Valószínűségszámítás és statisztika előadás Info. BSC B-C szakosoknak. Bayes tétele. Példák. Események függetlensége. Példák.

Átírás

1 Valószínűségszámítás és statisztia előadás Info. BSC B-C szaosona 20018/ félév Zempléni András 2.előadás Bayes tétele Legyen B 1, B 2,..., pozitív valószínűségű eseményeből álló teljes eseményrendszer és A A pozitív valószínűségű. Eor B A) i i i Bizonyítás. A nevező éppen P (A) a teljes valószínűség tétele miatt. A számláló pedig P (AB), definíció szerint. Spec.: Két elemű teljes eseményrendszerre: A B ) B ) B A) A B) B) A B) B) A B ) B ) A B ) B ) Példá Ha egy találomra válaszott ember színva, mi a valószínűsége, hogy férfi? p=0.005/( )=10/11. Ha egy, az egészségesere 5% eséllyel téves diagnózist adó szűrővizsgálatnál betegne tűnün, aor a betegség tényleges valószínűsége (p a betegség vszge, {B=beteg, E=egészséges} a teljes eseményrendszer): vszg. pozitív teszteredménynél Betegség valószínûsége vszg az adott populációban B po=poz B)B)/[poz B)B)+poz E)E)]=p/(p+0.05(1-p)) Eseménye függetlensége Ha a B esemény beövetezése nem befolyásolja az A valószínűségét, azaz A B)=A), aor azt mondju, hogy az A és B függetlene. Ez így nem ideális definíció (nem szimmetrius, P (B)>0 ell hozzá), ezért Definíció. Az A és B eseménye függetlene, ha AB)=A)B). Példá Húzun egy lapot egy magyarártyacsomagból. A: piros B: ász. P (A)=1/4, P (B)=1/8, P (AB)=1/32, tehát függetlene. A függetlenség nagyon rita azonos ísérletből meghatározott eseményenél! Tipius eset függetlenségre: A az első, B a másodi ísérlet eredménye. Tulajdonságo Ha A és B diszjunta, aor csa triviális (P (A)=0 vagy P (B)=0) esetben függetlene. Ha A és B függetlene, aor omplementerei is függetlene. Önmagutól csa a triviális eseménye függetlene. A B esetén csa aor függetlene, ha legalább az egyi triviális. 1

2 Általánosítás n esemény független, ha P A A... A ) A ) A )... A ) ( i1 i2 i i1 i 2 i teljesül tetszőleges 1i 1 < i 2 < < i n indexsorozatra és minden 2 n számra. Nem elég a fenti szorzat-tulajdonságot =2-re megövetelni. Ha csa ez teljesül: páronénti függetlenségről beszélün. Megjegyzése n független ísérlet esetén az egyes ísérletehez tartozó eseménye függetlene. A gyaorlatban ez a tipius, fontos előfordulása enne a függetlenségne. Klasszius valószínűségi mező esetén független ísérleteet végezve, a edvező és az összes eseménye száma is összeszorzódi. Példa: szabályos ocával dobva: első dobás páros és a másodi hatos)=3/36. Valószínűségi változó A legtöbbször nem maga a ísérlet imenetele (a realizálódott elemi esemény) hanem egy számszerűsíthető eredmény az érdees. Példa: ipari termelés minőségellenőrzés: a érdés az esetleges selejtese száma, nem pedig az, hogy pontosan melyi elemeet is választottu. So gyaorlati esetben nem is adódi természetesen az Ω halmaz (pl. időjárás megfigyelés). Valószínűségi változó 2. Mintavételi példa (folyt). N termé, n elemű minta. Ω elemszáma: N n Selejtese száma (X): 0 és n özötti szám. Matematiailag: X : ΩR függvény Feltétel: legyen értelme pl. anna a valószínűségéről beszélni, hogy X=a. Hasonlóéppen más természetes feltételne is legyen valószínűsége. Formálisan: megöveteljü, hogy {ω: X(ω)B} A teljesüljön minden, az intervallumoból megszámlálhatóan so halmazművelettel előállítható B-re. A gyaorlatban általában nem jelent problémát. Példá Kocadobás: X a dobott szám. Ω={1,2,,6}, X (i)=i. Értéészlete: {1,2,,6}. X az első olyan dobás sorszáma, amior 6 jön i. Ω={1,2,,6}{1,2,,6}{1,2,,6}... X értéészlete: {1,2, } Gyaorlati példá: X az első selejt gyártásána időpontja. X értéészlete: R +. X egy adott termé hossza. X értéészlete: R + részhalmaza (nem szüséges előzetesen orlátozni). Diszrét valószínűségi változó Definíció: az X diszrét valószínűségi változó, ha értéészlete (x 1,, x n ) legfeljebb megszámlálható. A valószínűségi változó definíciójából adódóan {ω:x(ω)= x i }={X=x i }A azaz p i :=P (X=x i ) értelmes. Eze meg is határozzá X eloszlását. Véges vagy megszámlálható valószínűségi mezőn minden valószínűségi változó diszrét. Nem célszerű a természetszerűen folytonos értéészletű X diszretizálása (egyszerűbbe a folytonos modelle pl. esemény beövetezési ideje, file mérete, éves jövedelem). 2

3 Példá diszrét valószínűségi változóra X(ω)=c minden ω-ra. Elnevezés: elfajult eloszlás. X=c)=1. X aor 1, ha egy adott, p valószínűségű A esemény beövetezi és 0 ülönben (elnevezés: az A esemény indiátora). P (X=0)=1-p P (X=1)=p Példá 2. Mintavételnél legyen X a mintában levő selejtese száma. Visszatevéses esetben (binomiális eloszlás): n n M M X ) 1 ( 0,..., n) N N Visszatevés nélüli esetben: M N M (hipergeometriai eloszlás) n X ) ( 0,..., n) N n Binomiális eloszlás alalmazása Visszatevéses mintavétel más realizációja: független ísérlete azonos örülménye özött. A)=p esemény, végezzün n (rögzített számú) független ísérletet. X: az A beövetezéséne gyaorisága (pontosan hányszor jött i az A). X eloszlása binomiális (n,p). X= X 1 + X 2 + X n ahol X i az i-edi ísérletnél az A esemény indiátora. Eze az indiátoro függetlene is! Példá: 5 dobásból hány fej jön i? Egy ingyenes játé letöltői özül átlagosan minden 10. meg is veszi a haladó változatot. 100 letöltő özül hányan fogna vásároli? Geometriai (Pascal) eloszlás Független ísérlete azonos örülménye özött. P (A)=p esemény, addig ísérletezün, míg A be nem övetezi. X: az első sieres ísérlet sorszáma. p =X=)=p(1-p) -1 (=1,2, ) Valóban valószínűségeloszlás (p 1 +p 2 + =1) geometriai eloszlás Példá: hányadira dobju az első fejet? Hány hétig ell lottóznun az első nyerésig? Hányadi honlapon találja meg a ereső az adott ifejezést? Poisson eloszlás e X )! (=0,1,2, ; λ>0 paraméter). Valóban eloszlás. Grafiusan Állítás. Ha a binomiális eloszlás paramétereire n úgy, hogy np λ, aor a határérté éppen a λ paraméterű Poisson eloszlás. n n n n e Bizonyítás. p 1 p 1 n n! Gyaorlati alalmazáso Első példa: lórugás áldozataina száma a porosz hadseregben. Rita eseménye száma adott időszaban: Balesete száma Viharo száma Rendszer meghibásodásaina száma 3

4 Összefoglalás (diszrét eloszláso) Binomiális eloszlás Rögzített számú ísérletnél adott esemény gyaorisága (pl. 10 ocadobásból a hatoso száma) Nagy mintaelemszámra, icsi valószínűségnél a Poisson eloszlással özelíthető Pascal (geometriai) eloszlás Addig ísérletezün, míg egy adott esemény be nem övetezi, az első sieres sorszáma (pl. az első hatost hányadi ocadobásnál apju meg) Hipergeometriai eloszlás Visszatevés nélüli mintavételnél adott típusú mintaeleme száma (pl. lottóhúzásnál az 5 találat valószínűsége) Tulajdonságo Ha X diszrét valószínűségi változó, f :RR tetszőleges függvény, aor f (X) is diszrét valószínűségi változó. Példa: X a gyártott termé hossza mm-ben. Tegyü fel, hogy P (X=18)= = =P (X=22)=1/5. T.f.h. az ideális a 20 mm. Eor a d= X-20 eltérés eloszlása: P (d=0)=1/5, P (d=1) = P (d=2) = 2/5. Teljes eseményrendszer Ha X diszrét valószínűségi változó, aor az A i ={ω:x(ω)= x i } eseménye teljes eseményrendszert alotna. Az eloszlásfüggvény Legyen F X (:=X<. Az F X (: R R függvény az X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye. Tulajdonságai: 0F X (1 F X ( monoton növő lim z F X (=1, lim z- F X (=0 F X ( balról folytonos. Bizonyítás: Az első ettő triviális, az utolsó ettőhöz a valószínűség folytonossága ell: Ha A 1 A 2... aor lim n A n ) A) ahol A A i1 i Példá Tetszőleges 1-4 tulajdonságú F-hez létezi X, amine F az eloszlásfügvénye (pl. Ω=R, [a,b))=b)-a), X az idenditásfüggvény A c pontban elfajult eloszlás 0,ha z c eloszlásfüggvénye 1,ha z c Az indiátorváltozó eloszlásfüggvénye 0,ha z 0 1 p,ha 0 z 1 1,ha z 1 Valószínűsége iszámítása ax<b)=b)-a) X=a)= a+0)-a), azaz ha F folytonos, minden egyes pont 0 valószínűségű. a<x<b)=b)-a+0) axb)=b+0)-a) 4

5 x Folytonos eloszláso Definíció. X folytonos eloszlású, ha eloszlásfüggvénye folytonos. Példa: egyenletes eloszlás [a,b] intervallumon: 0,ha z a z a,ha a z b b a 1,ha z b Exponenciális eloszlás 0,ha z 0 z 1 e,ha 0 z ahol >0 paraméter l=1 l=2 l= u Abszolút folytonos eloszláso Ha létezi f, hogy F előáll f integrálfüggvényeént: F ( z f ( t) dt aor azt mondju, hogy F abszolút folytonos, f sűrűségfüggvénnyel. Az eseménye valószínűsége: P ( X A) f ( t) dt A f tulajdonságai: f0, f ( t) dt 1 Ez elég is: minden ilyen f integrálfüggvénye eloszlásfüggvény. Kiszámítása a gyaorlatban: f=f A sűrűségfüggvény tulajdonságai Létezéséhez szüséges, hogy F folytonos legyen. Ha F abszolút folytonos, aor F =f, ahol F deriválható. f nem egyértelmű (pl. véges so pontban tetszőleges értéet adhatun nei), ezért a legegyszerűbb, szaaszonént folytonos változatot választju. Szemléletes jelentése: b a X b) f ( t) dt f ( a)( b a) a azaz rövid intervallumora valószínűség özelíthető a sűrűségfüggvény értééne és az intervallum hosszána a szorzatával. Szemléletes bevezetés Ha úgy özelítjü az abszolút folytonos eloszlást (pl. az év egy adott napján 12 óraor Bp-en a hőmérsélet), hogy egyre pontosabb eszözöel mérjü meg, aor z<x<z+)/ f(, azaz a valószínűségeből határátmenettel adódi a sűrűségfüggvény. Példá Egyenletes eloszlás [a,b] intervallumon 0,ha z a 1 f (,ha a z b b a 0,ha z b Exponenciális eloszlás 0,ha t 0 f ( t) t e,ha 0 t 5