( ) ; VI. FEJEZET. Polinomok és algebrai egyenletek. Polinomok és algebrai egyenletek 215. VI.2.7. Gyakorlatok és feladatok (241.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "( ) ; VI. FEJEZET. Polinomok és algebrai egyenletek. Polinomok és algebrai egyenletek 215. VI.2.7. Gyakorlatok és feladatok (241."

Átírás

1 Poliomo és algebrai egyelete 5 VI FEJEZET Poliomo és algebrai egyelete VI7 Gyaorlato és feladato ( oldal) A övetező ifejezése özül melye moomo? Háy változósa, háyad foúa és meyi az együtthatóju? 7 XX X,, 7 X, 5 X, πxyz, i, π X Megoldás X egyváltozós, egyedfoú moom, együtthatója 5 XX X egyváltozós, ötödfoú moom, együtthatója 7X em moom, mert a foszáma em természetes szám X em moom, mert a foszáma em természetes szám πxyz moom, változós, egyedfoú, együtthatója π π X em moom Végezd el: i a) ix X ; b) 5 XY XY 6 5 ; c) 5 ( 7 ) X ( 7 ) X 5 ; d), 6YZ ;, 7XY 9 e) ( + i) X : ( i) X ; f) g) ( ) XYZ ; i) ( εxz ), ahol ε harmadredű egységgyö; j) ( 5 ix 7 Y ) :( 5X Y ) 9 5X ix 7 ; h) ; i Megoldás a) ix X ( i ) X X ; 5 b) XY XY XY 6 5 ; X 7 X 7 X 6 9 5, 6XYZ 5 d) 9X Y Z 9XZ ;, 7XY c) i 9 i 5 i 5 e) ( i) X : ( i) X X X X ; i + 5 f) 5 5X 5 5 X 5 6 X ;

2 6 Poliomo és algebrai egyelete g) (( ) ) ( + ) 9 ( 6 ) 5 XYZ X Y Z X Y Z ix i X ix h) ; 9 ; 99 i) Mivel ε harmadredű egységgyö, övetezi, hogy ε ε és ε ε εxz ε X Z Tehát i X Y j) ( 5 ix Y ) :( 5X Y ) 5X Y X Y Határozd meg a övetező poliomo foszámát a paramétere függvéyébe: a) P( X ) ( m 5m + ) X + ( m ) X + ( m ) X +, m ; b) m + 9 X + m 8 X + ix 5, m ; P X 5 c) P( X ) 5X + X + ix + X ( + i), ; d) P( X ) ix + ix + X X, Megoldás a) Megoldju az m 5m +, m és m egyeleteet m 5m + m m m m m m m I eset ha {, } m, aor gr P ; II eset ha m m, tehát gr P ; III eset ha m m grp b) m + 9 m ± i m 8 m, ± és m, ± i I eset: m { ± i } grp II eset: m i vagy m i grp c) I eset: Ha + 5 gr P + II eset: Ha + < 5, aor grp 5 d) I eset: + gr P + II eset: + < gr P Számítsd i a övetező poliomo együtthatóia összegét: a) P ( X ) X 5 X + X + X X + ; b) P ( X) X X + X X + ; c) + P ( X ) ( X) + ( X ) + ( X) + + ( ) ( X) ; d) P ( X) X X + + X + X X + ; + + +

3 Poliomo és algebrai egyelete 7 e) P X ( εx ε ) ( ε X ε) ( ix) 5 Megoldás a) S b) S ( ) ( ) + ( ) + + ( ) + c) ( ) ( ) S C C + + C + C C + + C C C Megjegyzés A feladat a övetezőéppe is megoldható: P( ) Q ( ) + + Q ( ), ahol Q( ) ( ), övetezi, hogy, S d) e) i S Q i {,,, } i {,,, } i, tehát S Ebből P () ( ) ( ε ε ) ( ε ε) () ( ε ε ) ( ε ε ) + + S () 5 P i i Viszot ε és ε ( ε + ε+ ) Ebből övetezi, hogy S i + 5 a) A P( X ) 5X + X X + X poliomra számítsd i a P (), P ( ), P (), P ( ), P, P ( ), P() i, P( i), P ( + ), P ( ) értéeet! b) Számítsd i a P( X ) X X + 5 poliom + + -ra számolt helyettesítési értéét! Megoldás a) P () 5+ + ; P ( ) 5 5; P () P( ) P ; P( ) ; Pi () 5 i+ + i ip( i) 5+ i + i + i b) + ( )( + ) ( + + ) +5 P ; ; 5

4 8 Poliomo és algebrai egyelete +, övetezi, hogy Mivel ( ) 9 ( ) P Határozd meg az a,, bcparaméter értéét úgy, hogy a b X + X c + b X + c + poliom egyelő legye az X X X a poliommal! Megoldás A ívát egyelőség a övetező alaba is írható: ( b ) X + ( c) X + ( b) X + c + X X X a Két poliom aor egyelő egymással, ha a megfelelő foszámú tago együtthatói azoosa, tehát a b, c, b és c + a egyelősége egyszerre teljesüle Ebből a, b és c 6 7 Számítsd i a övetező poliomo összegét! a) P( X ) X 5 X + X X + X +, Q( X ) X + X + X + X + ; b) P( X ) ( + i) X ix + X X + 5, Q( X ) ix + ( i) X X +,5X ; c) P X ( ) X ( i) X,5X ( 7 ) + + +, Q( X ) ( ) X + ( i ) X X + ( + 7) ; d) P( X ) X ( + i) X ix + i, Q( X ) ( ) X + ( i ) X + i Megoldás a) 5 PX + QX X + ( + ) X + ( + ) X + ( + ) X + ( + ) X+ 5 X + X + X + b) PX ( ) ( ) ( ) + QX + i i X + i i X + X + + ( ) X + X + i X + X + c) PX QX, tehát P( X ) + QX d) P( X ) + QX X ( + i) X + ( + i) X+ i 8 Számítsd i a övetező poliomo szorzatát! a) X + 5+, Q X X + 5 P X b) P( X ) X + X + X +, Q( X ) X + c) P( X ) X X + X X +, Q( X ) X + d) P( X ) X + ( i) X + i, Q( X ) ix ( + i) X i

5 Poliomo és algebrai egyelete 9 P X X ( i ) X ( i ) e) Megoldás a) + +, Q( X) X + i PXQX 5 X+ 5 X X X X+ b) PXQX ( X)( X + X + X+ ) X c) PXQX ( 5 X + X X + X) + + ( X X + 8X X + ) 5 + 7X + d) P( X) Q( X) ( ix + ( i) ix + ( i) ix ) + ( ( i) X ( i)( i) X ( i)( i) X) + ( ( + i) X ( + i)( i) X ( + i)( i) ) ix + ( i + i) X + ( i + i) X + + ( + + ) + ( ) + ( ) i i i i X ix i X 5X 6X e) PXQX ( X + ( i ) X ( + i ) X) + (( i ) X ( i )( i ) X ( i )( i ) ) X X 5X + 9 Bizoyítsd be, hogy ha a P( X ) X + ax +, a R poliom teljesíti a P ( + α) P ( α) egyelőséget, α C eseté, aor P( X) egy biom égyzete Megoldás Az α helyettesítéssel a P () P() egyelőséget apju Viszot P() a + 5, P() + a, tehát a a, vagyis a Ie övetezi, hogy PX X X+ ( X ) Határozd meg a P( X ) poliom Q( X) -szel való osztási háyadosát és maradéát! a) P( X ) X 5 X + X 5X + X 6, Q( X ) X X + X b) P( X ) X + 6X + 8X +, Q( X ) X X + c) P( X ) X 8 X 7 + X 6 + X 5 + X X + X, Q( X ) X X + d) P( X ) X X 9 + X 7 5X 6 + X + 7X +9, Q( X ) X + X + e) P( X ) X + ( 7 i) X + 7X + +i, Q( X ) X + i f) P( X ) X + ( i) X + ( i) X + ( + i) X i, Q( X ) X ix + Megoldás Elvégezzü az osztásoat: a)

6 Poliomo és algebrai egyelete 5 X 5 X X + X X X + X X + X X X X 5X + X 6 X + X X X X X + 7X X + X 6 X + 5X X X + X + X + A táblázatból övetezi, hogy H( X ) X + X+ és R( ) X + 5X b) X + 6X + 8X + X + X X + X + X 6X 6X X + X X X X + X 6X + 6 9X X+ + 5X 5 Ie övetezi, hogy H( X ) 6 és R( X ) 9X + 5X c) Elvégezve az osztást a HX X X + X + X+ és RX 5X eredméyhez jutu d) HX X X X X X X X X X és RX 68X 9 e) + ( 7 i) X X + 7X + + i X + i X ( + i) X X + ( + i) X + i ( + i) ( 7 i) X ix ix + i + i Tehát H( X ) X + ( + ix ) + iés RX i f) HX X + X iés R( X ) ix Határozd meg az a-t és b-t úgy, hogy a X X + ax +b poliom osztható legye az X X + poliommal Megoldás

7 Poliomo és algebrai egyelete X X + X + ax + b X X + X X + 6X X + X X X + X X + ( a ) X X + 8X ( a ) X + b + PX aor és csais aor osztható Q( X) -szel, ha R( X ), ami aor teljesül, ha a és b Végezd el a Horer-sémával az alábbi osztásoat: a) X 5 7X + 6X 8X + 9X + : X ; ( X 6 X 5 + X 6X + ):( X + ) b) ; X + 5X X : X + ; c) d) ( X 5 + X 5X + X 6X ):( X ) e) X + ( + i) X + ix + ( 7i 9) X + i : X + i Megoldás a) a Tehát H( X ) X X 8X 7 és RX b) a Tehát H( X ) X 5 X + X + X X 5 és RX 7 c) a A táblázat alapjá X + X X 5 75 HX és RX 8 d) ;

8 Poliomo és algebrai egyelete a 5 6 Tehát HX X + X + X + X+ és RX e) a +i i 7i 9 +i i 6 i i i Ie övetezi, hogy HX X + X + ( 6 ix ) + i és RX i Határozd meg a P X X 5 mx + m X + mx poliom ( X + i) -vel való osztási maradéát és háyadosát, ha tudod, hogy ( X ) -gyel való osztásaor a maradé 7 Megoldás P() 7 m + m + m m m ± Horersémával meghatározzu H( X) -et és R( X) -et: a m m m i i m 6 + m + + mi 5m + + m i mi + + m m + ( 8m 8) + Tehát H( X) X i + m X + m 6+ mi X + 5m + m i X + ( ) m mi és RX m+ 8m 8 i, ahol m ± Határozd meg azt a legisebb foú poliomot, amelye X + -vel való osztási maradéa, X -vel való osztási maradéa és X -szel való osztási maradéa Megoldás A feltétele szerit P ( ), P () és P () A poliom legalább elsőfoú, mert a Q( X ) poliom em tesz eleget a feltételee I eset: PX ax+ Mivel P ( ), övetezi, hogy a +, tehát a Viszot ez az érté em tesz eleget a P () egyelete, tehát ics elsőfoú megoldás II eset: PX ax + bx+ P( ) a b + (), P() a + b + () i

9 Poliomo és algebrai egyelete () és () alapjá a és b, tehát a PX X + X+ poliom eleget tesz a feltételee, és eél isebb foú, hasoló tulajdoságú poliom em létezi 5 Bizoyítsd be, hogy a P( X) poliom ( X a) ( X b) -vel való osztási ) ( maradéa r( X) ( X a ) P ( b X b ) P( a), ahol a, b C, a b b a Megoldás PX Q( X) ( X a)( X b) + mx+, mert grr <, tehát rx mx+ () alaú, ahol m, R Ie övetezi, hogy Pa () ma+ Pb () mb+ Tehát egy lieáris egyeletredszerhez jutottu, amelye megoldásai Pa () Pb () m a b a( P() a P() b ) P() a a b Ha ezeet az értéeet visszahelyettesítjü az () összefüggésbe megapju a ívát eredméyt 6 Bizoyítsd be, hogy ha a P( X ) a + ax + + ax egész együtthatós poliomra a P () és P ( ) számo páratlao, aor α Z eseté P ( α) páratla Megoldás P() a + a + a + + a a +, Z Mivel P () páratla szám, övetezi, hogy a páratla Mide α páros szám eseté Z P( α ) a + m, ahol m Z, tehát P ( α) páratla Legye α Z tetszőleges páratla szám Követezi, hogy α felírható α alaba, ahol Z Tehát ebbe az esetbe P( α ) P ( ) a + a ( ) + + a ( ) Alalmazzu Newto biomiális épletét a {,,, } j eseté ( ) j ifejezésere, mide ( ) j j j j ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) P( ) a + a ( ) + a C ( ) + C ( )( ) + C ( ) a C + C + + C + + a C + C j j j j Észrevehető, hogy j {,,, } és {,,, j } eseté a P( ) előbbi ifejezésébe C mellett midig egy páros szám szerepel, tehát P( ) M + a + a( ) + a( ) + + a M + P( ) A feltétel szerit P ( ) páratla szám, ezt felhaszálva P( ) is páratla szám, tehát α Z páratla szám eseté P( α) is páratla j

10 Poliomo és algebrai egyelete Összefoglalva az eddigi eredméyeet, P ( α) páratla mide α Z eseté 7 Bizoyítsd be, hogy ha P( X ) a + a X + + a X egy egész együtthatós poliom, aor ab, Z a b eseté P( a) P( b) a b Megoldás P() a a + aa+ + aa és P( b ) a + ab + + ab, tehát Pa () Pb () a a b + a a b + + a a b ( a b) a a ( a b) a ( a a b a b b ) Tehát P() a Pb () ( a b) M, ahol M, vagyis P( a) P( b) a b 8 a) Bizoyítsd be, hogy a P C[ X ] és grp, aor a Q( X ) P( X + ) P( X) poliom foszáma b) Bizoyítsd be, hogy a P C[ X ] és gr P, aor léteze olya ε, ε,, ε {,} számo, amelyere P( + ), ε Megoldás a) P( X ) a + ax+ ax, ai C, a i {,,, } PX ( + ) a + a X+ + + a CX + CX + + C ( ) ax + a + Ca X + + a + a + + a, és a Tehát PX ( + ) PX CaX + C a + Ca X + + a + a + + a és mivel a, övetezi, hogy Ca, tehát gr Q Hasoló módo látható be, hogy ha gr P és, aor a HX PX ( + a) PX poliom foszáma b) Az a) pot alapjá P ( X) PX ( + ) PX foszáma, tehát a P( X) P( X+ ) P ( X) [ PX ( + ) PX ( + ) ] [ PX ( + ) PX ] j poliom foszáma és általába a P ( X) j+ Pj( X + ) Pj( X) poliom j ( foszáma Így a P P X + ) P ( X) poliom ostas poliom, tehát a P ( X) P ( X + ) P ( X) poliom idetiusa ulla Másrészt P( X) α P ( X + j j ) alaú, ahol α j {, } j, tehát a ívát tulajdoságot igazoltu 9 Bizoyítsd be, hogy egymás utái teljes égyzet felosztható ét hatos csoportra úgy, hogy az egyes csoporto elemeie égyzetösszegét egymásból ivova a) 8 -cal osztható számot apju; b) 8 -gyel osztható számot apju

11 Poliomo és algebrai egyelete 5 Megoldás Az előbbihez hasolóa előállíthatu olya poliomiális azoosságot, amelyből övetezi ez az oszthatóság Az ( X + ) + ( X + ) + ( X + 9) ( X + 8) ( X + 7) ( X + 6) ( X + 5) ( X + ) ( X + ) + ( X + ) + ( X + ) + X 8 és ( X + ) + ( X + ) ( X + 9) + ( X + 8) ( X + 7) ( X + 6) ( X + 5) ( X + ) + ( X + ) ( X + ) + ( X + ) + X 8 egyelősége mutatjá a szüséges felbotásoat Bizoyítsd be, hogy ha P( X ) ax + ax + ax+ a és P( ), [, ], aor a + a + a + a 7 Megoldás A P() a + a + a + a, P( ) a + a a + a, a a a a a a P a és P a egyelőségeet egy 8 redszere teitjü az a, a,a és a ismeretleeel Ie övetezi, hogy P() P( ) P P + a, P() + P( ) P P a, P() + P( ) + 8P 8P a, P() P( ) + P P + a és eze segítségével igazolható a ívát egyelőtleség Egyelőség a X X vagy X + X poliomora teljesül VI Gyaorlato és feladato (5 oldal) Bizoyítsd be, hogy a) ha páros, aor ( X osztható osztható( X + ) -el ) ( X + ) ( X + ) b) X + X + X X osztható ( X ) -gyel ( X X ) + c) X + X + X osztható X + -gyel + d) + X osztható X -gyel + e) X + X + osztható X + X + -gyel -gyel, de em

12 6 Poliomo és algebrai egyelete f) + + X + X osztható X X + -gyel + + g) X X + X X + osztható ( X ) -el + h) X + X X X + osztható ( X ) -el Megoldás a) ( X ) ( X ) (( X + ) ) (( X + ) + ) v + + C( X ) C( X ) C ( X ), ahol v Az előbbi összefüggésből látható, hogy a vizsgált poliom osztható (X + ) -gyel, de em osztható ( X + ) -el b) () P +, tehát PX ( X ) c) X + ( X + i)( X i), tehát elégséges imutati, hogy PX ( X+ i) és PX ( X i), mert ( X + i) és ( X i) relatív príme () ( ) + + Pi + i+ i i i, tehát P( X ) ( X i) + P i i + i, tehát P( X ) ( X+ i) A feti összefüggése alapjá PX ( X i)( X+ i), tehát P( X ) X + ( d) X X + X ) és ( X + ), ( X ) relatív prím poliomo, így elégséges imutati a PX ( X+ ) és P( X ) ( X ) oszthatóságoat + P () P( X ) X P ( X + X + ) ( X ε)( X ε ) Ebből övetezi, hogy PX X + PX ( X+ ) e), ahol ε harmadredű egységgyö és ε P ε ε + ε + ε + ε+ + () ( ) ( + ) ε ε + ε+ és ε P ( ε ) ε + ε + ε+ ε + Az előbbi összefüggése alapjá PX X + X+ (, mert ε f) X X + X ε X ε ), ahol ε és ε, i, (Mert εi i ε + ε ε + ε ε +, ha ε, + i {, } ) Ha {, } i i i i tetszőleges, aor ( ε ) ε ( ε ε + ) +, + X X + tehát a PX + poliomra i ( i ) i ( i i )(( i ) ( i) ) P( ε ) ε + ε ε ε ε + + ε P( ε ) ( X X+ ) Így i, tehát PX g) P X X X X X X X ( X ) X tehát ( X ) + + PX X X X + ( X ) Viszot i i i i i i i i,

13 Poliomo és algebrai egyelete X X X X( X ) ( X ) ( X )( X ) ( X ) ( X + X + + ) Tehát PX ( X ) + h) PX X ( + ) X X X + X ( X ) ( X ) ( X ) ( X ) ( X ) X ( X ) X X ( X X X ) Ebből övetezi, hogy a poliom aor osztható ( X ) -el, ha a QX X X X X X X X poliom osztható ( X + ) -gyel Viszot Q() + + +, tehát QX ( X ) és így PX ( X ) Megjegyzés A bizoyítás a Horer-séma alapjá is leírható Határozd meg az a, b C paramétereet úgy, hogy a) az X ax + ( a + ) X ax + polioma ( X + ) -gyel való osztási maradéa legye 5 b) az X + a X a X ax + ax + poliom osztható legye ( X i) -vel c) az ax + bx X + poliom osztható legye ( X ) -gyel d) az ax + ( a ) X bx + X poliom osztható legye X + X -vel e) az X + bx + ( b a) X + 5X a osztható legye X + X + -vel X + 5X + ax + bx 6 X ( X + ) f) az poliom osztható legye -mal g) az X + 5X + ax + bx 6 poliom osztható legye ( X ) -el 5 h) az 6X + ax + 7X + bx 5X + 6 osztható legye( X 5X + 6)-tal Megoldás a) P( ) + a + ( a + ) + a + 5a + ell teljesüljö, tehát a 5 b) Pi () i + ai ai ai + a i+, i + a + a i + a + ai + i a + a + + a + a + tehát a + a +, vagyis a ε és a, ahol ε és ε (ε harmadredű, em valós egységgyö) c) Elvégezzü az osztást ε

14 8 Poliomo és algebrai egyelete ax ax + bx X + X + X ax ax + b bx + ( a ) bx X + X b ( a ) X + b + Tehát R( X ) ( a ) X+ b+ a és b d) Ha elvégezzü az osztást, az R( X ) ( 8a+ b) X+ 8a b maradéot apju Az RX feltételből a 8a + b egyeletredszerhez jutu 8a b a Ee a redszere a megoldásai b e), tehát a 8 b + a RX ( 8 b+ a) X+ a+ redszert apju, a + ahoa a b f) a 5 RX ( a 5) X + ( b+ 5) X b 5 Megjegyzés A P() P ( ) P( ) egyelőségeből ugyaezeet az értéeet apju PX X X + 7 a X a+ g) ( X ) ( X ) ( 7)( X ) a( X ) ( X ) a a + + ( X ) ( X ) ( 7 )( X ) a( X ) + QX Q() + ( 7)( ) a( ) + A P poliom potosa aor osztható ( X ) -el, ha Q () és a a a Behelyettesítve a apott értéet Q() -be, apju, hogy Q() , tehát a a megoldás h) 5 ( 6X + ax + 7X + bx 5X + 6) ( X 5X + 6)

15 Poliomo és algebrai egyelete 9 (( + ) X + 5X + b ) ( X 5 + 6) 5 6X + ax + 7X + b X + X 5X + 6 X 5X + 6 X a a + a 9 5 5, ahol Ebből övetezi, hogy b 5 b 6 Határozd meg azoat az m értéeet, amelyere: a) m m X + X osztható ( X + X + ) -gyel ( X + X ) m + X m + X m b) osztható ( -gyel + c) mx ( ) + X + osztható ( X X + ) -gyel Megoldás a) X + X + X ε X ε, ahol ε és ε Az utóbbi ét összefüggés alapjá ε ( ) X X + + ε+ Ebből az egyelőségből övetezi, hogy m m m m m P() ε ε ε ε ε m m és P ε ε ε Ha m páros, aor P () m m ε ε ε, m { } Ha m páratla, aor P() ε P( ε ) m { } Tehát ) ( + + ) PX X X m páratla és m, vagyis ha m 6 + alaú b) ( X X + ) ( X ε)( X ε), ahol ε, R, ε ε εi εi +, i {, } m m m m m m m m P( ε ) ε + ε + ε + ε ε + ε + ε + + ε és ez em ulla egyetle m eseté sem Ebből övetezi, hogy P( X ) em ) osztható ( X X + -gyel egyetle m értére sem c) A b) alpothoz hasolóa a övetező összefüggéshez jutu: m m m P( ε ) ( m + )( ) + ε ε m m m ( m + )( ) + ( ) ( + ) ( ) +, tehát ics megoldás Határozd meg azoat a miimális foszámú em ostas poliomoat, amelye (X ) -gyel, (X ) -vel, (X ) -mal való osztási maradéa és (X + ) -gyel való osztási maradéa Megoldás grp, mert ha P ostas poliom lee, aor em leheté ét ülöböző maradéa valamilye poliomoal osztva

16 Poliomo és algebrai egyelete I eset: Ha gr P, vagyis P( X ) ax+ b, aor a P() P () P() és a P( ) összefüggése alapjá a + b a + b a + b Így a b P( ) feltétel em teljesül, tehát em létezi elsőfoú megoldás II eset:p( X ) ax + bx+ c A feltétele alapjá a övetező redszerhez jutu: a + b + c a + b + c 9a + b + c a b + c Az egyeletredszer em összeférhető, tehát ics másodfoú megoldás III eset: P( X) ax + bx + cx + d A övetező egyeletredszert apju: a + b + c + d 8a + b + c + 7a + 9b + c + d a + b c + d 7 A redszer megoldásai a, b, c és d Tehát a PX X 7 + X X + + poliom a legisebb foszámú, amely teljesíti a ért feltételeet 5 Határozd meg azt a miimális foszámú P poliomot, amelye ( X + X ) - vel való osztási maradéa X + és az ( X X + ) -vel való osztási maradéa (X ) Megoldás A poliom foszáma em lehet isebb -él, mert aor a maradé ugyaayi ellee legye (potosa P(X)) mide legalább másodfoú poliom eseté I eset: Ha PX ax + bx+ c, aor elvégezve az osztást az X + X poliommal, az R( X) ( b a) X + c + a maradéot apju Az X X + poliommal való osztásor R( X ) ( b + a) X + c a A feltétele alapjá a b a és b + a egyeletredszere egyszerre c + a c a ell teljesüljee, ami lehetetle, mert egyrészt az első egyeleteből az a megoldást apju, míg a másodi egyeleteből az a megoldást

17 Poliomo és algebrai egyelete II eset: Ha P ( X) ax + bx + cx + d, aor R( X) ( a b + c) X a + b + d és R( X ) ( a + b + c) X + d b a, a b + c tehát a a b d + + és a + b + c egyeletredszereet apju A d b a 9 9 ét redszer megoldásai a, b, c és d, tehát a 9 PX X X X poliom eleget tesz a feltételee 6 Létezi-e olya P [ X] poliom, amelyre XP( X + ) + ( X ) P( X + ) X + Megoldás Feltételezzü, hogy létezi ilye poliom Két esetet tárgyalu: I eset: gr P <, vagyisp( X ) c, ahol c ostas A megadott egyelőség alapjá felírhatju, hogy X c + ( X ) c X + cx c X +, ami lehetetle, mert c és c em teljesülhet egyszerre * * II eset: gr P és a úgy, hogy P( X ) ax + QX, grq < Ebből övetezi, hogy XP ( X + ) + ( X ) P( X + ) ( ) ( ( ) ) X a X + + Q + + X a X + + Q X + X ax + ( X ) ax + Q( X), ahol gr Q + XP( X + ) + ( X ) P( X + ) ax + Q ( X), ahol gr Q < + Tehát ax + + Q ( X) X + vagy, vagy a ell teljesüljö, ami lehetetle Követezi, hogy em létezi olya P [X], amelyre teljesül a ívát egyelőség 7 Bizoyítsd be, hogy ha a P [ X] poliom teljesíti az ( X + ) P( X) ( X ) P( X + ) X + 6 azoosságot, aor az ( X )( X + ) poliommal való osztási maradéa 9 X Megoldás A megadott összefüggésbe X -gyet helyettesítve azt apju, hogy P(), tehát P () 5 eseté ( + ) P( ) + P() P( ) A VI7 fejezet 5 feladata alapjá ( X ) P( ) ( X + ) P() ( X + ) 5 ( X ) 7 rx 9 X A megoldás teljességéhez hozzátartozi legalább egy poliom meghatározása, amelyre a feltétele teljesüle Például a P( X ) 9 X teljesíti a feltételeet 8 Létezi-e olya emulla P [ X] poliom, amelyre

18 Poliomo és algebrai egyelete ( X ) P( X + ) ( X + ) P( X ) Megoldás és X -re a behelyettesítés utá P() P( ) adódi Ebből övetezi, hogy létezi olya Q [ X], amelyre PX ( X )( X+ ) QX Ha ezt visszahelyettesítjü, övetezi, hogy QX+ QX, tehát Q ostas poliom Belátható, hogy a PX cx ( )(X+ ) poliom mide c valós szám eseté teljesíti a feladat feltételeit 9 Bizoyítsd be, hogy az X 6X poliom osztható P ( X 7+ 7 )-gyel! Megoldás , Tehát P( X ) osztható ( X 7+ 7 )-gyel Bizoyítsd be, hogy a P [ X ] polioma ( ax + b) -vel való osztási b maradéa P a Megoldás P( X ) QX ( ax+ b) + c(mert gr() r ) b b P Q + a a c c b r ( X) P a Milye feltételeet ell teljesítse az m és természetes számo ahhoz, hogy az m m + X + + X + poliom osztható legye az X + X + poliommal Megoldás Ha m, aor az oszthatóság teljesül m < eseté az első poliom em lehet osztható a másodial, tehát feltételezhetjü, hogy m > Ebbe az esetbe a másodi poliom mide gyöe az első polioma is gyöe ell legye + Ha α egy gyöe az X + X + polioma, aor + m+ m m α + α + α + α +, tehát ( α+ ) ( α α ) m Mivel α és α, övetezi, hogy α és így α Az α + + α + egyelet alapjá α, tehát Másrészt α + α + ϕ ϕ ϕ α cos ϕ+ i si ϕ és α cos cos i si ϕ + +, tehát cos ± Ebből + övetezi, hogy α harmadredű egységgyö Mivel az X + X + polioma

19 Poliomo és algebrai egyelete m ics többszörös gyöe az csa lehet Ebbe az esetbe az α + m + α + egyelőség az m + alaú számora teljesül A feladatba megfogalmazott m érdésre a válasz a övetező: Az X + m + X + poliom potosa aor osztható az X + + X + poliommal, ha m, vagy és m + { } m Bizoyítsd be, hogy ha az X + X m +, poliom osztható X + X + -el, aor m vagy m Megoldás m m X X ( X ) X m+ + + X + + ( X + X + ) + + X m+, tehát m X + osztható az m X + X + poliommal Eszerit az m X m + X +X m poliom is osztható X + X + -gyel Ha m, aor m X m + X + X m X ( X m + X + ) és X m em osztható X + X + - m m gyel, tehát X + X m + osztható X + X + -gyel Ez csa aor lehetséges, ha a ét poliom azoos, tehát m és így m Az > m esetbe az m feltételhez jutu és beláthatju, hogy midét feltétel elégséges is Bizoyítsd be, hogy ha P [ X], aor létezi olya szám, amelyre P Megoldás A P () {,,} reláció legtöbb egész értére teljesülhet, tehát létezi olya szám, amelyre P( ) {,,} Ha P( ) összetett szám, Z aor a bizoyítást befejeztü Elleező esetbe a P( X ) P( X + ) poliom szabadtagja a p P ( ) prímszám Ha P( X ) a X a X + p, ap X + P( X ) Bizoyítsd be, hogy a P [ X] polioma égy ülöböző egész számra (,,, ) a behelyettesítési értée, aor a P em veszi fel az,, 5, 7 vagy 9 értéeet egyetle egész -re sem Megoldás A feltétele alapjá a Q( X ) PX polioma legalább égy ülöböző egész gyöe va, tehát P( X ) ( X ) ( X )( X )(X ) Q ( X ) + De eseté az ( )( )( )( ) Q( ) szorzat értée em lehet prímszám, tehát ez a szorzat em veheti fel a,,, 5, 7 értéet Így a P poliom em veheti fel az,, 5, 7 vagy 9 értéet 5 Bizoyítsd be, hogy ha P [ X], aor em léteze olya pároét ülöböző abc,, Z számo, amelyere ax p ( p) p( ap + a + + a + ) aor P, és a ( ap ) X értéee ívül is felvesz értéeet, tehát létezi olya egész szám, amelyre P( ) {,,} Így a P ( + p) P( p) pp( ) szám összetett összetett szám + + a X+ egész együtthatós poliom a, és

20 Poliomo és algebrai egyelete Pa () b, P() b c és Pc () a Megoldás Ha P [ X] és y,, aor [ P () Py ()] ( y) -al A b c P() a P( b), c a P() b P() c és a b P() c P() a egyelősége és az előbbi tulajdoság alapjá ( a b) ( c a ), ( c a) ( b c) és ( b c) (a b) Eze az oszthatóságo csa aor teljesülhete, ha a b c és ez elletmod a feltételee, tehát a megadott egyelősége em teljesülhete π 6 Bizoyítsd be, hogy ha > 6, aor cos Megoldás Teitjü a P( ) cos( arccos ) ifejezést A cos(( + ) ) cos cos(( + ) ) cos( ) azoosság alapjá P ( ) P ( ) P ( ) Mivel P ( ) és + + P( ), a P egy -ed foú egész együtthatós poliom Matematiai iducióval igazolható, hogy P domiás tagjáa együtthatója, a ullától ülöböző együttható előjele váltaozi és csa az -el azoos paritású itevővel redelező tago együtthatója ülöbözi ullától Szité az előbbi összefüggésből övetezi, hogy a P együtthatóia abszolút értéét a övetező táblázatba foglalhatju Az együttható A P poliom P( ) P( ) P( ) P ( 8 8 P ( P A táblázatbeli számo geerálása a melléelt ábrá látható sémáa megfelelőe törtéi a π p p p Ha cos, aor cos arccos cos q π q q b tehát p b+a racioális gyöe a P + egyelete Ha páratla, q aor az előbbi egyelet szabadtagja és így mide racioális gyö alaú π π Másrészt cos >, ha > 6, tehát cos em lehet racioális ebbe az esetbe Ha cos, aor a cos, bármely természetes eseté, tehát ha -e va π egyél agyobb páratla osztója, aor cos em racioális (ha az egyedüli ilye

21 Poliomo és algebrai egyelete 5 π π osztó a, aor azt haszálju, hogy co s, vagy hogy co s ) Ha -e 6 9 ics egyél agyobb páratla osztója, aor ettőe hatváya és így alapjá π cos sem lehet racioális, ha π co s VI5 Gyaorlato és feladato (78 oldal) Határozzu meg az m paraméter értéeit, tudva, hogy az i gyöe az + ( i) ( i) + m egyelete, majd oldju meg az egyeletet! Megoldás i + ( i) i ( i) i + m i + i i + m m i + 6 Mivel i gyöe az egyelete, elosztju az egyeletet ( i) -vel i ( i) i + 6 i 6i Tehát + i i + i + 6 i + + 6i Az ± 7 i + + 6i egyelet gyöei, Határozd meg az a és b paramétere értéét, ha tudod, hogy a étszeres gyöe az ( i) a + b egyelete, majd oldd meg az egyeletet! Megoldás Ha étszeres gyöe az egyelete, aor a PX X i X ax+ bpoliom osztható ( X ) -el X ( i) X ax + b X X + X X + X X + i a + X ix ix ix + i ( i a ) X + b i Tehát R( X ) ( i a ) X+ b i a i és b i Az egyelet harmadi gyöe a háyadosa is gyöe, tehát i,

22 6 Poliomo és algebrai egyelete 5 ) a) Oldd meg az egyeletet, ha tudod, hogy gyöe az egyelete b) Oldd meg a z + z + z + z + egyeletet, ha tudod, hogy i és i gyöei az egyelete Megoldás a) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Az y jelöléssel y y y és y és, i és 5 i b) Ha i és i gyöei az egyelete, aor az egyelet bal oldalá szereplő poliom osztható z + -gyel ( z + z ) + ( z + z) + ( z + ) z + z + z + A z + z + egyelet megoldásai z + i és z i Botsd fel elsőfoú téyezőre a övetező poliomoat! a) i + ; e) ; b) ( + i) + i + ; 6 f) + ; c) 5 + ; g) + ; d) ; h) + + Megoldás i ± i 7 a) Az i + egyelet gyöei,, tehát a felbotás i + i i + i ± 9+ i + ( 8i 8) + i ± ( + i) b),, tehát és, tehát P() ( i)( ) c) Az y helyettesítéssel y 5y + és y, y + i Ie övetezi, hogy, ± és, ±, tehát 5 + ( )( + ) + ( )( + )( )( + ) d) Észrevehető, hogy P ( ) + 5+ P () ( + ) A Horerséma segítségével a P() ( + ) ( + )( + ) felbotást apju e) + + i + i

23 Poliomo és algebrai egyelete 7 f) 6 i i i i i i Tovább botju i -et:, i ± i, tehát + i i i i Hasolóa + i, tehát 6 i i i i ( i)( i) g) ( ) ( i)( i) ( i)( i)( i i)( i ) i Tudju, hogy i ± ( + i), esetübe az előjel em számít, mert a szorzatba midét előjelű téyező szerepel, tehát + + ( + i) ( i) ( i) ( i) + + Megjegyzése A feladatot másépp is megoldhatju: + ( cosπ + isiπ), ahoa π + π π + cos + si i π,, és X + ( )( )( )( ) Godolodhatu a övetező módo is Az + poliom felbotható ét másodfoú poliom szorzatára RX [ ]-be, és eze domiás tagjaia együtthatója, ( d) tehát + + a + b + c +, ahol a,,, bcd R Elvégezve a szorzást, felírhatu egy egyeletredszert az a, b, c és d valós számora A redszert megoldva azt apju, hogy + ( + + )( + ) és a apott másodfoú téyező már öye felbotható Az előbbi felbotást rövidebb úto is megaphatju, ha az + ifejezéshez hozzáadu és i is vou belőle -et h) Az y helyettesítéssel az y + y + egyeletet apju, melye gyöei ± i Ie övetezi, hogy + + y y és y, + + y y y ( + y ) + ( 5 Képezd azt a miimális foszámú egyeletet, amelye gyöei a övetező: )

24 8 Poliomo és algebrai egyelete a),, ; b), i, i ; c),, i, ; 5 + i d) étszeres, háromszoros, egyszeres gyö; e) i étszeres, i egyszeres, 5 háromszoros gyö Megoldás a) A miimális foszámú egyelet az ( ) 5 egyelet, amely evivales átalaításoal a övetező formába írható: b) Az egyelet: ( + ) ( i)( i) + ( 7i) ( 7i + ) Megjegyzés Ha az egyelet valós együtthatós ell legye, aor az egyelete a i és i omple számo ojugáltjai is gyöei ell legyee, tehát a miimális foszámú egyelet: ( + ) ( i)( + i)( i)( + i) c) Az egyelet: ( ) ( )( + i)( i) Megjegyzés Az egyeletet a Viète-összefüggése segítségével is felírható Ha,, és az egyelet gyöei, aor az egyelet: ( ) ( ) ( ) + d) Ismét megoldhatju a feladatot Viète-összefüggéseel, vagy az elsőfoú poliomo összeszorzásával A másodi módszert alalmazva, az egyelet:( ) ( + )( ) ( + ) ( + )( 6 + 8) e) ( i) ( + i) ( 5) i i i i ( 5 + ) + ( 76 5 ) + ( + 76 ) + ( 75 ) + + ( i) 5i 6 a) Írj fel egy olya tizedfoú egyeletet, melye mide gyöe 5 vagy 5 b) Írj fel egy olya egyedfoú egyeletet, melye gyöei,,,, a b Megoldás a) A feltétele alapjá ( 5) ( + 5) és a + b, ab, N ell teljesüljö Egy ilye egyelet az ( + 5) egyelet, amelyet, alalmazva Newto biomiális tételét, a övetező alaba is írhatu: C 5+ C Megjegyzés Mide egyes {,,,} {,,,} + a száma megfelel egy b szám úgy, hogy az a b egyelőség teljesüljö, tehát összese féle egyeletet írhatu fel

25 Poliomo és algebrai egyelete 9 b) Mivel mide egyedfoú egyelete potosa gyöe va a omple számo halmazába, em lehet ilye egyeletet felíri A legisebb foszámú egyelet, amelye a megadott számo gyöei, ötödfoú: ( ) ( + ) ( )( ) 7 Oldd meg az + i 6i és az + i 9 i egyeleteet, ha tudod, hogy va özös gyöü Megoldás Legye a ét egyelet özös gyöe Eor + i 6i és + i 9 i Kivova egymásból e ét egyeletet, azt apju, i hogy gyöe a 6i 8 i egyelete 6i 8 i / i i + i 7 és ( 7+ 7), ( 7 7) Behelyettesítve és -t az első egyeletbe azt apju, hogy egyi sem gyöe, tehát a ét egyelete em lehet özös gyöe 8 Határozd meg az a paraméter értéét, ha a övetező egyeletee va ét özös gyöe, majd oldd meg az egyeleteet: + a és + ( a ) a Megoldás Legye u és v a ét özös gyö Behelyettesítve u-t a ét egyeletbe u + u au ()/ ( u) u u + au + u apju, hogy: u + ( a ) u a u + ( a ) u a Összeadva ezt a ét egyeletet, az ( a ) u + au + u a () egyelethez jutu Ha ()-et szorozzu a -val és hozzáadju ()-höz, aor a u + a + u egyeletet apju Ie u u + a + u em lehet a özös gyö, mert em gyöe az + a egyelete, tehát az u özös gyö csa a u + a + egyelete lehet gyöe Követezi, hogy a + u ± és teljese hasolóa a + v ± Viszot u és v ülöböze, tehát a özös gyöö ± a +, a Ezeet az értéeet visszahelyettesítjü az első egyeletbe: a + a + a + a + + a a +, ie pedig a + a + a + a a a ±

26 Poliomo és algebrai egyelete I eset: a + + egyelete, tehát a em megoldás II eset: a eseté midét egyelete gyöei + és, tehát a az egyedüli megoldás Ebbe az esetbe az első egyelet + és gyöei, a +, viszot ez az érté em lesz gyöe az és A másodi egyelet, tehát gyöei,, i és i 9 Határozd meg az a és b paraméter értéét úgy, hogy a övetező egyelete gyöei ugyaazo legyee! + ( a b) + ( a + b) + ( a b) + a + b + és Megoldás A gyöö azoosságából, a Viète-féle összefüggése alapjá a ét egyelet ugyaaz ell legye, egy c ostassal való szorzástól elteitve A mi esetübe az -es tago együtthatói midét egyeletbe ugyaazo, tehát c Ie övetezi, hogy a b 5 a + b a b a + b + 8 A feti egyeletredszer megoldása a b Oldd meg a övetező egyeleteet, ha va a-tól függetle gyöü: a) ( a + ) + ( a + ) a ; b) + ( a ) ( a + ) + ( a) + a ; a + + a + 6a a c) Megoldás a) Az egyelete aor va a-tól függetle gyöe, ha a C eseté ez a gyö változatla marad Legye a Eor az + egyeletet apju, amelye gyöei, és Az előbbie alapjá az eredeti egyelet függetle gyöe az, és számo egyie ell legye I em lehet függetle gyöe az eredeti egyelete, mert csa a eseté gyö II valóba függetle gyö a-tól, mert ( a + ) + ( a + ) a a Mivel megtaláltu egy gyööt, azt jeleti, hogy az egyeletet egy másodfoú egyeletre reduáltu, amit egyszerűe megoldhatu: ( a + ) + ( a + ) a ( ) ( + a) + a

27 Poliomo és algebrai egyelete + a ± ( a ) Tehát,,, vagyis, a és b) Hasoló godolatmeettel, mit az a) potba, legye a Így az 5 + egyeletet apju, és tudju, hogy ee az egyelete a gyöei özt szerepel az a-tól függetle gyö is Megoldju ezt az egyeletet: y helyettesítéssel y 5y +, tehát y, y és,, és Behelyettesítve ezeet az értéeet az eredeti egyeletbe, azt apju, hogy, és mid függetle gyöö a ( a + ) ( a) a a a a a + a a A táblázat alapjá,, és a c) Legye a Így az egyeletet apju, melye gyöei és A em függetle gyö, tehát csa lehet a függetle gyö: ( a ) + ( a 6a) + a a a A többi gyööt az a + a egyelet adja: és tehát, a és a a ± a,, Megjegyzés Ha az adott egyeletet a szerit csoportosítju a-ba egy elsőfoú egyelethez jutu, tehát a-tól függetle gyö potosa aor létezi, ha az a hatváyaia együtthatói mid ullával egyelő Az a egyelőségből adódi, hogy + és + Jelöljü,, az + egyelet gyöeit Számítsu i a övetező ifejezése értéét! a) + + ; b) + + ; c) + + ; d) + + ; e) Megoldás a) A Viète-féle összefüggése szerit + + ( + + ) ( + + )

28 Poliomo és algebrai egyelete + + ( + + ) ( + + ) 9 8 b) + ( + ) + ( + ) + + ( )( ) Ebből övetezi, hogy ( összeget: b) Kiszámolju az S + + ( + + ) S+ ( + + ) ahoa + + ( ) 5 c) ( + ( + + )( + + ) ( ) + 8 Megjegyzés Ha S + +, aor S + S+ S+ + S, tehát, és S függvéyébe gyorsabba is i lehet számoli az S értéeet! ) ) + S 6, S S ( + + ) d) ( + )( + )( + ) Ha tg α, tg β és tg γ az + a + b + c egyelet gyöei, számítsd i tg( α+ β + γ) -t az a, b és c függvéyébe Megoldás tg β + tg γ tg α + tg α+ tg( β + γ) tgβ tgγ tg( α+ β + γ) tg( α+ ( β + γ) ) tgαtg( β + γ) tg β + tg γ tgα tgβ tgγ tg β + tg γ tg α + tgβ tgγ tg α+ tg β + tg γ tg αtg β tg γ tg β + tg γ tgα ( tgαtgβ + tgαtgγ + tgβ tgγ) tgβ tgγ tg α+ tg β + tg γ a Viszot a + c tg αtg β + tg αtg γ + tg β tg γ b, tehát tg( α+ β + γ) b tg αtg β tg γ c +

29 Poliomo és algebrai egyelete Egy téglatest élhosszaia összege cm, a teljes felszíe cm, térfogata 6cm Határozd meg a téglatest méreteit! Megoldás Legyee a téglatest oldalélei a, b és c A feltételeből övetezi, hogy ( a + b + c) a + b + c 6 ( ab + ac + bc) ab + ac + bc, tehát a, b és c az abc 6 abc egyelet gyöei Észrevehető hogy gyö Tehát és, Eszerit az oldala hosszai a, b és c Jelöljü,,-al az + a egyelet gyöeit Határozd meg az a R értéeit úgy, hogy az egyelet gyöei özt feálljaa a övetező összefüggése: a) + ; b) Megoldás a) + ( + + ) és + +, tehát Visszahelyettesítve -t az egyeletbe megapju a-t: 9 + a a 78 6a a 6 b) A feladat alapjá + + ( + + ) ( + + ) és ( )( + + ) ( + + )( + + ) Ie övetezi, hogy + + a és + + ( a) a a A feltétel szerit a a a 5 P( ) egy olya poliom, amelyre P( si ) P( si ) bármely valós eseté Bizoyítsd be, hogy P ostas poliom!

30 Poliomo és algebrai egyelete Megoldás Az egyeletbe helyettesítsü helyett -t Így a P si P( si ), egyelőséget apju Matematiai iducióval azoal igazolható, hogy és eseté P si P( si ) (*) Teitjü a Q( ) P( ) a poliomot, ahol a a P( ) poliom szabad tagja Q -e gyöe, mert Q() a, tehát Q( a ) -e π is gyöe π A (*) egyelőséget felhaszálva apju, hogy P si gyöe Q( ) -e,, π π tehát Q( ) -e végtele so gyöe va (mert l, eseté si si l l ) A fetie alapjá Q( ),, és ie P( ) a P( ) a,, tehát P egy ostas poliom 6 Határozd meg az a paraméter értéeit úgy, hogy a övetező egyelete gyöei számtai haladváyt alossaa, majd oldd meg az egyeleteet: a) + ( a ) + a ; b) a + + a Megoldás a) Ha, és számtai haladváyba vaa, aor + d és + d Felhaszálva a Viète-összefüggéseet + + ( + d), tehát az egyi gyö Ebbe az esetbe + a + a és a Meghatározzu a többi gyööt is Tehát az eredeti egyelet az egyeletre vezetődi vissza A további ét gyö tehát ± Az, és + számo, számtai haladváyba vaa és a ráció d b) megoldás A gyööet y r, y r, y + r és y + r alaba írhatju A Viéte-összefüggése alapjá y, 6y r a, y( y r ) és ( y r )( y 9r ) a Mivel eze az egyelősége egymása elletmodaa, a paraméter egyetle értéére sem lesze az egyelet gyöei számtai haladváyba megoldás Ha a gyöö számtai haladváyba vaa, aor a derivált egyelet gyöei is számtai haladváyba vaa A derivált egyelet: a + a + Legye, és a derivált egyelet gyöei, és aor vaa számtai haladváyba, ha + d és + d Aárcsa az a) alpotba,

31 Poliomo és algebrai egyelete 5 + +, tehát Behelyettesítve a derivált egyeletbe -t, megapju a értéét: a + a Eszerit az eredeti 8 egyelet: + + ( ) + +, + ± 5 tehát, Mivel midettő étszeres gyö, az,, és számo em lehete számtai haladváyba, bármi legye is az a valós szám 7 Határozd meg az a R paraméter értéeit úgy, hogy a övetező egyelete gyöei mértai haladváyt alossaa, majd oldd meg az egyeleteet: a) + ( a + ) a + ; b) 8 + ( a + ) 5 + Megoldás a) és q, tehát a Viéte-összefüggése alapjá q ( q q + + ) q, ( q q ) + + ( a + ) és a Ebből q a + övetezi, hogy 9 5 a Így az a + a a + 5 egyelethez jutu, ahoa a, a, 6± 6 Ha a, aor és { } q, Ha a 6+ 6, aor + 6 és q ± + 6 Ha a 6 6, aor és q + ± 8 y y b) A gyööet felírhatju, q, y és y q alaba Így a q q Viéte-összefüggése alapjá yq q q q és y 5 q + + q +, tehát y q q 8 5 Ha y és q +, aor Ebből övetezi, hogy q ± a + és, Az y + q + + q + 8 q q

32 6 Poliomo és algebrai egyelete egyelőség alapjá eseté a 7 Hasolóa iszámíthatju a paraméter értéét a többi esetbe is 8 Határozd meg az összes olya poliomot, amely teljesíti a ( ) P( X ) P ( X) P ( X) P ( X) összefüggést, ahol a P( X ) poliom foszáma Megoldás Mivel grp, övetezi, hogy grp, gr P,, ( ) grp és ( grp ) Tehát ( ) ( ) ( ) gr ( P P P P P ) ( ) Ahhoz, hogy teljesüljö a felírt azoosság, a gr P gr P P P egyelőség ( ) is ell teljesüljö, tehát és ( ) I eset Ha, aor ics értelme a PX P ( X) P ( X) feltétele, tehát ebbe az esetbe ics megoldás II eset Ha, aor P ( X ) ax + bx + cx + d P ( X) ax + bx + c P ( X) 6aX + b P ( X) 6a P ( X) P ( X) P ( X) ( ax +bx + c)( 6a X + ab) ax + abx + abx+ abc acX + ( 6ac ) 8aX + 8abX + ab X+ abc A P( X) P ( X) P ( X) P ( X) egyelőség csa aor teljesülhet, ha a megegyező foszámú tago együtthatói azoosa, tehát 8a a 8ab b, 6ac+ ab c abc d a, mert gr P 8a és a ± Az egyeletredszer másodi 8 egyelete em ad b- re semmilye feltételt, mert 8 a, tehát b λ R tetszőleges valós szám A harmadi és egyedi egyeletből c ±6 8λ és d λ Tehát a eresett poliom P( X ) ± X + λx ± 6 λ X + λ 6

33 Poliomo és algebrai egyelete 7 alaú, ahol λ Belátható, hogy ez a poliom tetszőleges λ eseté teljesíti is az adott feltételt 9 Jelöljü,, -mal az + a b + c egyelet gyöeit Írd fel azt az egyeletet, amelye gyöei: a) y + +, y + +, y + + ; b) y, y, y ; c) y +, y +, y + ; Megoldás a) s y + y + y + + a, tehát a feltétele alapjá y a, y a és y a Kiszámolju a p y y+ yy+ yyés q yyyifejezéseet p a a( + ) + +a a( + ) a a( + ) + a a( + + ) ) ( a a( a) + ( b) 7a b q ( a )( a )( a ) a 8 a ( + + ) + a( + + ) a + 8c ab Az egyelet, amelye gyöei y, y és y sy + py q alaba is írható, tehát y + a y + 7a b y a 8c + ab y b) y ( 9 + y + y + +, yy + yy + yy + + ) és yyy, tehát az egyelet y + a y by + c c c c c) c, tehát y +, y +, y + Ie övetezi, + + hogy s y y y c + +, c c p y y + y y + y y c c c + + c c c és c c q y y y c c c c Felhaszálju a feladat eredméyeit, amely szerit + + b ac,

34 8 Poliomo és algebrai egyelete + + a + b és tudju, hogy Visszahelyettesítve az s, p és q c b a b ac c ifejezésébe, s, p + a + b és c c b ac q c + a + b c Tehát az egyelet, amelye gyöei y, y és y b ac b ac y y + + a + b c c y b ac + c + a b c Bizoyítsd be, hogy az a a + egyelete egyetle a \ eseté sics valós gyöe Megoldás Az em lehet gyöe az egyelete, tehát feltételezhetjü, hogy valós gyöe az egyelete Ebbe az esetbe az a szám is ( + ) valós Ez elletmod a feltételüe, tehát az egyelete a C \ R eseté ics valós megoldása Bizoyítsd be, hogy az m + 9m + + m egyelete em lehet mide gyöe valós egyetle m és valós értére sem! Megoldás Feltételezzü, hogy m, R úgy, hogy és valósa,, s m p m +, és s p m m r 9 8 9m +, Ha a gyöö mid valósa, aor r, tehát 9m m, ami 9 elletmod m -e Ebből övetezi, hogy em léteze olya m és valós számo, amelyere,, és valósa Határozd meg az a és b paramétere értéeit úgy, hogy az + + a b egyelete legye a) egy étszeres gyöe; b) egy háromszoros gyöe Megoldás a) Ha u az egyelet étszeres gyöe, aor P( u ) P ( u), tehát u + u u + au b () és u + u u + a () a u u + u, és visszahelyettesítve a-t ()-be

35 Poliomo és algebrai egyelete 9 u 8u + u u + u u u u + u b, tehát b Ahhoz, hogy az u gyö potosa étszeres legye az is szüséges, hogy P ( u ), tehát az előbbi egyelőségebe u C \ ± b) Ha u az egyelet háromszoros gyöe, aor P( u ) P ( u) P ( u), tehát az () és () egyelőségee ívül még u + u () is teljesül A () egyelet függetle a és b-től, és gyöei u, ±, tehát csa u és u a ui ui + u i lehete az egyelete háromszoros gyöei, és eor ui 8ui + u, i b i {, } Bizoyítsd be, hogy ha a omple együtthatós P X X + a X + + a X + polioma egyelő modulusú gyöei vaa, aor P ( ) valós szám Megoldás Az összefüggés alapjá a gyöö modulusa csa lehet Ha cos α + isi α, aor P() ( cosα isi ) és így Az α α α P( ) ( cos α i si α) ( ) cos cos + si i α α α ( ) cos cos i si + összefüggés alapjá α jπ, ahol j, tehát P ( ) Határozd meg az gyö multiplicitását a ( ) X + X + poliom felbotásába, ha? Megoldás u aor és csa aor -szoros gyöe a polioma, ha ( ) ( ) P( u) P ( u) P ( u) P ( u ) és P ( u ) A mi esetübe ( ) P X X X + + és P X X + X Ha, aor P( ) + és P ( ) ( ), tehát étszeres gyöe a polioma α

36 5 Poliomo és algebrai egyelete Ha >, aor P ( ) ( ) X X + ( ) X, tehát P ( ) ( ) (( ) ( ) ) ( ) > Mit láttu, P ( ), P ( ) és P ( ), tehát étszeres gyö, ha > * Összefoglalva, eseté étszeres gyöe a polioma 5 Határozd meg az a, b és c paramétere értéeit úgy, hogy az a + b + c egyelete a háromszoros gyöe legye megoldás A Horer-sémát haszálju 6 7 a b c +a a+b c b+a+8 5 +a b 8 a 5 +a A beeretezett maradéo ullával egyelő, tehát a, b 6 és c Mivel az utolsó sorba az utolsó maradé ullától ülöbözi, a em égyszeres gyö, tehát potosa háromszoros gyöe az adott egyelete megoldás P( ) P ( ) P ( ) ell teljesüljö, tehát 5 ( ) + 6( ) + 7( ) + a( ) + b( ) + c, 5( ) + ( ) + ( ) + a( ) + b és ( ) + 7( ) + ( ) + a Ie övetezi, hogy a, b 6 és c 6 Igazold, hogy ha egy egyedfoú egyelete ét étszeres gyöe va, aor eze számtai özepe gyöe a derivált egyelete Általáosítsd a feladatot! Megoldás Legye u és v a ét étszeres gyö Az egyelet a övetező alaba is írható: u v, ie pedig a derivált egyelet u v + v u ( u)( v) ( ( u + v) ) u + v ( u)( v), u + v u + v tehát gyöe u és v mellett a derivált egyelete, és az u, és v számo számtai haladváyba vaa Megjegyzés Nem helyes a övetező általáosítás: Ha egy -ed foú egyelete darab étszeres gyöe va, aor eze számtai özepe gyöe a derivált egyelete Valóba, legye és,, 6 Az egyelet + + ( ) ( ) ( ) és a derivált egyelete em gyöe 6 Egy helyes általáosítás a övetező:

37 Poliomo és algebrai egyelete 5 Ha egy -ed foú egyelete darab -szeres gyöe va, aor eze számtai özepe gyöe a derivált egyelete Ee a tulajdosága a bizoyítása hasoló a feebb bemutatott bizoyításhoz 7 Bizoyítsd be, hogy ha egy P( X ) C[ X] polioma az ( X a) -el való ( osztási maradéa RX, aor R ) ( () a P ) () a, ahol P az ( )-edi formális deriváltja P-e Megoldás A P () ( a) Q () + R () egyelőséget formálisa deriválju ( ) -szer, majd a -t helyettesítü a apott egyelőségbe ( ) [ ( ) ] ( ) + ( ) P () C ( a) Q () R () () De [ ] ( ) a ( )( + )( a) behelyettesítési érté ulla Eszerit az () egyelőségből övetezi, hogy ( ) ( ) R () a P () a Megjegyzés Ez a tulajdoság a Bézout tétel egy általáosítása VI6Gyaorlato és feladato (9 oldal) és így az a értére számolt Oldd meg a övetező egyeleteet, ha tudod, hogy a mellettü szereplő számo a megfelelő egyelete gyöei: a) i; 5 + i b) ; 6 5 c) i; Megoldás a) Az egyelet együtthatói valósa és \, tehát 5+ i is gyöe az egyelete Ha elosztju az egyelet midét oldalát az + 9 poliommal, az + egyeletet ell megoldau, tehát i és i Megjegyzés Ugyaehhez az eredméyhez jutu, ha a Horer sémával végezzü el az ( ) és ( ) poliomoal való osztást 58 5 i 5 i i 5+ i b) Az egyelet együtthatói valós számo, tehát is gyö Az egyeletet alotó poliomot elosztva az ( X )( X ) X + poliommal, a H ( X) X X + X + X háyadost apju A maradt három gyööt az + + egyelet gyöei adjá Észrevehető, hogy gyöe az egyelete:

38 5 Poliomo és algebrai egyelete Tehát, + és ie, 5 c) Az egyelet ( + ) ( 8 + )( + ) alaba írható, tehát a gyöei, ± i,, ± i, 5 és 6 Adott az + a + ( 5 i) + i egyelet Határozd meg az a C paraméter értéét és oldd meg az egyeletet, ha tudod, hogy i gyöe az egyelete Megoldás Mivel ( i) gyöe az egyelete, ( i) + a( i) + ( 5 i)( i) + i ( i + i) + a( i ) + 9i + i i + a( i) 8i + i + 5i a i 5 i i Az egyelet: + ( i 5) + ( 5 i) + i és i gyö, tehát alalmazhatju a Horer-sémát az egyelet reduálására i 5 5 i + i i Tehát az + egyeletet ell megoldju Ee az egyelete a gyöei + és Határozd meg az a és b valós paramétere értéeit úgy, hogy a i gyöe legye az + a + b + 5 egyelete, majd oldd meg az egyeletet Megoldás ( i) ( i) + a( i) + b( i) i + ( 9a) ( i) b a és b 6 Visszahelyettesítve ezeet az értéeet az egyeletbe, az egyeletet apju, amelye együtthatói valós számo, tehát is gyöe az egyelete Ez azt jeleti, hogy eloszthatju i az egyeletet az poliommal ( + 5)( + 9), és i, i, + i, i Határozd meg az a paraméter értéét úgy, hogy az + ( a + i) + i egyelete legye valós gyöe Megoldás Ha u az egyelet valós gyöe, aor u + a u + iu + i, vagyis u + au + + i( u ), tehát u Ebből övetezi, hogy a 5 A P( ) valós egyelete az a +bi szám -szeres gyöe Bizoyítsd be, hogy a bi is -szeres gyöe az egyelete

39 Poliomo és algebrai egyelete 5 Megoldás A bizoyítást szeriti iducióval végezzü el: I Mivel az egyelet valós és a + bi egyszeres gyö, övetezi, hogy a ojugáltja is legalább egyszeres gyö P( ) Ha a bi legalább étszeres gyö lee, aor a ( a ib)( a + ib ) valós együtthatós egyelete is gyöe lee, ami csa aor teljesülhet, ha a +bi is gyöe P( ) a ( b)( a + ib ) egyelete, tehát a + ib étszeres gyöe a a i P( ) egyelete, ez viszot elletmodás, tehát a bi is egyszeres gyö II Elfogadju, hogy ha P( ) egyelete ( a + ib) (-)-szeres gyöe, aor (a bi) is (-)-szeres gyöe és bebizoyítju az állítást -re: Ha a P( ) egyelete a + ib -szeres gyöe, aor a + b i a bi is gyöe az egyelete, aor még ( a ib)( a + ib) Q( ) alaba is írható az egyelet, ahol Q( ) egy olya poliom, amelye a + ib ( )-szeres gyöe Alalmazva az iduciós feltételüet a Q( ) poliomra, a Q( ) egyelete a ib is potosa -szeres gyöe, tehát a ib a P( ) egyelete potosa -szeres gyöe Ezzel az állítást bebizoyítottu 6 Igazold, hogy az + a + + a + + b + c abc,, R egyelete legtöbb ét valós gyöe lehet! Megoldás A Viéte-összefüggése alapjá a + a + a <, tehát mid a égy gyö em lehet valós Mivel az együttható valós számo em lehetséges, hogy az egyelete három valós és egy omple ( \ ) gyöe legye, tehát legtöbb ét valós gyöe lehet az egyelete 7 Botsd irreducibilis téyezőre C[ X] -be és RX [ ]-be a övetező poliomoat! a) P( X) X X + X ; b) P( X ) X 5X + 8X 6; 5 c) P( X) X X + 5X 5X + ; d) P( X ) X X + 5X X + 5, ha tudju, hogy i gyöe; e) P( ) X X + ; f) P( ) X X + ; 8 g) P( ) X 7X + 6 ; h) P( ) X + X + X + X Megoldás a) P( X ) X ( X ) + ( X ) ( X )( X + ) a poliom [X ]-be tovább em botható, [ X ]-be pedig P( X) ( X )( X + i)( X i) b) P X X X X + X ( X i)( X + i) c) P( X) X ( X ) + 5X ( X ) + ( X ) ( X )( X + 5X + ) ( X )( X + )( X + )

40 5 Poliomo és algebrai egyelete [X ]-be em botható tovább a poliom, [X ]-be pedig P( X) ( X )( X + i)( X i)( X + i)( X i) d) Ha i gyöe a polioma, aor + i is gyöe ell legye, tehát osztható a poliom ( X i)( X + i) -vel Elvégezve az osztást, azt apju, hogy P( X ) ( X X + 5)( X 6X + 5) Az egyelet gyöei + i és i, a poliom [ X ]-be em botható tovább, [ X ]-be a felbotás P[ X ] ( X + i) ( X i)(x + i)( X i) e) PX [ ] X X + ( X X+ )( X + X+ ) és RX [ ]-be em botható tovább a poliom A felbotás C[ X] -be a övetező: i i i P( X) + X X + X X i f) Megoldju az + egyeletet: ± 5 Az y helyettesítéssel y y + és y,,, ± y,, ± y tehát a poliom felbotása: P( X) X X X + X + A poliom em botható tovább sem RX [ ]-be, sem C[ X] -be g) X 8 7X 6 ( X ) 7X 6 ( X 6)( X ) + + X X + X X + ( X + )( X + )( X )( X + )( X )( X + ), és a poliom tovább em botható RX [ ]-be C[ X] -be a poliom felbotása: P( X) ( X + i)( X i)( X + i)( X i)( X + )( X )( X + )( X ) h) P( X ) ( X + )( X )( X + ) RX [ ]-be és P( X) ( X + )( X )( X + i)( X i) C[ X] -be 8 Írd fel azt a legisebb foú [ X ]-beli, illetve [ X ] -beli poliomot, amelye a) a étszeres, az i egyszeres gyöe; b) a + 5i egyszeres, a i étszeres gyöe Megoldás a) [X ]-be P( X) ( X ) ( X i) [X ]-be a gyöö özt ell szerepelje i i is, tehát P X X X i X + i X X + Megjegyzés Amior [X ]-be írju fel a miimális foszámú poliomot, a gyöö özött csa a omple gyöö ojugáltjai ell pluszba szerepeljee, mert

41 Poliomo és algebrai egyelete 55 az ( X z)( X z) szorzat biztosa valós együtthatós lesz: ( X z) ( X z) ( X a ib)( X a + ib) ( X a) + b ab, b) [ X ]-be P( X ) ( X 5i)( X + i) Az 5 feladat alapjá [ X ]-be ( 5i) egyszeres és i étszeres gyö ell legye, tehát P( X ) ( X 5i)( X + 5i)( X i) ( X + i) (( X ) + 5)( X + 9 ), ahol z a +ib, 9 Oldd meg az egyeletet ( abcd,,, ), ha mide gyöe 5 modulusú omple szám Megoldás Legye az egyi gyö a + ib Az együttható valósa, tehát a ib is gyöe az egyelete Hasolóa, a femaradt ét gyö c + id és c id alaú Eze ívül még tudju, hogy a + b c + d 5 Eze szerit az egyelet:( a ib)( a + ib)( c id)( c + id ) ( a + 5) ( c + 5) ( a + c) + ( ac + ) ( a + c) + 5 a + c a a Ie övetezi, hogy vagy ac + 8 c c Midét esetbe az + i, i, + i és i gyööhöz jutu (esetleg más sorredbe) Oldd meg az + a + + a + egyeletet, ha mide gyöe pozitív szám ( ai, ) Megoldás A Viète összefüggése szerit, tehát Viszot i > i {,, } + +, egyelőség csa aor áll fe, ha Megjegyzés A gyöö alapjá megadhatju az a számoat is Az egyelet alaú, tehát a i i i C, i {,, } Oldd meg az alábbi egyeleteet, ha a melléjü írt számo gyöei! i

42 56 Poliomo és algebrai egyelete a) 5 7 6; b) + + ; 5 c) Megoldás a) A poliom együtthatói egész számo, tehát ha 7 6 \ gyöe az egyelete, aor 7+ 6 is gyöe az egyelete Így az egyelet bal oldalá található poliom osztható ( )( )- vel, és az osztást elvégezve az egyelet az + egyeletre reduálódi Eze szerit i és i b) + is gyöe ell legye az egyelete, és elvégezve az osztást az ( )( ) poliommal megapju az gyööt is c) is gyöe az egyelete, és az egyelet felírható ( )( ) Q( ) alaba A Q( ) poliomot az osztás elvégzésével határozzu meg: ( 99)( ), tehát a Q( ) egyeletet ell még megoldau , i és i Határozd meg az a paraméter értéét úgy, hogy a + a + 7 egyelete az + 7 szám gyöe legye majd oldd meg az egyeletet Megoldás Behelyettesítve a gyööt az egyeletbe, megapju a értéét a a Mivel + 7 gyö, végigoszthatju az egyeletet az ( poliommal 7) a többi gyö meghatározásáa érdeébe Így a egyeletet apju, amelye gyöei és ( ) Határozd meg az a és b racioális számoat úgy, hogy az 5 + a egyelete a b + szám gyöe legye, majd oldd meg az egyeletet!

43 Poliomo és algebrai egyelete 57 Megoldás b és az egyelet együtthatói egész számo, tehát b is gyöe az egyelete Ha behelyettesítjü az egyeletbe a b és b + értéeet, a ( b b 6b ) ( b + ) 5( b ) + a ( 6 ) ( ) 5 + és b + b + b + b + b + b + + a egyelőségehez jutu Ebből övetezi, hogy 6b b + b 8 b Ee az egyelete a gyöei b és +,,, b b eseté a és 8 a és 7, b eseté VI7 Gyaorlato és feladato (96 oldal) Oldd meg az alábbi bivadratius egyeleteet: a) 9 + ; b) + ; ; d) + ( + ) 8 c) Megoldás a) Az y helyettesítéssel a 9y y + egyeletet apju 5± 5 9 Ee az egyelete a gyöei y, y és y 9 9 I és II és 9 b) y y y + és y, 6± 6 y és y I 8 és II és 8 c) 6 ( ) és ( ) Eze az összefüggése sugalljá a ( ) y helyettesítést Eszerit az új egyelet: y + y + Az egyelet diszrimiása ( ( + ) ± ( ) y, és y, y I II + ), tehát

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak Számelméleti alapfogalma A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelme léteze q és r természetes számo, amelyere igaz: a b q r, r b Megevezés: a osztadó b osztó q

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

10.M ALGEBRA < <

10.M ALGEBRA < < 0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész

Részletesebben

Komplex számok. 6. fejezet. A komplex szám algebrai alakja. Feladatok. alábbi komplex számokat és helyvektorukat:

Komplex számok. 6. fejezet. A komplex szám algebrai alakja. Feladatok. alábbi komplex számokat és helyvektorukat: 6 fejezet Komplex számo A omplex szám algebrai alaja D 61 Komplex száma evezü mide olya a+bi alaú ifejezést amelybe a és b valós szám i pedig az összes valós számtól ülöböz épzetes egysége evezett szimbólum

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

9. tétel: Elsı- és másodfokú egyenlıtlenségek, pozitív számok nevezetes közepei, és ezek felhasználása szélsıérték-feladatok megoldásában

9. tétel: Elsı- és másodfokú egyenlıtlenségek, pozitív számok nevezetes közepei, és ezek felhasználása szélsıérték-feladatok megoldásában 9. tétel: Elsı- és másodfoú egyelıtlesége, pozitív számo evezetes özepei, és eze felhaszálása szélsıérté-feladato megoldásáa Egyelıtleség: Két relációsjellel összeapcsolt ifejezés vagy függvéy. Az egyelıtleséget

Részletesebben

1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat!

1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat! Számok és mûveletek Hatváyozás aaaa a a darab téyezõ a a 0 0 a,ha a 0. Írd fel hatváyalakba a következõ szorzatokat! a) b),,,, c) (0,6) (0,6) d) () () () e) f) g) b b b b b b b b h) (y) (y) (y) (y) (y)

Részletesebben

IV.FEJEZET KOMPLEX SZÁMOK ÉS ALKALMAZÁSAIK

IV.FEJEZET KOMPLEX SZÁMOK ÉS ALKALMAZÁSAIK 4 Komplex számo és alalmazásai IVFEJEZET KOMPLEX SZÁMOK ÉS ALKALMAZÁSAIK IV Gyaorlato (9 oldal) Végezd el a övetező műveleteet!,, +, a) ( ) ( ) ( ) ; b) (, ) (, ) ; c) (, ) (, ) ; d) (, ) + (, ) + (, )

Részletesebben

4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!

4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!! 4. Test feletti egyhatározatlaú poliomok Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2013 április 11. Eddig a poliomokkal mit formális kifejezésekkel számoltuk, em éltük azzal a lehetőséggel, hogy x helyébe

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és

Részletesebben

Divergens sorok. Szakdolgozat

Divergens sorok. Szakdolgozat Diverges soro Szadolgozat Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi Kar Készítette: Szabó Szilárd Matematia Bsc., taári szairáy Témavezető: Gémes Margit Műszai gazdasági taár Aalízis taszé Budapest,

Részletesebben

g x ugyanabba az halmazba kerüljön mint különböző módon tehetjük meg. A feladat állítása alapján igazolnunk kell, hogy ( ) n m m

g x ugyanabba az halmazba kerüljön mint különböző módon tehetjük meg. A feladat állítása alapján igazolnunk kell, hogy ( ) n m m A itűzött feldto megoldási X osztály 47 g ugybb z hlmzb erüljö mit figyelembe veü, hogy ( H -vel jelöljü z elemeie számát, or ezt j A j ülöböző módo tehetjü meg A feldt állítás lpjá igzolu ell, hogy m

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk: Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

Kitűzött feladatok Injektivitás és egyéb tulajdonságok 69 KITŰZÖTT FELADATOK

Kitűzött feladatok Injektivitás és egyéb tulajdonságok 69 KITŰZÖTT FELADATOK Kitűzött feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 69 1. KITŰZÖTT FELADATOK Határozd meg az összes szigorúa mooto f:z Z függvéyt, amely teljesíti az f ( xy) = f ( y), x, y Z összefüggést és létezik k

Részletesebben

90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények

90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények 9 Folytoos függvéye IV Folytoos függvéye Az előző fejezetbe adott f : D függvéy viseledését a D halmaz torlódási potjáa öryezetébe vizsgáltu Az pot em feltétleül tartozott a D halmazhoz ( D ) Ebbe a fejezetbe

Részletesebben

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk

Részletesebben

Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged

Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged Magas szitű matematiai tehetséggodozás Számelméleti érdeessége dr. Kosztoláyi József, Szeged A számelmélet bőveledi olya érdésebe, problémába, összefüggésebe, amelye elemi módszereel megözelíthető. Bizoyos

Részletesebben

Bevezetés az algebrába komplex számok

Bevezetés az algebrába komplex számok Bevezetés az algebrába komplex számok Wettl Ferec Algebra Taszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december 6.

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból Ismétlés: Ha r,s > 0 valós, akkor r(cosα+isiα) = s(cosβ+isiβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete: ( s(cosβ+isiβ)

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

II. FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK, A KOMBINATORIKA ELEMEI

II. FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK, A KOMBINATORIKA ELEMEI 44 Számlálási feladato, a ombiatoria elemei II FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK, A KOMBINATORIKA ELEMEI II Gyaorlato és feladato (4 oldal) Háy darab legfeljebb hatjegyű természetes szám létezi? megoldás Mide,

Részletesebben

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1 A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k

Részletesebben

Algebrai egyenlőtlenségek versenyeken Dr. Kiss Géza, Budapest

Algebrai egyenlőtlenségek versenyeken Dr. Kiss Géza, Budapest Magas szitű matematikai tehetséggodozás Algebrai egyelőtleségek verseyeke Dr Kiss Géza, Budapest Néháy helyettesítési módszer és a Cauchy-Schwarz-egyelőtleség speciális esetéek alkalmazása bizoyítási feladatokba

Részletesebben

V. RADÓ FERENC EMLÉKVERSENY Kolozsvár, május 19. V. osztály

V. RADÓ FERENC EMLÉKVERSENY Kolozsvár, május 19. V. osztály Kolozsvár,. május 9. V. osztály a5b. Határozd meg 7cd legagyobb törtet! alaú ( a ), 8-cal egyszerűsíthető legisebb és. Az,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,,,, 4, 5 és 6 számoat oszd ét csoportba úgy, hogy ha az egyi

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1 . Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..

Részletesebben

k n k, k n 2 C n k k=[ n+1 2 ] 1.1. ábra. Pascal háromszög

k n k, k n 2 C n k k=[ n+1 2 ] 1.1. ábra. Pascal háromszög Alapfeladato Megoldás A ombináció értelmezése alapján felírhatju, hogy n, n Ha n páros, aor n és n özött veszi fel értéeit Ha n páratlan, aor n, vagyis > n n+, ami azt jelenti, hogy és n özött veszi fel

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő

SZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő SZÁMELMÉLET Sigeti Jeő. OSZTHATÓSÁG A osthatósággal kapcsolatba égy alapvető eredméyt kölük bioyítás élkül. Jelölje φ() a {,,..., } halmaból ao elemek sámát, amelyek relatív prímek a -he. Ha például p

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

KITŰZÖTT FELADATOK A X. OSZTÁLY SZÁMÁRA

KITŰZÖTT FELADATOK A X. OSZTÁLY SZÁMÁRA Kitűzött feladatok a X. osztály számára 7 KITŰZÖTT FELADATOK A X. OSZTÁLY SZÁMÁRA. Legye A egy véges halmaz, amelyre A. Határozd meg az A elemeiek számát úgy, hogy létezze f : A A P(A) bijektiv függvéy.

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II.forduló -10. osztály

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II.forduló -10. osztály Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 016. február 11

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

A feladatokat összeállító bizottság és a verseny szervező bizottsága

A feladatokat összeállító bizottság és a verseny szervező bizottsága ezt a feladváyt hóapoal ésőbb sierült a fürdőádba megoldaom. Modaom sem ell, hogy hatalmas atarzist oozott a hosszú godolodás siere. A mai apig hasoló atartius örömet ooz, ha egy ehéz feladatot sierül

Részletesebben

V. Oszthatóság a természetes számok halmazában

V. Oszthatóság a természetes számok halmazában V Oszthatóság a természetes számo halmazába V Általáos fogalma az oszthatósággal apcsolatba A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelműe léteze q és r természetes

Részletesebben

286 Versenyre előkészítő feladatok VIII. FEJEZET. ÖSSZEFOGLALÓ FELADATOK VIII.1. Versenyre előkészítő feladatok (337. oldal)

286 Versenyre előkészítő feladatok VIII. FEJEZET. ÖSSZEFOGLALÓ FELADATOK VIII.1. Versenyre előkészítő feladatok (337. oldal) 86 Verseyre előészítő feladato VIII FEJEZET ÖSSZEFOGLALÓ FELADATOK VIII Verseyre előészítő feladato (7 oldal) Két samtás, 66 lletve 88-cm agyságú szőyegdarab (mde mező cm agyságú) segítségével le ell fed

Részletesebben

EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a

EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! 4. Az EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a1 x + b1 y = c1 egyeletredszer megoldása a a x + b y = c Z halmazo (. rész) Ebbe a részbe

Részletesebben

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be, 6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

Függvényhatárérték-számítás

Függvényhatárérték-számítás Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február osztály -- I. forduló

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február osztály -- I. forduló Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 06. február 4..

Részletesebben

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját

Részletesebben

XL. Felvidéki Magyar Matematikaverseny Oláh György Emlékverseny Galánta 2016 Megoldások 1. évfolyam. + x = x x 12

XL. Felvidéki Magyar Matematikaverseny Oláh György Emlékverseny Galánta 2016 Megoldások 1. évfolyam. + x = x x 12 XL. Felvidéi Magyar Matematiaverseny Oláh György Emléverseny Galánta 016 Megoldáso 1. évfolyam 1. Oldju meg az egész számo halmazán az egyenletet. x 005 11 + x 004 1 = x 11 005 + x 1 004 Az egyenlet mindét

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) FELADATOK Taylor- (Maclaurin-) sorok, hibabecslés

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) FELADATOK Taylor- (Maclaurin-) sorok, hibabecslés FELADATOK Taylor- (Maclauri- soro, hibabecslés Határozzu meg az e üggvéy -örüli Taylor-sorát! Adju meg a hatváysor overgecia sugarát, ill. overgecia halmazát! Számítsu i a deriváltaat a -helye: e, e, e,

Részletesebben

A gyors Fourier-transzformáció (FFT)

A gyors Fourier-transzformáció (FFT) A gyors Fourier-transzformáció (FFT) Egy analóg jel spetrumát az esete döntő többségében számítástechniai eszözöel határozzu meg. A jelet mintavételezzü és elvégezzü a mintasorozat diszrét Fouriertranszformációját.

Részletesebben

A teveszabály és alkalmazásai

A teveszabály és alkalmazásai A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is

Részletesebben

Függvények hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, konvergenciatartomány

Függvények hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, konvergenciatartomány Függvénye hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, onvergenciatartomány Taylor-sor, ) Állítsu elő az alábbi függvénye x helyhez tartozó hatványsorát esetleg ülönféle módszereel) éa állapítsu meg a hatványsor

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

III. ALGEBRAI STRUKTÚRÁK

III. ALGEBRAI STRUKTÚRÁK Algebra strutúrá III ALGEBRAI STRUKTÚRÁK A matemata godolodásmód alapvető jellegzetessége az elvoatoztatás Vegyü például a sígeometra objetumo esetét A ör fogalma magába foglalja az összes ör alaú test

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár

Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák köyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Istvá Lajkó Károly Kalkulus I. példatár programozó és programtervező matematikus

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle

Részletesebben

VI. FEJEZET POLINOMOK ÉS ALGEBRAI EGYENLETEK. VI.1. A polinom fogalma. Alapvető tulajdonságok

VI. FEJEZET POLINOMOK ÉS ALGEBRAI EGYENLETEK. VI.1. A polinom fogalma. Alapvető tulajdonságok Poliomo és lgeri egyelete VI FEJEZET POLINOMOK ÉS ALGEBRAI EGYENLETEK VI A oliom foglm Alvető tuljdoságo Eddigi tulmáyito sorá ülööző lgeri ifejezéseel tláloztto (l z, c,,, lú ifejezéseel), műveleteet

Részletesebben

= λ valós megoldása van.

= λ valós megoldása van. Másodredű álladó együtthatós lieáris differeciálegyelet. Általáos alakja: y + a y + by= q Ha q = 0 Ha q 0 akkor homogé lieárisak evezzük. akkor ihomogé lieárisak evezzük. A jobb oldalo lévő q függvéyt

Részletesebben

I. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL

I. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL A primitív függvény és a határozatlan integrál 5 I A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL Gyaorlato és feladato ( oldal) I Vizsgáld meg, hogy a övetező függvényene milyen halmazon van primitív

Részletesebben

1. A maradékos osztás

1. A maradékos osztás 1. A maradékos osztás Egész számok osztása Példa 223 = 7 31+6. Visszaszorzunk Kivonunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a,b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q,r Z, hogy a = bq +

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

1. tétel. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.

1. tétel. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. . tétel. Halmazo, halmazművelete, halmazo számossága, halmazművelete és logiai művelete apcsolata. Vázlat:.Halmazoal apcsolatos elevezése, alapfogalma pl.: halmaz, elem, adott egy halmaz, megadása, jelölése

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

Feladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B)

Feladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B) Diszkrét matematika I. Beadadó feladatok Bujtás Ferec (CZU7KZ) December 14 014 Feladatok megoldása 1..1-6. feladat: (A B A A \ C = B) A B A = A \ C = B igazolása: A B A = B \A = Ø = B = A B (Mivel a B-ek

Részletesebben

Függvények határértéke 69. III. Függvények határértéke

Függvények határértéke 69. III. Függvények határértéke Függvéyek határértéke 69 A határérték értelmezése III Függvéyek határértéke Ebbe a fejezetbe taulmáyozi fogjuk a függvéy határértékét egy potba A feladat így fogalmazható meg: Ha adott az f : D valós változójú

Részletesebben

Speciális függvénysorok: Taylor-sorok

Speciális függvénysorok: Taylor-sorok Speciális függvénysoro: Taylor-soro Állítsu elő az alábbi függvénye x 0 0 helyhez tartozó hatványsorát esetleg ülönféle módszereel és állapítsu meg a hatványsor onvergenciatartományát! A cos 5x függvény

Részletesebben

Eseme nyalgebra e s kombinatorika feladatok, megolda sok

Eseme nyalgebra e s kombinatorika feladatok, megolda sok Eseme yalgebra e s kombiatorika feladatok, megolda sok Szűk elméleti áttekitő Kombiatorika quick-guide: - db. elemből db. sorredjeire vagyuk kívácsiak: permutáció - db. elemből m < db. háyféleképp rakható

Részletesebben

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer Egyelemegoldás iervallumelezéssel

Részletesebben

Polinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós

Polinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes

Részletesebben

II. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK

II. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK Itegrálási módszerek 5 II INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK A parciális itegrálás módszere Ha az f, g : D (D em degeerált itervallumok egyesítése) függvéyek deriválhatók a D halmazo, akkor tudjuk, hogy a szorzatuk

Részletesebben

1. A maradékos osztás

1. A maradékos osztás 1. A maradékos osztás Egész számok osztása. 223 = 7 31 + 6. Visszaszorzunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a, b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q, r Z, hogy a = bq + r és r < b.

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Interpoláció. Korszerű matematikai módszerek 2013.

Interpoláció. Korszerű matematikai módszerek 2013. Iterpoláció Korszerű matematiai módszere 2013. Tartalom Iterpolációs eljáráso Klasszius iterpoláció Általáosított iterpoláció Eltolt lieáris iterpoláció Iterpoláció feladata alappoto: x,, 0, 1,..., ahol

Részletesebben

A primitív függvény és a határozatlan integrál 7

A primitív függvény és a határozatlan integrál 7 A primitív függvéy és a határozatla itegrál 7 I A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL Korábbi taulmáyaitok sorá láthattátok, hogy sok műveletek, függvéyek va fordított művelete, iverz függvéye

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Itézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordiáció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár

dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi tanár a Román Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi tanár dr. CONSTANTIN NĂSTĂSESCU egyetemi taár a Romá Akadémia levelező tagja dr. CONSTANTIN NIŢĂ egyetemi taár I. VALÓS SZÁMOK. VALÓS GYÖKÖKKEL RENDELKEZŐ MÁSODFOKÚ EGYENLETEK II. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI.

Részletesebben

SZÁMHALMAZOK Halmazábrán ábrázolom a valós számok halmazát és részhalmazait (néhány példával). (C) pl. 1/4; 1/2. pl. 1;2;0;-1; N pl. 0. pl.

SZÁMHALMAZOK Halmazábrán ábrázolom a valós számok halmazát és részhalmazait (néhány példával). (C) pl. 1/4; 1/2. pl. 1;2;0;-1; N pl. 0. pl. 2. tétel Számhalmazo (a valós számo halmaza és részhalmazai), oszthatósággal apcsolatos problémá, számredszere. SZÁMHALMAZOK Halmazábrá ábrázolom a valós számo halmazát és részhalmazait (éháy példával).

Részletesebben

N - edik gyökvonás. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

N - edik gyökvonás. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Brósch Zoltá (Debrecei Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimáziuma) N - edik gyökvoás DEFINÍCIÓ: (Négyzetgyökvoás) Egy em egatív x valós szám égyzetgyöké azt a em egatív valós számot értjük, amelyek égyzete

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben