M = E ξ j = L =1 =1 M Eξ j η η E L =1 L ξ j M Eξ j Eη = E L M η =1 =1 M Cov ξ j,η. Lemma 2. Legye ξ 1,...,ξ r polihipergeometrius eloszlású véletle vetor N 1,...N r és paramétereel. Eor Eξ j = N j N, Var ξ j = N j N 1 N j N N N 1 mide 1 j r idexre, és Cov ξ j,ξ = NN jn N 1N 2 mide 1 j, r, j idexpárra. Bizoyítás. Számítsu i először a Cov ξ j,ξ ovariaciafüggvéyt. Ee érdeébe teitsü egy urát, bee N 1 1-es, N 2 2-es,..., N r r-es szíű golyót, és húzzu i belőlü golyót visszatevés élül. Legye N = r N r, és vezessü be a övetező η l,s, 1 l, 1 s r, valószíűségi változóat: η l,s = 1, ha az l-i húzásba s-es szíű golyót húzu, és η l,s = 0, ha az l-i húzás eredméye más. Defiiálju a ξ s = η l,s véletle összegeet, 1 s r. Eor a Cov ξ j,ξ ovariaciafüggvéyt l=1 =1 ell iszámolu az előbb defiiált valószíűségi változóal. Számolju i először a Cov η l,j,η l, ovariaciafüggvéyeet. Külö ell választai az l = l és l l eseteet. Mid a ét esetbe haszálhatju azt a téyt, hogy hasolóa a ét szíű golyót tartalmazó uramodellhez aa, hogy milye valószíűséggel húzo bizoyos előírt szíű golyóat adott húzásba em függ attól, hogy hayadi húzást teitettü. Az l = l esetbe Cov η l,j,η l, = P η l,j = 1,η l, = 1 P η l,j = 1P η l, = 1 = P η 1,j = 1P η 1, = 1 = N jn N 2. 24

25 Ha l l, aor Cov η l,j,η l, = P η l,j = 1,η l, = 1 P η l,j = 1P η l, = 1 = P η 1,j = 1,η 2, = 1 P η 1,j = 1P η 1, = 1 = N jn NN 1 N jn N 2. Ie az 1. lemma eredméye alapjá Cov ξ j,ξ = N jn Nj N N NN 1 N jn N 2 = NN jn N 1N 2. Az Eξ j és Var ξ j meyiségeet is i lehet számítai hasolóa, de erre ics szüség. Ha csa azt vesszü figyelembe, hogy az l-i húzásba j-es vagy más szíű golyót húztu-e, azaz csa az η j,l valószíűségi változóal dolgozu, aor rövid meggodolás utá láthatju, hogy ugyaazt az eredméyt apju, mit a ét szíel redelező hipergeometrius eloszlást modellező uramodell eseté M = N j és N M = N N j paramétereel. Ezért Eξ j = N j N, Varξ j = N j N 1 N j N N N 1. 25

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,

Részletesebben

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

3.1. A Poisson-eloszlás

3.1. A Poisson-eloszlás Harmadik fejezet Nevezetes valószíűségi változók Valamely valószíűségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tuduk potos választ adi, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközelítőleg ismert. Ebbe a

Részletesebben

Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged

Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged Magas szitű matematiai tehetséggodozás Számelméleti érdeessége dr. Kosztoláyi József, Szeged A számelmélet bőveledi olya érdésebe, problémába, összefüggésebe, amelye elemi módszereel megözelíthető. Bizoyos

Részletesebben

3. Valószínűségszámítás

3. Valószínűségszámítás Biometria az orvosi gyaorlatba 3. Valószíűségszámítás 3. Valószíűségszámítás 3.. Bevezetés 3.. Kombiatoria 3... Permutáció 3... Variáció 3..3. Kombiáció 3 3.3. Biomiális együttható tulajdoságai 3 3.4.

Részletesebben

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,

ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk, A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

Valószínûség számítás

Valószínûség számítás Valószíûség számítás Adrea Glashütter Feller Diáa Valószíűségszámítás Bevezetés a pézügyi számításoba I. Bevezetés a pézügyi számításoba A péz időértéével apcsolatos számításo A péz időértéée számítása:

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Komputer statisztika

Komputer statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................

Részletesebben

90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények

90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények 9 Folytoos függvéye IV Folytoos függvéye Az előző fejezetbe adott f : D függvéy viseledését a D halmaz torlódási potjáa öryezetébe vizsgáltu Az pot em feltétleül tartozott a D halmazhoz ( D ) Ebbe a fejezetbe

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Legfontosabb bizonyítandó tételek

Legfontosabb bizonyítandó tételek Legfontosabb bizonyítandó tétele 1. A binomiális tétel Tetszőleges éttagú ifejezés (binom) bármely nem negatív itevőj ű hatványa polinommá alaítható a övetez ő módon: Az nem más, mint egy olyan n tényezős

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele soro. Bevezetés és defiíció Bevezetését próbálju meg az + + 4 + + +... végtele összege értelmet adi. Mivel végtele soszor em tudu összeadi, emiatt csa az első tagot adju össze: legye s = + +

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

A valószínűségszámítás alapjai

A valószínűségszámítás alapjai A valószíűségszámítás alapjai Kombiatoria Permutáció (ismétlés élül): elem összes lehetséges sorredje: P = (-)(-) =!!- fatoriális Variáció ismétlés élül elem -ad osztályú ismétlés élüli variációja - elemből

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

A fogótétel alkalmazása sorozatok határértékének kiszámolására

A fogótétel alkalmazása sorozatok határértékének kiszámolására A fogótétel alalmazása sorozato határértéée iszámolására Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Mide izoyal ics más olya matematiai tétel amelye olya so megevezése lee, mit az úgyevezett fogótétele, amelye gyaori

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007)

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) A Fibonacci-sorozat általános tagjára vontozó éplet máséppen is levezethető A 149 Feladatbeli eljárás alalmas az x n+1 ax n + bx, n 1 másodrendű állandó együtthatós lineáris reurzióal adott sorozato n-edi

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

Numerikus sorok, Taylor-sorok, Fourier-sorok Kidolgozott feladatok

Numerikus sorok, Taylor-sorok, Fourier-sorok Kidolgozott feladatok Numerius soro, Taylor-soro, Fourier-soro Kidolgozott feladato.példa: Vizsgálju meg a átalaításoal apju, hogy 5 umerius sor overgeciáját. Azoos 5 5 4 4 5 5 5 5 ; 4 4 A sor tehát szétbotható ét mértai sor

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

A szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként.

A szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként. A szta formula és alalmazása. Gyaran találozun az alább érdéssel, soszor egy összetett feladat részfeladataént. Tentsün bzonyos A 1,...,A n eseményeet, és számítsu anna a valószínűségét, hogy legalább

Részletesebben

Analízis I. gyakorlat

Analízis I. gyakorlat Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol Wieer-folyamatok defiiciója. A fukcioális cetrális határeloszlástétel. A valószíűségszámítás egyik agyo fotos fogalma a Wieer-folyamat, amelyet Browmozgásak is hívak. Az első elevezés e fogalom első matematikailag

Részletesebben

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.

Részletesebben

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer Egyelemegoldás iervallumelezéssel

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

n*(n-1)*...*3*2*1 = n!

n*(n-1)*...*3*2*1 = n! Kombiatoria Permutáció: egymástól ülöböző elem egy meghatározott sorredbe való elredezése az elem egy permutációja. Az összes permutáció (ülöböző sorrede) száma: P! 0!: *(-)*...***! Ismétléses permutáció:

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek Wieer folyamatok A következő két feladat azt mutatja, hogy az az eseméy, hogy egy sztochasztikus folyamat folytoos trajektóriájú-e vagy sem em határozható meg a folyamat véges dimeziós eloszlásai segítségével,

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz Radiális szivattyú járóeré fő méreteie meghatározása előírt - üzemi pothoz iret hajtás eseté szóa jövő asziromotor fordlatszámo % üzemi szlip feltételezésével: 90, 55, 970, 78 /mi Midegyi fordlatszámhoz

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

SZÁMHALMAZOK Halmazábrán ábrázolom a valós számok halmazát és részhalmazait (néhány példával). (C) pl. 1/4; 1/2. pl. 1;2;0;-1; N pl. 0. pl.

SZÁMHALMAZOK Halmazábrán ábrázolom a valós számok halmazát és részhalmazait (néhány példával). (C) pl. 1/4; 1/2. pl. 1;2;0;-1; N pl. 0. pl. 2. tétel Számhalmazo (a valós számo halmaza és részhalmazai), oszthatósággal apcsolatos problémá, számredszere. SZÁMHALMAZOK Halmazábrá ábrázolom a valós számo halmazát és részhalmazait (éháy példával).

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

A gyors Fourier-transzformáció (FFT)

A gyors Fourier-transzformáció (FFT) A gyors Fourier-transzformáció (FFT) Egy analóg jel spetrumát az esete döntő többségében számítástechniai eszözöel határozzu meg. A jelet mintavételezzü és elvégezzü a mintasorozat diszrét Fouriertranszformációját.

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

A teveszabály és alkalmazásai

A teveszabály és alkalmazásai A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is

Részletesebben

Járatszerkesztési feladatok

Járatszerkesztési feladatok Járatszeresztési feladato 1 Járatszeresztési feladato DR. BENKŐJÁNOS Agrártudomáyi Egyetem GödöllőMezőgazdasági Géptai Itézet A járat alatt a logisztiába általába a járműve meghatározott több állomást

Részletesebben

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 +

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 + . Fourier-soro. Bevezet definíció Enne a fejezetne a célja, hogy egy szerint periodius függvényt felírjun mint trigonometrius függvényeből épzett függvénysorént. Nyilván a cos x a sin x függvénye szerint

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

c.) b.) FF 6/30 b.)

c.) b.) FF 6/30 b.) Valószí ségszámítás gyaorlat Megoldáso, megoldásvázlato, végeredméye Matematia alapsza, matematiai elemz szairáy Programtervez iformatius alapsza, modellez iformatius szairáy Bármilye, a segédayaggal apcsolatos

Részletesebben

VEKTORGEOMETRIA. Mit nevezünk null vektornak? Olyan vektort, amelynek a nagysága (abszolút értéke) 0 és az iránya tetszőleges.

VEKTORGEOMETRIA. Mit nevezünk null vektornak? Olyan vektort, amelynek a nagysága (abszolút értéke) 0 és az iránya tetszőleges. VEKTORGEOMETRIA Mt evezü vetora? Olya meységet, amelye ráya és agysága va. Mt evezü egységvetora? Olya vetort, amelye a agysága (abszolút értée). Mt evezü ull vetora? Olya vetort, amelye a agysága (abszolút

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN DR. REICHART OLIVÉR 005. Budapest Lektorálta: Zukál Edre Tartalom BEVEZETÉS 3. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK 5.. Kombiatorikai alapösszefüggések

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2.

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Statisztika Hipotézisvizsgálat Székely Balázs 2010. december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

Analízis feladatgy jtemény II.

Analízis feladatgy jtemény II. Oktatási segédayag a Programtervez matematikus szak Aalízis I. tatárgyához (003004. taév szi félév) Aalízis feladatgy jteméy II. Összeállította Szili László 003 Tartalomjegyzék I. Feladatok 3. Valós sorozatok.......................................

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk; Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Itegrálszámítás Gyakorló feladatok Programtervez iformatikus szakos hallgatókak az Aalízis. cím tárgyhoz Összeállította Szili László 8. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. Primitív függvéyek határozatla

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Feladatok: a huszadik vagy valamely későbbi dobásban jelenik meg. n 1 5. hatos dobás a 20. dobásban vagy azután jelenik meg egyenlő annak a

Feladatok: a huszadik vagy valamely későbbi dobásban jelenik meg. n 1 5. hatos dobás a 20. dobásban vagy azután jelenik meg egyenlő annak a Feladatok:. Dobjunk fel egy szabályos dobókockát egymás után egymástól függetlenül végtelen sokszor. Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy a harmadik hatos dobás vagy a huszadik vagy valamely későbbi

Részletesebben

A feladatok megoldása

A feladatok megoldása A feladato megoldása A hivatozáso C jelölései a i egyenleteire utalna.. feladat A beérezési léps felszíne fölött M magasságban indul a mozgás, esési ideje t = M/g. Ezalatt a labda vízszintesen ut utat,

Részletesebben

Folytonos valószínűségi változó: Lehetséges értéei egy folytonos tartományt alotna. Minden egyes érté 0 valószínűségű, csa tartományona van pozitív va

Folytonos valószínűségi változó: Lehetséges értéei egy folytonos tartományt alotna. Minden egyes érté 0 valószínűségű, csa tartományona van pozitív va Valószínűségi változó (véletlen változó, random variables) Változó: Névvel ellátott érté. (Képzeljün el egy fióot. A fió címéje a változó neve, a fió tartalma pedig a változó értée.) Valószínűségi változó:

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak Matematikai Modellalkotás Szeminárium 2012. szeptember 4. 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 Folytonos idejű Markov láncok I Adott egy G = (V, E) gráf Folytonos

Részletesebben