MATEMATIKA C 12. évfolyam 2. modul Telek és kerítés

Átírás

1 MATEMATIKA C 1. évflyam. mdul Telek és kerítés Készítette: Kvács Kárlyné

2 Matematika C 1. évflyam. mdul: Telek és kerítés Tanári útmutató A mdul célja Időkeret Ajánltt krsztály Mdulkapcslódási pntk Skszögekről tanultak átismétlése, a skszögek és a kör részei területének és kerületének kiszámítása. fglalkzás 1. évflyam Tágabb környezetben: Fizika Szűkebb környezetben: Térfgat és felszín kiszámítása. Szögfüggvények alkalmazása derékszögű hármszögben, kszinusztétel Ajánltt megelőző tevékenységek: Srzatk A képességfejlesztés fókuszai Ajánltt követő tevékenységek: Testek térfgatának és felszínének kiszámítása. Mennyiségi következtetés, hsszúság és terület becslése, rendszerezés, metakgníció, kmbinatrikai gndlkdásmód, számlási képesség, szövegértés JAVASLAT 1. sztályban a sík- és térgemetriai feladatk megldása nagyszerű lehetőséget nyújt a gemetriában tanult ismeretek felelevenítésére. Vannak lyan tételek, amelyeket alkalmazhatóságának felismerése általában nem kz már gndt (Pitagrasz-tétel, Thalész-tétel), visznt meglepően gyrsan elfelejtik a tanulók pl. a hármszög nevezetes vnalait, köreit, pntjait, és azk tulajdnságait. Ezek az ismeretek csak úgy mélyülnek el, ha a tanuló különböző szövegkörnyezetben kénytelen skszr alkalmazni azkat. A skszög és a kör visznya is lyan prblémák felvetésére ad lehetőséget, amelyek megldása srán alapsabbá válnak a körrel kapcslats tudnivalók. A MODUL FOGLALKOZÁSAINAK JAVASOLT SORRENDJE 1. fglalkzás: Így is, úgy is lehet. fglalkzás: Skszög, sk szög?

3 Matematika C 1. évflyam. mdul: Telek és kerítés Tanári útmutató 3 MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/ Feladat/ Gyűjtemény I. Így is, úgy is lehet 1. Hármszöggel kapcslats feladatk Metakgníció, rendszerezés, prblémamegldás, értelmes memória. Skszögek területének kiszámítása Ismeretek elmélyítése, rendszerezése, prezentáció, terület becslése 3. Szerkesztési feladatk Térlátás, térbeli visznyk felismerése, mennyiségi következtetés, becslés, rendszerezés, metakgníció Feladatlap: 1.a) e) feladat Feladatlap:.,. feladat Feladatlap: 3., 5. feladat. A trapéz és a kör Prblémamegldás, visznyk felismerése Feladatlap: 6., 7. feladat II. Skszög, sk szög? 1. Villámkérdések a szabálys skszögekről Értelmes memória, metakgníció Feladatlap: 1 7. feladat. Kör részei területének kiszámítása Feladatlap: feladat 3. Skszögek területének kiszámítása Ismeretek elmélyítése, rendszerezés Feladatlap: 8., 1. feladat

4 Matematika C 1. évflyam. mdul: Telek és kerítés Tanári útmutató I. ÍGY IS, ÚGY IS LEHET A térgemetriai tanulmányk lehetőséget nyújtanak a síkgemetriai ismeretek felelevenítésére. Erre a fglalkzásra tervezett feladatk elsősrban ezt a célt szlgálják. A feladatkban az ürügy erre a legtöbb esetben egy-egy hármszög, illetve skszög területének kiszámítása. A tanulók önálló feladatmegldó munkáját amikr szükséges - szakítsuk meg a felmerült síkgemetriai prblémák alaps megbeszélésével. Érdemes ösztönözni a tanulókat, hgy a füzetük egy külön részébe írják le a már átismételt fgalmakat, és az azkra vnatkzó tételeket. 1. Egy 13 cm sugarú körnek megrajzltuk az AB átmérőjét. a) Számítsd ki annak az ABC hármszögnek az ldalhsszait, amelynek a területe 10 cm, és a hármszög körülírt köre az adtt kör! b) Van-e körnek lyan D pntja, amelyre az ABD hármszög területe 180 cm. Ha van, számítsd ki a hármszög ldalainak hsszát! c) Szerkeszd meg azknak az E pntknak a halmazát a kör síkjában, amelyekre az ABE tmpaszögű hármszög területe 195 cm! d) A kör negyed körívén keresd meg az összes lyan P pntt, amely esetén az ABP hármszög AB ldaláhz tartzó magasságának hssza cm-ben mérve egész szám. Ha véletlenszerűen választunk ezek közül a P pntk közül egyet, mekkra a valószínűsége, hgy a kiválaszttt P pnthz tartzó ABP hármszög területe legalább 39 cm és legfeljebb 91 cm? e) Az a) kérdésben meghatárztt ABC hármszög beírt körének mekkra a sugara? Megldás: a) Az ABC hármszög AB ldala 6 cm hsszú, és mivel annak C csúcsa a körön van, így Thalész tétele alapján az vel jelölve a feladat szerint: a + b = ab = 10 6 a + b = 676 ab = 0 ACB derékszög. A hármszög befgóit a-val és b-

5 Matematika C 1. évflyam. mdul: Telek és kerítés Tanári útmutató 5 Az egyenletrendszert megldhatjuk behelyettesítő módszerrel is. (Ekkr pl. az másdfkú a 676a = 0 egyenlethez jutunk, amelynek megldásai a -re a - re: 576 és 100. Innen adódik, hgy a hármszög befgói 10 cm és cm hsszúak. Egy másik lehetséges megldás: A másdik egyenlet mindkét ldalát -vel szrzva, és a kaptt egyenlet megfelelő ldalait az első egyenlet megfelelő ldalaihz hzzáadva, az a + b + ab = 1156, azaz ( a + b ) 1156 egyenlethez jutunk. Ha visznt az első egyenlet ldalaiból kivnjuk a kétszerezéssel kaptt egyenlet megfelelő ldalait, akkr az a + b ab = 196, azaz ( a b ) 196 = = egyenletet kapjuk. Mindkét egyenletnek teljesülnie kell. Így az ( a + b) ( a b) = 1156 = 196 egyenletrendszer pzitív számkból álló megldását keressük. Ekkr 0 < a + b, ezért az első egyenletből a + b = 3 egyenlet adódik csak. Mivel a két egyenlet a és b értékeire szimmetrikus, ha az a jelöli a hármszög hsszabb befgóját, akkr a a + b = 3 másdik egyenletből az a b -re csak 1 jöhet szóba. Az a b = 1 egyenletrendszer megldása a = és b = 10. A derékszögű hármszög befgóinak hssza cm és 10 cm. b) A körbe beírt derékszögű hármszög területe akkr a legnagybb, ha az AB átfgóhz tartzó magasság a lehető legnagybb. Ez nyilván akkr teljesül, ha az átfgóhz tartzó magasság a kör sugarával megegyező hsszú, azaz 13 cm. Ekkr a 6 13 hármszög területe:, azaz 169 cm. Ez kisebb, mint 180 cm, így nincs a körnek ilyen D pntja. c) A hármszög E csúcsa nem lehet a körön belül, hiszen ekkr a hármszög AB ldaláhz tartzó magassága kisebb 13 cm-nél, ezért a hármszög területe kisebb 169 cm -nél. A hármszög tmpaszöge vagy az A vagy B csúcsnál lehet csak. Az AB 6m ldalhz tartzó magasságt m-mel jelölve: = 195, és ebből m =15 (cm). Az AB egyenestől 15 cm távlságra lévő pntk halmaza a kör síkjában két, AB egyenessel párhuzams egyenes, melyeknek a távlsága az AB egyenestől 15 cm. A keresett pnthalmaz: Az ábra szerinti négy, nyílt kezdőpntú félegyenes.

6 Matematika C 1. évflyam. mdul: Telek és kerítés Tanári útmutató 6 A B d) A negyed köríven 13 ilyen pnt jelölhető ki. Ha a hármszögek AB ldaláhz tartzó magasságának hsszát k-val jelöljük, a hármszögek területe 13 k. A kiválaszttt pnthz tartzó hármszög akkr kedvező, ha 39 13k 91, azaz 3 k 7, ahl k pzitív egész számt jelöl, tehát k { 3,,5,6,7 }. A kedvező esetek száma 5, az összes lehetséges választásk száma 13, így a keresett valószínűség: e) Ismert, hgy az a, b és c ldalú hármszög T területe és a beírt körének r sugara a + b + c 60 között fennálló összefüggés: T = r. Így 10 = r, azaz r = (cm).. A cm ldalhsszúságú szabálys hármszög mindhárm ldala fölé lyan négyzetet rajzlunk, amelyik nem tartalmazza a hármszöget. A négyzeteknek a hármszög csúcsától különböző csúcsai egy hatszöget határznak meg. a) Számítsd ki ennek a hatszögnek a területét! b) A hatszög azn ldalain át, amelyeknek a hssza megegyezik a négyzet ldalának hsszával, egyeneseket rajzlunk. A hárm egyenes meghatárz egy DEF hármszöget. Mekkra ennek a hármszögnek a területe? c) Ha a DEF hármszög minden ldala fölé az előbbihez hasnlóan ismét négyzetet rajzlnánk, akkr a már ismert módn meghatárztt hatszögnek mekkra lenne a területe?

7 Matematika C 1. évflyam. mdul: Telek és kerítés Tanári útmutató 7 Megldás: a) a 3 Az a ldalú szabálys hármszög területe. A tmpaszögű egybevágó a 3 hármszögek területe is, és ezt biznyíthatjuk algebrai útn: a sin 60 a sin10 ( = ), vagy gemetriai biznyítási móddal: Az egyenlőszárú, 10 -s tmpaszögű hármszög a szár hsszával megegyező ldalú szabálys hármszöggel derékszögű hármszöggé egészíthető ki. Ennek a hármszögnek az átfgóhz tartzó súlyvnala a két hármszög közös ldala, és ismert, hgy a súlyvnal két, egyenlő területű hármszögre bntja a hármszöget. Az egybevágó négyzetek területe a. a 3 Így a hatszög területe: + 3a = a ( 3 + 3).

8 Matematika C 1. évflyam. mdul: Telek és kerítés Tanári útmutató 8 b) F D E A kaptt DEF hármszög szabálys (minden szöge 60 -s), így hasnló az eredeti szabálys hármszöghöz. A hasnlóság arányát megállapíthatjuk pl. a két hármszög magasságának arányával. A DEF hármszög magasságvnala hárm a 3 szakaszból tevődik össze. Ezek közül kettő hssza és a. A harmadik szakasz egy lyan derékszögű hármszög átfgója, amelynek a 30 -s szögével szemközti ldalának hssza a, így az átfgója a hsszú. A DEF hármszög magasságának hssza: a a + = a. a(6 + 3) A hasnlóság aránya: = = a , így a DEF hármszög ldalának hssza a ( 3 + 1), a területe pedig a ( 3 + 1) 3 ( ) a = ( 8,63a ).

9 Matematika C 1. évflyam. mdul: Telek és kerítés Tanári útmutató 9 c) Az a) feladat eredménye szerint az a ldalú szabálys hármszögesetén kaptt hatszög területe a szabálys hármszög ldalhssz négyzetének ( 3 + 3) -szerese. Hasnló eljárással azt kapnánk, hgy a DEF hármszögből kiindulva (ldalhssza a ( 3 + 1) ) létrehztt hatszög területe: ( a( 3 1) ) ( 3 + 3) = a ( ) ( 9,3a ) +. (Másképpen: A b) és c) feladatban alkalmazhattuk vlna azt az ismeretet, hgy hasnló síkidmk területének aránya a hasnlóság arányának négyzetével megegyező. 3. Szerkessz egy 60 -s szöget, és annak szögtartmányában egy lyan cm sugarú kört, amely a szög mindkét szárát érinti! Jelöld a szög szárait a-val, illetve b-vel! Szerkessz lyan e egyenest, amely az a szögszárral 5 -s szöget zár be, és az egyenes érinti a cm sugarú kört! Hány ilyen egyenes szerkeszthető? Az a és b szögszárak és az e egyenes által meghatárztt lehető legnagybb hármszögnek hány cm a területe? Megldás: e 1 f 1 b e f e e 3 a Az ábráról lelvasható a cm-es sugarú kör szerkesztésének menete. A körnek az a szárral 5 -s szöget bezáró érintője megszerkeszthető pl. úgy, hgy szerkesztünk egy tetszőleges, az a szárral 5 -s szöget bezáró egyenest. Két ilyen egyenes szerkeszthető, az ábrán f 1 és f. A kör középpntján átmenő, az f 1 egyenesre merőleges egyenes kimetszi a körön a keresett érintő érintési pntját, és e pntn átmenő, az f 1 egyenessel párhuzams egyenes lesz a kör érintője. Az f egyenessel megismételhető az eljárás. A szerkesztésből következik, hgy mindkét esetben két ilyen

10 Matematika C 1. évflyam. mdul: Telek és kerítés Tanári útmutató 10 érintő szerkeszthető, tehát összesen négy (e 1, e, e 3 és e ). Az e 3 és az e egyenes nem metszi a b, illetve az a szögszárat, és e 1 és e közül nyilván e 1 hzza létre a legnagybb területű hármszöget, így ezt a területet számljuk ki. Jelöljük a kör középpntját K-val. Ha kiszámítjuk az ABC hármszög két ldalának hsszát, a területe könnyen meghatárzható, hiszen a hármszög minden szöge ismert (60, 5 és 75 ). A K pnt a hármszög belső szögfelezőinek metszéspntja. A külső pntból húztt érintőszakaszk hssza egyenlő, így pl. az AT c K derékszögű hármszögből ATc = ATb = = 3. A KCT b derékszögű hármszögben tg30 CT b =,61 tg37,5, a KBT c derékszögű hármszögben pedig BT c =, tg,5 83, így az ABC hármszög AB illetve AC ldalának hssza cm-ben AB 8, 9 és AB AC sin 60 AC 6,07. Ezekkel az adatkkal T = 1, 8. Az ABC hármszög területe kb. 1,8 cm.. Az ábrán hármszög alapú egyenes hasáb alakú építőkckákból felépített vár ldallapja látható. (Az ábrán látható számk az építőkcka egy-egy élének cm-ben mért hsszát jelölik.)

11 Matematika C 1. évflyam. mdul: Telek és kerítés Tanári útmutató a) Mekkra a vár ldallapjának területe? b) Rajzld le, milyen építőkckákból épülhetett fel a várnak ez a fala, ha tudjuk, hgy a vár ldallapja építőkckából jött létre? Megldás: a) Az ábrán balról jbbra haladva, a derékszögű hármszög rövidebb befgója 3 cm, a hsszabb cm hsszú, így területe 6 cm. A téglalap ldalai 5 és 3 cm hsszúak, területe 15cm. A 1c m hsszú ldal első két szakaszának hssza és 5 cm, így a harmadik szakasz 3 cm hsszú, tehát a másdik téglalap négyzet, terülte 9 cm. A felette lévő derékszögű hármszög rövidebb befgójának hssza 3cm, így egybevágó a másik hármszöggel, területe 6 cm. A vár ldallapjának területe 36 cm. b) Két fajtából felépíthető az ldallap:

12 Matematika C 1. évflyam. mdul: Telek és kerítés Tanári útmutató 1 5. Egy mzaikkép hármféle lyan négyszöglapból készült, amelyek mindegyikének a hegyesszöge 61 -s. A hármféle lap a következő: egy b ldalhsszúságú rmbusz; egy lyan húrtrapéz, amelynek szára b, a hsszabbik alapja paralelgramma, amelynek az egyik ldala b, a másik 3 b hsszú. b hsszú; és lyan a) Mekkra a hárm elem területének aránya? b) Mindhárm elem, és egyetlen b ldalhsszú egyenlő ldalú hármszöglap felhasználásával rakj ki hézagmentesen egy 6 b ldalhsszúságú, szabálys hármszög alakú képet! (Mindhárm négyszöglapból tetszőleges mennyiség áll rendelkezésedre.) Készíts vázlats rajzt az elkészült képről! Megldás: a) b b A húrtrapéz hegyesszöge 60, így a szárak alapra eső merőleges vetülete b hsszú, tehát a rövidebb alap is b hsszú. b b) b b A trapéz szárával párhuzams egyenes egy b ldalhsszúságú rmbuszra és egy b ldalú szabálys hármszögre bntja a trapézt. A rmbusz rövidebb átlója két, b ldalú szabálys hármszögre bntja a rmbuszt, így a trapéz területe a rmbusz területének 1,5-szerese. A paralelgramma hárm egybevágó, b ldalú rmbuszra vágható, így a területe 3- szrsa a rmbuszénak. A rmbusz, a húrtrapéz és a paralelgramma területének aránya rendre :3:6. A kép többféle módn is kirakható az adtt elemekkel. Íme egy lehetőség:

13 Matematika C 1. évflyam. mdul: Telek és kerítés Tanári útmutató Egy derékszögű trapéz minden ldala érint egy lyan kört, amelynek a sugara cm hsszú. A trapéz alapjáhz nem derékszögben hajló szárának hssza 5 cm. Mekkra a trapéz kerülete? Megldás: A kör külső pntjából húztt érintő szakaszk egyenlő hsszúak, így az érintési pntig terjedő szakaszkat jelölhetjük az ábra szerint. A trapéz tmpaszögének csúcsából meghúztt magassága cm hsszú, és az így létrejött derékszögű hármszög átfgója 5 cm, tehát a rövidebb befgója 3cm hsszú. Az ábra szerint ennek a befgónak a hssza Így 5 x = 3, és ebből x = 1. 5 x -szel jelölhető. A trapéz kerülete 18 cm. A 6. és 7. a) feladat megldható az érintőnégyszögek tételének alkalmazásával is, de mivel ennek a tételnek az ismerete nem része a középszintű érettségi vizsgakövetelményének, ezért nem ezt a megldási módt alkalmaztuk. x x 5 - x 5 -x 7. Egy húrtrapézba kör írható. A trapéz alapjainak hssza 5 cm és 6 cm. a) Hány cm hsszú a trapéz szára? b) Mekkra a beleírható kör sugara?

14 Matematika C 1. évflyam. mdul: Telek és kerítés Tanári útmutató 1 Megldás: a) A trapéz szimmetriatengelye felezi az alapkat, és mivel a kör külső pntjából húztt érintő szakaszk egyenlő hsszúak, a kör érintési pntja a trapéz szárát cm és,5 cm hsszú,5 szakaszkra bntja. A trapéz szárai 6,5 cm hsszúak.,5 b) A trapéz magassága r, ahl r a trapézba írható kör sugara. A tmpaszög csúcsából meghúztt magasság által létrehztt derékszögű hármszög átfgója 6,5 cm hsszú, a befgói pedig r és,5 cm. Így r = 6,5,5, és ebből r = 3. A trapéz beírt körének sugara 3 cm hsszú.

15 Matematika C 1. évflyam. mdul: Telek és kerítés Tanári útmutató 15 II. SOKSZÖG, SOK SZÖG? Az ismétlő kérdések megldása srán feleleveníthetik a tanulók a szabálys skszögekkel kapcslats ismereteiket. Hagyjuk, hgy a tanulók önállóan próbálkzzanak a feladatk megldásával, és csak miután minden tanuló kialakíttt valamilyen választ az összes kérdésre, akkr fglaljuk össze együtt a szükséges ismereteket, és beszéljük meg a feladatk megldását. Ismétlő kérdések skszögekről: 1. Hány ldala van a skszögnek, ha átlóinak a száma a) 65; b) 9? Megldás: n( n 3) n( n 3) a) 13, hiszen az n ldalú skszög átlóinak száma, mst = 65, azaz n ( n 3) = 130 = 13 5, és a 130 csak egyféleképpen bntható fel két lyan pzitív egész szám szrzatára, amelyek különbsége 3. (Vagy: az n ( n 3) = 130 másdfkú egyenlet egyetlen pzitív egész megldása a 13.) b) Nincs ilyen skszög, mert n ( n 3) = 58, és az 58 nem bntható két lyan pzitív egész szám szrzatára, amelyek különbsége 3.. Hány csúcsa van a szabálys skszögnek, ha a szmszéds szimmetriatengelyeinek hajlásszöge 60? Megldás: Szabálys skszög szmszéds szimmetriatengelye közül az egyik a skszög csúcsán átmenő egyenes, a másik a csúcsból induló ldal felezőmerőlegese. Ha e két egyenes hajlásszöge 60, akkr a skszög belső szögének fele 30 -s, így a belső szöge 60. Tehát a skszög szabálys hármszög, annak 3 csúcsa van. 3. Hány csúcsa van a szabálys skszögnek, ha a szmszéds szimmetriatengelyeinek a hajlásszöge 7? Megldás: Az előző feladat gndlatmenetét alkalmazva, a szabálys skszög belső szöge 83 = 166 -s. A n ldalú szabálys skszög szimmetria-középpntját a csúcskkal összekötve n db α egyenlőszárú hármszöghöz jutunk, amelyeknek az alapn fekvő szögeit - lel

16 Matematika C 1. évflyam. mdul: Telek és kerítés Tanári útmutató 16 n jelölve, a skszög α belső szögére, azaz 180 adódik. A jelen n n 360 esetben 180 = 166. Ennek az egyenletnek nincs pzitív egész megldása. n Nincs ilyen szabálys skszög.. Hány ldala van annak a szabálys skszögnek, amelyiknek egyik belső szöge 165? Megldás: Megldhatjuk úgy is, hgy a szimmetria-középpntt a skszög két szmszéds csúcsával összekötő szakaszk hajlásszöge skszögnek csúcsa van. 15 -s, és mivel 15 = 360, a 5. Hány ldalú az a szabálys skszög, amelyiknek egyik belső szöge 17-szerese egyik külső szögének? Megldás: A szabálys skszög külső szögei is egyenlők egymással, és bármelyik belső és külső szög összege az egyenesszög. Ha a külső szög mértéke α, akkr a belső szögé 17 α, és α + 17 α = 180, azaz α = 10. A szabálys skszög külső szögének mértéke meggyezik azknak a szakaszknak a hajlásszögével, amelyek összekötik a szimmetriaközéppntt a skszög két szmszéds csúcsával. Mivel ldalú = 360, a skszög Egy szabálys skszög egyik ldalának hssza π egység, és egyik belső szöge kisebb, mint a külső szöge. Mekkra a skszög kerülete és területe? Megldás: Ha a szabálys skszög belső szöge α, akkr a külső szöge 180 α. Tudjuk, hgy α < 180 α, így α < 90. Mivel a szabálys skszögek közül csak a szabálys hármszög belső szöge kisebb a derékszögnél, így a skszög kerülete 3 π egység, a π 3 területe pedig területegység. 7. Egy szabálys skszög egyik ldala: 3, és egyik belső szöge egyenlő egyik külső szögével. Hány területegység a skszög területe?

17 Matematika C 1. évflyam. mdul: Telek és kerítés Tanári útmutató 17 Megldás: Az α mértékű belső szög megegyezik a 180 α mértékű külső szöggel, így α = 90. A skszög négyzet, területe 1 területegység. 8. Egy knvex hatszög szemközti ldalai párhuzamsak. Melyik állítás igaz? A: Oldalai egyenlők. B: Húrskszög C: Szögei párnként egyenlők. D: Van lyan kör, amelyet a hatszög minden ldala érint. Megldás: A C állítás igaz. Ha a knvex skszög P és Q csúcsából induló ldalak párnként párhuzamsak, akkr a P és Q csúcsnál lévő szögek tükrösek a PQ szakasz felezőpntjára, tehát a két szög egyenlő. Tvábbi feladatk 9. Egy cm sugarú kör K középpntjától 6,1 cm távlságra lévő P pntból meghúztuk a kör érintőit. Mekkra annak a körcikknek a területe, amelyet a két érintési pntt összekötő rövidebb körív határl? Megldás: A KPE derékszögű hármszögben, ahl E az egyik érintési pnt, jelölés mellett cs α = 6,1, és ebből EKP = α α 9. A kérdéses körcikk középpnti szöge 98. t = π , ahl t a körcikk területe. Ebből t 13,7 (cm ). 10. Hat darab henger alakú knzervdbzt (alapkörük átmérője 10 cm) hatféle módn kötöztünk össze nyújthatatlan madzaggal (az ábrák felülnézeti képeket mutatnak). Melyik esetben vlt szükség a lehető legrövidebb madzagra, ha veszteséggel egyik esetben sem számlunk?

18 Matematika C 1. évflyam. mdul: Telek és kerítés Tanári útmutató 18 Megldás: 1. ábra: Az érintőszakaszk hssza: 50 ; a körívek hssza: 5π. A szükséges madzag hssza: π.. ábra: Az érintőszakaszk hssza: ; a körívek összhssza: A szükséges madzag hssza: π. 3. ábra: Az érintőszakaszk hssza: 3 0 ; a körívek összhssza:. ábra: db 5. ábra: 3 db szükséges madzag hssza: 10 -s és db π. 5 π. 5 π 3. A s középpnti szögű ív és érintőszakasz határlja. Az érintőszakaszk hssza: ; a körívek összhssza: 5 π 5 π + = 5 π. A szükséges madzag hssza: π s és db 90 -s középpnti szögű ív és db 10 cm-es és egy lyan érintőszakasz határlja, amely annak az egyenlőszárú hármszögnek az alapja, amelynek szára 10 cm hsszú, szárszöge kiszámíthatjuk pl. a kszinusztétel alkalmazásával: x = cs s. Ennek hsszát Az érintőszakaszk hssza: ; a körívek összhssza: 5 π. A szükséges madzag hssza: π. 6. ábra: 6 db 10 cm hsszú érintőszakasz, és db középpnti szögű ív határlja. 10 -s tvábbá db 30 -s Az érintőszakaszk hssza: 6 10 ; a körívek összhssza: 5 π. A szükséges madzag hssza: π. Mivel < 60 < 100, így az 5. ábra szerinti elrendezés esetében szükséges a legrövidebb madzag. Megjegyzés: Mindegyik esetben a körívek hsszának összege egy teljes kör kerülete. Ezt megmutathatjuk úgy is, hgy miközben a síkidmt körbejárjuk az érintők ill. az ívek mentén, eközben összesen 360 -s elfrdulás történt. 11. Mark Twain híres könyvének, a Tm Sawyer kalandjainak ismert jelenete a kerítésfestés. Tmt megbízza Plly néni, hgy fesse le a kerítésüket. (Ez természetesen Tm egy

19 Matematika C 1. évflyam. mdul: Telek és kerítés Tanári útmutató 19 csínytevésének vlt a büntetése.) Tm ügyesen kedvet csinál barátainak a festéshez, s azk bldgan nekilátnak helyette elvégezni a munkát. Ehhez hasnló eset ma is megtörténhet: Anna, szabadidejében, a zsebpénze kiegészítése miatt munkát vállalt. Előre gyárttt emblémákat kellett befestenie kék, illetve mustársárga színűre, az ábrának megfelelően. Anna barátja, Jóska kíváncsian nézte az emblémákat. Te, ezek a hsszabb ívek, a négyzet ldalai fölé rajzlt félkörök, a kisebbek pedig a négyzet középpntjából félátlónyi sugárral rajzlt negyed körívek! Gyrsabban végeznél, ha én is festenék! Az íveket hadd fessem én, így én mindig kisebb felületet festek be, mint te! Anna megengedte. Igaza vlt Jóskának? Az emblémákn valóban a kisebb területű rész festését vállalta el? Megldás: A négyzet ldalát a-val jelölve egy hldacska területe: 1 a 1 π a Jóskának nem vlt igaza, a két terület egyenlő. a a π =. A négy hldacska területének összege a. 1. Egy 6 cm ldalhsszú ABCDE szabálys ötszögnek a D csúcsából meghúztuk két átlóját. Mekkra a területe az ABD, illetve a BCD hármszögnek? E D C Megldás: Az AED szög 108 -s, EDA CDB = 36, = A B ADB = 36. D E C A F B 3 A DFB derékszögű hármszögben DF = 9, 33 tg18 (cm). Az ABD hármszög területe kb. 7,7 cm. 6 sin108 A BCD hármszög területe: 17, 1 (cm ).