m,p) binomiális eloszlás.
|
|
- Andrea Takács
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 A Valószíűségszámítás I. előadássorozat hatodi témája. Néháy fotos diszrét eloszlás. Ismertetem éháy fotos diszrét eloszlás defiicióját, és tárgyalom eze legfotosabb tulajdoságait. Az eloszláso bevezetés előtt ismertete éháy olya példát, amelyebe azo megjelee. Eze özül éháyal már orábba is találoztu. Az első példa a övetező. a. A biomiális eloszlás. Teitsü először egy tipius példát, amelybe a biomiális eloszlás megjelei. Dobju fel egy pézdarabot alalommal egymástól függetleül, és mide egyes dobásba legye p, 0 p 1, a fejdobás valószíűsége. Mi a valószíűsége aa, hogy potosa fejdobás övetezi be? Ee valószíűsége p 1 p. Valóba, olya fej-írás sorozat létezi, amely fej és írásjelet tartalmaz, és az adott feltétele mellett mide ilye dobássorozat valószíűsége p 1 p. Az ilye jellegű feladato leírására vezetté be a biomiális eloszlás fogalmát. A biomiális eloszlás defiiciója. Azt modju, hogy a ξ valószíűségi változó biomiális eloszlású és p paraméterrel, = 1,2,..., 0 p 1, ha Pξ = = p 1 p mide 0 számra, és Pξ = = 0 egyébét. Ezt az eloszlást szoás B,p-vel jelöli. Egy B1,p eloszlású ξ valószíűségi változót, azaz egy olya ξ valószíűségi változót, amelyre Pξ = 0 = 1 p, Pξ = 1 = p Beroulli eloszlásúa is szota evezi. Jegyezzü meg, hogy valóba eloszlást defiiáltu, azaz a em-egatív valószíűsége összege egy, mert a biomiális tétel szerit p 1 p = p + 1 p = 1. Jegyezzü meg, hogy a B,p és Bm,p biomiális eloszláso ovoluciója a B + m,p biomiális eloszlás. Emléeztetőül felidézem, hogy egy P = {p 0,p 1,...} és Q = {q 0,q 1,...} eloszlás ovoluciója az az R = {r 1,r 2,...} eloszlás amelye elemeit az r = p q, = 1,2,..., éplet határozza meg. Ee valószíűségi tartalma a övetező: Ha ξ és η ét függetle, em egatív egész értéeet felvevő valószíűségi változó, amelyere Pξ = = p, Pη = = q, = 0,1,2,..., aor ξ + η olya em egatív egész értéeet felvevő valószíűségi változó, amelyre Pξ + η = = r, = 0,1,2,... 1
2 Valóba a feti ovolucióról szóló állítás érvéyes, mivel a teitett ét eloszlás ovoluciója egy olya p, 0 + m eloszlás, amelyre p = j=0 m p j 1 p j p j 1 p m j j j = p 1 p j=0 m = j j + m p 1 p, mert j=0 m = j j + m. Ez utóbbi állítása ombiatorius bizoyítását megadtam az első téma jegyzetébe a Néháy a tárgyalt ombiatorius érdéseel apcsolatos eredméy feladatsor 7. feladatáa az ismertetésébe. Sőt, e feladatsor 9. feladatába megadtam eze azoosság egy általáosításáa aalitius az 1 + x α függvéy hatváysoráa az alajá alapuló bizoyítását is. Két eloszlás ovolucióját iszámolhatju az alább ismertetedő geerátorfüggvéy módszere evezett eljárás segítségével is. Ha adva va ét P = {p 0,p 1,...} és Q = {q 0,q 1,...} eloszlás, aor redeljü hozzáju az Fx = p x és Gx = q x hatváysoroat. Ezeívül redeljü a P és Q eloszláso R = {r 0,r 1,...} ovoluciójához a Hx = r x hatváysort. Eor teljesül az FxGx = Hx azoosság. =0 Továbbá, ha ismerjü a Hx függvéyt, aor aa szucessziv deriválásával majd a ulla érté behelyettesítésével iszámolhatju a miet érdelő r meyiségeet. Ie az is övetezi, hogy ha FxGx = Hx, aor a P és Q eloszláso ovoluciója a R eloszlás. Megmutatom azt is, hogya lehet a biomiális eloszláso ovoluciójáa alajáról szóló állítást a geerátorfüggvéy módszer segítségével beláti. Számolju i a B,p biomiális eloszlás F,p x geerátorfüggvéyét. Ie F,p x = =0 p 1 p x = 1 p ] = 1 p + px. = 1 p [ 1 + px 1 p px 1 p F,p xf m,p x = 1 p + px 1 p + px m = 1 p + px +m = F +m,p x mide 1, m 1 egész és 0 p 1 valós számra. Ez azt jeleti, hogy a B,p és Bm,p eloszláso ovoluciója a B + m,p eloszlás. 2 =0
3 Feladat: 1. Adju egyszerű, a biomiális eloszlás valószíűségi tartalmát ihaszáló bizoyítást arra, hogy a B,p és Bm,p biomiális eloszláso ovoluciója a B+m,p biomiális eloszlás. Megoldás: Elég megmutati, hogy léteze olya függetle B, p paraméterű ξ és Bm, p paraméterű η biomiális eloszlású valószíűségi változó, amelye ξ + η összege B + m,p paraméterű biomiális eloszlású valószíűségi változó. Ee érdeébe teitsü egy olya pézdarab + m darab egymás utái függetle feldobását, amely p valószíűséggel esi a fej és 1 p valószíűséggel az írás oldalra. Legye ξ az első dobásba, η pedig az +1-i dobástól az +m-ig dobásig tartó dobássorozatba megjeleő fej dobáso száma. Eze a ξ és η valószíűségi változó teljesíti a ívát tulajdoságoat. Számítsu i egy B, p eloszlású valószíűségi változó várható értéét és szóráségyzetét. A legegyszerűbb módszer a övetező: Legyee ξ 1,...,ξ függetle, B1,p eloszlású valószíűségi változó. Eor ξ = ξ j B,p eloszlású valószíűségi változó, és Eξ j = 1 p+0 1 p = p, Eξj 2 = 1 p+0 1 p = p, Var ξ j = Eξj 2 Eξ j 2 = p p 2 mide j = 1,..., számra. Ezért a eresett várható érté és szóráségyzet Eξ = Eξ j = p és Var ξ = Var ξ j = p1 p. Feladat: 2. Számítsu i egy B,p eloszlású valószíűségi változó várható értéét és szóráségyzetét az e fogalmaat defiiáló összege iszámításáa a segítségével. Megoldás: Eξ = p 1 p, Eξ 2 = =1 2 p 1 p, és Var ξ = Eξ 2 Eξ 2. Ezeet a ifejezéseet ell iszámolu. Vegyü észre, hogy = 1 1, 2 = + 1 = Ie 1 1 Eξ = 1 1 = p p +1 1 p 1 =1 p 1 p 1 = p1 + 1 p 1 = p, Eξ 2 = p +1 1 p p +2 1 p 2 3
4 2 2 = p + 1p 2 p 1 p 2 = p + 1p 2 p + 1 p 1 = p + 2 p 2, és Var ξ = p + 2 p 2 2 p 2 = p1 p. A biomiális eloszlás természetes többdimeziós általáosítása a poliomiális eloszlás. Ee megértéséhez teitsü a övetező feladatot. Adva va r ura. Ezebe bedobu összese golyót egymástól függetleül. Az egyes golyó p 1 valószíűséggel ese az első p 2 valószíűséggel a másodi,... p r valószíűséggel az r-i urába. Mi a r valószíűsége aa, hogy a j-i urába j golyó esi, 1 j r, r =?! Ez a valószíűség 1! 2! r! p 1 1 p r! r, mert 1! 2! r! ilye dobássorozat va, és mide ilye dobássorozat valószíűsége p 1 1 p r r. Itt a lehetséges dobássorozato összeszámlálásáál megülöböztettü ét olya dobássorozatot, amelyebe ugyaayi golyó esett az egyes urába, de más sorredbe. A poliomiális eloszlás defiiciója. A ξ 1,...,ξ r r változós véletle vetor poliomiális eloszlású, = 1,2,..., és p j, 1 j r, paramétereel, p j = 1, r ha Pξ 1 = 1,ξ 2 = 2,...,ξ r = r =! 1! 2! r! p 1 1 p 2 2 p r r az olya 0 j, 1 j r számora, amelyere r j =. A poliomiális eloszlás valóba eloszlás, azaz Pξ 1 = 1,ξ 2 = 2,...,ξ r = r 0 mide lehetséges 1,..., r értére, és Pξ 1 = 1,ξ 2 = 2,...,ξ r = r = 1. Ez utóbbi azoosságot vagy a poliomiális eloszlás valószíűségi tartalmáa felhaszálásával vagy a poliomiális tétel segítségével láthatju, mely szerit Pξ1 = 1,ξ 2 = 2,...,ξ r = r = j 0,,...,r r = = p p r = 1.! 1! 2! r! p 1 1 p 2 2 p r r Feladat: 3. Legye ξ 1,...,ξ r poliomiális eloszlású véletle vetor és p j, 1 j r, r p j = 1 paramétereel. Eor Eξ j = p j, Varξ j = p j 1 p j, 1 j r, és Cov ξ j,ξ = p j p, 1 j, r, j. 4
5 b. A egatív biomiális eloszlás és aa speciális esete, a geometriai eloszlás. Most is először egy olya tipius példát teite, amelybe eze az eloszláso megjelee. Rögzítsü egy r pozitív egész számot, és dobju fel egy pézdarabot, amely p valószíűséggel esi a fej 1 p valószíűséggel az írás oldalra egymás utá többször egymástól függetleül, egésze addig amior az r-i fejdobás megjelei. Mi a valószíűsége aa, hogy ez a + r-i dobás? Ez a valószíűség +r 1 r 1 1 p p r. Ez ugyais azt jeleti, hogy az első + r 1 dobásba potosa r 1 fej és írás dobás törtét, amie valószíűsége +r 1 r 1 1 p p r 1, valamit a + r-i dobás fej, amie a valószíűsége p, és függetle az előző eseméytől. A egatív biomiális és geometriai eloszlás defiiciója. Azt modju, hogy a ξ valószíűségi változó egatív biomiális eloszlású r, r = 1,2,..., és p, 0 < p 1, paraméterrel, ha ξ r,r + 1,..., értéeet vesz fel és + r 1 Pξ = + r = 1 p p r, = 0,1,2,... r 1 Az r = 1 és p paraméterhez tartozó egatív biomiális eloszlást, azaz azt az eloszlást, amelyre Pξ = + 1 = p1 p, = 1,2,..., p paraméterű geometriai eloszlása is evezi. A másodi téma jegyzetébe tárgyalt 3. és 5. feladat megoldási módszerée a segítségével megmutatható, hogy a egativ biomiális eloszlás valóba valószíűségeloszlás, azaz Pξ = + r = 1 p p r = 1. E feladatoba ezt az állítást +r 1 r 1 csa egy speciális esetbe igazoltu, ha = 3, és p = 1 6, de az ott alalmazott módszer alalmazható az általáos esetbe is. Megmutatom, hogya lehet az 5. feladat megoldásába haszált módszert alalmazi az általáos esetbe. A övetező azoosságot fogju haszáli, amely a egatív biomiális eloszlás más tulajdoságaia a bizoyításába is haszos. + r 1 + r 1 + r 1 + r 2 r + 1r = = r 1! rr r 2 + r 1 = 1! r r 1 r + 2 r + 1 r = 1 = 1.! Eze azoosság alapjá + r 1 Pξ = + r = r 1 1 p p r = r 1 1 p p r = 5 = 0,1,2,..., r p 1 p r,
6 egy r és p paraméterű egatív biomiális eloszlásra. A egatív biomiális eloszlás feti reprezetációja az oa eze eloszlás elevezésée. Ebből a épletből, illetve az 1 + x r függvéy 1 + x r = x, ha x < 1 alaú Taylor sor előállításából az is övetezi, hogy + r 1 r 1 amit állítottam. r 1 p p r = p r r p 1 = p r [1 + p 1] r = 1, Tárgyalju meg a egatív biomiális eloszlás éháy további fotos tulajdoságát. Feladat: 4. Bizoyítsu be valószíűségi meggodoláso segítségével, hogy egy r 1 és p paraméterű valamit egy r 2 és p paraméterű egatív biomiális eloszlás ovolúciója egy r 1 +r 2 és p paraméterű egatív biomiális eloszlású valószíűségeloszlás. Követezéséppe, egy r és p paraméterű egatív biomiális eloszlás előáll, mit r darab p paraméterű geometriai eloszlás ovoluciója. Megoldás: Teitsü ét egymásól függetle végtele fej-írás dobássorozatot, amelyebe az egyes dobáso p valószíűséggel ese a fej és 1 p valószíűséggel az írás oldalra. Teitsü azt a dobássorozatot, amely az első dobássorozat elemeiből áll, amíg az r 1 -i fejdobás megjelei, majd a másodi dobássorozat elemeivel folytatódi egész addig, amíg abba az r 2 -i fejdobás megjelei, majd a sorozat abbamarad. Jelölje ξ az így defiiált sorozat hosszát, ξ 1 e sorozata az első végtele dobássorozattal, ξ 2 pedig e sorozata a másodi dobássorozattal özös részée a hosszát. Eor ξ 1 és ξ 2 függetle valószíűségi változó, ξ 1 + ξ 2 = ξ, továbbá ξ 1, ξ 2 és ξ egatív biomiális eloszlású valószíűségi változó r 1,p, r 2,p, illetve r 1 + r 2,p paramétereel. Ie övetezi a feladat állítása. Lássu be az előbbi feladat állítását özvetle számolással is. Elég megmutati azt, hogy egy r és p paraméterű egatív biomiális eloszlású és egy p paraméterű geometriai eloszlás ovoluciója egy r + 1 és p paraméterű egatív biomiális eloszlás. Ehhez azt ell beláti, hogy r + j 1 1 p j p r 1 p j p = r 1 j=0 + r r 1 p p r+1. Ezt az azoosságot öye látju, ha tudju, hogy érvéyes a övetező azoosság: j + r 1 + r =. r 1 r j=0 Az utóbbi azoosság viszot övetezi például a övetező ombiatoriai érvelésből. A természetes számo halmazá +r r módo jelölhetü i r + 1 számot úgy, hogy a 6
7 agyság szerit r+1-i szám a +r+1 szám legye, és az azoosság jobboldala ezzel egyelő. Ezt viszot úgyis iszámolhatju, hogy azt teitjü, háy olya elredezés va, amelybe az r-i ijelölt pot a j + r, az r + 1-i pedig a + r + 1 szám, majd összegezü 0 j -ra. Mivel rögzített j-re az ilye elredezése száma j+r 1 r 1, ie övetezi a felírt azoosság. Megmutatom, hogy hogya lehet a 4. feladat állítását aalitius módo bebizoyítai. Teitsü az r és p paraméterehez tartozó g r,p x geerátorfüggvéyt, azaz a övetező összeget: + r 1 g r,p x = 1 p p r x +r. r 1 Ha belátju, hogy ez az összeg overges például az 1 < x < 1 itervallumo, valamit g r1,pxg r2,px = g r1 +r 2,px, aor ie az ötödi téma ismertetésée végé tett észrevételeből övetezi az állítás. A g r,p x függvéy viszot egyszerűe zárt alara hozható az 1 azoosság segítségével. Valóba, r r g r,p x = 1 1 p p r x +r = px r 1 px = px r 1 1 px r = px 1 1 px ami az 1+x r függvéy hatváysoráa az alajából látható. Ie viszot öye látható a geerátorfüggvéyere felírt azoosság. Számítsu i egy egatív biomiális eloszlású valószíűségi változó várható értéét és szóráségyzetét. Ezt iszámíthatju a geerátorfüggvéy deriválásáa segítségével. Először egy más módszert választu. Egy geometriai eloszlású valószíűségi változó várható értéét és szóráségyzetét iszámolju diret módo, majd az általáos esetet visszavezetjü erre. Legye ξ geometriai eloszlású valószíűségi változó p paraméterrel, azaz legye Pξ = + 1 = p 1 p, = 0,1,... Eor Eξ = r, + 11 p p = p 1 p 1, Eξ 2 = p 2 1 p 1, és Var ξ = Eξ 2 Eξ 2. Deriválju étszer a x < 1 azoosságot. Azt apju, hogy 1 1 x 2 = x 1, =1 2 1 x 3 = 1x 2. =2 7 x = 1 1 x,
8 1 Ie x = 1 p helyettesítéssel p = 1 p 1, Eξ = p 1 p 1 = p 2 p = 1 2 p, =1 =1 2 1 p 1 = 1 p 11 p p 1 = 21 p p p, 2 Eξ 2 = 21 p p 2 Feladat: + 1 p =2, Varξ = 21 p p 2 =1 + 1 p 1 p 2 = 1 p 2 1 p = 1 p p Számítsu i egy és p paraméterű egatív biomiális eloszású valószíűségi változó várható értéét és szóráségyzetét aa az ismerete a segítségével, hogy egy p paraméterű geometriai eloszlású valószíűségi változó várható értée 1 p és szóráségyzete 1 p p. 2 Megoldás: Teitsü függetle geometriai eloszlású ξ 1,...,ξ r valószíűségi változót, és legye S = ξ j. Eor S egatív biomiális eloszlású valószíűségi változó és p paramétereel. Továbbá, ES = Eξ 1 = 1 p p, Var S = p. 2 Tárgyalju meg, hogya lehet egy egatív biomiális eloszlású valószíűségi változó várható értéét és szóráségyzetét iszámoli a geerátorfüggvéye ismeretébe. Sőt, lássu be egy olya formulát, amely általáosabb esetbe is alalmazható. Legye P = {p : = 1,2,...}, p 0, = 0,1,2,..., p = 1, valószíűség eloszlás a em egatív egész számoo. Vezessü be az eze eloszláshoz tartozó gx = g P x = p x. geerátorfüggvéyt. Vegyü észre, hogy a gx függvéyt defiiáló hatváysor overges a 1 < x < 1 itervallumba. Továbbá étszeri deriválás és az x = 1 formális helyettesítés azt sugallja, hogy valamit g x = p x 1, g x = =1 g 1 = p, g 1 = =1 1p x 2, =2 1p, és eze azoosságo segítségével iszámolhatju a eresett várható értéet és szóráségyzetét. Ugyais Eξ = p = g 1, Eξ 2 = 2 p = 1p + p = g 1 + g 1, ahoa Varξ = Eξ 2 Eξ 2 = g 1 + g 1 g 1 2. Felmerül a érdés, szabad-e az alábbi számolásoat végrehajtai. A problémát az oozza, hogy hatváysoroat szabad tagoét deriváli a overgeciatartomáy 8 =2 =2 =1
9 belsejébe, de mi az x = 1 helyettesítést hajtottu végre, és lehet, hogy a gx függvéy hatváysora em terjeszthető i egy a 1, 1 itervallumál agyobb itervallumra. A egatív biomiális eloszlás geerátorfüggvéye eseté egy ilye iterjesztés lehetséges, de érdemes az általáos esetet is teitei, amior em lehet ezt a lehetőséget izári. Az aalízis bizoyos eredméyei biztosítjá a feti számolás jogosságát. Egyrészt igaz az, hogy ha egy hx = a x hatváysor overges egy A,A itervallum- ba, és a ha = a A összeg overges, aor lim hx = ha. Másrészt, ha x A a hx Taylor-sor a együtthatói em egatíva, aor lim hx = ha. Speciálisa, x A ha ebbe az esetbe lim hx < aor ha <. Ezee az eredméyee az x A alalmazásával A = 1 és hx = g x illetve hx = g x választással meg lehet mutati a feti számoláso jogosságát. Érdemes megjegyezi, hogy az általáos esetbe a g 1 = lim g x, g 1 = lim g x épletet ell alalmazu aa érdeébe, hogy x 1 x 1 a g 1 és g 1 számoat értelmezi tudju. Megjegyzés: Az, hogy egy hatváysor hogya viseledi a overgeciaörée szélé, a omplex függvéyta egyi ehéz és fotos érdése. Aa érdeébe, hogy lássu egy egyszerű példát, amely rávilágíthat arra, hogy vigyázi ell a formális számoláso sorá, teitsü az hx = 1 1+x = 1 x hatváysort. Eor hx overges a 1 < x < 1 itervallumba, h1 = 1 2, és hx hatváysora az x = 1 potba, a 1 sor, diverges. Ez a példa azért em mod elle a fet elmodottaa, mert ebbe a hatváysorba vaa egatív együttható is. Feladato: 6. Lássu be, hogy ameyibe egy ξ valószíűségi változó geerátorfüggvéye valamely gx függvéy, aor Eξ = g 1, Var ξ = g 1 + g 1 g 1 2, ahol az általáos esetbe a g 1 = lim g x és g 1 = lim g x éplete defiiáljá x 1 x 1 ezeet a meyiségeet. Számolju i egy r és p paraméterű egatív biomiális eloszlású valószíűségi változó várható értéét és szóráségyzetét, felhaszálva, px hogy e valószíűségi változó geerátorfüggvéye a 1 1 px r függvéy. Megoldás: A gx = p x függvéy ét egymásutái deriválása és az x = 1 helyettesítés adja, hogy g 1 = p = Eξ, g 1 = 1p = Eξξ =1 =1 1. Mit azt az előadáso megtárgyaltu az aalízis bizoyos eredméyei lehetővé teszi a fet alalmazott tagoéti deriválást. Ezért Eξ = g 1, Eξ 2 = g 1 + g 1, és Var ξ = g 1 + g 1 g
10 Az r és p paraméterű egatív biomiális eloszlás geerátorfüggvéye r px gx =. 1 1 px Ie g x = rp px 1 1 px r px 2, r 2 g x =rr 1p 2 px px 1 1 px 4 + rp px 1 1 px r 1 21 p 1 1 px 3. Behelyettesítéssel Eξ = r p, g 1 = r2 +r p 2 2r p, Varξ = g 1+g 1 g 1 2 = r1 p 7. Mutassu példát olya P = {p : = 1,2,...}, p 0, = 0,1,2,..., p 2. p = 1, valószíűség eloszlásra a em egatív egész számoo, amelye gx = p x geerátorfüggvéye semmilye ε > 0 szám eseté em terjeszthető i a 1 ε < x < 1 + ε itervallumra. Megoldás: Legye α > 1 tetszőleges szám. Eor Cα = 1 <, és p α = 1 p α = Cα, = 1,2,..., valószíűségeloszlás. Ee geerátor függvéye a α p x = 1 x Cα semmilye ε > 0 számra em overgál a 1 ε < x < 1+ε α =1 =1 x itervallumo, mert mide x > 1 számra lim =. α 8. Legye ξ geometriai eloszlású valószíűségi változó, azaz legye Pξ = = p1 p 1, = 1,2,... Itt a geometriai eloszlása az eredeti defiiciótól formálisa eltérő, de azzal evivales jellemzését adtu meg. A Pξ = valószíűségeet adtu meg = 1,2,... értéere a Pξ = + 1, = 0,1,2,... valószíűsége helyett. Lássu be, hogy ξ teljesíti a övetező diszrét öröifjú tulajdoságot. Pξ = + l ξ > l = p1 p 1 = Pξ =, l = 0,1,2, = 1,2,... 2 Adju meg ee az azoossága a valószíűségszámítási magyarázatát is. Megoldás: Pξ = + l ξ > l = Pξ = + l = Pξ = l + j =1 p1 p+l 1 p1 p l+j 1 = 1 p 1 = p1 p 1 = Pξ =. 1 p j j=0 10
11 Teitsü egy a fej-oldalára p valószíűséggel eső pézérme végtele egymás utái feldobását. A most bebizoyított azoosság baloldalá aa a feltételes valószíűsége áll, hogy az l-i dobás utá még dobást ell tei ahhoz, hogy az első fejdobás megjeleje, feltéve, hogy az első l dobásba, em volt fejdobás. Mivel az első l dobás és az utáa övetező dobáso eredméyei egymástól függetlee, és az egyes dobáso fej-oldalra való esésée ugyaayi a valószíűsége, ezért ez a feltételes valószíűség megegyezi aa a valószíűségével, hogy a -i dobás az első fejdobás. A 2 azoosság ezt a téyt fejezi i. Megjegyzés. Összegezve a 2 formulát rögzített l-re és mide > m-re valamilye rögzített m em egatív egész számra azt apju, hogy mide l > 0 és m > 0 egész számra Pξ > l + m ξ > l = Pξ > m. Ezt az azoosságot lehet úgy iterpretáli, hogy ha valaie az élettartama geometriai eloszlású, azaz aa a valószíűsége, hogy a időpotba fog meghali Pξ = = p1 p, = 1,2,..., aor aa a valószíűsége, hogy az illető az l időpot utá még legalább m ideig fog éli feltéve, hogy az l életort megélte ugyaayi, mit aa a valószíűsége, hogy egy hasoló eloszlású újszülött legalább m ideig fog éli. Ezért ezt az azoosságot szoás diszrét öröifjú tulajdosága evezi. A diszrét jelző itt arra utal, hogy a geometriai eloszlás csa em egatív egész számora teljesíti ezt az azoosságot. Később láti fogju, hogy va egy olya eloszlás, az expoeciális eloszlás, amely teljesíti ee az azoossága egy természetes általáosítását mide pozitív valós számra. Ezt hívjá öröifjú tulajdosága, ami az expoeciális eloszlása egy agyo fotos tulajdosága. c. A hipergeometrius eloszlás. Teitsü először egy tipius példát, amelybe ilye eloszláso megjelee. Adva va egy urába M piros és N M fehér golyó. Visszatevés élül ihúzu, N, golyót. Mi aa a valószíűsége, hogy piros golyót húztu i? Ez a valószíűség M N M. Valóba, ha megülöböztetjü az egyes golyóat, N aor N ülöböző húzáseredméy alaulhat i. Nem ülöböztetü meg ét húzáseredméyt, ha ugyaazoat a golyóat húztu i csa más sorredbe. Kissé részletesebbe ifejtve: Az urába levő golyóat számozzu meg 1-től N-ig úgy, hogy a piros golyó apjá az 1,...,M és a fehér golyó az M + 1,...,N számoat. Egy hosszúságú visszatevés élüli húzássorozat eredméye egy az 1,..., N számoból álló hosszú számsorozat, amelye mide tagja ülöböző. A ülöböző húzássorozato számát számolju i, ha azoosítu ét olya sorozatot, amelybe ugyaazo a számo szerepele csa más sorredbe. Ezutá azo hosszúságú húzássorozato számát számolju össze, amelyebe piros, azaz az 1,...,M számo valamelyiével idexezett golyó va. Olya húzássorozat, amelybe az M piros golyóból -t, az N M fehér golyóból pedig -t húzu M N M va. Mivel eze azo az hosszú húzássorozato, amelyebe potosa piros golyót húzu, és az egyes húzássorozato valószíűsége megegyezi, ie övetezi az állítás. A hipergeometrius eloszlás defiiciója. Azt modju, hogy a ξ valószíűségi változó hipergeometrius eloszlású N, M és paramétereel, ahol N, M és em 11
12 egatív egész számo, M < N, < N, ha ξ valamely egész értéet vesz fel, amelyre 0, és M N M Pξ = = N, 0. Ilye módo valóba eloszlást defiiáltu. A Pξ = = 1 azoossággal evivales eloszlás vizsgálatába. M N M = N azoosságot más jelöléssel beláttu a biomiális A övetező feladat egy tipius probléma, ahol a hipergeometrius eloszlás megjelei. Számolju i aa valószíűségét, hogy a lottóba potosa három találatu lesz. E feladat megoldását tartalmazza a 2. téma ismertetésée 6. feladata. Ezért ezt em ell újra tárgyalom. Oldju meg a övetező feladatoat. Feladato: 9. Számolju i egy N, M és paraméterű hipergeometrius eloszlású ξ valószíűségi változó várható értéét és szóráségyzetét, azaz egy olya valószíűségi változó várható értéét és szóráségyzetét, amelyre M N M Pξ = = N, 0. Mutassu meg, hogy Eξ = M N, Var ξ = M N 1 M N N 1. Megoldás: Teitsü egy urát, amely M piros és N M fehér golyót tartalmaz, és húzzu i golyót visszatevés élül. Defiiálju a övetező ξ j, 1 l, valószíűségi változóat. Legye ξ j = 1, ha a j-i húzás piros, ξ j = 0, ha a j-i húzás fehér. Eor a megoldadó feladat evivales az S = ξ j összeg várható éréée és szóráségyzetée a iszámolásával. Viszot már orábbi eredméyeből övetezi, hogy Eξ j = M N, Varξ j = M N M N mide 1 j N idexre, továbbá, Cov ξ j,ξ = M M 1 N N 1 M 2 N mide 1 j,, j számpárra. A várható érté additivitásából övetezi, hogy ES = M N. Itt ics szüség az összeadadó függetleségée a feltételezésére. Az összeg szóráségyzetée iszámítására tault általáos épletből, amior az összeadadó em feltétleül függetlee és a feti formulából övetezi, hogy Var S = Var ξ 1 + 1Cov ξ 1,ξ M M = N M M 1 M + 1 N N N 1 N 12 2
13 = M 1 M N M 1 N N N 1N = M 1 M 1 1 = M N N N 1 N 1 M N N N 1. Ha egy urahúzásba N és N M agy, azaz so fehér és piros golyó va az urába, és fix számú golyót ihúzu, aor a húzáseredméy szempotjából alig va jeletősége aa, hogy a ihúzott golyóat visszadobju-e vagy sem. Ilye jellegű állítást fogalmaz meg a övetező egyszerű feladat. M 10. Ha N, lim N N = p, 0 < p < 1, rögzített egész szám, aor M N M lim N N = p 1 p mide 0 számra. Megoldás: M N M N =!!! MM 1 M + 1 NN 1 N + 1 p 1 p ha N, N M N M N N + 1 mert MM 1 M +1 NN 1 N +1 p, és N M N M ++1 N N +1 1 p, ha N. A hipergeometrius eloszlás természetes többváltozós általáosítása a polihipergeometrius eloszlás. Ee megértése érdeébe teitsü a övetező feladatot: Egy urába r ülöböző szíű golyó va, N 1 1-es, N 2 2-es,... N r r-es szíű golyó. Legye N = r N j. Ezeből a golyóból ihúzu -et visszatevés élül. Mi aa a valószíűsége, hogy 1 1-es, 2 2-es,... r r-es szíű golyót húzu i? A válasz: N1 N2 1 2 Nr N, ha = r r, egyébét pedig ulla. Ee az állítása a bizoyítása hasolóa törtéhet, mit a hipergeometrius eloszlás bevezetése előtt teitett feladaté. Ee a feladata az alapjá vezetté be a övetező fogalmat. A polihipergeometrius eloszlás defiiciója. Azt modju, hogy a ξ 1,...,ξ r véletle vetor polihipergeometrius eloszlású N 1,...N r és paramétereel, ahol N j, 13 r
14 1 j r, és em egatív egész számo, és N = r N j jelöléssel < N, ha olya 1,..., r egész számoból álló vetoro az értéei, amelyere 0 j N j mide 1 j r idexre, és Pξ 1 = 1,...,ξ r = r = N1 és Pξ 1 = 1,...,ξ r = r = 0, ha r j. N2 1 2 Nr N, ha = r r j, Mivel a polihipergeometrius eloszlás számura evésbé fotos, ezért egy ilye eloszlású véletle vetor várható értéée és ovariaciáia iszámolását csa a em ötelező taayagot tartalmazó 2. iegészítésbe tárgyalom. d. A Poisso eloszlás. A Poisso eloszlást özvetleül fogom defiiáli. Azo a tulajdoságai, amelye miatt fotos szerepet játszi a valószíűségszámításba eze eloszlás tárgyalása sorá foga iderüli. A Poisso eloszlás defiiciója. Egy ξ valószíűségi változó λ paraméterű Poisso eloszlású, ha ξ em egatív egész értéeet vesz fel, és Pξ = = λ! e λ, = 0,1,2,... Ez valóba valószíűség eloszlás, mert Pξ = = λ! e λ = e λ λ! = e λ e λ = 1. Számítsu i egy λ paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változó geerátorfüggvéyét. Ez Pξ = x = λ! e λ x = e λ λx! = e λ e λx = e λx 1. A övetező állítást fotossága miatt fogalmazzu meg Tétel formájába. Tétel függetle Poisso eloszlású valószíűségi változó összegée eloszlásáról. Ha ξ és η ét függetle, λ illetve µ paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változó, aor ξ + η λ + µ paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változó. 14
15 Bizoyítás: Pξ + η = = = Pξ = j,η = j = j=0 j=0 Pξ = jpη = j j=0 λ j µ j e λ j! j! e µ = e λ+µ! = e λ+µ λ + µ.! j=0! j! j! λj µ j Feladat: 11. Mutassu meg, hogy a Poisso eloszlás geerátorfüggvéyée alajából látható, hogy ha ξ és η ét függetle, λ illetve µ paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változó, aor ξ + η λ + µ paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változó. Megoldás: Mivel egy λ paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változó geerátorfüggvéye e λx 1, egy µ paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változó geerátorfüggvéye e µx 1, és egy λ+µ paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változó geerátorfüggvéye e λ+µx 1 a feladat állítása övetezi az azoosságból. e λx 1 e µx 1 = e λ+µx 1 A feti eredméy övetezméye, hogy ameyibe véges so függetle, Poisso eloszlású valószíűségi valószíűségi változóa vesszü az összegét, az ismét Poisso eloszlású lesz, amelye paramétere az egyes valószíűségi változó paramétereie az összege. A övetező feladat állítása, amelye érdees övetezméyei vaa, teithető úgy, mit ee az állítása a megfordítása. Abba ugyais egy alalmas ostrució segítségével egy Poisso eloszlású valószíűségi változót botu fel függetle, isebb paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változó összegére. Feladat: 12. Legye adva darab ura, és ezebe dobju be véletle ξ számú golyót, ahol ξ Poisso eloszlású valószíűségi változó λ > 0 paraméterrel. Legyee az egyes dobáso eredméyei egymástól és a ξ valószíűségi változótól függetlee. Tegyü fel továbbá, hogy mide egyes dobásál a golyó p j 0 valószíűséggel esi a j-i urába, j = 1,...,, p j = 1. Jelölje η j a j-i urába eső golyó számát. Eor az η j, j = 1,...,, valószíűségi változó függetlee, és η j Poisso eloszlású λp j paraméterrel, j = 1,...,. 15
16 Megoldás: Pη 1 = l 1,...,η = l = Pξ = l l l l! p l 1 l 1! l! 1 p l = λl 1+ +l p l 1 l 1! l! 1 p l e λ = λl1 λ l l 1! l! pl 1 1 p l e λp 1+ +p = λp j l j tetszőleges l 1 0,..., l 0 egész számora. Ie adódi az állítás. Lássu be az előző feladat segítségével a övetező állítást: l j! e λp j 13. Legye adva egy ξ Poisso eloszlású valószíűségi változó λ paraméterrel. Dobju le egymástól és a ξ valószíűségi változótól függetleül véletleül egyeletese ξ darab potot az egységitervallumra, azaz tegyü fel, hogy mide pot b a valószíűséggel esi valamely [a, b] [0, 1] itervallumba. Eor a [0, 1] itervallum tetszőleges felbotására [s 0,s 1 ], [s 1,s 2 ],..., [s 1,s ] diszjut itervallumora, 0 = s 0 < s 1 < < s = 1 igaz az, hogy az egyes itervallumoba eső poto száma egymástól függetle Poisso eloszlású valószíűségi változó s j s j 1, 1 j, paraméterrel. Megoldás: Teitsü a övetező uramodellt. Veszü ξ számú golyót, tehát ayit, aháy ledobott potot vettü az előző feladatba. Tegyü az l-i golyót a j- i urába, ha a l-i pot az [s j 1,s j ] itervallumba esett, 1 j. Aor az előző feladat eredméye alapjá az egyes urába eső golyó száma egymástól függetetle Poisso eloszlású valószíűségi változó s j s j 1, 1 j, paraméterrel. Ie övetezi a feladat állítása. Megjegyzés. Az előző feladat eredméye egyszerű módszert ad úgyevezett Poisso folyamato ostruálására. Ez azoba em témája ee az előadássorozata. Számítsu i egy ξ λ paraméterű Poisso eloszlású valószíűségi változó várható értéét és szóráségyzetét. Eξ = Eξ 2 = =1 =1 λ! e λ = e λ λ 2 λ! e λ = =2 =1 = e λ λ 2 és Var ξ = Eξ 2 Eξ 2 = λ + λ 2 λ 2 = λ. λ 1 1! = λe λ+λ = λ, 1 λ! e λ + 16 =2 =1 λ! e λ λ 2 2! + λ = λ2 + λ,
17 Megjegyzem, hogy a Poisso eloszlás várható értéére és szóráségyzetére apott eredméye összhagba vaa azzal a téyel, hogy függetle Poisso eloszlású valószíűségi változó összege olya Poisso eloszlású valószíűségi változó, amelye paramétere az összeadadó paramétereie az összege. Ugyais mid a várható érté mid a szóráségyzet additív függetle valószíűségi változó összegzése eseté. Feladat: 14. Legyee ξ j, j = 1,...,r, függetle Poisso eloszlású valószíűségi változó λ j, 1 j r, paramétereel. Mutassu meg, hogy r P ξ 1 = 1,...,ξ r = r ξ j =! r λ = j j 1! r! r j, λ s s=1 ha r j =. Azaz a ξ 1,...,ξ r vetor feltételes eloszlása feltéve, hogy r j = a poliomiális eloszlás és p j = λ j r, 1 j r, paramétereel. λ s s=1 Megoldás: r P ξ 1 = 1,...,ξ r = r ξ j = = Pξ 1 = 1,...,ξ r = r r P ξ j = = Pξ 1 = 1 Pξ r = r r, P ξ j = mert {ω: ξ 1 ω = 1,...,ξ r ω = r } {ω: valószíűségi változó függetlee. Ie r ξ jω = }, és a ξ 1,...,ξ r r P ξ 1 = 1,...,ξ r = r ξ j = = r = s=1 r! 1! r! λ j j j! e λ j λ s 1+ +r e λ 1 + +λ r r! λ j j r j. λ s s=1 A övetező eredméy a biomiális eloszlás Poisso özelítéséről szól. Lemma a biomiális eloszlás Poisso özelítéséről. Mide = 1, 2,... számra teitsü egy S biomiális eloszlású valószíűségi változót B,p eloszlással, azaz 17
18 és p paramétereel. Tegyü fel továbbá, hogy a λ = p, = 1,2,..., számo teljesíti a lim λ = λ feltételt valamilye λ > 0 számmal. Eor mide = 0,1,2,... számra. lim PS = = λ! e λ Bizoyítás: PS = = λ! 1 λ 1 λ λ = λ λ! e λ, ha mide = 0,1,2,... számra, mert λ! λ!, 1 λ e λ, 1 λ 1, és , ha. Az előző lemma eredméye azt modja, hogy ha teitü függete, egyforma eloszlású ξ j, 1 j, valószíűségi változót, amelyere Pξ j = 0 = 1 Pξ j = 1 = λ, majd vesszü eze S = ξ j összegét, aor és λ λ eseté az S összege eloszlása tart a λ paraméterű Poisso eloszláshoz. Korábbi eredméyeiből az is övetezi, hogy olya T = η j alaú = 1,2,..., véletle összegere, amelyebe rögzített számra az η j valószíűségi változó függetlee és Poisso eloszlásúa λ paraméterrel, és lim λ = λ > 0 szité teljesül a lim PT = = λ! e λ reláció mide egész számra. Eor ugyais T Poisso eloszlású λ paraméterrel. Az előbb teitett ét példa speciális esete egy általáosabb határeloszlástétele Poisso határeloszlással. Ismertetem ezt az eredméyt, majd megtárgyalom aa övetezméyeit. Megmutatom, hogy eze eredméy alapjá miért természetes feltei, hogy bizoyos jeleségebe megjeleő véletle meyisége pl. csillaghullásor a lehulott csillago száma vagy rádióatív bomlásba a széthasadt uráatomo száma Poisso eloszlású. Határeloszlástétel Poisso határeloszlással. Legye adva mide rögzített = 1,2,... számra ξ 1,...,ξ függetle egyforma eloszlású, em egatív egész értéeet 18
19 felvevő valószíűségi változó olya sorozata, mely sorozato teljesíti a övetező feltételeet: a lim P ξ 1 = 1 = λ > 0. b lim P ξ 1 2 = 0. Eor az S = ξ j, = 1,2,..., véletle összegere teljesül a lim PS = = λ! e λ reláció mide em egatív egész számra. Megjegyzés: Érvéyes e tétel állításáa megfelelő általáosítása. Alalmas feltétele mellett függetle em egatív egész értéű, de em feltétleül azoos eloszlású valószíűségi változó összegée az eloszlása overgál egy Poisso eloszláshoz. Egy ilye a feti tételhez hasolóa bizoyítható állítást megfogalmazo em ötelező házi feladat formájába. Ee az eredméye több ülöböző bizoyítása ismeretes. Az egyi taulságos bizoyítás a geerátorfüggvéye módszeré alapul. Itt ezt a bizoyítást fogom ismerteti. A tétel bizoyításáa godolata: Teitsü az S valószíűségi változó G x = PS = jx j, = 1,2,..., j=0 geerátorfüggvéyeit. A geerátorfüggvéy módszer azt sugallja, hogy lássu be a lim G x = Gx relációt valamilye A < x < A, A > 0, itervallumba, ahol Gx = e λx 1, a λ paraméterű Poisso eloszlás geerátorfüggvéye. Ugyais, mivel hatváysoro overgeciájából övetezi a hatváysoro deriváltjaia a overgeciája is, és hatváysoroat szabad tagoét deriváli, e relációból övetezi a lim d G x dx x=0 = dg x dx x=0 = λ e λ összefüggés mide = 0,1,2,... számra. Ee az érve a jogosságát issé részletesebbe tárgyaltam az 5. téma ismertetésébe. Az idolás felhaszálja az aalízis éháy alapvető, de em triviális eredméyét. Azaz ebből a relációból övetezi, hogy! lim! e λ mide = 0,1,... számra. PS = =! λ A bizoyítadó reláció igazolásáa érdeébe vegyü észre, hogy a G x függvéyt felírhatju a geerátorfüggvéye tulajdoságai miatt a övetező alaba: G x = gx mide 1 < x < 1 számra, ahol g x = Pξ 1 = jx j, a ξ 1 valószíűségi változó geerátorfüggvéye. 19 j=0
20 A feti azoosságot felhaszálva, majd a bizoyítadó relációba logaritmust véve elég megmutati azt, hogy lim log g x = λx 1. Továbbá, mivel P ξ 1 = 0 = 1 P ξ 1 = 1 P ξ 1 = j, ezért j=2 g x = 1 + P ξ 1 = 1 x 1 + P j=2 ξ 1 = j x j 1. Ezért az a és b feltétele miatt azt várju, hogy a g x 1 + λ x 1 formula jó özelítés. Mivel log1 + u u is u számora, ezért természetes azt vári, hogy log g x λ x 1 jó özelítés, és lim log g x = λ x 1, ahoa övetezi a Tétel állítása. A Tétel bizoyítását befejezzü, ha igazolju a feti özelítése jogosságát. A Tétel bizoyításáa befejezése. Vegyü észre, hogy mide ε > 0 számra létezi olya 0 = 0 ε üszöbidex, amelyre g x 1 + λ x 1 < ε, ha 0 és x < 1. Valóba a g x = 1 + P ξ 1 = 1 x 1 + x P ξ 1 = j j 1 azoosság teljesül. Ezeívül a b relációból övetezi, hogy x P ξ 1 = j j 1 2 P ξ 1 = j = 2P ξ 1 2 ε 2, j=2 j=2 és az a relációból pedig az, hogy P ξ 1 = 1 x < 1. Ezért igaz a feti azoosság. j=2 x 1 λ x 1 < ε 2, ha 0 és Továbbá, mivel mit azt például a log1 + x függvéy Taylor sorfejtéséből lehet láti, log1 + u u < u 2, ha u < 1 2, ezért a feti egyelőtleségből u = g x 1 választással apju, hogy log g x g x 1 < 2ε log, és g x λx 1 < 3ε, ha 1, és x 1 alalmas 1 = 1 ε üszöbidexre. Mivel ez az állítás igaz mide ε > 0 számra, ezért lim log g x = λx 1, lim g x = e λx 1, ha x < 1. Viszot láttu, hogy ie övetezi a Tétel állítása. Nem ötelező házi feladat. Legye ξ 1,1...,ξ 1,1.. ξ,1...,ξ,
21 szériasorozat, azaz tegyü fel, hogy az egy sorba álló valószíűségi változó függetlee. Tegyü fel továbbá, hogy e valószíűségi változó teljesíti a övetező feltételeet: 1. A ξ,j valószíűségi változó em egatív egész értéeet vesze fel. 2. Pξ,j = 1 = λ,j, lim λ,j = λ > sup λ,j 0, ha, és P ξ,j 2 0, ha. 1 j Eor az S = ξ,j valószíűségi változó eloszlásba overgála a λ paraméterű Poisso eloszláshoz, ha, azaz lim PS = l = λl l! e λ mide l = 0,1,2,... számra. A most bizoyított határeloszlástétel szemléletes tartalma: Teitsü például a csillaghullást. Háy hullócsillagot látu egy adott időitervallumba, modju egy óra alatt egy yár éjszaai megfigyelése? Szereté tudi, hogy a lehullott csillago véletle száma milye valószíűségi törvéyee tesz eleget. Ezt megértedő, osszu fel az egy óra időitervallumot rövid T hosszúságú időitervallumora. A lehullott csillago száma e rövid T időitervallumoba lehullott csillago számáa az összege. Feltehetjü, hogy diszjut időitervallumoba lehullott csillago száma egymástól függetle, és a ülöböző rövid itervallumoba lehulló csillago száma hasoló valószíűségi törvéyeet teljesít. Aa a valószíűsége, hogy egy rövid időitervallumba lehull egy csillag agyo icsi, és aráyos az időitervallum hosszával. Aa a valószíűsége, hogy egy is időitervallumba ettő vagy még több csillag is lehull, még ehhez épest is elhayagolhatóa icsi. Ez azt jeleti, hogy természetes feltei, hogy teljesüle az előbb megfogalmazott tétel feltételei. Ezért az alalmazható, és ie övetezi, hogy egy adott időitervallumba lehullott csillago száma Poisso eloszlású. Hasoló érvelés alalmazható so más hasoló esetbe. Ez magyarázza meg, hogy miért ülööse fotos a Poisso eloszlás. A diszrét eloszlású valószíűségi változóról szóló ismertetést egy a hipergeometrius eloszlással apcsolatos statisztiai problémával zárom az 1. iegészítésbe. Ez a példa azért is érdees lehet, mert természetes módo megismertet miet a matematiai statisztia éháy olya fotos fogalmával, mit a becslés vagy a ofideciaitervallum. 21
22 1. iegészítés. Egy a hipergeometrius eloszlással apcsolatos statisztiai problémáról. Teitsü először a övetező problémát: Feladat: Egy tóba 3000 hal va. Véletleül ihalásza belőle 1000 darabot, és ezere piros pöttyöt festee és visszaegedi őet. Ezutá ismét ifoga véletleül 1000 halat. Mi aa a valószíűsége, hogy a ifogott hala özött 100 megfestett va? Megoldás: , mert eyi aa a valószíűsége, hogy 1000 hal iválasztása eseté az 1000 megfestett halból 100-at a 2000 meg em festett halból pedig 900 halat választu. Megjegyzés: A gyaorlatba előforduló érdés ee a fordítottja. Elvégezzü a feti isérletet, megszámolju a másodi fogásba ifogott megfestett hala számát, és ebből próbálu a tóba levő hala ismeretle számára övetezteti. Milye eljárás segítségével tudju ezt jól megtei? Érdemes ezt a problémát részletesebbe megtárgyali. Nem tudju, hogy háy hal va a tóba. De ee megbecslése érdeébe a övetező eljárást alalmazhatju: Végezzü ét fogást, az első fogásba ifogott halaat jelölju meg, és számolju meg, hogy a másodi fogásba háy megjelölt és megjelöletle halat fogtu. Ee alapjá meg aarju állapítai, hogy háy hal lehet összese a tóba. Ezt természetese csa bizoyos véletletől függő potossággal tudju meghatározi. Az ilye tipusú feladato tipiusa a matematiai statisztiába, az ilye problémá vizsgálatát evezi becsléselmélete. Világos, hogy a feladatba szereplő adato eseté em valószíű, hogy 1000-él alig több hal va a tóba, mert aor soal több megjelölt hal lee a másodi fogásba. Az hogy regeteg, modju hal lee a tóba szité em túl valószíű, mert aor soal evesebb megjelölt hal lee a másodi fogásba. A matematiai statisztiába idolgozta egy általáos elvet, egy maximum lielihood módszere evezett eljárást, amely agyo általáos feltétele mellett jó módszert ad a miet érdelő meyiség becslésére. Megtárgyalju, hogy milye eredméyt ad ez a jele esetbe is alalmazható módszer. Teitsü egy issé általáosabb problémát. Vezessü be a övetező jelöléseet: x jelöli a tóba lévő hala ismeretle számát. jelöli az első fogásba ifogott és megjelölt hala számát. r jelöli a másodi fogásba ifogott hala számát. jelöli a másodi fogásba ifogott, előzöleg megjelölt hala számát. Aa valószíűsége, hogy adott ismeretle x és, r számo eseté potosa megjelölt halat fogu i x q x,,r = r x. r 22
23 Teitsü az ismeretle x szám maximum lielihood becslésée azt az x számot, amelyre a q x,,r meyiség rögzített, és r számo mellett maximális. Határozzu meg a feti feladatba a maximum lielihood becslést. Némi számolás mutatja, hogy q x,,r q x 1,,r = x x r + x r x = x2 rx x + r x 2 rx x + x. Ez a tört isebb mit egy, ha r < x, agyobb mit egy, ha r > x. Ezért a becslés r = x, azaz x = r, potosabba az e számot özrefogó egész számo valamelyie. Valóba x < r esetébe a q x,,r függvéy mit az x változó függvéye rögzített, és r paramétereel mooto ő, x > r esetébe pedig a q x,,r függvéy mooto csöe. Természetes érdés az, hogy az így apott becslés valóba jó-e. Azt em várhatju, hogy az adott becslés teljese potos. A természetes elvárás az, hogy meg tudju adi az x pota viszoylag egy is öryezetét, egy olya [x a,x+a] itervallumot, amelyre igaz, hogy aa valószíűsége, hogy a hala valódi száma ebbe az itervallumba esi agyobb, mit egy előírt egyhez özeli szám. A matematiai statisztiába az adott tulajdosággal redelező véletle itervallumot ofidecia megbízhatósági itervalluma hívjá. Ahhoz, hogy ilye ofideciaitervallumot tudju szeresztei szüség va bizoyos valószíűségi változó eloszlásáa jobb ismeretére, és ez a valószíűségszámítás egyi alapvető feladata. Jegyezzü meg, hogy a most vizsgált feladatba, ha a tóba x számú hal va, és az első fogásba, a másodi fogásba pedig r halat fogu i, aor a másodi fogásba ifogott véletle számú megjelölt hal számáa a várható értée E = r x. Ahhoz, hogy vizsgáli tudju meyire jó a becslés, hogya lehet jó ofideciaitervallumot ostruáli, azt ell megérteü, hogy meora az igadozása a valószíűségi változóa a várható értée örül. Ezért érdemes egy hipergeometrius eloszlás szóráségyzetét iszámoli. További értées iformációat yerhetü, ha tételeet bizoyítu hipergeometrius eloszláso aszimptotius eloszlására aor, amior a bee szereplő paramétere agyo. Bár ezzel a érdéssel em fogu foglalozi, hasoló problémáat fogu tárgyali, amelye vizsgálatába ilye jellegű érdése megoldása haszos. 23
24 2. iegészítés. A polihipergeometrius eloszlás várható értée és szóráségyzete. Először a övetező lemmát látom be. Lemma 1. Legyee ξ 1,...,ξ L és η 1,...,η M valószíűségi változó ugyaazo a valószíűségi mező. Eor L M L M Cov ξ j, = Cov ξ j,η. η =1 =1 Bizoyítás. L M Cov ξ j, Ee alapjá =1 η L M = E ξ j = L =1 =1 M Eξ j η η E L =1 L ξ j M Eξ j Eη = E L M η =1 =1 M Cov ξ j,η. Lemma 2. Legye ξ 1,...,ξ r polihipergeometrius eloszlású véletle vetor N 1,...N r és paramétereel. Eor Eξ j = N j N, Var ξ j = N j N 1 N j N N N 1 mide 1 j r idexre, és Cov ξ j,ξ = NN jn N 1N 2 mide 1 j, r, j idexpárra. Bizoyítás. Számítsu i először a Cov ξ j,ξ ovariaciafüggvéyt. Ee érdeébe teitsü egy urát, bee N 1 1-es, N 2 2-es,..., N r r-es szíű golyót, és húzzu i belőlü golyót visszatevés élül. Legye N = r N r, és vezessü be a övetező η l,s, 1 l, 1 s r, valószíűségi változóat: η l,s = 1, ha az l-i húzásba s-es szíű golyót húzu, és η l,s = 0, ha az l-i húzás eredméye más. Defiiálju a ξ s = η l,s véletle összegeet, 1 s r. Eor a Cov ξ j,ξ ovariaciafüggvéyt l=1 =1 ell iszámolu az előbb defiiált valószíűségi változóal. Számolju i először a Cov η l,j,η l, ovariaciafüggvéyeet. Külö ell választai az l = l és l l eseteet. Mid a ét esetbe haszálhatju azt a téyt, hogy hasolóa a ét szíű golyót tartalmazó uramodellhez aa, hogy milye valószíűséggel húzo bizoyos előírt szíű golyóat adott húzásba em függ attól, hogy hayadi húzást teitettü. Az l = l esetbe Cov η l,j,η l, = P η l,j = 1,η l, = 1 P η l,j = 1P η l, = 1 = P η 1,j = 1P η 1, = 1 = N jn N 2. 24
25 Ha l l, aor Cov η l,j,η l, = P η l,j = 1,η l, = 1 P η l,j = 1P η l, = 1 = P η 1,j = 1,η 2, = 1 P η 1,j = 1P η 1, = 1 = N jn NN 1 N jn N 2. Ie az 1. lemma eredméye alapjá Cov ξ j,ξ = N jn Nj N N NN 1 N jn N 2 = NN jn N 1N 2. Az Eξ j és Var ξ j meyiségeet is i lehet számítai hasolóa, de erre ics szüség. Ha csa azt vesszü figyelembe, hogy az l-i húzásba j-es vagy más szíű golyót húztu-e, azaz csa az η j,l valószíűségi változóal dolgozu, aor rövid meggodolás utá láthatju, hogy ugyaazt az eredméyt apju, mit a ét szíel redelező hipergeometrius eloszlást modellező uramodell eseté M = N j és N M = N N j paramétereel. Ezért Eξ j = N j N, Varξ j = N j N 1 N j N N N 1. 25
Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?
Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége
RészletesebbenA Secretary problem. Optimális választás megtalálása.
A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra
Részletesebben1. Komplex szám rendje
1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,
RészletesebbenStatisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.
Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy
RészletesebbenDivergens sorok. Szakdolgozat
Diverges soro Szadolgozat Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Készítette: Szabó Szilárd Matematia Bsc., taári szairáy Témavezető: Gémes Margit Műszai gazdasági taár Aalízis taszé Budapest,
Részletesebben1. A radioaktivitás statisztikus jellege
A radioaktivitás időfüggése 1. A radioaktivitás statisztikus jellege Va N darab azoos radioaktív atomuk, melyekek az atommagja spotá átalakulásra képes. tegyük fel, hogy ezek em bomlaak tovább. Ekkor a
RészletesebbenDiszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA
A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
RészletesebbenMetrikus terek. továbbra is.
Metrius tere továbbra is. Defiíció: Legye X egy halmaz, d : X X R egy függvéy. Azt modju, hogy d metria (távolság), ha.. 3. 4. d d d d x, x 0, x, y 0 x y, x, y dy, x, x, z dx, y dy, z. Az X halmazt a d
Részletesebbenf (M (ξ)) M (f (ξ)) Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy konvex függvényekre mindig létezik a ± ben
Propositio 1 (Jese-egyelőtleség Ha f : kovex, akkor tetszőleges ξ változóra f (M (ξ M (f (ξ feltéve, hogy az egyelőtleségbe szereplő véges vagy végtele várható értékek létezek Bizoyítás: Megjegyezzük,
RészletesebbenI. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.
I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 10. A statisztika alapjai Debrecei Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csaád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Statisztikai függvéyek Defiíció, empirikus várható érték Empirikus
RészletesebbenKomplex számok. 6. fejezet. A komplex szám algebrai alakja. Feladatok. alábbi komplex számokat és helyvektorukat:
6 fejezet Komplex számo A omplex szám algebrai alaja D 61 Komplex száma evezü mide olya a+bi alaú ifejezést amelybe a és b valós szám i pedig az összes valós számtól ülöböz épzetes egysége evezett szimbólum
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
Részletesebbenfogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és
A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,
RészletesebbenKombinatorika (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla
Kombiatoria (017 február 8 Bogya Norbert, Kátai-Urbá Kamilla 1 Kombiatoriai alapfeladato A ombiatoriai alapfeladato léyege az, hogy bizoyos elemeet sorba redezü, vagy éháyat iválasztu belőlü, és esetleg
Részletesebben3.1. A Poisson-eloszlás
Harmadik fejezet Nevezetes valószíűségi változók Valamely valószíűségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tuduk potos választ adi, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközelítőleg ismert. Ebbe a
RészletesebbenSzámelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged
Magas szitű matematiai tehetséggodozás Számelméleti érdeessége dr. Kosztoláyi József, Szeged A számelmélet bőveledi olya érdésebe, problémába, összefüggésebe, amelye elemi módszereel megözelíthető. Bizoyos
Részletesebbenn akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!
KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:
Részletesebben3. Valószínűségszámítás
Biometria az orvosi gyaorlatba 3. Valószíűségszámítás 3. Valószíűségszámítás 3.. Bevezetés 3.. Kombiatoria 3... Permutáció 3... Variáció 3..3. Kombiáció 3 3.3. Biomiális együttható tulajdoságai 3 3.4.
RészletesebbenSzámelméleti alapfogalmak
Számelméleti alapfogalma A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelme léteze q és r természetes számo, amelyere igaz: a b q r, r b Megevezés: a osztadó b osztó q
Részletesebbenezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk,
A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenJegyzetek a Matematika A2H tárgyhoz
Jegyzete a Matematia A2H tárgyhoz Kreedits Sádor és Révész Szilárd György Tartalomjegyzé. Végtele umerius soro 2.. Sorozato - rövid ismétlés............................ 2.2. Végtele umerius soro............................
RészletesebbenValószínûség számítás
Valószíûség számítás Adrea Glashütter Feller Diáa Valószíűségszámítás Bevezetés a pézügyi számításoba I. Bevezetés a pézügyi számításoba A péz időértéével apcsolatos számításo A péz időértéée számítása:
Részletesebben2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok
. gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
RészletesebbenA k -adik leghosszabb rekord határeloszlása véletlen bolyongásokban
A -adi leghosszabb reord határeloszlása véletle bolyogásoba TDK dolgozat 204 Név: Neptu ód: Képzés: Témavezet : Szabó Réa I25ZNU alalmazott matematius MSc. Dr. Vet Bálit Tartalomjegyzé. Bevezetés 2. Korábbi
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
Részletesebben24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.
24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor
RészletesebbenKomputer statisztika
Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................
Részletesebben24. Kombinatorika, a valószínűségszámítás elemei
4. Kombiatoria, a valószíűségszámítás elemei Kombiatoria A véges halmazoal foglalozó tudomáyterület. Idő hiáyába csa a evezetes összeszámolásoal foglalozu. a) Sorbaállításo (ermutáció) alafeladat: ülöböző
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége
Részletesebben( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) FELADATOK Taylor- (Maclaurin-) sorok, hibabecslés
FELADATOK Taylor- (Maclauri- soro, hibabecslés Határozzu meg az e üggvéy -örüli Taylor-sorát! Adju meg a hatváysor overgecia sugarát, ill. overgecia halmazát! Számítsu i a deriváltaat a -helye: e, e, e,
RészletesebbenANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA
ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add
RészletesebbenStatisztika 1. zárthelyi dolgozat március 18.
Statisztika. zárthelyi dolgozat 009. március 8.. Ismeretle m várható értékű, szórású ormális eloszlásból a következő hatelemű mitát kaptuk:, 48 3, 3, 83 0,, 3, 97 a) Számítsuk ki a mitaközepet és a tapasztalati
Részletesebben90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények
9 Folytoos függvéye IV Folytoos függvéye Az előző fejezetbe adott f : D függvéy viseledését a D halmaz torlódási potjáa öryezetébe vizsgáltu Az pot em feltétleül tartozott a D halmazhoz ( D ) Ebbe a fejezetbe
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
Részletesebben3. A VALÓSZÍNŰSÉG-ELMÉLET ALAPJAI
3. A VALÓSZÍNŰSÉG-ELMÉLE ALAPJAI Ebbe a függelébe azoat a valószíűség-elméleti alapfogalmaat foglalju össze, amelyere a mérése iértéeléséhez szüség va. A 3.. alfejezet a területe teljese ezdő számára észült.
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
Részletesebben( ) ; VI. FEJEZET. Polinomok és algebrai egyenletek. Polinomok és algebrai egyenletek 215. VI.2.7. Gyakorlatok és feladatok (241.
Poliomo és algebrai egyelete 5 VI FEJEZET Poliomo és algebrai egyelete VI7 Gyaorlato és feladato ( oldal) A övetező ifejezése özül melye moomo? Háy változósa, háyad foúa és meyi az együtthatóju? 7 XX X,,
RészletesebbenMatematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele soro. Bevezetés és defiíció Bevezetését próbálju meg az + + 4 + + +... végtele összege értelmet adi. Mivel végtele soszor em tudu összeadi, emiatt csa az első tagot adju össze: legye s = + +
RészletesebbenLegfontosabb bizonyítandó tételek
Legfontosabb bizonyítandó tétele 1. A binomiális tétel Tetszőleges éttagú ifejezés (binom) bármely nem negatív itevőj ű hatványa polinommá alaítható a övetez ő módon: Az nem más, mint egy olyan n tényezős
Részletesebben1.1. Műveletek eseményekkel. Első fejezet. egy véletlen esemény vagy bekövetkezik, vagy nem következik be. Egyszerű
Első fejezet Elemi valószíűségelmélet A valószíűségelmélet alapvető fogalma a véletle eseméy. A véletle ísérlet végrehajtásaor egy véletle eseméy vagy beövetezi, vagy em övetezi be. Egyszerű példa véletle
RészletesebbenA statisztikai vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét statisztikai sokaságnak nevezzük.
Statisztikai módszerek. BMEGEVGAT01 Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudomáyi Egyetem Gépészméröki Kar Hidrodiamikai Redszerek Taszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
Részletesebben18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható
8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.
Részletesebbenmin{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:
. A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát
RészletesebbenDr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007)
A Fibonacci-sorozat általános tagjára vontozó éplet máséppen is levezethető A 149 Feladatbeli eljárás alalmas az x n+1 ax n + bx, n 1 másodrendű állandó együtthatós lineáris reurzióal adott sorozato n-edi
Részletesebbenegyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz
Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
RészletesebbenA valószínűségszámítás alapjai
A valószíűségszámítás alapjai Kombiatoria Permutáció (ismétlés élül): elem összes lehetséges sorredje: P = (-)(-) =!!- fatoriális Variáció ismétlés élül elem -ad osztályú ismétlés élüli variációja - elemből
RészletesebbenA fogótétel alkalmazása sorozatok határértékének kiszámolására
A fogótétel alalmazása sorozato határértéée iszámolására Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Mide izoyal ics más olya matematiai tétel amelye olya so megevezése lee, mit az úgyevezett fogótétele, amelye gyaori
RészletesebbenNumerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag
VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa
Részletesebben9. tétel: Elsı- és másodfokú egyenlıtlenségek, pozitív számok nevezetes közepei, és ezek felhasználása szélsıérték-feladatok megoldásában
9. tétel: Elsı- és másodfoú egyelıtlesége, pozitív számo evezetes özepei, és eze felhaszálása szélsıérté-feladato megoldásáa Egyelıtleség: Két relációsjellel összeapcsolt ifejezés vagy függvéy. Az egyelıtleséget
RészletesebbenNevezetes sorozat-határértékek
Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
RészletesebbenA matematikai statisztika elemei
A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................
RészletesebbenEmpirikus szórásnégyzet
Empirikus égyzet Mi lee hasoló szellembe a becslése a mita alapjá? Empirikus égyzet Mi lee hasoló szellembe a becslése a mita alapjá? Az átlagtól való égyzetes eltérést kée átlagoli... Empirikus égyzet
Részletesebben1. Hibaszámítás Hibaforrások A gépi számok
Hiszámítás Hiforráso feldto megoldás sorá ülöféle hiforrásol tlálozu Modellhi mior vlóság egy özelítését hszálju feldt mtemtii ljá felírásához Pl egy fizii törvéyeel leírt modellt Mérési vgy örölött hi
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
Részletesebben1. tétel. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.
. tétel. Halmazo, halmazművelete, halmazo számossága, halmazművelete és logiai művelete apcsolata. Vázlat:.Halmazoal apcsolatos elevezése, alapfogalma pl.: halmaz, elem, adott egy halmaz, megadása, jelölése
RészletesebbenMőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK
Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.
Részletesebben(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1
. Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..
RészletesebbenPályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
RészletesebbenA figurális számokról (IV.)
A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe
RészletesebbenA szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként.
A szta formula és alalmazása. Gyaran találozun az alább érdéssel, soszor egy összetett feladat részfeladataént. Tentsün bzonyos A 1,...,A n eseményeet, és számítsu anna a valószínűségét, hogy legalább
RészletesebbenI. rész. Valós számok
I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =
RészletesebbenLajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár
Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus
RészletesebbenMegjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia
Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.
Részletesebben1. gyakorlat - Végtelen sorok
. gyakorlat - Végtele sorok 06. március.. Határozza meg az alábbi végtele sorok összegét! a) e e e 3 = e e = e e e e = e e = e e b) c) 4 = 4 + 5 6 + = 6 ) 4 + 6 6 + ) = lim N ) 5 = 6 6 + 5 6 = 7 6 N )
RészletesebbenNumerikus sorok, Taylor-sorok, Fourier-sorok Kidolgozott feladatok
Numerius soro, Taylor-soro, Fourier-soro Kidolgozott feladato.példa: Vizsgálju meg a átalaításoal apju, hogy 5 umerius sor overgeciáját. Azoos 5 5 4 4 5 5 5 5 ; 4 4 A sor tehát szétbotható ét mértai sor
RészletesebbenValószínűségszámítás alapjai szemléletesen
### walszam07-jav-80.doc, ### 08.0.3., :00' http://math.ui-pao.hu/~szalkai/walszam07.pdf Valószíűségszámítás alapjai szemléletese /Kézirat, 08-0-3. / dr.szalkai Istvá Pao Egyetem, Veszprém Matematika Taszék
RészletesebbenAnalízis I. gyakorlat
Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
Részletesebben1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)
RészletesebbenZavar (confounding): akkor lép fel egy kísérletben, ha a kísérletet végző nem tudja megkülönböztetni az egyes faktorokat.
Zavar és mita Zavar (cofoudig): akkor lép fel egy kísérletbe, ha a kísérletet végző em tudja megkülöbözteti az egyes faktorokat. Zavar és mita Zavar (cofoudig): akkor lép fel egy kísérletbe, ha a kísérletet
RészletesebbenWiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol
Wieer-folyamatok defiiciója. A fukcioális cetrális határeloszlástétel. A valószíűségszámítás egyik agyo fotos fogalma a Wieer-folyamat, amelyet Browmozgásak is hívak. Az első elevezés e fogalom első matematikailag
Részletesebbenvéletlen : statisztikai törvényeknek engedelmeskedik (Mi az ami közös a népszavazásban, a betegségek gyógyulásában és a fiz. kém. laborban?
BEVEZETÉS A statisztika teljese laikusokak: agy mukával gyűjtött adatok vizsgálata, abból következtetések levoása ( statistical iferece ) (Egy kicsit sok hűhó semmiért azaz Much ado about othig.) Mi is
RészletesebbenOrosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel
Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást
RészletesebbenVÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK. 1.ea.
VÉLETLENÍTETT ALGORITMUSOK 1.ea. 1. Bevezetés - (Mire jók a véletleített algoritmusok, alap techikák) 1.1. Gyorsredezés Vegyük egy ismert példát, a redezések témaköréből, méghozzá a gyorsredezés algoritmusát.
Részletesebbenn*(n-1)*...*3*2*1 = n!
Kombiatoria Permutáció: egymástól ülöböző elem egy meghatározott sorredbe való elredezése az elem egy permutációja. Az összes permutáció (ülöböző sorrede) száma: P! 0!: *(-)*...***! Ismétléses permutáció:
RészletesebbenIngatlanfinanszírozás és befektetés
Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:
RészletesebbenNumerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása
Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer Egyelemegoldás iervallumelezéssel
RészletesebbenA függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,
l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f
RészletesebbenCsikv ari P eter Diszkr et matematika El oad as jegyzet
Csivári Péter Diszrét matematia Előadás jegyzet Tartalom 1 Spetrál gráfelmélet 3 1.1 Csa lieáris algebra........................... 4 1.2 Expadere és pseudoradom gráfo.................. 10 1.3 Erőse reguláris
RészletesebbenHatárértékszámítás. (szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo április A határátmenet és a műveletek 12
Határértékszámítás szerkesztés alatt) Dr. Toledo Rodolfo 207. április 23. Tartalomjegyzék. Bevezetés 2 2. Segédállítások 3 3. Nevezetes sorozatok 7 4. A határátmeet és a műveletek 2 5. Az e szám fogalma
Részletesebben( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn
Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes
Részletesebben3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató
RészletesebbenV. RADÓ FERENC EMLÉKVERSENY Kolozsvár, május 19. V. osztály
Kolozsvár,. május 9. V. osztály a5b. Határozd meg 7cd legagyobb törtet! alaú ( a ), 8-cal egyszerűsíthető legisebb és. Az,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,,,, 4, 5 és 6 számoat oszd ét csoportba úgy, hogy ha az egyi
RészletesebbenANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK
ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add
RészletesebbenRadiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz
Radiális szivattyú járóeré fő méreteie meghatározása előírt - üzemi pothoz iret hajtás eseté szóa jövő asziromotor fordlatszámo % üzemi szlip feltételezésével: 90, 55, 970, 78 /mi Midegyi fordlatszámhoz
RészletesebbenSZÁMHALMAZOK Halmazábrán ábrázolom a valós számok halmazát és részhalmazait (néhány példával). (C) pl. 1/4; 1/2. pl. 1;2;0;-1; N pl. 0. pl.
2. tétel Számhalmazo (a valós számo halmaza és részhalmazai), oszthatósággal apcsolatos problémá, számredszere. SZÁMHALMAZOK Halmazábrá ábrázolom a valós számo halmazát és részhalmazait (éháy példával).
RészletesebbenMatematika A4 III. gyakorlat megoldás
Matematia A4 III. gyaorlat megoldás 1. Független eseménye Lásd másodi gyaorlat feladatsora.. Diszrét eloszláso Nevezetes eloszláso Binomiális eloszlás: Tipius példa egy pénzdobás sorozatban a feje száma.
RészletesebbenPopuláció. Történet. Adatok. Minta. A matematikai statisztika tárgya. Valószínűségszámítás és statisztika előadás info. BSC/B-C szakosoknak
Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 16. A matematikai statisztika tárgya Következtetések levoása adatok alapjá Ipari termelés Mezőgazdaság Szociológia
Részletesebben