Dr. Fried Katalin Dr. Gerőcs László Számadó László

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Dr. Fried Katalin Dr. Gerőcs László Számadó László"

Átírás

1 Dr Fried Katalin Dr Gerőcs László Számadó László MATEMATIKA 9 A tankönyv feladatai és a feladatk megldásai A megldásk lvasásáhz Acrbat Reader prgram szükséges, amely ingyenesen letölthető az internetről (például: adbelahu webldalról) A feladatkat fejezetenként külön-külön fájlba tettük A fejezet címmel elláttt fájl tartalmazza a fejezet leckéinek végén kitűzött feladatk részletes megldásait A feladatkat nehézségük szerint jelöltük: K = középszint, könnyebb; K = középszint, nehezebb; E = emelt szint, könnyebb; E = emelt szint, nehezebb feladat Lektrk: PÁLFALVI JÓZSEFNÉ KONCZ LEVENTE Tipgráfia: LŐRINCZ ATTILA Szakgrafika: DR FRIED KATALIN Dr Fried Katalin, Dr Gerőcs László, Számadó László, Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt, 009 Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt wwwntkhu Vevőszlgálat: Telefn: A kiadásért felel: Kiss Jáns Tamás vezérigazgató Raktári szám: RE 60 Felelős szerkesztő: Szlbda Tibrné Műszaki igazgató: Babicsné Vasvári Etelka Műszaki szerkesztő: Marcsek Ildikó Grafikai szerkesztő: Görög Istvánné, Mikes Vivien Terjedelem: 4,9 (A/5) ív kiadás, 00

2

3 MATEMATIKA Tartalm Jelmagyarázat 5 I Halmazk Halmazk, jelölések 7 Speciális halmazk, intervallumk 9 Halmazk uniója, metszete 4 Halmazk különbsége, kmplementer halmaz 5 A matematikai lgika elemei 4 II III IV Algebra és számelmélet A hatványzás és aznsságai 7 A hatványzás aznsságainak kiterjesztése 7 Gyakrlati számításk 8 4 Algebrai kifejezések összevnása, szrzása 9 5 Nevezetes szrzatk 0 6 Tvábbi nevezetes szrzatk (Emelt szint) 7 Összegek szrzattá alakítása 8 Algebrai törtek egyszerűsítése, összevnása 4 9 Algebrai törtek szrzása, sztása, összetett műveletek algebrai törtekkel 6 0 Oszthatóság 8 Prímszámk, a számelmélet alaptétele 9 Legnagybb közös sztó, legkisebb közös többszörös 0 Osztók száma, négyzetszámk (Emelt szint) 4 Számrendszerek Függvények, srzatk Hzzárendelések, függvények 5 Pnthalmazk a krdináta-rendszerben 7 A lineáris függvény 40 4 Az abszlútérték-függvény 4 5 Az f : 7 függvény 46 6 A másdfkú függvény összetett transzfrmációi 47 7 Tvábbi függvények 49 Bevezetés a gemetriába Pntk, egyenesek, síkk 55 Szakasz, félegyenes, szög 56 Hármszögek 58 4 Tvábbi összefüggések a hármszög alapadatai között 60 5 Összefüggés a derékszögű hármszög ldalai között 6 6 Gemetriai számításk 6 7 Gemetriai szerkesztések 64 8 Thalész-tétel 66 9 A hármszög ldalfelező merőlegesei és köré írt köre 67 0 A hármszög szögfelezői, beírt és hzzáírt körei 70 Skszögek 7

4 4 MATEMATIKA TARTALOM V Egyenletek, egyenletrendszerek Elsőfkú egyismeretlenes egyenletek 75 Szöveges feladatk megldása egyenletekkel 76 Egyenletek megldási módszerei 78 4 Egyenlőtlenségek 80 5 Abszlút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek 8 6 Elsőfkú kétismeretlenes egyenletrendszerek és megldásuk behelyettesítő módszerrel 84 7 Elsőfkú kétismeretlenes egyenletrendszerek megldása egyenlő együtthatók módszerével 85 8 Elsőfkú kétismeretlenes egyenletrendszerek megldása grafikus módszerrel 86 9 Egyenletrendszerrel megldható szöveges feladatk 87 VI Gemetriai transzfrmációk Néhány gemetriai transzfrmáció 89 Egybevágósági transzfrmációk a síkn 9 Alakzatk egybevágósága 94 4 Szimmetria 96 5 Tvábbi nevezetes pntk és vnalak a hármszögben 97 6 Vektrk 98 7 Pnthalmazk 00 8 Szög, körív, körcikk 04 VII Kmbinatrika Srrendek 05 Leszámlálásk 06 VIII Statisztika Adatk gyűjtése, rendszerezése, jellemzése 09 Adatk szemléltetése 0 A kétarcú statisztika 5

5 MATEMATIKA 5 Jelmagyarázat Az A pnt és az e egyenes távlsága: d(a; e) vagy Ae Az A és B pnt távlsága: AB vagy AB vagy d(a; B) Az A és B pnt összekötő egyenese: e(a; B) Az f és f egyenesek szöge: ( f; f) B vagy A C csúcspntú szög, melynek egyik szárán az A, másik szárán a B pnt található: ACBB A C csúcspntú szög: CB Szög jelölése: a, b, c, f Az A, B és C csúcskkal rendelkező hármszög: ABC9 Az ABC9 területe: T(ABC) vagy T ABC Az a, b és c ldalú hármszög fél kerülete: s a b c = + + A derékszög jele: * Az e egyenes merőleges az f egyenesre: e= f Az e egyenes párhuzams az f egyenessel: e < f Egybevágóság:,; ABC9, AlBlCl9 A hasnlóság aránya: m Az A pntból a B pntba mutató vektr: AB Aznsan egyenlő: /; B ( f; f) Egyenlő, nem egyenlő: =,!; a =, b! 5 a+ b / 5 Közelítőleg egyenlő: ; a,; 8,54 8,5 Kisebb, kisebb vagy egyenlő: <, #; <, 5 # Nagybb, nagybb vagy egyenlő: >, $; 6 > 4, a $ A természetes számk halmaza: N; {0; ; ; } Az egész számk halmaza: Z; { ; ; ; 0; ; ; } A pzitív, a negatív egész számk halmaza: Z +, Z ; {; ; ; }, { ; ; ; } A racinális, az irracinális számk halmaza: Q, Q * A pzitív, a negatív racinális számk halmaza: Q +, Q A valós számk halmaza: R A pzitív, a negatív valós számk halmaza: R +, R Eleme, nem eleme a halmaznak:!, "; 5! N, - g Z + Részhalmaz, valódi részhalmaz:, ; A R, N Q Nem részhalmaza a halmaznak: j; Z Y Q Halmazk uniója, metszete:,, +; Halmazk különbsége: \; A \ B Üres halmaz: Q, { } Az A halmaz kmplementere: A Az A halmaz elemszáma: A ; Zárt intervallum: [a; b] Balról zárt, jbbról nyílt intervallum: [a; b[ Balról nyílt, jbbról zárt intervallum: ]a; b] Nyílt intervallum: ]a; b[ Az szám abszlút értéke: ; Az szám egész része, tört része: [], {}; [,] =, {,} = 0, Az a sztója b-nek: a b; 8 + A, B, A+ B " 0 ; ;, = -, =, Az a és b legnagybb közös sztója: (a, b); (4, 6) = Az a és b legkisebb közös többszöröse: [a, b]; [4, 6] = Az f függvény hzzárendelési szabálya: f: 7 f] g; f: 7 + vagy f ] g= y; f ] g= + Az f függvény helyettesítési értéke az 0 helyen: f0 ( ); f(5), ha 0 = 5

6

7 MATEMATIKA 7 I Halmazk Halmazk, jelölések K Döntsük el, hgy halmazt adtunk-e meg az alábbiakban! a) A párs természetes számk b) A barátságs emberek c) A kerek számk d) A kis törtek e) Az -nél kisebb pzitív törtek Halmaz: a), e) K Írjuk fel, hgy az alábbiak közül melyek az egyenlő halmazk! A = {a pzitív egyjegyű párs számk}; B = {a nem 0 párs számjegyek}; C = {a párs számjegyek}; D = {0,, 4, 6, 8}; E = {, 4, 6, 8}; F = { egyjegyű többszörösei} A = B = E, C = D = F K a) Adjuk meg elemei felsrlásával a következő halmazkat! A) a -nál nagybb, 0-nél nem nagybb egész számk; B) a 0 többszörösei; C) egyjegyű pzitív többszörösei; D) 0 pzitív sztói; E) a 8 és a 0 legkisebb közös többszöröse b) Szemléltessük a fenti halmazkat kétféle módn! a) A = " 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, ; B =! 0+ ; C = ", 4, 6, 8, ; D = ",,, 5, 6, 0, 5, 0, ; E =! 90+ b) Mindegyik halmazt szemléltethetjük Venn-diagramn és a számegyenes pntjaiként A) A 4, 5, 6, 7, 8, 9, B) B 0 0

8 8 MATEMATIKA I HALMAZOK C) C, 4, 6, D) D,,, 5, 6, 0, 5, E) E K Adjuk meg elemei egy közös tulajdnságával a következő halmazkat! A = {,, 5, 7,,, 7, 9}; B = {5, 0, 5, 0, 5, 0, 5, }; C = {, 9, 7, 8, 4, 79, }; D = {0, } A = {a legfeljebb kétjegyű pzitív prímszámk}; B = {az 5 pzitív többszörösei}; C = {a pzitív egész kitevőjű hatványai}; D = {a 0 és az } = {a -nél kisebb természetes számk} 5 E Igazljuk, hgy két racinális szám a) összege; b) különbsége; c) szrzata; d) hányadsa (ha van) is racinális szám! A racinális számk minden esetben felírhatók két egész szám hányadsaként a) Az összeadáshz közös nevezőre hzzuk a számkat Tvábbra is egész számk hányadsai lesznek Az összeg nevezője a közös nevező (egész szám), a számláló a két számláló összege (egész számk összege egész szám) Ezért az összeg két egész szám hányadsa, vagyis racinális szám lesz b) Ugyanezzel a gndlattal ldható meg, csak a számláló a két számláló különbsége, de tvábbra is egész szám lesz c) A szrzat számlálója a két szám számlálójának, a nevező a két szám nevezőjének a szrzata, tehát egész szám d) A hányads az sztandó és az sztó reciprkának (ha van) a szrzata, ami szintén racinális 6 E Lehet-e egy racinális és egy irracinális szám a) összege; b) különbsége; c) szrzata; d) hányadsa racinális, illetve irracinális szám? a) Irracinális biztsan lehet Ha például a racinális tag 0, akkr az összeg irracinális Ha az összeg racinális lenne, akkr a racinális tagt kivnva belőle mivel a különbség

9 szintén racinális, a másik tag is racinális lenne Ez az eset nem frdulhat elő Racinális tehát nem lehet b) Írjuk fel a racinális szám kivnását az ellentett hzzáadásával Ekkr ugyanazt kapjuk, mint az a) esetben: mindig irracinális c) Irracinális biztsan lehet Ha például a racinális tényező, akkr a szrzat irracinális Racinális is lehet, ha például a racinális tényező 0 Ekkr ugyanis a szrzat racinális, mert 0 Másképp aznban nem lehet racinális a szrzat, különben sztva a racinális tényezővel, racinális számt kapnánk, vagyis racinális lenne a másik tényező is d) Legyen a kérdéses hányads a b nem lehet 0 Ha a = 0, akkr 0 a = is racinális b b Ha sem a, sem b nem 0 és b racinális, akkr is az, ha b irracinális, akkr is az A c) feladat szerint akkr a $ b b irracinális b A hányads csak abban az esetben lehet racinális, ha a = 0 I HALMAZOK 7 E Lehet-e két irracinális szám a) összege; b) különbsége; c) szrzata; d) hányadsa racinális, illetve irracinális szám? MATEMATIKA 9 a) Mindkettő lehet r+ ]-rg= 0 racinális; r+ r = r irracinális b) Mindkettő lehet r- r = 0 racinális; r-- ] rg= r irracinális c) Mindkettő lehet $ = racinális; $ = 6 irracinális d) Mindkettő lehet : = racinális; 6 : = irracinális Speciális halmazk, intervallumk K Ábrázljuk számegyenesen a következő intervallumkat! a) ] 0; 6]; b) ] ; 0[; c) ] ; 5]; d) ]4,5; [; e) [,5; 7,5]; f) ] 6; [ a) b) c) d) e) f) ,5 0 7, ,5 K Adjuk meg és szemléltessük a következő egyenlőtlenségek megldáshalmazát, ha az alaphalmaz A) a természetes számk; B) az egész számk; C) a nemnegatív valós számk halmaza! a) < 0; b) > 5; c) $ ; d) < 0 a) A természetes számk alaphalmazán a megldáshalmaz " ,,,,,,,,,, Az egész számk halmazán a " f, -,-,-, 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A nemnegatív valós számk halmazán a 60;06 intervallum

10 0 MATEMATIKA I HALMAZOK A) B) C) b) Ha - 5, akkr -5 [Mindkét ldalhz hzzáadunk ] - 5g-öt] Eszerint ha egy alaphalmazn van megldása, az negatív A természetes számk halmazában nincs megldása Az egész számk halmazán a megldáshalmaz a " f, -0,-9,-8,-7,-6, A nemnegatív valós számk halmazában sincs megldása B) c) A természetes számk halmazán a megldáshalmaz: " 4567f,,,,,,, az egész számk halmazán " f, -8,-7,-6,-5,-4,-,, 4, 5, 6, f,, vagyis az egész számk halmazából elhagyva a "-,-, 0,,, halmazt A valós számk halmazán a ]-g-nál kisebb vagy egyenlő, illetve a -nál nagybb vagy egyenlő számk tartznak a megldáshalmazhz A) B) C) d) < 0, a természetes számk halmazán nincs megldás Az egész számk halmazában a 0-nál kisebb egész számk A valós számk halmazában a 0-nál kisebb valós számk B) C) E Az alábbi egyenlőtlenségek alaphalmaza a valós számhalmaz A megldáshalmazkat írjuk lyan srrendben, hgy mindegyik halmaz után következő halmaz részhalmaza legyen neki! a) > 5; b) 0 $ 5; c) < 0; d) 5 < ; e) - 5 a) A megldáshalmaz: A = " 5vagy -5, b) A megldáshalmaz: B =! $ 5+ c) A megldáshalmaz: C =! 0+ d) A megldáshalmaz: D =! 5+ e) A megldáshalmaz: E = " 7vagy -7, Ha szemléltetjük a megldáshalmazkat számegyenesen, akkr könnyen lelvashatjuk, hgy A E C B D 4 K Írjuk fel az ábrával adtt intervallumkat, illetve azt a halmazt, amely azn elemekből áll, amelyek nincsenek az adtt halmazban! a) 0

11 I HALMAZOK MATEMATIKA b) c) d) e) A halmazk és párjaik: a) -5, illetve #-5; b) - #, illetve " #-vagy, ; c),5, illetve $,5; d) 0, illetve # 0; e) -, illetve " #-vagy $, Halmazk uniója, metszete K Egy sprttagzats sztály létszáma 4 fő Az sztályban mindenki atletizál vagy ksárlabdázik 6-an atletizálnak, 4-en ksaraznak Hány lyan tanuló van az sztályban, aki csak ksarazik? Ha azknak a száma, akik mindkét sprtt űzik, akkr = 4, ahnnan = 6 Így azk száma, akik csak ksaraznak: 8 K Egy sztály minden tanulója elment a tanév hárm isklai kncertjének valamelyikére Az első kncerten -en vltak, a másdik kncerten ugyancsak -en vettek részt, a harmadik kncerten pedig -an Mindhárm kncerten diák vett részt Azk száma, akik csak egy kncerten vltak: 4 Mennyi az sztálylétszám? I() a y b z II() A feladat szövegének megfelelő halmazábra: a+ b+ c = ^+ y+ zh-6 = y+ z Innen + z+ y = 7 Tehát az sztálylétszám: = 4 c III() K Legyen A halmaz a -vel, B halmaz a -mal, C halmaz a 4-gyel sztható számk halmaza Készítsünk halmazábrát, és helyezzük el benne a következő számkat: 0, 4, 6, 8,, 5, 8, 7, 6, 00! A megfelelő halmazábra és a megadtt számk elhelyezése: A C B E Adjunk meg 5 halmazt úgy, hgy közülük bármely 4-nek a metszete ne legyen az üres halmaz, de az öt halmaz metszete az üres halmaz legyen! Legyenek a, b, c, d, e különböző valós számk A megfelelő halmazk: A= " abcd,,,,; Babce ",,,,; C= " abde,,,,; Dacde ",,,,; E= " bcde,,,, 5 K Egy zeneiskla egyik évflyamának 56 diákja hegedülni, zngrázni vagy csellózni tanul (Mindenki játszik valamelyik hangszeren) Azk száma, akik pntsan két hangszeren játszanak, négyszer, akik pedig pntsan egy hangszeren játszanak, kilencszer annyi, mint azk száma, akik mindhárm hangszeren játszanak Hányan vannak azk, akik csak egy hangszeren játszanak? Készítsünk egy halmazábrát! A feltételek szerint a+ b+ c+ + y+ z+ h = 56, + y+ z = 4 h, a+ b+ c = 9h H a y h c z b C Z

12 MATEMATIKA I HALMAZOK Ezek szerint h+ 4h+ 9h = 56, azaz 4h = 56, ahnnan h = 4 A csak egy hangszeren játszók száma: a+ b+ c = 9h = 6 I p a b h r c q III +5 II + 6 E Az isklai túraszaksztály mind a 4 tagja részt vett az idei hárm túra valamelyikén A másdik kirándulásn -gyel, a harmadikn pedig 5-tel többen vettek részt, mint az elsőn Azk száma, akik két túrán vettek részt, -szr, akik pedig egy túrán vettek részt, 0-szer annyi, mint azk száma, akik mindhárm túrán részt vettek Hányan vettek részt az első, a másdik, illetve a harmadik kirándulásn? a+ b+ c = h, p+ q+ r = 0h, tehát 0h+ h+ h = 4h = 4, azaz h = ] a+ b+ cg-h = 4, azaz = 5, ahnnan = 7 Tehát az első, a másdik, illetve a harmadik túrán részt vevők száma rendre 7, 8, 7 E Egy autójavító üzemben 49 szakmunkás dlgzik: autószerelők, lakatsk és autóvillamssági szerelők 5 lyan szakmunkás van közöttük, aki mindhárm szakmában jártas Azk az autószerelők, akik nem rendelkeznek a lakats szakmával is, hármszr annyian vannak, mint akik csak a lakats szakmával rendelkeznek Hét lyan szakmunkás van az összes között, akik az autószerelő és a lakats szakmát is tudják Azk a villamssági szerelők, akik nem értenek az autószereléshez, 4-gyel kevesebben vannak, mint azk az autószerelők, akik nem értenek a lakats munkáhz Hányan vannak, akik csak a lakats szakmával rendelkeznek? A a y 5 v z l V L Készítsünk egy halmazábrát, és tüntessünk fel mindent, amit tudunk A feltételek szerint a+ = l, y =, v+ z+ 4 = a+ Mivel a+ + l+ z+ v+ + 5 = 49, így l+ l+ l = 49, tehát 7l = 56, ahnnan l = 8 Vagyis a csak lakats szakmával rendelkezők száma: 8 4 Halmazk különbsége, kmplementer halmaz K Legyenek az A, B és C halmazk rendre a -mal, 6-tal, illetve 5-tel sztható számk halmaza Mely számk tartznak az alábbi halmazkba? a) (A \ B) + C; b) A \ B \ C a) ] A \ Bg+ C = {a 5-tel sztható páratlan számk} b) A \ B \ C = {a -mal sztható, de 5-tel nem sztható páratlan számk} E Adttak az U alaphalmazn az A, B és C halmazk Szemléltessük egy halmazábrán az alábbi halmazkat! a) ] A, Bg, C; b) ] A\ Bg, C a) b) A B A B U C U C U A B E Adttak az U alaphalmazn az A és B halmazk Igazljuk, hgy ] B+ Ag, ] A+ Bg= ] A, Bg\ ] A+ Bg! Az egyenlőség mindkét ldalának a bal ldali halmazábra felel meg

13 I HALMAZOK MATEMATIKA 4 K Írjuk fel az A, B, A + B és A \ B halmazk elemeit, ha A = {a, b, c, g, h, j}; B = {a, c, f, h, k}! A, B = {a, b, c, f, g, h, j, k}; A + B = {a, c, h}; A \ B = {b, g, j} 5 K Adtt hárm halmaz: A = {,, 4, 7, 8, 9, }; B = {,, 5, 6, 7,, }; C = {4, 5, 6, 7, 0, } Adjuk meg az alábbi halmazk elemeit! a) (A, B) \ C; b) (A + B), (B + C ); c) A + (B \ C ) A könnyebb áttekinthetőség kedvéért először készítsünk halmazábrát, és írjuk be a megfelelő számkat a megfelelő helyre a) ] A, Bg \ C = " 89,,,,,,,; b) ] A+ Bg, ] B+ Cg = " 567,,,,,; c) A+ ] B \ Cg = ",, 6 K Igazljuk halmazábrák segítségével az alábbi egyenlőségeket! a) A \ (B, C ) = (A \ B) + (A \ C ); b) A \ (B + C ) = (A \ B), (A \ C ) A C B a) Az egyenlőség mindkét ldala b) Az egyenlőség mindkét ldala a következő ábráhz vezet: a következő ábráhz vezet: A B A B C C 7 K Igazljuk, hgy nem minden esetben igaz az alábbi egyenlőség! A \ (B \ C ) = (A \ B) \ C Az egyenlőség mindkét ldaláhz ábrát készítünk, ami mutatja az állítást A B A B C C A \] B \ Cg ] A \ Bg\ C 8 K Legyen az alaphalmaz a valós számk halmaza Az A halmaz az $, a B halmaz az # 0, a C halmaz az # 6 valós számk halmaza Határzzuk meg az alábbi halmazkat! a) A, B; b) B\ A; c) A+ C

14 4 MATEMATIKA I HALMAZOK Szemléltessük az A, B, C halmazkat egy számegyenesen! C B A a) A, B =! -0+ ; b) B-A = " -0 vagy #, ; c) A+ C = R Ftó Bilógia Barlangász 5 évf évf évf évf Ftó (4) Bil (45) a q b p r c Barlang (44) 9 E Egy általáns iskla felső tagzatán hármféle szakkör működik: ftószakkör, bilógiaszakkör és barlangász szakkör E szakkörök létszámát a bal ldali ábra mutatja évflyamkra lebntva Azk száma, akik pntsan két szakkörre járnak, kétszer, akik pedig pntsan egy szakkörre járnak, hármszr annyi, mint azk száma, akik mindhárm szakkör munkájában részt vesznek Az iskla felső tagzata 6 diákjának kb hány százaléka nem jár semmilyen szakkörre? Ftószakkörre 4, bilógiaszakkörre 45, barlangász szakkörre pedig 44 diák jár A feltételek szerint: p+ q+ r = és a+ b+ c = Azknak a diákknak a száma, akik legalább egy szakkörre járnak: ^p+ q+ rh- = 0-4, vagyis 0-4 = 6, ahnnan = Tehát azknak a diákknak a száma, akik járnak legalább egy szakkörre, 6 = 78 Ez az iskla 6 diákjának kb 78 $ 00 6,% -a Azk száma, akik semmilyen szakkörre nem járnak a 6 felső tagzatn: 00% - 6,% = 6,9% 5 A matematikai lgika elemei K Írjuk fel a következő jelzők tagadását, valamint két különböző, jelentést kifejező ellenkezőjét! a) szép; b) nagy; c) ks; d) vastag; e) kerek; f) hmrú eredeti kifejezés a tagadása két különböző jelentésű ellenkezője a) szép nem szép csúnya gyönyörű b) nagy nem nagy kicsi hatalmas c) ks nem ks buta zseniális d) vastag nem vastag vékny átlags vastagságú e) kerek nem kerek szögletes vális f) hmrú nem hmrú dmbrú sík K Írjuk fel a következő kijelentések tagadását! Döntsük el, hgy melyik igaz; az állítás vagy a tagadás! a) Minden természetes szám nagybb, mint 0 b) Vannak páratlan egész számk c) Minden hármszögnek van legalább két hegyesszöge d) Minden tengelyesen szimmetrikus négyszögnek van két-két egyenlő szögpárja e) Van lyan síknégyszög, amelyben a derékszögek száma f) Bármely két nem párhuzams egyenes metszi egymást

15 I HALMAZOK MATEMATIKA 5 a) Hamis A tagadása: Van 0-nál nem nagybb természetes szám Igaz, például a 0 b) Igaz A tagadása: Nincsen páratlan egész szám Hamis, például az c) Igaz A tagadása: Van lyan síkbeli hármszög, amelynek nincs legalább két hegyesszöge (vagyis legfeljebb egy hegyesszöge van) Hamis d) Hamis (például egy lyan deltid, amely nem rmbusz) A tagadása: Van lyan szimmetrikus négyszög, amelynek nincs két-két egyenlő szögpárja Igaz e) Hamis A tagadása: Minden síknégyszögben a derékszögek száma -tól különböző (nem ) Igaz, hiszen ha derékszöge lenne, akkr 4 is lenne f) Nem igaz, mert lehetnek kitérő egyenespárk A tagadása: Van lyan egyenespár, amely nem párhuzams és nem is metsző Igaz K Tételezzük fel, hgy igaz az az állítás, hgy Ha füttyentesz, elhallgatk Mi következik abból, hgy a) nem hallgattam el; b) nem füttyentettél; c) elhallgattam; d) füttyentettél? a) Nem füttyentettél, hiszen ha füttyentettél vlna, elhallgattam vlna b) Semmi Lehet, hgy nem hallgattam el, de az is lehet, hgy csak úgy magamtól elhallgattam c) Semmi Lehet, hgy füttyentettél, és azért, de az is lehet, hgy csak úgy magamtól elhallgattam d) Elhallgattam, hiszen ha füttyentesz, elhallgatk 4 K Ha megnyitm a csapt, flyik a víz Az alábbiak közül melyik állítás fejezi pntsan ugyanezt? a) Ha nem nyitm meg a csapt, nem flyik a víz b) Ha flyik a víz, megnyitttam a csapt c) Ha nem flyik a víz, nem nyitttam meg a csapt A c) Hiszen ha megnyitttam vlna a csapt, akkr flyna a víz 5 K Írjuk fel a következő állításk megfrdítását! a) Ha havazik, akkr fagy b) Ha péntek van, akkr mziba megyek c) Ha nincs kifgásd ellene, akkr ablakt nyitk d) Ha ráérsz, akkr eljöhetsz a) Ha fagy, akkr havazik b) Ha mziba megyek, akkr péntek van c) Ha ablakt nyitk, akkr nincs kifgásd ellene d) Ha eljöhetsz, akkr ráérsz 6 K Döntsük el, hgy igazak-e az alábbi állításk! Írjuk fel az állításk megfrdítását, és azkról is döntsük el, hgy igazak-e! a) Ha egy egész szám párs, akkr -esre végződik b) Ha egy egész szám sztható 9-cel, akkr a számjegyeinek az összege 9 c) Ha egy hármszög derékszögű, akkr a két rövidebb ldalra emelt négyzet területösszege egyenlő a leghsszabb ldalra emelt négyzet területével a) Hamis Megfrdítva: Ha egy egész szám -esre végződik, akkr párs Igaz b) Hamis Megfrdítva: Ha egy egész szám számjegyeinek az összege 9, akkr a szám sztható 9-cel Igaz c) Igaz, ez a Pitagrasz-tétel Megfrdítva: Ha egy hármszögben a két rövidebb ldalra emelt négyzet területösszege egyenlő a leghsszabb ldalra emelt négyzet területével, akkr a hármszög derékszögű Igaz, ez a Pitagrasz-tétel megfrdítása Egy hármszög akkr és csak akkr derékszögű, ha a két rövidebb ldalra emelt négyzet területösszege egyenlő a leghszszabb ldalra emelt négyzet területével

16

17 MATEMATIKA 7 II Algebra és számelmélet A hatványzás és aznsságai K Mivel egyenlő? a) ; b) 5 5; c) 0 0; 5 = d) 79; e) 4 6; f) 6; 6 = g) 7 49; h) 6 6; i) 8; = = = = j) $ = 6; 0 k) 6 $ = 6; l) = K Mivel egyenlő? a) ]- g = -; b) ]-g = -8; c) ]-g 4 =6; d) ]-g 6 = 79; e) 4 = 64; f) ]-g 4 = 8; g) ]-5 g = 5; h) 5 = 5; i) ]-5 g = -5; j) 5 $ ]-5 g = 65; k) ]-g $ 0 = 0; l) ]- g 00 = K Írjuk fel hatvány alakban a következő számkat, ha lehet, többféleképpen is! a) 000 például: =0 ; 0 5 b) 04 például: = = 4 = ; 4 c) 8 például: = = 9 ; d) 00 például: =0 ; 0 0 e) például: = = = ; 4 f) 65 például: = 5 = 5 4 K Írjuk fel prímszámk hatványainak szrzataként a következő számkat! a) 0 = $ 5 ; b) = $ ; c) 60 = $ $ 5 ; d) 6 = $ ; e) 8 = 4 ; f) 54 = $ ; g) 4 = 7 ; h) 04 = 0 ; i) = $ 5 ; j) 54 = $ ; k) 60 = $ 5; l) 8 = 7 ; m) 60 = $ $ 5 $ 7; 4 4 n) = $ 5 ; 9 ) = $ 5 5 K Mely számk prímtényezős alakját írtuk fel? a) = 8; b) = 7; c) $ = 08; d) 4 = 6; e) $ = 7; f) 048 = 4 = 4 = = A hatványzás aznsságainak kiterjesztése K Mely számkat írtuk hatványalakban? a) ; b) ( ) ; c) 5 ; d) ( ) 5 ; e) b l - ; f) b- l - ; g) ; h) b l a) ; b) ; c) - ; d) -; 5 e) 5; f) -5; g) ; h) 6 9

18 8 MATEMATIKA II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET K Írjuk fel a megadtt számkat hatványalakban, ha lehet, többféleképpen is! a) 00; b) 0,; c) 0,5; d) ; e) 0,0; f) ; 8 g) 0,000; h) 0,00 Például: - a) = = = b l ; 0 b) 0, = 0 ; c) 0,5 = 0,5 = ; 0 d) = = ; - e) 0,0 0 = = b l ; 0 f) 4 = = ; 8 9 g) -4 0,0 = = ; h) 0,000 = 0, = 0 K Számítsuk ki a szrzásk eredményét! 7-4 a) $ ; - - b) b l $ ; c) b l 4 $ ; d) 4 $ b l ; 4 - e) ; f) ; g) - ; h) b l $ b l 5 $ b l $ 5 b l 4 $ 4 5 a) 8; b) 4; c) 6 ; 8 d) ; e) 56 ; f) ; g) 65 ; h) 8 4 K Számítsuk ki a műveletek eredményét! a) 4 : ; b) :5 ; c) 4 $ ; d) ] g : ; - e) - ]- g :]-g ; f) - 4 : ] 4 - g ; g) $ ; h) 7 : b l 7 a) 9 ; b) 5; c) 78; d) ; 6 6 e) ; f) ; g) ; h) K Állítsuk nagyság szerint növekvő srrendbe a következő számkat! a = ; b = ]-g ; c = ; d = ]-g ; e = ; f = ]-g; g = ; h = ]-g a = ; b ; c ; d ; e ; f ; g ; h = - = = - = = - = = - Eszerint: f b = d h a e = g c - - Gyakrlati számításk K Fejezzük ki a következő számkat nrmálalakban! a) ; b) 5 000; c) 560; d) ; e) 0,; f),5; g) 0,000 05; h) 0 000,000 0 a) 60 $ 6 ; b),5 $ 0 5 ; c),56 $ 0 ; d) 4,54 $ 0 6 ; - e) 0 $ ; f),5 $ 0 0 ; g) 5$ 0 6 ; h), $ 0 4 K Mennyi a) a 0 5%-a; b) a 5 0%-a; c) a 0 5%-a; d) az 5 0%-a? a) ; b) ; c) 0,5; d) 0,5

19 II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET K Mennyi a) egy szám 0%-ának 0%-a; b) egy szám 80%-ának 0%-a; c) egy szám 5%-ának 80%-a; d) egy szám 80%-ának a 0%-a? MATEMATIKA 9 a) A szám 4%-a; b) a szám 96%-a; c) a szám 00%-a, azaz maga a szám; d) a szám 8%-a 4 K Melyik szám 45%-a a) a 0; b) a 45; c) a 5; d) az,5? : a), 00 : = ; b) 00; c) 00; d), 0 = 9 5 K Tekintsük a Földet egy lyan gömbnek, amelynek a középpntján átmenő körök kerülete km! a) Megközelítőleg mekkra a Föld átmérője? b) Megközelítőleg mekkra a Föld sugara? c) Megközelítőleg mekkra a Föld térfgata? d) Megközelítőleg mekkra a Föld felszíne? e) A Föld felszínének körülbelül hány százalékát brítja víz, ha az összes vízfelület nagysága körülbelül,4 0 8 km? (Emlékeztetőül: Az r sugarú kör kerülete rr, területe r r Az r sugarú gömb felszíne 4r r, térfgata 4 r ) r 4 a) d,7 $ 0 km b) r 6,4 $ 0 km c) V, $ 0 km 8 d) A 5, $ 0 km e) Kb 67%-át 6 K a) Hány százaléka a Föld átmérője a Napénak? b) Hány százaléka a Föld tömege a Napénak? A szükséges adatk megtalálhatók a négyjegyű függvénytáblázatban a) A Nap átmérője:,4 $ 0 6 km; a Föld átmérője:,7 $ 0 4 km 6 4, $ 0 A kettő aránya: 7, $ 0 4, $ 0 Vagyis a Föld átmérője a Nap átmérőjének,%-a b) A Föld tömege: 60 $ 4 kg, a Nap tömege: 0 $ 0 kg 4 A kettő aránya: 60 $ -6-0 $ százaléka Ez 0,000% 0 = 0 $ 4 0 $ 4 Algebrai kifejezések összevnása, szrzása K Végezzük el az alábbi szrzáskat! 5 4 a) 4ac$ 5abc; b) 4 yz 5 $ yz; c) 5 pqs $ b- pqsl a) 0a bc; b) yz; c) - pqs 4 K Végezzük el az alábbi szrzáskat! a) ^ + yh_ -5y-6y i; b) a a b a ab 4 b - lb + - a bl 4 a) 6-0 y-y + 9 y-5y -8y = 6 - y-7y -8y ; b) 4 a 4 a b 8 a b 5 a b a b + a b 9 9 8

20 0 MATEMATIKA II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET K Végezzük el az alábbi szrzást! 4 5 ] a- g ^+ a+ a + a + a + a h a+ a + a + a + a + a --a-a -a -a -a = a - 4 K Végezzük el az alábbi szrzáskat! a) 4 a $ a; b) 4 5 pq$ _-6 pq i; c) y b- l$ b y l a) a; b) -p 5 q 8 ; c) - y 4 5 K A következő feladatkban egy többtagú összeget kell szrznunk egy taggal a) ^ - + 4h; b) 6ab^ ab + ab - 4a bh; c) y y 5 y 0 b - + yl a) ; b) ; c) 5 y ab+ 8ab- 4ab - y + y 0 6 E A következő feladatkban egy többtagú összeget kell szrznunk egy taggal a) 4 y _ y- y + 5yi; b) m n q p n m q p m- n+ q p 4 m+ n m-n b - + q p l 5 n+ k+ n+ k n+ k n+ k+ a) ; b) m+ n n+ m q p m- n+ q p 4 m+ n m+ n y - 8 y + 0 y - + q p K Az alábbi feladatkban több tagt kell több taggal szrznunk a) ] a+ g] a- g; b) ^ y -h _ y -y + yi; c) ] -g^ h a) a - 4 ; b) y -y + y -y + 4y-y = y -y -y + 4y-y; c) = E Az alábbi feladatkban több tagt kell több taggal szrznunk n k a) _ + y i^ + + yh; n+ k b) _ p - q i^p+ q+ pqh; c) k k+ -k y k k y k- b + lb - + y l 6 a) n n+ n k k k+ + + y+ y + y + y ; n+ n+ n+ k k+ k+ b) p + p q+ p q-pq -q -pq ; c) k k y k k- y 4 -k + k k k+ y y k y Nevezetes szrzatk K Végezzük el az alábbi műveleteket! a) ^5- yh ; b) ^ab + 4ab h ; c) _ 5y- yi a) 5-0y+ 9y ; b) 4ab+ 6ab+ 6ab; c) 5y- 0y+ 4y K Alakítsuk szrzattá az alábbi kéttagú összegeket! a) 49b - ; b) 6ab- 64ab; c) 6 4 p ab 6 5 a) ^7b + h^7b - h ; b) ^6ab+ 8abh^6ab- 8abh; c) p 4 ab p 4 b + lb - abl

21 II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET K Elvégeztük egy kéttagú összeg négyzetre emelését, és eredményül azt kaptuk: ] g = 4a - ab+ Sajns az utlsó tag elmsódtt a papírn Milyen összeget emeltünk négyzetre? ] a-bg = 4a -ab+ 9b vagy ]-a+ bg = 4a -ab+ 9b 4 K Számítsuk ki az alábbi kéttagú összegek köbét! a) a a ^ + h ; b) ^- yh ; c) k b - n kl a) a + 9a + 7a + 7a ; b) 8 - y+ 6y -y ; c) k k n n k n k K Két tag összegének, illetve különbségének a négyzetéről tanultak alapján végezzük el az alábbi négyzetre emeléseket! a) y ^ - h ; b) ^a - 4bh ; c) ^4p+ qh a) 4 - y+ 9y ; 4 b) a - 8a b+ 6b ; c) 6p + 4pq+ 9q 6 K Végezzük el az alábbi négyzetre emeléseket! a) ^ - h ; b) _ y + yi ; c) ^4a + abh a) - + ; 6 4 b) 4y + y + 9y ; 4 c) 6a + 4a b+ 9a b 7 K Két tag összegének, illetve különbségének a szrzatáról tanultak alapján végezzük el az alábbi szrzáskat! a) ^+ yh^- yh; b) _ + yi_ - yi; c) ^ 5a b + ab h^5a b - ab h a) - 9y ; 4 b) 4 - y ; 6 4 c) 5ab- 4ab 8 E Végezzük el a négyzetre emeléseket! a) b y- yl ; b) ab 5 b + abl ; c) 4 n y 5 n b - y l 5 5 a) 6 4 y y+ 4y; b) ab ab ab; c) 6 n 4 y 8 n+ n+ y 5 4 n y K Két tag négyzetét számltuk ki; mi lehet az eredmény hiányzó harmadik tagja? a) ] g = y ; b) ] g = 4a - a b ; c) ] g = 5p -0 p q a) ^4+ yh = 6 + 8y+ y ; b) ^a -abh = 4a -a b+ 9a b ; c) _ 5p -p qi = 5p -0p 5 q+ 4p q 0 K Két tag összegének, illetve különbségének harmadik hatványáról tanultak alapján végezzük el az alábbi köbre emeléseket! a) ] a + g ; b) ^+ yh ; c) ^k - kh a) 8a + a + 6a+ ; b) y+ 54y + 7y ; c) k -6k 5 + k -8k MATEMATIKA

22 MATEMATIKA II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET 6 Tvábbi nevezetes szrzatk (Emelt szint) E Végezzük el a négyzetre emeléseket! a) ^+ y+ zh ; b) ] a+ b- cg ; c) b a b - + abl a) + 4y + z + 4y+ z+ 4yz; b) 4a + 9b + c + ab-4ac-6bc; c) 4 a 9b 4 ab ab ab-4ab 4 9 E Alakítsuk szrzattá az alábbi kéttagú összegeket! a) ; b) p - q ; c) a ; d) 7k - y a) ] + g ^ h ; b) _ p i -q = _ p -qi_ p + p q+ q i; c) a + = ] a+ g^a -a + 4a -8a+ 6h 6 ; d) _ k- y i_ 9k + ky + y i E Igazljuk, hgy sztható 50-cal! ^ h = ^ -h$ K, ahl K egész szám Tehát ^ - h ^ + h $ K De + = 5 0, tehát a kifejezés sztható 5 0-cal 4 E Hármtagú összeg négyzetéről tanultak alapján végezzük el az alábbi négyzetre emeléseket! a) a b+ c ] - g ; b) ^-y-zh ; c) ^p+ q+ zh a) a + b + 4c -ab+ 4ac-4bc; b) 4 + 9y + z -y-4z+ 6yz; c) p + 4q + 9z + 4pq+ 6pz+ qz 5 E Hármtagú összeg négyzetéről tanultak alapján végezzük el az alábbi négyzetre emeléseket! a) ^a - ab+ b h ; b) p p q b + - q l ; c) ^ k k+ k k- a - b + a b h a) 4a + 9a b + b -a b+ 4a b -6ab ; b) 9 p pq q pq pq pq; k k+ k k- k k+ k k- k k c) 4a + 9b + a b -a b + 4a b -6a b 6 K Számítsuk ki az alábbi kifejezések megfelelő helyettesítési értékét! a) ^ a b a b a b a b, a,9, b - h -^ + h^ - h + = - = ; b) ^ 4, + + h - ^ + h- = - ; 5 c) ^6k -5nh^ 6k + 5nh -6 k ] + 0ng + ^6k + 5nh, k =, n = -,5 4 4 a) 4a a b 9b 4a 9b a b 8b = = $ = ; b) = + = ; 5 c) 6k 4-5n -7k -60k n+ 6k k n+ 5n = -7k = -7

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET C

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET C MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET C Matematika 11. évflyam TANULÓK KÖNYVE Készítette: Kvács Kárlyné A kiadvány KHF/457-7/009. engedélyszámn 009.05.1. időpnttól tankönyvi engedélyt kaptt Educati Kht. Kmpetenciafejlesztő

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Halmazműveletek feladatok

Halmazműveletek feladatok Halmazműveletek feladatok Soroljuk fel a {a; b; c} halmaz összes részhalmazát! Határozza meg az A és B halmazokat, ha tudja, hogy A B ={1;2;3;4;5}; A B ={3;5}; A\B={1}; B\A={2;4 A={-1; 0; 1; 2; 5; 7; 8}

Részletesebben

4. Számelmélet, számrendszerek

4. Számelmélet, számrendszerek I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

0644. MODUL SZÁMELMÉLET. Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA

0644. MODUL SZÁMELMÉLET. Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0644. MODUL SZÁMELMÉLET Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0644. Számelmélet Közös osztók, közös többszörösök Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

Érettségi feladatok: Halmazok, logika

Érettségi feladatok: Halmazok, logika Érettségi feladatok: Halmazok, logika 2005. május 10 18. Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. Először Ádám

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot! Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Deiniálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!. Csoportosítsa a négyszögeket az oldalak párhuzamossága, és egyenlősége alapján! 3. Határozza meg a

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Halmazok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Halmazok MTEMTIK ÉRETTSÉGI TÍPUSFELDTOK MEGOLDÁSI KÖZÉP SZINT Halmazok szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804) Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

12. Trigonometria I.

12. Trigonometria I. Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT MATMATIKA ÉRTTSÉGI 011. május 3. KÖZÉPSZINT 1) gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6 b b 36 6 I. Az egyszerűsítés utáni alak: b 6 Összesen: pont ) A, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

7. OSZTÁLY TANMENETE MATEMATIKÁBÓL 2014/2015

7. OSZTÁLY TANMENETE MATEMATIKÁBÓL 2014/2015 7. OSZTÁLY TANMENETE MATEMATIKÁBÓL 2014/2015 Évi óraszá: 108 óra Heti óraszá: 3 óra 1. téa: Racionális száok, hatványozás 11 óra 2. téa: Algebrai kifejezések 12 óra 1. téazáró dolgozat 3. téa: Egyenletek,

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT

3. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-2012-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT 2015 I. Időtartam: 45 perc Oktatáskutató

Részletesebben

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok

10. Síkgeometria. I. Elméleti összefoglaló. Szögek, nevezetes szögpárok 10. Síkgeometria I. Elméleti összefoglaló Szögek, nevezetes szögpárok Egy adott pontból kiinduló két félegyenes a síkot két részre bontja. Egy-egy ilyen rész neve szögtartomány, vagy szög. A két félegyenest

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz Gedeon Veronika (Budapest) A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

148 feladat 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 200 > 1 2. 1022 + 1. 5. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 51 + 1 52 + + 1

148 feladat 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 200 > 1 2. 1022 + 1. 5. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 51 + 1 52 + + 1 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

1.1. Halmazok. 2. Minta - 5. feladat (2 pont) Adott két halmaz:

1.1. Halmazok. 2. Minta - 5. feladat (2 pont) Adott két halmaz: 1.1. Halmazok 2009. május id. - 11. feladat (3 pont) A H halmaz elemei legyenek a KATALINKA szó betűi, a G halmaz elemei pedig a BICEBÓCA szó betűi. Írja fel a H U G halmaz elemeit! 2010. október - 1.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 091 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Év végi ismétlés 9. - Érettségi feladatok

Év végi ismétlés 9. - Érettségi feladatok Halmazok, logika Év végi ismétlés 9. - Érettségi feladatok 1. Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. Először

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ MATEMATIKA ÉRETTSÉGI FELADATOK GYŰJTEMÉNYE

KÖZÉPSZINTŰ MATEMATIKA ÉRETTSÉGI FELADATOK GYŰJTEMÉNYE KÖZÉPSZINTŰ MATEMATIKA ÉRETTSÉGI FELADATOK GYŰJTEMÉNYE KÉSZÍTETTE BRÓSCH ZOLTÁN 2015.08.29. Előszó,,Önmagáért szeretem a matematikát, s szeretem mindmáig, mert nem tűri a képmutatást és a homályt, azt

Részletesebben

HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK

HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK I. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő IX.TÉMAKÖR I.TÉMAKÖR HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK Téma A halmaz fogalma, alapfogalmak, elemek száma, üres halmaz, egyenlő halmazok, ábrázolás Venn-diagrammal

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam eszközök diákok és csoportok részére 1. félév A kiadvány KHF/4632-14/2008. engedélyszámon 2008.12.16. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio

Részletesebben

Matematika kisérettségi

Matematika kisérettségi Matematika kisérettségi 2010. május 11. I. rész Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 30 percet fordíthat, az idő elteltével a munkát be kell fejeznie. 2. A megoldások sorrendje tetszőleges. 3.

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 111 É RETTSÉGI VIZSGA 011. október 18. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA. 9. Nyelvi előkészítő osztály MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 01. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

P R Ó B A É R E T T S É G I 2 0 0 4. m á j u s KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ P R Ó B A É R E T T S É G I 0 0 4. m á j u s MATEMATIKA KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a

Részletesebben

1. Alapfogalmak Információ o o

1. Alapfogalmak Információ o o http://fariblghu.wrdpress.cm/2011/12/31/final-exam-tpics-it/ 1. Alapfgalmak Infrmáció Adat http://fariblghu.wrdpress.cm az infrmatika nem definiált alapfgalma körülírással megfgalmazva: lyan tény, közlés,

Részletesebben

MATEMATIKA HELYI TANTERV Kéttannyelvű magyar-francia előkészítő év számára

MATEMATIKA HELYI TANTERV Kéttannyelvű magyar-francia előkészítő év számára MATEMATIKA HELYI TANTERV Kéttannyelvű magyar-francia előkészítő év számára Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési,

Részletesebben

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont)

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont) 1997 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok 1. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 3 2 x 1 2 2 x 1 + 2 2x 1 3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe,

Részletesebben

Matematika (alsó tagozat)

Matematika (alsó tagozat) Matematika (alsó tagozat) Az értékelés elvei és eszközei A tanév során az értékelés alapja a tanulók állandó megfigyelése. Folyamatos fejlesztő célzatú szóbeli értékelés visszajelzést ad a tanuló számára

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából Matematikából osztályozó vizsgára kötelezhető az a tanuló, aki magántanuló, vagy akinek a hiányzása eléri az össz óraszám 30%-át. Az írásbeli vizsga időtartama

Részletesebben

Azonosító jel: ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. Időtartam: 45 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM

Azonosító jel: ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. Időtartam: 45 perc OKTATÁSI MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 2005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika középszint írásbeli vizsga I. összetevő

Részletesebben

SZÁMELMÉLET FELADATSOR

SZÁMELMÉLET FELADATSOR SZÁMELMÉLET FELADATSOR Oszthatóság 1. Az 123x4 számban milyen számjegy állhat x helyén, ha a szám osztható a) 3-mal; e) 6-tal; b) 9-cel; f) 24-gyel; c) 4-gyel; g) 36-tal; d) 8-cal; h) 72-vel? 2. Határozd

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2005. május 28. KÖZÉPSZINT I. ) Mely valós számokra igaz, hogy 7 7 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 8. KÖZÉPSZINT I. 7? Összesen: pont ) Egy 40 000 Ft-os télikabátot a tavaszi árleszállításkor 0%-kal olcsóbban lehet megvenni. Mennyi

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 131 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. október 15. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából 7-12. évfolyam Matematikából a tanulónak írásbeli és szóbeli osztályozó vizsgán kell részt vennie. Az írásbeli vizsga időtartama 60 perc, a szóbelié 20 perc.

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2008. május 6. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2008. május 6. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 11 ÉRETTSÉGI VIZSGA 01. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: 1.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Halmazok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Halmazok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Halmazok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Melléklet a Matematika című részhez

Melléklet a Matematika című részhez Melléklet a Matematika című részhez Az arányosság bemutatása Az első könyvsorozatban 7. osztály, Tk-2 és Tk-3-ban 6. osztály, Tk-3b-ben 5. osztály(!), Tk-4-ben ismét 6. osztály, és végül Tk-4b-ben 5-6.

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória)

Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória) ARANY DÁNIEL MATEMATIKAI TANULÓVERSENY 013/014-ES TANÉV Kezdők és Haladók (I., II. és III. kategória) Feladatok és megoldások A verseny az NTP-TV-13-0068 azonosító számú pályázat alapján a Nemzeti Tehetség

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR : MATEMATIKA, EMELT SZINT

PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSOR : MATEMATIKA, EMELT SZINT 1. FELADATSOR Felhasználható idő: 40 perc I. rész 1.1.) Oldja meg grafikusan az alábbi egyenlőtlenséget! x + 1 + 1 x + x + 11 1..) Mekkora legyen az x valós szám értéke, hogy az alábbi három mennyiség

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY KÖRZETI SZÓBELI FORDULÓ 2005. OKTÓBER 29. 5. osztály

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY KÖRZETI SZÓBELI FORDULÓ 2005. OKTÓBER 29. 5. osztály 5. osztály Józsi bácsi egy farkassal, egy kecskével és egy fej káposztával egy folyóhoz érkezik, amin át szeretne kelni. Csak egy olyan csónak áll rendelkezésére, amellyel a felsoroltak közül csak egyet

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. május 7. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 7. KÖZÉPSZINT 1) Az A és B halmazokról tudjuk, hogy B\ A 1; ; 4; 7. Elemeinek felsorolásával adja meg az A halmazt! A ; 5; 6; 8; 9 I. AB 1; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9 és ) Egy

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0511 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 10. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 180 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0711 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2010. október 19. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2010. október 19. EMELT SZINT 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 010. október 19. EMELT SZINT a) Mely valós számok elégítik ki az alábbi egyenlőtlenséget? 3 3 1 1 8 b) Az alábbi f és g függvényt is a f 3 és g 0,5,5 I. 3;6. intervallumon értelmezzük.

Részletesebben

MATEMATIKA 5-6. Motiváció és közelítés a mindennapokhoz az OFI kísérleti tankönyveiben

MATEMATIKA 5-6. Motiváció és közelítés a mindennapokhoz az OFI kísérleti tankönyveiben A Nemzeti Alaptantervhez illeszkedő tankönyv-, taneszköz-, és Nemzeti Közoktatási Portál fejlesztése TÁMOP-3.1.2-B/13-2013-0001 MATEMATIKA 5-6. Motiváció és közelítés a mindennapokhoz az OFI kísérleti

Részletesebben

ZIPERNOWSKY MATEMATIKA KUPA

ZIPERNOWSKY MATEMATIKA KUPA ZIPERNOWSKY MATEMATIKA KUPA VERSENY 99 0 KÉSZÜLT A ZIPERNOWSKY KÁROLY MŰSZAKI SZAKKÖZÉPISKOLA FENNÁLLÁSÁNAK 00. ÉVFORDULÓJA ALKALMÁBÓL A FELADATSOROKAT ÖSSZEÁLLÍTOTTA: GOMBOCZ ERNŐ SZERKESZTETTE: KISS

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály 40 rózsát el lehet-e osztani 5 lány között úgy, hogy mindegyik lánynak páratlan számú rózsa jusson? Nem lehet.(1 pont) Öt darab páratlan szám összege páratlan, a 40 páros (1 pont). Hogyan tudnátok

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

MATEMATIKA HELYI TANTERV 9/AJTP évfolyam

MATEMATIKA HELYI TANTERV 9/AJTP évfolyam MATEMATIKA HELYI TANTERV 9/AJTP évfolyam Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA Név:... osztály:... ÉRETTSÉGI VIZSGA 2006. május 9. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2006. május 9. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 1313 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Matematikai tehetséggondozás Heves megyében Bíró Bálint, Eger

Matematikai tehetséggondozás Heves megyében Bíró Bálint, Eger Matematikai tehetséggondozás Heves megyében Bíró Bálint, Eger 1. Bevezetés: A matematikai tehetséggondozás egyik alapja a tehetségek felkutatása. Ahhoz pedig, hogy matematikai tehetségeket találjunk, olyan

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2015. május 5. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Matematika középszint

Részletesebben

MATEMATIKA VERSENY --------------------

MATEMATIKA VERSENY -------------------- Eötvös Károly Közös Fenntartású Általános Iskola 2013. és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény 831 Vonyarcvashegy, Fő u. 8/1. 2. osztály MATEMATIKA VERSENY -------------------- név Olvasd el figyelmesen,

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

HALMAZOK. Készítette: Fazekas Anna matematika tanár

HALMAZOK. Készítette: Fazekas Anna matematika tanár HALMAZOK Készítette: Fazekas Anna matematika tanár Halmazok megadása, számossága Rövid történelmi áttekintés A halmazelmélet előfutárának Richard Dedekind (1831 1916) német filozófust tekintjük, akinél

Részletesebben

15. Koordinátageometria

15. Koordinátageometria I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +

Részletesebben

Ismétlő feladatsor: 10.A/I.

Ismétlő feladatsor: 10.A/I. Ismétlő feladatsor: 0.A/I. Harasztos Barnabás 205. január. Feladat Mekkora az alábbi ábrán (szürkével) jelölt síkidom összterülete? A terület egységének a négyzetrács egy négyzetének területét tekintjük!

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 063 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. február. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben