1.1. Műveletek eseményekkel. Első fejezet. egy véletlen esemény vagy bekövetkezik, vagy nem következik be. Egyszerű

Átírás

1 Első fejezet Elemi valószíűségelmélet A valószíűségelmélet alapvető fogalma a véletle eseméy. A véletle ísérlet végrehajtásaor egy véletle eseméy vagy beövetezi, vagy em övetezi be. Egyszerű példa véletle ísérletre az érmedobás, amelye ét imeetele a FEJ és az ÍRÁS. Valószíűségszámítási szempotból véletle ísérlete teithető egy mérés végrehajtása is. Eor eseméy lehet az, hogy az eredméy, amit most valós száma feltételezü, egy adott itervallumba esi. Az érmedobással elletétbe ee a véletle ísérlete elvileg végtele so imeetele lehet. A véletle ísérlet imeeteleit elemi eseméyee evezzü. Az összes elemi eseméye halmaza az eseméytér, amit a valószíűségelméletbe redszerit Ω jelöl. Az érmedobás esetébe az eseméytér ét elemű. A. N. Kolmogorov orosz matematius 1933-ba publiálta Berlibe a Grudbegriffe der Wahrscheilicheitsrechug című öyvét 1, és ezt az időpotot teiti soa a moder valószíűségelmélet ezdetée. Valószíűségszámítás egyszerű formába eél soal régebbe is létezett, többyire a szerecsejátéohoz apcsolódott. Maxwell és Boltzma a ietius gázelméletbe és a termodiamiába már a múlt század másodi felébe sztochasztius meggodolásoat haszált. A Kolmogorov-féle valószíűségelméletbe az eseméyeet az eseméytér részhalmazaival azoosítju. Az A eseméy azoból az elemi eseméyeből áll, amelyere az teljesül, hogy a ísérlet ilye imeetele mellett az A eseméy beövetezi. Például, ha arról va szó, hogy egy dobóocával étszer egymás utá dobu, aor az az eseméy, hogy a ét dobás összege legalább 10, a övetező részhalmaza az eseméytére: {(6, 6), (6, 5), (5, 6), (5, 5)} Maga a teljes eseméytér egy 36 elemű halmaz. Az eseméye özött va ét itütetett: a lehetetle és a biztos eseméy. A lehetetle eseméy sohasem övetezi be, így ics olya elemi eseméy, ami megvalósítja, Ω üres részhalmazáa felel meg. A mási véglet a biztos eseméy, amit mide elemi eseméy megvalósít, tehát magáa az Ω halmaza felel meg Művelete eseméyeel Legye A és B ét eseméy. Az A B eseméy, amelyet A és B szorzatáa evezü, aor övetezi be, ha mid A, mid B beövetezi. Halmazelméleti yelve az A B részhalmaza 1 A öyv magyarul is olvasható: A. N. Kolmogorov, A valószíűségelmélet alapfogalmai, Godolat, Budapest,

2 2 1.2 RELATÍV GYAKORISÁG ÉS VALÓSZÍNŰSÉG Ω-a az A és B halmazo özös része. A-t és B-t egymást izáróa, vagy diszjuta modju, ha szorzatu a lehetele eseméy, azaz egyszerre em övetezhete be. Az A + B eseméy aor övetezi be, ha A és B özül legalább az egyi beövetezi. Az A eseméy omplemetere, más szóval iegészítője, az az eseméy, amely aor valósul meg, ha A em övetezi be. Jelölése: Ā, vagy A c. A omplemeter eseméy az Ω \ A halmazelméleti ülöbség. A és Ā midig egymást izáró eseméy példa: Ha a véletle ísérlete a étszeri ocadobást teitjü, aor az elemi eseméye olya (i, j) számpároal adható meg, amelyere 1 i, j 6. Az Ω eseméytér az összes lehetséges számpáro 36 elemű halmaza. Ha A jeleti azt az eseméyt, hogy a ét dobás összege legalább 10, aor A = {(6, 6), (6, 5), (5, 6), (5, 5)}. Ha B jeleti azt az eseméyt, hogy az első dobás páros, aor A B = {(6, 6), (6, 5)}, A B = {(5, 6), (5, 5)} és A + B = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} Relatív gyaoriság és valószíűség Legye véletle ísérletü a ocadobás, és jeletse A azt az eseméyt, hogy a dobás eredméye páros. A ocadobás 20-szori megismétlésével a övetező sorozatot aphatju: 6, 3, 2, 5, 6, 6, 1, 3, 3, 6, 6, 2, 6, 4, 5, 2, 6, 5, 3, 1. A 20 dobásból az A eseméy 11-szer valósult meg. Azt modju, hogy 11 az A eseméy gyaorisága, és 11/20 = 0.55 a relatív gyaorisága. Ha a ísérlete számát (azaz most a dobáso számát) öveljü, aor egy eseméye a relatív gyaorisága stabilitást mutat, és egy bizoyos érté örül igadozi. Ez az érté az eseméy valószíűsége. Az A eseméy valószíűségét P (A)-val jelöljü. Legye A tetszőleges eseméy és Ā a iegészítője. Ismételjü meg godolatba a véletle ísérletet -szer. Modju, az A eseméy A -szor övetezett be. Így Ā-a A-szor ellett beövetezie. A valószíűség feti meghatározása alapjá A relatív gyaorisága = A / tart P (A)-hoz, és Ā relatív gyaorisága = ( A)/ tart P (Ā)-hez. Mivel eljutottu a A + A = 1, P (A) + P (Ā) = 1 összefüggéshez. Ugyaez a godolatmeet eredméyezi a P (A + B) = P (A) + P (B), ahol A B = (1.2.1) összefüggést, ha A és B egymást izáró eseméy. Ez alapvető tulajdosága a valószíűsége, és additivitása evezzü. További tulajdoságo: 0 P (A) 1, P (Ω) = 1 (1.2.2)

3 Szavaal: a lehetetle eseméy valószíűsége 0, a biztos eseméy valószíűsége 1, és a valószíűség midig 0 és 1 özötti szám, (ami egyébét százaléba is ifejezhető). 2 A valószíűségelmélet Kolmogorov-féle felépítésébe (1.2.1) és (1.2.2) axiómaét szerepel. Matematiai, potosabba itegrálelméleti ooból, az additivitást végtele so eseméy esetére is meg ell öveteli: 3 ( ) P A i = i=1 P (A i ) (ahol A i A j =, ha i j). (1.2.3) i=1 Ha A és B tetszőleges, tehát em szüségéppe egymást izáró eseméy, aor (1.2.1) helyett az P (A + B) = P (A) + P (B) P (A B) (1.2.4) összefüggés érvéyes. Ez az állítás az axiómából levezethető példa: Igazolju, hogy tetszőleges A és B eseméye összege felírható egymást pároét izáró eseméye összegeét. Jeletse I a biztos eseméyt! Igazolható, hogy A I = A és I = A + A, vagy I = B + B. Ezeet felhaszálva: A + B = A I + B I = A(B + B) + B(A + A). Haszálju fel a szorzás és az összeadás tulajdoságait: A + B = AB + AB + BA + BA, azaz A + B = AB + AB + AB, ahol AB AB =, AB AB = és AB AB = Függetleség és feltételes valószíűség Az A és B eseméy függetle, ha A beövetezése em befolyásolja B beövetezésée a valószíűségét. Például, ismételt ocadobás esetébe az az eseméy, hogy elsőre 3-at dobu, függetle attól, hogy másodira páratlat dobu. Ugyaaor, ha piros és feete golyóat tartalmazó urából visszatevés élül húzu, aor az, hogy elsőre pirosat húzu em függetle attól, hogy a másodira pirosat húzu. (Tudiilli, az elsőre való piros húzás csöeti a másodira való piros húzás esélyét.) Az A és B eseméy függetleségée matematiai defiíciója: P (A B) = P (A)P (B). (1.3.1) 1.3. példa: Legye A és B ét függetle eseméy, és P (A) = 1/3, P (B) = 1/4. Számítsu i a P (A + B) valószíűséget! P (A + B) = P (A) + P (B) P (A B) = P (A) + P (B) P (A)P (B) = 1 2. Az A 1, A 2,..., A eseméyeet (teljese) függetlee evezzü, ha P (A i1 A i2... A i ) = P (A i1 )P (A i2 )... P (A i ), (1.3.2) valaháyszor 1 i 1 < i 2 <... < i. 3 (Korét példával megmutatható, hogy ettőél több eseméy eseté a pároéti függetleség em voja maga utá a teljes függetleséget.) 2 Vigyázzu, fordítva em igaz. Abból, hogy az eseméy valószíűsége 0, még em övetezi, hogy ez lehetetle eseméy. 3 Próbálju iszámoli, háy egyeletet jelet ez!

4 4 1.3 FÜGGETLENSÉG ÉS FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG 1.4. példa: Teitsü azt a ísérletet, amelybe ocával étszer dobu egymás utá. Legyee a övetező eseméye: A = {az első dobás eredméye páros szám} B = {a másodi dobás eredméye páratla szám} C = {ét párosat vagy ét páratlat dobtu} Feltételezzü, hogy a oca szabályos, így a 36 elemű Ω eseméytér mide elemée valószíűsége 1. Aor P (A) = P (B) = P (C) = 1 és P (AC) = P (AB) = P (BC) = 1, azaz bármelyi ét eseméy függetle, de mivel P (ABC) = 0, ezért P (ABC) P (A)P (B)P (C), tehát em teljese függetlee példa: Magyarországo a fiú születési aráya 51%. Mi a valószíűsége, hogy egy 3 gyermees magyar családba több a fiú, mit a láy? Feltételezzü, hogy a gyermeszületése egymástól teljese függetlee. Jelöljü A-val azt az eseméyt, amelye valószíűségét eressü, és legye F i, illetve L i az az eseméy, hogy az i-edi gyerme fiú, illetve láy. Eor és mivel eze egymást izáró eseméye, A = F 1 F 2 F 3 + L 1 F 2 F 3 + F 1 L 2 F 3 + F 1 F 2 L 3 P (A) = P (F 1 F 2 F 3 ) + P (L 1 F 2 F 3 ) + P (F 1 L 2 F 3 ) + P (F 1 F 2 L 3 ) = = Természetese vaa olya helyzete, amelyebe egy eseméy beövetezése igecsa befolyásolja egy mási eseméy beövetezését. Legye egy urába 5 piros és 3 feete golyó. Kihúzu egy golyót, majd aa visszatevése élül még egyet. Legye B az az eseméy, hogy elsőre pirosat húzu, A pedig az, hogy a másodira pirosat húzu. A P (A B), feltételes valószíűség aa a valószíűsége, hogy A beövetezi, feltételezve, hogy B beövetezett. A orét példába ezt 4 -e godolju. A feltételes valószíűség matematiai defiíciója: 7 P (A B) = P (A B) P (B) (1.3.3) A P (A B) feltételes valószíűség csa aor értelmes, ha B pozitív valószíűségű eseméy. A feltételes valószíűség segítségével az A és B eseméye függetlesége P (A B) = P (A) vagy P (B A) = P (B) formába is ifejezhető. Szavaal: a függetleség azt jeleti, hogy az egyi eseméy beövetezése semmilye iformációt em ad arról, hogy a mási eseméy beövetezi-e. Megjegyzés: A fiziai és a sztochasztius értelembe vett függetleség em azoosa! 1.6. példa: Tegyü fel, hogy egy urába 12 piros és 10 feete golyó va. Az urából egymás utá ét golyót húzu. Mi a valószíűsége, hogy az első piros és a másodi feete? Jelöljü A-val azt az eseméyt, hogy az első húzás piros és B-vel azt, hogy a másodi feete. Nyilvá P (A) = 12. Amit meg ell határozu az P (A B). Feltételes valószíűséget 22 haszálva: P (A B) = P (A)P (B A). Mivel P (B A) = 10 12, P (A B) = 10 = 20 adódi

5 tétel: (A teljes valószíűség tétele) Legye A 1, A 2,..., A olya eseméy, hogy Ω = A 1 + A A és A i A j = ha i j. Ha P (A i ) > 0, aor bármely B eseméyre P (B) = P (B A 1 )P (A 1 ) + P (B A 2 )P (A 2 ) P (B A )P (A ). (1.3.4) Bizoyítás: A feltevés alapjá B A 1, B A 2,..., B A egymást izáró eseméye és összegü B. Így a valószíűség additivitása, az (1.2.1) éplet általáosítása alapjá P (B) = P (B A 1 ) + P (B A 2 ) P (B A ). Ha itt P (B A i ) helyébe P (A B i )P (A i )-t íru, aor éppe a bizoyítadó tételt apju. Az olya A 1, A 2,..., A eseméye, amelyere a teljes valószíűség tétele feltételei teljesüle teljes eseméyredszert alota. Az egyelet a övetező émiai összefüggéssel is aalóg: Ugyaazo ayaga ülöböző ocetrációjú oldatai edéybe vaa töltve, a térfogatu összege 1 liter. Jelölje P (A ) a -adi edéybe lévő oldat térfogatát, P (B A ) a -adi edéybe lévő oldat ocetrációját. Ha az edéye tartalmát összeötjü, aor a eletező oldat ocetrációja P (B) lesz példa: Egy üzembe ét gépe azoos terméet gyártaa. Az első gépe a termée 65 %-át, a másodio a 35 %-át gyártjá. Az első gépe észített terméee a 98 %-a, a másodio észített termée 95 %-a első osztályú. Mi a valószíűsége, hogy egy találomra iválasztott termé első osztályú lesz? A feladatot a teljes valószíűség tételée felhaszálásával meg lehet oldai, amelyet az alábbi ábra szemléltet: Ω P (A 1 E) = P (A 1 )P (E A 1 ) = P (E A 1 ) 0.98 P (E A P (A 1 ) 1 ) P (A 2 E) = P (A 2 )P (E A 2 ) = P (E A ) P (A 2 ) 0.95 P (E A 2 ) 0.05

6 6 1.3 FÜGGETLENSÉG ÉS FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG P (E) = = a valószíűsége aa, hogy a véletleszerűe iválasztott termé első osztályú lesz tétel: (Bayes tétel) Legye {A 1, A 2,..., A } teljes eseméyredszer, B ugyaazo ísérlethez tartozó tetszőleges eseméy. Ha P (A i ) > 0, aor P (A B) = P (B A )P (A ) P (B A i )P (A i ) i=1 (1.3.5) A bizoyítás egyszerű példa: Egy betegség imutatására alalmazott teszt olya, hogy a betege 99 %-áál pozitív eredméyt ad, de az egészségese 2 %-áál is pozitív eredméyt szolgáltat. Statisztiai adato alapjá arra öveteztethetü, hogy 1000 ember özött 1 szeved a betegségbe. Mi a valószíűsége aa, hogy téyleg beteg az, aie a tesztje pozitív? Legye B az az eseméy, hogy az illető beteg. Aor B és B teljes eseméyredszert alot, és P (B) = 0.001, P (B) = T + jelölje azt az eseméyt, hogy a teszt pozitív eredméyt szolgáltat. Tudju, hogy P (T + B) = 0.99 és P (T + B) = Az alalmazásával P (B T + ) = = Mit godolu erről az eredméyről? Mi törtéi, ha P (T + B) = vagy P (T + B) = lesz? Megjegyzés: Az 1.2 tételt szoás úgy emlegeti:,,az oo valószíűségée tétele. Ez oa származi, hogy bizoyos B eseméy beövetezésée valószíűségéből aaru az oo valószíűségére övetezteti. Ha ismerjü P (A i ) a-priori valószíűséget, aor a P (A i B) a-posteriori valószíűsége iszámítható. Az 1.7 példáál maradva A i P (A i ) P (B A i ) P (B A i ) P (A i B) priori feltételes együttes posteriori A /0.305 A / P (B) = ahol B jelölje azt az eseméyt, hogy a termé em első osztályú.

7 Klasszius valószíűségelmélet Klasszius valószíűségelméletről, vagy valószíűségszámításról aor beszélü, ha az Ω eseméytér véges so elemből álló halmaz, és az Ω-t alotó elemi eseméye mid egyelő valószíűe. Tipius példa a szabályos oca dobása, amior mid a hat oldalt egyelő valószíűe godolju, és természetese feltételezzü, hogy a feldobott oca em gurul úgy el, hogy em lehet leolvasi, továbbá em esi élére, stb. Ha Ω elemszáma, aor mide egyes elemi eseméy 1/ valószíűségű ell, hogy legye. Ha egy A eseméyt elemi eseméy valósít meg, aor P (A) = /, amit gyara úgy fogalmazu, hogy P (A) = edvező esete száma összes esete száma = A Ω. (1.4.1) (Itt A jelöli A számosságát, vagyis elemei számát.) Dobóocát óori egyiptomi síroba is találta, és talá a oca ősrégi haszálata is szerepet játszott abba, hogy a dobóoca a véletle szimbólumává vált. A vatummechaia szerit bizoyos mirovilágra voatozó törvéyszerűsége statisztius jellegűe. Amior Albert Eistei ebbe ételedett, elletétes véleméyét így fogalmazta meg:,,god does ot play die. Fél évszázaddal ésőbb Stephe Hawig, a moder fizia mási agy zseije, ismét a dobóocába csomagolta véleméyét:,,god ot oly plays die, he also sometimes throws the die where caot be see példa: Legye A és B az a ét eseméy, amely az 1.1. példába va leírva. Eor P (A) = 4/36, mert A-t égy elemi eseméy valósítja meg, és mide elemi eseméy valószíűsége 1/36. Hasolóa, P (A B) = 2/36, P (A + B) = 20/36. Az A és B eseméy em függetle, mert P (B) = 18/36, P (A B) = 2/36, P (A) = 4/36 és P (AB) = P (A)P (B) em teljesül. A lasszius valószíűségszámítás örébe tartozó feladato megoldása többyire a edvező és összes esete számáa ombiatorius összeszámlálásá alapul. Ezért haszos emléezteti a övetező épletere. Egy elemű halmazból épezhető elemű sorozato száma ( 1)... ( + 2) ( + 1) =! ( )! (1.4.2) ha a sorozato em tartalmazhata ismétlődést, illetve (1.4.3) ha a sorozato tartalmazhata ismétlődést. (Az első esetbe ismétlés élüli, a másodiba ismétléses variációról beszéle a ombiatoriába.) (1.4.2)-e fotos részesete az = eset. Eor azt apju, hogy elem összes lehetséges sorredjeie száma!. (A evezőbe felbuaó 0!-t 1-e értelmezzü.) Az elemű halmaz elemszámú részhalmazaia száma ( 1)... ( + 2) ( + 1) ( 1) =!! ( )! =. (1.4.4)

8 8 1.4 KLASSZIKUS VALÓSZÍNŰSÉGELMÉLET (Ez az ismétlés élüli ombiációra voatozó éplet.) Az ismétléses ombiáció alapfeladata az, hogy ülöböző fajta tárgyu va, midegyiből tetszőlegese so és darabból álló csoportoat épezü. A lehetősége száma + 1 (1.4.5) Ugyaazt a feladatot úgy is megfogalmazhatju, hogy egymástól megülöböztethetetle részecsét ell eergiaszitre elhelyezi. Ha l ülöböző számu va, az első fajtából 1, a másodiból 2, és így tovább, az l-edi fajtából l, aor az l = darab számot! 1! 2!... l! (1.4.6) féleéppe lehet sorredbe állítai, ez az ismétléses permutáció példa: 8 ártyára felírju az F, F, L, O, R, R, U, U betűet, majd urába téve őet egymás utá húzu. Mi a valószíűsége, hogy olya sorredbe húzzu őet i, hogy éppe a FURFUROL szó olvasható? A betű összes lehetséges sorredjeie száma 8!/2!2!2! az (1.4.6) éplet szerit. A eresett valószíűség ee a reciproa: 1 7! példa: Háyszor ell ahhoz dobi egy ocával, hogy legalább 99% valószíűséggel legye a dobáso özött 6-os? Ha -szer dobu, aor az összes lehetősége száma 6, eyi tagú sorozat épezhető az {1, 2, 3, 4, 5, 6} halmazból, mivel az ismétlődés megegedett. Ebből 5 olya sorozat va, amely em tartalmaz 6-ost. Így a eresett az 5 6 < 0.01 egyelőtleséget elégíti i. Ie > log 0.01/ log Számos, a statisztius fiziához tartozó feladat megoldható ombiatorius úto. Erre mutatu három példát. A feladato midegyie visszavezethető számú golyóa N számú dobozba való elhelyezésére, ahol az elhelyezés feltételei ülöbözőe. Maxwell Boltzma-sta- Gázmoleulá ülöböző redszereire alalmazható az ú. tisztia példa: Helyezzü el megülöböztethető részecsét N szite. Mi a valószíűsége aa, hogy egy adott szite potosa darab részecse lesz? Alalmazzu a lasszius valószíűségelméletről taultaat! Az összes eset száma: N, azaz N elem -ed osztályú ismétléses variációia a száma. (A Maxwell Boltzma-statisztiába az a feltevés, hogy mide elhelyezedés egyforma valószíűségű.)

9 A edvező esete száma: (N 1), mivel ülöböző részecséből darabot féleéppe tudu iválaszati, és a maradé részecsét (N 1) féleéppe lehet a femaradt N 1 szite elhelyezi. (1 ) Tehát a eresett valószíűség: p = (N 1) /N = 1 ( 1 ). N N Másfajta részecséet pl. fotooat tartalmazó redszere esetébe az ú. Bose Eistei-statisztiát haszálju. Alapvető ülöbség, hogy ebbe a modellbe a részecsé megülöböztethetetlee példa: Helyezzü el egymástól megülöböztethetetle részecsét N eergia szite. Mi a valószíűsége aa, hogy egy adott szite potosa darab részecse lesz? N + 1 Az összes esete száma:, azaz N elemből épezhető -ed osztályú ismétléses ombiáció száma. Az egyes elredezése ebbe a modellbe is egyforma valószíűségűe. A edvező esete száma megegyezi azo elredezése számával, aháyféleéppe a femaradt N 1 szite a maradé ( részecsét ) el lehet helyezi, ezt megit ismétléses ombiációval N + 2 tudju megadi:. N + 2 Így a eresett valószíűség : p =. N + 1 A Bose Eistei-modell sem általáos érvéyű. A részecsé megülöböztethetetlesége mellett bizoyos redszere esetébe a Pauli-elvet is figyelembe ell vei, azaz mide szitre maximálisa egy részecse erülhet. Ezt a jeleséget jól leírja a Fermi Dirac-statisztia példa: Helyezzü el egymástól megülöböztethetetle részecsét N szite úgy, hogy mide szitre legfeljebb egy részecse erüljö. Mi aa a valószíűsége, hogy egy tetszőlegese iválasztott szite va részecse? N Az összes esete száma:, azaz aháyféleéppe i tudju választai azt az szitet, N 1 ahova részecse erül. A edvező esete száma:, azaz aháyféleéppe a maradé 1 1 részecsét el tudju redezi a femaradt N 1 szite. N 1 Így a eresett valószíűség: p = 1 =. N N 9 A biológiai ísérletebe a lasszius valószíűségszámítást illetve az eseméye függetleségét az alábbi módo lehet felhaszáli. Adott az egyede egy H halmaza. Kiválasztjá K részhalmazát, és valamilye ezelést alalmaza ee a halmaza az egyedei. A K H halmazt teiti otroll csoporta. Va továbbá egy osztályozási ritérium, pl. szíváltozás, túlélés-elpusztulás, stb., amely H-t ét egymást izáró eseméyre 0, 0 osztja. Ezee figyelembe vételével H ülöböző részhalmazaihoz juta, ezt az ú. otigecia táblázatba szoás megadi.

10 GEOMETRIAI VALÓSZÍNŰSÉG ezelés osztályozás 0 0 K K 0K 0K 0 0K 0 K 0 K K H Ha a 0 és K eseméye függetlee, azaz P (0K) = P (0)P (K), aor a ezelést hatástalaa evezzü Geometriai valószíűség A valószíűségszámítás lasszius éplete em mod semmit arra az esetre, ha az eseméytér elemeie a száma végtele. Aada olya valószíűségelméleti problémá, amelyebe a eresett valószíűség meghatározását visszavezetjü geometriai alazato mértéée iszámítására. Az olya véletle tömegjeleség esetébe beszélü geometriai valószíűségről, amelyél a jeleséggel apcsolatos ísérlet egy geometriai alazat valamely potjáa véletleszerű iválasztásából áll, és az alazat bármely részhalmazára ézve aa valószíűsége, hogy a iválasztott pot ebbe a részhalmazba esi, az illető részhalmaz geometriai mértéével aráyos példa: Egy üzembe ét ompoesből állítaa elő egy ayagot. Az egyes ompoese egy órá belül észüle el, és az elészülés utá 15 perce belül össze ell őet dolgozi, ülöbe töremee. Mi a valószíűsége, hogy sierül előállítai az ayagot, és em megy töre egyi ompoes sem? A jeleséget felfoghatju úgy is, mit a H = [0, 60] [0, 60] égyzet egy potjáa véletleszerű iválasztását. Eor az A = {(x, y) x, y [0.60] és x y 15} eseméy valószíűségét eressü. Az eseméyt ielégítő poto oordiátái ielégíti az y x 15 és y x + 15 egyelőtleségeet. Az A eseméye megfelelő halmaz területe: t A = Az eseméyteret jellemző H halmaz területe t H = Így P (A) = 7 6. Megjegyzés: Készítsü rajzot!