Szita (Poincaré) formula. Megoldás. Alkalmazások. Teljes eseményrendszer. Példák, szimulációk

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Szita (Poincaré) formula. Megoldás. Alkalmazások. Teljes eseményrendszer. Példák, szimulációk"

István Kocsis
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 s s Valószíűségszámítás és statszta előadás f. BC/B-C szasa. előadás szeptember 7. zta Pcaré frmula Képlet az általás esetre: A A... A ahl Aj A j j j... j... A az téyezős metszete valószíűségee összege. P j Alalmazás Ha az egyes eseméye és metszete s egyfrmá valószíűe, ar A A... A A A... A Átfgalmazás metszetere: A A... A Megállapdás: 0 =. A A... A Példa: M a valószíűsége, hgy adtt számú cadbásból mde számt legalább egyszer megaptu? 0 0 Megldás A : az számt em dbtu A A... A A A... A = = d d Példá, szmulácó Mtavétel Mty Hall játé: 3 ajtó özül ell a játésa választaa. Egy mögött yereméy autó va, a más ettő mögött ecse. Mutá választttu, a műsrvezető yt egy más ecsés ajtót. Eze utá döthetü: tartu az eredet választásu mellett, vagy a harmad, még bezárt ajtót választju ább. M a jó stratéga? zmulácó Teljes eseméyredszer Defícó. Eseméye A, A,..., srzata teljes eseméyredszer, ha egymást párét zárjá és egyesítésü Ω. Tulajdság: P A A... Legtöbbször véges s elemből álló teljes eseméyredszereet vzsgálu.

2 Teljes valószíűség tétele Legye B, B,..., pztív valószíűségű eseméyeből álló teljes eseméyredszer, A A tetszőleges. Er P A A B B A B B... Bzyítás. A AB AB... dszjut tagra btás, tehát A AB AB... és P AB A B B adja a tételt. Példá Összetett mdelle pl. emtől függő valószíűsége: a szívaság valószíűsége a férfaál 0.0, a őél 0.00 Tfh. ugyaay a férf, mt a ő. M a valószíűsége, hgy egy találmra választt ember szíva? A teljes eseméyredszer: {férf} {ő}. p=0.0/+0.00/= Bayes tétele Legye B, B,..., pztív valószíűségű eseméyeből álló teljes eseméyredszer és A A pztív valószíűségű. Er B A Bzyítás. A evező éppe P A a teljes valószíűség tétele matt. A számláló pedg P AB, defícó szert. pec.: Két elemű teljes eseméyredszerre: A B B B A A B B A B B A B B A B B Példa Ha egy találmra választt ember szíva, m a valószíűsége, hgy férf? p=0.005/ =0/. Ha egy, az egészségesere 5% eséllyel téves dagózst adó szűrővzsgálatál betege tűü, ar a betegség téyleges valószíűsége p a betegség vszge, {B=beteg, E=egészséges} a teljes eseméyredszer: B pz=pz BB/pz BB+ pz EE=p/p+0.05-p vszg. pztív teszteredméyél Betegség valószíûsége vszg az adtt ppulácóba Eseméye függetlesége Ha a B eseméy beövetezése em beflyáslja az A valószíűségét, azaz A B=A, ar azt mdju, hgy az A és B függetlee. Ez így em deáls defícó em szmmetrus, P B>0 ell hzzá, ezért Defícó. Az A és B eseméye függetlee, ha AB=AB. Példá Húzu egy lapt egy magyarártyacsmagból. A: prs B: ász. P A=/4, P B=/8, P AB=/3, tehát függetlee. A függetleség agy rta azs ísérletből meghatárztt eseméyeél! Tpus eset függetleségre: A az első, B a másd ísérlet eredméye.

3 Tulajdság Ha A és B dszjuta, ar csa trváls P A=0 vagy P B=0 esetbe függetlee. Ha A és B függetlee, ar mplemetere s függetlee. Ömagutól csa a trváls eseméye függetlee. A B eseté csa ar függetlee, ha legalább az egy trváls. Általásítás eseméy függetle, ha P A A A P A P A P A teljesül tetszőleges < < < dexsrzatra és mde számra. Nem elég a fet szrzat-tulajdságt =-re megövetel. Ha csa ez teljesül: párét függetleségről beszélü. Megjegyzése függetle ísérlet eseté az egyes ísérletehez tartzó eseméye függetlee. A gyarlatba ez a tpus, fts előfrdulása ee a függetlesége. Klasszus valószíűség mező eseté függetle ísérleteet végezve, a edvező és az összes eseméye száma s összeszrzód. Példa: szabálys cával dbva: első dbás párs és a másd hats=3/3. Valószíűség váltzó A legtöbbször em maga a ísérlet meetele a realzálódtt elem eseméy haem egy számszerűsíthető eredméy az érdees. Példa: par termelés mőségelleőrzés: a érdés az esetleges selejtese száma, em pedg az, hgy ptsa mely elemeet s választttu. gyarlat esetbe em s adód természetese az Ω halmaz pl. dőjárás megfgyelés. Valószíűség váltzó. Mtavétel példa flyt. N termé, elemű mta. Ω elemszáma: N elejtese száma X: 0 és özött szám. Matematalag: X : ΩR függvéy Feltétel: legye értelme pl. aa a valószíűségéről beszél, hgy X=a. Haslóéppe más természetes feltétele s legye valószíűsége. Frmálsa: megöveteljü, hgy {ω: XωB} A teljesüljö mde, az tervallumból megszámlálhatóa s halmazművelettel előállítható B-re. A gyarlatba általába em jelet prblémát. Példá Kcadbás: X a dbtt szám. Ω={,,,}, X =. Értéészlete: {,,,}. X az első lya dbás srszáma, amr jö. Ω={,,,}{,,,}{,,,}... X értéészlete: {,, } Gyarlat példá: X az első selejt gyártásáa dőptja. X értéészlete: R +. X egy adtt termé hssza. X értéészlete: R + részhalmaza em szüséges előzetese rlátz. 3

4 Dszrét valószíűség váltzó Defícó: az X dszrét valószíűség váltzó, ha értéészlete x,, x legfeljebb megszámlálható. A valószíűség váltzó defícójából adódóa {ω:xω= x }={X=x }A azaz p :=P X=x értelmes. Eze meg s határzzá X elszlását. Véges vagy megszámlálható valószíűség mező mde valószíűség váltzó dszrét. Nem célszerű a természetszerűe flyts értéészletű X dszretzálása egyszerűbbe a flyts mdelle pl. eseméy beövetezés deje, fle mérete, éves jövedelem. Példá dszrét valószíűség váltzóra Xω=c mde ω-ra. Elevezés: elfajult elszlás. X=c=. X ar, ha egy adtt, p valószíűségű A eseméy beövetez és 0 ülöbe elevezés: az A eseméy dátra. P X=0=-p P X==p Példá. A bmáls és a hpergem. el. összehaslítása Mtavételél legye X a mtába levő selejtese száma. Vsszatevéses esetbe bmáls elszlás: M M X 0,..., N N Vsszatevés élül esetbe: M N M hpergemetra elszlás X 0,..., N p 0,4 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, 0, Hp.gem N=0,M=0 Bmáls p=0.5 Bmáls elszlás alalmazása Vsszatevéses mtavétel más realzácója: függetle ísérlete azs örülméye özött. A=p eseméy, végezzü rögzített számú függetle ísérletet. X: az A beövetezésée gyarsága ptsa háyszr jött az A. X elszlása bmáls,p. X= X + X + X ahl X az -ed ísérletél az A eseméy dátra. Eze az dátr függetlee s! Példá: 5 dbásból háy fej jö? Egy gyees játé letöltő özül átlagsa mde 0. meg s vesz a haladó váltzatt. 00 letöltő özül háya fga vásárl? Gemetra Pascal elszlás Függetle ísérlete azs örülméye özött. P A=p eseméy, addg ísérletezü, míg A be em övetez. X: az első seres ísérlet srszáma. p =X==p-p - =,, Valóba valószíűségelszlás p +p + = gemetra elszlás Példá: háyadra dbju az első fejet? Háy hétg ell lttózu az első yerésg? Háyad hlap találja meg a ereső az adtt fejezést? 4

5 Pss elszlás e X! =0,,, ; λ>0 paraméter. Valóba elszlás. Grafusa Állítás. Ha a bmáls elszlás paraméterere úgy, hgy p λ, ar a határérté éppe a λ paraméterű Pss elszlás. Bzyítás. e p p! Gyarlat alalmazás Első példa: lórugás áldzataa száma a prsz hadseregbe. Rta eseméye száma adtt dőszaba: Balesete száma Vhar száma Redszer meghbásdásaa száma Összefglalás dszrét elszlás Bmáls elszlás Rögzített számú ísérletél adtt eseméy gyarsága pl. 0 cadbásból a hats száma Nagy mtaelemszámra, cs valószíűségél a Pss elszlással özelíthető Pascal gemetra elszlás Addg ísérletezü, míg egy adtt eseméy be em övetez, az első seres srszáma pl. az első hatst háyad cadbásál apju meg Hpergemetra elszlás Vsszatevés élül mtavételél adtt típusú mtaeleme száma pl. lttóhúzásál az 5 találat valószíűsége Tulajdság Ha X dszrét valószíűség váltzó, f :RR tetszőleges függvéy, ar f X s dszrét valószíűség váltzó. Példa: X a gyárttt termé hssza mm-be. Tegyü fel, hgy P X=8= = =P X==/5. T.f.h. az deáls a 0 mm. Er a d= X-0 elszlása: P d=0=/5, P d= = P d= = /5. Teljes eseméyredszer Ha X dszrét valószíűség váltzó, ar az A ={ω:xω= x } eseméye teljes eseméyredszert alta. Az elszlásfüggvéy Legye F X z:=x<z. Az F X z: R R függvéy az X valószíűség váltzó elszlásfüggvéye. Tulajdsága: 0F X z F X z mt övő lm z F X z=, lm z- F X z=0 F X z balról flyts. Bzyítás: Az első ettő trváls, az utlsó ettőhöz a valószíűség flytssága ell: Ha A A... ar lm A A ahl A A 5

Hasonló dokumentumok

A valószínőség folytonossága

A valószínőség folytonossága Valószíőségszámítás és statszta elıadás f. BC/B-C szasa. elıadás szeptember 9. Megszámlálható valószíőség mezı Ω{ω, ω,,ω, }, A P Ω. Jelölés: p P ω, valószíőségelszlás: p, az összegü. A σ-addtvtás matt