Ezt már mind tudjuk?

Átírás

1 MATEMATIKA C 11. évflyam 10. mdul Ezt már mind tudjuk? Készítette: Kvács Kárlyné

2 Matematika C 11. évflyam 10. mdul: Ezt már mind tudjuk? Tanári útmutató A mdul célja Időkeret Ajánltt krsztály Mdulkapcslódási pntk Ebben a tanévben tanult ismeretek felelevenítése, elhelyezése az eddigi ismeretek rendszerébe. fglalkzás 11. évflyam Tágabb környezetben: Fizika, kémia. Szűkebb környezetben: Vektrműveletek. A függvény fgalma, értelmezési tartmánya, értékkészlete. Egyenletek, egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek megldása. Síkgemetria. Ajánltt megelőző tevékenységek: Szögfüggvények fgalma, alkalmazása számlási feladatkban. Trignmetrikus függvények ábrázlása. Az egyenes és a kör egyenlete. Hatványzás értelmezése valós kitevőre, lgaritmus fgalma, tulajdnságai. Valószínűségszámítás. A képességfejlesztés fókuszai Ajánltt követő tevékenységek: 1-edik évben flytatni a tanulmánykat. Rendszerezés, kmbinatív gndlkdás, metakgníció. Az adtt témakörben tanult ismeretek alkalmazási lehetőségének felismerése különböző szövegkörnyezetben. Igaz-hamis állításk kiválasztása. Hibás gndlatmenet felismerése. A kreatív gndlkdási mód fejlesztése. JAVASLAT: Ez a mdul a tanév utlsó két fglalkzását tartalmazza. Az egész évi tananyag áttekintése feladatkn keresztül nagyn fnts része a tanulásnak, csak sajns nem mindig marad erre idő a tanórákn. Az első fglalkzás egy, a tanult témakörök tananyagát felelevenítő feladatsrból áll. A feladatk nincsenek tematikus elrendezésben, éppen azért, hgy elősegítsük a tanulók fejében a tanult tananyag egységbe, rendszerbe szerveződését. A másik fglalkzás - a vázlatban megadtt témakörökben - a tanulói ismeretek felmérését szlgálja. A MODUL FOGLALKOZÁSAINAK JAVASOLT SORRENDJE: 1. fglalkzás: Csak vegyesen!. fglalkzás: Ezzel vége?

3 Matematika C 11. évflyam 10. mdul: Ezt már mind tudjuk? Tanári útmutató MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/ Feladat/ Gyűjtemény I. Csak vegyesen! 1 A tanévben tanult ismeretanyag felelevenítése (nem tematikus rend szerint csprtsíttt) feladatkn keresztül II. Ezzel vége? 1 Teszt írása (vektr, szögfüggvények, alkalmazása skszögekben, hatványzás, lgaritmus, krdinátagemetria, valószínűségszámítás) Értelmes memória, deduktív következtetés, rendszerezés Értelmes memória, metakgníció, kmbinatív gndlkdás Feladatlap: feladat Teszt: 1 0. feladat

4 Matematika C 11. évflyam 10. mdul: Ezt már mind tudjuk? Tanári útmutató I. CSAK VEGYESEN! Az lyan tanítási módszer, amely előtérbe helyezi a tanulók önálló fglalkztatását, nagyn időigényes, de azt mutatják a tapasztalatk, hgy hatéknyabb a tanárközpntú módszernél. Éppen az időigényesség miatt ritkán jut idő a tanévvégi ismétlésre. Abban szinte minden tanár egyetért, hgy az egész évben megismert fgalmak, ismeretek áttekintése, azk rendszerezése, az eddigi ismeretekbe való beágyazása nagyn haszns lenne. A délutáni fglalkzásn lehetőséget teremtünk erre. Javaslat: A feladatkat csprtfglalkzás keretében ldják meg. A csprtk számára ugyanazkat a feladatkat tűzzük ki, s abban a srrendben, ahgyan az a tanulói munkafüzetben is szerepel. (A tematikus ismétlés nem segíti az ismeretek rendszerré válását.) Biznys időközönként adjunk lehetőséget a csprtknak, hgy megldásaikat összevessék! Ha szükséges, egy-egy felmerülő prblémát frntálisan beszéljünk meg. 1. Add meg a következő függvények lehető legbővebb értelmezési tartmányát! a) sin f ( ) = b) g ) lg cs ( = c) h( ) = lg ( ) 0,5 a) Az f ( ) értelmezési tartmánya (ÉT) R, mert minden valós számnak értelmezzük a szinuszát, és a -nek tetszőleges valós kitevőjű hatványát. b) A ( ) π g ÉT-a R\ + n π, n Z, mert 0 cs 1, és e számk közül csak a nul- lának nincs tízes alapú lgaritmusa, így cs 0, azaz cs 0. c) A ( ) g ÉT-a R +. A > 0, azaz ( 1) > 0 egyenlőtlenségnek kell telje- sülnie. Mivel pzitív minden valós számra, így a > 1 egyenlőtlenség meg- 0 ldáshalmaza a keresett értelmezési tartmány. 1 =, és a -es alapú epnenciális függvény szigrúan növő a pzitív számk halmazán, ezért > 0 és R.. a) Add meg az a ( cs150 ; sin150 ) és b ( ; cs( 0) ) vektrk krdinátáinak tízes számrendszerszerbeli alakját! b) Számítsd ki a két vektr skaláris szrzatát! c) Mekkra a két vektr hajlásszöge? a) a( cs150 ; sin150 ) = a ( 1,5; 1) és b ( ; cs( 0) ) = b( ; ).

5 Matematika C 11. évflyam 10. mdul: Ezt már mind tudjuk? Tanári útmutató 5 b) ab = + = c) a =, 5 és b = 0, így ab =,5 0 csα, ahl α a két vektr hajlásszöge. Mivel =,5 0 csα csα = 0, 91.,5 0 0 < α < 180, így α 119,7.. Írd fel az A ( ;) és B (;1 ) pntk által meghatárztt AB szakasz a) felezőpntjának krdinátáit! b) tartóegyenesének egyenletét! c) felezőmerőlegesének egyenletét! d) Thalesz-körének egyenletét! Megldás. a) F (1; ) b) Mivel AB ( ; ), így az AB egyenes egyik nrmálvektra: n (1; ). Az AB egyenes egyenlete: + y = 7. c) f : y = 1 d) AF ( ; 1) és AF = 10. Az AB szakasz Thalesz-körének egyenlete: ( 1) + ( y ) = 10, ahl ( ; y) ( ;) és ( ; y) (;1 ).. Oldd meg az alábbi egyenleteket a valós számk halmazán! a) = 8 9 b) lg sin + lg cs + lg = 0 c) sin + sin cs 1 = 0 d) sin cs sin 1 = Hívjuk fel a tanulók figyelmét arra, hgy a b) egyenletben nem célszerű alkalmazni a hatvány lgaritmusára vnatkzó aznsságt, mert a sin és a cs között ismert kapcslat van. a) 1 és Z. Ekkr = = + 1. A -as alapú epnenciális függvény kölcsönösen egyértelmű hzzárendelésű, így ( + )( + 1) = = =, azaz + 1

6 Matematika C 11. évflyam 10. mdul: Ezt már mind tudjuk? Tanári útmutató A másdfkú egyenlet megldásai: és ( 7). Csak a lehet megldás, és behelyettesítéssel adódik, hgy valóban az. b) Mivel semsin, sem cs nem lehet nulla, így π k. = Ekkr lg sin + lg cs + lg = 0 lg sin cs 0. A alapú lgaritmus definícióját alkalmazva: sin =. 0 cs, azaz sin cs = 1 sin (1 sin ) = 1 sin sin + 1 = 0 (sin 1) = 0 1 sin = sin = vagy sin = π π = + n, ahl n Z. 1 Mivel e számk szinuszának és kszinuszának a négyzete és 1 1 π π lg + lg + lg = ( 1) + ( 1) + = 0, az = + n, ahl n Z számk az egyenlet megldásai. c) Az tetszőleges valós szám lehet. sin + sin cs 1 = 0 sin + sin cs sin cs = 0 sin cs cs = 0 cs (sin cs ) = 0 cs = 0 vagy sin = cs. Az egyenlet megldásai: π π = + nπ, ahl n Z, vagy = + kπ, ahl k Z. d) Az tetszőleges valós szám lehet. sin sin cs 1 = sin + cs sin =. Mivel a -es alapú epnenciális függvény hzzárendelése kölcsönösen egyértelmű, ezért a megldandó egyenlet: sin + cs = sin. sin + cs = sin sin + (1 sin ) = sin sin sin = 0. A sin -re másdfkú egyenlet megldásai: sin = vagy sin = 1. Mivel 1 sin 1, a sin = egyenletnek nincs megldása, míg sin = 1 π = + nπ, ahl n Z.

7 Matematika C 11. évflyam 10. mdul: Ezt már mind tudjuk? Tanári útmutató 7 Mivel sin π + n π = 1, tvábbá a kaptt gyökök kszinusza nulla, és =, az egyenlet megldásai valóban π + nπ, ahl n Z számk. 5. Egy knve négyszög egyik szöge derékszög, a közrefgó két ldal mindegyike a hsszú. A derékszöggel szemközti szög 10 -s, és e szöget közrefgó mindkét ldal b hsszú. Hányszrsa az a ldal a b-nek? A BDA derékszögű hármszög átfgója a hsszú. A DBC hármszög DB ldalára alkalmazzuk a kszinusztételt! a = b b cs10, azaz a = b. Mivel a és b pzitív számkat jelölnek, így a = b.. Az alábbi idézetek egy-egy isklai dlgzatból valók. Keresd meg, és javítsd ki a hibákat! 1. Az e : y = 5 egyenletű egyenes egy pntja P ( 1; 1). Ezen a pntn átmenő, az e egyenesre merőleges egyenes egyenlete: + y + 1 = 0.. A lg lg( + ) 1 = 0 egyenlet alaphalmaza azk az valós számk, amelyekre < teljesül. Mivel 1 = lg, az egyenlet: lg lg( + ) lg = 0. + A lgaritmus aznsságait alkalmazva: lg lg = 0, azaz lg = 0. + A lgaritmus definíciója szerint: = Ha a hármszög ldalainak hssza: a = cm, b = cm, és a b ldallal szemközti szö- ge β = 0, akkr sinα =, így sin 0 sin α =, és ebből α 9. A hármszög harmadik szöge kb. 101,.

8 Matematika C 11. évflyam 10. mdul: Ezt már mind tudjuk? Tanári útmutató 8 1. Hibák: Az e egyenesnek nem pntja a P ( 1; 1) pnt, mert ( 1) 1 5. Az e egyenes egyik nrmálvektra n e ( ;), és ez a vektr a f egyenes egyik irányvektra, tehát az f egyenes egyik nrmálvektra: n (;), így a P ( 1; 1) pntn átmenő, e egyenesre merőleges egyenes egyenlete: + y = 1.. Hibák: Az egyenlet azn valós számkra értelmezhető, amelyekre 0 és <. Az lg lg( + ) lg = 0 egyenletben a lg kifejezésből kivnva nem a lg( + ) lg kifejezés van, hanem lg ( + ) + lg, mivel lg ( + ) lg = lg ( lg ( + ) lg ) lg +. Az utl- só egyenlet helyesen: = 1. ( + ) f. Hibák: A sin α = egyenlet alaphalmaza a ] 0 ;180 [ intervallum, és ezen a halmazn az egyenletnek két megldása van: α 9 és α 11. Mindkét szög esetén létezik a hármszög, így a feladat feltételeinek két hármszög tesz eleget. A hármszög belső szögeinek összege pntsan 180, így a harmadik szög közelítő értéke nem adható meg 101, -snak. Helyesen: Az egyik hármszög szögei: 0, kb. 9 és kb. 101 (vagy 0, kb. 8, és kb. 101, ). 7. Egy urnában 7 pirs, 8 fehér és 9 zöld glyó van. Kihúzunk egymás után hárm glyót. Mennyi a valószínűsége annak, hgy mind a hárm kihúztt glyó fehér, ha a) a kihúztt glyót nem tesszük vissza b) a kihúztt glyót visszatesszük? a) P ( A) = = 0, b) P ( B) = = 0, 07 7

9 Matematika C 11. évflyam 10. mdul: Ezt már mind tudjuk? Tanári útmutató 9 8. Matematika órán a tanár röpdlgzatt írattt. Két feladatt tűzött ki. Az elsőt a tanulók 70%-a, a másdikat pedig a tanulók 0%-a ldtta meg. Minden induló megldtt legalább egy feladatt, és kilencen mindkét feladatt megldtták. a) Hány diák írta meg a dlgzatt? b) Az isklába ellátgattt a matematika szaktanácsadó. A kijavíttt röpdlgzatk közül kettőt véletlenszerűen kihúztt. Mekkra a valószínűsége, hgy a kiválaszttt dlgzatk egyike egy mindkét, a másik pedig csak az első feladatt megldó tanulóé? a) Ha -szel jelöljük a tanulók számát, akkr 0,7 + (0, 9) =. Ebből = 0. Mivel az első feladatt így 1 tanuló írta meg, közülük 9 a másdikat is megírta, és a maradék 9 tanuló csak a másdik feladatt, tehát a másdikat összesen 18 tanuló ldtta meg, és ez valóban a 0-nak 0%-a. A dlgzatt tehát 0 tanuló írta meg. b) Ha a kétfajta dlgzat kihúzásának srrendje számít, akkr a következőképpen járhatunk el: Annak a valószínűsége, hgy az elsőnek kihúztt dlgzatban mindkét feladat megldtt:, azaz. Annak a valószínűsége, hgy a másdiknak kihúztt dlgzat ban csak az első feladat megldása szerepel:. Mindkét esemény együttes bekö- 9 vetkezésének valószínűsége: = A frdíttt srrendben kihúzás valószínűsége rendre és. Így ebben az esetben 0 9 mindkét esemény együttes bekövetkezésének valószínűsége: = 90. Mivel a szaktanácsadó vagy egyik, vagy másik srrendben húzhatta ki a két dlgzatt, a keresett valószínűség: = 0, Ha a kétfajta dlgzat kihúzásának srrendje számít, akkr a következőképpen járhatunk el:

10 Matematika C 11. évflyam 10. mdul: Ezt már mind tudjuk? Tanári útmutató 10 Mivel bármelyik dlgzat kihúzásának valószínűsége ugyanakkra, alkalmazhatjuk a klasszikus valószínűségszámítás mdelljét. Az összes esetek száma: esetek száma: 9 1. A keresett valószínűség: = 0, , a kedvező 9. Állapítsd meg, hgy mi azn körök középpntjainak halmaza, amelyek az e : y + 5 = 0 és f : y = egyenletű egyenesek mindegyikét érintik! A keresett alakzat a két (párhuzams) egyenes középpárhuzamsa. Az y tengelyt az e egyenes a ( 0;5), az f egyenes pedig ( 0; ) krdinátájú pntban metszi. Van lyan kör, amely mindkét egyenest érinti, és a középpntja e két pnt által meghatárztt szakasz F felezőpntja, hiszen az F pnt a két egyenesből álló alakzatnak az egyik szimmetriaközéppntja. Mivel az F (0;1 ), a középpárhuzamsra illeszkedik, a keresett pnthalmaz egyenlete: y = Egy szabálys tizenkétszög ldalának hssza cm. Milyen hsszú a skszög legrövidebb átlója? A szabálys tizenkétszög minden belső szöge 150 -s. A skszög legrövidebb átlója a két szmszéds ldal (nem közös) végpntjait összekötő d szakasz. Ennek hssza a kszinusztétel alkalmazásával kiszámítható: d = + cs150 = + 1 = 1 ( + ) 59,7. d = + 7,7. A legrövidebb átló hssza kb. 7,7 cm.

11 Matematika C 11. évflyam 10. mdul: Ezt már mind tudjuk? Tanári útmutató 11 II. EZZEL VÉGE? Az utlsó fglalkzásn már nehéz a tanulókat gndsan kidlgztt megldásk leírására rávenni. Mégis szeretnénk, ha ez az idő is tartalmasan, töprengéssel telne el. Tapasztalat szerint a tanulók kedvelik a tesztet, mert nem kell annyit írni, lehet a választ annak alapján is kiválasztani, hgy melyiket tartm a legvalószínűbb eredménynek. A tanárk egy része éppen az utóbbi miatt nem tartja megfelelő munkafrmának a tesztet, pedig ha meggndljuk, a tanuló későbbi életében skszr adódhat lyan helyzet, amikr kevés infrmáció alapján kell kiválasztania a lehetséges megldásk közül a legvalószínűbbet. Erre a fglalkzásra 0 kérdésből álló tesztet készítettünk. (Lásd a tanári mellékletet.) A kérdések a tanév srán tanult ismeretekre támaszkdnak. A tanári mellékletben megtalálható a feladatk megldása, és megjelöltük a helyes válaszk betűjelét is. Ha a tanár szeretné pntzással is ösztökélni a tanulókat arra, hgy ne véletlenszerűen válaszszanak a négy válasz közül, javasljuk a következő pntzást: Helyes válasz megjelölése: pnt. Helytelen válasz megjelölése: ( 1) pnt. Nem jelöli meg egyik választ sem: 0 pnt. A tesztet a megírás után aznnal ki lehet javítani például úgy, hgy a diákk kicserélik egymással tesztlapjaikat, és ők javítják. Ekkr nem célszerű a megldást is megbeszélni, hanem srban megadni a helyes válasz betűjelét, és utána, ha marad idő, a vitát kiváltó feladatk megldása megbeszélhető.

12 Matematika C 11. évflyam 10. mdul: Ezt már mind tudjuk? Tanári útmutató 1 Teszt (Ismétlés) Az alábbi feladatk mindegyikére négy válasz adtt, amelyek közül pntsan egy helyes. Karikázd be az általad helyesnek vélt válasz betűjelét! 1. Mivel egyenlő lg ? A: 10 B: 1 C: 11 D: 11. Mivel egyenlő lg? A: B: 1 C: 1 D: 0. Mivel egyenlő lg,5 lg 5 0 0,5? A: 5 B: 7 5 C: 7 15 D: 5. Hányszrsa a a nek? A: 19 5 B: 5 C: 19 D: A valós számk halmazának mi a legbővebb részhalmaza, amelyen az függvény értelmezhető? 1 f ( ) = 1 lg 1 A: A racinális számk halmaza. B: A pzitív egész számk halmaza. C: Az egész számk halmaza. D: A valós számk halmaza.. Melyik állítás hamis? Ha egy valós szám A: megegyezik a ( 1)-edik hatványával, akkr a szám abszlútértéke 1. B: nulladik hatványa 1, akkr a szám nem egyenlő nullával. C: pzitív kitevőjű hatványa nulla, akkr a szám csak nulla lehet. D: párs kitevőjű hatványa pzitív, akkr a szám is pzitív nek hányadik hatványával egyenlő a A: lg? (lg ) B: lg C: lg 10 D: lg

13 Matematika C 11. évflyam 10. mdul: Ezt már mind tudjuk? Tanári útmutató 1 8. A következő két egyenletnek hány közös valós megldása van? = és 1 = 0 A: 1 B: C: D: Egy sem. 9. Ha az A pnt helyvektra a ( ; ), a B pnt helyvektra b ( 1;), akkr az BA vektr krdinátái: A: ( 5;7) B: ( ; 7) C: ( ;1 ) D: ( 5; 7) 10. A megadtt egyenletű egyenesek közül melyik halad át az + y + y + 11 = 0 egyenletű kör középpntján? A: y = 5 B: y = 9 C: + y + = 0 D: y = 11. Az e : y + 9 = 0 és f : y = 1 egyenletű egyenesek metszéspntja rajta van a g egyenesen, ha A: g : y = 5 B: g : y = C: g : y = D: g : y = A P ( ;) pntn átmenő, a y = 0 egyenletű egyenessel párhuzams egyenes egyenlete: A: + y = 0 B: y = + C: y = 1 D: y = 1 1. Egy rmbusz egyik átlóegyenesének egyenlete: y + 5 = 0, szimmetriaközéppntja: K (1; ). Melyik a rmbusz másik átlóegyenesének egyenlete? A: ( )( y) = ( y + ) B: + y = 18 C: ( )( y + ) = ( + 1)( y + ) D: y = + 1. Egy α hegyesszögű derékszögű hármszögben ctg α =, a hármszög területe 7 cm. Hány cm a két befgóhssz különbségének abszlútértéke? A: B:,5 C: D: 1,5m 9

14 Matematika C 11. évflyam 10. mdul: Ezt már mind tudjuk? Tanári útmutató 1 sin 15. Hány megldása van a = 0 egyenletnek a [ 180 ; 0 ] intervallumn? cs 1 A: Nincs megldása B: 1 C: D: 1. Mekkra az a és b vektr hajlásszöge, ha a = (cs800 ) i + (sin 800 ) j és b = cs( 100 ) i sin( 100 ) j? A: 10 B: 80 C: 0 D: Egy hármszög ldalainak hssza: a = 8 cm, b = 15 cm és c = 19 cm. Szögei szerint milyen ez a hármszög? A: Hegyesszögű B: Tmpaszögű C: Derékszögű D: Van 0 -s szöge. 18. Egy szabálys dbókckát hatszr egymás után feldbunk. Mekkra a valószínűsége, hgy a dbtt számk között legalább egy hats dbás lesz? 5 A: 1 B: 5 C:! 5 1 D: Öt barát (Anna, Balázs, Cili, Dénes és Erika) mziba megy. Az öt jegy a 1. sr bal ldali helyére szól. Ha véletlenszerűen ülnek le, mekkra a valószínűsége, hgy Anna és Dénes egymás mellett, az 1-es és -es helyet fglalja el? A: 5 B: 1 5! C:! 5! D: Egyik eddigi válasz sem helyes. 0. Öt barát (Anna, Balázs, Cili, Dénes és Erika) mziba megy. Az öt jegy a 1. sr bal ldali helyére szól. Véletlenszerűen ülnek le. Jelölje A azt az eseményt, hgy Anna és Dénes egymás mellett fglal helyet. Melyik műveletsr adja meg helyesen a kedvező esetek és az összes esetek számát, és így az A esemény valószínűségét? A: 1 P (A) = B: 5! P ( A) = C: 5!! P ( A) = D: 5! P (A) = 5

15 Matematika C 11. évflyam 10. mdul: Ezt már mind tudjuk? Tanári útmutató 15 Az ismétlő teszt feladatainak megldása Mivel egyenlő lg? 5 A: 10 B: 1 C: 11 D: lg = lg = lg = Mivel egyenlő lg? A: B: 1 C: 1 = 1 lg = lg 1. 1 D: Mivel egyenlő lg,5 lg 5 0 0,5? A: 5 B: 7 5 C: 7 15 D: 5 lg lg 5,5 0,5 0 = 5 = 5.. Hányszrsa a a nek? A: 19 5 B: 5 C: 19 D: = (1 + ) = 5 = A valós számk halmazának mi a legbővebb részhalmaza, amelyen az függvény értelmezhető? 1 f ( ) = 1 lg 1 A: A racinális számk halmaza. B: A pzitív egész számk halmaza. C: Az egész számk halmaza. D: A valós számk halmaza. 1 1 f ( ) = =, és negatív számnak csak tetszőleges egész kitevőjű 1 ( ) lg 1 hatványát értelmezzük.

16 Matematika C 11. évflyam 10. mdul: Ezt már mind tudjuk? Tanári útmutató 1. Melyik állítás hamis? Ha egy valós szám A: megegyezik a ( 1)-edik hatványával, akkr a szám abszlútértéke 1. B: nulladik hatványa 1, akkr a szám nem egyenlő nullával. C: pzitív kitevőjű hatványa nulla, akkr a szám csak nulla lehet. D: párs kitevőjű hatványa pzitív, akkr a szám is pzitív. Az A állítás igaz, mert ha 1 a = a = 1 a = 1. a A B állítás igaz, mert ha a 0 = 1, akkr mivel csak a nullának nem értelmezzük a nulladik hatványát, a többi számé visznt 1, tehát a feltételből következik, hgy a 0. A C állítás igaz, mert a pzitív számk pzitív kitevőjű hatványa pzitív, a negatív számk pzitív egész kitevőjű hatványa értelmezett, és az nem nulla. Csak a nulla pzitív kitevőjű hatványa nulla. = A D állítás hamis, mert pl. ( ) nek hányadik hatványával egyenlő a A: lg? (lg ) B: lg C: lg 10 D: lg lg 10 = > 0 lg = lg = lg lg = (lg ). 8. A következő két egyenletnek hány közös valós megldása van? = és 1 = 0 A: 1 B: C: D: Egy sem. = 1 = 0, mert ha az első egyenlet mindkét ldalát megszrzzuk a pzitív értékű kifejezéssel, és a kaptt egyenletet nullára redukáljuk, a másdik egyenlethez jutunk. Ezért minden megldásuk közös. A másdik egyenlet ben másdfkú, megldásai: 1 vagy = < 0. A másdik megl- dásnak < 0 + = 1 - miatt nincs értelme, az első pedig a -es alapú epnenciális függvény kölcsönösen egyértelmű hzzárendelése miatt pntsan egy megldást ad.

17 Matematika C 11. évflyam 10. mdul: Ezt már mind tudjuk? Tanári útmutató Ha az A pnt helyvektra a ( ; ), a B pnt helyvektra b ( 1;), akkr a BA vektr krdinátái: A: ( 5;7) B: ( ; 7) C: ( ;1 ) D: ( 5; 7) BA = a b = (5; 7). 10. A megadtt egyenletű egyenesek közül melyik halad át az + y + y + 11 = 0 egyenletű kör középpntján? A: y = 5 B: y = 9 C: + y + = 0 D: y = + y + y + 11 = 0 ( ) + ( y + ) =, ez pedig lyan kör egyenlete, amelynek a középpntja: K ( ; ). Ennek a pntnak krdinátái csak a B egyenletet elégítik ki. 11. Az e : y + 9 = 0 és f : y = 1 egyenletű egyenesek metszéspntja rajta van a g egyenesen, ha A: g : y = 5 B: g : y = C: g : y = D: g : y = 11 Az e és az f egyenes metszéspntja: M ( ;). Ennek a pntnak a krdinátái csak a D egyenletet elégítik ki. 1. A P ( ;) pntn átmenő, a y = 0 egyenletű egyenessel párhuzams egyenes egyenlete: A: + y = 0 B: y = + C: y = 1 D: y = 1 A keresett egyenes egyik nrmálvektra n ( ; ), pntja P ( ;), így egyenlete y = 1 y = Egy rmbusz egyik átlóegyenesének egyenlete: y + 5 = 0, szimmetriaközéppntja: K (1; ). Melyik a rmbusz másik átlóegyenesének egyenlete? A: ( )( y) = ( y + ) B: + y = 18 C: ( )( y + ) = ( + 1)( y + ) D: y = + 9

18 Matematika C 11. évflyam 10. mdul: Ezt már mind tudjuk? Tanári útmutató 18 A rmbusz átlói merőlegesen felezik egymást. A keresett egyenes egyik nrmálvektra n (;), pntja a K (1; ), így az egyenlete: + y = 10. ( )( y) = ( y + ) y = + y = Egy α hegyesszögű derékszögű hármszögben ctg α =, a hármszög területe 7 cm. Hány cm a két befgóhssz különbségének abszlútértéke? A: B:,5 C: D: 1,5m A ctg α = feltételből (és a hegyesszög ktangensének definíciójából) következik, hgy a hármszög befgóinak hssza: és. Így a területe: 7 = T =, azaz = 9, és ebből 0 < = (cm). sin 15. Hány megldása van a = 0 egyenletnek a [ 180 ;0 ] intervallumn? cs 1 A: Nincs megldása B: 1 C: D: sin = 0 cs 1 j sin = 0 és cs 1 0. j i i A bal ldali ábrán azt a egységvektrt rajzltuk meg, amelyek irányszögei megldásai az első egyenletnek, míg a másik ábrán közülük azt a kettőt, amelyek irányszögei nem megldásai az egyenletnek. Tehát az egyenlet megldásai a II. és III. síknegyedben lévő egységvektrk irányszögei. Ha az i vektr ( 180 ) -s elfrgatttjából kiindulva növeljük a frgásszögét 0 -sra, majd tvább növeljük 0 -ig, a két vektrt összesen -szr érjük el, ami azt jelenti, hgy a [ 180 ;0 ] intervallumban pntsan megldása van az egyenletnek (10, 10, 0 ).

19 Matematika C 11. évflyam 10. mdul: Ezt már mind tudjuk? Tanári útmutató Mekkra az a és b vektr hajlásszöge, ha a = (cs800 ) i + (sin 800 ) j és b = cs( 100 ) i sin( 100 ) j? A: 10 B: 80 C: 0 D: 180 a = (cs800 ) i + (sin 800 ) j = (cs80 ) i + (sin 80 ) j, az a és i vektr hajlásszöge 80. cs( 100 ) i sin( 100 ) j = cs( 100 ) i + ( sin( 100 )) j = cs100 i + sin100 j, így a b vektr a II. síknegyedben rajzlható meg, a b és i vektr hajlásszöge és b vektr hajlásszöge Az a 17. Egy hármszög ldalainak hssza: a = 8 cm, b = 15 cm és c = 19 cm. Szögei szerint milyen ez a hármszög? A: Hegyesszögű B: Tmpaszögű C: Derékszögű D: Van 0 -s szöge. 19 = csγ egyenletből 1 15 csγ = 7, azaz cs γ negatív, tehát a hármszög tmpaszögű. 18. Egy szabálys dbókckát hatszr egymás után feldbunk. Mekkra a valószínűsége, hgy a dbtt számk között legalább egy hats dbás lesz? 5 A: 1 B: 5 C:! 5 1 D: 5 Annak a valószínűsége, hgy egyik dbtt szám sem lesz -s: 5. A kérdés, 5 ennek az eseménynek a kmplementere, ennek a valószínűsége Öt barát (Anna, Balázs, Cili, Dénes és Erika) mziba megy. Az öt jegy a 1. sr bal ldali helyére szól. Ha véletlenszerűen ülnek le, mekkra a valószínűsége, hgy Anna és Dénes egymás mellett, az 1-es és -es helyet fglalja el?

20 Matematika C 11. évflyam 10. mdul: Ezt már mind tudjuk? Tanári útmutató 0 A: 5 B: 1 5! C:! 5! D: Egyik eddigi válasz sem helyes. Ha Anna és Dénes leül valamilyen srrendben az 1-es és -es székre, a.-5. helyekre a többi hárm ember!-féleképpen fglalhat helyet. Ha Anna és Dénes frdíttt srrendben ül le a két helyre, ekkr is!-féle leülési lehetősége van B-nek, C-nek és E-nek. Így a kedvező esetek száma:!. Az összes esetek száma: 5!, tehát! P =. 5! 0. Öt barát (Anna, Balázs, Cili, Dénes és Erika) mziba megy. Az öt jegy a 1. sr bal ldali helyére szól. Véletlenszerűen ülnek le. Jelölje A azt az eseményt, hgy Anna és Dénes egymás mellett fglal helyet. Melyik műveletsr adja meg helyesen a kedvező esetek és az összes esetek számát, és így az A esemény valószínűségét? A: 1 P (A) = B: 5! P ( A) = C: 5!! P ( A) = D: 5! P (A) = 5 Az A esemény bekövetkezik az A, B, C, D és E minden lyan permutációjával, amelyben A és D egymást követő elemek. A kedvező esetek száma megegyezik ezeknek a permutációknak a számával. Ezek száma pedig:! ( = 8). Az összes lehetséges kimenetelek száma: az öt elem összes permutációjának száma, azaz 5! ( = 10), így! P ( A) =. 5!