Ismétlés: Visszatevéses mintavétel. A valószínőség további tulajdonságai. Visszatevés nélküli mintavétel. A valószínőség folytonossága

Átírás

1 Valószíőségszámítás és statsztka elıadás f. BC/B-C szakskak. elıadás szeptember. Ismétlés: Vsszatevéses mtavétel N termék, melybıl M selejtes elemő mta vsszatevéssel A: ptsa k selejtes va a mtába k k k,, M M N N azaz a valószíőség kfejezhetı a pm/n selejtaráy segítségével: p k p k Mtavétel Vsszatevés élkül mtavétel N termék, melybıl M selejtes elemő mta vsszatevés élkül A: ptsa k selejtes va a mtába k,, Mtavétel M N M k P N A valószíőség tvább tulajdsága A valószíőség végese s addtív: ha A, A,..., A párkét kzáró eseméyek, akkr P A A A + A A Bzyítás. A + A + választással alkalmazzuk a σ-addtvtást. Tehát a krábba beláttt tulajdságk a Klmgrv-féle valószíőség mezıre s érvéyesek. Megszámlálható valószíőség mezı Ω{ω, ω,,ω, }, A P Ω. Jelölés: p P ω, valószíőségelszlás: p, az összegük. A σ-addtvtás matt tetszıleges A eseméyre megy a véges esetre láttt számítás: ω p : ω A : ω A Példa: Háyadkra dbjuk az elsı fejet egy szabálys érmével? p /,, A valószíőség flytssága Állítás. Ha A A,, és A A... akkr az A A jelöléssel lm A Bzyítás. A A A\ A A\ A3. dszjukt felbtás, tehát a P A \ + A \ sr kverges. A fet felbtást A -re alkalmazva: A + A\ A + + A + \ A

2 s s Eseméyek uójáak valószíősége A PA + PB PA Példa: Magyar kártyacsmagból kétszer húzuk vsszatevéssel. M a valószíősége, hgy húzuk prsat? A: elsı prs, B: másdk prs /4, A / Tehát A 7/ PA B C PA + PB + PC PA PA C PB C + PA B C zta Pcaré frmula Képlet az általás esetre: + A A A ahl Aj A j j < j <... < j A az téyezıs metszetek valószíőségeek összege. j Alkalmazásk Ha az egyes eseméyek és metszetek s egyfrmá valószíőek, akkr + A A A A A A Átfgalmazás metszetekre: A A A A Megállapdás:. Példa: M a valószíősége, hgy adtt k számú kckadbásból mde számt legalább egyszer megkaptuk? Megldás A : az számt em dbtuk A A A A A k d k k d Feltételes valószíőség. Az A eseméy valószíőségét keressük. Tudjuk, hgy B eseméy bekövetkezett. A relatív gyakrságkkal: csak azkat a kísérleteket ézzük, amelyekbe B bekövetkezett. Eze részsrzatba az A relatív gyakrsága: r A B / r B Feltételes valószíőség. Megfelelıje a valószíőségekre: A az A eseméy B-re vatkzó feltételes valószíősége feltétel: >. Példa: kckadbás. A{párs számt dbuk} B{3-ál agybbat dbtuk} /3.

3 Példa Mty Hall játék: 3 ajtó közül kell a játéksak választaa. Egy mögött yereméy autó va, a másk kettı mögött kecske. Mutá választttuk, a mősrvezetı kyt egy másk kecskés ajtót. Ezek utá döthetük: ktartuk az eredet választásuk mellett, vagy a harmadk, még bezárt ajtót választjuk kább. M a jó stratéga? Teljes eseméyredszer Defícó. Eseméyek A, A,..., srzata teljes eseméyredszer, ha egymást párkét kzárják és egyesítésük Ω. Tulajdság: P Legtöbbször véges sk elembıl álló teljes eseméyredszereket vzsgáluk. Teljes valószíőség tétele. Legye B, B,..., pztív valószíőségő eseméyekbıl álló teljes eseméyredszer, A A tetszıleges. Ekkr P Bzyítás. A A B A B dszjukt tagkra btás, tehát A B + A B +... és P A adja a tételt. Összetett mdellek pl. emtıl függı valószíőségek: a szívakság valószíősége a férfakál., a ıkél. Tfh. ugyaay a férf, mt a ı. M a valószíősége, hgy egy találmra választt ember szívak? A teljes eseméyredszer: {férf} {ı}. p./+./.55 Bayes tétele Legye B, B,..., pztív valószíőségő eseméyekbıl álló teljes eseméyredszer, A A pztív valószíőségő. Ekkr Bk Bk Bk Vsszakövetkeztetés az elsı lépés eredméyére. Bzyítás. A evezı éppe P a teljes valószíőség tétele matt. A számláló pedg P A, defícó szert. Példa Ha egy találmra választt ember szívak, m a valószíősége, hgy férf? p.5/.5+.5/. Ha egy, az egészségesekre 5% eséllyel téves dagózst adó szőrıvzsgálatál betegek tőük, akkr a betegség téyleges valószíősége p a betegség vszge, {Bbeteg, Eegészséges} a teljes eseméyredszer: B pzpz /pz + pz EEp/p+.5-p vszg. pztív teszteredméyél Betegség valószíusége vszg az adtt ppulácóba 3

4 Eseméyek függetlesége Ha a B eseméy bekövetkezése em beflyáslja az A valószíőségét, azaz, akkr azt mdjuk, hgy az A és B függetleek. Ez így em deáls defícó em szmmetrkus, P > kell hzzá, ezért Defícó. Az A és B eseméyek függetleek, ha A. Húzuk egy lapt egy magyarkártyacsmagból. A: prs B: ász. P /4, P /8, P A /3, tehát függetleek. A függetleség agy rtka azs kísérletbıl meghatárztt eseméyekél! Tpkus eset függetleségre: A az elsı, B a másdk kísérlet eredméye. Tulajdságk Ha A és B dszjuktak, akkr csak trváls P vagy P esetbe függetleek. Ha A és B függetleek, akkr kmplemeterek s függetleek. Ömaguktól csak a trváls eseméyek függetleek. A B eseté csak akkr függetleek, ha legalább az egyk trváls. Általásítás Két eseméyredszer függetle, ha az elsı tetszıleges eleme függetle a másdk tetszıleges elemétıl. eseméy függetle, ha P A A. A A A... A k k teljesül tetszıleges < < < k dexsrzatra és mde k számra. Megjegyzések Nem elég a fet szrzat-tulajdságt k-re megkövetel. Ha csak ez teljesül: párkét függetleségrıl beszélük. függetle kísérlet eseté az egyes kísérletekhez tartzó eseméyek függetleek. A gyakrlatba ez a tpkus, fts elıfrdulása eek a függetleségek. Klasszkus valószíőség mezı eseté függetle kísérleteket végezve, a kedvezı és az összes eseméyek száma s összeszrzódk. Példa: szabálys kckával dbva: elsı dbás párs és a másdk hats3/3. Tvább általásítás Végtele sk eseméyt függetleek evezük, ha tetszılegese kválasztva közülük véges skat, függetle eseméyeket kapuk. Végtele sk függetle kísérlethez tartzó valószíőség mezı s értelmezhetı. Ha A az -edk kísérlethez tartzk, akkr A,A,, A, függetle. 4

5 Valószíőség váltzók. A legtöbbször em maga a kísérlet kmeetele a realzálódtt elem eseméy haem egy számszerősíthetı eredméy az érdekes. Példa: par termelés mıségelleırzés: a kérdés az esetleges selejtesek száma, em pedg az, hgy ptsa melyk elemeket s választttuk. k gyakrlat esetbe em s adódk természetese az Ω halmaz pl. dıjárás megfgyelés. Valószíőség váltzók. Mtavétel példa flyt. N termék, elemő mta. Ω elemszáma: N elejtesek száma X: és között szám. Matematkalag: X : Ω R függvéy Feltétel: legye értelme pl. aak a valószíőségérıl beszél, hgy Xa. Haslóképpe más természetes feltételek s legye valószíősége. Frmálsa: megköveteljük, hgy {ω: Xω B} A teljesüljö mde, az tervallumkból megszámlálhatóa sk halmazmővelettel elıállítható B-re. A gyakrlatba általába em jelet prblémát. Kckadbás: X a dbtt szám. Ω{,,,}, X. Értékkészlete: {,,,}. X az elsı lya dbás srszáma, amkr jö k. Ω{,,,} {,,,} {,,,}... X értékkészlete: {,, } Ipar termelés: X az elsı selejt gyártásáak dıptja. X értékkészlete: R +. X egy adtt termék hssza. X értékkészlete: R + részhalmaza em szükséges elızetese krlátz. Dszkrét valószíőség váltzók Defícó: az X dszkrét valószíőség váltzó, ha értékkészlete x,, x legfeljebb megszámlálható. A valószíőség váltzó defícójából adódóa {ω:xω x }{Xx } A azaz p :P Xx értelmes. Ezek meg s határzzák X elszlását. Véges vagy megszámlálható valószíőség mezı mde valószíőség váltzó dszkrét. Nem célszerő a természetszerőe flyts értékkészlető X dszkretzálása egyszerőbbek a flyts mdellek. 5