186 A trigonometria elemei. VIII.1. Szögek mérése. Az eddigi tanulmányaitok során a szögek mérésére a fokot és annak törtrészeit használtátok.

Átírás

1 86 A trignmetria elemei VIII A TRIGNMETRIA ELEMEI VIII Szögek mérése Az eddigi tanulmánaitk srán a szögek mérésére a fkt és annak törtrészeit használtátk Íg a teljes szög mértéke 60 Ez azt jelenti, hg az középpntú kört 60 részre sztjuk és eg résznek megfelelő szög mértékét választjuk egségnek (ez az -s szög) Az -s szög hatvanad részét nevezzük percnek (jelölése ) és az hatvanad részét nevezzük másdpercnek (jelölése ) Íg érvénesek az alábbi átalakítási szabálk: 60 ; 60 A technikában és a katnai méréseknél használnak más mértékegségeket is A matematikában leggakrabban a radián használats, amelet a következőképpen értelmezünk: Értelmezés Annak a középpnti szögnek a mértéke radián ( rad), amelnek a szárai közé eső körív hssza egenlő a kör sugarával Megjegzés Egségni sugarú körön az egségni hsszúságú ívnek megfelelő középpnti szög rad Mivel a kör kerülete R, ezért a 60 -s szögnek rad felel meg Íg az -s szög uganaz, mint a 80 rad szög Ez megadja a két mértékegség közti átszámlást A tvábbiakban a BAC fkban vag radiánban mért mértékét m( BAC ) -vel jelöljük Ha fkkban adjuk meg eg szög mértékét mindig kitesszük a jelet, míg ennek hiána azt jelenti, hg a szög mértéke radiánban van kifejezve Íg a m BAC és m BAC 60 uganazt jelentik VIII Gakrlatk Hán fksak az alábbi szögek? 5 4 a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; j) ; k) ; l) Fejezd ki radiánban az alábbi szögek mértékét: a) 0 ; b) 5 ; c) 0 ; d) 5 ; e) 75 ; f) 8 ; g) 7 ; h) 6 ; i) 59

2 A trignmetria elemei 87 VIII Hegesszögek szinusza, kszinusza, tangense és ktangense A hasnlóság tanulmánzásánál láttátk, hg ha az AB és A B derékszögű hármszögek ( AB B A VIII ábra ma ma ( ) 90 ) hasnlók, akkr Íg A B B A B AB A B B, tehát eg derékszögű hármszögben eg hegesszöggel B B szemben fekvő befgó és az átfgó arána csak a szög mértékétől függ (és A A hegesszöge, akkr nem az ldalak hsszától) Ezt az aránt az AB szinuszának * nevezzük és sin AB -vel jelöljük Tehát, ha eg derékszögű hármszög eg szöggel szemben fekvő befgó sin átfgó Hasnlóan értelmezzük az szög kszinuszát (jelölés ( ctg ): cs ), tangensét ( tg ) és ktangensét szög mellett fekvő befgó cs ; átfgó szöggel szemben fekvő befgó tg ; mellette fekvő befgó szög mellett fekvő befgó ctg szemben fekvő befgó Az előbbi menniségek csak az szög mértékétől függnek, ezért szögfüggvénekként emlegetjük Feladat Fejezzük ki a tg -t és ctg -t a sin és cs segítségével VIII ábra AB A Megldás Az ábra jelölései alapján sin és cs, tehát B B B AB B sin és A B cs AB B sin sin Íg tg és A B cs cs A B cs cs A ctg AB B sin sin Érvénesek tehát a következő összefüggések: sin cs tg, 0, és ctg, 0, cs tg sin Feladat A derékszögű hármszög ldalaira érvénes Pitagrász tétele Vizsgáljuk meg, hg a Pitagrász tétel hgan fgalmazható meg a szögfüggvének segítségével * A szögek szinuszát először Al-Battani (879 98) arab matematikus használta, a jelölés T Fink angl matematikustól származik 58-ból

3 88 A trignmetria elemei A AB Megldás A VIII ábra jelölései alapján A + AB B (*), tehát + Az B B eddigi értelmezések alapján sin + cs A (*) összefüggést elszthattuk vlna A -tel vag AB -tel is, íg más összefüggésekhez is juthatunk: AB B +, tehát A A A + tg és cs AB B +, tehát AB + ctg sin Az előbbi feladat alapján bármel 0, esetén érvénes az alábbi hárm összefüggés: sin + cs VIII Gakrlatk + tg cs + ctg sin Számítsd ki a következő szögek szögfüggvéneit: a) 0 ; b) 60 ; c) 45 Biznítsd be, hg: cs 90 0, 90 cs sin 90, 0, 90 ; a) sin, ; b) c) tg ctg( 90 ), ( 0, 90 ); d) tg( 90 ) ( 0, 90 ) ctg, Írd át szögfüggvénekre a befgó tételt és a magasság tételt 4 Az A -ban derékszögű ABC 4 hármszögben sin C és az AB befgó hssza l Számítsd ki 5 a többi ldal hsszát és a C szög szögfüggvéneit AB 5 Az ABC derékszögű hármszögben az egik szög a másik kétszerese Menni lehet az arán? BC VIII Feladatk Biznítsd be, hg ha A az ABC hármszög A szögének belső szögfelezője, A ( A (BC)) BA AB akkr A C AC Biznítsd be, hg az ABC hármszög A szögének AA szögfelezőjére igaz az bc A AA cs összefüggés, ahl b AC és c AB b + c Biznítsd be, hg az ABC hegesszögű hármszögben a bcs C + ccs B 4 Biznítsd be, hg a) sin < < tg, 0, ; b) sin, 0, +

4 A trignmetria elemei 89 5 Biznítsd be, hg ha ab, és létezik a + b > 4 0, úg, hg a sin + bcs >, akkr VIII Összeg és különbség trignmetrikus függvénei Feladat Fejezd ki a sin( + ) -t és cs( + ) -t az és szögfüggvénei segítségével,, 0, és + 0, Megldás Szerkesszük meg az ABC derékszögű hármszöget, amelben ( m ACB ) 90 és VIII ábra m D ( BAC) Az AB átfgóra szerkesszük meg az ABD derékszögű hármszöget, amelben ( m ABD ) 90 és m( BAD ) (lásd a mellékelt F B ED AE ábrát) Íg a DAC mértéke +, tehát és aránkat kellene AD AD A E C kiszámítanunk, ahl E a D pnt AC -re eső vetülete Ha AC r, akkr az ABC -ben BC r tg és AB r r AD és BD AB tg tg cs cs cs cs De AE AC EC és EC FB BD cs( FBD) BDcs BDsin Íg cs( ) cs cs sin sin sin r AB, tehát az ABD -ben cs r sin sin tg sin r cs cs cs sin sin r AE cs cs + és AD r cs cs + DE BC + BF r tg + BDcs tg + tg AD AD AD cs cs ( ) Az előbbi ábra jelölései alapján sin sin + cs cs sin cs + cs sin cs cs DE tg + tg tg + és AE tg tg

5 90 A trignmetria elemei AE tg tg ctg ctg ctg ctg ctg( + ) DE tg + tg + ctg + ctg ctg ctg Az előbbiek alapján kijelenthetjük a következő tételt: Tétel Bármel,, + 0, esetén cs cs cs sin sin ( + ) sin ( + ) sin cs + cs sin tg tg + tg tg tg ( + ) ctg ( + ) Feladat Számítsuk ki sin( ) -t és cs( ) szögfüggvénei segítségével, ha,, 0, -t az és 90 ctg ctg ctg + ctg Megldás Az ABC hármszögben AB r, m ABC és A B m ( BAC) Felvesszük a D (BC) és E (AC) pntkat úg, hg VIII 4 ábra m ( DAB) és ( m DEA ) 90 Íg m( DAC ED r ) és sin ( ) De AD, AD cs r BD r tg, BC r tg és AC Az ECD derékszögű hármszögben m ECD cs tehát ED DC cs ( BC BD) cs r( tg tg ) cs Ebből következik, hg ( tg tg ) r cs sin sin sin( ) cs cs sin cs cs sin r cs cs cs Hasnlóan r CDsin AE AC ED ( ) cs cs cs cs sin ( tg tg ) AD AD r cs cs cs sin sin cs sin cs cs cs cs cs cs + sin sin cs cs cs sin cs + sin sin cs cs cs cs + sin sin - E C D,

6 A trignmetria elemei 9 sin sin cs cs sin ( ) sin cs cs sin tg cs cs tg tg cs( ) cs cs + sin sin sin sin + tg tg cs cs + cs cs + + tg tg ctg ctg ctg ctg + ctg( ) tg( ) tg tg ctg ctg ctg ctg Érvénes tehát a következő tétel: 4 Tétel Ha, 0, és >, akkr sin sin cs cs sin cs ( ) cs cs + sin sin tg tg ctg ctg + tg( ) ctg ( ) + tg tg ctg ctg 5 Feladat Az előbbi összefüggések segítségével vezessünk le képletet a következő kifejezésekre (feltételezzük, hg minden eges összefüggésben lan tartmánban van amelben a kifejezések értelmezettek) a) sin ; b) cs ; c) tg ; d) ctg ; e) sin ; f) cs ; g) tg ; h) Megldás A tétel összefüggéseibe sin + sin cs + cs sin sin cs a) sin cs cs( + ) cs sin sin cs b) cs sin ; i) -et helettesítve az a), b), c) és d) pntknál kapjuk: (A másdik két eredmént a sin + cs összefüggés felhasználásával kaptuk) tg tg c) tg tg( + ) d) ctg( + ) ctg ctg ctg ( sin cs ) e) sin sin + sin cs + cssin cs + sin sin ( + ) ( + sin ) ( 4sin ) cs( + ) cs sin sin ( cs ) cs ( cs ( cs ) cs ( 4cs ) 4cs cs sin cs sin sin sin f) cs cs cs tg + tg tg + tg tg g) tg tg( + ) tg tg tg tg tg h) A b) pntban levezetett egenlőségek alapján sin sin 4sin sin ( sin cs ) tg tg tg + cs cs cs cs cs sin Innen cs és sin

7 9 A trignmetria elemei Az előbbiek alapján érvénes a következő tétel: 6 Tétel Tetszőleges 0, esetén sin sin cs, ha 0, ; cs cs sin sin cs, ha 0, ; tg tg, ha 0, ; tg ctg ctg, ha 0, ; ctg sin sin 4sin, ha 0, ; cs 4cs cs, ha 0, ; tg tg tg ha 0, ; tg + cs cs cs sin 7 Alkalmazásk Számítsuk ki a 5 -s szög és a 0 mértékű szög szögfüggvéneit Megldás sin5 cs5 tg5 0 cs0 6 sin ; cs0 + 6 cs ; 4 + sin5 ; cs cs45 sin 0 sin ; cs45 + cs 0 cs ;

8 A trignmetria elemei 9 sin 0 tg 0 cs 0 + Számítsuk ki a 75 -s szög szögfüggvéneit Megldás 75 sin( ) 6 + sin sin 45 cs0 + cs45 sin 0 + ; 4 cs75 cs ( ) cs45 cs0 sin 45 sin 0 sin tg75 + D cs75 6 M ο ο P Megjegzés Látható, hg sin 75 cs5 és cs 75 sin5 Az ABCD négzet belsejében vegük fel az M pntt úg, hg A mm BC mmcb 5 legen Biznítsuk be, hg az MAD egenlő ldalú VIII 5 ábra ( ) Biznítás A feltételek alapján az MBC egenlő szárú, tehát az MAD is az Ha N és P az M pnt BC illetve AD szakaszkra eső vetülete és l a négzet ldalának hssza, akkr MN tg5, tehát l l l MN ( ) és íg MP l l + Tehát NC MP l l tg( MDP ), innen m( M DA ) 60 Eszerint az MAD egenlő ldalú PD 4 Az ABC derékszögű hármszög AB és AC befgóján vegük fel az M és N pntkat Biznítsuk be, hg AB AM + AC AN BC MN (*) Biznítás A biznítandó egenlőtlenséget elsztjuk BC MN -nel és jelöljük az NMA és CBA C szögek mértékét -val és β -val AB AM AC AN N VIII 6 ábra Íg (*) + BC MN BC MN cs cs + sin β sin cs β Mivel A M β B β 6 4 ; cs ( 0, ) 0, esetén, következik, hg az egenlőtlenséget igazltuk 5 Határzzuk meg a 4 irracinális egenlet eg pzitív megldását Megldás Az cs jelöléssel a cs 4cs cs sin cs sin egenlethez jutunk Ennek eg megldása a egenlet megldása, amelre,, 0, 8 C N B

9 94 A trignmetria elemei + Tehát az eredeti egenlet eg megldása az cs cs Számítsuk ki a 8 -s, 7 -s és 54 -s szögek szögfüggvéneit VIII 7 ábra Megldás Tekintsük azt az ABC hármszöget, amelben A m ABC m ACB 7 (VIII7 ábra) Íg m BAC 6 és a C B D uganakkr ( ) CD ( D ( AB)) szögfelezője két egenlő szárú hármszögre bntja az 6 ( ) 7 ABC -et ( m D CA m DAC és m BDC m DBC ) BD BC Az ABC és CDB hasnlósága alapján BC AC AD BD AB AD AB AD C Tehát ha, akkr, AB BC BC AD BD BC AD (felhasználtuk, hg AD BC és AC AB ) BC AC AB 6 6 A fentiek alapján + 0, tehát BC 5 De cs 7 sin8 AB 4 és íg sin 7 + cs AC 5+ Hasnlóan sin54 cs6 AD és sin 6 cs54 4 A 7 Számítsuk ki az r és R sugarú külső érintő körök VIII 8 ábra B közös érintői által bezárt szög szinuszát az r és R függvénében Megldás A VIII8 ábra jelöléseit használjuk Ekkr R + r és C R r, tehát R C r C R r AB C ( R + r) ( R r) Rr Íg sin és R + r C cs 5 * Rr 4 R r Rr, tehát sin sin cs R + r R + r * Eukleidész Elemek című művének IV könvében a 0 tulajdnság

10 A trignmetria elemei 95 VIII4 Összegnek szrzattá és szrzatnak összeggé való alakítása * A és 4 tételek alapján ha a ( + ) sin cs cs sin és sin( ) sin cs cs sin sin +, egenlőségek megfelelő ldalait összeadjuk illetve kivnjuk egmásból, akkr a következő aznsságkhz jutunk: ( + ) + sin( ) sin cs és sin ( ) sin( ) cs sin sin Az + a és b jelöléssel a + b és a + b a b sin a + sinb sin cs és a b, tehát Hasnló összefüggéseket igazlhatunk a kszinuszkra is Ha a cs + (*) a + b a b sin a sinb cs sin ( + ) cs cs sin sin és cs ( ) cs cs + sin sin egenlőségek megfelelő ldalait összeadjuk, illetve kivnjuk egmásból, akkr a következő aznsságkhz jutunk: ( + ) + cs( ) cs cs és cs( + ) cs( ) sin sin cs Az + a és b jelölés segítségével a + b a b cs a + csb cs cs és a + b a b a + b a b cs a csb sin sin csb csa sin sin (**) alakba írhatjuk A (*) egenlőségek a szrzat összeggé alakítását, míg a (**) egenlőségek az összeg szrzattá alakítását mutatják VIII4 Megldtt feladatk Alakítsuk szrzattá a következő összeget: sin + sin + sin z sin + + z + Megldás sin + sin sin cs és + + z + z + + z z + + sin z sin( + + z) cs sin cs z + sin * Mindvégig feltételezzük, hg a megjelenő szögek a 0, intervallumban vannak

11 96 A trignmetria elemei Tehát sin + sin + sin z sin( + + z) + + sin cs cs z + + z + z z z + s sin sin sin 4sin sin sin Számítsuk ki az S cs a + cs( a + r) + cs( a + r) + + cs( a + nr) és S sin a + sin( a + r) + sin( a + r) + + sin( a + nr) összegeket r Megldás A ( k + ) r ( k ) r cs a + kr sin sin a + sin a + egenlőség alapján r sin S r r r r sin a + sin a + sin a + sin a + + 5r r n + r n r + sin a + sin a sin a + sin a + A sin( + kr) Tehát n + r r sin a + sin a sin ( n + ) ( k ) r ( k + ) r r nr cs a + r a sin cs a + cs a + egenlőség alapján r sin S r r r r cs a cs a + + cs a + cs a + + r 5r n r n + r + cs a + cs a cs a + cs a + r n + r n + r nr cs a cs a + sin sin a + ( n + ) r nr ( n + ) r nr sin cs a + sin sin a + S és S r r sin sin

12 A trignmetria elemei 97 VIII5 Trignmetrikus függvének Látható, hg az eddigi összefüggések mindegikénél külön figelmet igénelt, hg a szögek a 0, intervallumban legenek Ahhz, hg a sin, cs, tg és ctg kifejezéseket értelmezzük a 0, intervallumn kívüli értékekre is, jó vlna, ha az eddigi összefüggések érvénben maradnának * Éppen ezért vizsgáljuk meg, hg mi történne, ha az eddigi összefüggésekbe tetszőleges és értékeket helettesítenénk Világs, hg ha a sin ± sin cs ± cs sin, cs( ± ) cs cs sin sin és sin + cs egenlőségek érvénesek tetszőleges és értékek esetén, akkr ebből következik, hg a többi összefüggés is igaz (persze, ha a törtek nevezője nem nulla) Íg a sin sin cs cs sin, cs( ) cs + sin, 0 sin + sin 4 4 cs 4 + cs 4 sin 4 4 +, cs + cs cs sin sin egenlőségek alapján sin 0 0, cs 0, sin és cs 0 egenlőségeknek teljesülniük kellene Uganakkr sin + sin cs + cs sin cs és cs + cs cs sin is kellene teljesüljön Ez csak akkr lehetséges, ha bármel sin sin, esetén sin sin + cs sin sin( ), cs cs + sin cs cs( ) Hasnló módn az előbbi egenlőségek alapján, esetén: sin sin( ) és cs cs( ) ; * Ez az elgndlás a permanencia elv -ként ismeretes

13 98 A trignmetria elemei, sin Belátható, hg íg sin 0 és cs esetén: sin és cs( ) ( ) cs cs is szükséges és tvábbá ( ) sin sin + valamint cs + is kellene teljesüljön Tehát lépésenként (a matematikai indukció módszerével) értelmeznénk a sin és cs kifejezéseket tetszőleges esetén illetve a tg és ctg kifejezést minden lehetséges értékre Íg megkapnánk a valós számk halmazán értelmezett szinusz, kszinusz, tangens és ktangens függvént Erre a kiterjesztésre szükségünk van, hisz nagn egszerű gakrlati prblémák vezetnek bnlult függvéntani kérdésekhez a trignmetrikus függvénekkel kapcslatban Az előbb vázlt értelmezés eléggé nehézkes, ezért bemutatunk eg egszerűbb módt, amel teljesíti az összes eddig felsrlt igént Ehhez szükségünk lesz a trignmetrikus körre VIII5 A trignmetrikus kör A síkban felvesszük az krdinátarendszert 5 Értelmezés Azt az középpntú, egségsugarú kört, amelen értelmezünk eg pzitív iránt (az óramutatók járásával ellentétes), trignmetrikus körnek nevezzük VIII 9 ábra Minden valós számnak megfeleltethetünk eg pntt a trignmetrikus körön a következőképpen: I ha [ 0, ), akkr az számnak az a B pnt felel meg a körön, A amelre az AB körív mértéke (pzitív körüljárási iránban) II ha [ 0, ), akkr létezik és egértelműen meghatárztt a q és az r [ 0, ) valós szám, amelre q + r Ebben az esetben az -nak azt a B pntt feleltetjük meg, amelre az AB körív mértéke (pzitív iránban) r 5 Megjegzés Ez a megfeleltetés nem kölcsönösen egértelmű Bármel valós számnak pntsan eg pnt felel meg a körön, de a kör minden pntja végtelen sk valós számhz tartzik Például azt a B pntt, amelre az AB körív pzitív iránban mért mértéke, az összes + k alakú valós számhz rendeljük hzzá Ha a számegenest felcsavarnánk a kör kerületére úg, hg az rigó az A pntba kerüljön, akkr éppen ezt a megfeleltetést kapnánk 5 Gakrlat Ábrázld a trignmetrikus körön a következő valós számk képét: ,,,, 4,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,, Értelmezés Tekintsük az valós számnak megfelelő M pntt a trignmetrikus körön Az valós szám szinuszán az M pnt rdinátáját és a kszinuszán az M pnt abszcisszáját értjük

14 A trignmetria elemei Megjegzések Az értelmezés és a trignmetrikus kör illetve a valós számegenes M közti megfeleltetés alapján ha tetszőleges valós szám, akkr sin sin sin( k ) és cs cs( k ) A cs Ha M (, ) az első negedben van, akkr M MM cs M és sin MM, M M VIII 0 ábra tehát az eddig használt értelmezéshez jutunk Ha,, akkr az M (, ) pnt szerinti N szimmetrikusának krdinátái, és ( AN ) cs sin sin N( ) m, tehát cs és VIII ábra M M M, M(, ) sin N-, cs A cs( ) VIII ábra 4 Ha, AN, akkr az ( ) M, pntnak az szerinti szimmetrikusa N, és m Íg cs cs( ) és sin( ) sin 5 Végül ha,, akkr az M (, ) pnt szerinti szimmetrikusa N(, ) és m AN Íg cs és sin sin ( ) cs VIII ábra sin() cs N(-,- ) A cs() sin( ) N,- A cs cs VIII4 ábra M(, ) sin sin M(, ) Az előbbi összefüggések alapján tetszőleges [ 0, ] valós szám szinusza és kszinusza visszavezethető valamilen ( -tól függő) 0, -beli szög szinuszára vag kszinuszára Ezeket az összefüggéseket nevezzük az első negedre való visszavezetés képleteinek

15 cs00cs60 00 A trignmetria elemei VIII5 Megldtt gakrlatk Számítsuk ki a következő számk vag szögek szinuszát és kszinuszát: 5 a) 0 ; b) ; c) 0 4 ; d) ; e) 00 ; f) 6 Megldás a) , ( 90 0 ) sin0 sin sin 60, cs0 cs( 90 0 ) cs60 sin 0 M VIII 5 ábra cs0 0 sin N cs60 5 b) +, tehát 6 5 sin sin + sin sin és cs cs ( uganaz, mint a 50 -s szög) M cs50 VIII 6 ábra 60 sin 50 0 sin0 N cs0 c) , tehát sin 0 sin 0 és cs 0 cs0 4 4 d) +, tehát sin sin és 4 cs cs e) , tehát sin 00 sin 60 és cs00 cs f) ( ), tehát 6 sin + 6 sin és cs cs 4 4 Számítsuk ki a következő számk szinuszát és kszinuszát: 0 0 a) ; b) ; c) ; d) cs 0 M sin 0 VIII 7 ábra 0 sin 60 sin00 0 sin 0 0 VIII 8 ábra N cs0 60 N M

16 A trignmetria elemei 0 Megldás 0 VIII 9 ábra a) + + +, tehát sin sin és cs cs b) , tehát sin sin c) tehát cs cs d) , tehát sin 0 sin sin sin ( 570 ) sin50 és ( 570 ) VIII5 Gakrlatk és feladatk Számítsd ki az alábbi értékeket: a) sin + ; b) sin ;c) sin + ; d) 6 g) 00 sin ; h) Számítsd ki cst -t, ha 00 cs ; i) sin k, k a) sin t és t, ; 5 0 cs ; e) és cs cs és cs cs cs cs ; f) cs ; 6 6 ; j) cs( k + ), k ; k) ( k + ) Számítsd ki sin t -t, ha sin, k 5 7 a) cs t és t, 4 ; b) sin t és t, ; b) cs t és t, 5 ; c) sin t és t, c) cs t és t 9, A trignmetrikus kör segítségével határzd meg azkat az valós számkat, amelekre: a) sin 0 ; b) sin ; c) cs 0 ; d) cs ; e) sin ;

17 0 A trignmetria elemei f) cs ; g) sin cs ; h) sin + cs ; i) sin cs a) Biznítsd be, hg sin + sin + sin + sin + sin 0 * b)határzd meg azkat a k számkat, amelekre 4 k sin + sin + sin + sin + + sin 0 6 Biznítsd be, hg sin + cs, 7 Hasnlítsd össze a sin és sin kifejezéseket, ha, 0, és < Általánsítás 8 Hasnlítsd össze a cs és cs kifejezéseket, ha, 0, és < Általánsítás 9 Biznítsd be, hg sin + sin, 8 * 0 Biznítsd be, hg ha sin + cs, akkr sin n n + cs, n 8 8 * Biznítsd be, hg sin n < nsin, n és 0, esetén ldd meg az 5 sin egenletet a valós számk halmazában + Az E sin + cs kifejezés esetén keresd meg azt a legkisebb, nullától különböző pzitív T számt, amelre E + T E 4 Biznítsd be, hg ha a, b > 0 és 0,, akkr a bsin cs a b VIII5 Trignmetrikus szögek tangense és ktangense 5 Értelmezés Tetszőleges esetén értelmezzük a sin tg, ha cs 0 és a cs cs ctg, ha sin 0 sin kifejezéseket 5 Feladat Szerkeszd meg 0, esetén a tg és ctg értékeket a trignmetrikus kör segítségével

18 A trignmetria elemei 0 Megldás A C(0,) körön N ctg felvesszük az M (, ) pntt úg, P hg m ( AM ) legen, ahl B M M tg A ( 0, ) A szinusz és a kszinusz értelmezésében fnts vlt, hg a kör MM sugara A tg egenlőség M A M alapján nem látható a tg, de ha VIII 0 ábra lan törttel fejeznénk ki, amelnek a nevezője, akkr meglenne a kért ábrázlás Emiatt például jbb lenne, ha az A szakasz kerülne a nevezőbe Ezt úg érhetjük el, ha eg lan derékszögű hármszöget szerkesztünk, amelnek az egik hegesszöge uganaz az, a mellette fekvő befgó pedig A Ehhez az A -ban érintőt húzunk a körhöz és M -et AN meghsszabbítjuk amíg metszi ezt az érintőt az N pntban Ekkr tg AN A Hasnló módn a B ( 0, ) pntban húztt érintő és az M egenes P metszéspntjára igaz a ctg BP egenlőség M N tg ctg P VIII ábra értelmezhető Hasnlóan { k k } B M Belátható, hg 0, esetén is az N és P pntnak az AM és BP tengeleken számlt sin cs krdinátája éppen a illetve a cs sin érték (ha létezik) Ha k ± k, akkr cs 0 és M párhuzams az A -ban húztt érintővel, ezért ezekre az értékekre a tg nem esetén sin 0 és M párhuzams a B -ben húztt érintővel, tehát a ctg nem értelmezhető ezekre az értékekre Az eddigiek alapján az M -nek az A illetve B pntban húztt érintőkkel való metszéspntjainak rdinátája valamint abszcisszája éppen tg illetve ctg VIII54 A trignmetrikus függvének tulajdnságai Az értelmezés alapján ( ) ( ) sin + sin,, cs + cs, Ezek az összefüggések a szinusz és kszinusz függvének peridikusságát fejezik ki mindkét függvén periódusa

19 04 A trignmetria elemei Az előbbiek alapján ha az M pnt krdinátái (, ), akkr az szerinti N szimmetrikusának krdinátái (, ), VIII ábrán a sin :[ 0, ] grafikus képe látható Mivel a szinuszfüggvén páratlan aznnali, hg a sin :[, ] grafikus képe a VII4 ábrán látható ) VIII ábra M, sin tehát a szinusz és kszinusz értelmezése alapján cs ( ) cs és sin( ) sin A Íg a cs : függvén párs és a sin : függvén páratlan sin( ) sin N, ( -) A fentiek alapján elégséges a szinusz és a kszinusz függvének grafikus képét a [ 0, ] intervallumn megszerkeszteni, mert a [, 0] intervallumhz tartzó rész a szinusz esetén ennek szerinti szimmetrikusa, míg a kszinusz esetén szerinti szimmetrikusa A következő táblázat alapján a 0 / 6 / 4 / / / / 4 5 / 6 sin 0 / / / / / / 0 Ezek alapján sin ( + ) sin tg + tg, \ ( k+ ) k és cs( + ) cs cs ( + ) cs + ctg, \ { k k } sin( + ) sin ctg cs cs(-, tehát a tg : \ ( k + ) k R és ctg : \ { k k } függvének is peridikusak és eg periódusuk A trignmetrikus körről lelvasható, hg a tg és ctg függvéneknek már is periódusa, azaz ( + ) tg, tg ( ) ctg ctg \ k+ k és +, \ { k k } Sőt belátható az is, hg a sin és cs függvének legkisebb pzitív periódusa a és a tg illetve ctg függvének legkisebb pzitív periódusa a Ezeket a perióduskat nevezzük főperiódusknak A peridicitást is felhasználva a sin : függvén grafikus képét a VIII5 ábrán készítettük el

20 A trignmetria elemei VIII ábra VIII 4 ábra A cs sin + VIII 5 ábra egenlőség alapján a kszinusz függvén grafikus képe megkapható a szinusz függvén grafikus képéből, ha ezt balra tljuk el az vektr mentén (VIII6 ábra) 5 - -szel párhuzams 5 hsszúságú VIII 6 ábra A grafikus kép alapján látható (és biznítható a trignmetrikus kör segítségével), hg a sin : [, ] és cs : [, ] függvének nem injektívek, nem mntnk és szürjektívek Mindkét függvén értelmezési tartmána leszűkíthető úg, hg bijektív függvénekhez jussunk Íg például a sin :, [, ] és a cs : [0, ] [, ] leszűkítések bijektívek A szinusz és kszinusz függvének tulajdnságai alapján érvénesek a tangens és ktangens függvének következő tulajdnságai is: A tangens függvén

21 06 A trignmetria elemei a) páratlan: tg( ) tg, \ ( k+ ) k ; b) a, intervallumn növekvő; c) peridikus és főperiódusa A övetkező táblázatba fglalt értékeket ábrázltuk, majd összekötöttük eg görbe vnallal Íg a tg :, függvén grafikus képéhez jutttunk VIII 7 ábra (VIII7 ábra) tg tg : \ + k függvén grafikus képe a VIII8 ábrán látható ct g : \ k k A peridicitás alapján a ( k ) Hasnló meggndlásk alapján a { } függvén grafikus képe VIII9 ábrán látható 5 5 VIII 8 ábra VIII 9 ábra VIII55 Gakrlatk Ábrázljuk grafikusan a következő függvéneket: a) f :, f + sin ; b) f :, f cs ; c) f :, f sin ; d) f :, f cs ;

22 A trignmetria elemei 07 e) f :, sin ; f) f f : \ k+ k, f tg ; g) f :, f cs + ; h) f :, f sin( ) A grafikus képek segítségével ldjuk meg a következő egenlőtlenségeket: a) sin > cs ; b) cs > tg VIII56 A trignmetrikus összefüggések kiterjesztése tetszőleges szögekre A szögfüggvének eddigi tulajdnságai alapján vizsgáljuk meg, hg a sin( ) sin cs cs sin összefüggés igaz-e tetszőleges, esetén A peridicitás alapján feltételezhetjük, hg, [0, ] A szinusz függvén páratlansága miatt feltételezhetjük, hg > (Ellenkező esetben a sin ( ) sin( ) ( sin cs cs sin ) sin cs cs sin egenlőségek alapján jutnánk a heles összefüggéshez) A következő esetek vizsgálata szükséges:, és 0, ;, és 0, ;, és 0, ; 4, és, ; 5, és, ; 6, és, ; 7, és, ; 8, és, ; 9, és, Mivel,, következik, hg 0, valamint cs cs( ), tehát sin cs cs sin sin cs + cs sin és tudjuk, hg sin sin( ) sin( + ) sin( ( ) ) sin( ) (A, 0, értékekre alkalmaztuk az összeg szinuszára vnatkzó képletet)

23 08 A trignmetria elemei Mivel,, következik, hg 0, cs cs, tehát és tudjuk, hg sin( ) sin, sin cs cs sin sin( ) cs + cs( ) sin cs( ) cs sin( ) sin( + ) sin( ( ) ) sin( sin ) Hasnlóan igazlható a többi esetben is a kívánt egenlőség A tárgalandó esetek nag száma miatt eg rövidebb utat is vázlunk P N Legen 0 < < β < és M ( cs, sin ) illetve N ( cs β, sin β ) két pnt a trignmetrikus körön (tulajdnképpen az és β valós A számknak megfelelő pntk) Mérjük fel az m( A P) β szöget pzitív trignmetrikus iránban, ekkr belátható, hg a P pnt krdinátái ( cs ( β ), sin( β )) Az MN és AP M VIII 0 ábra szögek kngruenciája alapján (mindkettő mértéke β ) [AP] [MN], mint kngruens körívekhez tartzó húrk De az analitikus gemetriából tudjuk, hg ( ) + ( ) ( cs cs β ) + ( sin sin β ) MN M N M N cs cs cs β + cs β + sin sin sin β + sin β ( cs cs β + sin sin β ) és AP ( cs( β ) ) + sin ( β ) ( β ) cs( β ) + + sin ( β ) cs( β ) β β cs Tehát, mivel a fenti két menniség egenlő, aznnal következik, hg cs β cs cs β + sin sin () β A cs függvén párssága alapján β esetén is igaz egenlőséghez jutunk és a peridicitás alapján következik, hg () igaz,, esetén helett -t helettesítve, kapjuk: ( β + ) cs β cs( ) sin( ) sin β cs cs β sin sin β cs + Ez utóbbi egenlőségbe β helett β -t helettesítve a cs β + cs β cs sin β sin sin β cs cs β sin egenlőséghez jutunk, de cs β + cs ( β ) sin( β sin ( β ) sin β cs cs β sin ), tehát

24 A trignmetria elemei 09 Ha ebben az egenlőségben helett -t helettesítünk, akkr a sin ( β + ) sin β cs + cs β sin egenlőséghez jutunk Íg az eddig bevezetett trignmetrikus összefüggések igazak tetszőleges valós számkra is, amenniben a bennük szereplő kifejezések értelmezettek 56 Feladat Fejezzük ki a sin, cs és tg kifejezéseket a tg segítségével (természetesen, ahl létezik) Megldás A feladat megldása srán használni fgjuk a t tg jelölést A tg tg tg egenlőség alapján t tg A tg tg t egenlőség alapján sin sin cs sin cs sin cs cs tg t sin sin cs sin + cs tg + t sin + cs + cs t sin sin A tg egenlőségből következik, hg cs t t + cs tg t + t t (Ez utóbbi levezetés csak akkr érvénes, ha tg 0, de können ellenőrizhető, hg az egenlőség igaz bármilen esetén, ha a Érvénesek tehát az alábbi egenlőségek: tg értelmezett) ahl sin tg t és cs 0 t + t t + t t, t cs tg

25 0 A trignmetria elemei VIII56 Megldtt gakrlatk Számítsuk ki tg, sin és cs értékét, ha 4cs + sin 5 0 Megldás Az előbbi összefüggések alapján a t t egenértékű a t + t 9t 6t + 0 tg t jelöléssel a feladatbeli egenlőség egenlőséggel, amel a 4( ) + 6t 5( + t ) 0 egenlethez vezet, ennek pedig az egetlen megldása a 4 sin és cs 5 5 Számítsuk ki a sin ( + ) értékét, ha tg 4 és tg 8 Megldás Az előbbi egenlőségek alapján sin, 7 cs 4 5, tehát ( ) VIII56 Gakrlatk t t, tehát 5 cs, sin + sin cs + cs sin Számítsd ki: a) sin 4 cs6 + cs4 sin6 ; b) cs5 cs9 sin 5 sin 9 ; tg + tg c) ; d) tg tg sin9 cs9 b Biznítsd be, hg acsϕ + bsinϕ a + b sin( ϕ +ϕ 0 ), ahl tgϕ 0 a Számítsd ki a cs ( a b) értékét, ha sin a + sin b és cs a + csb 4 Számítsd ki a a ± b, a ± b, tg a ± b kifejezések értékét, ha sin cs tg sin és 5 a) sin a, sin b és a, b 0, ; b) sin a, cs b és a, b, ; 5 4 c) csa, csb és a, b, ; d) cs a, sin b, a, b, Hzd egszerűbb alakra a következő kifejezéseket: sin( + ) + sin( ) cs( + ) + sin sin a) ; b) ; sin + sin cs sin sin ( ) ( ctg a + ctg b) ( ctg a + ctgb) tg a + tg b c) tg a + tgb,

26 A trignmetria elemei 6 Számítsd ki az E sin cs + sin + 4cs kifejezés értékét, ha, 7 Fejezd ki cs + cs a és sin + sin b függvénében a következő kifejezéseket: a) cs ( + ) ; b) cs ( ) ; c) sin ( + ) ; d) ( ) 8 Biznítsd be, hg ha sin + sin sin( + ) és k k akkr tg tg sin sin és 5 + egetlen esetén sem, 9 Számítsd ki az E acs + bsin cs + csin kifejezés helettesítési értékét, ha b tg és a c a c 0 Biznítsd be a következő egenlőségeket: cs5 + sin 5 sin 78 + cs78 a) ; b) cs5 sin 5 cs sin ; c) sin 0 cs0 cs40 ; d) sin 0 sin 40 sin 60 sin 80 ; 8 0 sin 0 cs5 + cs0 sin 5 cs56 sin46 + sin 6 sin 04 e) ; f) cs5 cs0 sin 5 sin0 cs cs8 cs0 sin5 Számítsd ki a következő kifejezések értékét: a) cs 0 cs40 cs60 cs80 ; b) sin 6 sin sin8 cs4 ; c) tg 0 tg 40 tg 60 tg80 ; d) tg tg tg tg89 ; e) sin + sin + sin + sin ; f) sin + sin + sin + sin sin a + sin a + sin5a + sin 7a + sin 9a Írd egszerűbb alakba az E kifejezést csa + csa + cs5a + cs7a + cs9a Biznítsd be a következő aznsságkat: sinsin β γ + sin βsin γ + sinγ sin β 0,, β, γ ; a) b) sin( β + γ ) sin cs β csγ + cs sin β csγ + cs sin + β sin β + γ sinsinγ + sin βsin + β + γ, β, γ ; c) + cs β sinγ sin sin β sin γ,, β, γ 4 Vezess le eg képletet cs( + β + γ ) -ra 5 Biznítsd be, hg ha + + z, akkr: z z a) sin + sin + sin z 4cs cs cs ; b) cs + cs + csz + 4sin sin sin ;

27 A trignmetria elemei c) sin + sin + sin z 4sin sin sin z ; d) cs + cs + csz 4cs cs cs z ; e) tg + tg + tg z tg tg tg z, ha,, z ( k + ) k ; z z f) ctg + ctg + ctg ctg ctg ctg, ha,, z { k k } ; z z g) tg tg + tg tg + tg tg, ha,, z {( k + ) k } ; h) ctg ctg + ctg ctg z + ctg z ctg,, z k k, ha { } sin + sin + 6 Biznítsd be, hg ha, [0, ], akkr sin 7 Biznítsd be, hg bármel, esetén a) cs cs + sin sin ; cs ; sin + + cs sin + cs sin + cs sin + sin 4 4 ; b) ( ) + cs ( + ) [ + cscs] c) ( ) ( ) ( )( ) + d) ( k ) ( ) k k + sin + + cs ; e) cs + ( k + ) ( ) sin 8 Biznítsd be, hg,, z esetén sin cs + sin cs z + sin z cs 9 Biznítsd be, hg tetszőleges ABC hármszögben érvénesek az alábbi egenlőtlenségek ( A, B és C a hármszög szögeinek mértéket jelöli): A B C a) cs A + cs B + csc ; b) sin sin sin ; 8 c) cs A cs BcsC ; d) sin/ A + sin B + sin C ; 8 A B C A B C e) cs cs cs ; f) tg tg tg ; A B C g) tg + tg + tg 5 0 Biznítsd be, hg sin sin sin Biznítsd be, hg bármel, esetén cs + cs + cs( + ) 4

28 A trignmetria elemei sin cs Biznítsd be, hg az E +, k + kifejezés értéke nem függ -től tg ctg 4 Számítsd ki a következő összegeket: n n n a) tg + tg + tg + + tg ; b) sin + sin + sin + + sin ; n sin sin sin c) ; d) ; n sin a sin 4a sin a cs 0cs cscs cs n cs e) cs + cs cs + cs5 cs + cs( n + ) 4 Biznítsd be, hg a) cs + cs + cs + cs + cs ; b) cs + cs + cs cs + cs 4 6 n 5 Számítsd ki a cs + cs + cs + + cs összeget n + n + n + n + 6 Számítsd ki a következő szrzatkat: n a) cs cscs4cs ; b) ; n cs cs cs4 cs n c) cs cs cs cs n + n + n + n + n