MATEMATIKA C 12. évfolyam 1. modul Sorban, egymás után

Átírás

1 MATEMATIKA C. évflyam. mdul Srba, egymás utá Készítette: Kvács Kárlyé

2 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató A mdul célja Időkeret Ajáltt krsztály Mdulkapcslódási ptk Srzat fgalma, ábrázlása, evezetes srzatkkal való megismerkedés. A mideapi életbe előfrduló gazdasági matematika kérdések megválaszlása. A bakk reklámszövegeiek értelmezése. 5 fglalkzás (5 45 perc). évflyam Tágabb köryezetbe: Szűkebb köryezetbe: Függvéyek ábrázlása, százalékszámítás, Ajáltt megelőző tevékeységek: Területszámítás A képességfejlesztés fókuszai Ajáltt követő tevékeységek: Taévvégi ismétlés Szövegértés, szövegértelmezés, deduktív és iduktív következtetés, kmbiativitás, prblémaérzékeység, összefüggések felismerése, meyiségi következtetés AJÁNLÁS A középisklás matematika taayag témakörei közül talá a srzatkak va a legtöbb gyakrlati alkalmazási területe. Elsősrba a pézbefektetésre, kölcsö felvételre, biztsításra, reklámszövegek értelmezésére gdluk. A 8 éves krú fiatalkak el kell tudi igazdiuk ezeke a területeke. Természetese a mdul a délelőtti matematika órá tault ismeretek elmélyítését is szlgálja. A cél az, hgy a taulókat eljuttassuk a srzatk tulajdságaiak, a számtai és mértai srzat defiíciójáak, és a rájuk vatkzó összefüggésekek alaps és alkalmazásra érett ismeretéhez. A MODUL FOGLALKOZÁSAINAK JAVASOLT SORRENDJE. fglalkzás: Kezdőlépések. fglalkzás: Számtai? 3. fglalkzás: Lépjük egyet-kettőt! 4. fglalkzás: Mértai? 5. fglalkzás: Tudáspróba

3 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 3 MODULVÁZLAT Lépések, tevékeységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/ Feladat/ Gyűjteméy I. Kezdőlépések Srzat megadása szöveggel, képlettel. Szövegértés, szövegértelmezés, ábrázlás, deduktív következtetés Feladatlap: 6. feladat A srzatk éháy tulajdsága. Összefüggések felismerése Feladatlap: 7. feladat II. Számtai? A számtai srzat defiíciójáak alkalmazása. Ismeretek elmélyítése, redszerezés, számlási képesség, szövegértés, szövegértelmezés A számtai srzat -edik tagjáak, és az első tag összegéek kiszámítása. III. Lépjük egyet-kettőt! Szövegértés, szövegértelmezés, számlási képesség Szöveges feladatk számtai srzatra. Szövegértés, szövegértelmezés, deduktív és iduktív következtetés, összefüggések felismerése, meyiségi következtetés Az első tag összegéek kiszámítására vatkzó szöveges feladatk. Ismeretek elmélyítése, szövegértés, szövegértelmezés, összefüggések felismerése, meyiségi következtetés Feladatlap: 7. feladat Feladatlap: 8. feladat Feladatlap: 6. feladat Feladatlap: 7. feladat

4 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 4 IV. Mértai? Villámkérdések a mértai srzat defiíciójáak alkalmazására, külöböző adatk alapjá a srzat rekstruálása. Szövegértés, szövegértelmezés, deduktív és iduktív következtetés, összefüggések felismerése, meyiségi következtetés, értelmes memória Kamats kamatszámítási feladatk. Szövegértés, szövegértelmezés, prbléma-érzékeység, számlási képesség, összefüggések felismerése, meyiségi következtetés Feladatlap: 0. feladat Feladatlap: 8. feladat V. Tudáspróba 893-ba megjelet érettségi feladatkból éháy. Szövegértés, szövegértelmezés Feladatlap: 3. feladat Teszt. A témakörbe szerzett ismeretek felmérése. Redszerezés, szövegértés, szövegértelmezés, prblémaérzékeység, számlási képesség, összefüggések felismerése, meyiségi következtetés, metakgíció Tesztlap: 0. feladat

5 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 5 I. KEZDŐLÉPÉSEK Módszertai megjegyzés: A fglalkzás feladatayaga a matematika taórá taultak elmélyítését szlgálja, ezért célszerű akkrra időzítei eek a mdulak a felhaszálását, amikr a taulók már megismerkedtek a srzat fgalmával, és aak éháy tulajdságával. A feladatk tetszőleges srredbe tűzhetők ki. Az első fglalkzás érdemes párba fglalkztati a taulókat, hgy a frisse tault ismeretayag alkalmazása srá felmerült kérdéseiket először egymással tudják megvitati. A feladatk megldásáak szerves része a kaptt eredméyek elleőrzése. A feladatk megldásáak leírásába em szerepel az elleőrzés, de a fglalkzás mideképpe várjuk el a taulóktól, hgy eredméyeiket valamilye frmába elleőrizzék!. Dötsd el, hgy az alábbi függvéyek közül melyek számsrzatk! A számsrzatkak számítsd ki a -edik és a 00-adik tagját! f függvéy: Ez a függvéy mide pzitív egész számhz hzzáredeli a szám 6-tal való sztásakr fellépő maradékát. g függvéy: Ez a függvéy mide Budapeste élő emberhez hzzáredeli aak életkrát. (Az életkrt évekbe mérve, egész számra kerekítve adjuk meg. h függvéy: Mide skszöghöz hzzáredeli az átlóiak számát. k függvéy: Mide skszög ldalszámáhz hzzáredeli a skszög átlóiak számát. m függvéy: Z + R, x a, ha x párs szám x, ha x páratla szám Megldás: Az f függvéy számsrzat, mert mide pzitív egész számhz számt redel. A - hez 5-öt redel, mert a -et 6-tal sztva 5 maradékt kapuk. A srzat 00-adik tagja 4, mert a 00 hats maradéka 4. A g függvéy em számsrzat, mert a függvéy értelmezési tartmáya a Budapeste élő emberek halmaza, és em a pzitív egész számk halmaza. A h függvéy em számsrzat, mert a függvéy értelmezési tartmáya a skszögek halmaza. A k függvéy számsrzat, mert az értelmezési tartmáya a 3, és az aál agybb egész számk halmaza, tagjai egész számk. Mivel így a 44 és a = 00 = ( 3) a =, ahl 3 és Z,

6 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 6 Az m függvéy számsrzat, mert mide pzitív egész számhz valós számt redel. A -edik tagja, a 00-adik tagja pedig.. Legye egy srzat első 5 tagja a 9 93 ötjegyű számak az öt számjegye, a srzat tvábbi tagjaiak midegyike pedig legye. Háy ilye srzat képezhető? Megldás: Ayi srzat képezhető, aháy permutációja va eek az öt számjegyek. 5! A permutációk száma: = 60, tehát 60 ilye srzat képezhető.! 3. Legye a = 60 si, ahl az fks szöget jelöli, 5 b = 3,. c = 00 ( 3) és d = ( ) + 6 a) Dötsd el, hgy a 30 tagja-e az ( a ), ( b ), ( c ) és ( d ) srzatk valamelyikéek! Ha ige, háyadik tagja? b) Számítsd ki a srzatk 30-adik tagját! c) Va-e a ( b ) srzatak 54-gyel sztható tagja? Megldás: a) 30 = 60 si si =, ahl + Z = 30 + k 360 vagy = 50 + r 360, ahl k és r tetszőleges természetes számt jelöl. Az ( a ) srzatak tehát tagja a 30, mégpedig a 30 + k 360, ha k = 0. A ( b ) srzatak em tagja a 30, mert a 3-ak ics lya egész kitevőjű hatváya, amely 5-tel egyelő. A ( c ) srzatak tagja a 30, mert 30 = 00 ( 3) = 38. A ( d ) srzatak em tagja a 30, mert pzitív eseté + 6 > 0, és ( ) párs eseté, páratla -re, és + 6 = 30 = 894, ezért d = = b) a = 60 si 30 30, = b = 3 = 3 486, c = 00 (30 3) 46, 30 = 30 d 30 = ( ) =

7 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 7 c) 3 54 = 3, így a ( b ) srzat 8-adik tagja, és az összes eél agybb srszámú tagja sztható 54-gyel. 4. Egy dm ldalélű tömör kckát hárm vágással 8 egybevágó kckára váguk szét. A kaptt kckák midegyiké megismételjük az eljárást. Majd újból és újból a kaptt kis kckák midegyikéből 3 vágással 8 egybevágó kckát hzuk létre. a) Az ötödik elvágásk utá összese háy kis kckák lesz? b) Mekkra a térfgata az ötödik elvágáskr kaptt kis kckákak? Megldás: A kcka úgy vágható 3 vágással 8 egybevágó kckára, hgy először a kcka egyik lapjára merőlegese, a lap középvala meté vágjuk el, majd másdszrra ugyaeek a lapak a másik középvala meté ismét a lapra merőlegese vágjuk el, és végül e lappal párhuzamsa, e lapra merőleges lap középvala meté vágjuk el. a) Mide alkalmmal a már meglévő kckáik száma 8-szrsára váltzik, tehát az ötödik alkalmmal 8 5 = kis kckák lee. b) Az eredeti kcka térfgata 8 dm 3. Az ötödik alkalmmal kaptt kis kckák térfgata 8 8 = = 0,00044 (dm 3 ) lee Egy irdába az év végi prémiumkra frdítható teljes összeg millió frit. Az irda vezetője ragsrt készített azkról a mukatársairól, akikek prémiumt szerete adi. Úgy gdlta, hgy a ragsrba elsőkét állóak Ft -t ada, a másdik helytől kezdve pedig mide, a ragsrba szereplő dlgzó ugyaakkra összeggel, Ft -tal kapa kevesebbet, mit a ragsrba előtte álló dlgzó. a) Legfeljebb háy dlgzó eve szerepelhetett a ragsrba? b) Ilye mód legfeljebb mekkra összeget tudtt szétsztai? c) Mekkra összeget adj az első dlgzóak, hgy a teljes összeg kisztható legye? Megldás: a) Mivel az első Ft-t, és mide tvábbi Ft-tal kevesebbet kapa, tvábbá a ragsrba szereplő mide dlgzó kap prémiumt, ezért az utlsó is kapa legalább Ft-t, tehát legfeljebb 0 dlgzó eve szerepelhetett a listá.

8 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 8 b) Mivel = , így összese Ft-t tudtt szétsztai. Megjegyzés: Mivel mst még em akarjuk haszáli a számtai srzat összegképletét, ezért más módt alkalmazuk a következő kérdés megválaszlására. c) Az elsőek x Ft-t, a másdikak x 0 000, a harmadikak x 0 000, és így tvább, a tizedikek x Ft-t adva, ezek összege millió frit. 6 0 x ( ) = 0. Ebből x = Tehát a ragsr elsőjéek Ft-t kellee adia. 6. Egy kis bábut mzgatuk a krdiátasík. A bábu kezdő helyzetét megadó pt krdiátái ( ;0 ). Ie, az első lépésbe felfele (az y tegellyel párhuzamsa, pzitív iráyba) mzgatjuk egységgel, azutá jbbra (az x tegellyel párhuzamsa, pzitív iráyba) mzdítjuk el egységgel. A harmadik lépésbe felfele 3 egységgel, ezutá ismét jbbra 4 egységgel,és így tvább, midig váltakzva fel és jbbra, és mide lépésbe az elmzdulás agysága egységgel hsszabb a megelőző lépéséhez képest. a) Határzd meg, hgy a tizedik lépésbe hvá kerül a bábu! b) Az első 0 elmzdulás hsszáak mekkra az összege? c)* Add meg képlettel, hgy az -edik lépés utá ( pzitív egész számt jelöl) hgya számítható ki a bábu helyzetét megadó pt első krdiátája! d)* Add meg képlettel, hgy az -edik lépés utá ( pzitív egész számt jelöl) hgya számítható ki a bábu helyzetét megadó pt másdik krdiátája! Megldás: a) Az x tegellyel párhuzams elmzdulásk hssza redre, 4, 6, 8 és 0. Az y tegellyel párhuzams elmzdulásk hssza redre, 3, 5, 7 és 9. Mivel a bábu kezdetbe az ( ;0) krdiátájú ptba vlt, a tizedik lépésbe az ( ; ) +, azaz a ( ; 5) bábu. 3 krdiátájú ptba kerül a b) Az első tíz elmzdulás hsszáak összege: = 55, tehát 55 egység hsszú utat tett meg. A feladat c) kérdéséek megválaszlásáhz gyűjtseek tapasztalatt a taulók! Vizsgálják meg, hgy hgya számítható ki a pt első krdiátája,, 3, 4, 5, 6, stb. lépés

9 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 9 megtételekr! Ha már ismerik a taulók a számtai srzat összegképletét, akkr biztassuk őket, hgy zárt alakba is adják meg a kért krdiátákat. c)* A lépések száma: A pt első krdiátája: Azt tapasztaljuk, hgy ha párs szám (azaz = k, ahl k pzitív egész számt jelöl), akkr a pt első krdiátája: , azaz k. + k Zárt alakba + k = + k( k + ) = + + = Ha páratla szám (azaz = k +, ahl k természetes számt jelöl), akkr a pt első krdiátája: k. ( ) Zárt alakba + k ( k + ) = + + = d)*ha párs (azaz = k, ahl k pzitív egész számt jelöl), akkr a pt másdik krdiátája: ( ), azaz (k ). + (k ) Zárt alakba k = k =. 4 Ha páratla szám (azaz = k +, ahl k természetes számt jelöl), akkr a pt másdik krdiátája: (k + ). Zárt alakba + (k + ) ( + ) ( k + ) = ( k + ) = Egy családba hét gyermek va. A testvérek életkráak összege 63. A családba a gyerekek évete születtek. Háy évesek a gyerekek?

10 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 0 Megldás: Ha a gyerekek életkrát övekvő srredbe redezzük, a középsőtől való eltérés midkét iráyba ugyaayi, kettő többszöröse. Mivel a hét gyerek életkráak összege 63, a középső 9. A gyerekek tehát 3, 5, 7, 9,, 3 és 5 évesek. 8. Egy srzat első öt tagja ebbe a srredbe:,, 3, 4, 5. A srzat peridikus, a periódus hssza 5. Meyi az első 03 tag összege? Megldás: Az első 03 tagba a periódus 40-szer frdul elő, ezek összege 40 ( ) = 600. A 00-adik tagt követő hárm tag összege 6. Így az első 03 tag összege 606. Módszertai megjegyzés: Már itt érdemes lee megemlítei az általása is alkalmazható techikát : ha a középső gyerek (tag) életkra x, akkr a hét életkr felírható ( x 6), ( x 4), ( x ), x, ( x + ), ( x + 4), ( + 6) x alakba. Ezek összege 7 x = 63 x = Egy várs egyik lakójával közöltük egy hírt reggel 8 órakr, aki azal elmdta 3 emberek. Ezt követőe félórákét az úja megtudók midegyike 3, a hírt még em ismerővel közli azt. Háy, a hírt még em ismerő ember tudja meg a hírt 0-kr? Rajtuk kívül háya tudják összese a hírt 0 órakr? Megldás: Az időpt: A hírt úja megtudók száma: A hírt összese megismerők száma: 8 óra 3 +3 = 4 ½ 9-kr = 3 9 órakr = 40 ½ 0-kr = 0 órakr = Az alábbi srzatk közül melyek mt srzatk? A mt srzatkak milye a ( mtitása? 3 ) = + a ; ( ) = ( 3 ) b ; ( ) = ( 00 ( 3) ) c ; ( d ) = ( ) + ).

11 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató Megldás: 3 3 a = és a + =, és mivel midkét tört számlálója és evezője is pzitív, + + ekkr az azs számlálójú törtek közül az a agybb, amelyek a evezője kisebb, így a + < a mide pzitív egész eseté, tehát a srzat szigrúa csökkeő = 3 = < = b+ 9 9 b mide pzitív egész eseté, tehát a srzat szigrúa övő. c = 00 ( 3) = + 06 > ( + ) + 06 = + 04 = c+ mide pzitív egész eseté, tehát a srzat szigrúa csökkeő. d = ( ) + = +, ha páratla, a srzat em mt. +, ha párs. Az alábbi srzatk midegyike peridikus. Határzd meg a srzatk periódushsszát! π ( a ) = cs ; ( b ) = ( k 3), ahl k az szám 4-es maradéka; 3 ( c ) =, ahl az fks szöget jelöli. si + Megldás: Jelöljük a periódus hsszát p-vel. π π π π π π a = cs = cs( + p) = cs + p = cs + π, így π p 3 =, azaz p = 6. A srzat periódushssza 6. (Máskét: Ha az i bázisvektrt elfrgatjuk a 3 π pzitív egész többszöröseivel, akkr ptsa a hatdik elfrgatást követő mide hatdik frgatásál kapjuk vissza redre ugyaazkat az egységvektrkat. A b = k 3 srzat esetébe, mivel mide egyedik pzitív egész szám 4-es maradéka ugyaaz a szám, ezért a srzat periódushssza 4. A c = si + srzatba si = si ( + p) = si( + p) = = si( ), tehát p = 80. A srzat periódushssza 80.

12 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató II. SZÁMTANI? Eze a fglalkzás a feladatk a srzatk ábrázlására, és a számtai srzat defiíciójáak alkalmazására iráyulak. Legftsabb céluk a fgalm elmélyítése, a szöveg alapjá a mdell megalktása. A taulók még eze a fglalkzás is dlgzhatak párba, de bíztassuk őket az egyéi mukára! A feladatkat a megadtt srredbe célszerű kitűzi.. Egy bevásárlóközptba a kristálycukr ára 00 Ft/kg. Ha viszt az ugyalya miőségű cukrt 0 kg-s csmaglásba vesszük meg, akkr azért 900 Ft-t kell fizetük. A 0 kg-s csmaglásba árult cukr em btható meg. Tételezzük fel, hgy amikr csak lehet, midig élük az lcsóbb vásárlás lehetőségével. a) Meyibe kerül 3 kg cukr? b) Háy kg cukrt tuduk vásárli 9900 Ft-ért? c) Meyibe kerül kg cukr, ha 0-zel sztva 6 maradékt adó pzitív egész szám? d) Háy kg cukrt kapuk k Ft-ért, ha k 900-zal sztva 000 maradékt ad? Megldás: a) = 500 (Ft). b) 9900 = , ezért 5 kg-t tuduk vásárli. 6 c) Ha 0-zel sztva 6 maradékt ad, akkr darabt tuduk vei a 0 kg-s 0 6 csmagból. Eek az ára 900 Ft. Ki kell még fizetük a 6 kg cukrt, 0 amelyért 6 00 Ft-t fizetük. 6 Tehát az kg cukr ára összese , azaz Ft. 0 k 000 d) Mivel a k 900-zal sztva 000 maradékt ad, a egész szám adja meg, hgy 900 háy 0 kg-s csmagt tuduk vei. A femaradó 000 Ft-ért 5 kg cukr k 000 vásárlható, így összese 0 + 5, azaz 900 k kg cukrt kapuk k Ft-ért.. Számítsd ki a következő srzatk első öt elemét! ( ) = a ; ) ( lg ) ( = ; ( c ) ( ) ) b π = ; ( d ) = si( ).

13 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 3 Melyik srzat mt? Megldás: a =, a =, 4 a 3 =, 9 a 4 =, 6 Szigrúa csökkeő srzat, hisze a 5 =. 5 ( + ) < mide pzitív egész -re. b = 0, b =, lg3 b 3 = lg 3 = lg, 585, 4 = lg5 b és b 5 = lg 5 =, 3. lg Szigrúa övő srzat, mert c =, c = 4, c 3 = 8, c 4 = 6 és c 5 = 3 lg ( + ) > lg mide pzitív egész -re.. Nem mt srzat. d = 0, d =, d 3 = 0, d 4 = és d 5 = 0. Nem mt srzat. 3. Az alábbi srzatk közül válaszd ki azkat, amelyek grafikjáak mide ptja egyetle egyeesre illeszkedik! Add meg az egyeest egyeletével! ( ) ( a ) = 3 ; d ( ) ( ) ( ) = ) ; ( e ) = ( tgπ ) ; ( + ( ) 3) ( g ) =. Megldás: 0 ( b ) = ; ( c ) = () ; + 0,5 ( f ) = 5 ; + 0,5 Az ( a ) srzat grafikjáak mide ptja az y = 3x egyeletű egyeesre illeszkedik. Alakítsuk szrzattá a ( b ) srzat képletébe lévő tört számlálóját! 5 0 = 0 egyelet gyökei: és. A másdfkú kifejezés gyöktéyezős 5 alakja: ( + ), azaz ( 5)( + ). Így 0 ( 5)( + ) b = =. Mivel az utóbbi kifejezés mide pzitív egész + + -re 5 -tel egyelő, ezért b = 5. A ( b ) srzat grafikjáak mide ptja az y = x 5 egyeletű egyeesre illeszkedik.

14 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 4 A ( c ) srzat grafikjáak mide ptja rajta va az y = egyeletű egyeese. A hatváy azsságaiak alkalmazásával d = ( ) ( ) = ( ) =. A ( d ) srzat grafikjáak ptjai em illeszkedek egy egyeesre. (Máskét: d =, d =, d 3 =. Ha ábrázljuk a srzat első hárm tagját, akkr a 4 8 hárm pt em illeszkedik egy egyeesre, tehát ics lya egyees, amelye a srzat grafikjáak mide ptja rajta va. Mivel e = tg π = 0, a srzat grafikjáak mide ptja az y = 0 egyeletű egyeesre illeszkedik. 0,5 0,5 Mivel mide pzitív egész eseté f = 5 = 5 = 0, a ( f + ) srzat 0,5 0,5 0,5 grafikjáak mide ptja rajta va az y = 0 egyeletű egyeese. A g = + ( ) 3 = 3 7 srzat grafikjáak mide ptja illeszkedik az y = 3x 7 egyeletű egyeesre. 4. Adj meg képletével lya srzatt, amelyek grafikptjai váltakzva az y = 3x és y = 3x egyeletű egyeesre illeszkedek! Megldás: Pl. a = ( ) Dötsd el, hgy az alábbi srzatk közül melyek számtai srzatk! Állításdat idkld! a = ((8 3) si π ); ( ) = ( 6 3 ) ( ) ( d ) = ; Megldás: b ; ( ) = ( 3 ( )(3 + ) ) 3 4 ( e ) = ; c ; + 6 ( f = ). 3 Az ( a ) srzat mide tagja 0, mert si π = 0 mide pzitív egész szám eseté. Mivel mide kstas srzat számtai srzat, így ( a ) is az.

15 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 5 A ( b ) srzat első hárm tagja redre, 4, 6. A egyedik tagja 4. Aak, hgy egy srzat számtai srzat legye, szükséges feltétele, hgy a srzat mt legye. A srzat em mt, így em számtai srzat. c 3 = ( )(3 + ) = 5 +, és c + = 5( + ) + = Mivel mide pzitív egész szám eseté c + c = 5, így ( c ) számtai srzat. A d = = képlettel megadható srzat első hárm tagja redre:, ,. Mivel, így a srzat em számtai srzat Az e = = 4 képletű srzat számtai srzat, mivel bármelyik két szmszéds tagjáak külöbsége álladó, 4. Az + 6 ( f = ) srzat kstas srzat, mert mide pzitív egész -re = = 36, így számtai srzat. 6. Képezzük az ( ) ( ) a = srzat tagjaiból a következőképpe egy újabb b ) srzatt: Legye b = a a, b = a3 a, és így tvább, tehát b = a+ a mide pzitív egész szám eseté. Igazld, hgy ( b ) számtai srzat! Megldás: Mivel a + = ( +) és a =, így b = ( + ) = + (. Ez a srzat pedig számtai srzat, hisze tagjai 3-tól kezdve redre az egymást követő páratla számk. 7. Képezzük az ( a ) ( 3 ) ( = srzat tagjaiból egy újabb c ) srzatt úgy, hgy c ) = (lg a ) legye. Igazld, hgy c ) számtai srzat! Megldás: ( Az ( a ) srzat mide tagja pzitív, tehát képezhetjük mide tagjáak a -es alapú lgaritmusát. A lgaritmus azsságaiak felhaszálásával adódik, hgy (

16 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 6 c + = lg 3 = lg 3. Mivel c + = lg 3 + +, így c + c = mide pzitív egész eseté, tehát ( c ) számtai srzat. A következő feladatk aak felismerését segítik elő, hgy ameyibe ismerjük egy számtai srzat páratla számú egymást követő tagjáak összegét, akkr célszerű ezeket a tagkat a középső tag és a differecia függvéyébe felíri. 8. Egy számtai srzat első hét tagjáak összege 84. Mekkra a srzat egyedik tagja? Megldás: Ha a srzat egyedik tagját a-val, a differeciáját d-vel jelöljük, akkr a számtai srzat defiíciója szerit a srzat első hét tagja: a 3d; a d; a d; a 3 d; a d; a d; a; a + d; a + d; a + 3d 7 a = 84, így a =. A srzat egyedik tagja.. E hét tag összege 7 a, és a feltétel szerit 9. Egy derékszögű hármszög ldalaiak hssza egy számtai srzat hárm szmszéds tagja. A hármszög kerülete egység. Mekkra a hármszög területe és a körülírt köréek sugara? Megldás: Ha a hármszög hsszabb befgójáak hsszát a-val jelöljük, az átfgóét pedig a + d -vel, akkr a rövidebb befgó hssza a d és 0 < d < a. A hármszög kerülete egység, így 3 a =, azaz a = 7 7 d és 7 + d hsszú.. A másik két ldala tehát Pitagrasz tételét alkalmazva a derékszögű hármszögre: + d) = 7 + (7 ). ( 7 d 7 35 Ebből d =. A hármszög befgóiak hssza és 7 egység, az átfgóé pedig egység. A hármszög területe: 47 = 8, 375 (területegység). Körülírt köréek sugara az átfgó 8 hsszáak felével egyelő, így 35 = 4, 375 (egység) Egy hármszög ldalaiak hssza egy számtai srzat hárm szmszéds tagja. A há- rmszög egyik szöge 0 -s. Mekkrák a hármszög hegyesszögei?

17 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 7 Megldás: Jelöljük a hármszög két ldal hsszát pedig a-val és leghsszabb ldalára a ksziusztételt: ( 0 -s szöggel szemközti ldaláak hsszát a + d -vel, a másik a + d) = a + ( a d) a( a d)cs0. 5 Ebből 5ad = a adódik, és mivel 0 < a, így a = d. A hármszög ldalaiak hssza övekvő srredbe: a d -vel, ahl 0 < d < a. Alkalmazzuk a hármszög 3 d 5, d 7, d. A feltételek eleget tevő hármszögek haslóak, ldalaik hssza em határzható meg egyértelműe, de hegyesszögei ige. A hármszög legkisebb szögét α -val jelölve, a sziusztétel szerit,5d siα = 3,5d si0 3 3, azaz siα = 0, 37, és mivel α 4 hegyesszög, így α,8. A hármszög másik hegyesszöge β 38,..* Igazld, hgy a égyzete kívül ics lya derékszögű trapéz, amelybe az egymáshz csatlakzó ldalak hssza egy számtai srzat egymást követő tagjai! Megldás: A külöböző ldalú téglalap egymáshz csatlakzó ldalaiak hssza em lehet egy számtai srzat égy egymást követő tagja. Vizsgáljuk azkat a derékszögű trapézkat, amelyek em téglalapk. Az ilye trapézk ldalhsszai külöbözőek. Legye a hsszabbik párhuzams ldal a. Az ábra jelöléseit alkalmazva c < a és d < b. Ezekek a feltételekek eleget téve, a trapéz egymáshz csatlakzó ldalaiak hssza pl. szigrúa övekvő srredbe kétféle lehet: I. c < d < a < b II. d < c < b < a I. Feltételezve, hgy va ilye derékszögű trapéz, eek ldalait a következőképpe jelölhetjük ( 0 < d ):

18 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 8 II. Az ábrá a trapéz magasságáak megrajzlásával kaptt derékszögű hármszög befgóiak hssza x és d. Az x, d, x + d hsszú szakaszkra em teljesülek a hármszög-egyelőtleségek, így ezek em lehetek egy hármszög ldalhsszai. Ez pedig azt jeleti, hgy ics ilye derékszögű trapéz. d < c < b < a Ekkr bevezethetjük az ábra szeriti jelölést. Ismét húzzuk meg a trapéz magasságát, az így létrejött derékszögű hármszög befgóiak hssza y d és d. Mivel a hármszög átfgója a feltételezés szerit y + d, mst is azt kaptuk, hgy a hármszög-egyelőtleség em teljesül, így ilye derékszögű hármszög, és ebből adódóa ilye ldalhsszúságú trapéz sics. Ezzel bizyítttuk a feladat állítását.

19 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 9 III. LÉPJÜNK EGYET-KETTŐT! A számtai srzat defiíciójáak, tagjai képzési szabályáak és az első valaháy tag összegképletéek ismeretébe már csak aak elérése a feladatuk, hgy a taulók felismerjék, az egyes esetekbe melyik ismeretet célszerű alkalmazi. A taári tapasztalat szerit a taulók egy része eheze ismeri fel a szöveges feladatkba, hgy a kérdés a srzat -edik tagjáak, vagy az első tag összegéek meghatárzására iráyul-e. Érdemes szöveggel megadtt srzat esetébe miél többször rákérdezi midkét adatra. Eze a fglalkzás már célszerű a taulókat öállóa dlgztati.. Egy mzi húsz sra közül a legelső 5 férőhely va, és mide következő srba eggyel több, mit az előtte lévőbe. a) Háy férőhely va az utlsó srba? b) Háya lehetek a mziba szmbat este a teltházas előadás alatt? Az egyik délutái előadásra 400 éző ült be a mziba. Az első sr közepé ember ült, a másdik srba valameyivel több, és ez így met tvább, mide srba ugyaayival több ember fglalt helyet, mit az azt megelőző srba. c) Háy ember ült a másdik srba? Az esti előadás teltházas vlt. Az első 5 srba lévő helyek jegyára egységese 600 Ft vlt, a 6. srtól a 5. srig bezárólag mide jegy ára 800 Ft, míg az utlsó 5 sr bármelyik helyére szóló jegy 000 Ft-ba került. d) Eze az előadás meyi vlt a mzi fetartójáak a bevétele a jegyek árából? Megldás: A ézőtér sraiba lévő férőhelyek száma redre egy számtai srzat egymást követő húsz tagja. a) a = , tehát 34 hely va az utlsó srba. 0 = b) S 0 = 0 = 490, így 490 férőhely va a mziba. c) Egy számtai srzat első tagja és az első húsz tag összege ismert: a =, S 0 = 400. A srzat differeciájáak a meghatárzása a feladat. + 9d Mivel a0 = + 9d, így 400 = 0. Ebből d =. A másdik srba 3 ember ült.

20 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 0 d) A számtai srzat első tagja 5, differeciája. A 600 Ft-s jegyből ayit adtak el, 5 + (5 + 4) ameyi a srzat első 5 tagjáak összege: S 5 = 5 = 85. A 800 Ft-sból pedig ayit, ameyi az S5 S5. Mivel a 5 = = 9, így S 5 = 5 = 330. Ebből a jegyből = 45 darabt adtak el. Az 000 Ft-s jegyből = 60 darab kelt el. Mivel = , így a bevétel a jegyek árából Ft vlt.. Egy étterembe az egyik plc díszítő elemkét pharakat raktak ki a következőképpe: A legalsó srba szrsa egymás mellé helyeztek valameyi pharat. A másdik srba úgy rakták el a pharakat szrsa egymás mellé egy srba, hgy az alsó sr bármelyik két szmszéds phara tarttt egy másdik srba lévő pharat. Így flytatták tvább a pharak elredezését, míg végül a legfelső srba phár került. a) Háy pharat raktak a legalsó srba, ha összese 8 srt alakítttak ki? b) Meyibe került ez a díszítő elem, ha egy phár agykereskedelmi ára 50 Ft vlt? Megldás: A díszítő elem egyes sraiba lévő pharak száma redre egy lya számtai srzat egymást követő tagjaiak tekithetők, amelyek az első tagja és a differeciája is. a) A srzat 8-adik tagja 8, így az alsó srba 8 pharat raktak. b) A kérdés megválaszlásáhz meg kell határzuk a számtai srzat első 8 tag- + 8 jáak összegét. Mivel S 8 = 8 = 7, így összese 7 pharat haszáltak fel, amelyek ára összese 7 50 = 8550 (Ft) vlt. 3. Istvá elhatárzta, hgy mide reggel trázik, mert szereté a karizmait erősítei. Az első apt 0 fekvőtámasszal kezdte. Köye met, így elhatárzta, hgy a következő ap többet fg, sőt mide ap ugyaayival többet, mit a megelőző ap. Rögtö el is mesélte a húgáak a tervét, aki kievette: Ide figyelj! Ha téyleg mide ap eyivel több fekvőtámaszt akarsz csiáli, akkr tudd, hgy a 30-adik ap már 55 fekvőtámasszal kezdheted a apt? Nem lesz ez sk egy kicsit? Meyivel szerette vla öveli Istvá apta a fekvőtámaszai számát?

21 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató Megldás: A apta végrehajttt fekvőtámaszk száma redre egy számtai srzat egymást követő tagjai. A srzat első tagja 0, a 30-adik tagja 55. A srzat differeciáját kell meghatárzuk. A 55 = 0 + 9d egyelet megldása d = 5. Istvá 5-tel szerette vla megöveli a fekvőtámaszai számát. 4. Háy pzitív tagja va az ( a ) = ( ) srzatak? Megldás: A > 0 egyelőtleség pzitív egész megldásait keressük. A má- sdfkú kifejezés értéke ptsa akkr 0, ha = 6 vagy = 4. A srzat grafikjáak mide ptja illeszkedik a valós számk halmazá értelmezett f ( x) = x + 0x 84 függvéy grafikjára. Ez a másdfkú függvéy szigrúa ő a ] ;0 ] itervallum, és szigrúa csökke a [ ;+ [ 0 itervallum, tvábbá a két zérushelye közötti számkra pzitív az értéke. Ebből adódik, hgy srzatak hét tagja pzitív, mégpedig a 7-edik tagtól kezdve a 3-adik taggal bezárólag. 5. Egy szigrúa csökkeő számtai srzat első 5 tagjáak az összege megegyezik az első 6 tagjáak összegével. Háy pzitív tagja va a srzatak? Megldás: A feladat feltételéből következik, hgy a számtai srzat 6-dik tagja ulla. Mivel a srzat szigrúa csökkeő, így az első 5 tagja pzitív. 6. Egy ylcszög legkisebb szöge 5,5 -s. Ebből a szögből kiidulva a ylcszög egymást követő belső szögeiek fkba mért értékei egy számtai srzat egymást követő tagjai. Mekkrák a ylcszög szögei? Rajzlj le egy ilye ylcszöget! Megldás: A ylcszög belső szögeiek összege srzat differeciáját d-vel jelölve, a srzat ylcadik tagja egymást követő tagjáak összege ,5 + 7d Az 080 = 8 egyelet megldása: d = 37. A ylcszög belső szögei redre: 64,5. 5,5, 4,5, 080. A számtai srzat első tagja 5,5. A 79,5, 6,5, 53,5, 5,5 + 7d, és a ylc 90,5, 7,5 és

22 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató A ylcszög vázlats képe: 7. Ha egy számtai srzat első öt tagját összeadjuk, akkr 5-öt kapuk. Ha viszt a srzat öt egymást követő tagját a másdik tagjától kezdve adjuk össze, akkr 35-öt kapuk. Számítsd ki a számtai srzat első hat tagját! Megldás: Az első öt tag összege 5, így a harmadik tag 5. Mivel a másdik tagtól kezdve ismét öt tag összege 35, és eek az öt tagak a középső tagja a srzat egyedik tagja, tehát a egyedik tag 7. A srzat differeciája tehát. A srzat első hat tagja:, 3, 5, 7, 9, cédulára egyekét felírtuk az első 000 pzitív egész számt. A cédulákat két dbzba szétraktuk. Összeadtuk az egyik, illetve a másik dbzba került számkat. Melyik állítás igaz? A: Lehet, hgy az egyik összeg huszötszöröse a másikak. B: Lehet, hgy az egyik összeg ylcszrsa a másikak. C: Lehet, hgy az egyik összeg tízszerese a másikak. D: Lehet, hgy a két összeg azs. Megldás: A D állítás igaz A cédulákra felírt számk összege 000 = Az A, a B és C állításk egyike sem igaz, mert a teljesülésükek szükséges feltétele, hgy a teljes összeg 6-tal, vagy 9-cel, vagy -gyel sztható legye. Az összeg ezek közül egyik számmal sem sztható. Viszt mivel az összeg párs, így lehet, hgy a két összeg azs. Meg is valósítható pl. úgy, hgy az -től az 45-ig számkkal elláttt cédulákat tesszük az egyik dbzba kivéve az 30-at, mert S 30 = ; a többit a másikba. 45 =

23 Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató 3 9. Egy társaság egy új kártyajátékt játszik. A játékhz 3 csmag magyar kártyára va szükség. (Egy csmag magyar kártyába 3 lap va.) A lapk kisztása a következőképpe törtéik: Az sztó az első játéksak ayi kártyalapt szt, aháy játéks részt vesz a játékba. A következőek 4-gyel többet, és srba mide játéksak 4-gyel többet szt ki, mit az őt megelőzőek. Így, mikr az utlsó játéks, az sztó is megkapja a lapjait, mide lap kisztásra kerül. Háy játéks vesz részt a játékba? Megldás: Jelöljük a játéksk számát -el. A játékskak kiszttt lapk száma redre lya számtai srzat szmszéds tagjai, amelyek a differeciája 4, az első tagja + 4( ) pedig. A srzat tagjáak összege 96. Tehát 96 =, azaz 3 96 = 0. Eek a másdfkú egyeletek egyetle pzitív megldása a 6. A játékba 6 játéks vesz részt. 0. Az ( ) = (( )( + 3) ( 4)( + ) ) a srzatak az első tagtól kezdve legfeljebb háy tagját adhatjuk össze, hgy az összeg millióál kisebb legye? Megldás: a = ( )( + 3) ( 4)( + ) = 3 +. A srzat első tagja 5, differeciája 3, az első tag összege S 5 + 3( ) =. Jelölje azkak a tagkak a számát, amelyek összege még kisebb millióál. Ekkr 5 + 3( ) < 0 6 6, azaz < 0. A másdfkú egyelőtleség pzitív egész megldásait keressük. A valós számk halmazá értelmezett = x + x 6 f ( x) függvéy zérushelyei közül az egyik egatív szám, a másik pedig kb. 445,99. A két zérushely között a függvéy mide értéke egatív, a pzitív zérushely utái számk halmazá pedig a függvéy szigrúa övő, így az < 0 egyelőtleség megldásai -től 445-ig a pzitív egész számk. Tehát legfeljebb az első 445 tag összege lesz millióál kisebb.. Egy számtai srzat első tagja 3, differeciája 4. A srzat első k tagjáak összege hármjegyű, az első k + tagjáak összege pedig már égyjegyű szám. Mekkra pzitív egész számt jelöl a k?