Dr. Fried Katalin Dr. Gerőcs László Számadó László

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Dr. Fried Katalin Dr. Gerőcs László Számadó László"

Átírás

1 Dr Fried Katalin Dr Gerőcs László Számadó László MATEMATIKA 9 A tankönyv feladatai és a feladatk megldásai A megldásk lvasásáhz Acrbat Reader prgram szükséges, amely ingyenesen letölthető az internetről (például: adbelahu webldalról) A feladatkat fejezetenként külön-külön fájlba tettük A fejezet címmel elláttt fájl tartalmazza a fejezet leckéinek végén kitűzött feladatk részletes megldásait A feladatkat nehézségük szerint jelöltük: K = középszint, könnyebb; K = középszint, nehezebb; E = emelt szint, könnyebb; E = emelt szint, nehezebb feladat Lektrk: PÁLFALVI JÓZSEFNÉ KONCZ LEVENTE Tipgráfia: LŐRINCZ ATTILA Szakgrafika: DR FRIED KATALIN Dr Fried Katalin, Dr Gerőcs László, Számadó László, Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt, 009 Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt wwwntkhu Vevőszlgálat: inf@ntkhu Telefn: A kiadásért felel: Kiss Jáns Tamás vezérigazgató Raktári szám: RE 60 Felelős szerkesztő: Szlbda Tibrné Műszaki igazgató: Babicsné Vasvári Etelka Műszaki szerkesztő: Marcsek Ildikó Grafikai szerkesztő: Görög Istvánné, Mikes Vivien Terjedelem: 4,9 (A/5) ív kiadás, 00

2

3 MATEMATIKA Tartalm Jelmagyarázat 5 I Halmazk Halmazk, jelölések 7 Speciális halmazk, intervallumk 9 Halmazk uniója, metszete 4 Halmazk különbsége, kmplementer halmaz 5 A matematikai lgika elemei 4 II III IV Algebra és számelmélet A hatványzás és aznsságai 7 A hatványzás aznsságainak kiterjesztése 7 Gyakrlati számításk 8 4 Algebrai kifejezések összevnása, szrzása 9 5 Nevezetes szrzatk 0 6 Tvábbi nevezetes szrzatk (Emelt szint) 7 Összegek szrzattá alakítása 8 Algebrai törtek egyszerűsítése, összevnása 4 9 Algebrai törtek szrzása, sztása, összetett műveletek algebrai törtekkel 6 0 Oszthatóság 8 Prímszámk, a számelmélet alaptétele 9 Legnagybb közös sztó, legkisebb közös többszörös 0 Osztók száma, négyzetszámk (Emelt szint) 4 Számrendszerek Függvények, srzatk Hzzárendelések, függvények 5 Pnthalmazk a krdináta-rendszerben 7 A lineáris függvény 40 4 Az abszlútérték-függvény 4 5 Az f : 7 függvény 46 6 A másdfkú függvény összetett transzfrmációi 47 7 Tvábbi függvények 49 Bevezetés a gemetriába Pntk, egyenesek, síkk 55 Szakasz, félegyenes, szög 56 Hármszögek 58 4 Tvábbi összefüggések a hármszög alapadatai között 60 5 Összefüggés a derékszögű hármszög ldalai között 6 6 Gemetriai számításk 6 7 Gemetriai szerkesztések 64 8 Thalész-tétel 66 9 A hármszög ldalfelező merőlegesei és köré írt köre 67 0 A hármszög szögfelezői, beírt és hzzáírt körei 70 Skszögek 7

4 4 MATEMATIKA TARTALOM V Egyenletek, egyenletrendszerek Elsőfkú egyismeretlenes egyenletek 75 Szöveges feladatk megldása egyenletekkel 76 Egyenletek megldási módszerei 78 4 Egyenlőtlenségek 80 5 Abszlút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek 8 6 Elsőfkú kétismeretlenes egyenletrendszerek és megldásuk behelyettesítő módszerrel 84 7 Elsőfkú kétismeretlenes egyenletrendszerek megldása egyenlő együtthatók módszerével 85 8 Elsőfkú kétismeretlenes egyenletrendszerek megldása grafikus módszerrel 86 9 Egyenletrendszerrel megldható szöveges feladatk 87 VI Gemetriai transzfrmációk Néhány gemetriai transzfrmáció 89 Egybevágósági transzfrmációk a síkn 9 Alakzatk egybevágósága 94 4 Szimmetria 96 5 Tvábbi nevezetes pntk és vnalak a hármszögben 97 6 Vektrk 98 7 Pnthalmazk 00 8 Szög, körív, körcikk 04 VII Kmbinatrika Srrendek 05 Leszámlálásk 06 VIII Statisztika Adatk gyűjtése, rendszerezése, jellemzése 09 Adatk szemléltetése 0 A kétarcú statisztika 5

5 MATEMATIKA 5 Jelmagyarázat Az A pnt és az e egyenes távlsága: d(a; e) vagy Ae Az A és B pnt távlsága: AB vagy AB vagy d(a; B) Az A és B pnt összekötő egyenese: e(a; B) Az f és f egyenesek szöge: ( f; f) B vagy A C csúcspntú szög, melynek egyik szárán az A, másik szárán a B pnt található: ACBB A C csúcspntú szög: CB Szög jelölése: a, b, c, f Az A, B és C csúcskkal rendelkező hármszög: ABC9 Az ABC9 területe: T(ABC) vagy T ABC Az a, b és c ldalú hármszög fél kerülete: s a b c = + + A derékszög jele: * Az e egyenes merőleges az f egyenesre: e= f Az e egyenes párhuzams az f egyenessel: e < f Egybevágóság:,; ABC9, AlBlCl9 A hasnlóság aránya: m Az A pntból a B pntba mutató vektr: AB Aznsan egyenlő: /; B ( f; f) Egyenlő, nem egyenlő: =,!; a =, b! 5 a+ b / 5 Közelítőleg egyenlő: ; a,; 8,54 8,5 Kisebb, kisebb vagy egyenlő: <, #; <, 5 # Nagybb, nagybb vagy egyenlő: >, $; 6 > 4, a $ A természetes számk halmaza: N; {0; ; ; } Az egész számk halmaza: Z; { ; ; ; 0; ; ; } A pzitív, a negatív egész számk halmaza: Z +, Z ; {; ; ; }, { ; ; ; } A racinális, az irracinális számk halmaza: Q, Q * A pzitív, a negatív racinális számk halmaza: Q +, Q A valós számk halmaza: R A pzitív, a negatív valós számk halmaza: R +, R Eleme, nem eleme a halmaznak:!, "; 5! N, - g Z + Részhalmaz, valódi részhalmaz:, ; A R, N Q Nem részhalmaza a halmaznak: j; Z Y Q Halmazk uniója, metszete:,, +; Halmazk különbsége: \; A \ B Üres halmaz: Q, { } Az A halmaz kmplementere: A Az A halmaz elemszáma: A ; Zárt intervallum: [a; b] Balról zárt, jbbról nyílt intervallum: [a; b[ Balról nyílt, jbbról zárt intervallum: ]a; b] Nyílt intervallum: ]a; b[ Az szám abszlút értéke: ; Az szám egész része, tört része: [], {}; [,] =, {,} = 0, Az a sztója b-nek: a b; 8 + A, B, A+ B " 0 ; ;, = -, =, Az a és b legnagybb közös sztója: (a, b); (4, 6) = Az a és b legkisebb közös többszöröse: [a, b]; [4, 6] = Az f függvény hzzárendelési szabálya: f: 7 f] g; f: 7 + vagy f ] g= y; f ] g= + Az f függvény helyettesítési értéke az 0 helyen: f0 ( ); f(5), ha 0 = 5

6

7 MATEMATIKA 7 I Halmazk Halmazk, jelölések K Döntsük el, hgy halmazt adtunk-e meg az alábbiakban! a) A párs természetes számk b) A barátságs emberek c) A kerek számk d) A kis törtek e) Az -nél kisebb pzitív törtek Halmaz: a), e) K Írjuk fel, hgy az alábbiak közül melyek az egyenlő halmazk! A = {a pzitív egyjegyű párs számk}; B = {a nem 0 párs számjegyek}; C = {a párs számjegyek}; D = {0,, 4, 6, 8}; E = {, 4, 6, 8}; F = { egyjegyű többszörösei} A = B = E, C = D = F K a) Adjuk meg elemei felsrlásával a következő halmazkat! A) a -nál nagybb, 0-nél nem nagybb egész számk; B) a 0 többszörösei; C) egyjegyű pzitív többszörösei; D) 0 pzitív sztói; E) a 8 és a 0 legkisebb közös többszöröse b) Szemléltessük a fenti halmazkat kétféle módn! a) A = " 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, ; B =! 0+ ; C = ", 4, 6, 8, ; D = ",,, 5, 6, 0, 5, 0, ; E =! 90+ b) Mindegyik halmazt szemléltethetjük Venn-diagramn és a számegyenes pntjaiként A) A 4, 5, 6, 7, 8, 9, B) B 0 0

8 8 MATEMATIKA I HALMAZOK C) C, 4, 6, D) D,,, 5, 6, 0, 5, E) E K Adjuk meg elemei egy közös tulajdnságával a következő halmazkat! A = {,, 5, 7,,, 7, 9}; B = {5, 0, 5, 0, 5, 0, 5, }; C = {, 9, 7, 8, 4, 79, }; D = {0, } A = {a legfeljebb kétjegyű pzitív prímszámk}; B = {az 5 pzitív többszörösei}; C = {a pzitív egész kitevőjű hatványai}; D = {a 0 és az } = {a -nél kisebb természetes számk} 5 E Igazljuk, hgy két racinális szám a) összege; b) különbsége; c) szrzata; d) hányadsa (ha van) is racinális szám! A racinális számk minden esetben felírhatók két egész szám hányadsaként a) Az összeadáshz közös nevezőre hzzuk a számkat Tvábbra is egész számk hányadsai lesznek Az összeg nevezője a közös nevező (egész szám), a számláló a két számláló összege (egész számk összege egész szám) Ezért az összeg két egész szám hányadsa, vagyis racinális szám lesz b) Ugyanezzel a gndlattal ldható meg, csak a számláló a két számláló különbsége, de tvábbra is egész szám lesz c) A szrzat számlálója a két szám számlálójának, a nevező a két szám nevezőjének a szrzata, tehát egész szám d) A hányads az sztandó és az sztó reciprkának (ha van) a szrzata, ami szintén racinális 6 E Lehet-e egy racinális és egy irracinális szám a) összege; b) különbsége; c) szrzata; d) hányadsa racinális, illetve irracinális szám? a) Irracinális biztsan lehet Ha például a racinális tag 0, akkr az összeg irracinális Ha az összeg racinális lenne, akkr a racinális tagt kivnva belőle mivel a különbség

9 szintén racinális, a másik tag is racinális lenne Ez az eset nem frdulhat elő Racinális tehát nem lehet b) Írjuk fel a racinális szám kivnását az ellentett hzzáadásával Ekkr ugyanazt kapjuk, mint az a) esetben: mindig irracinális c) Irracinális biztsan lehet Ha például a racinális tényező, akkr a szrzat irracinális Racinális is lehet, ha például a racinális tényező 0 Ekkr ugyanis a szrzat racinális, mert 0 Másképp aznban nem lehet racinális a szrzat, különben sztva a racinális tényezővel, racinális számt kapnánk, vagyis racinális lenne a másik tényező is d) Legyen a kérdéses hányads a b nem lehet 0 Ha a = 0, akkr 0 a = is racinális b b Ha sem a, sem b nem 0 és b racinális, akkr is az, ha b irracinális, akkr is az A c) feladat szerint akkr a $ b b irracinális b A hányads csak abban az esetben lehet racinális, ha a = 0 I HALMAZOK 7 E Lehet-e két irracinális szám a) összege; b) különbsége; c) szrzata; d) hányadsa racinális, illetve irracinális szám? MATEMATIKA 9 a) Mindkettő lehet r+ ]-rg= 0 racinális; r+ r = r irracinális b) Mindkettő lehet r- r = 0 racinális; r-- ] rg= r irracinális c) Mindkettő lehet $ = racinális; $ = 6 irracinális d) Mindkettő lehet : = racinális; 6 : = irracinális Speciális halmazk, intervallumk K Ábrázljuk számegyenesen a következő intervallumkat! a) ] 0; 6]; b) ] ; 0[; c) ] ; 5]; d) ]4,5; [; e) [,5; 7,5]; f) ] 6; [ a) b) c) d) e) f) ,5 0 7, ,5 K Adjuk meg és szemléltessük a következő egyenlőtlenségek megldáshalmazát, ha az alaphalmaz A) a természetes számk; B) az egész számk; C) a nemnegatív valós számk halmaza! a) < 0; b) > 5; c) $ ; d) < 0 a) A természetes számk alaphalmazán a megldáshalmaz " ,,,,,,,,,, Az egész számk halmazán a " f, -,-,-, 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A nemnegatív valós számk halmazán a 60;06 intervallum

10 0 MATEMATIKA I HALMAZOK A) B) C) b) Ha - 5, akkr -5 [Mindkét ldalhz hzzáadunk ] - 5g-öt] Eszerint ha egy alaphalmazn van megldása, az negatív A természetes számk halmazában nincs megldása Az egész számk halmazán a megldáshalmaz a " f, -0,-9,-8,-7,-6, A nemnegatív valós számk halmazában sincs megldása B) c) A természetes számk halmazán a megldáshalmaz: " 4567f,,,,,,, az egész számk halmazán " f, -8,-7,-6,-5,-4,-,, 4, 5, 6, f,, vagyis az egész számk halmazából elhagyva a "-,-, 0,,, halmazt A valós számk halmazán a ]-g-nál kisebb vagy egyenlő, illetve a -nál nagybb vagy egyenlő számk tartznak a megldáshalmazhz A) B) C) d) < 0, a természetes számk halmazán nincs megldás Az egész számk halmazában a 0-nál kisebb egész számk A valós számk halmazában a 0-nál kisebb valós számk B) C) E Az alábbi egyenlőtlenségek alaphalmaza a valós számhalmaz A megldáshalmazkat írjuk lyan srrendben, hgy mindegyik halmaz után következő halmaz részhalmaza legyen neki! a) > 5; b) 0 $ 5; c) < 0; d) 5 < ; e) - 5 a) A megldáshalmaz: A = " 5vagy -5, b) A megldáshalmaz: B =! $ 5+ c) A megldáshalmaz: C =! 0+ d) A megldáshalmaz: D =! 5+ e) A megldáshalmaz: E = " 7vagy -7, Ha szemléltetjük a megldáshalmazkat számegyenesen, akkr könnyen lelvashatjuk, hgy A E C B D 4 K Írjuk fel az ábrával adtt intervallumkat, illetve azt a halmazt, amely azn elemekből áll, amelyek nincsenek az adtt halmazban! a) 0

11 I HALMAZOK MATEMATIKA b) c) d) e) A halmazk és párjaik: a) -5, illetve #-5; b) - #, illetve " #-vagy, ; c),5, illetve $,5; d) 0, illetve # 0; e) -, illetve " #-vagy $, Halmazk uniója, metszete K Egy sprttagzats sztály létszáma 4 fő Az sztályban mindenki atletizál vagy ksárlabdázik 6-an atletizálnak, 4-en ksaraznak Hány lyan tanuló van az sztályban, aki csak ksarazik? Ha azknak a száma, akik mindkét sprtt űzik, akkr = 4, ahnnan = 6 Így azk száma, akik csak ksaraznak: 8 K Egy sztály minden tanulója elment a tanév hárm isklai kncertjének valamelyikére Az első kncerten -en vltak, a másdik kncerten ugyancsak -en vettek részt, a harmadik kncerten pedig -an Mindhárm kncerten diák vett részt Azk száma, akik csak egy kncerten vltak: 4 Mennyi az sztálylétszám? I() a y b z II() A feladat szövegének megfelelő halmazábra: a+ b+ c = ^+ y+ zh-6 = y+ z Innen + z+ y = 7 Tehát az sztálylétszám: = 4 c III() K Legyen A halmaz a -vel, B halmaz a -mal, C halmaz a 4-gyel sztható számk halmaza Készítsünk halmazábrát, és helyezzük el benne a következő számkat: 0, 4, 6, 8,, 5, 8, 7, 6, 00! A megfelelő halmazábra és a megadtt számk elhelyezése: A C B E Adjunk meg 5 halmazt úgy, hgy közülük bármely 4-nek a metszete ne legyen az üres halmaz, de az öt halmaz metszete az üres halmaz legyen! Legyenek a, b, c, d, e különböző valós számk A megfelelő halmazk: A= " abcd,,,,; Babce ",,,,; C= " abde,,,,; Dacde ",,,,; E= " bcde,,,, 5 K Egy zeneiskla egyik évflyamának 56 diákja hegedülni, zngrázni vagy csellózni tanul (Mindenki játszik valamelyik hangszeren) Azk száma, akik pntsan két hangszeren játszanak, négyszer, akik pedig pntsan egy hangszeren játszanak, kilencszer annyi, mint azk száma, akik mindhárm hangszeren játszanak Hányan vannak azk, akik csak egy hangszeren játszanak? Készítsünk egy halmazábrát! A feltételek szerint a+ b+ c+ + y+ z+ h = 56, + y+ z = 4 h, a+ b+ c = 9h H a y h c z b C Z

12 MATEMATIKA I HALMAZOK Ezek szerint h+ 4h+ 9h = 56, azaz 4h = 56, ahnnan h = 4 A csak egy hangszeren játszók száma: a+ b+ c = 9h = 6 I p a b h r c q III +5 II + 6 E Az isklai túraszaksztály mind a 4 tagja részt vett az idei hárm túra valamelyikén A másdik kirándulásn -gyel, a harmadikn pedig 5-tel többen vettek részt, mint az elsőn Azk száma, akik két túrán vettek részt, -szr, akik pedig egy túrán vettek részt, 0-szer annyi, mint azk száma, akik mindhárm túrán részt vettek Hányan vettek részt az első, a másdik, illetve a harmadik kirándulásn? a+ b+ c = h, p+ q+ r = 0h, tehát 0h+ h+ h = 4h = 4, azaz h = ] a+ b+ cg-h = 4, azaz = 5, ahnnan = 7 Tehát az első, a másdik, illetve a harmadik túrán részt vevők száma rendre 7, 8, 7 E Egy autójavító üzemben 49 szakmunkás dlgzik: autószerelők, lakatsk és autóvillamssági szerelők 5 lyan szakmunkás van közöttük, aki mindhárm szakmában jártas Azk az autószerelők, akik nem rendelkeznek a lakats szakmával is, hármszr annyian vannak, mint akik csak a lakats szakmával rendelkeznek Hét lyan szakmunkás van az összes között, akik az autószerelő és a lakats szakmát is tudják Azk a villamssági szerelők, akik nem értenek az autószereléshez, 4-gyel kevesebben vannak, mint azk az autószerelők, akik nem értenek a lakats munkáhz Hányan vannak, akik csak a lakats szakmával rendelkeznek? A a y 5 v z l V L Készítsünk egy halmazábrát, és tüntessünk fel mindent, amit tudunk A feltételek szerint a+ = l, y =, v+ z+ 4 = a+ Mivel a+ + l+ z+ v+ + 5 = 49, így l+ l+ l = 49, tehát 7l = 56, ahnnan l = 8 Vagyis a csak lakats szakmával rendelkezők száma: 8 4 Halmazk különbsége, kmplementer halmaz K Legyenek az A, B és C halmazk rendre a -mal, 6-tal, illetve 5-tel sztható számk halmaza Mely számk tartznak az alábbi halmazkba? a) (A \ B) + C; b) A \ B \ C a) ] A \ Bg+ C = {a 5-tel sztható páratlan számk} b) A \ B \ C = {a -mal sztható, de 5-tel nem sztható páratlan számk} E Adttak az U alaphalmazn az A, B és C halmazk Szemléltessük egy halmazábrán az alábbi halmazkat! a) ] A, Bg, C; b) ] A\ Bg, C a) b) A B A B U C U C U A B E Adttak az U alaphalmazn az A és B halmazk Igazljuk, hgy ] B+ Ag, ] A+ Bg= ] A, Bg\ ] A+ Bg! Az egyenlőség mindkét ldalának a bal ldali halmazábra felel meg

13 I HALMAZOK MATEMATIKA 4 K Írjuk fel az A, B, A + B és A \ B halmazk elemeit, ha A = {a, b, c, g, h, j}; B = {a, c, f, h, k}! A, B = {a, b, c, f, g, h, j, k}; A + B = {a, c, h}; A \ B = {b, g, j} 5 K Adtt hárm halmaz: A = {,, 4, 7, 8, 9, }; B = {,, 5, 6, 7,, }; C = {4, 5, 6, 7, 0, } Adjuk meg az alábbi halmazk elemeit! a) (A, B) \ C; b) (A + B), (B + C ); c) A + (B \ C ) A könnyebb áttekinthetőség kedvéért először készítsünk halmazábrát, és írjuk be a megfelelő számkat a megfelelő helyre a) ] A, Bg \ C = " 89,,,,,,,; b) ] A+ Bg, ] B+ Cg = " 567,,,,,; c) A+ ] B \ Cg = ",, 6 K Igazljuk halmazábrák segítségével az alábbi egyenlőségeket! a) A \ (B, C ) = (A \ B) + (A \ C ); b) A \ (B + C ) = (A \ B), (A \ C ) A C B a) Az egyenlőség mindkét ldala b) Az egyenlőség mindkét ldala a következő ábráhz vezet: a következő ábráhz vezet: A B A B C C 7 K Igazljuk, hgy nem minden esetben igaz az alábbi egyenlőség! A \ (B \ C ) = (A \ B) \ C Az egyenlőség mindkét ldaláhz ábrát készítünk, ami mutatja az állítást A B A B C C A \] B \ Cg ] A \ Bg\ C 8 K Legyen az alaphalmaz a valós számk halmaza Az A halmaz az $, a B halmaz az # 0, a C halmaz az # 6 valós számk halmaza Határzzuk meg az alábbi halmazkat! a) A, B; b) B\ A; c) A+ C

14 4 MATEMATIKA I HALMAZOK Szemléltessük az A, B, C halmazkat egy számegyenesen! C B A a) A, B =! -0+ ; b) B-A = " -0 vagy #, ; c) A+ C = R Ftó Bilógia Barlangász 5 évf évf évf évf Ftó (4) Bil (45) a q b p r c Barlang (44) 9 E Egy általáns iskla felső tagzatán hármféle szakkör működik: ftószakkör, bilógiaszakkör és barlangász szakkör E szakkörök létszámát a bal ldali ábra mutatja évflyamkra lebntva Azk száma, akik pntsan két szakkörre járnak, kétszer, akik pedig pntsan egy szakkörre járnak, hármszr annyi, mint azk száma, akik mindhárm szakkör munkájában részt vesznek Az iskla felső tagzata 6 diákjának kb hány százaléka nem jár semmilyen szakkörre? Ftószakkörre 4, bilógiaszakkörre 45, barlangász szakkörre pedig 44 diák jár A feltételek szerint: p+ q+ r = és a+ b+ c = Azknak a diákknak a száma, akik legalább egy szakkörre járnak: ^p+ q+ rh- = 0-4, vagyis 0-4 = 6, ahnnan = Tehát azknak a diákknak a száma, akik járnak legalább egy szakkörre, 6 = 78 Ez az iskla 6 diákjának kb 78 $ 00 6,% -a Azk száma, akik semmilyen szakkörre nem járnak a 6 felső tagzatn: 00% - 6,% = 6,9% 5 A matematikai lgika elemei K Írjuk fel a következő jelzők tagadását, valamint két különböző, jelentést kifejező ellenkezőjét! a) szép; b) nagy; c) ks; d) vastag; e) kerek; f) hmrú eredeti kifejezés a tagadása két különböző jelentésű ellenkezője a) szép nem szép csúnya gyönyörű b) nagy nem nagy kicsi hatalmas c) ks nem ks buta zseniális d) vastag nem vastag vékny átlags vastagságú e) kerek nem kerek szögletes vális f) hmrú nem hmrú dmbrú sík K Írjuk fel a következő kijelentések tagadását! Döntsük el, hgy melyik igaz; az állítás vagy a tagadás! a) Minden természetes szám nagybb, mint 0 b) Vannak páratlan egész számk c) Minden hármszögnek van legalább két hegyesszöge d) Minden tengelyesen szimmetrikus négyszögnek van két-két egyenlő szögpárja e) Van lyan síknégyszög, amelyben a derékszögek száma f) Bármely két nem párhuzams egyenes metszi egymást

15 I HALMAZOK MATEMATIKA 5 a) Hamis A tagadása: Van 0-nál nem nagybb természetes szám Igaz, például a 0 b) Igaz A tagadása: Nincsen páratlan egész szám Hamis, például az c) Igaz A tagadása: Van lyan síkbeli hármszög, amelynek nincs legalább két hegyesszöge (vagyis legfeljebb egy hegyesszöge van) Hamis d) Hamis (például egy lyan deltid, amely nem rmbusz) A tagadása: Van lyan szimmetrikus négyszög, amelynek nincs két-két egyenlő szögpárja Igaz e) Hamis A tagadása: Minden síknégyszögben a derékszögek száma -tól különböző (nem ) Igaz, hiszen ha derékszöge lenne, akkr 4 is lenne f) Nem igaz, mert lehetnek kitérő egyenespárk A tagadása: Van lyan egyenespár, amely nem párhuzams és nem is metsző Igaz K Tételezzük fel, hgy igaz az az állítás, hgy Ha füttyentesz, elhallgatk Mi következik abból, hgy a) nem hallgattam el; b) nem füttyentettél; c) elhallgattam; d) füttyentettél? a) Nem füttyentettél, hiszen ha füttyentettél vlna, elhallgattam vlna b) Semmi Lehet, hgy nem hallgattam el, de az is lehet, hgy csak úgy magamtól elhallgattam c) Semmi Lehet, hgy füttyentettél, és azért, de az is lehet, hgy csak úgy magamtól elhallgattam d) Elhallgattam, hiszen ha füttyentesz, elhallgatk 4 K Ha megnyitm a csapt, flyik a víz Az alábbiak közül melyik állítás fejezi pntsan ugyanezt? a) Ha nem nyitm meg a csapt, nem flyik a víz b) Ha flyik a víz, megnyitttam a csapt c) Ha nem flyik a víz, nem nyitttam meg a csapt A c) Hiszen ha megnyitttam vlna a csapt, akkr flyna a víz 5 K Írjuk fel a következő állításk megfrdítását! a) Ha havazik, akkr fagy b) Ha péntek van, akkr mziba megyek c) Ha nincs kifgásd ellene, akkr ablakt nyitk d) Ha ráérsz, akkr eljöhetsz a) Ha fagy, akkr havazik b) Ha mziba megyek, akkr péntek van c) Ha ablakt nyitk, akkr nincs kifgásd ellene d) Ha eljöhetsz, akkr ráérsz 6 K Döntsük el, hgy igazak-e az alábbi állításk! Írjuk fel az állításk megfrdítását, és azkról is döntsük el, hgy igazak-e! a) Ha egy egész szám párs, akkr -esre végződik b) Ha egy egész szám sztható 9-cel, akkr a számjegyeinek az összege 9 c) Ha egy hármszög derékszögű, akkr a két rövidebb ldalra emelt négyzet területösszege egyenlő a leghsszabb ldalra emelt négyzet területével a) Hamis Megfrdítva: Ha egy egész szám -esre végződik, akkr párs Igaz b) Hamis Megfrdítva: Ha egy egész szám számjegyeinek az összege 9, akkr a szám sztható 9-cel Igaz c) Igaz, ez a Pitagrasz-tétel Megfrdítva: Ha egy hármszögben a két rövidebb ldalra emelt négyzet területösszege egyenlő a leghsszabb ldalra emelt négyzet területével, akkr a hármszög derékszögű Igaz, ez a Pitagrasz-tétel megfrdítása Egy hármszög akkr és csak akkr derékszögű, ha a két rövidebb ldalra emelt négyzet területösszege egyenlő a leghszszabb ldalra emelt négyzet területével

16

17 MATEMATIKA 7 II Algebra és számelmélet A hatványzás és aznsságai K Mivel egyenlő? a) ; b) 5 5; c) 0 0; 5 = d) 79; e) 4 6; f) 6; 6 = g) 7 49; h) 6 6; i) 8; = = = = j) $ = 6; 0 k) 6 $ = 6; l) = K Mivel egyenlő? a) ]- g = -; b) ]-g = -8; c) ]-g 4 =6; d) ]-g 6 = 79; e) 4 = 64; f) ]-g 4 = 8; g) ]-5 g = 5; h) 5 = 5; i) ]-5 g = -5; j) 5 $ ]-5 g = 65; k) ]-g $ 0 = 0; l) ]- g 00 = K Írjuk fel hatvány alakban a következő számkat, ha lehet, többféleképpen is! a) 000 például: =0 ; 0 5 b) 04 például: = = 4 = ; 4 c) 8 például: = = 9 ; d) 00 például: =0 ; 0 0 e) például: = = = ; 4 f) 65 például: = 5 = 5 4 K Írjuk fel prímszámk hatványainak szrzataként a következő számkat! a) 0 = $ 5 ; b) = $ ; c) 60 = $ $ 5 ; d) 6 = $ ; e) 8 = 4 ; f) 54 = $ ; g) 4 = 7 ; h) 04 = 0 ; i) = $ 5 ; j) 54 = $ ; k) 60 = $ 5; l) 8 = 7 ; m) 60 = $ $ 5 $ 7; 4 4 n) = $ 5 ; 9 ) = $ 5 5 K Mely számk prímtényezős alakját írtuk fel? a) = 8; b) = 7; c) $ = 08; d) 4 = 6; e) $ = 7; f) 048 = 4 = 4 = = A hatványzás aznsságainak kiterjesztése K Mely számkat írtuk hatványalakban? a) ; b) ( ) ; c) 5 ; d) ( ) 5 ; e) b l - ; f) b- l - ; g) ; h) b l a) ; b) ; c) - ; d) -; 5 e) 5; f) -5; g) ; h) 6 9

18 8 MATEMATIKA II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET K Írjuk fel a megadtt számkat hatványalakban, ha lehet, többféleképpen is! a) 00; b) 0,; c) 0,5; d) ; e) 0,0; f) ; 8 g) 0,000; h) 0,00 Például: - a) = = = b l ; 0 b) 0, = 0 ; c) 0,5 = 0,5 = ; 0 d) = = ; - e) 0,0 0 = = b l ; 0 f) 4 = = ; 8 9 g) -4 0,0 = = ; h) 0,000 = 0, = 0 K Számítsuk ki a szrzásk eredményét! 7-4 a) $ ; - - b) b l $ ; c) b l 4 $ ; d) 4 $ b l ; 4 - e) ; f) ; g) - ; h) b l $ b l 5 $ b l $ 5 b l 4 $ 4 5 a) 8; b) 4; c) 6 ; 8 d) ; e) 56 ; f) ; g) 65 ; h) 8 4 K Számítsuk ki a műveletek eredményét! a) 4 : ; b) :5 ; c) 4 $ ; d) ] g : ; - e) - ]- g :]-g ; f) - 4 : ] 4 - g ; g) $ ; h) 7 : b l 7 a) 9 ; b) 5; c) 78; d) ; 6 6 e) ; f) ; g) ; h) K Állítsuk nagyság szerint növekvő srrendbe a következő számkat! a = ; b = ]-g ; c = ; d = ]-g ; e = ; f = ]-g; g = ; h = ]-g a = ; b ; c ; d ; e ; f ; g ; h = - = = - = = - = = - Eszerint: f b = d h a e = g c - - Gyakrlati számításk K Fejezzük ki a következő számkat nrmálalakban! a) ; b) 5 000; c) 560; d) ; e) 0,; f),5; g) 0,000 05; h) 0 000,000 0 a) 60 $ 6 ; b),5 $ 0 5 ; c),56 $ 0 ; d) 4,54 $ 0 6 ; - e) 0 $ ; f),5 $ 0 0 ; g) 5$ 0 6 ; h), $ 0 4 K Mennyi a) a 0 5%-a; b) a 5 0%-a; c) a 0 5%-a; d) az 5 0%-a? a) ; b) ; c) 0,5; d) 0,5

19 II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET K Mennyi a) egy szám 0%-ának 0%-a; b) egy szám 80%-ának 0%-a; c) egy szám 5%-ának 80%-a; d) egy szám 80%-ának a 0%-a? MATEMATIKA 9 a) A szám 4%-a; b) a szám 96%-a; c) a szám 00%-a, azaz maga a szám; d) a szám 8%-a 4 K Melyik szám 45%-a a) a 0; b) a 45; c) a 5; d) az,5? : a), 00 : = ; b) 00; c) 00; d), 0 = 9 5 K Tekintsük a Földet egy lyan gömbnek, amelynek a középpntján átmenő körök kerülete km! a) Megközelítőleg mekkra a Föld átmérője? b) Megközelítőleg mekkra a Föld sugara? c) Megközelítőleg mekkra a Föld térfgata? d) Megközelítőleg mekkra a Föld felszíne? e) A Föld felszínének körülbelül hány százalékát brítja víz, ha az összes vízfelület nagysága körülbelül,4 0 8 km? (Emlékeztetőül: Az r sugarú kör kerülete rr, területe r r Az r sugarú gömb felszíne 4r r, térfgata 4 r ) r 4 a) d,7 $ 0 km b) r 6,4 $ 0 km c) V, $ 0 km 8 d) A 5, $ 0 km e) Kb 67%-át 6 K a) Hány százaléka a Föld átmérője a Napénak? b) Hány százaléka a Föld tömege a Napénak? A szükséges adatk megtalálhatók a négyjegyű függvénytáblázatban a) A Nap átmérője:,4 $ 0 6 km; a Föld átmérője:,7 $ 0 4 km 6 4, $ 0 A kettő aránya: 7, $ 0 4, $ 0 Vagyis a Föld átmérője a Nap átmérőjének,%-a b) A Föld tömege: 60 $ 4 kg, a Nap tömege: 0 $ 0 kg 4 A kettő aránya: 60 $ -6-0 $ százaléka Ez 0,000% 0 = 0 $ 4 0 $ 4 Algebrai kifejezések összevnása, szrzása K Végezzük el az alábbi szrzáskat! 5 4 a) 4ac$ 5abc; b) 4 yz 5 $ yz; c) 5 pqs $ b- pqsl a) 0a bc; b) yz; c) - pqs 4 K Végezzük el az alábbi szrzáskat! a) ^ + yh_ -5y-6y i; b) a a b a ab 4 b - lb + - a bl 4 a) 6-0 y-y + 9 y-5y -8y = 6 - y-7y -8y ; b) 4 a 4 a b 8 a b 5 a b a b + a b 9 9 8

20 0 MATEMATIKA II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET K Végezzük el az alábbi szrzást! 4 5 ] a- g ^+ a+ a + a + a + a h a+ a + a + a + a + a --a-a -a -a -a = a - 4 K Végezzük el az alábbi szrzáskat! a) 4 a $ a; b) 4 5 pq$ _-6 pq i; c) y b- l$ b y l a) a; b) -p 5 q 8 ; c) - y 4 5 K A következő feladatkban egy többtagú összeget kell szrznunk egy taggal a) ^ - + 4h; b) 6ab^ ab + ab - 4a bh; c) y y 5 y 0 b - + yl a) ; b) ; c) 5 y ab+ 8ab- 4ab - y + y 0 6 E A következő feladatkban egy többtagú összeget kell szrznunk egy taggal a) 4 y _ y- y + 5yi; b) m n q p n m q p m- n+ q p 4 m+ n m-n b - + q p l 5 n+ k+ n+ k n+ k n+ k+ a) ; b) m+ n n+ m q p m- n+ q p 4 m+ n m+ n y - 8 y + 0 y - + q p K Az alábbi feladatkban több tagt kell több taggal szrznunk a) ] a+ g] a- g; b) ^ y -h _ y -y + yi; c) ] -g^ h a) a - 4 ; b) y -y + y -y + 4y-y = y -y -y + 4y-y; c) = E Az alábbi feladatkban több tagt kell több taggal szrznunk n k a) _ + y i^ + + yh; n+ k b) _ p - q i^p+ q+ pqh; c) k k+ -k y k k y k- b + lb - + y l 6 a) n n+ n k k k+ + + y+ y + y + y ; n+ n+ n+ k k+ k+ b) p + p q+ p q-pq -q -pq ; c) k k y k k- y 4 -k + k k k+ y y k y Nevezetes szrzatk K Végezzük el az alábbi műveleteket! a) ^5- yh ; b) ^ab + 4ab h ; c) _ 5y- yi a) 5-0y+ 9y ; b) 4ab+ 6ab+ 6ab; c) 5y- 0y+ 4y K Alakítsuk szrzattá az alábbi kéttagú összegeket! a) 49b - ; b) 6ab- 64ab; c) 6 4 p ab 6 5 a) ^7b + h^7b - h ; b) ^6ab+ 8abh^6ab- 8abh; c) p 4 ab p 4 b + lb - abl

21 II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET K Elvégeztük egy kéttagú összeg négyzetre emelését, és eredményül azt kaptuk: ] g = 4a - ab+ Sajns az utlsó tag elmsódtt a papírn Milyen összeget emeltünk négyzetre? ] a-bg = 4a -ab+ 9b vagy ]-a+ bg = 4a -ab+ 9b 4 K Számítsuk ki az alábbi kéttagú összegek köbét! a) a a ^ + h ; b) ^- yh ; c) k b - n kl a) a + 9a + 7a + 7a ; b) 8 - y+ 6y -y ; c) k k n n k n k K Két tag összegének, illetve különbségének a négyzetéről tanultak alapján végezzük el az alábbi négyzetre emeléseket! a) y ^ - h ; b) ^a - 4bh ; c) ^4p+ qh a) 4 - y+ 9y ; 4 b) a - 8a b+ 6b ; c) 6p + 4pq+ 9q 6 K Végezzük el az alábbi négyzetre emeléseket! a) ^ - h ; b) _ y + yi ; c) ^4a + abh a) - + ; 6 4 b) 4y + y + 9y ; 4 c) 6a + 4a b+ 9a b 7 K Két tag összegének, illetve különbségének a szrzatáról tanultak alapján végezzük el az alábbi szrzáskat! a) ^+ yh^- yh; b) _ + yi_ - yi; c) ^ 5a b + ab h^5a b - ab h a) - 9y ; 4 b) 4 - y ; 6 4 c) 5ab- 4ab 8 E Végezzük el a négyzetre emeléseket! a) b y- yl ; b) ab 5 b + abl ; c) 4 n y 5 n b - y l 5 5 a) 6 4 y y+ 4y; b) ab ab ab; c) 6 n 4 y 8 n+ n+ y 5 4 n y K Két tag négyzetét számltuk ki; mi lehet az eredmény hiányzó harmadik tagja? a) ] g = y ; b) ] g = 4a - a b ; c) ] g = 5p -0 p q a) ^4+ yh = 6 + 8y+ y ; b) ^a -abh = 4a -a b+ 9a b ; c) _ 5p -p qi = 5p -0p 5 q+ 4p q 0 K Két tag összegének, illetve különbségének harmadik hatványáról tanultak alapján végezzük el az alábbi köbre emeléseket! a) ] a + g ; b) ^+ yh ; c) ^k - kh a) 8a + a + 6a+ ; b) y+ 54y + 7y ; c) k -6k 5 + k -8k MATEMATIKA

22 MATEMATIKA II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET 6 Tvábbi nevezetes szrzatk (Emelt szint) E Végezzük el a négyzetre emeléseket! a) ^+ y+ zh ; b) ] a+ b- cg ; c) b a b - + abl a) + 4y + z + 4y+ z+ 4yz; b) 4a + 9b + c + ab-4ac-6bc; c) 4 a 9b 4 ab ab ab-4ab 4 9 E Alakítsuk szrzattá az alábbi kéttagú összegeket! a) ; b) p - q ; c) a ; d) 7k - y a) ] + g ^ h ; b) _ p i -q = _ p -qi_ p + p q+ q i; c) a + = ] a+ g^a -a + 4a -8a+ 6h 6 ; d) _ k- y i_ 9k + ky + y i E Igazljuk, hgy sztható 50-cal! ^ h = ^ -h$ K, ahl K egész szám Tehát ^ - h ^ + h $ K De + = 5 0, tehát a kifejezés sztható 5 0-cal 4 E Hármtagú összeg négyzetéről tanultak alapján végezzük el az alábbi négyzetre emeléseket! a) a b+ c ] - g ; b) ^-y-zh ; c) ^p+ q+ zh a) a + b + 4c -ab+ 4ac-4bc; b) 4 + 9y + z -y-4z+ 6yz; c) p + 4q + 9z + 4pq+ 6pz+ qz 5 E Hármtagú összeg négyzetéről tanultak alapján végezzük el az alábbi négyzetre emeléseket! a) ^a - ab+ b h ; b) p p q b + - q l ; c) ^ k k+ k k- a - b + a b h a) 4a + 9a b + b -a b+ 4a b -6ab ; b) 9 p pq q pq pq pq; k k+ k k- k k+ k k- k k c) 4a + 9b + a b -a b + 4a b -6a b 6 K Számítsuk ki az alábbi kifejezések megfelelő helyettesítési értékét! a) ^ a b a b a b a b, a,9, b - h -^ + h^ - h + = - = ; b) ^ 4, + + h - ^ + h- = - ; 5 c) ^6k -5nh^ 6k + 5nh -6 k ] + 0ng + ^6k + 5nh, k =, n = -,5 4 4 a) 4a a b 9b 4a 9b a b 8b = = $ = ; b) = + = ; 5 c) 6k 4-5n -7k -60k n+ 6k k n+ 5n = -7k = -7

Dr. Fried Katalin Dr. Gerőcs László Számadó László

Dr. Fried Katalin Dr. Gerőcs László Számadó László Dr Fried Katalin Dr Gerőcs László Számadó László MATEMATIKA 9 A tankönyv feladatai és a feladatk megldásai A megldásk lvasásáhz Acrbat Reader prgram szükséges, amely ingyenesen letölthető az internetről

Részletesebben

Matematika pótvizsga témakörök 9. V

Matematika pótvizsga témakörök 9. V Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális

Részletesebben

ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak.

ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. Időtartam: 60 perc 1. Halmazműveletek konkrét halmazokkal.

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint

1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

Számelmélet Megoldások

Számelmélet Megoldások Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,

Részletesebben

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete? 1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 5. modul Ismétlés a tudás anyja

MATEMATIKA C 12. évfolyam 5. modul Ismétlés a tudás anyja MATEMATIKA C. évflyam 5. mdul Ismétlés a tudás anyja Készítette: Kvács Kárlyné Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés a tudás anyja Tanári útmutató A mdul célja Időkeret Ajánltt krsztály Mdulkapcslódási

Részletesebben

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, Halmazok definíciója, megadása HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, 1. A következő definíciók közül melyek határoznak meg egyértelműen egy-egy halmazt? a) A: a csoport tanulói b) B: Magyarország városai ma c) C: Pilinszky

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

. 2 pont A 2 pont nem bontható. 3 Összesen: 2 pont. Összesen: 3 pont. A valós gyökök száma: 1. Összesen: 2 pont. Összesen: 2 pont

. 2 pont A 2 pont nem bontható. 3 Összesen: 2 pont. Összesen: 3 pont. A valós gyökök száma: 1. Összesen: 2 pont. Összesen: 2 pont 1. Az egyszerűsítés után kaptt tört: I. a b. pnt A pnt nem bntható. 3 Összesen: pnt. Frgáshenger keletkezik, az alapkör sugara 5cm, magassága 1cm. V = 5π 1(cm 3 ). A frgáshenger térfgata 300π cm 3. Ha

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Hatványozás. A hatványozás azonosságai

Hatványozás. A hatványozás azonosságai Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra

Részletesebben

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22.

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22. osztály Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! y + yz = 8 yz + z = 9 z + y = 5 (0 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: ( + yz + z) = Ebből kivonva az egyenleteket: y =, yz = 6, z

Részletesebben

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP J UHÁSZ I STVÁN P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ T é m a k ö r ö k é s p r ó b a f e l a d a t s o r 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP 1. oldal 9. OSZTÁLYOS PÓTVIZSGA TÉMAKÖRÖK: I.

Részletesebben

Gyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal:

Gyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal: Gyakorló feladatok 9.évf.. Mennyi az összes részhalmaza az A a c; d; e; f halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Legyen U ;;;;;6;7;8;9, A ;;6;7; és B ;;8. Add meg a következő halmazokat és ábrázold

Részletesebben

Kisérettségi feladatsorok matematikából

Kisérettségi feladatsorok matematikából Kisérettségi feladatsorok matematikából. feladatsor I. rész. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) Ha két egész szám összege páratlan, akkor a szorzatuk páros. b)

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 7 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Oktatási Hivatal A 0/04 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi erseny második forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 57 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Megoldások 9. osztály

Megoldások 9. osztály XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege

Részletesebben

2016/2017. Matematika 9.Kny

2016/2017. Matematika 9.Kny 2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 4. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

Számelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb

Számelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb Számelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb 2004_02/4 Tegyél * jelet a táblázat megfelelő rovataiba! Biztosan Lehet hogy, de nem biztos Lehetetlen a) b) c) Négy egymást követő természetes

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 2. modul Telek és kerítés

MATEMATIKA C 12. évfolyam 2. modul Telek és kerítés MATEMATIKA C 1. évflyam. mdul Telek és kerítés Készítette: Kvács Kárlyné Matematika C 1. évflyam. mdul: Telek és kerítés Tanári útmutató A mdul célja Időkeret Ajánltt krsztály Mdulkapcslódási pntk Skszögekről

Részletesebben

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú. Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 3. modul A mi terünk

MATEMATIKA C 12. évfolyam 3. modul A mi terünk MTEMTIK C 1. évflyam. mdul mi terünk Készítette: Kvács Kárlyné Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató mdul célja Időkeret jánltt krsztály Mdulkapcslódási pntk térfgat- és felszínszámítási

Részletesebben

2016/2017. Matematika 9.Kny

2016/2017. Matematika 9.Kny 2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 5. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Trigonometria I. A szög szinuszának nevezzük a szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosát (arányát).

Trigonometria I. A szög szinuszának nevezzük a szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosát (arányát). Trignmetria I A hegyes szögű deiníciók: A szög szinuszának nevezzük a szöggel szemközti begó és az átgó hányadsát (arányát). Kszinus nak nevezzük a szög melletti begó és az átgó hányadsát (arányát). A

Részletesebben

III. Vályi Gyula Emlékverseny december

III. Vályi Gyula Emlékverseny december III. Vályi Gyula Emlékverseny 1996. december 14 15. VI osztály A feladatok szövege után öt lehetséges válasz (A, B, C, D és E) található, amelyek közül csak pontosan egy helyes. A helyes válasz betűjelét

Részletesebben

Megyei matematikaverseny évfolyam 2. forduló

Megyei matematikaverseny évfolyam 2. forduló Megyei matematikaverseny 0. 9. évfolyam. forduló. Mennyi a tizenkilencedik prím és a tizenkilencedik összetett szám szorzata? (A) 00 (B) 0 (C) 0 (D) 04 (E) Az előző válaszok egyike sem helyes.. Az 000

Részletesebben

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm 5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x

Részletesebben

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok! Kedves 10. osztályos diákok! Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam Közeleg a szakaszvizsga időpontja, amelyre 019. április 1-én kerül sor. A könnyebb felkészülés érdekében adjuk közre ezt a feladatsort,

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Matematika 7. osztály

Matematika 7. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos képzés Matematika 7. osztály III. rész: Számelmélet Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék III.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk

Részletesebben

Szé12/1/N és Szé12/1/E osztály matematika minimumkérdések a javítóvizsgára

Szé12/1/N és Szé12/1/E osztály matematika minimumkérdések a javítóvizsgára Szé1/1/N és Szé1/1/E osztály matematika minimumkérdések a javítóvizsgára Halmazelmélet Halmaz, részhalmaz, végtelen halmaz, üres halmaz, halmaz megadása, halmazműveletek (metszet, unió, különbség, komplementer),

Részletesebben

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK MATEMATIKA TÉMAKÖRÖK 11. évfolyam 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges,

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat 1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer

Részletesebben

A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Oktatási Hivatal 04/0 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MTEMTIK I KTEGÓRI (SZKKÖZÉPISKOL) Javítási-értékelési útmutató Határozza meg a tízes számrendszerbeli x = abba és y =

Részletesebben

Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából

Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján, részhalmaz felírása, felismerése. Két véges halmaz közös részének,

Részletesebben

Halmazok. Gyakorló feladatsor a 9-es évfolyamdolgozathoz

Halmazok. Gyakorló feladatsor a 9-es évfolyamdolgozathoz Halmazok 1. Feladat. Adott négy halmaz: az alaphalmaz, melynek részhalmazai az A, a B és a C halmaz: U {1, 2,,..., 20}, az A elemei a páros számok, a B elemei a hárommal oszthatók, a C halmaz elemei pedig

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

2017/2018. Matematika 9.K

2017/2018. Matematika 9.K 2017/2018. Matematika 9.K Egész éves dolgozat szükséges felszerelés: toll, ceruza, radír, vonalzó, körző, számológép 2 órás, 4 jegyet ér 2018. május 28. hétfő 1-2. óra A312 terem Aki hiányzik, a következő

Részletesebben

: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!

: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett! nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a 4 6 8 6 egyenletben az együtthatók összege 6 8 6 ezért az egyenletnek gyöke az (mert esetén a kifejezés helyettesítési

Részletesebben

1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat!

1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat! 1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat! G H = H \ G = 2. Ha 1 kg szalámi ára 2800 Ft, akkor hány

Részletesebben

3. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

3. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz MATEMATIKA 3. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

2. Algebrai átalakítások

2. Algebrai átalakítások I. Nulladik ZH-ban láttuk: 2. Algebrai átalakítások 1. Mi az alábbi kifejezés legegyszerűbb alakja a változó lehetséges értékei esetén? (A) x + 1 x 1 (x 1)(x 2 + 3x + 2) (1 x 2 )(x + 2) (B) 1 (C) 2 (D)

Részletesebben

Egybevágóság szerkesztések

Egybevágóság szerkesztések Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

A TERMÉSZETES SZÁMOK

A TERMÉSZETES SZÁMOK Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. : 27-317 - 077 /fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör 2018/2019.

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 0/03-as tanév. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató. Egy kör kerületére felírjuk -től 3-ig az egészeket

Részletesebben

VII. Apáczai Matematika Kupa 7. osztály 2011. Pontozási útmutató

VII. Apáczai Matematika Kupa 7. osztály 2011. Pontozási útmutató 1. feladat: VII. Apáczai Matematika Kupa 7. osztály 011. Pontozási útmutató Egy szöcske ugrál a számegyenesen. Ugrásainak hossza egység. A számegyenesen a 10-et jelölő pontból a 1-et jelölő pontba ugrással

Részletesebben

Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából

Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Elemek halmazba rendezése több szempont alapján. Halmazok ábrázolása. A nyelv logikai elemeinek helyes használata.

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

XI. PANGEA Matematika Verseny I. forduló 9. évfolyam

XI. PANGEA Matematika Verseny I. forduló 9. évfolyam 1. Tekintsük a következő két halmazt: F = {11-nél nem nagyobb prímszámok} és G = {egyjegyű páratlan pozitív egészek}. Az alábbi halmazok közül melyiknek van a legkevesebb eleme? A) F B) G C) F G D) F G

Részletesebben

17. tétel: Egybevágósági transzformációk. Szimmetrikus sokszögek.

17. tétel: Egybevágósági transzformációk. Szimmetrikus sokszögek. 17. tétel: Egybevágósági transzfrmációk. Szimmetrikus skszögek. Gemetriai transzfrmáció: Olyan függvény, melynek értelmezési tartmánya és értékkészlete is egy-egy pnthalmaz (vagyis pntkhz rendel pntkat).

Részletesebben

Pótvizsga matematika 7. osztály (Iskola honlapján is megtalálható!) Tételek

Pótvizsga matematika 7. osztály (Iskola honlapján is megtalálható!) Tételek Pótvizsga matematika 7. osztály (Iskola honlapján is megtalálható!) Tételek 1. Hatványozás 2. Normálalak. Mértékegységek. Műveletek racionális számokkal (tört, tizedes tört) 5. Középpontos tükrözés 6.

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

Az 1. forduló feladatainak megoldása

Az 1. forduló feladatainak megoldása Az 1. forduló feladatainak megoldása 1. Bizonyítsa be, hogy a kocka éléből, lapátlójából és testátlójából háromszög szerkeszthető, és ennek a háromszögnek van két egymásra merőleges súlyvonala! Megoldás:

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny 007. április 16. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak 9. osztályosoknak 1. feladat a) Vegyük észre, hogy 7 + 5 felírható 1 + 3 + 6 + alakban, így

Részletesebben