Dr. Fried Katalin Dr. Gerőcs László Számadó László

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Dr. Fried Katalin Dr. Gerőcs László Számadó László"

Átírás

1 Dr Fried Katalin Dr Gerőcs László Számadó László MATEMATIKA 9 A tankönyv feladatai és a feladatk megldásai A megldásk lvasásáhz Acrbat Reader prgram szükséges, amely ingyenesen letölthető az internetről (például: adbelahu webldalról) A feladatkat fejezetenként külön-külön fájlba tettük A fejezet címmel elláttt fájl tartalmazza a fejezet leckéinek végén kitűzött feladatk részletes megldásait A feladatkat nehézségük szerint jelöltük: K = középszint, könnyebb; K = középszint, nehezebb; E = emelt szint, könnyebb; E = emelt szint, nehezebb feladat Lektrk: PÁLFALVI JÓZSEFNÉ KONCZ LEVENTE Tipgráfia: LŐRINCZ ATTILA Szakgrafika: DR FRIED KATALIN Dr Fried Katalin, Dr Gerőcs László, Számadó László, Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt, 009 Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt wwwntkhu Vevőszlgálat: Telefn: A kiadásért felel: Kiss Jáns Tamás vezérigazgató Raktári szám: RE 60 Felelős szerkesztő: Szlbda Tibrné Műszaki igazgató: Babicsné Vasvári Etelka Műszaki szerkesztő: Marcsek Ildikó Grafikai szerkesztő: Görög Istvánné, Mikes Vivien Terjedelem: 4,9 (A/5) ív kiadás, 00

2

3 MATEMATIKA Tartalm Jelmagyarázat 5 I Halmazk Halmazk, jelölések 7 Speciális halmazk, intervallumk 9 Halmazk uniója, metszete 4 Halmazk különbsége, kmplementer halmaz 5 A matematikai lgika elemei 4 II III IV Algebra és számelmélet A hatványzás és aznsságai 7 A hatványzás aznsságainak kiterjesztése 7 Gyakrlati számításk 8 4 Algebrai kifejezések összevnása, szrzása 9 5 Nevezetes szrzatk 0 6 Tvábbi nevezetes szrzatk (Emelt szint) 7 Összegek szrzattá alakítása 8 Algebrai törtek egyszerűsítése, összevnása 4 9 Algebrai törtek szrzása, sztása, összetett műveletek algebrai törtekkel 6 0 Oszthatóság 8 Prímszámk, a számelmélet alaptétele 9 Legnagybb közös sztó, legkisebb közös többszörös 0 Osztók száma, négyzetszámk (Emelt szint) 4 Számrendszerek Függvények, srzatk Hzzárendelések, függvények 5 Pnthalmazk a krdináta-rendszerben 7 A lineáris függvény 40 4 Az abszlútérték-függvény 4 5 Az f : 7 függvény 46 6 A másdfkú függvény összetett transzfrmációi 47 7 Tvábbi függvények 49 Bevezetés a gemetriába Pntk, egyenesek, síkk 55 Szakasz, félegyenes, szög 56 Hármszögek 58 4 Tvábbi összefüggések a hármszög alapadatai között 60 5 Összefüggés a derékszögű hármszög ldalai között 6 6 Gemetriai számításk 6 7 Gemetriai szerkesztések 64 8 Thalész-tétel 66 9 A hármszög ldalfelező merőlegesei és köré írt köre 67 0 A hármszög szögfelezői, beírt és hzzáírt körei 70 Skszögek 7

4 4 MATEMATIKA TARTALOM V Egyenletek, egyenletrendszerek Elsőfkú egyismeretlenes egyenletek 75 Szöveges feladatk megldása egyenletekkel 76 Egyenletek megldási módszerei 78 4 Egyenlőtlenségek 80 5 Abszlút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek 8 6 Elsőfkú kétismeretlenes egyenletrendszerek és megldásuk behelyettesítő módszerrel 84 7 Elsőfkú kétismeretlenes egyenletrendszerek megldása egyenlő együtthatók módszerével 85 8 Elsőfkú kétismeretlenes egyenletrendszerek megldása grafikus módszerrel 86 9 Egyenletrendszerrel megldható szöveges feladatk 87 VI Gemetriai transzfrmációk Néhány gemetriai transzfrmáció 89 Egybevágósági transzfrmációk a síkn 9 Alakzatk egybevágósága 94 4 Szimmetria 96 5 Tvábbi nevezetes pntk és vnalak a hármszögben 97 6 Vektrk 98 7 Pnthalmazk 00 8 Szög, körív, körcikk 04 VII Kmbinatrika Srrendek 05 Leszámlálásk 06 VIII Statisztika Adatk gyűjtése, rendszerezése, jellemzése 09 Adatk szemléltetése 0 A kétarcú statisztika 5

5 MATEMATIKA 5 Jelmagyarázat Az A pnt és az e egyenes távlsága: d(a; e) vagy Ae Az A és B pnt távlsága: AB vagy AB vagy d(a; B) Az A és B pnt összekötő egyenese: e(a; B) Az f és f egyenesek szöge: ( f; f) B vagy A C csúcspntú szög, melynek egyik szárán az A, másik szárán a B pnt található: ACBB A C csúcspntú szög: CB Szög jelölése: a, b, c, f Az A, B és C csúcskkal rendelkező hármszög: ABC9 Az ABC9 területe: T(ABC) vagy T ABC Az a, b és c ldalú hármszög fél kerülete: s a b c = + + A derékszög jele: * Az e egyenes merőleges az f egyenesre: e= f Az e egyenes párhuzams az f egyenessel: e < f Egybevágóság:,; ABC9, AlBlCl9 A hasnlóság aránya: m Az A pntból a B pntba mutató vektr: AB Aznsan egyenlő: /; B ( f; f) Egyenlő, nem egyenlő: =,!; a =, b! 5 a+ b / 5 Közelítőleg egyenlő: ; a,; 8,54 8,5 Kisebb, kisebb vagy egyenlő: <, #; <, 5 # Nagybb, nagybb vagy egyenlő: >, $; 6 > 4, a $ A természetes számk halmaza: N; {0; ; ; } Az egész számk halmaza: Z; { ; ; ; 0; ; ; } A pzitív, a negatív egész számk halmaza: Z +, Z ; {; ; ; }, { ; ; ; } A racinális, az irracinális számk halmaza: Q, Q * A pzitív, a negatív racinális számk halmaza: Q +, Q A valós számk halmaza: R A pzitív, a negatív valós számk halmaza: R +, R Eleme, nem eleme a halmaznak:!, "; 5! N, - g Z + Részhalmaz, valódi részhalmaz:, ; A R, N Q Nem részhalmaza a halmaznak: j; Z Y Q Halmazk uniója, metszete:,, +; Halmazk különbsége: \; A \ B Üres halmaz: Q, { } Az A halmaz kmplementere: A Az A halmaz elemszáma: A ; Zárt intervallum: [a; b] Balról zárt, jbbról nyílt intervallum: [a; b[ Balról nyílt, jbbról zárt intervallum: ]a; b] Nyílt intervallum: ]a; b[ Az szám abszlút értéke: ; Az szám egész része, tört része: [], {}; [,] =, {,} = 0, Az a sztója b-nek: a b; 8 + A, B, A+ B " 0 ; ;, = -, =, Az a és b legnagybb közös sztója: (a, b); (4, 6) = Az a és b legkisebb közös többszöröse: [a, b]; [4, 6] = Az f függvény hzzárendelési szabálya: f: 7 f] g; f: 7 + vagy f ] g= y; f ] g= + Az f függvény helyettesítési értéke az 0 helyen: f0 ( ); f(5), ha 0 = 5

6

7 MATEMATIKA 7 I Halmazk Halmazk, jelölések K Döntsük el, hgy halmazt adtunk-e meg az alábbiakban! a) A párs természetes számk b) A barátságs emberek c) A kerek számk d) A kis törtek e) Az -nél kisebb pzitív törtek Halmaz: a), e) K Írjuk fel, hgy az alábbiak közül melyek az egyenlő halmazk! A = {a pzitív egyjegyű párs számk}; B = {a nem 0 párs számjegyek}; C = {a párs számjegyek}; D = {0,, 4, 6, 8}; E = {, 4, 6, 8}; F = { egyjegyű többszörösei} A = B = E, C = D = F K a) Adjuk meg elemei felsrlásával a következő halmazkat! A) a -nál nagybb, 0-nél nem nagybb egész számk; B) a 0 többszörösei; C) egyjegyű pzitív többszörösei; D) 0 pzitív sztói; E) a 8 és a 0 legkisebb közös többszöröse b) Szemléltessük a fenti halmazkat kétféle módn! a) A = " 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, ; B =! 0+ ; C = ", 4, 6, 8, ; D = ",,, 5, 6, 0, 5, 0, ; E =! 90+ b) Mindegyik halmazt szemléltethetjük Venn-diagramn és a számegyenes pntjaiként A) A 4, 5, 6, 7, 8, 9, B) B 0 0

8 8 MATEMATIKA I HALMAZOK C) C, 4, 6, D) D,,, 5, 6, 0, 5, E) E K Adjuk meg elemei egy közös tulajdnságával a következő halmazkat! A = {,, 5, 7,,, 7, 9}; B = {5, 0, 5, 0, 5, 0, 5, }; C = {, 9, 7, 8, 4, 79, }; D = {0, } A = {a legfeljebb kétjegyű pzitív prímszámk}; B = {az 5 pzitív többszörösei}; C = {a pzitív egész kitevőjű hatványai}; D = {a 0 és az } = {a -nél kisebb természetes számk} 5 E Igazljuk, hgy két racinális szám a) összege; b) különbsége; c) szrzata; d) hányadsa (ha van) is racinális szám! A racinális számk minden esetben felírhatók két egész szám hányadsaként a) Az összeadáshz közös nevezőre hzzuk a számkat Tvábbra is egész számk hányadsai lesznek Az összeg nevezője a közös nevező (egész szám), a számláló a két számláló összege (egész számk összege egész szám) Ezért az összeg két egész szám hányadsa, vagyis racinális szám lesz b) Ugyanezzel a gndlattal ldható meg, csak a számláló a két számláló különbsége, de tvábbra is egész szám lesz c) A szrzat számlálója a két szám számlálójának, a nevező a két szám nevezőjének a szrzata, tehát egész szám d) A hányads az sztandó és az sztó reciprkának (ha van) a szrzata, ami szintén racinális 6 E Lehet-e egy racinális és egy irracinális szám a) összege; b) különbsége; c) szrzata; d) hányadsa racinális, illetve irracinális szám? a) Irracinális biztsan lehet Ha például a racinális tag 0, akkr az összeg irracinális Ha az összeg racinális lenne, akkr a racinális tagt kivnva belőle mivel a különbség

9 szintén racinális, a másik tag is racinális lenne Ez az eset nem frdulhat elő Racinális tehát nem lehet b) Írjuk fel a racinális szám kivnását az ellentett hzzáadásával Ekkr ugyanazt kapjuk, mint az a) esetben: mindig irracinális c) Irracinális biztsan lehet Ha például a racinális tényező, akkr a szrzat irracinális Racinális is lehet, ha például a racinális tényező 0 Ekkr ugyanis a szrzat racinális, mert 0 Másképp aznban nem lehet racinális a szrzat, különben sztva a racinális tényezővel, racinális számt kapnánk, vagyis racinális lenne a másik tényező is d) Legyen a kérdéses hányads a b nem lehet 0 Ha a = 0, akkr 0 a = is racinális b b Ha sem a, sem b nem 0 és b racinális, akkr is az, ha b irracinális, akkr is az A c) feladat szerint akkr a $ b b irracinális b A hányads csak abban az esetben lehet racinális, ha a = 0 I HALMAZOK 7 E Lehet-e két irracinális szám a) összege; b) különbsége; c) szrzata; d) hányadsa racinális, illetve irracinális szám? MATEMATIKA 9 a) Mindkettő lehet r+ ]-rg= 0 racinális; r+ r = r irracinális b) Mindkettő lehet r- r = 0 racinális; r-- ] rg= r irracinális c) Mindkettő lehet $ = racinális; $ = 6 irracinális d) Mindkettő lehet : = racinális; 6 : = irracinális Speciális halmazk, intervallumk K Ábrázljuk számegyenesen a következő intervallumkat! a) ] 0; 6]; b) ] ; 0[; c) ] ; 5]; d) ]4,5; [; e) [,5; 7,5]; f) ] 6; [ a) b) c) d) e) f) ,5 0 7, ,5 K Adjuk meg és szemléltessük a következő egyenlőtlenségek megldáshalmazát, ha az alaphalmaz A) a természetes számk; B) az egész számk; C) a nemnegatív valós számk halmaza! a) < 0; b) > 5; c) $ ; d) < 0 a) A természetes számk alaphalmazán a megldáshalmaz " ,,,,,,,,,, Az egész számk halmazán a " f, -,-,-, 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A nemnegatív valós számk halmazán a 60;06 intervallum

10 0 MATEMATIKA I HALMAZOK A) B) C) b) Ha - 5, akkr -5 [Mindkét ldalhz hzzáadunk ] - 5g-öt] Eszerint ha egy alaphalmazn van megldása, az negatív A természetes számk halmazában nincs megldása Az egész számk halmazán a megldáshalmaz a " f, -0,-9,-8,-7,-6, A nemnegatív valós számk halmazában sincs megldása B) c) A természetes számk halmazán a megldáshalmaz: " 4567f,,,,,,, az egész számk halmazán " f, -8,-7,-6,-5,-4,-,, 4, 5, 6, f,, vagyis az egész számk halmazából elhagyva a "-,-, 0,,, halmazt A valós számk halmazán a ]-g-nál kisebb vagy egyenlő, illetve a -nál nagybb vagy egyenlő számk tartznak a megldáshalmazhz A) B) C) d) < 0, a természetes számk halmazán nincs megldás Az egész számk halmazában a 0-nál kisebb egész számk A valós számk halmazában a 0-nál kisebb valós számk B) C) E Az alábbi egyenlőtlenségek alaphalmaza a valós számhalmaz A megldáshalmazkat írjuk lyan srrendben, hgy mindegyik halmaz után következő halmaz részhalmaza legyen neki! a) > 5; b) 0 $ 5; c) < 0; d) 5 < ; e) - 5 a) A megldáshalmaz: A = " 5vagy -5, b) A megldáshalmaz: B =! $ 5+ c) A megldáshalmaz: C =! 0+ d) A megldáshalmaz: D =! 5+ e) A megldáshalmaz: E = " 7vagy -7, Ha szemléltetjük a megldáshalmazkat számegyenesen, akkr könnyen lelvashatjuk, hgy A E C B D 4 K Írjuk fel az ábrával adtt intervallumkat, illetve azt a halmazt, amely azn elemekből áll, amelyek nincsenek az adtt halmazban! a) 0

11 I HALMAZOK MATEMATIKA b) c) d) e) A halmazk és párjaik: a) -5, illetve #-5; b) - #, illetve " #-vagy, ; c),5, illetve $,5; d) 0, illetve # 0; e) -, illetve " #-vagy $, Halmazk uniója, metszete K Egy sprttagzats sztály létszáma 4 fő Az sztályban mindenki atletizál vagy ksárlabdázik 6-an atletizálnak, 4-en ksaraznak Hány lyan tanuló van az sztályban, aki csak ksarazik? Ha azknak a száma, akik mindkét sprtt űzik, akkr = 4, ahnnan = 6 Így azk száma, akik csak ksaraznak: 8 K Egy sztály minden tanulója elment a tanév hárm isklai kncertjének valamelyikére Az első kncerten -en vltak, a másdik kncerten ugyancsak -en vettek részt, a harmadik kncerten pedig -an Mindhárm kncerten diák vett részt Azk száma, akik csak egy kncerten vltak: 4 Mennyi az sztálylétszám? I() a y b z II() A feladat szövegének megfelelő halmazábra: a+ b+ c = ^+ y+ zh-6 = y+ z Innen + z+ y = 7 Tehát az sztálylétszám: = 4 c III() K Legyen A halmaz a -vel, B halmaz a -mal, C halmaz a 4-gyel sztható számk halmaza Készítsünk halmazábrát, és helyezzük el benne a következő számkat: 0, 4, 6, 8,, 5, 8, 7, 6, 00! A megfelelő halmazábra és a megadtt számk elhelyezése: A C B E Adjunk meg 5 halmazt úgy, hgy közülük bármely 4-nek a metszete ne legyen az üres halmaz, de az öt halmaz metszete az üres halmaz legyen! Legyenek a, b, c, d, e különböző valós számk A megfelelő halmazk: A= " abcd,,,,; Babce ",,,,; C= " abde,,,,; Dacde ",,,,; E= " bcde,,,, 5 K Egy zeneiskla egyik évflyamának 56 diákja hegedülni, zngrázni vagy csellózni tanul (Mindenki játszik valamelyik hangszeren) Azk száma, akik pntsan két hangszeren játszanak, négyszer, akik pedig pntsan egy hangszeren játszanak, kilencszer annyi, mint azk száma, akik mindhárm hangszeren játszanak Hányan vannak azk, akik csak egy hangszeren játszanak? Készítsünk egy halmazábrát! A feltételek szerint a+ b+ c+ + y+ z+ h = 56, + y+ z = 4 h, a+ b+ c = 9h H a y h c z b C Z

12 MATEMATIKA I HALMAZOK Ezek szerint h+ 4h+ 9h = 56, azaz 4h = 56, ahnnan h = 4 A csak egy hangszeren játszók száma: a+ b+ c = 9h = 6 I p a b h r c q III +5 II + 6 E Az isklai túraszaksztály mind a 4 tagja részt vett az idei hárm túra valamelyikén A másdik kirándulásn -gyel, a harmadikn pedig 5-tel többen vettek részt, mint az elsőn Azk száma, akik két túrán vettek részt, -szr, akik pedig egy túrán vettek részt, 0-szer annyi, mint azk száma, akik mindhárm túrán részt vettek Hányan vettek részt az első, a másdik, illetve a harmadik kirándulásn? a+ b+ c = h, p+ q+ r = 0h, tehát 0h+ h+ h = 4h = 4, azaz h = ] a+ b+ cg-h = 4, azaz = 5, ahnnan = 7 Tehát az első, a másdik, illetve a harmadik túrán részt vevők száma rendre 7, 8, 7 E Egy autójavító üzemben 49 szakmunkás dlgzik: autószerelők, lakatsk és autóvillamssági szerelők 5 lyan szakmunkás van közöttük, aki mindhárm szakmában jártas Azk az autószerelők, akik nem rendelkeznek a lakats szakmával is, hármszr annyian vannak, mint akik csak a lakats szakmával rendelkeznek Hét lyan szakmunkás van az összes között, akik az autószerelő és a lakats szakmát is tudják Azk a villamssági szerelők, akik nem értenek az autószereléshez, 4-gyel kevesebben vannak, mint azk az autószerelők, akik nem értenek a lakats munkáhz Hányan vannak, akik csak a lakats szakmával rendelkeznek? A a y 5 v z l V L Készítsünk egy halmazábrát, és tüntessünk fel mindent, amit tudunk A feltételek szerint a+ = l, y =, v+ z+ 4 = a+ Mivel a+ + l+ z+ v+ + 5 = 49, így l+ l+ l = 49, tehát 7l = 56, ahnnan l = 8 Vagyis a csak lakats szakmával rendelkezők száma: 8 4 Halmazk különbsége, kmplementer halmaz K Legyenek az A, B és C halmazk rendre a -mal, 6-tal, illetve 5-tel sztható számk halmaza Mely számk tartznak az alábbi halmazkba? a) (A \ B) + C; b) A \ B \ C a) ] A \ Bg+ C = {a 5-tel sztható páratlan számk} b) A \ B \ C = {a -mal sztható, de 5-tel nem sztható páratlan számk} E Adttak az U alaphalmazn az A, B és C halmazk Szemléltessük egy halmazábrán az alábbi halmazkat! a) ] A, Bg, C; b) ] A\ Bg, C a) b) A B A B U C U C U A B E Adttak az U alaphalmazn az A és B halmazk Igazljuk, hgy ] B+ Ag, ] A+ Bg= ] A, Bg\ ] A+ Bg! Az egyenlőség mindkét ldalának a bal ldali halmazábra felel meg

13 I HALMAZOK MATEMATIKA 4 K Írjuk fel az A, B, A + B és A \ B halmazk elemeit, ha A = {a, b, c, g, h, j}; B = {a, c, f, h, k}! A, B = {a, b, c, f, g, h, j, k}; A + B = {a, c, h}; A \ B = {b, g, j} 5 K Adtt hárm halmaz: A = {,, 4, 7, 8, 9, }; B = {,, 5, 6, 7,, }; C = {4, 5, 6, 7, 0, } Adjuk meg az alábbi halmazk elemeit! a) (A, B) \ C; b) (A + B), (B + C ); c) A + (B \ C ) A könnyebb áttekinthetőség kedvéért először készítsünk halmazábrát, és írjuk be a megfelelő számkat a megfelelő helyre a) ] A, Bg \ C = " 89,,,,,,,; b) ] A+ Bg, ] B+ Cg = " 567,,,,,; c) A+ ] B \ Cg = ",, 6 K Igazljuk halmazábrák segítségével az alábbi egyenlőségeket! a) A \ (B, C ) = (A \ B) + (A \ C ); b) A \ (B + C ) = (A \ B), (A \ C ) A C B a) Az egyenlőség mindkét ldala b) Az egyenlőség mindkét ldala a következő ábráhz vezet: a következő ábráhz vezet: A B A B C C 7 K Igazljuk, hgy nem minden esetben igaz az alábbi egyenlőség! A \ (B \ C ) = (A \ B) \ C Az egyenlőség mindkét ldaláhz ábrát készítünk, ami mutatja az állítást A B A B C C A \] B \ Cg ] A \ Bg\ C 8 K Legyen az alaphalmaz a valós számk halmaza Az A halmaz az $, a B halmaz az # 0, a C halmaz az # 6 valós számk halmaza Határzzuk meg az alábbi halmazkat! a) A, B; b) B\ A; c) A+ C

14 4 MATEMATIKA I HALMAZOK Szemléltessük az A, B, C halmazkat egy számegyenesen! C B A a) A, B =! -0+ ; b) B-A = " -0 vagy #, ; c) A+ C = R Ftó Bilógia Barlangász 5 évf évf évf évf Ftó (4) Bil (45) a q b p r c Barlang (44) 9 E Egy általáns iskla felső tagzatán hármféle szakkör működik: ftószakkör, bilógiaszakkör és barlangász szakkör E szakkörök létszámát a bal ldali ábra mutatja évflyamkra lebntva Azk száma, akik pntsan két szakkörre járnak, kétszer, akik pedig pntsan egy szakkörre járnak, hármszr annyi, mint azk száma, akik mindhárm szakkör munkájában részt vesznek Az iskla felső tagzata 6 diákjának kb hány százaléka nem jár semmilyen szakkörre? Ftószakkörre 4, bilógiaszakkörre 45, barlangász szakkörre pedig 44 diák jár A feltételek szerint: p+ q+ r = és a+ b+ c = Azknak a diákknak a száma, akik legalább egy szakkörre járnak: ^p+ q+ rh- = 0-4, vagyis 0-4 = 6, ahnnan = Tehát azknak a diákknak a száma, akik járnak legalább egy szakkörre, 6 = 78 Ez az iskla 6 diákjának kb 78 $ 00 6,% -a Azk száma, akik semmilyen szakkörre nem járnak a 6 felső tagzatn: 00% - 6,% = 6,9% 5 A matematikai lgika elemei K Írjuk fel a következő jelzők tagadását, valamint két különböző, jelentést kifejező ellenkezőjét! a) szép; b) nagy; c) ks; d) vastag; e) kerek; f) hmrú eredeti kifejezés a tagadása két különböző jelentésű ellenkezője a) szép nem szép csúnya gyönyörű b) nagy nem nagy kicsi hatalmas c) ks nem ks buta zseniális d) vastag nem vastag vékny átlags vastagságú e) kerek nem kerek szögletes vális f) hmrú nem hmrú dmbrú sík K Írjuk fel a következő kijelentések tagadását! Döntsük el, hgy melyik igaz; az állítás vagy a tagadás! a) Minden természetes szám nagybb, mint 0 b) Vannak páratlan egész számk c) Minden hármszögnek van legalább két hegyesszöge d) Minden tengelyesen szimmetrikus négyszögnek van két-két egyenlő szögpárja e) Van lyan síknégyszög, amelyben a derékszögek száma f) Bármely két nem párhuzams egyenes metszi egymást

15 I HALMAZOK MATEMATIKA 5 a) Hamis A tagadása: Van 0-nál nem nagybb természetes szám Igaz, például a 0 b) Igaz A tagadása: Nincsen páratlan egész szám Hamis, például az c) Igaz A tagadása: Van lyan síkbeli hármszög, amelynek nincs legalább két hegyesszöge (vagyis legfeljebb egy hegyesszöge van) Hamis d) Hamis (például egy lyan deltid, amely nem rmbusz) A tagadása: Van lyan szimmetrikus négyszög, amelynek nincs két-két egyenlő szögpárja Igaz e) Hamis A tagadása: Minden síknégyszögben a derékszögek száma -tól különböző (nem ) Igaz, hiszen ha derékszöge lenne, akkr 4 is lenne f) Nem igaz, mert lehetnek kitérő egyenespárk A tagadása: Van lyan egyenespár, amely nem párhuzams és nem is metsző Igaz K Tételezzük fel, hgy igaz az az állítás, hgy Ha füttyentesz, elhallgatk Mi következik abból, hgy a) nem hallgattam el; b) nem füttyentettél; c) elhallgattam; d) füttyentettél? a) Nem füttyentettél, hiszen ha füttyentettél vlna, elhallgattam vlna b) Semmi Lehet, hgy nem hallgattam el, de az is lehet, hgy csak úgy magamtól elhallgattam c) Semmi Lehet, hgy füttyentettél, és azért, de az is lehet, hgy csak úgy magamtól elhallgattam d) Elhallgattam, hiszen ha füttyentesz, elhallgatk 4 K Ha megnyitm a csapt, flyik a víz Az alábbiak közül melyik állítás fejezi pntsan ugyanezt? a) Ha nem nyitm meg a csapt, nem flyik a víz b) Ha flyik a víz, megnyitttam a csapt c) Ha nem flyik a víz, nem nyitttam meg a csapt A c) Hiszen ha megnyitttam vlna a csapt, akkr flyna a víz 5 K Írjuk fel a következő állításk megfrdítását! a) Ha havazik, akkr fagy b) Ha péntek van, akkr mziba megyek c) Ha nincs kifgásd ellene, akkr ablakt nyitk d) Ha ráérsz, akkr eljöhetsz a) Ha fagy, akkr havazik b) Ha mziba megyek, akkr péntek van c) Ha ablakt nyitk, akkr nincs kifgásd ellene d) Ha eljöhetsz, akkr ráérsz 6 K Döntsük el, hgy igazak-e az alábbi állításk! Írjuk fel az állításk megfrdítását, és azkról is döntsük el, hgy igazak-e! a) Ha egy egész szám párs, akkr -esre végződik b) Ha egy egész szám sztható 9-cel, akkr a számjegyeinek az összege 9 c) Ha egy hármszög derékszögű, akkr a két rövidebb ldalra emelt négyzet területösszege egyenlő a leghsszabb ldalra emelt négyzet területével a) Hamis Megfrdítva: Ha egy egész szám -esre végződik, akkr párs Igaz b) Hamis Megfrdítva: Ha egy egész szám számjegyeinek az összege 9, akkr a szám sztható 9-cel Igaz c) Igaz, ez a Pitagrasz-tétel Megfrdítva: Ha egy hármszögben a két rövidebb ldalra emelt négyzet területösszege egyenlő a leghsszabb ldalra emelt négyzet területével, akkr a hármszög derékszögű Igaz, ez a Pitagrasz-tétel megfrdítása Egy hármszög akkr és csak akkr derékszögű, ha a két rövidebb ldalra emelt négyzet területösszege egyenlő a leghszszabb ldalra emelt négyzet területével

16

17 MATEMATIKA 7 II Algebra és számelmélet A hatványzás és aznsságai K Mivel egyenlő? a) ; b) 5 5; c) 0 0; 5 = d) 79; e) 4 6; f) 6; 6 = g) 7 49; h) 6 6; i) 8; = = = = j) $ = 6; 0 k) 6 $ = 6; l) = K Mivel egyenlő? a) ]- g = -; b) ]-g = -8; c) ]-g 4 =6; d) ]-g 6 = 79; e) 4 = 64; f) ]-g 4 = 8; g) ]-5 g = 5; h) 5 = 5; i) ]-5 g = -5; j) 5 $ ]-5 g = 65; k) ]-g $ 0 = 0; l) ]- g 00 = K Írjuk fel hatvány alakban a következő számkat, ha lehet, többféleképpen is! a) 000 például: =0 ; 0 5 b) 04 például: = = 4 = ; 4 c) 8 például: = = 9 ; d) 00 például: =0 ; 0 0 e) például: = = = ; 4 f) 65 például: = 5 = 5 4 K Írjuk fel prímszámk hatványainak szrzataként a következő számkat! a) 0 = $ 5 ; b) = $ ; c) 60 = $ $ 5 ; d) 6 = $ ; e) 8 = 4 ; f) 54 = $ ; g) 4 = 7 ; h) 04 = 0 ; i) = $ 5 ; j) 54 = $ ; k) 60 = $ 5; l) 8 = 7 ; m) 60 = $ $ 5 $ 7; 4 4 n) = $ 5 ; 9 ) = $ 5 5 K Mely számk prímtényezős alakját írtuk fel? a) = 8; b) = 7; c) $ = 08; d) 4 = 6; e) $ = 7; f) 048 = 4 = 4 = = A hatványzás aznsságainak kiterjesztése K Mely számkat írtuk hatványalakban? a) ; b) ( ) ; c) 5 ; d) ( ) 5 ; e) b l - ; f) b- l - ; g) ; h) b l a) ; b) ; c) - ; d) -; 5 e) 5; f) -5; g) ; h) 6 9

18 8 MATEMATIKA II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET K Írjuk fel a megadtt számkat hatványalakban, ha lehet, többféleképpen is! a) 00; b) 0,; c) 0,5; d) ; e) 0,0; f) ; 8 g) 0,000; h) 0,00 Például: - a) = = = b l ; 0 b) 0, = 0 ; c) 0,5 = 0,5 = ; 0 d) = = ; - e) 0,0 0 = = b l ; 0 f) 4 = = ; 8 9 g) -4 0,0 = = ; h) 0,000 = 0, = 0 K Számítsuk ki a szrzásk eredményét! 7-4 a) $ ; - - b) b l $ ; c) b l 4 $ ; d) 4 $ b l ; 4 - e) ; f) ; g) - ; h) b l $ b l 5 $ b l $ 5 b l 4 $ 4 5 a) 8; b) 4; c) 6 ; 8 d) ; e) 56 ; f) ; g) 65 ; h) 8 4 K Számítsuk ki a műveletek eredményét! a) 4 : ; b) :5 ; c) 4 $ ; d) ] g : ; - e) - ]- g :]-g ; f) - 4 : ] 4 - g ; g) $ ; h) 7 : b l 7 a) 9 ; b) 5; c) 78; d) ; 6 6 e) ; f) ; g) ; h) K Állítsuk nagyság szerint növekvő srrendbe a következő számkat! a = ; b = ]-g ; c = ; d = ]-g ; e = ; f = ]-g; g = ; h = ]-g a = ; b ; c ; d ; e ; f ; g ; h = - = = - = = - = = - Eszerint: f b = d h a e = g c - - Gyakrlati számításk K Fejezzük ki a következő számkat nrmálalakban! a) ; b) 5 000; c) 560; d) ; e) 0,; f),5; g) 0,000 05; h) 0 000,000 0 a) 60 $ 6 ; b),5 $ 0 5 ; c),56 $ 0 ; d) 4,54 $ 0 6 ; - e) 0 $ ; f),5 $ 0 0 ; g) 5$ 0 6 ; h), $ 0 4 K Mennyi a) a 0 5%-a; b) a 5 0%-a; c) a 0 5%-a; d) az 5 0%-a? a) ; b) ; c) 0,5; d) 0,5

19 II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET K Mennyi a) egy szám 0%-ának 0%-a; b) egy szám 80%-ának 0%-a; c) egy szám 5%-ának 80%-a; d) egy szám 80%-ának a 0%-a? MATEMATIKA 9 a) A szám 4%-a; b) a szám 96%-a; c) a szám 00%-a, azaz maga a szám; d) a szám 8%-a 4 K Melyik szám 45%-a a) a 0; b) a 45; c) a 5; d) az,5? : a), 00 : = ; b) 00; c) 00; d), 0 = 9 5 K Tekintsük a Földet egy lyan gömbnek, amelynek a középpntján átmenő körök kerülete km! a) Megközelítőleg mekkra a Föld átmérője? b) Megközelítőleg mekkra a Föld sugara? c) Megközelítőleg mekkra a Föld térfgata? d) Megközelítőleg mekkra a Föld felszíne? e) A Föld felszínének körülbelül hány százalékát brítja víz, ha az összes vízfelület nagysága körülbelül,4 0 8 km? (Emlékeztetőül: Az r sugarú kör kerülete rr, területe r r Az r sugarú gömb felszíne 4r r, térfgata 4 r ) r 4 a) d,7 $ 0 km b) r 6,4 $ 0 km c) V, $ 0 km 8 d) A 5, $ 0 km e) Kb 67%-át 6 K a) Hány százaléka a Föld átmérője a Napénak? b) Hány százaléka a Föld tömege a Napénak? A szükséges adatk megtalálhatók a négyjegyű függvénytáblázatban a) A Nap átmérője:,4 $ 0 6 km; a Föld átmérője:,7 $ 0 4 km 6 4, $ 0 A kettő aránya: 7, $ 0 4, $ 0 Vagyis a Föld átmérője a Nap átmérőjének,%-a b) A Föld tömege: 60 $ 4 kg, a Nap tömege: 0 $ 0 kg 4 A kettő aránya: 60 $ -6-0 $ százaléka Ez 0,000% 0 = 0 $ 4 0 $ 4 Algebrai kifejezések összevnása, szrzása K Végezzük el az alábbi szrzáskat! 5 4 a) 4ac$ 5abc; b) 4 yz 5 $ yz; c) 5 pqs $ b- pqsl a) 0a bc; b) yz; c) - pqs 4 K Végezzük el az alábbi szrzáskat! a) ^ + yh_ -5y-6y i; b) a a b a ab 4 b - lb + - a bl 4 a) 6-0 y-y + 9 y-5y -8y = 6 - y-7y -8y ; b) 4 a 4 a b 8 a b 5 a b a b + a b 9 9 8

20 0 MATEMATIKA II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET K Végezzük el az alábbi szrzást! 4 5 ] a- g ^+ a+ a + a + a + a h a+ a + a + a + a + a --a-a -a -a -a = a - 4 K Végezzük el az alábbi szrzáskat! a) 4 a $ a; b) 4 5 pq$ _-6 pq i; c) y b- l$ b y l a) a; b) -p 5 q 8 ; c) - y 4 5 K A következő feladatkban egy többtagú összeget kell szrznunk egy taggal a) ^ - + 4h; b) 6ab^ ab + ab - 4a bh; c) y y 5 y 0 b - + yl a) ; b) ; c) 5 y ab+ 8ab- 4ab - y + y 0 6 E A következő feladatkban egy többtagú összeget kell szrznunk egy taggal a) 4 y _ y- y + 5yi; b) m n q p n m q p m- n+ q p 4 m+ n m-n b - + q p l 5 n+ k+ n+ k n+ k n+ k+ a) ; b) m+ n n+ m q p m- n+ q p 4 m+ n m+ n y - 8 y + 0 y - + q p K Az alábbi feladatkban több tagt kell több taggal szrznunk a) ] a+ g] a- g; b) ^ y -h _ y -y + yi; c) ] -g^ h a) a - 4 ; b) y -y + y -y + 4y-y = y -y -y + 4y-y; c) = E Az alábbi feladatkban több tagt kell több taggal szrznunk n k a) _ + y i^ + + yh; n+ k b) _ p - q i^p+ q+ pqh; c) k k+ -k y k k y k- b + lb - + y l 6 a) n n+ n k k k+ + + y+ y + y + y ; n+ n+ n+ k k+ k+ b) p + p q+ p q-pq -q -pq ; c) k k y k k- y 4 -k + k k k+ y y k y Nevezetes szrzatk K Végezzük el az alábbi műveleteket! a) ^5- yh ; b) ^ab + 4ab h ; c) _ 5y- yi a) 5-0y+ 9y ; b) 4ab+ 6ab+ 6ab; c) 5y- 0y+ 4y K Alakítsuk szrzattá az alábbi kéttagú összegeket! a) 49b - ; b) 6ab- 64ab; c) 6 4 p ab 6 5 a) ^7b + h^7b - h ; b) ^6ab+ 8abh^6ab- 8abh; c) p 4 ab p 4 b + lb - abl

21 II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET K Elvégeztük egy kéttagú összeg négyzetre emelését, és eredményül azt kaptuk: ] g = 4a - ab+ Sajns az utlsó tag elmsódtt a papírn Milyen összeget emeltünk négyzetre? ] a-bg = 4a -ab+ 9b vagy ]-a+ bg = 4a -ab+ 9b 4 K Számítsuk ki az alábbi kéttagú összegek köbét! a) a a ^ + h ; b) ^- yh ; c) k b - n kl a) a + 9a + 7a + 7a ; b) 8 - y+ 6y -y ; c) k k n n k n k K Két tag összegének, illetve különbségének a négyzetéről tanultak alapján végezzük el az alábbi négyzetre emeléseket! a) y ^ - h ; b) ^a - 4bh ; c) ^4p+ qh a) 4 - y+ 9y ; 4 b) a - 8a b+ 6b ; c) 6p + 4pq+ 9q 6 K Végezzük el az alábbi négyzetre emeléseket! a) ^ - h ; b) _ y + yi ; c) ^4a + abh a) - + ; 6 4 b) 4y + y + 9y ; 4 c) 6a + 4a b+ 9a b 7 K Két tag összegének, illetve különbségének a szrzatáról tanultak alapján végezzük el az alábbi szrzáskat! a) ^+ yh^- yh; b) _ + yi_ - yi; c) ^ 5a b + ab h^5a b - ab h a) - 9y ; 4 b) 4 - y ; 6 4 c) 5ab- 4ab 8 E Végezzük el a négyzetre emeléseket! a) b y- yl ; b) ab 5 b + abl ; c) 4 n y 5 n b - y l 5 5 a) 6 4 y y+ 4y; b) ab ab ab; c) 6 n 4 y 8 n+ n+ y 5 4 n y K Két tag négyzetét számltuk ki; mi lehet az eredmény hiányzó harmadik tagja? a) ] g = y ; b) ] g = 4a - a b ; c) ] g = 5p -0 p q a) ^4+ yh = 6 + 8y+ y ; b) ^a -abh = 4a -a b+ 9a b ; c) _ 5p -p qi = 5p -0p 5 q+ 4p q 0 K Két tag összegének, illetve különbségének harmadik hatványáról tanultak alapján végezzük el az alábbi köbre emeléseket! a) ] a + g ; b) ^+ yh ; c) ^k - kh a) 8a + a + 6a+ ; b) y+ 54y + 7y ; c) k -6k 5 + k -8k MATEMATIKA

22 MATEMATIKA II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET 6 Tvábbi nevezetes szrzatk (Emelt szint) E Végezzük el a négyzetre emeléseket! a) ^+ y+ zh ; b) ] a+ b- cg ; c) b a b - + abl a) + 4y + z + 4y+ z+ 4yz; b) 4a + 9b + c + ab-4ac-6bc; c) 4 a 9b 4 ab ab ab-4ab 4 9 E Alakítsuk szrzattá az alábbi kéttagú összegeket! a) ; b) p - q ; c) a ; d) 7k - y a) ] + g ^ h ; b) _ p i -q = _ p -qi_ p + p q+ q i; c) a + = ] a+ g^a -a + 4a -8a+ 6h 6 ; d) _ k- y i_ 9k + ky + y i E Igazljuk, hgy sztható 50-cal! ^ h = ^ -h$ K, ahl K egész szám Tehát ^ - h ^ + h $ K De + = 5 0, tehát a kifejezés sztható 5 0-cal 4 E Hármtagú összeg négyzetéről tanultak alapján végezzük el az alábbi négyzetre emeléseket! a) a b+ c ] - g ; b) ^-y-zh ; c) ^p+ q+ zh a) a + b + 4c -ab+ 4ac-4bc; b) 4 + 9y + z -y-4z+ 6yz; c) p + 4q + 9z + 4pq+ 6pz+ qz 5 E Hármtagú összeg négyzetéről tanultak alapján végezzük el az alábbi négyzetre emeléseket! a) ^a - ab+ b h ; b) p p q b + - q l ; c) ^ k k+ k k- a - b + a b h a) 4a + 9a b + b -a b+ 4a b -6ab ; b) 9 p pq q pq pq pq; k k+ k k- k k+ k k- k k c) 4a + 9b + a b -a b + 4a b -6a b 6 K Számítsuk ki az alábbi kifejezések megfelelő helyettesítési értékét! a) ^ a b a b a b a b, a,9, b - h -^ + h^ - h + = - = ; b) ^ 4, + + h - ^ + h- = - ; 5 c) ^6k -5nh^ 6k + 5nh -6 k ] + 0ng + ^6k + 5nh, k =, n = -,5 4 4 a) 4a a b 9b 4a 9b a b 8b = = $ = ; b) = + = ; 5 c) 6k 4-5n -7k -60k n+ 6k k n+ 5n = -7k = -7

Dr. Fried Katalin Dr. Gerőcs László Számadó László

Dr. Fried Katalin Dr. Gerőcs László Számadó László Dr Fried Katalin Dr Gerőcs László Számadó László MATEMATIKA 9 A tankönyv feladatai és a feladatk megldásai A megldásk lvasásáhz Acrbat Reader prgram szükséges, amely ingyenesen letölthető az internetről

Részletesebben

Matematika pótvizsga témakörök 9. V

Matematika pótvizsga témakörök 9. V Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 5. modul Ismétlés a tudás anyja

MATEMATIKA C 12. évfolyam 5. modul Ismétlés a tudás anyja MATEMATIKA C. évflyam 5. mdul Ismétlés a tudás anyja Készítette: Kvács Kárlyné Matematika C. évflyam 5. mdul: Ismétlés a tudás anyja Tanári útmutató A mdul célja Időkeret Ajánltt krsztály Mdulkapcslódási

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

. 2 pont A 2 pont nem bontható. 3 Összesen: 2 pont. Összesen: 3 pont. A valós gyökök száma: 1. Összesen: 2 pont. Összesen: 2 pont

. 2 pont A 2 pont nem bontható. 3 Összesen: 2 pont. Összesen: 3 pont. A valós gyökök száma: 1. Összesen: 2 pont. Összesen: 2 pont 1. Az egyszerűsítés után kaptt tört: I. a b. pnt A pnt nem bntható. 3 Összesen: pnt. Frgáshenger keletkezik, az alapkör sugara 5cm, magassága 1cm. V = 5π 1(cm 3 ). A frgáshenger térfgata 300π cm 3. Ha

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22.

11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22. osztály Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! y + yz = 8 yz + z = 9 z + y = 5 (0 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: ( + yz + z) = Ebből kivonva az egyenleteket: y =, yz = 6, z

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra

Részletesebben

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP J UHÁSZ I STVÁN P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ T é m a k ö r ö k é s p r ó b a f e l a d a t s o r 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP 1. oldal 9. OSZTÁLYOS PÓTVIZSGA TÉMAKÖRÖK: I.

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 7 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 2. modul Telek és kerítés

MATEMATIKA C 12. évfolyam 2. modul Telek és kerítés MATEMATIKA C 1. évflyam. mdul Telek és kerítés Készítette: Kvács Kárlyné Matematika C 1. évflyam. mdul: Telek és kerítés Tanári útmutató A mdul célja Időkeret Ajánltt krsztály Mdulkapcslódási pntk Skszögekről

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Trigonometria I. A szög szinuszának nevezzük a szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosát (arányát).

Trigonometria I. A szög szinuszának nevezzük a szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosát (arányát). Trignmetria I A hegyes szögű deiníciók: A szög szinuszának nevezzük a szöggel szemközti begó és az átgó hányadsát (arányát). Kszinus nak nevezzük a szög melletti begó és az átgó hányadsát (arányát). A

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

2016/2017. Matematika 9.Kny

2016/2017. Matematika 9.Kny 2016/2017. Matematika 9.Kny Gondolkodási módszerek 1. Számhalmazok: N, Z, Q, Q*, R a számhalmazok kapcsolata, halmazábra 2. Ponthalmazok: o 4. oldal K I. fejezet: 172-178., 180-185., 191. feladat távolsággal

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

Megoldások 9. osztály

Megoldások 9. osztály XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 3. modul A mi terünk

MATEMATIKA C 12. évfolyam 3. modul A mi terünk MTEMTIK C 1. évflyam. mdul mi terünk Készítette: Kvács Kárlyné Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató mdul célja Időkeret jánltt krsztály Mdulkapcslódási pntk térfgat- és felszínszámítási

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 1. forduló haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 0/03-as tanév. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató. Egy kör kerületére felírjuk -től 3-ig az egészeket

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

VII. Apáczai Matematika Kupa 7. osztály 2011. Pontozási útmutató

VII. Apáczai Matematika Kupa 7. osztály 2011. Pontozási útmutató 1. feladat: VII. Apáczai Matematika Kupa 7. osztály 011. Pontozási útmutató Egy szöcske ugrál a számegyenesen. Ugrásainak hossza egység. A számegyenesen a 10-et jelölő pontból a 1-et jelölő pontba ugrással

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat 1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

17. tétel: Egybevágósági transzformációk. Szimmetrikus sokszögek.

17. tétel: Egybevágósági transzformációk. Szimmetrikus sokszögek. 17. tétel: Egybevágósági transzfrmációk. Szimmetrikus skszögek. Gemetriai transzfrmáció: Olyan függvény, melynek értelmezési tartmánya és értékkészlete is egy-egy pnthalmaz (vagyis pntkhz rendel pntkat).

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat. 1. Az a és b valós számra a 2 + b 2 = 1 teljesül, ahol ab 0. Határozzuk meg az. szorzat minimumát. Megoldás.

Bolyai János Matematikai Társulat. 1. Az a és b valós számra a 2 + b 2 = 1 teljesül, ahol ab 0. Határozzuk meg az. szorzat minimumát. Megoldás. Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási Minisztérium Alapkezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 005/00-os tanév első iskolai) forduló haladók II. kategória nem speciális

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2016/2017-es tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2016/2017-es tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 016/017-es tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. A k valós paraméter értékétől függően

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

Az értékelés a következők szerint történik: 0-4 elégtelen 5-6 elégséges 7 közepes 8 jó 9-10 jeles. A szóbeli vizsga várható időpontja

Az értékelés a következők szerint történik: 0-4 elégtelen 5-6 elégséges 7 közepes 8 jó 9-10 jeles. A szóbeli vizsga várható időpontja 2016/17 I. félév MATEMATIKA szóbeli vizsga 1 A szóbeli vizsga kötelező eleme a félév teljesítésének, tehát azok a diákok is vizsgáznak, akik a többi számonkérést teljesítették. A szóbeli vizsgán az alább

Részletesebben

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van! 1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 9 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET C

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET C MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET C Matematika 11. évflyam TANULÓK KÖNYVE Készítette: Kvács Kárlyné A kiadvány KHF/457-7/009. engedélyszámn 009.05.1. időpnttól tankönyvi engedélyt kaptt Educati Kht. Kmpetenciafejlesztő

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2009/2010-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 009/00-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.

Részletesebben

1. Feladatsor. I. rész

1. Feladatsor. I. rész . feladatsor. Feladatsor I. rész. Mely x valós számokra lesz ebben a sorrendben a cos x, a sinx és a tg x egy mértani sorozat három egymást követő tagja?... (). Egy rombusz egyik átlója 0 cm, beírható

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

2 2 = 2 p. = 2 p. 2. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3. Végezd el a kijelölt műveleteket! 4. Alakítsad szorzattá az összeget!

2 2 = 2 p. = 2 p. 2. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3. Végezd el a kijelölt műveleteket! 4. Alakítsad szorzattá az összeget! Matematika vizsga 014. 9. osztály Név: Az 1-1. feladatok megoldását a feladatlapra írd! A 1-19. feladatokat a négyzetrácsos lapon oldd meg! 1. Számítsd ki az alábbi kifejezések pontos értékét! 0, = = p

Részletesebben

Érettségi feladatok: Halmazok, logika

Érettségi feladatok: Halmazok, logika Érettségi feladatok: Halmazok, logika 2005. május 10 18. Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. Először Ádám

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév kezdők III. kategória I. forduló

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév kezdők III. kategória I. forduló Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/013-as tanév kezdők I II. kategória II. forduló kezdők III. kategória I. forduló Megoldások és javítási útmutató 1. Egy osztályban

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a b pozitív egészek és tudjuk hogy a 2

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. forduló NYOLCADIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. forduló NYOLCADIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. forduló NYOLCADIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK 1. A 2014-et felírtuk három természetes szám összegeként úgy, hogy ha az első számot elosztjuk

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Halmazok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Halmazok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Halmazok 1) Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat.

Részletesebben

Halmazműveletek feladatok

Halmazműveletek feladatok Halmazműveletek feladatok Soroljuk fel a {a; b; c} halmaz összes részhalmazát! Határozza meg az A és B halmazokat, ha tudja, hogy A B ={1;2;3;4;5}; A B ={3;5}; A\B={1}; B\A={2;4 A={-1; 0; 1; 2; 5; 7; 8}

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

4. Számelmélet, számrendszerek

4. Számelmélet, számrendszerek I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! 2. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat! 3. Az ötnek hányadik hatványa a következő kifejezés?

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. KÖZÉPSZINT ) Egyszerűsítse a következő törtet! (a; b valós szám, ab 0)! a b ab ab ab ( a ) a ab I. Összesen: pont ) Egy mértani sorozat második eleme 3, hatodik eleme.

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

Készítette: Ernyei Kitti. Halmazok

Készítette: Ernyei Kitti. Halmazok Halmazok Jelölések: A halmazok jele általában nyomtatott nagybetű: A, B, C Az x eleme az A halmaznak: Az x nem eleme az A halmaznak: Az A halmaz az a, b, c elemekből áll: A halmazban egy elemet csak egyszer

Részletesebben

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA)

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Oktatási Hivatal A 016/017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Egy húrtrapéz pontosan

Részletesebben

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben