MATEMATIKA C 12. évfolyam 1. modul Sorban, egymás után

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "MATEMATIKA C 12. évfolyam 1. modul Sorban, egymás után"

Átírás

1 MATEMATIKA C. évflyam. mdul Srba, egymás utá Készítette: Kvács Kárlyé

2 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató A mdul célja Időkeret Ajáltt krsztály Mdulkapcslódási ptk Srzat fgalma, ábrázlása, evezetes srzatkkal való megismerkedés. A mideapi életbe előfrduló gazdasági matematika kérdések megválaszlása. A bakk reklámszövegeiek értelmezése. 5 fglalkzás (5 45 perc). évflyam Tágabb köryezetbe: Szűkebb köryezetbe: Függvéyek ábrázlása, százalékszámítás, Ajáltt megelőző tevékeységek: Területszámítás A képességfejlesztés fókuszai Ajáltt követő tevékeységek: Taévvégi ismétlés Szövegértés, szövegértelmezés, deduktív és iduktív következtetés, kmbiativitás, prblémaérzékeység, összefüggések felismerése, meyiségi következtetés AJÁNLÁS A középisklás matematika taayag témakörei közül talá a srzatkak va a legtöbb gyakrlati alkalmazási területe. Elsősrba a pézbefektetésre, kölcsö felvételre, biztsításra, reklámszövegek értelmezésére gdluk. A 8 éves krú fiatalkak el kell tudi igazdiuk ezeke a területeke. Természetese a mdul a délelőtti matematika órá tault ismeretek elmélyítését is szlgálja. A cél az, hgy a taulókat eljuttassuk a srzatk tulajdságaiak, a számtai és mértai srzat defiíciójáak, és a rájuk vatkzó összefüggésekek alaps és alkalmazásra érett ismeretéhez. A MODUL FOGLALKOZÁSAINAK JAVASOLT SORRENDJE. fglalkzás: Kezdőlépések. fglalkzás: Számtai? 3. fglalkzás: Lépjük egyet-kettőt! 4. fglalkzás: Mértai? 5. fglalkzás: Tudáspróba

3 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 3 MODULVÁZLAT Lépések, tevékeységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/ Feladat/ Gyűjteméy I. Kezdőlépések Srzat megadása szöveggel, képlettel. Szövegértés, szövegértelmezés, ábrázlás, deduktív következtetés Feladatlap: 6. feladat A srzatk éháy tulajdsága. Összefüggések felismerése Feladatlap: 7. feladat II. Számtai? A számtai srzat defiíciójáak alkalmazása. Ismeretek elmélyítése, redszerezés, számlási képesség, szövegértés, szövegértelmezés A számtai srzat -edik tagjáak, és az első tag összegéek kiszámítása. III. Lépjük egyet-kettőt! Szövegértés, szövegértelmezés, számlási képesség Szöveges feladatk számtai srzatra. Szövegértés, szövegértelmezés, deduktív és iduktív következtetés, összefüggések felismerése, meyiségi következtetés Az első tag összegéek kiszámítására vatkzó szöveges feladatk. Ismeretek elmélyítése, szövegértés, szövegértelmezés, összefüggések felismerése, meyiségi következtetés Feladatlap: 7. feladat Feladatlap: 8. feladat Feladatlap: 6. feladat Feladatlap: 7. feladat

4 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 4 IV. Mértai? Villámkérdések a mértai srzat defiíciójáak alkalmazására, külöböző adatk alapjá a srzat rekstruálása. Szövegértés, szövegértelmezés, deduktív és iduktív következtetés, összefüggések felismerése, meyiségi következtetés, értelmes memória Kamats kamatszámítási feladatk. Szövegértés, szövegértelmezés, prbléma-érzékeység, számlási képesség, összefüggések felismerése, meyiségi következtetés Feladatlap: 0. feladat Feladatlap: 8. feladat V. Tudáspróba 893-ba megjelet érettségi feladatkból éháy. Szövegértés, szövegértelmezés Feladatlap: 3. feladat Teszt. A témakörbe szerzett ismeretek felmérése. Redszerezés, szövegértés, szövegértelmezés, prblémaérzékeység, számlási képesség, összefüggések felismerése, meyiségi következtetés, metakgíció Tesztlap: 0. feladat

5 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 5 I. KEZDŐLÉPÉSEK Módszertai megjegyzés: A fglalkzás feladatayaga a matematika taórá taultak elmélyítését szlgálja, ezért célszerű akkrra időzítei eek a mdulak a felhaszálását, amikr a taulók már megismerkedtek a srzat fgalmával, és aak éháy tulajdságával. A feladatk tetszőleges srredbe tűzhetők ki. Az első fglalkzás érdemes párba fglalkztati a taulókat, hgy a frisse tault ismeretayag alkalmazása srá felmerült kérdéseiket először egymással tudják megvitati. A feladatk megldásáak szerves része a kaptt eredméyek elleőrzése. A feladatk megldásáak leírásába em szerepel az elleőrzés, de a fglalkzás mideképpe várjuk el a taulóktól, hgy eredméyeiket valamilye frmába elleőrizzék!. Dötsd el, hgy az alábbi függvéyek közül melyek számsrzatk! A számsrzatkak számítsd ki a -edik és a 00-adik tagját! f függvéy: Ez a függvéy mide pzitív egész számhz hzzáredeli a szám 6-tal való sztásakr fellépő maradékát. g függvéy: Ez a függvéy mide Budapeste élő emberhez hzzáredeli aak életkrát. (Az életkrt évekbe mérve, egész számra kerekítve adjuk meg. h függvéy: Mide skszöghöz hzzáredeli az átlóiak számát. k függvéy: Mide skszög ldalszámáhz hzzáredeli a skszög átlóiak számát. m függvéy: Z + R, x a, ha x párs szám x, ha x páratla szám Megldás: Az f függvéy számsrzat, mert mide pzitív egész számhz számt redel. A - hez 5-öt redel, mert a -et 6-tal sztva 5 maradékt kapuk. A srzat 00-adik tagja 4, mert a 00 hats maradéka 4. A g függvéy em számsrzat, mert a függvéy értelmezési tartmáya a Budapeste élő emberek halmaza, és em a pzitív egész számk halmaza. A h függvéy em számsrzat, mert a függvéy értelmezési tartmáya a skszögek halmaza. A k függvéy számsrzat, mert az értelmezési tartmáya a 3, és az aál agybb egész számk halmaza, tagjai egész számk. Mivel így a 44 és a = 00 = ( 3) a =, ahl 3 és Z,

6 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 6 Az m függvéy számsrzat, mert mide pzitív egész számhz valós számt redel. A -edik tagja, a 00-adik tagja pedig.. Legye egy srzat első 5 tagja a 9 93 ötjegyű számak az öt számjegye, a srzat tvábbi tagjaiak midegyike pedig legye. Háy ilye srzat képezhető? Megldás: Ayi srzat képezhető, aháy permutációja va eek az öt számjegyek. 5! A permutációk száma: = 60, tehát 60 ilye srzat képezhető.! 3. Legye a = 60 si, ahl az fks szöget jelöli, 5 b = 3,. c = 00 ( 3) és d = ( ) + 6 a) Dötsd el, hgy a 30 tagja-e az ( a ), ( b ), ( c ) és ( d ) srzatk valamelyikéek! Ha ige, háyadik tagja? b) Számítsd ki a srzatk 30-adik tagját! c) Va-e a ( b ) srzatak 54-gyel sztható tagja? Megldás: a) 30 = 60 si si =, ahl + Z = 30 + k 360 vagy = 50 + r 360, ahl k és r tetszőleges természetes számt jelöl. Az ( a ) srzatak tehát tagja a 30, mégpedig a 30 + k 360, ha k = 0. A ( b ) srzatak em tagja a 30, mert a 3-ak ics lya egész kitevőjű hatváya, amely 5-tel egyelő. A ( c ) srzatak tagja a 30, mert 30 = 00 ( 3) = 38. A ( d ) srzatak em tagja a 30, mert pzitív eseté + 6 > 0, és ( ) párs eseté, páratla -re, és + 6 = 30 = 894, ezért d = = b) a = 60 si 30 30, = b = 3 = 3 486, c = 00 (30 3) 46, 30 = 30 d 30 = ( ) =

7 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 7 c) 3 54 = 3, így a ( b ) srzat 8-adik tagja, és az összes eél agybb srszámú tagja sztható 54-gyel. 4. Egy dm ldalélű tömör kckát hárm vágással 8 egybevágó kckára váguk szét. A kaptt kckák midegyiké megismételjük az eljárást. Majd újból és újból a kaptt kis kckák midegyikéből 3 vágással 8 egybevágó kckát hzuk létre. a) Az ötödik elvágásk utá összese háy kis kckák lesz? b) Mekkra a térfgata az ötödik elvágáskr kaptt kis kckákak? Megldás: A kcka úgy vágható 3 vágással 8 egybevágó kckára, hgy először a kcka egyik lapjára merőlegese, a lap középvala meté vágjuk el, majd másdszrra ugyaeek a lapak a másik középvala meté ismét a lapra merőlegese vágjuk el, és végül e lappal párhuzamsa, e lapra merőleges lap középvala meté vágjuk el. a) Mide alkalmmal a már meglévő kckáik száma 8-szrsára váltzik, tehát az ötödik alkalmmal 8 5 = kis kckák lee. b) Az eredeti kcka térfgata 8 dm 3. Az ötödik alkalmmal kaptt kis kckák térfgata 8 8 = = 0,00044 (dm 3 ) lee Egy irdába az év végi prémiumkra frdítható teljes összeg millió frit. Az irda vezetője ragsrt készített azkról a mukatársairól, akikek prémiumt szerete adi. Úgy gdlta, hgy a ragsrba elsőkét állóak Ft -t ada, a másdik helytől kezdve pedig mide, a ragsrba szereplő dlgzó ugyaakkra összeggel, Ft -tal kapa kevesebbet, mit a ragsrba előtte álló dlgzó. a) Legfeljebb háy dlgzó eve szerepelhetett a ragsrba? b) Ilye mód legfeljebb mekkra összeget tudtt szétsztai? c) Mekkra összeget adj az első dlgzóak, hgy a teljes összeg kisztható legye? Megldás: a) Mivel az első Ft-t, és mide tvábbi Ft-tal kevesebbet kapa, tvábbá a ragsrba szereplő mide dlgzó kap prémiumt, ezért az utlsó is kapa legalább Ft-t, tehát legfeljebb 0 dlgzó eve szerepelhetett a listá.

8 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 8 b) Mivel = , így összese Ft-t tudtt szétsztai. Megjegyzés: Mivel mst még em akarjuk haszáli a számtai srzat összegképletét, ezért más módt alkalmazuk a következő kérdés megválaszlására. c) Az elsőek x Ft-t, a másdikak x 0 000, a harmadikak x 0 000, és így tvább, a tizedikek x Ft-t adva, ezek összege millió frit. 6 0 x ( ) = 0. Ebből x = Tehát a ragsr elsőjéek Ft-t kellee adia. 6. Egy kis bábut mzgatuk a krdiátasík. A bábu kezdő helyzetét megadó pt krdiátái ( ;0 ). Ie, az első lépésbe felfele (az y tegellyel párhuzamsa, pzitív iráyba) mzgatjuk egységgel, azutá jbbra (az x tegellyel párhuzamsa, pzitív iráyba) mzdítjuk el egységgel. A harmadik lépésbe felfele 3 egységgel, ezutá ismét jbbra 4 egységgel,és így tvább, midig váltakzva fel és jbbra, és mide lépésbe az elmzdulás agysága egységgel hsszabb a megelőző lépéséhez képest. a) Határzd meg, hgy a tizedik lépésbe hvá kerül a bábu! b) Az első 0 elmzdulás hsszáak mekkra az összege? c)* Add meg képlettel, hgy az -edik lépés utá ( pzitív egész számt jelöl) hgya számítható ki a bábu helyzetét megadó pt első krdiátája! d)* Add meg képlettel, hgy az -edik lépés utá ( pzitív egész számt jelöl) hgya számítható ki a bábu helyzetét megadó pt másdik krdiátája! Megldás: a) Az x tegellyel párhuzams elmzdulásk hssza redre, 4, 6, 8 és 0. Az y tegellyel párhuzams elmzdulásk hssza redre, 3, 5, 7 és 9. Mivel a bábu kezdetbe az ( ;0) krdiátájú ptba vlt, a tizedik lépésbe az ( ; ) +, azaz a ( ; 5) bábu. 3 krdiátájú ptba kerül a b) Az első tíz elmzdulás hsszáak összege: = 55, tehát 55 egység hsszú utat tett meg. A feladat c) kérdéséek megválaszlásáhz gyűjtseek tapasztalatt a taulók! Vizsgálják meg, hgy hgya számítható ki a pt első krdiátája,, 3, 4, 5, 6, stb. lépés

9 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 9 megtételekr! Ha már ismerik a taulók a számtai srzat összegképletét, akkr biztassuk őket, hgy zárt alakba is adják meg a kért krdiátákat. c)* A lépések száma: A pt első krdiátája: Azt tapasztaljuk, hgy ha párs szám (azaz = k, ahl k pzitív egész számt jelöl), akkr a pt első krdiátája: , azaz k. + k Zárt alakba + k = + k( k + ) = + + = Ha páratla szám (azaz = k +, ahl k természetes számt jelöl), akkr a pt első krdiátája: k. ( ) Zárt alakba + k ( k + ) = + + = d)*ha párs (azaz = k, ahl k pzitív egész számt jelöl), akkr a pt másdik krdiátája: ( ), azaz (k ). + (k ) Zárt alakba k = k =. 4 Ha páratla szám (azaz = k +, ahl k természetes számt jelöl), akkr a pt másdik krdiátája: (k + ). Zárt alakba + (k + ) ( + ) ( k + ) = ( k + ) = Egy családba hét gyermek va. A testvérek életkráak összege 63. A családba a gyerekek évete születtek. Háy évesek a gyerekek?

10 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 0 Megldás: Ha a gyerekek életkrát övekvő srredbe redezzük, a középsőtől való eltérés midkét iráyba ugyaayi, kettő többszöröse. Mivel a hét gyerek életkráak összege 63, a középső 9. A gyerekek tehát 3, 5, 7, 9,, 3 és 5 évesek. 8. Egy srzat első öt tagja ebbe a srredbe:,, 3, 4, 5. A srzat peridikus, a periódus hssza 5. Meyi az első 03 tag összege? Megldás: Az első 03 tagba a periódus 40-szer frdul elő, ezek összege 40 ( ) = 600. A 00-adik tagt követő hárm tag összege 6. Így az első 03 tag összege 606. Módszertai megjegyzés: Már itt érdemes lee megemlítei az általása is alkalmazható techikát : ha a középső gyerek (tag) életkra x, akkr a hét életkr felírható ( x 6), ( x 4), ( x ), x, ( x + ), ( x + 4), ( + 6) x alakba. Ezek összege 7 x = 63 x = Egy várs egyik lakójával közöltük egy hírt reggel 8 órakr, aki azal elmdta 3 emberek. Ezt követőe félórákét az úja megtudók midegyike 3, a hírt még em ismerővel közli azt. Háy, a hírt még em ismerő ember tudja meg a hírt 0-kr? Rajtuk kívül háya tudják összese a hírt 0 órakr? Megldás: Az időpt: A hírt úja megtudók száma: A hírt összese megismerők száma: 8 óra 3 +3 = 4 ½ 9-kr = 3 9 órakr = 40 ½ 0-kr = 0 órakr = Az alábbi srzatk közül melyek mt srzatk? A mt srzatkak milye a ( mtitása? 3 ) = + a ; ( ) = ( 3 ) b ; ( ) = ( 00 ( 3) ) c ; ( d ) = ( ) + ).

11 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató Megldás: 3 3 a = és a + =, és mivel midkét tört számlálója és evezője is pzitív, + + ekkr az azs számlálójú törtek közül az a agybb, amelyek a evezője kisebb, így a + < a mide pzitív egész eseté, tehát a srzat szigrúa csökkeő = 3 = < = b+ 9 9 b mide pzitív egész eseté, tehát a srzat szigrúa övő. c = 00 ( 3) = + 06 > ( + ) + 06 = + 04 = c+ mide pzitív egész eseté, tehát a srzat szigrúa csökkeő. d = ( ) + = +, ha páratla, a srzat em mt. +, ha párs. Az alábbi srzatk midegyike peridikus. Határzd meg a srzatk periódushsszát! π ( a ) = cs ; ( b ) = ( k 3), ahl k az szám 4-es maradéka; 3 ( c ) =, ahl az fks szöget jelöli. si + Megldás: Jelöljük a periódus hsszát p-vel. π π π π π π a = cs = cs( + p) = cs + p = cs + π, így π p 3 =, azaz p = 6. A srzat periódushssza 6. (Máskét: Ha az i bázisvektrt elfrgatjuk a 3 π pzitív egész többszöröseivel, akkr ptsa a hatdik elfrgatást követő mide hatdik frgatásál kapjuk vissza redre ugyaazkat az egységvektrkat. A b = k 3 srzat esetébe, mivel mide egyedik pzitív egész szám 4-es maradéka ugyaaz a szám, ezért a srzat periódushssza 4. A c = si + srzatba si = si ( + p) = si( + p) = = si( ), tehát p = 80. A srzat periódushssza 80.

12 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató II. SZÁMTANI? Eze a fglalkzás a feladatk a srzatk ábrázlására, és a számtai srzat defiíciójáak alkalmazására iráyulak. Legftsabb céluk a fgalm elmélyítése, a szöveg alapjá a mdell megalktása. A taulók még eze a fglalkzás is dlgzhatak párba, de bíztassuk őket az egyéi mukára! A feladatkat a megadtt srredbe célszerű kitűzi.. Egy bevásárlóközptba a kristálycukr ára 00 Ft/kg. Ha viszt az ugyalya miőségű cukrt 0 kg-s csmaglásba vesszük meg, akkr azért 900 Ft-t kell fizetük. A 0 kg-s csmaglásba árult cukr em btható meg. Tételezzük fel, hgy amikr csak lehet, midig élük az lcsóbb vásárlás lehetőségével. a) Meyibe kerül 3 kg cukr? b) Háy kg cukrt tuduk vásárli 9900 Ft-ért? c) Meyibe kerül kg cukr, ha 0-zel sztva 6 maradékt adó pzitív egész szám? d) Háy kg cukrt kapuk k Ft-ért, ha k 900-zal sztva 000 maradékt ad? Megldás: a) = 500 (Ft). b) 9900 = , ezért 5 kg-t tuduk vásárli. 6 c) Ha 0-zel sztva 6 maradékt ad, akkr darabt tuduk vei a 0 kg-s 0 6 csmagból. Eek az ára 900 Ft. Ki kell még fizetük a 6 kg cukrt, 0 amelyért 6 00 Ft-t fizetük. 6 Tehát az kg cukr ára összese , azaz Ft. 0 k 000 d) Mivel a k 900-zal sztva 000 maradékt ad, a egész szám adja meg, hgy 900 háy 0 kg-s csmagt tuduk vei. A femaradó 000 Ft-ért 5 kg cukr k 000 vásárlható, így összese 0 + 5, azaz 900 k kg cukrt kapuk k Ft-ért.. Számítsd ki a következő srzatk első öt elemét! ( ) = a ; ) ( lg ) ( = ; ( c ) ( ) ) b π = ; ( d ) = si( ).

13 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 3 Melyik srzat mt? Megldás: a =, a =, 4 a 3 =, 9 a 4 =, 6 Szigrúa csökkeő srzat, hisze a 5 =. 5 ( + ) < mide pzitív egész -re. b = 0, b =, lg3 b 3 = lg 3 = lg, 585, 4 = lg5 b és b 5 = lg 5 =, 3. lg Szigrúa övő srzat, mert c =, c = 4, c 3 = 8, c 4 = 6 és c 5 = 3 lg ( + ) > lg mide pzitív egész -re.. Nem mt srzat. d = 0, d =, d 3 = 0, d 4 = és d 5 = 0. Nem mt srzat. 3. Az alábbi srzatk közül válaszd ki azkat, amelyek grafikjáak mide ptja egyetle egyeesre illeszkedik! Add meg az egyeest egyeletével! ( ) ( a ) = 3 ; d ( ) ( ) ( ) = ) ; ( e ) = ( tgπ ) ; ( + ( ) 3) ( g ) =. Megldás: 0 ( b ) = ; ( c ) = () ; + 0,5 ( f ) = 5 ; + 0,5 Az ( a ) srzat grafikjáak mide ptja az y = 3x egyeletű egyeesre illeszkedik. Alakítsuk szrzattá a ( b ) srzat képletébe lévő tört számlálóját! 5 0 = 0 egyelet gyökei: és. A másdfkú kifejezés gyöktéyezős 5 alakja: ( + ), azaz ( 5)( + ). Így 0 ( 5)( + ) b = =. Mivel az utóbbi kifejezés mide pzitív egész + + -re 5 -tel egyelő, ezért b = 5. A ( b ) srzat grafikjáak mide ptja az y = x 5 egyeletű egyeesre illeszkedik.

14 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 4 A ( c ) srzat grafikjáak mide ptja rajta va az y = egyeletű egyeese. A hatváy azsságaiak alkalmazásával d = ( ) ( ) = ( ) =. A ( d ) srzat grafikjáak ptjai em illeszkedek egy egyeesre. (Máskét: d =, d =, d 3 =. Ha ábrázljuk a srzat első hárm tagját, akkr a 4 8 hárm pt em illeszkedik egy egyeesre, tehát ics lya egyees, amelye a srzat grafikjáak mide ptja rajta va. Mivel e = tg π = 0, a srzat grafikjáak mide ptja az y = 0 egyeletű egyeesre illeszkedik. 0,5 0,5 Mivel mide pzitív egész eseté f = 5 = 5 = 0, a ( f + ) srzat 0,5 0,5 0,5 grafikjáak mide ptja rajta va az y = 0 egyeletű egyeese. A g = + ( ) 3 = 3 7 srzat grafikjáak mide ptja illeszkedik az y = 3x 7 egyeletű egyeesre. 4. Adj meg képletével lya srzatt, amelyek grafikptjai váltakzva az y = 3x és y = 3x egyeletű egyeesre illeszkedek! Megldás: Pl. a = ( ) Dötsd el, hgy az alábbi srzatk közül melyek számtai srzatk! Állításdat idkld! a = ((8 3) si π ); ( ) = ( 6 3 ) ( ) ( d ) = ; Megldás: b ; ( ) = ( 3 ( )(3 + ) ) 3 4 ( e ) = ; c ; + 6 ( f = ). 3 Az ( a ) srzat mide tagja 0, mert si π = 0 mide pzitív egész szám eseté. Mivel mide kstas srzat számtai srzat, így ( a ) is az.

15 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 5 A ( b ) srzat első hárm tagja redre, 4, 6. A egyedik tagja 4. Aak, hgy egy srzat számtai srzat legye, szükséges feltétele, hgy a srzat mt legye. A srzat em mt, így em számtai srzat. c 3 = ( )(3 + ) = 5 +, és c + = 5( + ) + = Mivel mide pzitív egész szám eseté c + c = 5, így ( c ) számtai srzat. A d = = képlettel megadható srzat első hárm tagja redre:, ,. Mivel, így a srzat em számtai srzat Az e = = 4 képletű srzat számtai srzat, mivel bármelyik két szmszéds tagjáak külöbsége álladó, 4. Az + 6 ( f = ) srzat kstas srzat, mert mide pzitív egész -re = = 36, így számtai srzat. 6. Képezzük az ( ) ( ) a = srzat tagjaiból a következőképpe egy újabb b ) srzatt: Legye b = a a, b = a3 a, és így tvább, tehát b = a+ a mide pzitív egész szám eseté. Igazld, hgy ( b ) számtai srzat! Megldás: Mivel a + = ( +) és a =, így b = ( + ) = + (. Ez a srzat pedig számtai srzat, hisze tagjai 3-tól kezdve redre az egymást követő páratla számk. 7. Képezzük az ( a ) ( 3 ) ( = srzat tagjaiból egy újabb c ) srzatt úgy, hgy c ) = (lg a ) legye. Igazld, hgy c ) számtai srzat! Megldás: ( Az ( a ) srzat mide tagja pzitív, tehát képezhetjük mide tagjáak a -es alapú lgaritmusát. A lgaritmus azsságaiak felhaszálásával adódik, hgy (

16 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 6 c + = lg 3 = lg 3. Mivel c + = lg 3 + +, így c + c = mide pzitív egész eseté, tehát ( c ) számtai srzat. A következő feladatk aak felismerését segítik elő, hgy ameyibe ismerjük egy számtai srzat páratla számú egymást követő tagjáak összegét, akkr célszerű ezeket a tagkat a középső tag és a differecia függvéyébe felíri. 8. Egy számtai srzat első hét tagjáak összege 84. Mekkra a srzat egyedik tagja? Megldás: Ha a srzat egyedik tagját a-val, a differeciáját d-vel jelöljük, akkr a számtai srzat defiíciója szerit a srzat első hét tagja: a 3d; a d; a d; a 3 d; a d; a d; a; a + d; a + d; a + 3d 7 a = 84, így a =. A srzat egyedik tagja.. E hét tag összege 7 a, és a feltétel szerit 9. Egy derékszögű hármszög ldalaiak hssza egy számtai srzat hárm szmszéds tagja. A hármszög kerülete egység. Mekkra a hármszög területe és a körülírt köréek sugara? Megldás: Ha a hármszög hsszabb befgójáak hsszát a-val jelöljük, az átfgóét pedig a + d -vel, akkr a rövidebb befgó hssza a d és 0 < d < a. A hármszög kerülete egység, így 3 a =, azaz a = 7 7 d és 7 + d hsszú.. A másik két ldala tehát Pitagrasz tételét alkalmazva a derékszögű hármszögre: + d) = 7 + (7 ). ( 7 d 7 35 Ebből d =. A hármszög befgóiak hssza és 7 egység, az átfgóé pedig egység. A hármszög területe: 47 = 8, 375 (területegység). Körülírt köréek sugara az átfgó 8 hsszáak felével egyelő, így 35 = 4, 375 (egység) Egy hármszög ldalaiak hssza egy számtai srzat hárm szmszéds tagja. A há- rmszög egyik szöge 0 -s. Mekkrák a hármszög hegyesszögei?

17 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 7 Megldás: Jelöljük a hármszög két ldal hsszát pedig a-val és leghsszabb ldalára a ksziusztételt: ( 0 -s szöggel szemközti ldaláak hsszát a + d -vel, a másik a + d) = a + ( a d) a( a d)cs0. 5 Ebből 5ad = a adódik, és mivel 0 < a, így a = d. A hármszög ldalaiak hssza övekvő srredbe: a d -vel, ahl 0 < d < a. Alkalmazzuk a hármszög 3 d 5, d 7, d. A feltételek eleget tevő hármszögek haslóak, ldalaik hssza em határzható meg egyértelműe, de hegyesszögei ige. A hármszög legkisebb szögét α -val jelölve, a sziusztétel szerit,5d siα = 3,5d si0 3 3, azaz siα = 0, 37, és mivel α 4 hegyesszög, így α,8. A hármszög másik hegyesszöge β 38,..* Igazld, hgy a égyzete kívül ics lya derékszögű trapéz, amelybe az egymáshz csatlakzó ldalak hssza egy számtai srzat egymást követő tagjai! Megldás: A külöböző ldalú téglalap egymáshz csatlakzó ldalaiak hssza em lehet egy számtai srzat égy egymást követő tagja. Vizsgáljuk azkat a derékszögű trapézkat, amelyek em téglalapk. Az ilye trapézk ldalhsszai külöbözőek. Legye a hsszabbik párhuzams ldal a. Az ábra jelöléseit alkalmazva c < a és d < b. Ezekek a feltételekek eleget téve, a trapéz egymáshz csatlakzó ldalaiak hssza pl. szigrúa övekvő srredbe kétféle lehet: I. c < d < a < b II. d < c < b < a I. Feltételezve, hgy va ilye derékszögű trapéz, eek ldalait a következőképpe jelölhetjük ( 0 < d ):

18 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 8 II. Az ábrá a trapéz magasságáak megrajzlásával kaptt derékszögű hármszög befgóiak hssza x és d. Az x, d, x + d hsszú szakaszkra em teljesülek a hármszög-egyelőtleségek, így ezek em lehetek egy hármszög ldalhsszai. Ez pedig azt jeleti, hgy ics ilye derékszögű trapéz. d < c < b < a Ekkr bevezethetjük az ábra szeriti jelölést. Ismét húzzuk meg a trapéz magasságát, az így létrejött derékszögű hármszög befgóiak hssza y d és d. Mivel a hármszög átfgója a feltételezés szerit y + d, mst is azt kaptuk, hgy a hármszög-egyelőtleség em teljesül, így ilye derékszögű hármszög, és ebből adódóa ilye ldalhsszúságú trapéz sics. Ezzel bizyítttuk a feladat állítását.

19 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 9 III. LÉPJÜNK EGYET-KETTŐT! A számtai srzat defiíciójáak, tagjai képzési szabályáak és az első valaháy tag összegképletéek ismeretébe már csak aak elérése a feladatuk, hgy a taulók felismerjék, az egyes esetekbe melyik ismeretet célszerű alkalmazi. A taári tapasztalat szerit a taulók egy része eheze ismeri fel a szöveges feladatkba, hgy a kérdés a srzat -edik tagjáak, vagy az első tag összegéek meghatárzására iráyul-e. Érdemes szöveggel megadtt srzat esetébe miél többször rákérdezi midkét adatra. Eze a fglalkzás már célszerű a taulókat öállóa dlgztati.. Egy mzi húsz sra közül a legelső 5 férőhely va, és mide következő srba eggyel több, mit az előtte lévőbe. a) Háy férőhely va az utlsó srba? b) Háya lehetek a mziba szmbat este a teltházas előadás alatt? Az egyik délutái előadásra 400 éző ült be a mziba. Az első sr közepé ember ült, a másdik srba valameyivel több, és ez így met tvább, mide srba ugyaayival több ember fglalt helyet, mit az azt megelőző srba. c) Háy ember ült a másdik srba? Az esti előadás teltházas vlt. Az első 5 srba lévő helyek jegyára egységese 600 Ft vlt, a 6. srtól a 5. srig bezárólag mide jegy ára 800 Ft, míg az utlsó 5 sr bármelyik helyére szóló jegy 000 Ft-ba került. d) Eze az előadás meyi vlt a mzi fetartójáak a bevétele a jegyek árából? Megldás: A ézőtér sraiba lévő férőhelyek száma redre egy számtai srzat egymást követő húsz tagja. a) a = , tehát 34 hely va az utlsó srba. 0 = b) S 0 = 0 = 490, így 490 férőhely va a mziba. c) Egy számtai srzat első tagja és az első húsz tag összege ismert: a =, S 0 = 400. A srzat differeciájáak a meghatárzása a feladat. + 9d Mivel a0 = + 9d, így 400 = 0. Ebből d =. A másdik srba 3 ember ült.

20 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 0 d) A számtai srzat első tagja 5, differeciája. A 600 Ft-s jegyből ayit adtak el, 5 + (5 + 4) ameyi a srzat első 5 tagjáak összege: S 5 = 5 = 85. A 800 Ft-sból pedig ayit, ameyi az S5 S5. Mivel a 5 = = 9, így S 5 = 5 = 330. Ebből a jegyből = 45 darabt adtak el. Az 000 Ft-s jegyből = 60 darab kelt el. Mivel = , így a bevétel a jegyek árából Ft vlt.. Egy étterembe az egyik plc díszítő elemkét pharakat raktak ki a következőképpe: A legalsó srba szrsa egymás mellé helyeztek valameyi pharat. A másdik srba úgy rakták el a pharakat szrsa egymás mellé egy srba, hgy az alsó sr bármelyik két szmszéds phara tarttt egy másdik srba lévő pharat. Így flytatták tvább a pharak elredezését, míg végül a legfelső srba phár került. a) Háy pharat raktak a legalsó srba, ha összese 8 srt alakítttak ki? b) Meyibe került ez a díszítő elem, ha egy phár agykereskedelmi ára 50 Ft vlt? Megldás: A díszítő elem egyes sraiba lévő pharak száma redre egy lya számtai srzat egymást követő tagjaiak tekithetők, amelyek az első tagja és a differeciája is. a) A srzat 8-adik tagja 8, így az alsó srba 8 pharat raktak. b) A kérdés megválaszlásáhz meg kell határzuk a számtai srzat első 8 tag- + 8 jáak összegét. Mivel S 8 = 8 = 7, így összese 7 pharat haszáltak fel, amelyek ára összese 7 50 = 8550 (Ft) vlt. 3. Istvá elhatárzta, hgy mide reggel trázik, mert szereté a karizmait erősítei. Az első apt 0 fekvőtámasszal kezdte. Köye met, így elhatárzta, hgy a következő ap többet fg, sőt mide ap ugyaayival többet, mit a megelőző ap. Rögtö el is mesélte a húgáak a tervét, aki kievette: Ide figyelj! Ha téyleg mide ap eyivel több fekvőtámaszt akarsz csiáli, akkr tudd, hgy a 30-adik ap már 55 fekvőtámasszal kezdheted a apt? Nem lesz ez sk egy kicsit? Meyivel szerette vla öveli Istvá apta a fekvőtámaszai számát?

21 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató Megldás: A apta végrehajttt fekvőtámaszk száma redre egy számtai srzat egymást követő tagjai. A srzat első tagja 0, a 30-adik tagja 55. A srzat differeciáját kell meghatárzuk. A 55 = 0 + 9d egyelet megldása d = 5. Istvá 5-tel szerette vla megöveli a fekvőtámaszai számát. 4. Háy pzitív tagja va az ( a ) = ( ) srzatak? Megldás: A > 0 egyelőtleség pzitív egész megldásait keressük. A má- sdfkú kifejezés értéke ptsa akkr 0, ha = 6 vagy = 4. A srzat grafikjáak mide ptja illeszkedik a valós számk halmazá értelmezett f ( x) = x + 0x 84 függvéy grafikjára. Ez a másdfkú függvéy szigrúa ő a ] ;0 ] itervallum, és szigrúa csökke a [ ;+ [ 0 itervallum, tvábbá a két zérushelye közötti számkra pzitív az értéke. Ebből adódik, hgy srzatak hét tagja pzitív, mégpedig a 7-edik tagtól kezdve a 3-adik taggal bezárólag. 5. Egy szigrúa csökkeő számtai srzat első 5 tagjáak az összege megegyezik az első 6 tagjáak összegével. Háy pzitív tagja va a srzatak? Megldás: A feladat feltételéből következik, hgy a számtai srzat 6-dik tagja ulla. Mivel a srzat szigrúa csökkeő, így az első 5 tagja pzitív. 6. Egy ylcszög legkisebb szöge 5,5 -s. Ebből a szögből kiidulva a ylcszög egymást követő belső szögeiek fkba mért értékei egy számtai srzat egymást követő tagjai. Mekkrák a ylcszög szögei? Rajzlj le egy ilye ylcszöget! Megldás: A ylcszög belső szögeiek összege srzat differeciáját d-vel jelölve, a srzat ylcadik tagja egymást követő tagjáak összege ,5 + 7d Az 080 = 8 egyelet megldása: d = 37. A ylcszög belső szögei redre: 64,5. 5,5, 4,5, 080. A számtai srzat első tagja 5,5. A 79,5, 6,5, 53,5, 5,5 + 7d, és a ylc 90,5, 7,5 és

22 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató A ylcszög vázlats képe: 7. Ha egy számtai srzat első öt tagját összeadjuk, akkr 5-öt kapuk. Ha viszt a srzat öt egymást követő tagját a másdik tagjától kezdve adjuk össze, akkr 35-öt kapuk. Számítsd ki a számtai srzat első hat tagját! Megldás: Az első öt tag összege 5, így a harmadik tag 5. Mivel a másdik tagtól kezdve ismét öt tag összege 35, és eek az öt tagak a középső tagja a srzat egyedik tagja, tehát a egyedik tag 7. A srzat differeciája tehát. A srzat első hat tagja:, 3, 5, 7, 9, cédulára egyekét felírtuk az első 000 pzitív egész számt. A cédulákat két dbzba szétraktuk. Összeadtuk az egyik, illetve a másik dbzba került számkat. Melyik állítás igaz? A: Lehet, hgy az egyik összeg huszötszöröse a másikak. B: Lehet, hgy az egyik összeg ylcszrsa a másikak. C: Lehet, hgy az egyik összeg tízszerese a másikak. D: Lehet, hgy a két összeg azs. Megldás: A D állítás igaz A cédulákra felírt számk összege 000 = Az A, a B és C állításk egyike sem igaz, mert a teljesülésükek szükséges feltétele, hgy a teljes összeg 6-tal, vagy 9-cel, vagy -gyel sztható legye. Az összeg ezek közül egyik számmal sem sztható. Viszt mivel az összeg párs, így lehet, hgy a két összeg azs. Meg is valósítható pl. úgy, hgy az -től az 45-ig számkkal elláttt cédulákat tesszük az egyik dbzba kivéve az 30-at, mert S 30 = ; a többit a másikba. 45 =

23 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 3 9. Egy társaság egy új kártyajátékt játszik. A játékhz 3 csmag magyar kártyára va szükség. (Egy csmag magyar kártyába 3 lap va.) A lapk kisztása a következőképpe törtéik: Az sztó az első játéksak ayi kártyalapt szt, aháy játéks részt vesz a játékba. A következőek 4-gyel többet, és srba mide játéksak 4-gyel többet szt ki, mit az őt megelőzőek. Így, mikr az utlsó játéks, az sztó is megkapja a lapjait, mide lap kisztásra kerül. Háy játéks vesz részt a játékba? Megldás: Jelöljük a játéksk számát -el. A játékskak kiszttt lapk száma redre lya számtai srzat szmszéds tagjai, amelyek a differeciája 4, az első tagja + 4( ) pedig. A srzat tagjáak összege 96. Tehát 96 =, azaz 3 96 = 0. Eek a másdfkú egyeletek egyetle pzitív megldása a 6. A játékba 6 játéks vesz részt. 0. Az ( ) = (( )( + 3) ( 4)( + ) ) a srzatak az első tagtól kezdve legfeljebb háy tagját adhatjuk össze, hgy az összeg millióál kisebb legye? Megldás: a = ( )( + 3) ( 4)( + ) = 3 +. A srzat első tagja 5, differeciája 3, az első tag összege S 5 + 3( ) =. Jelölje azkak a tagkak a számát, amelyek összege még kisebb millióál. Ekkr 5 + 3( ) < 0 6 6, azaz < 0. A másdfkú egyelőtleség pzitív egész megldásait keressük. A valós számk halmazá értelmezett = x + x 6 f ( x) függvéy zérushelyei közül az egyik egatív szám, a másik pedig kb. 445,99. A két zérushely között a függvéy mide értéke egatív, a pzitív zérushely utái számk halmazá pedig a függvéy szigrúa övő, így az < 0 egyelőtleség megldásai -től 445-ig a pzitív egész számk. Tehát legfeljebb az első 445 tag összege lesz millióál kisebb.. Egy számtai srzat első tagja 3, differeciája 4. A srzat első k tagjáak összege hármjegyű, az első k + tagjáak összege pedig már égyjegyű szám. Mekkra pzitív egész számt jelöl a k?

MATEMATIKA I. FEKETE MÁRIA. PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM POLLACK MIHÁLY MŰSZAKI KAR MATEMATIKA TANSZÉK feketemt@witch.pmmf.hu

MATEMATIKA I. FEKETE MÁRIA. PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM POLLACK MIHÁLY MŰSZAKI KAR MATEMATIKA TANSZÉK feketemt@witch.pmmf.hu MATEMATIKA I. FEKETE MÁRIA PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM POLLACK MIHÁLY MŰSZAKI KAR MATEMATIKA TANSZÉK feketemt@witch.pmmf.hu 007 PMMANB3 Matematika I. RÉSZLETES TANTÁRGYPROGRAM Hét Ea/Gyak./Lab.. 3 óra előadás

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET C

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET C MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET C Matematika 11. évflyam TANULÓK KÖNYVE Készítette: Kvács Kárlyné A kiadvány KHF/457-7/009. engedélyszámn 009.05.1. időpnttól tankönyvi engedélyt kaptt Educati Kht. Kmpetenciafejlesztő

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy KHF/438-3/008. egedélyszámo 008..0. időpottól taköyvi egedélyt kapott Educatio Kht. Kompeteciafejlesztő oktatási program kerettaterv

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy a Nemzeti Fejlesztési Terv Humáerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3... közpoti program (Pedagógusok és oktatási szakértők

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 091 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Dr. Fried Katalin Dr. Gerőcs László Számadó László

Dr. Fried Katalin Dr. Gerőcs László Számadó László Dr Fried Katalin Dr Gerőcs László Számadó László MATEMATIKA 9 A tankönyv feladatai és a feladatk megldásai A megldásk lvasásáhz Acrbat Reader prgram szükséges, amely ingyenesen letölthető az internetről

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

2. modul Gazdasági matematika

2. modul Gazdasági matematika Matematika A. évfolyam. modul Gazdasági matematika Készítette: Lövey Éva Matematika A. évfolyam. modul: GAZDASÁGI MATEMATIKA Taári útmutató A modul célja Időkeret Ajálott korosztály Modulkapcsolódási potok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT MATMATIKA ÉRTTSÉGI 011. május 3. KÖZÉPSZINT 1) gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6 b b 36 6 I. Az egyszerűsítés utáni alak: b 6 Összesen: pont ) A, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA

Dr`avni izpitni center MATEMATIKA Dr`avni izpitni center *P05C10113M* ŐSZI IDŐSZAK MATEMATIKA ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 005. augusztus 9., hétfő SZAKMAI ÉRETTSÉGI VIZSGA RIC 005 P05-C101-1-3M ÚTMUTATÓ a szakmai írásbeli érettségi vizsga feladatainak

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 11 ÉRETTSÉGI VIZSGA 01. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: 1.

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok...

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok... Tartalomjegyzék 1. Bevezető... 1.1. A Fiboacci számok és az araymetszési álladó... 1.. Biet-formula...3 1.3. Az araymetszési álladó a geometriába...5. Probléma megfogalmazása...8 3. Iformatikai módszer...8

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 063 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 131 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. október 15. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1414 ÉRETTSÉGI VIZSGA 014. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

1/5. Hirdetmény. Akciók kondíciói. 1/2010.03.23 Eszköz Forrás Bizottsági határozattal elfogadva, érvényes 2010.04.01-től A JÖVŐRE TERVEZVE!

1/5. Hirdetmény. Akciók kondíciói. 1/2010.03.23 Eszköz Forrás Bizottsági határozattal elfogadva, érvényes 2010.04.01-től A JÖVŐRE TERVEZVE! 1/5 Hirdetmény Akciók kndíciói 1/2010.03.23 Eszköz Frrás Bizttsági határzattal elfgadva, érvényes 2010.04.01-től A JÖVŐRE TERVEZVE! 2/5 Fókusz Takarékszövetkezet Lakssági akciós betétek 1. Hárm hónaps,

Részletesebben

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita A Ve-Euler- diagram és a logikai szita Ebbe a részbe a Ve-Euler diagramról, a logikai szitáról, és a két témakör kapcsolatáról íruk, számos jellemző, megoldott feladattal szemléltetve a leírtakat. Az ábrákak

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2008. május 6. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0511 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 081 É RETTSÉGI VIZSGA 009. október 0. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ P R Ó B A É R E T T S É G I 0 0 4. m á j u s MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a

Részletesebben

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek

25. Matematikai logika, bizonyítási módszerek 5. Matematikai logika, bizoyítási módszerek I. Elméleti összefoglaló Logikai műveletek A matematikai logika állításokkal foglalkozik. Az állítás (vagy kijeletés) olya kijelető modat, amelyről egyértelműe

Részletesebben

Telex: 22-4399 1725 Budapest, Pf. 16. Telefon: 278-200

Telex: 22-4399 1725 Budapest, Pf. 16. Telefon: 278-200 Telex: 22-4399 725 Budapest, Pf. 6. Telefn: 278-200 DS 868 KÖZVETETT CSATLAKOZTATÁSÚ YOMTATOTT ÁRAMKÖRI CSATLAKOZÓ SOROZAT (THOMSO-CSF/SOCAPEX licenc) Az elektrnikai alkatrészek és részegységek közpnti

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 111 É RETTSÉGI VIZSGA 011. október 18. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1313 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

16. Sorozatok. I. Elméleti összefoglaló. A sorozat fogalma

16. Sorozatok. I. Elméleti összefoglaló. A sorozat fogalma 16. Sorozatok I. Elméleti összefoglaló A sorozat fogalma Sorozatnak nevezzük az olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza. Számsorozat olyan sorozat, amelynek értékkészlete

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA Név:... osztály:... ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2006. május 9. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0813 ÉRETTSÉGI VIZSGA 008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK FIZIKA. kétszintű érettségire felkészítő. tanfolyamhoz

MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK FIZIKA. kétszintű érettségire felkészítő. tanfolyamhoz MÉRÉSMETODIKAI ALAPISMERETEK a FIZIKA kétszitű érettségire felkészítő tafolyamhoz A fizika mukaközösségi foglalkozásoko és a kétszitű érettségi való vizsgáztatásra felkészítő tafolyamoko 004-009-be elhagzottak

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0711 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Sok sikert és jó tanulást kívánok! Előszó

Sok sikert és jó tanulást kívánok! Előszó Előszó A Pézügyi számítások I. a Miskolci Egyetem közgazdász appali, kiegészítő levelező és posztgraduális kurzusai oktatott pézügyi tárgyak feladatgyűjteméyéek az első darabja. Tematikája elsősorba a

Részletesebben

Azonosító jel: ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. Időtartam: 45 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

Azonosító jel: ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. Időtartam: 45 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika középszint írásbeli vizsga I. összetevő

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. február 21. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 063 MATEMATIKA KÖZÉPSZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

Az alábbiakban összefoglaljuk az idei évben elfogadott - főként a jövő évet érintő - adóváltozásokat.

Az alábbiakban összefoglaljuk az idei évben elfogadott - főként a jövő évet érintő - adóváltozásokat. Tisztelt Ügyfelünk! Az alábbiakban összefglaljuk az idei évben elfgadtt - főként a jövő évet érintő - adóváltzáskat. I. AZ ÁLTALÁNOS FORGALMI ADÓT ÉRINTŐ VÁLTOZÁSOK Időszaks elszámlású ügyletek Időszaks

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 061 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges.

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges. ERMODINMIK I. FÉELE els eergia: megmaraó meyiség egy izolált reszerbe (eergiamegmaraás törvéye) mikroszkóikus kifejezését láttuk Izolált reszer falai: sem mukavégzés sem a reszer állaotáak mukavégzés élküli

Részletesebben

1/5. Hirdetmény. Akciók kondíciói. 3/2010. Eszköz Forrás Bizottsági határozattal elfogadva, érvényes 2010.02.23-tól A JÖVŐRE TERVEZVE!

1/5. Hirdetmény. Akciók kondíciói. 3/2010. Eszköz Forrás Bizottsági határozattal elfogadva, érvényes 2010.02.23-tól A JÖVŐRE TERVEZVE! 1/5 Hirdetmény Akciók kndíciói 3/2010. Eszköz Frrás Bizttsági határzattal elfgadva, érvényes 2010.02.23-tól A JÖVŐRE TERVEZVE! 2/5 Fókusz Takarékszövetkezet Lakssági akciós betétek 1. Hárm hónaps, váltzó,

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

LOGO-VIR Oktatási terv. Pécs Megyei Jogú Város Önkormányzata Kontrolling (vezetői információs) rendszer oktatási terve

LOGO-VIR Oktatási terv. Pécs Megyei Jogú Város Önkormányzata Kontrolling (vezetői információs) rendszer oktatási terve PMJVÖ Kntrlling (vezetői infrmációs) rendszer LOGO-VIR Oktatási terv Pécs Megyei Jgú Várs Önkrmányzata Kntrlling (vezetői infrmációs) rendszer ktatási terve Daten-Kntr Számítástechnikai Fejlesztő és Szlgáltató

Részletesebben

Kutatási gyorsjelentés Zugló közbiztonságának megítélése. "Egy jó szó Zuglóban" 2013. április

Kutatási gyorsjelentés Zugló közbiztonságának megítélése. Egy jó szó Zuglóban 2013. április Kutatási gyrsjelentés Zugló közbiztnságának megítélése "Egy jó szó Zuglóban" 2013. április 1 Bevezető, módszertani kérdések A Strategplis Kft. telefns kérdőíves közvélemény-kutatást végzett a Budapest

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

KÍNÁBÓL MEGRENDELT ÉS ELŐRE

KÍNÁBÓL MEGRENDELT ÉS ELŐRE EASTINFO SZOLGÁLTATÓ ÉS KERESKEDELMI KFT. AZ ÖN PARTNERE KÍNÁBAN KÍNÁBÓL MEGRENDELT ÉS ELŐRE KIFIZETETT ÁRU MINŐSÉGHIBA MIATTI KÁRTÉRÍTÉSI ELJÁRÁSA ESETTANULMÁNY 2006/01 Budapesti Irda: Budapest H-1146

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

HIRDETMÉNY. a teljes hiteldíj mutató számításáról ANNOUNCEMENT

HIRDETMÉNY. a teljes hiteldíj mutató számításáról ANNOUNCEMENT HIRDETMÉNY a teljes hiteldíj mutató számításáról ANNOUNCEMENT n the calculatin f the annual percentage rate f charge Kihirdetve: Budapest, 2015. február 10. Prmulgated n: 10th February 2015 1 Tisztelt

Részletesebben

1. Bevezetés... 3 2. Partner ablak... 4 2.1. Fülek értelmezése... 5 o Lekérdezés fül... 5 o Személy fül... 7 o Telefonszám fül... 8 o Jármű fül...

1. Bevezetés... 3 2. Partner ablak... 4 2.1. Fülek értelmezése... 5 o Lekérdezés fül... 5 o Személy fül... 7 o Telefonszám fül... 8 o Jármű fül... CRM mdul 1 1. Bevezetés... 3 2. Partner ablak... 4 2.1. Fülek értelmezése... 5 Lekérdezés fül... 5 Személy fül... 7 Telefnszám fül... 8 Jármű fül... 9 Új gépjármű rendelés fül... 9 Használt gépjármű rendelés

Részletesebben

Csökkentsük együtt a csomagolási hulladék mennyiségét!

Csökkentsük együtt a csomagolási hulladék mennyiségét! Csökkentsük együtt a csmaglási hulladék mennyiségét! Gyakrta úgy gndljuk, hgy mindennapi adminisztratív feladataink srán nem beszélhetünk erős környezeti hatáskról. Valójában ezekhez a mindennapi tevékenységekhez

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

VERSENYFELADATOK 5 12. évfolyam részére I. FELADATSOR

VERSENYFELADATOK 5 12. évfolyam részére I. FELADATSOR VERSENYFELADATOK 5 12. évfolyam részére I. FELADATSOR 5. osztály 1. Az ötödik osztályban 13 fiúból négy szemüveges. A lányok harmada visel szemüveget. Összesen nyolc szemüveges van az osztályban. Mennyi

Részletesebben

Matematika kisérettségi

Matematika kisérettségi Matematika kisérettségi 2010. május 11. I. rész Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 30 percet fordíthat, az idő elteltével a munkát be kell fejeznie. 2. A megoldások sorrendje tetszőleges. 3.

Részletesebben

SZERVEZETT KÉPZÉSEINK

SZERVEZETT KÉPZÉSEINK SZERVEZETT KÉPZÉSEINK Jelentkezési határidő: 2013. augusztus 23. Isklarendszerű, esti tagzats OKJ-s szakképzéseink telephelyenként: Tvábbi infrmáció és jelentkezés: Árpád-házi Szent Pirska Szakképző Iskla

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz Gedeon Veronika (Budapest) A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. május 5. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika középszint

Részletesebben

1. Eredmények összehasonlítása elemzések 2. A Lantegi skála, pontozás; A személy profilja 3. A személy profilja

1. Eredmények összehasonlítása elemzések 2. A Lantegi skála, pontozás; A személy profilja 3. A személy profilja ÖSSZESÍTÉS az OFA-FSZF 10121-2010/23 számú prgramról A fgyatéks személyek részére szciális intézményi ellátást nyújtó nem állami, nem egyházi fenntartók tevékenységének támgatására A prjekt keretében megvalósíttt

Részletesebben

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont)

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont) 1997 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok 1. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 3 2 x 1 2 2 x 1 + 2 2x 1 3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 7. KÖZÉPSZINT 1) Az A és B halmazokról tudjuk, hogy B\ A 1; ; 4; 7. Elemeinek felsorolásával adja meg az A halmazt! A ; 5; 6; 8; 9 I. AB 1; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9 és ) Egy

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Egyéni álláskeresési tanácsadás a Pro-Team Nonprofit Kft.-nél

Egyéni álláskeresési tanácsadás a Pro-Team Nonprofit Kft.-nél Egyéni álláskeresési tanácsadás a Pr-Team Nnprfit Kft.-nél 1. A szlgáltatás átfgó és peratív célja A Pr-Team Nnprfit Kft. megváltztt munkaképességű munkavállalókat fglalkztató cég, ahl a tranzitfglalkztatás,

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

2. A számítógépes hálózatok előnyei 2.1. Elektronikus üzenetek, levelek, fájlok küldésének lehetősége o

2. A számítógépes hálózatok előnyei 2.1. Elektronikus üzenetek, levelek, fájlok küldésének lehetősége o http://fariblghu.wrdpress.cm/2011/12/31/final-exam-tpics-it/ http://fariblghu.wrdpress.cm 1. Mit nevezünk számítógépes hálózatnak Az egymástól térben elválaszttt számítógépek összekapcslását jelenti. E

Részletesebben

Kombinatorikus optimalizálás jegyzet TARTALOM

Kombinatorikus optimalizálás jegyzet TARTALOM Kmbatrkus ptmalzálás egyzet az elıadás és a kadtt szakrdalm alapá Készítette: Schmdt Péter Alk. Mat., II. évf. 00-0 TARTALOM KOMBINATORIKUS OPTIMALIZÁLÁS... HALMAZOK... Halmaz lefedése... Sperer-redszerek...

Részletesebben

Vízgyűjtő-gazdálkodási Terv - 2015 A Duna-vízgyűjtő magyarországi része. 1-1. háttéranyag: Felszíni víztestek kijelölésének felülvizsgálata

Vízgyűjtő-gazdálkodási Terv - 2015 A Duna-vízgyűjtő magyarországi része. 1-1. háttéranyag: Felszíni víztestek kijelölésének felülvizsgálata Vízgyűjtő-gazdálkdási Terv - 2015 A Duna-vízgyűjtő magyarrszági része 1-1. háttéranyag: Felszíni víztestek kijelölésének felülvizsgálata Felszíni víztestek kijelölése Módszertan Vízflyás víztestek felülvizsgálata

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

HosszútávúBefektetések Döntései

HosszútávúBefektetések Döntései VállalatgadaságtaII. HossútávúBefektetések Dötései Előadó: Koma Tímea Tatárgyfelelős: Dr. Illés B. Csaba 27. November 9. A hossútávúbefektetések sajátosságai Rövidebb időre sóló befektetés hossabb időtávra

Részletesebben

Növekedési Hitelprogram

Növekedési Hitelprogram Növekedési Hitelprgram A DUNA TAKARÉK BANK Zrt-nél is igénybe vehető a Magyar Nemzeti Bank (MNB) által létrehztt Növekedési Hitelprgram (NHP) knstrukció. A Magyar Nemzeti Bank 2013. június elején indíttta

Részletesebben

MEGBÍZÁS TÍPUSOK LIMITÁRAS MEGBÍZÁS (LIMIT VAGY LIMIT ORDER)

MEGBÍZÁS TÍPUSOK LIMITÁRAS MEGBÍZÁS (LIMIT VAGY LIMIT ORDER) MEGBÍZÁS TÍPUSOK LIMITÁRAS MEGBÍZÁS (LIMIT VAGY LIMIT ORDER) A limitáras megbízás leírása Limitáras megbízás esetén egy előre meghatárztt árflyamt adunk meg, és megbízásunk csak ezen a limitárn vagy annál

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor 6. Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Az AXA Bank Europe SA Magyarországi Fióktelepe az AXA Bank Europe SA törvényes képviselője által nyújtott lakásvásárlási kölcsönök különös feltételei

Az AXA Bank Europe SA Magyarországi Fióktelepe az AXA Bank Europe SA törvényes képviselője által nyújtott lakásvásárlási kölcsönök különös feltételei Az AXA Bank Eurpe SA Magyarrszági Fióktelepe az AXA Bank Eurpe SA törvényes képviselője által nyújttt lakásvásárlási kölcsönök különös feltételei Hatálys 2011. december 15-től a hivatalsan közzétett váltztatásig

Részletesebben