A szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként."

Átírás

1 A szta formula és alalmazása. Gyaran találozun az alább érdéssel, soszor egy összetett feladat részfeladataént. Tentsün bzonyos A 1,...,A n eseményeet, és számítsu anna a valószínűségét, hogy legalább az együ beövetez. Formálsan megfogalmazva, számítsu a P(A 1 A n valószínűséget. A övetező ét fontos specáls esetben egyszerűen meg tudju oldan ezt a feladatot: a Ha az A 1,...,A n eseménye dszjunta, azaz A A j, ha j, 1,j n, b Ha az A 1,...,A n eseménye függetlene. Az a esetben P(A 1 A n P(A P(A n. A b esetben P(A 1 A n 1 P(A 1 A n 1 P(Ā1 Ān 1 P(Ā1 P(Ān 1 (1 P(A 1 (1 P(A n, ahol Ā Ω \ A az A esemény omplementerét jelöl. (A fent számolásban használtu azt az eredményt, amely szernt, ha az A 1,...,A n eseménye függetlene, aor az Ā1,...,Ān eseménye s azo. Mt mondhatun az általános esetben, ha a tentett A 1,A 2,...,A n eseménye nem feltétlenül dszjunta, és nem feltétlenül függetlene? Ez nehezebb érdés, és az általános esetben a P(A 1 A n valószínűséget nem lehet fejezn csa a P(A j valószínűsége segítségével. De ebben az esetben s van egy hasznos és tartalmas eredmény, az úgynevezett szta formula, amely lehetővé tesz a P(A 1 A n valószínűség számítását bzonyos plusz nformácó segítségével. Ismertetem ezt az eredményt. Továbbá tárgyaln fogo olyan feladatoat, amelyeet enne az eredményne a segítségével tudun megoldan. A ombnatorában s van az smertetetendő eredményne egy megfelelője, amelyet szntén szta formulána nevezne. Érdemes ezt a ét eredményt, amelye, mnt ésőbb látn fogju valójában evvalense párhuzamosan smertetn. Anna érdeében, hogy megülönböztessü őet, ombnatorus és valószínűségszámítás szta formuláról fogo beszéln. Először a ombnatorus szta formulát smertetem: Legyen adva egy véges A halmaz, amely előáll bzonyos nem feltétlenül dszjunt A j, 1 j n, halmazo A A 1 A 2 A n unójaént. Szeretnén megszámoln az A halmaz elemene A számát. Tentsün egy olyan esetet, amor erre özvetlenül nem vagyun épese, de meg tudju számoln az A j halmazo elemene A j számát mnden 1 j n számra. Eor az S 1 n A j mennység természetes becslés lenne az A számra. De ez csa egy felső becslés az általános esetben, mert egy olyan elemet, amely mnd az A mnd az A j halmazban benne van valamely j ndexpárra étszer számoltun az S 1 fejezésben holott csa egyszer ellett volna. Ezt orrgálandó vezessü be az 1

2 S 2 1 <j n A A j összeget, és vegyü az S 1 S 2 becslést. Eor azonban csa az S 1 S 2 A egyenlőtlenséget apju, mert például egy olyan elemet, amely három halmazban van benne háromszor számoltu az S 1 összegben és háromszor vontu le az S 2 összegben, tehát az lyen ponto létezését nem vettü fgyelembe az S 1 S 2 becslésben. (Ha az A, A j és A halmazban van a tentett pont aor poztív előjellel számoltu az S 1 összeg A, A j és A tagjaban és negatív előjellel az S 2 összeg A A j, A A és A j A tagjaban. Ezért orrgálju ezt az összeget s. Vezessü be az S 3 A A j A fejezéseet. Eor be lehet látn, hogy S 1 S 2 +S 3 A. 1 <j< n Ha azonosságot aarun apn aor ezt a orrecós eljárást tovább ell folytatn, mert például a 4 ülönböző A j halmazban szereplő elemeet fgyelembe véve... A fent, ssé nagyvonalúan tárgyalt gondolatmenetet részletesebben dolgozva és folytatva a övetező eredményhez jutun. Kombnatorus szta formula. Legyene adva bzonyos véges so elemet tartalmazó A 1,...,A n halmazo, és tentsü eze A A 1 A 2 A n unóját. Jelölje X egy véges X halmaz elemene a számát. Az A halmaz elemene A számát a övetező formulával fejezhetjü. Vezessü be az S mennységeet. Eor Továbbá, S 1 S 2 és általában 1 j 1 < <j n A j1 A j, 1 n, A A 1 A n S 1 S 2 + S 3 + ( 1 n+1 S n. n A j 2l 1 1 j< n A j A A A 1 A n S 1 2l 1 ( 1 +1 S A A 1 A n ( 1 +1 S 1 n A j mnden l 1 ndexre. (Legyen S 0, ha > n. Ez az egyenlőtlenség azt jelent, hogy a ombnatorus szta formulában szereplő S 1 S 2 +S 3 előjeles összeg páratlan számú tagot tartalmazó részletösszege felső és páros számú tagot tartalmazó részletösszege alsó becslést adna az A A 1 A n mennységre. Ezen eredmény valószínűségszámítás megfelelője, a valószínűségszámítás szta formula hasonló eredményt állít bzonyos A 1,...,A n eseménye unójána a valószínűségéről. 2

3 Valószínűségszámítás szta formula. Legyene adva tetszőleges A 1,...,A n eseménye egy (Ω, A, P valószínűség mezőn. Eor P(A 1 A n S 1 S 2 + S 3 + ( 1 n+1 S n, ahol Továbbá, S P(A j1 A j, 1 n. 1 j 1 < <j n S 1 S 2 és általában n P(A j 2l 1 1 j< n P(A j A P(A 1 A n S 1 2l 1 ( 1 +1 S P(A 1 A n ( 1 +1 S 1 n P(A j mnden l 1 ndexre. (Legyen S 0, ha > n. Ez az egyenlőtlenség azt jelent, hogy a P(A 1 A n valószínűséget a szta formulában fejező S 1 S 2 + S 3 előjeles összeg páratlan számú tagot tartalmazó részletösszege felülről és páros számú tagot tartalmazó részletösszege alulról becsül meg a vzsgált valószínűséget. Ház feladat: Mutassu meg, hogy a valószínűségszámítás szta formula a orábban smertetett épleteet adja specáls esetént dszjunt vagy független A 1,...,A n eseménye unójána P(A 1 A n valószínűségére. Mutato egy olyan feladatot, amelyet vszonylag önnyen meg tudun oldan az előbb megfogalmazott valószínűségszámítás szta formula segítségével. Feladat: Egy estélyen megjelen n házaspár. Egy táncmester, a nem tudja, hogy házastársa és nem, véletlen módon párba rendez a férfaat és nőet a tánc előtt. M a valószínűsége anna, hogy egyetlen házaspár sem táncol együtt? M enne a valószínűségne a határértée, ha n? Megoldás: Defnálju a övetező A j eseményeet: A j a j- házaspár együtt táncol, 1 j n. Eor mnet a P(A 1 A n 1 P(A 1 A n valószínűség érdeel. Számolju a P(A 1 A n valószínűséget a valószínűségszámítás szta formula segítségével. Enne érdeében vegyü észre, hogy a P(A j1 A j (n! n! azonosság érvényes mnden lehetséges 1 j 1 < < j n szám--asra. Ugyans az összes lehetséges párbaállításo száma n!, míg az olyan párbaállításo száma, amelyben a j 1 -, j 2 -,..., j - házaspár egy párba erül (n!. 3

4 Ezért a valószínűségszámítás szta formulában bevezetett S mennység értée S ( n (n! n! 1! mnden 1 n számra. Innen adód, hogy a mnet érdelő valószínűség n házaspár esetén ahonnan P(A 1 A n 1 P(A 1 A n 1 S 1 + S ( 1 n S n n ( 1,! 0 n ( 1 P(A 1 A n! 0 ( 1! 0 1 e ha n. Tehát nagy n számra anna a valószínűsége, hogy egy házaspár sem fog együtt táncoln özelítőleg 1 e. Mutato három más feladatot s, ahol a szta formula jól alalmazható. 1. feladat: Egy urnából, amelyben az 1,...,n számoat tartalmazó lapo vanna, húzun m lapot vsszatevéssel. Mnden lapot egyforma valószínűséggel húzun. M anna a valószínűsége, hogy az 1,..., számot tartalmazó lapo mndegyét húztu? M enne a valószínűségne a határértée rögzített számra és m n húzásszámra, ha n? Megoldás: Jelölje A j, 1 j, azt az eseményt, hogy a j számot tartalmazó lapot nem húztu, és jelölje B egy B esemény omplementerét. Eor a P(Ā1 Ā2 Ā P(A 1 A 2 A 1 P(A 1 A 2 A valószínűséget ell számolnun. Továbbá, P(A j1 A 2 A jl ( n l m n mnden rögzített 1 j 1 < < j l ndexsorozatra, mert ez egy olyan esemény valószínűségével egyenlő, ahol m (egymástól független húzás mndegyében n lehetőség özül l szám húzását tltju meg. Innen S l 1 j 1 < <j l P(A j 1 A jl ( ( n l m, l n mnden 1 l ndexre, és a szta formula alapján a eresett valószínűség 1 P(A 1 A 2 A 1 S 1 + S 2 + ( 1 S 1 ( 1 l( ( l 1 l m. n Enne határértée m n és n esetén 1 ( 1 l( e l l 2. feladat: l0 ( l ( 1 l ( e 1 1, ( e mert lm 1 l n n e l. Leírun egy 20 hosszúságú szót, amely csa A, B, C és D betűt tartalmaz. Válasszu a szó mndegy betűjét egymástól függetlenül egyforma valószínűséggel. a. M anna a valószínűsége, hogy a felírt szó mnd a négy betűt tartalmazza? 4

5 b. Hány olyan 20 hosszúságú négy betűs szó van, amely mnd a négy betűt tartalmazza? Megoldás: Jelölje, 1, 2, 3 és 4 a négy betűt. Ezzel a megfogalmazással az a rész megegyez az első feladat problémájával, ha n 4, és m 20. Ezért az a rész eredménye 1 4 ( 1 l( ( 4 1 l l Összesen hosszúságú 4 betűből álló szó ( van. Ezért az a rész megoldásából övetez, hogy a b rész megoldása ( 1 l( ( 4 1 l ( 1 l( 4 l( 4 20 l. Ez az eredmény egyébént özvetlenül s levezethető a ombnatorus szta formula segítségével. 3. feladat: Egy cornflae gyártó cég mnden dobozba betesz egy upont, és összesen 10 ülönböző upont használ. Meora anna a valószínűsége, hogy mnd a 10 upont megapja egy olyan vásárló, a 25 doboz cornflae-et vesz? Megoldás: Jelölje A j, 1 j 10, azt az eseményt, hogy a j- upont ( megapta 10 a vásárló, és Āj enne az eseményne a omplementerét. Eor a P A j ( ( valószínűséget ell számolnun. Vszont P A j 1 P Ā j, és ( 10 P Ā j 10 ( 1 S, ahol S P(Āj 1 Āj 2 Āj, és a {j 1,...,j } 1 ndexhalmaz a fent szummában az {1,...,10} halmaz összes elemű részhalmazából áll. Vszont P(Āj 1 Āj 2 Āj ( 10 25, 10 anna a valószínűsége, hogy a lehetséges 10 uponból mnd a 25 vásárlásnál a j 1,... j ndexű uponotól ülönböző 10 upon valamelyét apju. Ezért S ( ( ( 10 mnden 1 10 ndexre re S S 10 0, ahonnan P A j 9 ( 1 ( ( l A valószínűségszámítás szta formula bzonyítását egy egészítésben fogom tárgyaln. Alább megmutatom, hogy a ombnatorus szta formula egyszerűen levezethető a valószínűségszámítás szta formulából, és vce versa. A ombnatorus szta formula gazolása érdeében tentsün bzonyos A 1,...,A n véges halmazoat, és jelöljü e halmazo unóját A A 1 A n -nel. Legyen A {x 1,...,x N } egy N elemű halmaz, és vezessü be azt a valószínűség mezőt, amelyben az A halmaz elemet választhatju egyenletes eloszlással. Részletesebben fejtve, a övetező (Ω, A,P valószínűség mezőt defnálju: Ω A, A az A halmaz összes részhalmazából álló σ-algebra, P({x j } 1 N mnden 1 j N számra, ahonnan 5

6 P(B B N mnden B A halmazra. Megmutatom, hogy a ombnatorus szta formulát megaphatju a valószínűség szta formula segítségével, ha azt a most defnált (Ω, A,P valószínűség mezőn az A 1,...,A n halmazora alalmazzu. Jelöljü a ombnatorus szta formulában defnált S j, 1 j n, összege megfelelőt a valószínűség szta formulában S j -vel. Eor nyílván S j N S j. Továbbá, mvel P(A 1, a valószínűség szta formula azt adja, hogy S 1 S 2 + S 3 + ( 1 n+1 S n N( S 1 S 2 + S 3 +( 1 n+1 Sn NP(A N, és mvel A N, ezt ellett bzonyítanun. A ombnatorus szta formulában megfogalmazott egyenlőtlensége hasonlóan vezethető le ezen állításo megfelelőből a valószínűségszámítás szta formulában. Megfordítva, a valószínűségszámítás szta formula s egyszerűen levezethető a ombnatorus szta formulából. Anna érdeében, hogy ezt megtegyü tentsü azt az (Ω, A,P valószínűség mezőt, ahol az A 1,..., A n eseménye defnálva vanna, és defnálju mnden ω Ω elem eseményre és B A halmazra azt a B B(ω halmazt, amelyre B(ω {ω}, ha ω B, és B(ω, ha ω / B. Felírom a ombnatora sztaformulát az Ā1(ω Ān(ω halmaz számosságára mnden ω Ω elem eseményre, majd megmutatom, hogy ezt az azonosságot az ω szernt átlagolva, azaz várható értéet véve megapju a valószínűségszámítás szta formulát. A ombnatora szta formula szernt Ā1(ω Ān(ω S 1 (ω S 2 (ω + S 3 (ω + ( 1 n+1 Sn (ω, ahol S (ω Āj 1 (ω Āj (ω 1 j 1 < <j n I Aj1 A j (ω, 1 n. Itt és a továbbaban I B (ω jelöl egy B A 1 j 1 < <j n halmaz ndátorfüggvényét. Továbbá Ā1(ω Ān(ω I A1 A n (ω. Tehát I A1 A n (ω S 1 (ω S 2 (ω + S 3 (ω + ( 1 n+1 Sn (ω. Mvel E S (ω S. 1 n, a fent azonosságban várható értéet véve megapju a P(A 1 A n S 1 S 2 + S 3 + ( 1 n+1 S n azonosságot. A valószínűségszámítás szta formulában felírt egyenlőtlensége hasonlóan bzonyíthatóa. A 2l 1 2l 1 ( 1 +1 S (ω I A1 A n (ω ( 1 +1 S (ω egyenlőtlenséget ell felírn a ombnatorus szta formula segítségével, és várható értéet ell venn ebben a relácóban. 1 6

7 1. egészítés. A valószínűségszámítás szta formula és anna egy általánosítása. A valószínűségszámítás szta formula egy olyan bzonyítását smertetem, amely egy önmagában s érdees, és más eseteben s alalmazható eredményen alapul. Ezt az alább lemmában fogalmazom meg. Lemma. Legyene adva valamely A 1,...,A n eseménye egy (Ω, A,P valószínűség mezőn, és defnálju eze felhasználásával véges so unó, metszet és omplementer segítségével bzonyos B j f j (A 1,...,A n, 1 j, eseményeet. Rögzítsün valamely c 1,...,c valós számoat. A c j P(B j c j P (f j (A 1,...,A n 0 egyenlőtlenség teljesül tetszőleges valószínűség mezőn defnált tetszőleges A 1,...,A n halmazora, ha specálsan teljesül abban a (2 n számú specáls esetben, amor mndegy A j halmaz vagy az Ω bztos vagy az üres esemény. A lemma bzonyítása. Jelölje A 1 j Ω \ A j az A j halmaz omplementerét. Vezessü be az A 1 j A j jelölést, és jelöljön ( 1,..., n, j ±1, 1 j n, valamely n hosszúságú ±1 sorozatot. Írju fel mndegy B j f j (A 1,...,A n eseményt onjuntív normálforma alaban. Felhasználva, hogy a onjuntív normálformában dszjunt halmazo unója jelen meg, a vzsgálandó egyenlőtlenség felírható ( (A d( 1,..., n P A 1 1 A n n 0 ( 1,..., n : j ±1,,...,n alaban alalmas d( 1,..., n együtthatóal. Az (A egyenlőtlenség nyílván érvényes mnden A 1,...,A n halmazrendszerre, ha d( 1,..., n 0 mnden ( 1,..., n argumentumra. Ezért elég megmutatn, hogy amennyben az (A egyenlőtlenség teljesül mnden olyan specáls esetben, amor az A j, 1 j n, halmazo mndegye vagy az Ω bztos vagy az üres esemény, aor d( 1,..., n 0 az összes ( 1,..., n argumentumra. Ezt megmutatandó, rögzítsün egy n hosszúságú ( 1,..., n ±1 sorozatot, és defnálju enne segítségével A 1,...,A n halmazona azt a sorozatát, amelyre A j Ω, ha j 1, és A j, ha j 1, 1 j n. Ezzel a választással az (A formula baloldalán szereplő fejezés d( 1,..., n -nel egyenlő, ezért ez csa úgy lehet nem negatív, ha d( 1,..., n 0. Mvel ezt az érvet mnden lehetséges ( 1,..., n ±1 sorozatra alalmazhatju nnen övetez a lemma állítása. A valószínűségszámítás szta formula bzonyítása a lemma segítségével. A lemma alapján a valószínűségszámítás szta formula azonosságát elegendő abban a specáls esetben belátn, ha mndegy A j esemény vagy a bztos vagy az üres esemény. Eor ugyans a szta formula azonosságában szereplő fejezése bal és jobboldalán szereplő formulá ülönbségéről tudju, hogy az egyrészt nagyobb vagy egyenlő, másrészt sebb egyenlő, mnt nulla. Ezért az nullával egyenlő. Tentsü azoat az eseteet, amor az A j 7

8 eseménye özött r darab bztos és n r üres esemény van, 0 r n. Feltehetjü, hogy r 1, mert r 0 esetén, amor mndegy A j esemény az üres halmaz, az azonosság mndét oldala nullával egyenlő. Ha 1 r n, aor S l ( r l az 1 l r esetben, és S l 0, ha l > r. Ezért az 1 r n esetben a szta formula jobboldalán álló fejezés r ( 1 l+1 S l r ( 1 l+1( r r l 1 ( 1 l( r l 1 (1 1 r 1, a baloldal fejezés pedg szntén P(A 1 A n P(Ω 1. Hasonló meggondoláso alapján a szta formulában megfogalmazott egyenlőtlensége gazolásához elég azt megmutatn, hogy 1 s ( 1 l+1( r s l 0, azaz ( 1 l( r l 0, l0 s ha 1 s r, és s páratlan szám, és ( 1 l( r l 0, ha 1 s r, és s páros l0 szám. (A bzonyítandó állítás ezen reducójához úgy jutun a fent lemma segítségével, hogy r-val jelöljü azon A j halmazo számát, amelyere A j Ω, és felírju, hogy mt jelent a lemma szernt bzonyítandó állítás ebben az esetben. Az r 0 esetben az ellenőrzendő egyenlőtlensége nylvánvalóan teljesülne, mert eor mnden tentett fejezés nullával egyenlő. A bzonyítandó egyenlőtlensége övetezne az alább tartalmasabb azonosságból. s ( r ( 1 l l l0 l0 ( 1 s ( r 1 s, 0 s r. Ez azonosság nyílvánvaló az s 0 esetben, az általános esetben pedg az s változó szernt nducóval apju, hogy s ( 1 l( r ( ( 1 s 1 r 1 ( +( 1 s r ( ( 1 s r 1. l0 Ismertetem a szta formula egy hasonlóan bzonyítható általánosítását. l A szta formula egy általánosítása. Legyene adva tetszőleges A 1,...,A n eseménye egy (Ω, A,P valószínűség mezőn, és vezessü be az N N(ω valószínűség változót, amely egyenő azon j ndexe számával, amelyere az ω A j relácó teljesül. Eor ahol ( + r P(N r ( 1 S +r, S 0 1, S 1 1 < < n s 1 mnden 0 r n számra, P (A 1 A, 1 n. Továbbá ezen összeg részletösszege felváltva alsó lletve felső becslést adna a tentett valószínűségere, azaz s ( + r ( 1 S +r P(N r ha 0 s n r és s páros szám. és s ( 1 ( + r S +r P(N r ha 0 s n r és s páratlan szám. 8 s s

9 Megjegyzés. Mvel P(N 0 1 P(A 1 A n és S 0 1 ez az eredmény az r 0 esetben megegyez a szta formulával. A szta formula általánosításána a bzonyítása. A szta formula bzonyításához hasonlóan ebben az esetben s reduálhatju a bzonyítandó állítás gazolását arra a specáls esetre, amor a tentett A j eseménye özött darab Ω bztos és n darab üres esemény van, 0 n. Sőt, azt s feltehetjü, hogy > r. Ugyans < r esetén a felírt azonosság lletve egyenlőtlensége mnd a ét oldala 0-val, míg r esetén 1-gyel egyenlő. Ugyans S r+ 0, ha r + >, am mnden 0-ra teljesül, ha < r. Ezért ebben az esetben a tentett azonosság és egyenlőtlensége jobboldalán 0 áll. A r esetben S r+ 0, ha 1, és S r+0 1. Másrészt P(N r 0, ha r, és P(N r, ha r. Ezeből az állításoból övetez az állítás fent reducójána a jogossága. Másrészt a tentett specáls esetben (amor pontosan darab bztos esemény van, és a több n esemény pedg üres S r+ ( ( r+, és +r ( ( +r ( r r. Innen a bzonyítandó azonosság jobboldalán álló fejezés ( + r ( ( + r ( ( r ( 1 S r+ ( 1 ( 1 r + r ( r ( ( r r ( 1 (1 1 r 0, r r ha > r. Innen övetez, hogy a felírt azonosság valóban érvényes. Az egyenlőtlensége bzonyítása hasonló, csa ebben az esetben a számolás végén a r ( 1 ( r 0 azonosság helyett a szta formula bzonyítása során már gazolt a s ( 1 ( r 0, ha 0 s r és s páros szám, és s ( 1 ( r 0, ha 0 s r és s páratlan szám egyenlőtlenségeet ell használn. Bebzonyíto egy hasonló azonosságot, amelyben a P(N r valószínűséget számolju az S mennysége segítségével, azaz anna a valószínűségét, hogy legalább r darab A j esemény övetezett be. Megmutatom, hogy ez a formula egyszerűen levezethető az előző eredményben bzonyított a P(N r valószínűséget fejező azonosságból. Formula a P(N r valószínűség fejezésére. A szta formula előbb megfogalmazott általánosításában bevezetett jelöléseet alalmazva felírhatju a ( + r 1 P(N r ( 1 S +r, mnden 1 r n számra, azonosságot, ahol S 0 1, S 1 1 < < n P (A 1 A, 1 n. 9

10 A formula bzonyítása. A éplet r n-re érvényes, mert P(N n S n, és az azonosság jobboldalán álló fejezés s ezzel egyenlő az r n esetben. (Eor az összeg csa az 0 tagot tartalmazza. Az azonosságot r szernt bacward nducóval és a P(N r fejezésre már bzonyított azonosság segítségével bzonyítju be. Ugyans, ha az azonosságot tudju r + 1-re, aor felírhatju a P(N r P(N r + P(N r + 1 ( + r ( 1 S +r + azonosságot. Mvel 1 ( 1 ( +r S+r+1 S+r, nnen azt apju, hogy mvel ( +r Feladat: 1 1 ( 1 ( + r ( 1 1( +r 1 1 S +r+1 (( ( + r + r 1 P(N r ( 1 S +r + S r 1 1 ( + r 1 ( 1 S +r + S r, ( r ( +r 1, és ezt az azonosságot ellett bzonyítan. Tentsü a jegyzet elején megfogalmazott példát, és számolju az általánosított szta formula segítségével anna valószínűségét, hogy pontosan r, r 0, házaspár táncol együtt. M e valószínűség határértée, ha n? Megoldás: Az eredet feladat megoldása során számoltu, hogy S 1!. Ezért az általánosított szta formula alapján anna a valószínűsége, hogy az n házaspárból álló társaságban az együtt táncoló házaspáro N n száma pontosan r ( + r ( + r 1 P(N n r ( 1 S +r ( 1 ( + r! 1 ( 1 1 r!!. Innen lm P(N r 1 r! ( 1 1! 1 1 r! e. Megjegyzés. Az előző feladat eredménye specálsan azt jelent, hogy a feladatban tentett egymással táncoló házaspáro számána eloszlása tart az 1 paraméterű Posson eloszláshoz, ha n. 10

11 Tentsü a övetező módosított feladatot. Legyen adva n házaspár, és táncoljana a felesége egymás után egy véletlenül választott férfval úgy, hogy mnden férft egyforma valószínűséggel választana, és mnden egyes lyen párválasztás független egymástól. (Lehetséges, hogy lesz olyan férj, amely többször, lletve olyan férj, amely egyszer sem táncolt. Kérdés: M anna a valószínűsége, hogy pontosan r feleség táncolt a férjével? M enne a valószínűségne a határértée rögzített r számra, ha a házaspáro n száma tart a végtelenhez? Ezt a feladatot a benne szereplő függetlenség tulajdonságo matt önnyen meg lehet oldan. Nevezetesen a eresett valószínűség értée ( ( n 1 r ( r n 1 1, n amne a határértée rögzített r számra n esetén 1 r! e 1. (Vegyü észre, hogy ( 1 n 1 ( 1 1 r ( n 1 1 n n e 1, és ( n 1 r r( n 1 r!, ha n. Egyébént a apott eredmény a független valószínűség változóra vonatozó Posson eloszlású határeloszlástétel specáls esete, amely azt adja, hogy a eresett határérté megegyez anna a valószínűségével, hogy egy 1 paraméterű Posson eloszlású valószínűség változó az r értéet vesz fel. Tehát a tentett ét feladatban ugyanaz a határeloszlás jelent meg. Ez a övetező ténnyel van apcsolatban. Az eredet feladatban az a megötés, hogy az a férj, at egyszer jelölte táncpartnerne nem választható mégegyszer táncpartnerne a független párválasztás bzonyos megszorítását jelent, de ez egy nagyon enyhe megszorítás. Ezért a férjüel táncoló felesége száma felírható, mnt olyan valószínűség változó összege, amelye ugyan nem függetlene, de majdnem azo. Ezért összegü hasonló határeloszlástételt teljesít, mnt amlyennel a független esetben találoztun. 2. egészítés. A vzsgált határeloszlástétel egy más bzonyítása. Tanulságos lehet megmutatn, hogy hogyan lehet egyszerűen (a szta formula használata nélül bebzonyítan azt, hogy az e jegyzet feladatában vzsgált együtt táncoló házaspáro számána a határeloszlása az 1 paraméterű Posson eloszlás, ha a házaspáro száma tart a végtelenhez. A bzonyítás a öveteező ét lemmán alapul. 1. lemma. Tentsü a övetező feladatot. Egy estélyen megjelen n házaspár. Egy táncmester, a nem tudja, hogy házastársa és nem, véletlen módon párba rendez a férfaat és nőet a tánc előtt. Jelölje T n az együtt táncoló házaspáro számát. Mutassu meg, hogy E ( T n 1! mnden 1 n számra. 2. lemma. Legyen ζ ζ λ egy λ paraméterű Posson eloszlású valószínűség változó. Eor E ( ζ λ! mnden 1,2,... számra 1. lemma bzonyítása. Vezessü be mnden 1 j 1 < j 2 < < j n hosszúságú sorozatra a övetező η(j 1,...,j valószínűség változót: η(j 1,...,j 1, ha a j 1 -, j 2 -,... j - házaspáro mndegye egymással táncol, és η(j 1,...,j 0 egyébént. Eor ( Tn η(j 1,...,j, 1 j 1 < <j n 11

12 ahonnan E ( Tn Eη(j 1,...,j. 1 j 1 < <j n Vszont Eη(j 1,...,j (n! n!, ahonnan E ( T n ( n (n! n! 1!, amnt állítottu. 2. lemma bzonyítása. E ( ζ n ( n λ n n! e λ e λ λ n 1 λ n! (n! λ! e λ n λ n (n! λ!. Az 1. és 2. lemmából övetez, hogy az 1. lemmában defnált T n valamnt egy a 2. lemmában tentett ζ ζ 1 λ 1 paraméterű Posson eloszlású valószínűség változó momentumara érvényes a lm ET n Eζ azonosság mnden 1,2,... számra. Valóban, vegyü észre, hogy a E ( T n0 ( E ζ 0 1, am az ott megfogalmazott állításo megfelelője az elfajuló 0 esetben. Továbbá megadható az E ( η fejezés 1 E ( η! Eη(η 1 (η +1 1! (Eη +B 1, Eη 1 + +B 1, Eη+B 0, alaú formában alalmas B j,, 0 j 1 onstansoal. Ezen onstanso értéet explct módon meg lehet adn, de erre nem lesz szüségün. Ebből a relácóból az s övetez, hogy az Eη momentumot lehet fejezn az E ( η j, 0 j, fejezése lneárs ombnácójaént. Az ETn momentum hasonlóan fejezhető az E ( T n j, 0 j, fejezése lneárs ombnácójaént ugyanazon együtthatóal. Ebből a tényből, lletve az 1. és 2. lemmából övetez, hogy lm ET n Eζ mnden 0,1,2,... számra, amnt állítottam. Vszont a valószínűségszámítás alapvető eredményeből övetez, hogy ha teljesül a lm ET n Eζ relácó mnden 0,1,2,... számra és egy Posson eloszlású ζ valószínűség változóra, aor a T n valószínűség változó eloszlásban onvergálna a ζ valószínűség változóhoz. Az, hogy eloszláso momentumana a onvergencájából egy Posson eloszlású valószínűség változó momentumahoz övetez az eloszláso onvergencájá ezen Posson eloszlású valószínűség változó eloszlásához övetez a övetező három feladat eredményeből. Valójában egy élesebb állítás s övetez ezen feladato eredményeből. Az, hogy ha eloszláso egy sorozatána mnden momentuma onvergál egy olyan eloszlás megfelelő momentumához, amelyne eloszlását egyértelműen meghatározzá momentuma, aor az eloszláso sorozata onvergál ehhez az eloszláshoz. 1. feladat: Legyen adva µ n, n 1,2,..., valószínűség mértée egy olyan sorozata, amelyre létez a lm x µ n ( dx B < határérté mnden 1,2,... ndexre. Eor a µ n sorozat relatve ompat, azaz mnden µ n részsorozatána van µ nj eloszlásban onvergens részsorozata. 12

13 2. feladat: Legyen adva µ n, n 1,2,..., valószínűség mértée egy olyan sorozata, amely eloszlásban onvergál egy µ 0 valószínűség mértéhez, továbbá amelyre létez a lm x µ n ( dx B < határérté mnden 1,2,... ndexre. Eor ez a határérté teljesít a B x µ 0 ( dx relácót mnden 1,2,... ndexre. 3. feladat: Legyen adva µ n, n 1,2,..., valószínűség mértée egy olyan sorozata, amelyre lm x µ n ( dx x µ 0 ( dx mnden 1,2,... ndexre valamely µ 0 valószínűség mértéel. Ha a µ 0 mértéet meghatározzá momentuma, aor a µ n sorozat eloszlásban onvergál a µ 0 valószínűség mértéhez. Segítség: Az első feladat megoldásában a valószínűségszámítás általános eredménye alapján elég ellenőrzn, hogy mnden ε > 0 számhoz létez olyan K K(ε szám, amelyre µ n (x: x > K < ε mnden n 1,2,... ndexre. Ez gaz, mert a feladat feltétele szernt x 2 µ n ( dx < B alalmas B > 0 számmal mnden n ndexre. A gyenge onvergencából övetez, hogy lm A A x µ n ( dx A A x µ 0 ( dx mnden olyan A számra, amely folytonosság pontja a µ 0 mérténe. Ahhoz, hogy a 2. feladatot enne alapján A határátmenettel megoldju elég belátn, hogy mnden egész és ε > 0 valós számra létez olyan B B(,ε szám, amelyre x: x >B x µ n ( dx < ε mnden n ndexre. Vszont x: x >B x µ n ( dx < 1 B x: x >B x 2 µ n ( dx < 1 B x 2 µ n ( dx < ε mnden n 1 ndexre, ha B elég nagy. Ném plusz munával látható, hogy ez a becslés n 0 ndexre s érvényes. A 3. feladat állítása egyszerűen övetez az első és másod feladat eredményéből. 13

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 +

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 + . Fourier-soro. Bevezet definíció Enne a fejezetne a célja, hogy egy szerint periodius függvényt felírjun mint trigonometrius függvényeből épzett függvénysorént. Nyilván a cos x a sin x függvénye szerint

Részletesebben

2.2.36. AZ IONKONCENTRÁCIÓ POTENCIOMETRIÁS MEGHATÁROZÁSA IONSZELEKTÍV ELEKTRÓDOK ALKALMAZÁSÁVAL

2.2.36. AZ IONKONCENTRÁCIÓ POTENCIOMETRIÁS MEGHATÁROZÁSA IONSZELEKTÍV ELEKTRÓDOK ALKALMAZÁSÁVAL 01/2008:20236 javított 8.3 2.2.36. AZ IONKONCENRÁCIÓ POENCIOMERIÁ MEGHAÁROZÁA IONZELEKÍ ELEKRÓDOK ALKALMAZÁÁAL Az onszeletív eletród potencálja (E) és a megfelelő on atvtásána (a ) logartmusa özött deáls

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007)

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) A Fibonacci-sorozat általános tagjára vontozó éplet máséppen is levezethető A 149 Feladatbeli eljárás alalmas az x n+1 ax n + bx, n 1 másodrendű állandó együtthatós lineáris reurzióal adott sorozato n-edi

Részletesebben

Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról

Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Pethő Attla Emlékül Kss Péternek, a rekurzív sorozatok fáradhatatlan kutatójának. 1. Bevezetés Legyenek a, b Z és {1, 1} olyanok, hogy a 2 4b 2) 0, b 2 és ha 1,

Részletesebben

Legfontosabb bizonyítandó tételek

Legfontosabb bizonyítandó tételek Legfontosabb bizonyítandó tétele 1. A binomiális tétel Tetszőleges éttagú ifejezés (binom) bármely nem negatív itevőj ű hatványa polinommá alaítható a övetez ő módon: Az nem más, mint egy olyan n tényezős

Részletesebben

Hálózat gazdaságtan. Kiss Károly Miklós, Badics Judit, Nagy Dávid Krisztián. Pannon Egyetem Közgazdaságtan Tanszék 2011. jegyzet

Hálózat gazdaságtan. Kiss Károly Miklós, Badics Judit, Nagy Dávid Krisztián. Pannon Egyetem Közgazdaságtan Tanszék 2011. jegyzet Hálózat gazdaságtan jegyzet Kss Károly Mlós, adcs Judt, Nagy Dávd Krsztán Pannon Egyetem Közgazdaságtan Tanszé 0. EVEZETÉS... 3 I. HÁLÓZTOS JVK KERESLETOLDLI JELLEMZŐI HÁLÓZTI EXTERNÁLIÁK ÉS KÖVETKEZMÉNYEIK...

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

Mechanizmusok vegyes dinamikájának elemzése

Mechanizmusok vegyes dinamikájának elemzése echanzmuso vegyes dnamáána elemzése ntonya Csaba ranslvana Egyetem, nyagsmeret Kar, Brassó. Bevezetés Komple mechanzmuso nemata és dnama mozgásvszonyana elemzése nélülözhetetlen a termétervezés első szaaszaban.

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA)

VARIANCIAANALÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) VARIANCIAANAÍZIS (szóráselemzés, ANOVA) Varancaanalízs. Varancaanalízs (szóráselemzés, ANOVA) Adott: egy vagy több tetszőleges skálájú független változó és egy legalább ntervallum skálájú függő változó.

Részletesebben

6. Bizonyítási módszerek

6. Bizonyítási módszerek 6. Bizonyítási módszere I. Feladato. Egy 00 00 -as táblázat minden mezőjébe beírju az,, 3 számo valamelyiét és iszámítju soronént is, oszloponént is, és a ét átlóban is az ott lévő 00-00 szám öszszegét.

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

XL. Felvidéki Magyar Matematikaverseny Oláh György Emlékverseny Galánta 2016 Megoldások 1. évfolyam. + x = x x 12

XL. Felvidéki Magyar Matematikaverseny Oláh György Emlékverseny Galánta 2016 Megoldások 1. évfolyam. + x = x x 12 XL. Felvidéi Magyar Matematiaverseny Oláh György Emléverseny Galánta 016 Megoldáso 1. évfolyam 1. Oldju meg az egész számo halmazán az egyenletet. x 005 11 + x 004 1 = x 11 005 + x 1 004 Az egyenlet mindét

Részletesebben

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1. Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA

A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projet eretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszéén az ELTE Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok Kiegészítő részelőadás. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 04 05 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)

Részletesebben

A feladatok megoldása

A feladatok megoldása A feladato megoldása A hivatozáso C jelölései a i egyenleteire utalna.. feladat A beérezési léps felszíne fölött M magasságban indul a mozgás, esési ideje t = M/g. Ezalatt a labda vízszintesen ut utat,

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Diszkrét matematika I. középszint Alapfogalmakhoz tartozó feladatok kidolgozása

Diszkrét matematika I. középszint Alapfogalmakhoz tartozó feladatok kidolgozása Diszrét matematia I. özépszint Alapfogalmahoz tartozó feladato idolgozása A doumentum a övetező címen elérhető alapfogalmahoz tartozó példafeladato lehetséges megoldásait tartalmazza: http://compalg.inf.elte.hu/~merai/edu/dm1/alapfogalma.pdf

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

8. Programozási tételek felsoroló típusokra

8. Programozási tételek felsoroló típusokra 8. Programozás tételek felsoroló típusokra Ha egy adatot elem értékek csoportja reprezentál, akkor az adat feldolgozása ezen értékek feldolgozásából áll. Az lyen adat típusának lényeges jellemzője, hogy

Részletesebben

Példák ekvivalencia relációra (TÉTELként kell tudni ezeket zárthelyin, vizsgán):

Példák ekvivalencia relációra (TÉTELként kell tudni ezeket zárthelyin, vizsgán): F NIK INÁRIS RLÁIÓK INÁRIS RLÁIÓK (és hasonló mátrxok s tt!) Defnícó: z R bnárs relácó, ha R {( a, b) a, b } nárs relácók lehetséges tuladonsága:. Reflexív ha ( x,.(a). Szmmetrkus ha ( x, y) ( y,.(b).

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1 Drótos G.: Fejezete az elméleti mechaniából 4. rész 4. Kis rezgése 4.. gyensúlyi pont, stabilitás gyensúlyi pontna az olyan r pontoat nevezzü valamely oordináta-rendszerben, ahol a vizsgált tömegpont gyorsulása

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatok

Valószínűségszámítás feladatok Valószínűségszámítás feladato A FELADATOK MEGOLDÁSAI A 0. FELADAT UTÁN TALÁLHATÓK.. Egyszerre dobun fel három érmét. Mi anna a valószínűsége, hogy mindegyine ugyanaz az oldala erül felülre?. Két dobóocát

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola

Dr. Ratkó István. Matematikai módszerek orvosi alkalmazásai. 2010.11.08. Magyar Tudomány Napja. Gábor Dénes Főiskola Dr. Ratkó István Matematka módszerek orvos alkalmazása 200..08. Magyar Tudomány Napja Gábor Dénes Főskola A valószínűségszámítás és matematka statsztka főskola oktatásakor a hallgatók néha megkérdezk egy-egy

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Fuzzy Rendszerek és Genetikus Algoritmusok

Fuzzy Rendszerek és Genetikus Algoritmusok Fuzzy endszere és Genetus lgortmuso Előadás vázlat előadás Felhasznált Irodalom: Összeállította: armat István Ph.D., egyetem adjuntus ózsa Pál: neárs algebra és alalmazása. Budapest, 99. [] Sajátérté-eladat

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS

METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS METROLÓGIA ÉS HIBASZÁMíTÁS Metrológa alapfogalmak A metrológa a mérések tudománya, a mérésekkel kapcsolatos smereteket fogja össze. Méréssel egy objektum valamlyen tulajdonságáról számszerű értéket kapunk.

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

Az entrópia statisztikus értelmezése

Az entrópia statisztikus értelmezése Az entrópa statsztkus értelmezése A tapasztalat azt mutatja hogy annak ellenére hogy egy gáz molekulá egyed mozgást végeznek vselkedésükben mégs szabályszerűségek vannak. Statsztka jellegű vselkedés szabályok

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek

A bankközi jutalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapiacon. A bankközi jutalék létező és nem létező versenyhatásai a Visa és a Mastercard ügyek BARA ZOLTÁN A bankköz utalék (MIF) elő- és utóélete a bankkártyapacon. A bankköz utalék létező és nem létező versenyhatása a Vsa és a Mastercard ügyek Absztrakt Az előadás 1 rövden átteknt a két bankkártyatársasággal

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

3. Évközi ellenőrzés módja: 2 zárhelyi dolgozat íratása. 4. A tárgy előírt külső szakmai gyakorlatai: -

3. Évközi ellenőrzés módja: 2 zárhelyi dolgozat íratása. 4. A tárgy előírt külső szakmai gyakorlatai: - Tantárgy neve Halmazok és függvények Tantárgy kódja MTB00 Meghrdetés féléve Kredtpont Összóraszám (elm+gyak + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgy kód - Tantárgyfelelős neve Rozgony Tbor Tantárgyfelelős

Részletesebben

ELEKTROKÉMIA GALVÁNCELLÁK ELEKTRÓDOK

ELEKTROKÉMIA GALVÁNCELLÁK ELEKTRÓDOK LKTOKÉMIA GALVÁNCLLÁK LKTÓDOK GALVÁNCLLÁK - olyan rendszere, amelyeben éma folyamat (vagy oncentrácó egyenlítdés) eletromos áramot termelhet vagy áramforrásból rajtu áramot átbocsátva éma folyamat játszódhat

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés

s n s x A m és az átlag Standard hiba A m becslése Információ tartalom Átlag Konfidencia intervallum Pont becslés Intervallum becslés A m és az átlag Standard hba Mnta átlag 1 170 Az átlagok szntén ngadoznak a m körül. s x s n Az átlagok átlagos eltérése a m- től! 168 A m konfdenca ntervalluma. 3 166 4 173 x s x ~ 68% ~68% annak a valószínűsége,

Részletesebben

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA 9. LINÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKA Az 5. fejezetbe már megmeredtü a leár trazformácóal mt a leár leépezée egy ülölege típuával a 6. fejezetbe pedg megvzgáltu a leár trazformácó mátr-reprezetácóját.

Részletesebben

normális eloszlások jelennek meg, mint határeloszlások. Annak érdekében, hogy ezeket

normális eloszlások jelennek meg, mint határeloszlások. Annak érdekében, hogy ezeket A TÖBBVÁLTOZÓS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁSTÉTEL A centrális határeloszlás so független valószínűségi változó összegéne az aszimptotius eloszlását írja le. Bizonyos érdése vizsgálatában szüségün van enne az

Részletesebben

Logikai szita (tartalmazás és kizárás elve)

Logikai szita (tartalmazás és kizárás elve) Logikai szita (tartalmazás és kizárás elve) Kombinatorika 5. előadás SZTE Bolyai Intézet Szeged, 2016. március 1. 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát

Részletesebben

BAYES-ANALÍZIS A KOCKÁZATELEMZÉSBEN, DISZKRÉT VALÓSZÍNŰSÉG ELOSZLÁSOK ALKALMAZÁSA 3

BAYES-ANALÍZIS A KOCKÁZATELEMZÉSBEN, DISZKRÉT VALÓSZÍNŰSÉG ELOSZLÁSOK ALKALMAZÁSA 3 Balogh Zsuzsanna Hana László BAYES-ANALÍZIS A KOCKÁZATELEMZÉSBEN, DISZKRÉT VALÓSZÍNŰSÉG ELOSZLÁSOK ALKALMAZÁSA 3 Ebben a dolgozatban a Bayes-féle módszer alalmazási lehetőségét mutatju be a ocázatelemzés

Részletesebben

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika

Fuzzy rendszerek. A fuzzy halmaz és a fuzzy logika Fuzzy rendszerek A fuzzy halmaz és a fuzzy logka A hagyományos kétértékű logka, melyet évezredek óta alkalmazunk a tudományban, és amelyet George Boole (1815-1864) fogalmazott meg matematkalag, azon a

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Darupályák ellenőrző mérése

Darupályák ellenőrző mérése Darupályák ellenőrző mérése A darupályák építésére, szerelésére érvényes 15030-58 MSz szabvány tartalmazza azokat az előírásokat, melyeket a tervezés, építés, műszak átadás során be kell tartan. A geodéza

Részletesebben

Autópálya forgalom károsanyag kibocsátásának modellezése és szabályozása

Autópálya forgalom károsanyag kibocsátásának modellezése és szabályozása Autópálya forgalom árosanyag bocsátásána modellezése és szabályozása Csós Alfréd Budapest, 00. Köszönetnylvánítás Ezúton szeretné öszönetet mondan onzulensemne, Varga Istvánna, atől ezdettől fogva rengeteg

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

file:///l:/valsz%c3%a1mstatv%c3%a9gleges/bernoulli/introduction...

file:///l:/valsz%c3%a1mstatv%c3%a9gleges/bernoulli/introduction... 1 / 5 2011.03.17. 14:23 Virtuális laboratóriumo > 10. Bernoulli ísérlete > 1 2 3 4 5 6 1. Bevezetés Alapelmélet A Bernoulli ísérlet folyamat, melyne névadója Jacob Bernoulli a valószínűségszámítás egyi

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel 2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív

Részletesebben

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció

Békefi Zoltán. Közlekedési létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vizsgálati módszereinek fejlesztése. PhD Disszertáció Közlekedés létesítmények élettartamra vonatkozó hatékonyság vzsgálat módszerenek fejlesztése PhD Dsszertácó Budapest, 2006 Alulírott kjelentem, hogy ezt a doktor értekezést magam készítettem, és abban

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 00/009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

Schlüter -KERDI-BOARD. Közvetlenűl burkolható felületű építőlemez, többrétegű vízszigetelés

Schlüter -KERDI-BOARD. Közvetlenűl burkolható felületű építőlemez, többrétegű vízszigetelés Schlüter -KERDI-BOARD Közvetlenűl burkolható felületű építőlemez, többrétegű vízszgetelés Schlüter -KERDI-BOARD Schlüter -KERDI-BOARD A csempeburkolat készítésének unverzáls alapfelülete Pontosan, ahogy

Részletesebben

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található

Philosophiae Doctores. A sorozatban megjelent kötetek listája a kötet végén található Phlosophae Doctores A sorozatban megjelent kötetek lstája a kötet végén található Benedek Gábor Evolúcós gazdaságok szmulácója AKADÉMIAI KIADÓ, BUDAPEST 3 Kadja az Akadéma Kadó, az 795-ben alapított Magyar

Részletesebben

A gyors Fourier-transzformáció (FFT)

A gyors Fourier-transzformáció (FFT) A gyors Fourier-transzformáció (FFT) Egy analóg jel spetrumát az esete döntő többségében számítástechniai eszözöel határozzu meg. A jelet mintavételezzü és elvégezzü a mintasorozat diszrét Fouriertranszformációját.

Részletesebben

JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR

JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR Írta: PLETL SZILVESZTER MAGYAR ATTILA JELEK ÉS RENDSZEREK PÉLDATÁR Egyetem tananyag COPYRIGHT: 6, Dr. Pletl Szlveszter, Szeged Tudományegyetem Természettudomány és Informata Kar Műsza Informata Tanszé;

Részletesebben

hogy a tételben megfogalmazott feltételek nemcsak elégséges, hanem egyben szükséges feltételei is a centrális határeloszlástételnek.

hogy a tételben megfogalmazott feltételek nemcsak elégséges, hanem egyben szükséges feltételei is a centrális határeloszlástételnek. A Valószínűségszámítás II. előadássorozat második témája. A CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁSTÉTEL A valószínűségszámítás legfontosabb eredménye a centrális határeloszlástétel. Ez azt mondja ki, hogy független valószínűségi

Részletesebben

Az elektromos kölcsönhatás

Az elektromos kölcsönhatás TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy

Részletesebben

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 204 205 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak

Sztochasztikus folyamatok alapfogalmak Matematikai Modellalkotás Szeminárium 2012. szeptember 4. 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 1 Folytonos idejű Markov láncok 2 3 4 Folytonos idejű Markov láncok I Adott egy G = (V, E) gráf Folytonos

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Szindbád mellett, egyszerre csak egy háremhölgy jelenik meg. Szindbád. hogy a kalifának hány háremhölgye van, viszont semmit nem tud arról,

Szindbád mellett, egyszerre csak egy háremhölgy jelenik meg. Szindbád. hogy a kalifának hány háremhölgye van, viszont semmit nem tud arról, A Szindbád probléma. Optimális választás megtalálása. Rendkívül népszerű és egyben tanulságos a következő valószínűségi, optimalizációs probléma, mely Magyarországon Szindbád problémája néven vált ismertté.

Részletesebben

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1,

,...,q 3N és 3N impulzuskoordinátával: p 1, Louvlle tétele Egy tetszőleges klasszkus mechanka rendszer állapotát mnden t dőpllanatban megadja a kanónkus koordnáták összessége. Legyen a rendszerünk N anyag pontot tartalmazó. Ilyen esetben a rendszer

Részletesebben

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9.

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis Becslések, határeloszlás tételek Székely Balázs 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis 1 CHT és NSZT 2 Hoeffding-egyenlőtlenség Alkalmazása: Beengedés

Részletesebben

Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel

Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Hely és elmozdulás - meghatározás távolságméréssel Bevezetés A repülő szerkezetek repülőgépek, rakéták, stb. helyének ( koordnátának ) meghatározása nem új feladat. Ezt a szakrodalom részletesen taglalja

Részletesebben

1. Kombinatorikai bevezetés példákkal, (színes golyók):

1. Kombinatorikai bevezetés példákkal, (színes golyók): 1. Kombinatoriai bevezetés példáal, (színes golyó: (a ismétlés nélüli permutáció (sorba rendezés: n ülönböz szín golyót hányféleépp állíthatun sorba? 10-et? n! 10! (b ismétléses permutáció: n 1 piros,

Részletesebben

1. előadás: Bevezetés. Számonkérés. Irodalom. Valószínűségszámítás helye a tudományok között. Cél

1. előadás: Bevezetés. Számonkérés. Irodalom. Valószínűségszámítás helye a tudományok között. Cél Valószíűségszámítás előadás formata BSC/ szaosoa és matemata elemző BSC-see 2015/2016 1. félév Zemplé drás zemple@ludes.elte.hu http://www.cs.elte.hu/~zemple/ 1. előadás: Bevezetés Irodalom, övetelméye

Részletesebben

4 2 lapultsági együttható =

4 2 lapultsági együttható = Leíró statsztka Egy kísérlet végeztével általában tetemes mennységű adat szokott összegyűln. Állandó probléma, hogy mt s kezdjünk - lletve mt tudunk kezden az adatokkal. A statsztka ebben segít mnket.

Részletesebben

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a

Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,

Részletesebben

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL

VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL Surányi János Farey törte mate.fazeas.u Surányi János VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL FAREY-TÖRTEK. Egy a alós számot racionális számoal, azaz törteel aarun megözelíteni. A törteet az alábbiaban mindig

Részletesebben

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.) Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 4. Statisztikus golyójátékok

Orosz Gyula: Markov-láncok. 4. Statisztikus golyójátékok . Statsztkus golyójátékok Egy urnában kezdetben különböző színű golyók vannak. Ezek közül véletlenszerűen kválasztunk egyet, és a követett stratégától függően kveszünk vagy beteszünk újabb golyókat az

Részletesebben

A relációelmélet alapjai

A relációelmélet alapjai A relációelmélet alapjai A reláció latin eredet szó, jelentése kapcsolat. A reláció, két vagy több nem feltétlenül különböz halmaz elemei közötti viszonyt, kapcsolatot fejez ki. A reláció értelmezése gráffal

Részletesebben

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont I. 1. A páros számokat tartalmazó részhalmazok: 6 ; 8 ; 6 ; 8. { } { } { }. 5 ( a ) 17 Összesen: t = = a a Összesen: ot kaphat a vizsgázó, ha csak két helyes részhalmazt ír fel. Szintén jár, ha a helyes

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Tóth Zsuzsanna * AZ ÁLTALÁNOS EGYENSÚLYELMÉLETEK ÉS A SZÁMSZERŐSÍTETT EGYENSÚLYI MODELLEK ÖSSZEHASONLÍTÓ ELEMZÉSE

Tóth Zsuzsanna * AZ ÁLTALÁNOS EGYENSÚLYELMÉLETEK ÉS A SZÁMSZERŐSÍTETT EGYENSÚLYI MODELLEK ÖSSZEHASONLÍTÓ ELEMZÉSE Tóth Zsuzsanna * AZ ÁLTALÁNOS EGYENSÚLYELMÉLETEK ÉS A SZÁMSZERŐSÍTETT EGYENSÚLYI MODELLEK ÖSSZEHASONLÍTÓ ELEMZÉSE A problémáat nem új nformácó segítségével oldju meg, hanem azáltal, hogy rendszerbe foglalju

Részletesebben

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó A növekedés nagyságrendje, számosság Logika és számításelmélet, 6. gyakorlat 2009/10 II. félév Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 1 / 1 Nagyordó, Omega,

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

Megoldott feladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA

Megoldott feladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA Megoldott eladatok IX. osztály 7 MEGOLDOTT FELADATOK A IX. OSZTÁLY SZÁMÁRA. Az : R R üggvény teljesíti az ( + y) = ( a y) + ( y) ( a ) összeüggést bármely,y R esetén (a egy rögzített valós szám). Bizonyítsd

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben