Dr. Fried Katalin Dr. Gerőcs László Számadó László

Átírás

1 Dr Fried Katalin Dr Gerőcs László Számadó László MATEMATIKA 9 A tankönyv feladatai és a feladatk megldásai A megldásk lvasásáhz Acrbat Reader prgram szükséges, amely ingyenesen letölthető az internetről (például: adbelahu webldalról) A feladatkat fejezetenként külön-külön fájlba tettük A fejezet címmel elláttt fájl tartalmazza a fejezet leckéinek végén kitűzött feladatk részletes megldásait A feladatkat nehézségük szerint jelöltük: K = középszint, könnyebb; K = középszint, nehezebb; E = emelt szint, könnyebb; E = emelt szint, nehezebb feladat Lektrk: PÁLFALVI JÓZSEFNÉ KONCZ LEVENTE Tipgráfia: LŐRINCZ ATTILA Szakgrafika: DR FRIED KATALIN Dr Fried Katalin, Dr Gerőcs László, Számadó László, Nemzedékek Tudása Tankönyvkiadó Zrt (Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt), 009 Nemzedékek Tudása Tankönyvkiadó Zrt a Sanma cmpany wwwntkhu Vevőszlgálat: inf@ntkhu Telefn: A kiadásért felel: Kiss Jáns Tamás vezérigazgató Raktári szám: RE 70 Felelős szerkesztő: Tóthné Szalntay Anna Műszaki igazgató: Babicsné Vasvári Etelka Műszaki szerkesztő: Orlai Mártn Grafikai szerkesztő: Görög Istvánné, Mikes Vivien Terjedelem: 4,9 (A/5) ív kiadás, 0

2

3 MATEMATIKA Tartalm Jelmagyarázat 5 I Halmazk Halmazk, jelölések 7 Speciális halmazk, intervallumk 9 Halmazk uniója, metszete 4 Halmazk különbsége, kmplementer halmaz 5 A matematikai lgika elemei 4 II III IV Algebra és számelmélet A hatványzás és aznsságai 7 A hatványzás aznsságainak kiterjesztése 7 Gyakrlati számításk 8 4 Algebrai kifejezések összevnása, szrzása 9 5 Nevezetes szrzatk 0 6 Tvábbi nevezetes szrzatk (Emelt szint) 7 Összegek szrzattá alakítása 8 Algebrai törtek egyszerűsítése, összevnása 4 9 Algebrai törtek szrzása, sztása, összetett műveletek algebrai törtekkel 6 0 Oszthatóság 8 Prímszámk, a számelmélet alaptétele 9 Legnagybb közös sztó, legkisebb közös többszörös 0 Osztók száma, négyzetszámk (Emelt szint) 4 Számrendszerek Függvények, srzatk Hzzárendelések, függvények 5 Pnthalmazk a krdináta-rendszerben 7 A lineáris függvény 40 4 Az abszlútérték-függvény 4 5 Az f : 7 függvény 46 6 A másdfkú függvény összetett transzfrmációi 47 7 Tvábbi függvények 49 Bevezetés a gemetriába Pntk, egyenesek, síkk 55 Szakasz, félegyenes, szög 56 Hármszögek 58 4 Tvábbi összefüggések a hármszög alapadatai között 60 5 Összefüggés a derékszögű hármszög ldalai között 6 6 Gemetriai számításk 6 7 Gemetriai szerkesztések 64 8 Thalész-tétel 66 9 A hármszög ldalfelező merőlegesei és köré írt köre 67 0 A hármszög szögfelezői, beírt és hzzáírt körei 70 Skszögek 7

4 4 MATEMATIKA TARTALOM V Egyenletek, egyenletrendszerek Elsőfkú egyismeretlenes egyenletek 75 Szöveges feladatk megldása egyenletekkel 76 Egyenletek megldási módszerei 78 4 Egyenlőtlenségek 80 5 Abszlút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek 8 6 Elsőfkú kétismeretlenes egyenletrendszerek és megldásuk behelyettesítő módszerrel 84 7 Elsőfkú kétismeretlenes egyenletrendszerek megldása egyenlő együtthatók módszerével 85 8 Elsőfkú kétismeretlenes egyenletrendszerek megldása grafikus módszerrel 86 9 Egyenletrendszerrel megldható szöveges feladatk 87 VI Gemetriai transzfrmációk Néhány gemetriai transzfrmáció 89 Egybevágósági transzfrmációk a síkn 9 Alakzatk egybevágósága 94 4 Szimmetria 96 5 Tvábbi nevezetes pntk és vnalak a hármszögben 97 6 Vektrk 98 7 Pnthalmazk 00 8 Szög, körív, körcikk 04 VII Kmbinatrika Srrendek 05 Leszámlálásk 06 VIII Statisztika Adatk gyűjtése, rendszerezése, jellemzése 09 Adatk szemléltetése 0 A kétarcú statisztika 5

5 MATEMATIKA 5 Jelmagyarázat Az A pnt és az e egyenes távlsága: d(a; e) vagy Ae Az A és B pnt távlsága: AB vagy AB vagy d(a; B) Az A és B pnt összekötő egyenese: e(a; B) Az f és f egyenesek szöge: ( f; f) B vagy A C csúcspntú szög, melynek egyik szárán az A, másik szárán a B pnt található: ACBB A C csúcspntú szög: CB Szög jelölése: a, b, c, f Az A, B és C csúcskkal rendelkező hármszög: ABC9 Az ABC9 területe: T(ABC) vagy T ABC Az a, b és c ldalú hármszög fél kerülete: s a b c = + + A derékszög jele: * Az e egyenes merőleges az f egyenesre: e= f Az e egyenes párhuzams az f egyenessel: e < f Egybevágóság:,; ABC9, AlBlCl9 A hasnlóság aránya: m Az A pntból a B pntba mutató vektr: AB Aznsan egyenlő: /; B ( f; f) Egyenlő, nem egyenlő: =,!; a =, b! 5 a+ b / 5 Közelítőleg egyenlő: ; a,; 8,54 8,5 Kisebb, kisebb vagy egyenlő: <, #; <, 5 # Nagybb, nagybb vagy egyenlő: >, $; 6 > 4, a $ A természetes számk halmaza: N; {0; ; ; } Az egész számk halmaza: Z; { ; ; ; 0; ; ; } A pzitív, a negatív egész számk halmaza: Z +, Z ; {; ; ; }, { ; ; ; } A racinális, az irracinális számk halmaza: Q, Q * A pzitív, a negatív racinális számk halmaza: Q +, Q A valós számk halmaza: R A pzitív, a negatív valós számk halmaza: R +, R Eleme, nem eleme a halmaznak:!, "; 5! N, - g Z + Részhalmaz, valódi részhalmaz:, ; A R, N Q Nem részhalmaza a halmaznak: j; Z Y Q Halmazk uniója, metszete:,, +; Halmazk különbsége: \; A \ B Üres halmaz: Q, { } Az A halmaz kmplementere: A Az A halmaz elemszáma: A ; Zárt intervallum: [a; b] Balról zárt, jbbról nyílt intervallum: [a; b[ Balról nyílt, jbbról zárt intervallum: ]a; b] Nyílt intervallum: ]a; b[ Az szám abszlút értéke: ; Az szám egész része, tört része: [], {}; [,] =, {,} = 0, Az a sztója b-nek: a b; 8 + A, B, A+ B " 0 ; ;, = -, =, Az a és b legnagybb közös sztója: (a, b); (4, 6) = Az a és b legkisebb közös többszöröse: [a, b]; [4, 6] = Az f függvény hzzárendelési szabálya: f: 7 f] g; f: 7 + vagy f ] g= y; f ] g= + Az f függvény helyettesítési értéke az 0 helyen: f0 ( ); f(5), ha 0 = 5

6

7 MATEMATIKA 7 I Halmazk Halmazk, jelölések K Döntsük el, hgy halmazt adtunk-e meg az alábbiakban! a) A párs természetes számk b) A barátságs emberek c) A kerek számk d) A kis törtek e) Az -nél kisebb pzitív törtek Halmaz: a), e) K Írjuk fel, hgy az alábbiak közül melyek az egyenlő halmazk! A = {a pzitív egyjegyű párs számk}; B = {a nem 0 párs számjegyek}; C = {a párs számjegyek}; D = {0,, 4, 6, 8}; E = {, 4, 6, 8}; F = { egyjegyű többszörösei} A = B = E, C = D = F K a) Adjuk meg elemei felsrlásával a következő halmazkat! A) a -nál nagybb, 0-nél nem nagybb egész számk; B) a 0 többszörösei; C) egyjegyű pzitív többszörösei; D) 0 pzitív sztói; E) a 8 és a 0 legkisebb közös többszöröse b) Szemléltessük a fenti halmazkat kétféle módn! a) A = " 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, ; B =! 0+ ; C = ", 4, 6, 8, ; D = ",,, 5, 6, 0, 5, 0, ; E =! 90+ b) Mindegyik halmazt szemléltethetjük Venn-diagramn és a számegyenes pntjaiként A) A 4, 5, 6, 7, 8, 9, B) B 0 0

8 8 MATEMATIKA I HALMAZOK C) C, 4, 6, D) D,,, 5, 6, 0, 5, E) E K Adjuk meg elemei egy közös tulajdnságával a következő halmazkat! A = {,, 5, 7,,, 7, 9}; B = {5, 0, 5, 0, 5, 0, 5, }; C = {, 9, 7, 8, 4, 79, }; D = {0, } A = {a legfeljebb kétjegyű pzitív prímszámk}; B = {az 5 pzitív többszörösei}; C = {a pzitív egész kitevőjű hatványai}; D = {a 0 és az } = {a -nél kisebb természetes számk} 5 E Igazljuk, hgy két racinális szám a) összege; b) különbsége; c) szrzata; d) hányadsa (ha van) is racinális szám! A racinális számk minden esetben felírhatók két egész szám hányadsaként a) Az összeadáshz közös nevezőre hzzuk a számkat Tvábbra is egész számk hányadsai lesznek Az összeg nevezője a közös nevező (egész szám), a számláló a két számláló összege (egész számk összege egész szám) Ezért az összeg két egész szám hányadsa, vagyis racinális szám lesz b) Ugyanezzel a gndlattal ldható meg, csak a számláló a két számláló különbsége, de tvábbra is egész szám lesz c) A szrzat számlálója a két szám számlálójának, a nevező a két szám nevezőjének a szrzata, tehát egész szám d) A hányads az sztandó és az sztó reciprkának (ha van) a szrzata, ami szintén racinális 6 E Lehet-e egy racinális és egy irracinális szám a) összege; b) különbsége; c) szrzata; d) hányadsa racinális, illetve irracinális szám? a) Irracinális biztsan lehet Ha például a racinális tag 0, akkr az összeg irracinális Ha az összeg racinális lenne, akkr a racinális tagt kivnva belőle mivel a különbség

9 szintén racinális, a másik tag is racinális lenne Ez az eset nem frdulhat elő Racinális tehát nem lehet b) Írjuk fel a racinális szám kivnását az ellentett hzzáadásával Ekkr ugyanazt kapjuk, mint az a) esetben: mindig irracinális c) Irracinális biztsan lehet Ha például a racinális tényező, akkr a szrzat irracinális Racinális is lehet, ha például a racinális tényező 0 Ekkr ugyanis a szrzat racinális, mert 0 Másképp aznban nem lehet racinális a szrzat, különben sztva a racinális tényezővel, racinális számt kapnánk, vagyis racinális lenne a másik tényező is d) Legyen a kérdéses hányads a b nem lehet 0 Ha a = 0, akkr 0 a = is racinális b b Ha sem a, sem b nem 0 és b racinális, akkr is az, ha b irracinális, akkr is az A c) feladat szerint akkr a $ b b irracinális b A hányads csak abban az esetben lehet racinális, ha a = 0 I HALMAZOK 7 E Lehet-e két irracinális szám a) összege; b) különbsége; c) szrzata; d) hányadsa racinális, illetve irracinális szám? MATEMATIKA 9 a) Mindkettő lehet r+ ]-rg= 0 racinális; r+ r = r irracinális b) Mindkettő lehet r- r = 0 racinális; r-- ] rg= r irracinális c) Mindkettő lehet $ = racinális; $ = 6 irracinális d) Mindkettő lehet : = racinális; 6 : = irracinális Speciális halmazk, intervallumk K Ábrázljuk számegyenesen a következő intervallumkat! a) ] 0; 6]; b) ] ; 0[; c) ] ; 5]; d) ]4,5; [; e) [,5; 7,5]; f) ] 6; [ a) b) c) d) e) f) ,5 0 7, ,5 K Adjuk meg és szemléltessük a következő egyenlőtlenségek megldáshalmazát, ha az alaphalmaz A) a természetes számk; B) az egész számk; C) a nemnegatív valós számk halmaza! a) < 0; b) > 5; c) $ ; d) < 0 a) A természetes számk alaphalmazán a megldáshalmaz " ,,,,,,,,,, Az egész számk halmazán a " f, -,-,-, 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A nemnegatív valós számk halmazán a 60;06 intervallum

10 0 MATEMATIKA I HALMAZOK A) B) C) b) Ha - 5, akkr -5 [Mindkét ldalhz hzzáadunk ] - 5g-öt] Eszerint ha egy alaphalmazn van megldása, az negatív A természetes számk halmazában nincs megldása Az egész számk halmazán a megldáshalmaz a " f, -0,-9,-8,-7,-6, A nemnegatív valós számk halmazában sincs megldása B) c) A természetes számk halmazán a megldáshalmaz: " 4567f,,,,,,, az egész számk halmazán " f, -8,-7,-6,-5,-4,-,, 4, 5, 6, f,, vagyis az egész számk halmazából elhagyva a "-,-, 0,,, halmazt A valós számk halmazán a ]-g-nál kisebb vagy egyenlő, illetve a -nál nagybb vagy egyenlő számk tartznak a megldáshalmazhz A) B) C) d) < 0, a természetes számk halmazán nincs megldás Az egész számk halmazában a 0-nál kisebb egész számk A valós számk halmazában a 0-nál kisebb valós számk B) C) E Az alábbi egyenlőtlenségek alaphalmaza a valós számhalmaz A megldáshalmazkat írjuk lyan srrendben, hgy mindegyik halmaz után következő halmaz részhalmaza legyen neki! a) > 5; b) 0 $ 5; c) < 0; d) 5 < ; e) - 5 a) A megldáshalmaz: A = " 5vagy -5, b) A megldáshalmaz: B =! $ 5+ c) A megldáshalmaz: C =! 0+ d) A megldáshalmaz: D =! 5+ e) A megldáshalmaz: E = " 7vagy -7, Ha szemléltetjük a megldáshalmazkat számegyenesen, akkr könnyen lelvashatjuk, hgy A E C B D 4 K Írjuk fel az ábrával adtt intervallumkat, illetve azt a halmazt, amely azn elemekből áll, amelyek nincsenek az adtt halmazban! a) 0

11 I HALMAZOK MATEMATIKA b) c) d) e) A halmazk és párjaik: a) -5, illetve #-5; b) - #, illetve " #-vagy, ; c),5, illetve $,5; d) 0, illetve # 0; e) -, illetve " #-vagy $, Halmazk uniója, metszete K Egy sprttagzats sztály létszáma 4 fő Az sztályban mindenki atletizál vagy ksárlabdázik 6-an atletizálnak, 4-en ksaraznak Hány lyan tanuló van az sztályban, aki csak ksarazik? Ha azknak a száma, akik mindkét sprtt űzik, akkr = 4, ahnnan = 6 Így azk száma, akik csak ksaraznak: 8 K Egy sztály minden tanulója elment a tanév hárm isklai kncertjének valamelyikére Az első kncerten -en vltak, a másdik kncerten ugyancsak -en vettek részt, a harmadik kncerten pedig -an Mindhárm kncerten diák vett részt Azk száma, akik csak egy kncerten vltak: 4 Mennyi az sztálylétszám? I() a y b z II() A feladat szövegének megfelelő halmazábra: a+ b+ c = ^+ y+ zh-6 = y+ z Innen + z+ y = 7 Tehát az sztálylétszám: = 4 c III() K Legyen A halmaz a -vel, B halmaz a -mal, C halmaz a 4-gyel sztható számk halmaza Készítsünk halmazábrát, és helyezzük el benne a következő számkat: 0, 4, 6, 8,, 5, 8, 7, 6, 00! A megfelelő halmazábra és a megadtt számk elhelyezése: A C B E Adjunk meg 5 halmazt úgy, hgy közülük bármely 4-nek a metszete ne legyen az üres halmaz, de az öt halmaz metszete az üres halmaz legyen! Legyenek a, b, c, d, e különböző valós számk A megfelelő halmazk: A= " abcd,,,,; Babce ",,,,; C= " abde,,,,; Dacde ",,,,; E= " bcde,,,, 5 K Egy zeneiskla egyik évflyamának 56 diákja hegedülni, zngrázni vagy csellózni tanul (Mindenki játszik valamelyik hangszeren) Azk száma, akik pntsan két hangszeren játszanak, négyszer, akik pedig pntsan egy hangszeren játszanak, kilencszer annyi, mint azk száma, akik mindhárm hangszeren játszanak Hányan vannak azk, akik csak egy hangszeren játszanak? Készítsünk egy halmazábrát! A feltételek szerint a+ b+ c+ + y+ z+ h = 56, + y+ z = 4 h, a+ b+ c = 9h H a y h c z b C Z

12 MATEMATIKA I HALMAZOK Ezek szerint h+ 4h+ 9h = 56, azaz 4h = 56, ahnnan h = 4 A csak egy hangszeren játszók száma: a+ b+ c = 9h = 6 I p a b h r c q III +5 II + 6 E Az isklai túraszaksztály mind a 4 tagja részt vett az idei hárm túra valamelyikén A másdik kirándulásn -gyel, a harmadikn pedig 5-tel többen vettek részt, mint az elsőn Azk száma, akik két túrán vettek részt, -szr, akik pedig egy túrán vettek részt, 0-szer annyi, mint azk száma, akik mindhárm túrán részt vettek Hányan vettek részt az első, a másdik, illetve a harmadik kirándulásn? a+ b+ c = h, p+ q+ r = 0h, tehát 0h+ h+ h = 4h = 4, azaz h = ] a+ b+ cg-h = 4, azaz = 5, ahnnan = 7 Tehát az első, a másdik, illetve a harmadik túrán részt vevők száma rendre 7, 8, 7 E Egy autójavító üzemben 49 szakmunkás dlgzik: autószerelők, lakatsk és autóvillamssági szerelők 5 lyan szakmunkás van közöttük, aki mindhárm szakmában jártas Azk az autószerelők, akik nem rendelkeznek a lakats szakmával is, hármszr annyian vannak, mint akik csak a lakats szakmával rendelkeznek Hét lyan szakmunkás van az összes között, akik az autószerelő és a lakats szakmát is tudják Azk a villamssági szerelők, akik nem értenek az autószereléshez, 4-gyel kevesebben vannak, mint azk az autószerelők, akik nem értenek a lakats munkáhz Hányan vannak, akik csak a lakats szakmával rendelkeznek? A a y 5 v z l V L Készítsünk egy halmazábrát, és tüntessünk fel mindent, amit tudunk A feltételek szerint a+ = l, y =, v+ z+ 4 = a+ Mivel a+ + l+ z+ v+ + 5 = 49, így l+ l+ l = 49, tehát 7l = 56, ahnnan l = 8 Vagyis a csak lakats szakmával rendelkezők száma: 8 4 Halmazk különbsége, kmplementer halmaz K Legyenek az A, B és C halmazk rendre a -mal, 6-tal, illetve 5-tel sztható számk halmaza Mely számk tartznak az alábbi halmazkba? a) (A \ B) + C; b) A \ B \ C a) ] A \ Bg+ C = {a 5-tel sztható páratlan számk} b) A \ B \ C = {a -mal sztható, de 5-tel nem sztható páratlan számk} E Adttak az U alaphalmazn az A, B és C halmazk Szemléltessük egy halmazábrán az alábbi halmazkat! a) ] A, Bg, C; b) ] A\ Bg, C a) b) A B A B U C U C U A B E Adttak az U alaphalmazn az A és B halmazk Igazljuk, hgy ] B+ Ag, ] A+ Bg= ] A, Bg\ ] A+ Bg! Az egyenlőség mindkét ldalának a bal ldali halmazábra felel meg

13 I HALMAZOK MATEMATIKA 4 K Írjuk fel az A, B, A + B és A \ B halmazk elemeit, ha A = {a, b, c, g, h, j}; B = {a, c, f, h, k}! A, B = {a, b, c, f, g, h, j, k}; A + B = {a, c, h}; A \ B = {b, g, j} 5 K Adtt hárm halmaz: A = {,, 4, 7, 8, 9, }; B = {,, 5, 6, 7,, }; C = {4, 5, 6, 7, 0, } Adjuk meg az alábbi halmazk elemeit! a) (A, B) \ C; b) (A + B), (B + C ); c) A + (B \ C ) A könnyebb áttekinthetőség kedvéért először készítsünk halmazábrát, és írjuk be a megfelelő számkat a megfelelő helyre a) ] A, Bg \ C = " 89,,,,,,,; b) ] A+ Bg, ] B+ Cg = " 567,,,,,; c) A+ ] B \ Cg = ",, 6 K Igazljuk halmazábrák segítségével az alábbi egyenlőségeket! a) A \ (B, C ) = (A \ B) + (A \ C ); b) A \ (B + C ) = (A \ B), (A \ C ) A C B a) Az egyenlőség mindkét ldala b) Az egyenlőség mindkét ldala a következő ábráhz vezet: a következő ábráhz vezet: A B A B C C 7 K Igazljuk, hgy nem minden esetben igaz az alábbi egyenlőség! A \ (B \ C ) = (A \ B) \ C Az egyenlőség mindkét ldaláhz ábrát készítünk, ami mutatja az állítást A B A B C C A \] B \ Cg ] A \ Bg\ C 8 K Legyen az alaphalmaz a valós számk halmaza Az A halmaz az $, a B halmaz az # 0, a C halmaz az # 6 valós számk halmaza Határzzuk meg az alábbi halmazkat! a) A, B; b) B\ A; c) A+ C

14 4 MATEMATIKA I HALMAZOK Szemléltessük az A, B, C halmazkat egy számegyenesen! C B A a) A, B =! -0+ ; b) B-A = " -0 vagy #, ; c) A+ C = R Ftó Bilógia Barlangász 5 évf évf évf évf Ftó (4) Bil (45) a q b p r c Barlang (44) 9 E Egy általáns iskla felső tagzatán hármféle szakkör működik: ftószakkör, bilógiaszakkör és barlangász szakkör E szakkörök létszámát a bal ldali ábra mutatja évflyamkra lebntva Azk száma, akik pntsan két szakkörre járnak, kétszer, akik pedig pntsan egy szakkörre járnak, hármszr annyi, mint azk száma, akik mindhárm szakkör munkájában részt vesznek Az iskla felső tagzata 6 diákjának kb hány százaléka nem jár semmilyen szakkörre? Ftószakkörre 4, bilógiaszakkörre 45, barlangász szakkörre pedig 44 diák jár A feltételek szerint: p+ q+ r = és a+ b+ c = Azknak a diákknak a száma, akik legalább egy szakkörre járnak: ^p+ q+ rh- = 0-4, vagyis 0-4 = 6, ahnnan = Tehát azknak a diákknak a száma, akik járnak legalább egy szakkörre, 6 = 78 Ez az iskla 6 diákjának kb 78 $ 00 6,% -a Azk száma, akik semmilyen szakkörre nem járnak a 6 felső tagzatn: 00% - 6,% = 6,9% 5 A matematikai lgika elemei K Írjuk fel a következő jelzők tagadását, valamint két különböző, jelentést kifejező ellenkezőjét! a) szép; b) nagy; c) ks; d) vastag; e) kerek; f) hmrú eredeti kifejezés a tagadása két különböző jelentésű ellenkezője a) szép nem szép csúnya gyönyörű b) nagy nem nagy kicsi hatalmas c) ks nem ks buta zseniális d) vastag nem vastag vékny átlags vastagságú e) kerek nem kerek szögletes vális f) hmrú nem hmrú dmbrú sík K Írjuk fel a következő kijelentések tagadását! Döntsük el, hgy melyik igaz; az állítás vagy a tagadás! a) Minden természetes szám nagybb, mint 0 b) Vannak páratlan egész számk c) Minden hármszögnek van legalább két hegyesszöge d) Minden tengelyesen szimmetrikus négyszögnek van két-két egyenlő szögpárja e) Van lyan síknégyszög, amelyben a derékszögek száma f) Bármely két nem párhuzams egyenes metszi egymást

15 I HALMAZOK MATEMATIKA 5 a) Hamis A tagadása: Van 0-nál nem nagybb természetes szám Igaz, például a 0 b) Igaz A tagadása: Nincsen páratlan egész szám Hamis, például az c) Igaz A tagadása: Van lyan síkbeli hármszög, amelynek nincs legalább két hegyesszöge (vagyis legfeljebb egy hegyesszöge van) Hamis d) Hamis (például egy lyan deltid, amely nem rmbusz) A tagadása: Van lyan szimmetrikus négyszög, amelynek nincs két-két egyenlő szögpárja Igaz e) Hamis A tagadása: Minden síknégyszögben a derékszögek száma -tól különböző (nem ) Igaz, hiszen ha derékszöge lenne, akkr 4 is lenne f) Nem igaz, mert lehetnek kitérő egyenespárk A tagadása: Van lyan egyenespár, amely nem párhuzams és nem is metsző Igaz K Tételezzük fel, hgy igaz az az állítás, hgy Ha füttyentesz, elhallgatk Mi következik abból, hgy a) nem hallgattam el; b) nem füttyentettél; c) elhallgattam; d) füttyentettél? a) Nem füttyentettél, hiszen ha füttyentettél vlna, elhallgattam vlna b) Semmi Lehet, hgy nem hallgattam el, de az is lehet, hgy csak úgy magamtól elhallgattam c) Semmi Lehet, hgy füttyentettél, és azért, de az is lehet, hgy csak úgy magamtól elhallgattam d) Elhallgattam, hiszen ha füttyentesz, elhallgatk 4 K Ha megnyitm a csapt, flyik a víz Az alábbiak közül melyik állítás fejezi pntsan ugyanezt? a) Ha nem nyitm meg a csapt, nem flyik a víz b) Ha flyik a víz, megnyitttam a csapt c) Ha nem flyik a víz, nem nyitttam meg a csapt A c) Hiszen ha megnyitttam vlna a csapt, akkr flyna a víz 5 K Írjuk fel a következő állításk megfrdítását! a) Ha havazik, akkr fagy b) Ha péntek van, akkr mziba megyek c) Ha nincs kifgásd ellene, akkr ablakt nyitk d) Ha ráérsz, akkr eljöhetsz a) Ha fagy, akkr havazik b) Ha mziba megyek, akkr péntek van c) Ha ablakt nyitk, akkr nincs kifgásd ellene d) Ha eljöhetsz, akkr ráérsz 6 K Döntsük el, hgy igazak-e az alábbi állításk! Írjuk fel az állításk megfrdítását, és azkról is döntsük el, hgy igazak-e! a) Ha egy egész szám párs, akkr -esre végződik b) Ha egy egész szám sztható 9-cel, akkr a számjegyeinek az összege 9 c) Ha egy hármszög derékszögű, akkr a két rövidebb ldalra emelt négyzet területösszege egyenlő a leghsszabb ldalra emelt négyzet területével a) Hamis Megfrdítva: Ha egy egész szám -esre végződik, akkr párs Igaz b) Hamis Megfrdítva: Ha egy egész szám számjegyeinek az összege 9, akkr a szám sztható 9-cel Igaz c) Igaz, ez a Pitagrasz-tétel Megfrdítva: Ha egy hármszögben a két rövidebb ldalra emelt négyzet területösszege egyenlő a leghsszabb ldalra emelt négyzet területével, akkr a hármszög derékszögű Igaz, ez a Pitagrasz-tétel megfrdítása Egy hármszög akkr és csak akkr derékszögű, ha a két rövidebb ldalra emelt négyzet területösszege egyenlő a leghszszabb ldalra emelt négyzet területével

16

17 MATEMATIKA 7 II Algebra és számelmélet A hatványzás és aznsságai K Mivel egyenlő? a) ; b) 5 5; c) 0 0; 5 = d) 79; e) 4 6; f) 6; 6 = g) 7 49; h) 6 6; i) 8; = = = = j) $ = 6; 0 k) 6 $ = 6; l) = K Mivel egyenlő? a) ]- g = -; b) ]-g = -8; c) ]-g 4 =6; d) ]-g 6 = 79; e) 4 = 64; f) ]-g 4 = 8; g) ]-5 g = 5; h) 5 = 5; i) ]-5 g = -5; j) 5 $ ]-5 g = 65; k) ]-g $ 0 = 0; l) ]- g 00 = K Írjuk fel hatvány alakban a következő számkat, ha lehet, többféleképpen is! a) 000 például: =0 ; 0 5 b) 04 például: = = 4 = ; 4 c) 8 például: = = 9 ; d) 00 például: =0 ; 0 0 e) például: = = = ; 4 f) 65 például: = 5 = 5 4 K Írjuk fel prímszámk hatványainak szrzataként a következő számkat! a) 0 = $ 5 ; b) = $ ; c) 60 = $ $ 5 ; d) 6 = $ ; e) 8 = 4 ; f) 54 = $ ; g) 4 = 7 ; h) 04 = 0 ; i) = $ 5 ; j) 54 = $ ; k) 60 = $ 5; l) 8 = 7 ; m) 60 = $ $ 5 $ 7; 4 4 n) = $ 5 ; 9 ) = $ 5 5 K Mely számk prímtényezős alakját írtuk fel? a) = 8; b) = 7; c) $ = 08; d) 4 = 6; e) $ = 7; f) = 048 = 4 = 4 = A hatványzás aznsságainak kiterjesztése K Mely számkat írtuk hatványalakban? a) ; b) ( ) ; c) 5 ; d) ( ) 5 ; e) b l ; f) b l ; g) ; h) b l a) ; b) ; c) - ; d) -; 5 e) 5; f) -5; g) ; h) 6 9 -

18 8 MATEMATIKA II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET K Írjuk fel a megadtt számkat hatványalakban, ha lehet, többféleképpen is! a) 00; b) 0,; c) 0,5; d) ; e) 0,0; f) ; 8 g) 0,000; h) 0,00 Például: - a) = = = b l ; 0 b) 0, = 0 ; c) 0,5 = 0,5 = ; 0 d) = = ; - e) 0,0 0 = = b l ; 0 f) 4 = = ; 8 9 g) -4 0,0 = = ; h) 0,000 = 0, = 0 K Számítsuk ki a szrzásk eredményét! 7-4 a) $ ; - - b) b l $ ; c) b l 4 $ ; d) 4 $ b l ; e) b l $ b 4 l ; f) 5 $ ; g) b l $ 5 ; h) b l $ 4 5 a) 8; b) 4; c) 6 ; d) ; 8 e) 56 ; f) ; g) 65 ; h) K Számítsuk ki a műveletek eredményét! a) 4 : ; b) :5 ; c) 4 $ ; d) ] g : ; - e) - ]- g :]-g ; f) - 4 : ] 4 - g ; g) $ ; h) 7 : b l 7 a) 9 ; b) 5; c) 78; d) ; 6 6 e) ; f) ; g) ; h) K Állítsuk nagyság szerint növekvő srrendbe a következő számkat! a = ; b = ]-g ; c = ; d = ]-g ; e = ; f = ]-g; g = ; h = ]-g a = ; b ; c ; d ; e ; f ; g ; h = - = = - = = - = = - Eszerint: f b = d h a e = g c - - Gyakrlati számításk K Fejezzük ki a következő számkat nrmálalakban! a) ; b) 5 000; c) 560; d) ; e) 0,; f),5; g) 0,000 05; h) 0 000,000 0 a) 60 $ 6 ; b),5 $ 0 5 ; c),56 $ 0 ; d) 4,54 $ 0 6 ; - e) 0 $ ; f),5 $ 0 0 ; g) 5$ 0 6 ; h), $ 0 4 K Mennyi a) a 0 5%-a; b) a 5 0%-a; c) a 0 5%-a; d) az 5 0%-a? a) ; b) ; c) 0,5; d) 0,5

19 II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET K Mennyi a) egy szám 0%-ának 0%-a; b) egy szám 80%-ának 0%-a; c) egy szám 5%-ának 80%-a; d) egy szám 80%-ának a 0%-a? MATEMATIKA 9 a) A szám 4%-a; b) a szám 96%-a; c) a szám 00%-a, azaz maga a szám; d) a szám 8%-a 4 K Melyik szám 45%-a a) a 0; b) a 45; c) a 5; d) az,5? : a), 00 : = ; b) 00; c) 00; d), 0 = 9 5 K Tekintsük a Földet egy lyan gömbnek, amelynek a középpntján átmenő körök kerülete km! a) Megközelítőleg mekkra a Föld átmérője? b) Megközelítőleg mekkra a Föld sugara? c) Megközelítőleg mekkra a Föld térfgata? d) Megközelítőleg mekkra a Föld felszíne? e) A Föld felszínének körülbelül hány százalékát brítja víz, ha az összes vízfelület nagysága körülbelül,4 0 8 km? (Emlékeztetőül: Az r sugarú kör kerülete rr, területe r r Az r sugarú gömb felszíne 4r r, térfgata 4 r ) r 4 a) d,7 $ 0 km b) r 6,4 $ 0 km c) V, $ 0 km 8 d) A 5, $ 0 km e) Kb 67%-át 6 K a) Hány százaléka a Föld átmérője a Napénak? b) Hány százaléka a Föld tömege a Napénak? A szükséges adatk megtalálhatók a négyjegyű függvénytáblázatban a) A Nap átmérője:,4 $ 0 6 km; a Föld átmérője:,7 $ 0 4 km 6 4, $ 0 A kettő aránya: 7, $ 0 4, $ 0 Vagyis a Föld átmérője a Nap átmérőjének,%-a b) A Föld tömege: 60 $ 4 kg, a Nap tömege: 0 $ 0 kg 4 A kettő aránya: 60 $ -6-0 $ százaléka Ez 0,000% 0 = 0 $ 4 0 $ 4 Algebrai kifejezések összevnása, szrzása K Végezzük el az alábbi szrzáskat! 5 4 a) 4ac$ 5abc; b) 4 yz 5 $ yz; c) 5 pqs $ b- pqsl a) 0a bc; b) yz; c) - pqs 4 K Végezzük el az alábbi szrzáskat! a) ^ + yh_ -5y-6y i; b) a a b a ab 4 b - lb + - a bl 4 a) 6-0 y-y + 9 y-5y -8y = 6 - y-7y -8y ; b) 4 a 4 a b 8 a b 5 a b a b + a b 9 9 8

20 0 MATEMATIKA II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET K Végezzük el az alábbi szrzást! 4 5 ] a- g ^+ a+ a + a + a + a h a+ a + a + a + a + a --a-a -a -a -a = a - 4 K Végezzük el az alábbi szrzáskat! a) 4 a $ a; b) 4 5 pq$ _-6 pq i; c) y b- l$ b y l a) a; b) -p 5 q 8 ; c) - y 4 5 K A következő feladatkban egy többtagú összeget kell szrznunk egy taggal a) ^ - + 4h; b) 6ab^ ab + ab - 4a bh; c) y y 5 y 0 b - + yl a) ; b) ; c) 5 y ab+ 8ab-4ab - y + y 0 6 E A következő feladatkban egy többtagú összeget kell szrznunk egy taggal a) 4 y _ y- y + 5yi; b) m n q p n m q p m- n+ q p 4 m+ n m-n b - + q p l 5 n+ k+ n+ k n+ k n+ k+ a) ; b) m+ n n+ m q p m- n+ q p 4 m+ n m+ n y - 8 y + 0 y - + q p K Az alábbi feladatkban több tagt kell több taggal szrznunk a) ] a+ g] a- g; b) ^ y -h _ y -y + yi; c) ] -g^ h a) a - 4 ; b) y -y + y -y + 4y-y = y -y -y + 4y-y; c) = E Az alábbi feladatkban több tagt kell több taggal szrznunk n k a) _ + y i^ + + yh; n+ k b) _ p - q i^p+ q+ pqh; c) k k+ -k y k k y k- b + lb - + y l 6 a) n n+ n k k k+ + + y+ y + y + y ; n+ n+ n+ k k+ k+ b) p + p q+ p q-pq -q -pq ; c) k k y k k- y 4 -k + k k k+ y y k y Nevezetes szrzatk K Végezzük el az alábbi műveleteket! a) ^5- yh ; b) ^ab + 4ab h ; c) _ 5y-yi a) 5-0y+ 9y ; b) 4ab+ 6ab+ 6ab; c) 5y-0y + 4y K Alakítsuk szrzattá az alábbi kéttagú összegeket! a) 49b - ; b) 6ab-64ab ; c) 6 4 p ab 6 5 a) ^7b + h^7b - h ; b) ^6ab+ 8abh^6ab-8abh; c) p 4 ab p 4 b + lb - abl

21 II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET K Elvégeztük egy kéttagú összeg négyzetre emelését, és eredményül azt kaptuk: ] g = 4a - ab+ Sajns az utlsó tag elmsódtt a papírn Milyen összeget emeltünk négyzetre? ] a-bg = 4a -ab+ 9b vagy ]-a+ bg = 4a -ab+ 9b 4 K Számítsuk ki az alábbi kéttagú összegek köbét! a) a a ^ + h ; b) ^- yh ; c) k b - n kl a) a + 9a + 7a + 7a ; b) 8 - y+ 6y -y ; c) k k n n k n k K Két tag összegének, illetve különbségének a négyzetéről tanultak alapján végezzük el az alábbi négyzetre emeléseket! a) y ^ - h ; b) ^a - 4bh ; c) ^4p+ qh a) 4 - y+ 9y ; 4 b) a - 8a b+ 6b ; c) 6p + 4pq+ 9q 6 K Végezzük el az alábbi négyzetre emeléseket! a) ^ - h ; b) _ y + yi ; c) ^4a + abh a) - + ; 6 4 b) 4y + y + 9y ; 4 c) 6a + 4a b+ 9a b 7 K Két tag összegének, illetve különbségének a szrzatáról tanultak alapján végezzük el az alábbi szrzáskat! a) ^+ yh^- yh; b) _ + yi_ - yi; c) ^ 5a b + ab h^5a b - ab h a) - 9y ; 4 b) 4 - y ; 6 4 c) 5ab-4ab 8 E Végezzük el a négyzetre emeléseket! a) b y-yl ; b) ab 5 b + abl ; c) 4 n y 5 n b - y l 5 5 a) 6 4 y y+ 4y; b) ab ab ab; c) 6 n 4 y 8 n+ n+ y 5 4 n y K Két tag négyzetét számltuk ki; mi lehet az eredmény hiányzó harmadik tagja? a) ] g = y ; b) ] g = 4a - a b ; c) ] g = 5p -0 p q a) ^4+ yh = 6 + 8y+ y ; b) ^a -abh = 4a -a b+ 9a b ; c) _ 5p -p qi = 5p -0p 5 q+ 4p q 0 K Két tag összegének, illetve különbségének harmadik hatványáról tanultak alapján végezzük el az alábbi köbre emeléseket! a) ] a + g ; b) ^+ yh ; c) ^k - kh a) 8a + a + 6a+ ; b) y+ 54y + 7y ; c) k -6k 5 + k -8k MATEMATIKA

22 MATEMATIKA II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET 6 Tvábbi nevezetes szrzatk (Emelt szint) E Végezzük el a négyzetre emeléseket! a) ^+ y+ zh ; b) ] a+ b- cg ; c) b a b - + abl a) + 4y + z + 4y+ z+ 4yz; b) 4a + 9b + c + ab-4ac-6bc; c) 4 a 9b 4 ab ab ab-4ab 4 9 E Alakítsuk szrzattá az alábbi kéttagú összegeket! a) ; b) p - q ; c) a ; d) 7k - y a) ] + g ^ h ; b) _ p i -q = _ p -qi_ p + p q+ q i; c) a + = ] a+ g^a -a + 4a -8a+ 6h 6 ; d) _ k- y i_ 9k + ky + y i E Igazljuk, hgy sztható 50-cal! ^ h = ^ -h$ K, ahl K egész szám Tehát ^ - h ^ + h $ K De + = 5 0, tehát a kifejezés sztható 5 0-cal 4 E Hármtagú összeg négyzetéről tanultak alapján végezzük el az alábbi négyzetre emeléseket! a) a b+ c ] - g ; b) ^-y-zh ; c) ^p+ q+ zh a) a + b + 4c -ab+ 4ac-4bc; b) 4 + 9y + z -y-4z+ 6yz; c) p + 4q + 9z + 4pq+ 6pz+ qz 5 E Hármtagú összeg négyzetéről tanultak alapján végezzük el az alábbi négyzetre emeléseket! a) ^a - ab+ b h ; b) p p q b + - q l ; c) ^ k k+ k k- a - b + a b h a) 4a + 9a b + b -a b+ 4a b -6ab ; b) 9 p pq q pq pq pq; k k+ k k- k k+ k k- k k c) 4a + 9b + a b -a b + 4a b -6a b 6 K Számítsuk ki az alábbi kifejezések megfelelő helyettesítési értékét! a) ^ a b a b a b a b, a,9, b - h -^ + h^ - h + = - = ; b) ^ 4, + + h - ^ + h- = - ; 5 c) ^6k -5nh^ 6k + 5nh -6 k ] + 0ng + ^6k + 5nh, k =, n = -,5 4 4 a) 4a a b 9b 4a 9b a b 8b = = $ = ; b) = + = ; 5 c) 6k 4-5n -7k -60k n+ 6k k n+ 5n = -7k = -7

23 7 Összegek szrzattá alakítása K Alakítsuk szrzattá a következő kifejezéseket! a) a + 6a - 4a ; b) k - k+ 4k ; c) 5pq - 5pq+ 0pq a) a^ + - h; b) k^k- 4+ 8k 5 h; c) 5p q _ q- 5p+ p q i K Alakítsuk szrzattá a következő kifejezéseket! a) a+ b+ a - b ; b) pq-qp+ 4p+ 8pq+ 4q; c) -y + -y a) ] a+ bg+ ] a+ bg] a-bg = ] a+ bg] + a-bg; b) pq_ p -q i + 4^p+ qh = pq^p-qh^p+ qh+ 4^p+ qh = ^p+ qh7pq^p-qh+ 4^p+ qha; c) ^ -yh_ + y+ y i + ^-yh^+ yh= ^ -yh_ + y+ y + + yi K Alakítsuk szrzattá a következő kifejezéseket! a) a 4 + a- 4; b) a + b + c + ab + ac + bc - 4 ; c) k + k - a) = ] a+ g7] a-g^ a + 4h + A = ] a+ g^a -a + 4a-7h; b) ] a+ b+ cg -4 = ] a+ b+ c+ g] a+ b+ c-g; c) k -+ k - = ] k-g ^ k + k+ h + ] k-g ] k+ g = ] k-g ^k + k+ h 4 K Alakítsuk szrzattá az alábbi összegeket! a) 6a-a+ a; b) 8p q + p q + 6pq - 4pq ; c) ab c + 4a bc - 8abc + 0abc a) a] a ag; b) pq_ 4p + pq + q - i; c) abc] b + a - 4c + 0g 5 K A tagk megfelelő csprtsításával alakítsuk szrzattá a következő összegeket! a) 5a+ + 5ay+ y; b) k + k + k+ 9; c) ac + bc-ad -6bd; d) a - b + a+ b; e) - y+ y -y a) ^ + yh] 5a+ g; b) ] k+ g^k + h; c) ] c- dg^a + bh; d) ] a+ bg] a- b+ g; e) ^- yh ^+ yh 6 E A nevezetes szrzatk alkalmazásával alakítsuk szrzattá a következő kifejezéseket! a) pq^ k - n h+ k n + kn ; b) 4^ z + yrh -_ -y -r + z i ; 5 4 c) a + a -a -a + a+ a) pq] k -ng] k + ng+ kn] k + ng= ] k + ng^pqk -pqn + knh; b) ^ z+ yrh -_ -y -r + z i = _ z+ yr+ -y -r + z i_ z+ yr- + y + r - z i= c) 4 a -6+ a+ = ^a -4h^ a + 4h + a+ = ] a-g] a+ g^a + 4h + a+ = = 7] + zg -^y-rh A$ 7^ y+ rh -] - zg A= = ^+ z+ y-rh^+ z-y+ rh^y+ r+ -zh^y+ r-+ zh; II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET 4 4 a ] a+ g-a ] a+ g+ a+ = ] a+ g^ a -a + h = ] a+ g ^a -h 7 E Egy hármszög ldalai a, b és c Igazljuk, hgy ekkr az alábbi kifejezés értéke negatív szám! ^b + c -a h -4b c A kéttagú összeg két négyzet különbsége, ezért így alakítható szrzattá: ^b + c -a + bch^ b + c -a -bch= ] b+ c+ ag] b+ c-ag] b-c+ ag] b-c-ag A kaptt négytényezős szrzat első hárm tényezője a hármszög-egyenlőtlenség miatt pzitív, utlsó tényezője negatív, tehát a szrzat negatív MATEMATIKA

24 4 MATEMATIKA II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET 8 Algebrai törtek egyszerűsítése, összevnása Az alábbi feladatkban feltételezzük, hgy a váltzók semmilyen értékére sem lesznek 0-k a feladatkban előfrduló törtek nevezői K Egyszerűsítsük az alábbi törteket! 6 a) b ^p+ qh y ; b) ; c) 5a - 5 b _ p + pq+ q iy 0a + 0a+ 0 a) ; b) 6 ; c) 5] a-g] a+ g a = - b ^p+ qhy 0] a+ g ] a+ g K Egyszerűsítsük az alábbi törteket! a + 6b + aq + bq - y a) ; b) a + 6ab+ 9b 9-8y+ 9y a ] + bg+ qa ] + bg + q a) ; = ] a+ bg a + b ^ - yh_ + y+ y i y y b) = + + 9^- yh ^- yh K Végezzük el a kijelölt műveleteket! a) ; b) ; c) a- - a+ + + a+ b a b a - b a + b a - b a) ] a+ g -] a-g ; = a - a - b) ] - g + ] + g 4 ; = c) a+ b a b a b a b 6 a b + - ] - = + g+ ] - g - ] + g a b a b a b a b = ] - g] + g ] + g - 6^a - b h ] a b a b = - g - ] + g 6^a - b h 4 E Végezzük el a kijelölt műveleteket! y - y - + y a) ; b) y y + 6y a) ^ y-h+ ^ y-h^y-h-^y+ h^+ yh -9y -5 = ; ^ y-h^y+ h ^ y- h^y+ h b) ] + g + ] -g ] -g -] + g ] -g 4 = + 4 ^ -h 4 ^ -h 5 E Egyszerűsítsük az alábbi törteket! a) 4pq+ 4pq ; b) a + ab+ b ^+ yh - a ; c) p - q a - b + y+ a a) 4pq ; b) a+ b ; p - q ] a- bg^a + b h c) + y- a

25 II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET 6 E Egyszerűsítsük az alábbi törteket! a) y- - y + a ; b) + + ; c) e - e f+ ef a + - y + a e + f a) a -^-yh ^a+ -yh^a-+ yh a- + y ; = = ] a+ g - y ^a + + yh^a + - yh a + + y b) A nevezőt így alakíthatjuk: = = ] + g+ 7] + g= ] + g] + 7g, ] + g = + ; ] + g] + 7g + 7 c) e^ e - ef + f h e = ] e+ fg^e - ef+ f h e + f 7 K Végezzük el a következő összevnáskat! a) y + ; b) b ; c) ab ac a b y 5y a - a - a) c + by ; b) ] a+ bg 7y ; c) abc ] a -g 8 K Végezzük el a következő összevnáskat! a) ; b) ; c) a - - p a + 6a a - 9 p- p + p - p+ a) ] + g + ] - g 5 ; = + ] + g ] + g b) 5 a 5 a a a 4a a a 6a 5a ; aa+ a a+ ] - g- ^ - h + ] + g] - g = - - ] g ] - g] g aa ] + g] a- g aa ^ - 9h c) ^p-h^p+ h+ ^p-h -p^p+ h -7p + = ^p-h ^p+ h ^p-h ^p+ h 9 E Végezzük el a következő összevnáskat! a) ; b) y y ; - y - y - + y+ y c) ] a-bg] b-cg ] b-cg] a-cg ] c-ag] b-ag a) ] -g] -g-6^ + + h ; = b) + y+ y -y-^y-h^-yh ^-yh + ^-yh - y = = ^ - yh_ + y+ y i ^ - yh_ + y+ y i + y + y c) c-a+ a-b+ b-c = 0 ] a-bg] b-cg] c-ag ; MATEMATIKA 5

26 6 MATEMATIKA II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET 9 Algebrai törtek szrzása, sztása, összetett műveletek algebrai törtekkel K Végezzük el a következő műveleteket! pk pk 6p + pq+ 6q pq 4y y 5y a) $ ; b) $ ; c) $ $ y y 4ab 5^p+ qh 7rs rs rs p k ^p+ qhp q 0y a) ; b) ; c) y 5ab 7rs K Végezzük el a következő műveleteket! a) ab 5y pa : ; b) : 4ba ab e $ 5 y 4ab b 5p 7p 5 a) 8ab 0pa ; b) $ ab 5a = 4 5y ba 7p bp K Végezzük el a kijelölt műveleteket! a) c + m$ c - m: ^+ yh; y y b) + y d : ; + + y y n y c) c k + k : 8k k m k + 6k - y+ y- y y y a) $ $ $ ; y y + y = ^ + h^ - h y + y = - d n y y + + y y y y y y b) $ $ ; y + y = ^ + h y + y = ^ + h ^ h ^ h ] c) k+ g -] k-g ] k 8k k $ - g ] = $ - g = 4k - 8k ] k- g ] k+ g 8k k + 4 E Határzzuk meg az alábbi kifejezés értékét, ha = 4! c + $ - - m ^ + - h ] -g $ ^ - - h = + = 7 5 E - y Igazljuk, hgy ha, akkr = + =! y- z z z y Szrzzuk keresztbe a megadtt egyenlőséget: z -yz = y -z, azaz z = y + zy Mst sszuk el a kaptt egyenlet mindkét ldalát yz-vel, ami biztsan nem 0; azt kapjuk: = + y z 6 E A kijelölt műveletek elvégzésével hzzuk egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) : ; c + + m d - n - p q p q b) d + n -d - n ; q p q p c) b a : b a c ; - a + ab a+ b + m c + - m b + ab a b d) a + a $ a c ; m a + a a + 4 a + a

27 II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET MATEMATIKA 7 e) y- y e : + e - y - y + y y + y + y a) + + : - - ; = + ] $ - g] + g = ] - g] + g - p q p q p q p q p 4q b) d n$ d n= $ = 4; q p q p q p q p q p c) b -ab+ a : b + a -ab ] a b ab = - g $ ; = ab] a + bg ab ab] a + bg ] a- bg a + b d) 4a+ 4+ a $ a + ] a a a a a = + g ] + g - ; - = + - = + - = = aa ] + g a + a aa ] + g a a a a a a + y -y y - -y y y y y e) : $ = + - ^ + h = - = y ^ y- h ^ y+ h y ^ + yh y ^ y- h ^ y+ h y - -y y - - y 7 E Legyen k egy pzitív valós szám Mivel egyenlő a + b, ha a+ b = k és a + b = k? ] a b k a b ab k ab $ ab k k + g = = + + = + = - ] a+ bg = k = a + b + ab] a+ bg Tehát a b k k k k k $ 6 + = - - = - + k 8 E Igazljuk, hgy bármely pzitív számnak és reciprkának összege legalább! Azt kell igazlnunk, hgy a + $ Szrzzuk meg mindkét ldalt a 0 -val: a - a + $ 0, a azaz ] a - g $ 0, ami nyilvánvaló Egyenlőség akkr és csak akkr, ha a = 9 E Igazljuk a következő egyenlőtlenséget! ] a b c + + g$ b + + l $ 9 a b c Elvégezve a szrzást, azt kapjuk: a a b b c c $ 9, azaz a a b b c c $ 6 b c a c a b b c a c a b Ez pedig az előző feladat alapján már nyilvánvaló 0 E Biznyítsuk be, hgy ha + yz+ z+ y + =, akkr! = y z y z y z = Ezt a biznyítandó egyenlőségbe helyettesítve adódik az állítás + y E Biznyítsuk be, hgy ha k pzitív egész szám, akkr az alábbi kifejezés értéke is egész szám! 9 k : c + m c + - m k k k 7 + k k $ k k k k 9 k, ami pzitív egész, ha k pzitív egész k k+ 9 = ] + g^ - + h = + - k -k+ 9

28 8 MATEMATIKA II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET 0 Oszthatóság K Vizsgáljuk meg az alábbi számkat -mal, 4-gyel és 6-tal való szthatóság szempntjából! a) 67; b) 88 76; c) 5 49; d) 4 78 a) Ez esetben a számjegyek összege 8, tehát a kérdéses szám sztható -mal Mivel az utlsó két jegye 7, ami sztható 4-gyel, így a megadtt szám sztható 4-gyel is és 6-tal is b) A megadtt szám sztható 4-gyel is és 6-tal is (így természetesen -mal is) c) A számjegyek összege sztható -mal, tehát a szám is sztható -mal Mivel a kérdéses szám páratlan, így nem lehet 4-gyel (és 6-tal sem) sztható d) A megadtt szám párs, de nem sztható 4-gyel Mivel a számjegyek összege nem sztható -mal, így ez a szám sem -mal, sem 4-gyel, sem 6-tal nem sztható K Igazljuk, hgy ha 9 a + b és 9 a + 6b, akkr 9 a-nak is és b-nek is sztója! Ha 9 a+ 6b, akkr 9 a+ b, de a feltételek szerint 9 a+ b E két utóbbi miatt 9 a+ b-a-b = 9b Ebből következik, hgy 9 b, innen pedig 9 a is teljesül K Mekkra legyen az X számjegy, hgy a 7 és 54X számk összege sztható legyen 9-cel? 7 = 9K +, ezért 54X-nek 9-cel sztva 8 maradékt kell adnia Mivel 5+ 4 = 9, ezért X = 8 4 K Mennyi maradékt kapunk, ha az alábbi kifejezést elsztjuk 5-tel? (4k + ) + (k ) + (k + ) 6k + 8k+ + 9k - 6k+ + k+ = 5k + 5k+ 5 = 5^5k + k+ h Tehát a kifejezés 5-tel sztható, nincs maradék 5 K Az alábbi számk közül melyek szthatók 4-gyel, illetve 9-cel? a) 648; b) 6; c) 7 549; d) 5080; e) gyel sztható az a), b), d); 9-cel sztható a b) és a c) 6 K Az alábbi ötjegyű szám sztható 45-tel Milyen számjegy lehet X és Y? X6Y Y = 0 és X = 0 vagy Y = 0 és X = 9 vagy Y = 5 és X = 4 7 K Az a természetes szám 7-tel sztva maradékt ad, a b természetes szám 7-tel sztva 4 maradékt ad Mit kapunk maradékul, ha az alábbi számkat elsztjuk 7-tel? a) a + b; b) 5a + (b + ); c) b(a + ) a) a+ b = 7r+ 4; b) 5a+ ] b+ g= 7s+ 5; c) ba ^ + h = 7k K Mennyi maradékt kapunk, ha az alábbi számkat elsztjuk -mal? a) 6k + 8; b) (n + )(6n ) + n(n ) n + 6 a) 6k+ 8 = n+ ; b) n - n+ = s+

29 Prímszámk, a számelmélet alaptétele K Hány darab prímszám van 50 és 00 között? II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET MATEMATIKA 9 Az 50 és 00 közé eső prímek: 5, 59, 6, 67, 7, 7, 79, 8, 89, 97; 0 darab K Végezzük el az alábbi számk prímtényezős felbntását! a) 8565; b) 400; c) 59 a) 8565 = $ 5 $ 57; b) 400 = $ $ $ 9; c) 59 = 4 $ 9 K Keressük meg az összes lyan p prímszámt, melyre 4 + p és 8 + p is prímszám! Ha p -mal sztva maradékt ad, p = k+, akkr 8+ p = 8+ k+ = 9+ k sztható -mal, tehát nem lehet prím Ha p -mal sztva maradékt ad, p = k+, akkr 4+ p = 4+ k+ = 6+ k szintén sztható -mal, tehát nem lehet prím Ha p sztható - mal, akkr csak p = lehet; ekkr 4+ p = 7, 8+ p =, mindkettő prím Tehát egyedül a p = lehetséges 4 E Melyek azk a p prímek, melyekre p + egy természetes szám köbével egyenlő? p+ = n, ahl n biztsan páratlan szám, n = k+ Ekkr p k 8k k + = ] + g = + + 6k+, ahnnan p = k^4k + 6k+ h Ez csak akkr lehetséges, ha k =, és ezzel 4k + 6k+ = valóban prím Tehát egyetlen prím felel meg a feltételeknek: p = Ekkr p + = 7 = 5 K Fejtsük meg ezt a keresztrejtvényt, ahl a négyzetekbe számjegyeket kell írni! Vízsz: 0-nál kisebb prímszám, mely jegyeinek összege köbszám Egy prímszám kétszerese 9-cel sztható szám Függ: Négyzetszám Azns a vízsz -gyel 6 E Legyenek p > q > r prímszámk Mi a megldása az alábbi egyenletnek? p + q + r = Csak r = lehetséges Ekkr p+ q = 0, ahnnan p = 7, q =, vagy p =, q = 7 7 E Milyen pzitív egész n-re teljesül, hgy n + 0n prímszám? nn ] + 0g= prím csak úgy lehetséges, ha n = ; ekkr 0 + n = az egyetlen ilyen prímszám

30 0 MATEMATIKA II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET Legnagybb közös sztó, legkisebb közös többszörös K Legyenek A = 5, B = 5 7, C = 7 Számítsuk ki az alábbi kifejezések értékét! a) [(A; B); C]; b) ([B; C]; A) a) AB ; ^ h = $ 5, tehát 6 ^AB ; h; C@ = $ $ 5$ 7$ ; b) 6 BC = $ $ 5 $ 7$, tehát ^6 BC Ah= $ 5$ K Milyen pzitív egész n és k számkra teljesül, hgy (n; k) = 6 és [n; k] = 4784? 4 6 = $, 4787 = $ $ Az n és a k is tartalmazza a -at Egyikükben, a másikban 4 szerepel A prímtényező bármelyikben lehet Tehát n = 4 $ $, k = $, vagy n = 4 $, k = $ $ K Melyik az a legkisebb -nél nagybb pzitív egész szám, amelyik 4-gyel, 5-tel, 6-tal, 7-tel, 8-cal és 9-cel sztva egyaránt maradékt ad? Ha a keresett szám n, akkr n - a megadtt számk mindegyikével sztható, vagyis e számk legkisebb közös többszörösét keressük = 50 Tehát a keresett szám n = 5 4 K Határzzuk meg az alábbi számk legnagybb közös sztóját és legkisebb közös többszörösét (p, q, r, s, t különböző prímek)! a) 5660, 5; b) 444, 70; c) p qs t, pqs 4 r a) ^5660; 5h= 5, 65660; 5@ = $ $ 5$ 7$ 8; 4 b) ^444; 70h= $, 6444; 70@ = $ $ 5$ 7$ 4; c) _ p qs t; pqs 4 r i= pqs, 7p qs t; pqs 4 r A = p qs 4 tr 5 K Legyenek A = 0, B = 0, C = 450 Számítsuk ki az alábbi kifejezések értékét! a) [(A; C); B]; b) [(A; B); (C; B)]; c) ([B; C]; A) a) 6 ^AC ; h; = 0; b) 6 ^AB ; h; ^CB ; h@ = 0; c) ^6 BC A h= 0 6 E Ha az alábbi törtek egyszerűsíthetők, akkr mivel egyszerűsíthetők? a) n - ; b) n - ; c) 0k + n + n + 6 4k - a) Ha a tört d-vel egyszerűsíthető, akkr n- = rd és n+ = sd A másdik egyenlet kétszeresét az elsőből kivnva: 7 = d] s-rg, ha tehát a tört egyszerűsíthető, akkr csak 7-tel egyszerűsíthető b) Ha a tört egyszerűsíthető, akkr 0-szal (vagy annak valamelyik sztójával) egyszerűsíthető c) Ha a tört egyszerűsíthető, akkr csak -mal egyszerűsíthető 7 K Egy kerékpárs egy AB távlság első harmadát egy óra alatt tette meg, az út hátralevő részét pedig,5 óra alatt Sebessége mindkét szakaszn km/h-ban mérve egész szám, melyek legkisebb közös többszöröse 0 Mekkra az AB távlság? Legyen v, illetve v az út első, illetve másdik szakaszán a sebesség A S S óra,5 óra B

31 II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET S S Ekkr = és,5 Az első egyenletből S = v ; ezzel a másdik egyenlet v v = v, =,5, azaz v 5 5 = = v v 4 Ezek szerint valamely n természetes számra v= 5 n, v= 4n és 65n; 4 n@ = 0 Mivel 0 = $ $ 5, ezért az n prímtényezős felbntásában az 5 nem szerepelhet, hiszen ha benne lenne, akkr a legkisebb közös többszörösben már 5 -nak kellene szerepelnie Ugyanakkr az n prímfelbntásában a -nak benne kell lennie az első hatványn, valamint a -nek is szerepelnie kell (-nek magasabb kitevőjű hatványa már nem szerepelhet, mert akkr v miatt már 4 szerepelne a legkisebb közös többszörösben) Tehát csak n = $ = 6 lehetséges, így v= 0, v= 4 Az első órában megtett út 0 km, a másdik szakaszn megtett út,5 $ 4 = 60 km, vagyis az AB távlság 90 km 8 E Az n és k pzitív egészek legnagybb közös sztója és legkisebb közös többszöröse: (n; k) = p, [n; k] = p q, ahl p és q különböző prímszámk Határzzuk meg n és k prímtényezős alakját! MATEMATIKA n = p, k = p q vagy n = p q, k = p (természetesen n és k szerepe felcserélhető) 9 E Fejtsük meg a keresztrejtvényt! Vízsz: Eggyel csökkenő számjegyek Egy négyzetszám frdítttja 4 A 40-nél kisebb prímszámk száma 5 Osztható 4-gyel Függ: Egy ikerprímpár nagybbik tagja 9-cel sztható palindrm -szám (azaz lyan szám, mely visszafelé lvasva is ugyanaz) A 40 és 50 közé eső prímek összegének ötszöröse 4 Egy köbszám negyede 5 4 Osztók száma, négyzetszámk (Emelt szint) E Határzzuk meg az alábbi számk sztóinak a számát! a) 40; b) 500; c) 65; d) 0 A megadtt számk prímtényezős felbntása alapján: a) d] 40 g= 5$ $ = 0; b) d] 500 g= ; c) d] 65 g= 5; d) d] 0 g= E Az A és B számk prímtényezős alakja: A = 5 7 ; B = 5 7 Mivel egyenlő d(a B)? 5 5 A$ B = $ $ 5 $ 7 $, tehát dab ] $ g= 576 E Melyik az a legkisebb természetes szám, mely sztható -vel, és amelyre d(n) =? Ha dn ] g=, és N sztható -vel, akkr N-nek legalább két különböző prím sztója van Így N prímtényezős alakja az alábbiak egyike: N = p$ q 5, N = p $ q, N = p$ q$ r A legkisebb prímszámkat figyelembe véve a keresett szám: N = 60 4 E Valamely N természetes számra d(d(n)) = Hány különböző prím sztója lehet N-nek? Ha ddn ] ] gg =, akkr dn ] g= p Ezek szerint vagy N q p = - p p, vagy N = q - $ r - Tehát az N prímtényezős alakjában legfeljebb kétféle különböző prímszám szerepelhet csak

32 MATEMATIKA II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET 5 E Legyen a = 5; b = 5 7 Határzzuk meg az alábbi mennyiségeket! a) d(ab); b) d([a; b]); c) d((a; b)) 4 4 a) dab ] g = d ^ $ $ 5 $ 7h = 00; b) d^6 a; h= 64; c) d^^a; b hh = 4 6 E Az N természetes szám prímtényezős alakja N = y Az N hármszrsának 4-gyel, az N kétszeresének pedig 5-tel több sztója van, mint N-nek Melyik ez az N szám? Egyrészt ] + g ^ y+ h = ] + g ^y+ h + 4, ahnnan =, másrészt pedig 4 ] + g^ y+ h = ] + g ^y+ h + 5, ahnnan y = 4 Tehát N = $ = E Melyik az a legkisebb természetes szám, melynek 4 sztója van, és sztható 4-vel? Ha az N természetes szám sztható 4-vel, akkr sztható -vel, -mal és 7-tel Ha 4 sztója van (és a legkisebb ilyet keressük), akkr prímtényezős alakja: N = p 6 $ p $ p A szükséges prím sztókat úgy helyezzük el, hgy a legmagasabb kitevőjű legyen a legkisebb prím és így tvább 6 A keresett szám: N = $ $ 7 = 40 8 E Valamely N természetes számra d(d(n)) = 5 Legfeljebb hány darab különböző prím sztója lehet az N számnak? 4 Ha ddn ] ] gg = 5, akkr dn ] g= p = p$ p$ p$ p Tehát N különböző prím sztóinak a száma legfeljebb 4 9 E A következő számk közül melyek négyzetszámk? a) ; b) ; c) a) Nem négyzetszám; b) ^ $ 5$ h ; c) ^$ 5 $ h 0 E Melyik az a legkisebb pzitív egész szám, amellyel a 4 50-at meg kell szrznunk ahhz, hgy négyzetszámt kapjunk? 4 50 = $ $ 5 $ A keresett szám: $ $ 5 = 0 5 E Igazljuk, hgy a következő szám nem lehet négyzetszám! utlsó számjegye 6, a másdik tag 5-re, a harmadik 6-ra végződik Tehát a hármtagú összeg utlsó számjegye = f7, amire nem végződhet négyzetszám 4 Számrendszerek K Írjuk fel az alábbi számkat a 0-es számrendszerben! a) 0 ; b) ; c) a) 0 = $ + $ + 0 $ + $ + = 40; 4 b) = $ $ $ 6 + $ $ = 40800; c) 5067 = 5 $ $ 7 + $ = 780 K Írjuk fel a 0-es számrendszerbeli 976 számt a a) -es számrendszerben; b) -as számrendszerben! a) 9760 = 00000; b) 9760 = 000

33 II ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET K Végezzük el a következő műveleteket, és adjuk meg az eredmény 0-es számrendszerbeli alakját! a) ; b) MATEMATIKA a) = = 0; b) = = E Igazljuk, hgy egy 6-s számrendszerbeli szám akkr és csak akkr sztható 5-tel, ha számjegyeinek összege is sztható 5-tel! Egy 6-s számrendszerben felírt szám általáns alakja: n n- n- cn $ 6 + cn -$ 6 + cn - $ 6 + f + c$ 6+ c0 Ezt még így is írhatjuk: n n- n- cn $ ] 5+ g + cn -$] 5+ g + cn - $ ] 5+ g + f + c$ ] 5+ g+ c0 Az itt szereplő kéttagú összegek hatványaiban minden tag 5-nek hatványa (tehát sztható 5-tel), kivéve az utlsó tagkat, amelyek mindegyik esetben -esek Tehát az összeg így írható valamilyen K egész számmal: 5K+ cn+ cn-+ cn-+ f + c+ c0 Ez pedig akkr és csak akkr sztható 5-tel, ha az utlsó tag, vagyis a felírt szám számjegyeinek összege sztható 5-tel 5 K Egy derékszögű hármszög ldalai valamilyen alapú számrendszerben 4, 40, 4 Mekkrák a hármszög ldalai a 0-es alapú számrendszerben? ] + 4g + ] 4g = ] 4+ g Innen = 6, = De = nem lehet, mert a -es számrendszerben nincs 4-es számjegy, így csak = 6 lehet Ezzel a hármszög ldalai a 0-es számrendszerben: 46= 0 0, 406= 40, 46= 60 6 E Biznyítsuk be, hgy a c alapú számrendszerben azk és csak azk a számk szthatók (c )-gyel, melyek számjegyeinek összege is sztható (c )-gyel! A c alapú számrendszerben felírt szám általáns alakja: n n- n- ac n + an c an c f ac a Írjuk át ezt a következő alakban: n n- n- an6] + an -6] + an -6] c- + f + a6] + a0 A kéttagú összegek hatványait kifejtve minden tag sztható ] c -g-gyel, kivéve az utlsó tagkat, melyek mindegyike Tehát azt kaptuk: ] c-g$ K+ an+ an-+ an-+ f + a+ a0 Ez akkr és csak akkr sztható ] c -g-gyel, ha an+ an-+ an-+ f + a+ a0, vagyis a számjegyek összege sztható ] c -g-gyel 7 K Hány darab hatjegyű szám van a -es számrendszerben? Ezek közül melyik a legkisebb és melyik a legnagybb? A legkisebb: =, a legnagybb = 6, tehát a -es számrendszer hatjegyű számainak a száma: 6 - =

34

35 III FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK MATEMATIKA 5 III Függvények, srzatk Hzzárendelések, függvények K Egy függvény az A = {0,, 4, 6} halmaz mint értelmezési tartmány minden eleméhez hzzárendeli a nála -gyel nagybb számt Adjuk meg a függvény értékkészletét! " 57,,,, K Egy függvény az értelmezési tartmány minden eleméhez hzzárendeli az abszlút értékét Adjuk meg az értékkészletet, ha az értelmezési tartmány a) a [0; ] intervallum; b) a [ ; [ intervallum; c) a { ; } halmaz; d) a {0; } halmaz! a) 60 b) 60 c)!+ ; d) " 0 ;, K Egy függvény az értelmezési tartmány minden eleméhez hzzárendeli az abszlút értékét Mi lehetett az értelmezési tartmány, ha az értékkészlet a) a [0; ] intervallum; b) a [ ; [ intervallum; c) az {} halmaz; d) a {0; } halmaz? Jelölje A az értelmezési tartmányt a) Többféle megldás lehet Példákat mutatunk: A =- 6 vagy A =- 6 0 vagy A ; 0; = ;- E, ; l A = {a [ ; 0] halmazból a racinális számk, a 60 intervallumból azk az irracinális számk} b) Az értékkészlet nem tartalmazhat negatív számt, ilyen értelmezési tartmány nem lehet c) Lehetett A =!- + vagy A =!+ vagy A = "- ;, d) Lehetett A = "-0 ;, vagy A = " 0 ;, vagy A = "-0 ; ;, 4 K Melyik tekinthető srzatnak a következő függvények közül? a) A természetes számkhz hzzárendeljük az ellentettjüket b) Az egész számkhz hzzárendeljük az ellentettjüket c) Minden nemnegatív valós számhz hzzárendeljük a nála -gyel kisebb számt d) Minden nemnegatív egész számhz hzzárendeljük a nála -gyel kisebb számt e) Minden természetes számhz hzzárendeljük a ( )-szeresét A srzat lyan függvény, amelynek az értelmezési tartmánya a nemnegatív egész számk, azaz a természetes számk halmaza Eszerint srzatnak tekinthető az a), a d) és az e) pntban adtt függvény