file:///l:/valsz%c3%a1mstatv%c3%a9gleges/bernoulli/introduction...

Átírás

1 1 / :23 Virtuális laboratóriumo > 10. Bernoulli ísérlete > Bevezetés Alapelmélet A Bernoulli ísérlet folyamat, melyne névadója Jacob Bernoulli a valószínűségszámítás egyi legegyszerűbb, de egyben egyi legfontosabb véletlen ísérlet folyamata is. Lényegében a folyamat az érmefeldobás matematiai absztraciója, de szélesörű alalmazhatóságána öveteztében megállapodun abban, hogy ielégíti a övetező feltételeet: Minden ísérletne ét lehetséges imenetele van, melyeet a megbízhatóság vizsgálatából származó ifejezéseel sieresne és siertelenne nevezün. A ísérlete függetlene. Egyi ísérlet imenetele sem befolyásolja egy mási ísérlet imenetelét. Minden ísérletnél anna valószínűsége, hogy a ísérlet sieres p és anna valószínűsége, hogy siertelen 1 p. Valószínűségi változó Matematiailag a Bernoulli ísérleteet egy valszínűségi változó indiátor sorozatána teintjü: X = (X 1, X 2,...) Egy indiátor változó egy valószínűségi változó, amely csa az 1 vagy 0 értéet veszi fel aszerint, hogy a ísérlet sieres, vagy nem sieres. Az X j indiátor változó egyszerűen a j-edi ísérlet imeneteléne az eredménye. Így az indiátor változó függetlene és ugyanolyan eloszlású sűrűségfüggvénnyel rendelezne: P(X i = 1) =p, P(X i = 0) = 1 p Az ezen sűrűségfüggvény által definiált eloszlás Bernoulli eloszlás néven ismeretes. Statisztiai értelemben a Bernoulli ísérlete a Benoulli eloszlásból vett mintána felelne meg. Speciálisan, az első n (X 1, X 2,..., X n ) ísérlet a Bernoulli eloszlásból vett n elemű véletlen mintát alot. Megjegyezzü, hogy a Bernoulli ísérlete egy paraméterrel, a p valószínűséggel jellemezhető. 1. Felhasználva az alapfeltevéseet mutassu meg, hogy az első n ísérlet sűrűségfüggvénye az alábbi módon adható meg P(X 1 =x 1, X 2 =x 2,..., X n =x n ) =p (1 p) n, (x 1, x 1,..., x n ) {0, 1} n n ahol = i = 1 x i 2. Feltételezve, hogy X = (X 1, X 2,...) egy p paraméterű Bernoulli ísérlet, mutassu meg, hogy 1 X = (1 X 1, 1 X 2,...) egy 1 p paraméterű Bernoulli ísérlet. 3. Tételezzü fel, hogy U = (U 1, U 2,...) független valószínűségi változóna egy sorozata, mindegyi egyenletes eloszlású a [ 0, 1] intervallumon. p [ 0, 1] és i +, esetén legyen X i (p) =1(U i p) az {U i p} esemény indiátor változój Mutassu meg, hogy X(p) = (X 1 (p), X 2 (p),...) p paraméterű Bernoulli ísérlet. Megjegyezzü, hogy az előző gyaorlatban a Bernoulli ísérlete a p paraméter minden lehetséges értée esetén egy özös valószínűségi téren vanna definiálv A onstrució ezen típusára néha mint összeapcsolt ísérletere hivatozun. Ez a gyaorlat azt is mutatja, hogyan szimulálju a Benoulli ísérleteet véletlen számo segítségével. Az összes többi véletlen ísérlet (folyamat), amit ebben a fejezetben tanulmányozun a Bernoulli ísérletsorozatna a függvényei és ezért is tudju szimulálni. Momentumo A ésőbbi hivatozásohoz számítsu i a P(X = 1) = p paraméterű X általános indiátor változó várható értéét, varianciáját, és a valószínűség generáló függvényét.

2 2 / :23 4. Mutassu meg, hogy (X) =p. 5. Mutassu meg, hogy var(x) =p (1 p). 6. Mutassu meg, hogy (t X ) = (1 p) +p t, t. 7. Vázolju fel az 5. gyaorlatban a varianciát, mint p függvényét. Figyeljü meg, hogy a variancia aor a legnagyobb, amior p = 1 és aor a legisebb, amior p = 0 vagy p = 1. 2 Példá és alalmazáso Mint orábban megjegyeztü, a Bernoulli ísérlete egy ézenfevő pédája a pénzérmeísérlete, ahol a síer jelenti a fej, a siertelenség az írásdobást. A p paraméter a fejdobás valószínűsége(így általában az érme nem szabályos.). 8. Az alap érmeísérletben legyen n = 20 és p = 0.1. Végezzü el a ísérletet és figyeljü meg az eredményeet. Ismétlejü meg a ísérletet az alábbi értéeel: p {0.3, 0.5, 0.7, 0.9}. Általános példá Egy bizonyos értelemben a Bernoulli ísérlete legáltalánosabb példája aor fordul elő, amior egy ísérletet megismétlün. Speciálisan tételezzü fel, hogy van egy alapísérletün és egy A esemény érdeel minet. Tegyü fel, hogy egy összetett eseményt hozun létre, ami az alapísérlet független megismétléseiből áll. Azt mondju, hogy az i-edi ísérlet sieres, ha az A esemény beövetezi az i-edi ismétlésre és az i-edi ísérlet siertelen, ha az A esemény nem övetezi be az i -edi ismétlésre. Ez nyilvánvalóan egy p = P(A) Bernoulli ísérlet sorozatot definiál. Bernoulli ísérleteet dichotom populációból is alothatun. Speciálisan tételezzü fel, hogy van egy populáción, amelyne ét típusú imenetele van, amelyere 0-val és 1-gyel hívatozun. Például lehet szó személyről ai vagy férfi vagy nő, vagy egy alatrészről, ami vagy jó vagy hibás. Válasszun i n objetumot véletlenszerűen a populációból; definíció szerint ez azt jelenti, hogy ha egyszerre (visszatevés nélül) történi az eleme iválasztása, aor a populációban mindegyi objetum egyenlő valószínűséggel választható i. Ha a mintavétel visszatevéssel történi, aor mindegyi objetum a övetező húzás elött visszaerül a ihúzandó özé. Ebben az esetben az egymás utáni húzáso függetlene, így a mintában lévő objetumo típusai p paraméterű Bernoulli ísérletene egy sorozatát alotjá. Ez a paraméter a populációban lévő 1-es objetumtípusaina hányad Ha a mintavétel visszatevés nélüli, aor az egymás utáni húzáso nem függetlene, így a mintában lévő objetumo típusai nem alotjá Bernoulli ísérletene egy sorozatát. Azonban, ha a populáció mérete a mintavétel méretéhez viszonyítva nagy, a függőség elhanyagolható, így az összes gyaorlati tervben a mintában lévő objetumo típusai Bernoulli ísérlete sorozataént ezelhető. További diszusszió található a dichotom populációból való mintavételről a Véges elemű mintamodelle c. fejezetben. 9. Tételezzü fel, hogy egy hallgató többválaszos tesztet tölt i. A teszt 10 érdésből áll, melye mindegyiére 4 lehetséges válasz van (de csa 1 a helyes). Ha a hallgató vaon találgat mindegyi érdésnél, meg tudju úgy csinálni a érdéseet, hogy Bernoulli ísérletsorzatot apjun? Ha így áll a dolog, azonosítsu a ísérlet imeneteleit és a p paramétert! 10. Az A pályázó egy bizonyos örzetben indul a jelölésért. Húsz személyt iválasztotta a szavazó özül véletlenszerűen és megérdezté tőlü, vajon az A személyre szavazna-e. A válaszo alothatna-e Bernoulli ísérletsorozatot? Ha igen, azonosítsu a ísérlet imeneteleit és a p paramétert! 11. Egy ameriai rulettben 38 vájat van; 18 piros, 18 feete és 2 zöld. A játéos 15-ször rulettezi, minden egyes alalommal a pirosra fogadv A imenetele alothatna-e Bernoulli ísérletsorozatot? Ha igen, azonosítsu a ísérlet imeneteleit és a p paramétert! A Rulettet részletesebben a Szerencsejáté fejezetben elemezzü.

3 3 / : Két tenisz játéos 6 gémből álló meccset játszi. A imenetele alothatna-e Bernoulli ísérletsorozatot? Ha igen, azonosítsu a ísérlet imeneteleit és a p paramétert! Megbízhatóság Emléeztetün ara, hogy a szerezeti megbízhatóság standard modelljében a rendszer n omponensből áll, amelye egymástól függetlenül műödne. Jelölje X i az i-edi omponens állapotát, ahol 1 jelenti, hogy műödi, 0 jelenti, hogy hibás a omponens. Ha a omponense mindegyie ugyanolyan típúsú, aor alapfeltevésün, hogy az X = (X 1, X 2,..., X n ) állapot vetor Bernoulli ísérletene egy sorozat A rendszer állapota (ismét 1 jelenti, hogy műödi, 0 jelenti, hogy hibás a omponens) csa a omponense állapotától függ és így egy valószínűségi változó Y =s(x 1, X 2,..., X n ) ahol s : {0, 1} n {0, 1} a strutúra függvény. Általában anna valószínűsége, hogy az eszöz műödi, az eszöz megbízhatósága, így a Bernoulli ísérletsorozat p paramétere a omponense özös megbízhatóság A függetlenség miatt a rendszer megbízhatósága r a omponens megbízhatóságna egy függvénye: r(p) = P p (Y = 1), p [ 0, 1] ahol hangsúlyozzu a p paraméteren értelmezett P valószínűségi mező függetlenségét. Általában elég, ha ezt a függvényt, mint megbízhatósági függvényt ismerjü. Rendszerint az a feladatun, hogy megtalálju a megbízhatósági függvényt, és megtalálju a strutúrafüggvényt. 13. Emléeztetün arra, hogy egy soros rendszer aor és csa aor műödi, ha mindegyi omponense műödi. Mutassu meg, hogy a rendszer állapota Y =X 1 X 2 X n = min {X 1, X 2,, X n } Mutassu meg, hogy a megbíhatósági függvény r(p) =p n p [ 0, 1] esetén. 14. Emléeztetün arra, hogy egy párhuzamos rendszer aor és csa aor műödi, ha legalább az egyi omponense műödi. Mutassu meg, hogy a rendszer állapota Y = 1 (1 X 1 ) (1 X 2 ) (1 X n ) = max {X 1, X 2,, X n } Mutassu meg, hogy a megbízhatósági függvény r(p) = 1 (1 p) n p [ 0, 1] esetén. Emléeztetün arra, hogy néhány esetben a rendszert reprezentálhatju, mint egy gráfot vagy hálózatot. Az éle a omponenseet, a csúcso a omponense özötti apcsolatoat reprezentáljá. A rendszer aor és csa aor műödi, ha létezi ét ijelölt csúcs özött műödő útvonal, amelyeet a-val és b-vel jelölün. 15. Adju meg az alábbi Wheatstone híd hálózatána megbízhatóságát (a névadó Charles Wheatstone) Összegyűjtött vérvizsgálat

4 4 / :23 Tételezzü fel, hogy egy populációban minden személy, egymástól függetlenül p valószínűséggel rendelezi egy bizonyos betegséggel. Így, a betegséget illetően a populációban lévő személye Bernoulli ísérletsorozatot alotna. A betegséget egy vérvizsgálattal lehet azonosítani, amine természetesen öltsége van. Egy létszámú csoport ( > 1 ) esetén ét stratégiát övethetün. Az első szerint minden személyt megvizsgálun egyenént, s ezért személyt ell vizsgálnun, s így vérvizsgálatot ell végeznün. A másodi stratégia szerint összegyűjtjü a személy vérmintáját és először együtt vizsgálju (egyetlen egy teszttel). Feltételezzü, hogy a teszt eredménye aor és csa aor negatív, ha a személy mindegyie egészséges. Ebben az esetben egy teszt elvégzése szüséges. Másrészről a teszt eredménye aor és csa pozitív, ha legalább egy személy beteg, eor egyenént tesztelni ell a személyeet. Ennél a stratégiánál + 1 teszt végrehajtása szüséges. Jelölje Y az összegyüjtött stratégia esetén a szüséges teszte számát. 16. Mutassu meg, hogy c. P(Y = 1) = (1 p), P(Y =+1) = 1 (1 p). (Y) = 1 + (1 (1 p) ). var(y) = 2 (1 p) (1 (1 p) ). 17. Mutassu meg, hogy várható értében megadva az összegyűjtött stratégia aor és csa aor jobb, mint az alapstratégia, ha p < 1 1 A p = 1 ( 1 1 ) ritius érté ábráját, mint [ 2, 20] -na a függvényét mutatja az alábbi ábra: Mutassu meg, hogy p maximális értée = 3 esetén van, és p p 0 ha. A 18. gyaorlatból övetezi, hogy ha p 0.307, aor az összegyűjtésne nincs értelme, teintet nélül a csoport méretére. A mási szélsőséges esetben, ha p nagyon icsi, a betegség igen rita, az összegyűjtés jobb, ivéve, ha a csoportméret nagyon nagy. Most tételezzü fel, hogy n személyün van. Ha n aor tudun csinálni részpopulációat, n csoport van és mindegyi csoportban személy. Alalmazzu az összegyüjtött stratégiát mindegyi csoportr Megjegyezzü, hogy = 1 megfelelel egyetlen egy tesztne és = n megfelelel a teljes populációra vonatozó összegyűjtött stratégiána. Jelölje Y i az i csoporthoz szüséges teszte számát. 19. Bizonyítsi be, hogy (Y 1, Y 2,..., Y n / ) függetlene és mindegyiü a 16. gyaorlatban megadott eloszlással rendelezi.

5 5 / :23 Az ehhez szüséges teszte teljes számára az alábbi terv érvényes Z n, =Y 1 +Y 2 + +Y n / 20. Mutassu meg, hogy a teszte teljes számána várható értée n, = 1 (Z n, ) = n (1 p), > Mutassu meg, hogy a teszte teljes számána varianciája var(z n, ) = 0, = 1 n (1 p) (1 (1 p) ), > 1 Így, a várható értéel apcsolatban az optimális stratégia a populáció felosztása n darab fős csoportra, ahol a 20. gyaorlatban definiált függvényt minimalizálj Igen nehéz optimális értéére zárt formulát adni, de ez az érté numeriusan meghatározható onrét n és p értéere. 22. n és p övetező értéeire adju meg az optimális összegyűjtéshez a értéet és a teszte várható számát. (Szorítozzun azon értéeire, amelye osztjá n értéét!) c. n = 100, p = n = 1000, p = n = 1000, p = Ha nem osztója n-ne, aor az n személyből álló populációt n / csoportra bontju személyt téve mindegyi csoportba és a maradé csoport n mod személyből áll. Ez nyilvánvalóan bonyolítja az elemzést, de nem vezet be új ötletet, így enne az esetne a vizsgálatát az érdelődő olvasóra bízzu. Virtuális laboratóriumo > 10. Bernoulli ísérlete > Tartalom Applete Adathalmazo Életrajzo Külső forrásmuná Kulcsszava Visszacsatolás