n*(n-1)*...*3*2*1 = n!

Átírás

1 Kombiatoria Permutáció: egymástól ülöböző elem egy meghatározott sorredbe való elredezése az elem egy permutációja. Az összes permutáció (ülöböző sorrede) száma: P! 0!: *(-)*...***! Ismétléses permutáció: Ha az elem özött,,, l darab egyező va - azaz l ülöböző elem!,,.. l va -, aor az elem ismétléses permutációia száma: P!!...! Variáció: ha ülöböző elemből ülöbözőt iválasztu ( ) és sorredbe állítju azoat, az elem egy -ad osztályú variációját apju. Az így eletező összes lehetséges variáció száma:! V, ( )!! *(-)*(-)*...*(-+) ( )! Ismétléses variáció: ülöböző elemből ülöbözőt iválasztu ( ) és sorredbe állítju azoat. A iválasztásál ismétlődést is megegedü, tehát ugyaazt az elemet többször is iválaszthatju. Az ism így eletező összes ismétléses variáció száma: V., **..* Kombiáció: Ha az ülöböző elemből -t iválasztu ( ), de a iválasztottaat em raju sorredbe, az elem egy -ad osztályú ombiációját apju. A eletező összes lehetséges! ombiáció száma: C, : ( )! 0 db iválasztott és (-) db em iválasztott elem sorredjeie száma Ismétléses ombiáció: Ha az ülöböző elemből -t iválasztu ( ), de a iválasztottaat em raju sorredbe, és a iválasztott elem megismétlődhet, aor a eletező ismétléses ombiáció + ( + )! száma: C, ( )! A éplet levezethető a ombiáció számáa épletéből a övetező elgodolás alapjá: az ismétlés öveteztébe a ivett elemeet mitegy "visszahelyezzü", tehát a.,.. elem iválasztásáál is a teljes elemhalmazból választu. Így olya, mitha egy +(-) elemszámú halmazu lee, hisz mide visszahelyezéssel "öveljü" az eredeti elemszámot. Visszatevés pedig - darab va, mivel az utolsó ivétel utá em helyezü vissza semmit. Tehát egy +- elemű halmazból vesszü i elemet ismétlés élül. A ifejtésél a evező természetese ([ ] )! ( )! Stirlig formula +. Az! iszámítása agy értéeire ige ehézes lehet, így érdemes lehet a Stirlig formuláat haszáli, melye azoba csa agy mellett alalmazhatóa.! π e 88 l(! ) + l + l π Általába a logaritmius formát haszálju, ami még tovább egyszerűsíthető, ha figyelembe vesszü, hogy ige agy -ere bizoyos tago elhayagolhatóa. l! l ( ) l

2 Példa. Adott geetiájú (lóusz és allélszám per lóusz) redszerbe a lehetséges geotípuso számát ombiatoriai megfotoláso alapjá számolhatju i. A lehetséges feotípuso számáa megadása a domiaciaviszoyo miatt issé boyolultabb. A övetezőbe autoszómás lóuszoat vizsgálu. a.) Egyetle lóusz, s allél Ha egy lóuszhoz s számú allél tartozi, aor ezeet A, A, A s -sel jelölve, s számú A i A i s homozigóta és számú AiA j (i j) heterozigóta lehetséges. Tehát a lehetséges geotípuso száma: s s + s +. b.) Több lóusz Ha darab függetle lóusz adott, redre s,s s alléllal, aor a geotípuso száma: s + s + s + s +... s ( s + ). Va egy amiósavból álló peptid lácom, amiről tudom, hogy 5 izoleuci, glici, triptofá és glutamisav va bee. a.. Háyféle peptidlác épzelhető el? b. Háyféle RNS lác épzelhető el? Feltételezzü, hogy az egyes amiosava odojai azoos valószíűséggel jelee meg az öröítő ayagba.! a. Ez egy sima ismétléses variáció: 660 5!!!! b. A ódtáblázat alapjá tudju, hogy izoleuci, 4 glici, tripotfá és glutamisav odo va. Mide egyes realizált peptid mögött tehát ülöböző RNS szeveciá állhata. Az öt izoleuci midegyie a odo valamelyiével va ódolva. Az öt izoleuci 5 féleéppe lehet ódolva (ismétléses variáció). Hasolóa a glici 4 féleéppe, a glutamisav pedig féleépe. A tritofáoa egy ódju va, így ódolásu egyértelmű. Egy adott peptidlác tehát 5 *4 * *608 féleéppe lehet ódolva. Azaz összese 660* *0 0 RNS lác lehetséges. Feladato. A. éves biológuso biometria is ZH-t íra. Mideie egy ombiatoriai alapfogalmat ell defiiália, valamit el ell végezie egy függvéy deriválását. Az otató azt szereté, hogy mideie más legye a feladata. Legalább háy deriválási feladatot ell italália, hogy midei más ét érdést aphasso, ha a csoport létszáma 0?. Meyi egy elemű halmaz részhalmazaia száma?. Háy fajta ülöböző, 00 természetes - em módosított - amiosavból álló szevecia lehetséges? 4. Tegyü fel, hogy egy uiverzális ód alapjá ódolt oligopeptid szeveciája Gl-Thr-Ala-Ser-Pro- His-Arg-Met. Háy ülöböző DNS szevecia ódolhatja ezt az oligopeptidet? 5. Az AB0 vércsoportredszer eseté háy geotípus lehetséges? 6. Egy urába N golyó va. Egymás utá ihúzzu a golyóat. Háyféle sorredbe törtéhet ez? 7. Egy urába N golyó va. Egymás utá ihúzzu a golyóat, és mási N számú ura valamelyiébe helyezzü őet, midegyibe potosa egyet. Háyféle sorredbe törtéhet ez?

3 8. Egy urába N golyó va, özülü piros, fehér, feete ( N). Egymás utá ihúzzu a golyóat. Háyféle húzássorozat lehetséges, ha az egyszíű golyóat em tudju egymástól megülöbözteti? 9. Egy urába N golyó va. Egymás utá ihúzva cérára fűzzü a golyóat, majd a céra ét végét összeötjü. Háyféle füzért aphatu? 0. Egy urába N golyó va. Kiválasztu db-ot ( rögzített). Háyféleéppe törtéhet ez, ha a iválasztás sorredjére em vagyu teitettel?. A szteráváza 6 darab aszimmetriás C atomja va; eze midegyie a többitől függetleül cisztrasz izoméria forrása. Háy izomer létezi? Háy izomerbe va potosa számú (0,,,,4,5,6) cisz ofigurációjú C atom?. Háyféle lehet egy fehérje lác öt amiosavból álló szegmetuma, ha (a) semmit em feltételezü aa összetételéről, (b) tudju, hogy a szegmetumba lizi és vali amiosav található, (c) a (b) feltevése ívül tudju, hogy a ét termiális amiosav vali?. 0 személy özül beteg. 5 személyt orvosi vizsgálata alávetve háyféleéppe választhatóa i úgy a vizsgálta, hogy öztü potosa beteg legye? 4. Egy állat heti "étredjé" értsü egy hételemű - a hét apjaia megfelelő - listát, melye elemei 5 övéyfaj és 7 állatfaj fajeveiből erüle i. Egy faj csa egyszer szerepelhet egy héte. Mide listá potosa állatév szerepel. Egy lista permutációját már mási listáa teitjü. Változatosabb lesz-e az "étred", ha a választható övéyfajo számát az állatfajo rovására 6-ra emeljü? 5. Adott 4 gazdaállat és élősödő. Mide élősödő egy gazdaállathoz tartozi, de egy gazdaállathoz aárháy élősödő tartozhat. Háyféle lehetőség adódi erre? Mior öveszi agyobb mértébe a változatosság: ha az élősödő, vagy ha a gazdaállato számát öveljü eggyel? 6. 0 szimptóma midegyie a többietől függetleül felléphet. Elépzelhető-e, hogy egy ezdő orvos mide variációra ismer legalább három orét esetet? 7. Egy tóba s számú platofaj él. Mitát véve a platooból, háyféle eredméyre jutu, ha (a) csa azt regisztrálju egy-egy fajjal apcsolatba, hogy va vagy ics a mitába odatartozó egyed, (b) mide faj eseté m számú meyiségi foozat lehetséges. 8. Háyféleéppe párosodhat egyidejűleg 5 őstéy és 5 hím? Mi va aor, ha 4 őstéy és 7 hím va? 9. Háy geotípus lehetséges egy élőléybe, melye 000 lóusza va és mide lóuszo allélja? Deriválási emléeztető Gyaori függvéye deriváltjai Függvéy Deriváltja C álladó 0 + e e a a l l log a loga e l a lg 0,44 lge si cos

4 cos si tg cos cotg si arcsi arc cos arc tg + arc cotg + sh ch ch sh th cth Ar sh Ar ch Ar th Ar cth ch sh + Deriválási szabályo Mide esetbe feltesszü, hogy az f, g függvéye potba deriválhatóa. Összegfüggvéy deriváltja (f+g)'() f'() + g'() Függvéy számszorosáa deriváltja (cf)'() cf'() Szorzatfüggvéy deriváltja (fg)'() f'()g() + f()g'() Függvéy reciproáa deriváltja f '( ) ( ) f [ g( ) ] Háyadosfüggvéy deriváltja f f '( ) g( ) f ( ) g' ( ( ) g g( ) Iverz függvéy deriváltja [ ] ) Feltesszü, hogy f függvéye létezi iverze, ami f - ; továbbá f'() 0. y f() ( f )'( y) f '( ) Összetett függvéy deriváltja f(g())' f'(g())g'() Példá 4

5 . Egy lassa öveedő batériumulúra tömegée időbeli változását egy másodfoú függvéy írja le: m(t) t + 60t + m 0 (ahol t órába értedő). Határozzu meg a öveedési rátát 6 óra elteltével. m'(t) 4t + 60 m'(6) 84. Tegyü fel, hogy egy fehérje amiosavaá való bomlásaor a fehérje ocetrációját az idő a függvéyébe a c( t) (t [0, ), a,b pozitív ostaso) függvéy adja meg. Határozzu meg a t + b reaciósebesség-függvéyt! Ez defiíció szerit a c függvéy deriváltja. dc a dt t + b ( ) Feladato. Végezzü el az alábbi függvéye deriválását: a) f() b) f ( ) c) f ( ) a i i d) f() si()cos() e) f() l() f) f() tg λ g) f ( ) e i) f() si () h) f ( ) si l) j) f ( ) ) f ( ) e π m) f() ) f ) lgsi p) f ( ) ae be c f ( ) e i + e ( o) f ( ) l( + + 4) + r) f ( ) + e s) f ( ) si + 5