18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK
|
|
- Katalin Hegedüsné
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK Kertesi Gábor Világi Balázs Varian 21. fejezete átdolgozva
2 18.1 Bevezető A vállalati technológiák sajátosságainak vizsgálatát eg igen fontos elemzési eszköz, a költséggörbe segítségével végezzük el. Mint az előző előadás végén említettük, a költséggörbe nem más, mint eg egszerűsített költségfüggvén, melben a w 1 és w 2 inputárakat rögzítettük, és csak az outputot (-t) változtatjuk. Vagis c() költséggörbe nem más, mint c () = c ( w ~, ~ 1 = w1 w2 = w2 ). Más szóval: a költség csak a kibocsátási szint függvéne Állandó költségek Az eddigiekben azzal a ki nem mondott feltevéssel éltünk, hog a c( w1, w2, ) költségfüggvénhez tartozó c() költséggörbe c () = c ( w ~, ~ 1 = w1 w2 = w2 ) az origóból indul, azaz zérus értékű kibocsátáshoz zérus költség tartozik fólia A valóságban azonban a legtöbb technológiánál ez nincs íg. Eg heli vezetékes telefonszolgáltatónak minden eges beszélgetés csak minimális pótlólagos költséggel jár: némi elektromos áramot igénel, meg néhán karbantartó készenlétben tartását, akik elhárítják az esetleges üzemzavarokat. Viszont mindaddig be sem indulhat a szolgáltatás, amíg fel nem épül eg megfelelő telefonközpont, és ki nem húzzák a vezetékeket. Mindezt már azelőtt ki kell építeni a szolgáltatónak, hog akár csak egetlen másodpercni beszélgetés lezajlana. Ha a beszélgetések összidejét méri az, akkor már = 0 esetén is jelentős költségek terhelik a szolgáltatást nújtó vállalatot. Eg városi metróvonal beindításához költséges alagút fúrása szükséges még jóval a közlekedési szolgáltatás beindítása előtt. De még a legegszerűbb kisvállalkozások beindítása esetén sem lehet elkerülni bizonos előzetes ráfordításokat. Ha mást nem, akkor a cégbejegzés költségeit. Összefoglalva: a legtöbb termelési technológia működtetésének szükséges feltétele a termelés volumenétől, azaz az output nagságától független ráfordítások megléte. Ezeket a ráfordításokat állandó vag fix költségnek fogjuk nevezni. Algebrailag ezt úg fejezzük ki, hog a költségfüggvént két komponensre bontjuk: 18.2 fólia Az output alakulásától független részt állandó ( F ( w, w 1 2) ), az output alakulásától függő részt pedig a korábbi elnevezésekkel összhangban változó költségnek ( c v ( w1, w2, ) ) fogjuk nevezni. A két komponens összegére a félreértések elkerülése érdekében mint teljes költségre fogunk hivatkozni. A változó költség szimbólumához tartozó kis v index különbözteti meg őt a teljes költségtől. Ha az 2
3 inputárakat rögzítettnek tekintjük, akkor a szokásos módon ábrázolhatjuk a költséggörbéket: a változóköltség-görbét és a teljesköltséggörbét fólia Rögzített inputárak esetén az állandó költség F konstanssá egszerűsödik. A teljesköltséggörbe ábrája anniban tér el az eddig megszokottól, hog a költséggörbe nem az origóból indul, hanem F egséggel el van tolva a függőleges tengel mentén. Az állandó költségek megléte nagban befolásolja eg adott technológia hozadéki viszonait. Tegük fel, hog a technológiának a változó költségekkel összefüggő része állandó mérethozadékú. Ilen például a telefon- vag a metrószolgáltatás. Elég tág határok között kétszer anni beszélgetés vag kétszer anni metrókocsi közlekedtetése kétszer anni változó költséggel jár. Mint az előző órán láttuk, ilen esetben a változóköltség-görbét eg origóból induló félegenes reprezentálja, azaz: c ( ) = a. Ábrázoljuk a teljesköltséggörbét, azaz toljuk el fix költség mértékével a függőleges tengel mentén a félegenest fólia Ha a teljesköltséggörbe tetszőleges pontját összekötjük az origóval, akkor láthatjuk, hog az átlagköltség mindvégig csökkenő, vagis a technológia növekvő hozadékú, jóllehet a változó költséghez tartozó résztechnológia állandó hozadékú volt. Tehát, ha eg állandó mérethozadékú technológiát fix költséggel párosítunk, akkor növekvő mérethozadékhoz jutunk. Az állandó költség megléte még a csökkenő mérethozadékú technológiát is képes, bizonos határok között, növekvő hozadékúvá transzformálni. Tekintsük a következő ábrát, ahol a változóköltség-görbéhez tartozó technológia csökkenő hozadékú. Ehhez társul F fix költség fólia A teljesköltséggörbe alapján látható, hog például az 1 pont körnezetében a fix költség hatására a technológia növekvő hozadékúvá válik: az összköltség az output növekedésénél lassabb ütemben nő, s íg az átlagköltség csökken. Az 2 pontban azonban, ahol az állandó költség hatása már jóval kevésbé érezhető, a technológia továbbra is csökkenő hozadékú marad: az output növekedését már eg azt meghaladó mértékű költségnövekedés kíséri: az átlagköltség nő. Későbbi tanulmánaink során még találkozni fogunk a természetes monopóliumok, illetve a természetes monopóliumok szabálozásának problémájával. Az ott felmerülő problémák eg része éppen a magas állandó költségekre és a velük összefüggő növekvő hozadékokra vezethető vissza. Az állandó költségeket tovább bonthatjuk visszatérülő (recoverable costs) és vissza nem térülő (sunk costs) költségekre. A visszatérülő költségek az állandó költségek azon részei, ameleket a vállalkozás leállítása esetén vissza tudunk nerni. A vissza nem térülő költségeket a vállalkozás beszüntetése után nem áll módunkban visszanerni. Az állandó költségekhez hasonlóak a majdnem állandó 3
4 (quasi-fixed costs) költségek. Ezeknek a nagsága is független a kibocsátás nagságától, de csak pozitív kibocsátás mellett merülnek fel. Hosszú távon a hosszú táv definíciójából adódóan nincsenek állandó költségek. Ennek ellenére a majdnem állandó költségek hosszú távon is felmerülhetnek. Ha eg meghatározott összeget ki kell fizetni, mielőtt bármi kibocsátás történt volna, akkor jelen vannak a majdnem állandó költségek A költséggörbék és tulajdonságaik A továbbiakban az inputárakat rögzítettnek tekintjük, és csak az output () változásának hatásait vizsgáljuk a költségekre. A költségfüggvén helett a költséggörbére (és annak geometriai tulajdonságaira) összpontosítunk. Az eddigiek során már találkoztunk a határ-, illetve az átlagköltséggörbék fogalmával. Most e görbék tulajdonságait vesszük alaposabban szemügre. A költséggörbék diszkussziója során nag figelmet fordítunk az állandó költségek szerepére. Lássuk mindenekelőtt a mikroelméletben leginkább használatos költséggörbék definícióját! 18.6 fólia A határköltséggörbét egaránt megkaphatjuk a teljesköltséggörbéből vag a változóköltség-görbéből, hiszen ez utóbbi az előbbitől éppen csak eg konstansban különbözik. A konstans deriváltja pedig mint ismeretes nullával egenlő. A következőekben összefoglaljuk e költséggörbék fontosabb matematikai tulajdonságait: 18.7 fólia Fogalmazzuk meg szóban is e tulajdonságokat! 1. A teljesköltséggörbe a kibocsátás teljes tartománában a változóköltség-görbe fölött helezkedik el. Analóg összefüggés jellemzi az átlagköltséggörbe és az átlagos változó-költséggörbe helzetét: az átlagköltséggörbe a kibocsátás teljes tartománában az átlagos változóköltség-görbe fölött helezkedik el. 2a. Az átlagos változóköltség-görbe, csökkenő szakaszában, a határköltséggörbe alatt, növekvő szakaszában pedig a határköltséggörbe felett helezkedik el. A határköltséggörbe az átlagos változóköltség-görbe szélsőértékénél (annak minimumpontjában) metszi el azt. 2b. Hasonló összefüggések jellemzik az átlag- és a határköltséggörbe helzetét. Az átlagköltséggörbe, csökkenő szakaszában, a határköltséggörbe alatt, növekvő szakaszában pedig a határköltséggörbe felett helezkedik el. A határköltséggörbe az átlagköltséggörbe szélsőértékénél (annak minimumpontjában) metszi el azt. 3a. Az átlagos állandó költség értéke zérus kibocsátásnál a végtelen felé, a végtelennél pedig zérus felé tart. 3b. Zérus kibocsátásnál az átlagos változóköltség értéke megegezik a határköltség értékével. 4
5 Az 1. tulajdonság bizonítása triviális, hiszen a teljesköltséggörbe és változóköltség-görbe közötti különbség, definíció szerint, éppen az állandó költség. A 2a. tulajdonság az analízis segítségével können belátható: ha AVC() csökkenő, akkor akkor a deriváltja kisebb vag egenlő nullával, vagis formálisan: 18.8 fólia Természetesen az ellenkező iránú egenlőtlenséget hasonló módon lehet bizonítani, és a szélsőérték esetén fennálló egenlőséget is fólia A 2b. tulajdonság uganezeket a tulajdonságokat fogalmazza meg az átlagköltséggörbére vonatkozóan. A bizonítás is hasonló, azzal a különbséggel, hog a változóköltség-görbe (c v ()) helére a teljesköltséggörbét (c()-t) írjuk, valamint felhasználjuk azt, hog c() deriváltja éppen MC()-vel egenlő fólia Az átlagos állandóköltség-görbe tualjdonságainak (3a.) bizonítása megint csak nagon egszerű: fólia A 3b. tulajdonságot, mel kimondja, hog az átlagos változó- költség-görbe és a határköltséggörbe zérus kibocsátás esetén uganazt az értéket veszi fel, a l Hôspital -szabál segítségével láthatjuk be. A következő ábrán összefoglaljuk, hog eg tipikus technológia esetén a fentebb ismertetett tulajdonságok milen költséggörbéket eredméneznek fólia Az 1. tulajdonság következméne, hog az átlagköltség-görbe az átlagos változóköltség-görbe felett található. A 3a. tulajdonság következméneként simul hozzá az AC görbe az AVC-hez, ahog a végtelenbe tart. A 3a. tulajdonság következméne az is, hog az AC görbe a végtelenbe tart, ha a nullához közelít. Az, hog az MC és az AVC görbe az = 0 pontban uganott metszi a függőleges tengelt, az a 3b. tulajdonságból adódik. Végül az, hog az MC görbe a minimumértékénél metszi az AVC, illetve az AC görbét, az a 2a. és a 2b. tulajdonságok következméne. Az átlagköltséggörbék alakja szoros kapcsolatban áll a technológia hozadéki viszonaival. Mint tudjuk eg mindenütt állandó mérethozadékú technológiát a c ( ) = a alakú függvén reprezentálja. Ebből adódik, hog a hozzá tartozó átlagköltségfüggvén konstans: AC ( ) = c( ) / = a. A következő ábra eg 5
6 állandó, eg növekvő és eg csökkenő mérethozadékú technológiához tartozó költséggörbét és átlagköltséggörbét mutat, illetve eg olan esetet, ahol technológia először növekvő, majd csökkenő hozadékú fólia Az ábrán látható, hog az először növekvő, majd csökkenő mérethozadékú technológia következméne az U-alakú átlagköltséggörbe fólia Az átlagköltséggörbék segítségével ismét szemléltethetjük azt az összefüggést, hog az állandó költség jelenléte kezdetben növekvő hozadékhoz vezet. Képzeljük el, hog a változó-költség-görbénk ( c v () ) csökkenő hozadékú résztechnológiát képvisel. Az AVC görbe ilenkor monoton növekvő. Ha állandó költségek is vannak, akkor az AC görbe az AFC és AVC görbe összege lesz. Minthog azonban a 3a. tulajdonság következtében az AFC értéke a végtelenben elhanagolható, nullában viszont végtelen nag, az AC görbe U-alakú lesz, bár az AVC nem volt az, amint azt a ábra szemlélteti. Ennek a résznek a lezárásaként tekintsük a költséggörbéknek eg újabb, az előbbieknél talán kevésbé fontos, de hasznos tulajdonságát! fólia Ez az állítás nem mond egebet, mint, hog a változóköltség-görbe értéke ~ -ban megegezik a határköltséggörbe alatti területtel a [ 0, ~ ] intervallum fölött Rövid és hosszú távú költségek A termelési folamat során többnire nem azonos nehézség árán lehet változtatni a különböző termelési ténezők felhasználását. A piac igéneinek megfelelően elég szabadon változtatható bizonos forgóeszközök vag a felhasznált üzemanag mennisége. A munkafelhasználás mértéke már nehezebben változtatható, hiszen időbe telik, míg az adott feladathoz megtalálják a megfelelő embert, illetve amíg az újonnan felvett embert betanítják a megfelelő feladatra. Az elbocsátásokat pedig a különböző munkajogi szabálok teszik nehézkessé. 1 A munkaerőnél is nehezebben változtatható a speciális, nag értékű gépek és berendezések felhasználása. E berendezések beszerzését gakorta hosszas elemzés, esetleg versentárgalás előzi meg. Még ennél is hosszabb időt vesz igénbe a gárépületek kiépítése, átalakítása vag bővítése. 1 Természetesen nag különbségek vannak a különböző minőségű munkafajták között. Kvalifikálatlan mezőgazdasági idénmunkára nem nehéz megfelelő embert találni, és mivel az ilen munkaerő gakran feketén van foglalkoztatva, megszabadulni sem nehéz tőle. Eg megfelelő vállalatvezetőt találni viszont nem egszerű feladat, tőle megszabadulni pedig szintén nehézkes, ha másért nem, a végkielégítések miatt. 6
7 Közgazdasági szempontból a különböző időtávok megkülönböztetése azon múlik, hog az inputténezők közül melek milen időtáv alatt változtathatók. Nagon rövid távon elképzelhető, hog minden ténező mennisége rögzített, vag csak nagon kevés ténező van, ami változtatható. Nagon hosszú távon valamenni ténező felhasználása változtatható: évek alatt a legnagobb gárat is fel lehet építeni. Hog adott esetben pontosan mi számít rövid vag hosszú, esetleg középtávnak, az minden esetben a konkrét technológiától függ, és a vizsgálódás célja szabja meg, hog milen időtávokat érdemes megkülönböztetnünk. Mivel mi általában kétféle inputot különböztetünk meg, ezért két időtávot, eg rövid és eg hosszú távot fogunk megkülönböztetni. Rövid távon azt értjük, amikor az egik input mennisége rögzített, a másiké szabadon változtatható, hosszú távon pedig azt, hog mindkét input mennisége szabadon változtatható. Hosszú távon emellett még azt is feltehetjük, hog az állandó költségek sem rögzítettek. Hosszú távon mindig fennáll a vállalat számára a lehetőség a piac elhagására, tevékenségének felszámolására. Ilenkor állandó költségek sincsenek. Vizsgáljuk meg, hog miként viszonulnak egmáshoz a rövid és hosszú távú költséggörbék! A hosszú távú költséggörbét a következő már jól ismert feladat definiálja: fólia * * Mivel x 1 ( ) és x 2( ) az optimális költségminimalizáló megoldások, természetes, * hog ha x2( ) -t tetszőleges x 2 -re cseréljük, akkor az outputhoz tartozó minimális költségnél (vagis c()-nál) nagobb költséget kapunk. Az is * nilvánvaló, hog ha x 2 éppen megegezik x2( ) -nal, akkor az eredeti c() minimális költséget kapjuk. Amenniben definiálunk eg olan rövid távú költségfüggvént, amiben x ~ 2 = x 2 rögzített, akkor az előbbiekből szükségszerűen adódik, hog: c( ) c (, ~ s x2). Másrészt, ha létezik eg olan * kibocsátási szint, * * ami mellett x 2 ( ) = x2 éppen optimális megoldása lenne a hosszú távú feladatnak * * * is, akkor c( ) = cs(, x2). Mindez azzal a következménnel jár, hog a rövid távú költséggörbe a hosszú távú görbe felett húzódik, és az * pontban érinti azt. Ez természetesen igaz a belőlük származtatott átlagköltséggörbékre is fólia Az előző ábrán jól látható, hog a hosszú távú átlagköltséggörbe alsó burkológörbéje a különböző x 2 szintekhez tartozó rövid távú átlagköltséggörbéknek. A rövid távú átlagköltséggörbe pontosan úg viszonul a rövid távú határköltséggörbéhez, mint a hosszú távú átlagköltséggörbe a hosszú távú határköltséggörbéhez. Az eddig tanultak alapján mindkét esetben elmondhatjuk: a határköltséggörbék a megfelelő átlagköltséggörbék csökkenő szakaszai alatt, illetve növekvő szakaszai felett helezkednek el, továbbá az átlagköltséggörbéket azok minimumpontjaiban metszik el. A következő órán a költséggörbék itt megismert tulajdonságait felhasználjuk a vállalati kínálati görbe meghatározásához. 7
8 18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK MELLÉKLET Kertesi Gábor Világi Balázs 8
9 18.1 Origóból induló költséggörbe 9
10 18.2 Költségfüggvén állandó költséggel ( w,w,) = F( w,w ) c ( w,w,) c v
11 18.3 Költségfüggvén állandó költséggel 11
12 18.4 Állandó mérethozadékú változóköltség-görbe 12
13 18.5 Csökkenő mérethozadékú változóköltség-görbe 13
14 18.6 A költséggörbék definíciója Költséggörbe: c() = F + c () Átlagos változóköltség-görbe: Átlagos állandóköltség-görbe: AVC() = AFC () = c v F v () c() Átlagköltséggörbe: AC () = = AFC() + AVC() Határköltséggörbe: MC() = dc() d dcv() = d 14
15 18.7 A költséggörbék fontosabb tulajdonságai 1 c() c () és AC() AVC() v 2a Ha AVC () csökkenő AVC() MC() Ha AVC () növekvő AVC() MC() Ha AVC () szélsőértéket vesz fel AVC () = MC() 2b Ha AC () csökkenő AC() MC() Ha AC () növekvő AC() MC() Ha AC () szélsőértéket vesz fel AC () = MC() 3a AFC (0) = és AFC ( ) = 0 3b AVC (0) = MC(0) 15
16 18.8 A 2a tulajdonság bizonítása Definíció szerint: AVC() cv() = (1) Differenciáljuk (1)-et! Ekkor: davc() d cv() c v() cv() = = (2) 2 Ha föltesszük, hog AVC() csökkenő, vagis ha: davc() d akkor (2)-t (3)-ba helettesítve, ezt kapjuk: 0, (3) c v () c 2 v () 0 (4) Szorozzuk végig (4)-et 2 -tel, és rendezzük át! c () c v v () = AVC() (4 ) 16
17 18.8 A 2a tulajdonság bizonítása (foltatás) Definíció szerint igaz, hog: (5)-öt (4 )-be helettesítve: c v () = c () = MC() (5) c v () c () (4 ) Vagis: AVC() MC() (6) Hasonló módon igazolható az is, ha (3): davc() d davc() d 0 AVC() MC() = 0 AVC () = MC() 17
18 18.9 A 2b tulajdonság bizonítása Definíció szerint: c() AC () = (1) Differenciáljuk (1)-et! Ekkor: dac() d c() c () c() = = (2) 2 Ha föltesszük, hog AC() csökkenő, vagis ha: dac() d akkor (2)-t (3)-ba helettesítve ezt kapjuk: 0 (3) c() MC () = c () = AC() (4) Analóg módon igazolható a 2b tulajdonság többi eleme is. 18
19 18.10 A 3a tulajdonság bizonítása AFC(0) = lim 0 F = AFC( ) = lim F = 0 19
20 18.11 A 3b tulajdonság bizonítása c v () AVC(0) = lim AVC() = lim. 0 0 Mivel a számláló és a nevező határértéke is zérus, a l Hospital-szabált alkalmazzuk: lim 0 c v () = c v () lim 0 () = lim 0 MC() 1 = MC(0) Vagis: AVC (0) = MC(0) 20
21 18.12 Eg tipikus technológia költséggörbéi és a tulajdonságok, melekből a költséggörbék alakja következik 21
22 18.13/1 A különböző mérethozadékú technológiákhoz tartozó költséggörbék 22
23 18.13/2 A különböző mérethozadékú technológiákhoz tartozó költséggörbék 23
24 18.14 Csökkenő hozadékú változóköltség-görbék 24
25 18.15 A változó költség és a határköltség kapcsolata 25
26 18.16 A hosszú és rövid távú költséggörbék kapcsolata A hosszú távú költséggörbe definíciója (rögzített w 1, w 2 mellett): { w x + w x, kf :f(x,x ) } c() = min =. (1) A feladat megoldása: x 1 () és x 2 (). (2) A költséggörbe definíciójából következik, hog tetszőleges x -vel: 2 x2 2 1x1() w 2x2 c () w + Ha = x (), akkor (3) egenlőségre teljesül.. (3) A rövid távú költséggörbe definíciója (rögzített w 1, w 2 mellett): { w x + w x~, kf :f(x, x~ ) } cs (, x~ 2 ) = min =, (4) ahol x~ 2 eg tetszőleges rögzített érték. 26
27 18.16 A hosszú és rövid távú költséggörbék kapcsolata (foltatás) (3)-ból és (4)-ből egüttesen következik, hog: c s 2 () c (, x~ ). (5) = 2 x 2 Ha létezik olan kibocsátás, amel mellett x ( ) épp megoldása lenne a hosszú távú feladatnak, akkor: ( ) = c (, x ). (6) c s 2 Ebből következik az is, hog: LAC() SAC(, x~ 2 ), (7) LAC = Long run Average Cost (AC()) SAC = Short run Average Cost AC (, x~ ) ( s 2 27
28 18.17 Rövid és hosszú távú átlag- és határköltséggörbék 28
Líneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük.
Líneáris függvének Definíció: Az f() = m + b alakú függvéneket, ahol m, m, b R elsfokú függvéneknek nevezzük. Az f() = m + b képletben - a b megmutatja, hog a függvén hol metszi az tengelt, majd - az m
RészletesebbenAnalízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3.
Analízis I. jegzet László István 2008. november 3. Tartalomjegzék 1. Halmazok 5 1.1. Halmaz fogalma............................ 5 1.2. Halmaz megadása........................... 6 1.2.1. Eplicit megadás.......................
Részletesebben10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET
.. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.
RészletesebbenKÁOSZ EGY TÁLBAN Tóthné Juhász Tünde Karinthy Frigyes Gimnázium (Budapest) Gócz Éva Lónyai Utcai Református Gimnázium
válaszolására iránuló, még folamatban lévô (a dekoherencia és a hullámcsomag kollapszusa tárgkörökbe esô) elméleti próbálkozások ismertetésétôl. Ehelett inkább a kísérletek elôfeltételét képezô kvantumhûtés
RészletesebbenTeljes függvényvizsgálat példafeladatok
Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss
RészletesebbenZáró monitoring jelentés
Záró monitoring jelentés (megfeleltetés és szinopszis) 13. számú fejlesztési t ÁROP-3.A.2-2013-2013-0017 projekthez Verziószám: 3.0 verzió Budapest, 2014. október 31. 1 Tartalom 1. Vezetői összefoglaló...
RészletesebbenTöbbváltozós függvények Riemann integrálja
Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Az integrál konstrukciója tetszőleges változószám esetén Deiníció: n dimenziós
RészletesebbenLepárlás. 8. Lepárlás
eárlás 8. eárlás csefolós elegek szétválasztására leggakrabban használt művelet a leárlás. Míg az egszeri leárlás desztilláció néven is ismerjük az ismételt leárlás vag ismételt desztillációt rektifikálásnak
Részletesebben5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE. 5.1. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája
TARTALOM 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE... 7 5.. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája... 7 5.. Koordináta transzformációk... 5... Forgatás... 5... R-P-Y szögek... 5... Homogén transzformációk...
RészletesebbenMechanika II. Szilárdságtan
echanika II. Szilárdságtan Zalka Károl / q / B Budapest, 05 Zalka Károl, 05, e-kiadás Szabad ezt a kiadvánt sokszorosítani, terjeszteni és elektronikus vag bármel formában tárolni. Tilos viszont a kiadvánt
RészletesebbenNéhány érdekes függvényről és alkalmazásukról
Néhán érdekes függvénről és alkalmazásukról Bevezetés Meglehet, a középiskola óta nem kedveltük az abszolútérték - függvént; most itt az ideje, hog változtassunk ezen. Erre az adhat okot, hog belátjuk:
RészletesebbenAz alkalmazott matematika tantárgy oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében
DIMENZIÓK 35 Matematikai Közlemének III. kötet, 5 doi:.3/dim.5.5 Az alkalmazott matematika tantárg oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében Horváth-Szováti Erika NME EMK
RészletesebbenMEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KIALAKÍTÁSA 3 REPÜLŐKÉPESSÉG
Dr. Óvári Gula 1 - Dr. Urbán István 2 MEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KILKÍTÁS 3 cikk(soroatban)ben a merev sárnú repülőgépek veérsík rendserinek terveését és építését követheti nomon lépésről
RészletesebbenVASBETON LEMEZEK. Oktatási segédlet v1.0. Összeállította: Dr. Bódi István - Dr. Farkas György. Budapest, 2001. május hó
BUDAPEST MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Építőmérnöki Kar Hidak és Szerkezetek Tanszéke VASBETON LEMEZEK Oktatási segédlet v1.0 Összeállította: Dr. Bódi István - Dr. Farkas Görg Budapest, 001. május
RészletesebbenSzilárdságtan. Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR
Miskolci Egetem GÉÉMÉRNÖKI É INORMTIKI KR ilárságtan (Oktatási segélet a Gépésmérnöki és Informatikai Kar sc leveleős hallgatói résére) Késítette: Nánori riges, irbik ánor Miskolc, 2008. Een kéirat a Gépésmérnöki
RészletesebbenSZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat)
SILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) Szilárdságtan Pontszám 1. A másodrendű tenzor értelmezése (2) 2. A
Részletesebben10. OPTIMÁLÁSI LEHETŐSÉGEK A MŰVELET-ELEMEK TERVEZÉSEKOR
10. OPIMÁLÁSI LEHEŐSÉGEK A MŰVELE-ELEMEK ERVEZÉSEKOR A technológiai terezés ezen szintén a fő feladatok a köetkezők: a forgácsolási paraméterek meghatározása, a szerszám mozgásciklusok (üresárati, munkautak)
RészletesebbenNÉHÁNY GONDOLAT AZ ÁRELFOGADÓ ÉS ÁRMEGHATÁROZÓ FOGALMAK JELENTÉSÉRİL
Közgazdasági- és Regionális Tudománok Intézete Pécsi Tudománegetem, Közgazdaságtudománi Kar MŐHELYTANULMÁNYOK NÉHÁNY GONDOLAT AZ ÁRELFOGADÓ ÉS ÁRMEGHATÁROZÓ FOGALMAK JELENTÉSÉRİL Barancsuk János 2009/1
RészletesebbenKidolgozott feladatok a gyökvonás témakörhöz (10.A osztály)
1. Számítsuk ki a következő szorzatok értékét! (a) 3 3 3 (b) 7 3 7 3 1 9. Számítsuk ki a következő hánadosokat! (a) (b) 1 0 1 0 3. Döntsük el, melik szám a nagobb! (a) ( 3) vag ( ) 3 (b) Mivel tudjuk,
RészletesebbenElméleti közgazdaságtan I.
Elméleti közgazdaságtan I. lapfogalmak és Mikroökonómia FOGYSZTÓI MGTRTÁS (I. rész) fogasztói preferenciák Eg játék fogasztónak felkínálunk két kosarat azzal, hog bármelik az övé lehet minden egéb feltétel
RészletesebbenElőadó: Dr. Bukovics Ádám
SZÉCHYI ISTVÁ GYT TARTÓSZRKZTK III. lőadó: Dr. Bukovics Ádám Az ábrák forrása: 6. LŐADÁS [] Dr. émeth Görg: Tartószerkezetek III., Acélszerkezetek méretezésének alapjai [2] Halász Ottó - Platth Pál: Acélszerkezetek
RészletesebbenKözgazdaságtan - 3. elıadás
Közgazdaságtan - 3. elıadás A FOGYASZTÓI DÖNTÉS TÉNYEZİI 1 A FOGYASZTÓI DÖNTÉS ELEMEI Példa: Eg személ naponta 2000 Ft jövedelmet költhet el pogácsára és szendvicsre. Melikbıl mennit tud venni? 1 db pogácsa
RészletesebbenIII. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK
Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások
Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok
Részletesebben12.6. ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK
MEGOLDSOK. ÉVFOLYAM.6. ÉRETTSÉGI GYAKORLÓ FELADATSOROK KÖZÉPSZINTÛ FELADATSOROK. Feladatsor I. rész megoldások. ( + ).. A háromszög köré írható kör sugara,6 cm.. Körtébõl 9 kg-ot, almából 8 kg-ot, banánból
RészletesebbenDiplomamunka. Szabó Anett
Diplomamunka Intracelluláris Ca 2+ -dinamika vizsgálata Szabó Anett Témavezet : dr. Tóth János docens Budapesti M szaki és Gazdaságtudománi Egetem Matematika Intézet Analízis Tanszék BME 2010 TARTALOMJEGYZÉK
RészletesebbenElektromágneses hullámok
KÁLMÁN P.-TÓT.: ullámok/4 5 5..5. (kibőíe óraála) lekromágneses hullámok elekromágneses elenségek árgalásánál láuk, hog áloó mágneses erőér elekromos erőere (elekromágneses inukció), áloó elekromos erőér
RészletesebbenMAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010.
MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 00.. Tetszőleges, nem negatív szám esetén, Göktelenítsük a nevezőt: (B). Menni a 0 kifejezés értéke? (D) 0 0 0 0 0000 400 0. 5 Felhasznált
RészletesebbenAcélszerkezetek. 2. előadás 2012.02.17.
Acélszerkezetek 2. előadás 2012.02.17. Méretezési eladat Tervezés: új eladat Keresztmetszeti méretek, szerkezet, kapcsolatok a tervező által meghatározandóak Gazdasági, műszaki, esztétikai érdekek Ellenőrzés:
Részletesebben1. Lineáris transzformáció
Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható
Részletesebben1. Lineáris leképezések
Lineáris leképezések A lineáris leképezés fogalma Definíció (F5 Definíció) Legenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött Az A : V W lineáris leképezés, ha összegtartó, azaz v,v 2 V esetén A(v +v 2
RészletesebbenEGY KERESZTPOLARIZÁCIÓS JELENSÉG BEMUTATÁSA FIZIKAI HALLGATÓI LABORATÓRIUMBAN
Fiia Modern fiia GY KRSZTPOLARIZÁCIÓS JLNSÉG BMUTATÁSA FIZIKAI HALLGATÓI LABORATÓRIUMBAN DMONSTRATION OF AN OPTICAL CROSS- POLARIZATION FFCT IN A STUDNT LABORATORY Kőhái-Kis Ambrus, Nag Péter 1 Kecseméti
RészletesebbenIII. rész: A VÁLLALATI MAGATARTÁS
III. rész: A VÁAATI MAGATARTÁS Az árupiacon a kínálati oldalon a termelőegységek, a vállalatok állnak. A vállalatok különböznek tevékenységük, méretük, tulajdonformájuk szerint. Különböző vállalatok közös
Részletesebben3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN
ÉRETEZÉS ELLENŐRZÉS STATIUS TERHELÉS ESETÉN A méreteés ellenőrés célkitűése: Annak elérése hog a serkeet rendeltetésserű hasnálat esetén előírt ideig és előírt bitonsággal elviselje a adott terhelést anélkül
RészletesebbenA Magyar Lemezárugyár termékeinek csomagolásai a hatvanas, hetvenes években, egyéb játékdobozok tükrében
TIPOGRÁFIAI DIÁKKONFERENCIA 2009. DECEMBER ELTE BTK Művészetelméleti és Médiakutatási Intézet A Magar Lemezárugár termékeinek csomagolásai a hatvanas, hetvenes években, egéb játékdobozok tükrében Megesi
Részletesebben1.1. Halmazelméleti alapfogalmak
. Halmazok, relációk, függvének.. Halmazelméleti alapfogalmak... A halmaz fogalma A halmazt a halmazelmélet alapfogalmának tekintjük és ezért nem definiáljuk. Szokás azt mondani, hog a halmaz különböző
Részletesebbenaz eredő átmegy a közös ponton.
M Műszaki Mechanikai Tanszék STTIK dr. Uj József c. egetemi tanár g közös ponton támadó koncentrált erők (centrális erőrendszer) Két erő eredője: = +, Több erő eredője: = + ++...+ n, az eredő átmeg a közös
RészletesebbenMásodfokú függvények
Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú
RészletesebbenXII. MAGYAR MECHANIKAI KONFERENCIA MaMeK, 2015 Miskolc, 2015. augusztus 25-27.
XII. MAGYAR MECHANIKAI KONFERENCIA MaMeK, 215 Miskolc, 215. augusztus 25-27. MARÁSI FOLYAMAT STABILITÁSA A SZERSZÁMÉLEN MEGOSZLÓ ÁLLANDÓ INTENZITÁSÚ FORGÁCSOLÓ ERŐRENDSZER ESETÉN Molnár Tamás G. 1, Insperger
RészletesebbenBolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja
Bolai János Matematikai Társulat Rátz László Vándorgűlés 06. Baja Záródolgozat dr. Nag Piroska Mária, Dunakeszi Dunakeszi, 06.07.. A Vándorgűlésen Erdős Gábor az általános iskolai szekcióban tartott szemináriumot
Részletesebben3. Lokális approximáció elve, végeselem diszkretizáció egydimenziós feladatra
SZÉCHENYI ISÁN EGYEEM AAMAZO MECHANIA ANSZÉ 6. MECHANIA-ÉGESEEM MÓDSZER EŐADÁS (kidolgozta: Szüle eronika, eg. ts.) I. előadás. okális aroimáció elve, végeselem diszkretizáció egdimenziós feladatra.. Csomóonti
RészletesebbenFELADATOK MIKROÖKONÓMIÁBÓL
FELADATOK MIKROÖKONÓMIÁBÓL Az alábbiakban példamegoldaásra javasolt feladatok találhatók mikroökonómiából. Az összeállítás formailag nem úgy épül fel, mint a dolgozat, célja, hogy segítse a vizsgára való
RészletesebbenMatematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola
O k t a t á s i H i v a t a l A 017/018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmáni Versen második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Adja meg
RészletesebbenSzeminárium-Rekurziók
1 Szeminárium-Rekurziók 1.1. A sorozat fogalma Számsorozatot kapunk, ha pozitív egész számok mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot. Tehát a számsorozat olyan függvény, amelynek az
Részletesebben13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai
Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk
RészletesebbenADDITÍV KONVOLÚCIÓS ÖSSZEGEK SPEKTRÁLIS FELBONTÁSA
ADDITÍV KONVOLÚCIÓS ÖSSZEGEK SPEKTRÁLIS FELBONTÁSA HARCOS GERGELY Ha a(n) eg számelméleti függvén, akkor természetes feladat a a(m)a(n)w(m, n) m±nh alakú additív konvolúciós összegek vizsgálata. Ha W :
Részletesebben7. Kétváltozós függvények
Matematika segédanag 7. Kétváltozós függvének 7.. Alapfogalmak Az A és B halmazok A B-vel jelölt Descartes-szorzatán azt a halmazt értjük, melnek elemei mindazon a, b) rendezett párok, amelekre a A és
RészletesebbenElemi függvények. Nevezetes függvények. 1. A hatványfüggvény
Elemi függvének Tétel: Ha az = ϕ() függvén az = f () függvén inverze, akkor = ϕ() függvén grafikonja az = f () függvén képéből az = egenesre való tükrözéssel nerhető. Tétel: Minden szigorúan monoton függvénnek
RészletesebbenTéma: A szerkezeti acélanyagok fajtái, jelölésük. Mechanikai tulajdonságok. Acélszerkezeti termékek. Keresztmetszeti jellemzők számítása
1. gakorlat: Téma: A szerkezeti acélanagok fajtái, jelölésük. echanikai tulajdonságok. Acélszerkezeti termékek. Keresztmetszeti jellemzők számítása A szerkezeti acélanagok fajtái, jelölésük: Ádán Dulácska-Dunai-Fernezeli-Horváth:
Részletesebben= és a kínálati függvény pedig p = 60
GYAKORLÓ FELADATOK 1: PIACI MECHANIZMUS 1. Adja meg a keresleti és a kínálati függvének pontos definícióját! Mikor beszélhetünk piaci egensúlról?. Eg piacon a keresletet és a kínálatot a p = 140 0, 1q
RészletesebbenA biztonságos használatra vonatkozó megjegyzések
A biztonságos használatra vonatkozó megjegyzések A mérőműszer megfelel az IEC61010 szabványban előírt, a mérés biztonságára vonatkozó összes követelménynek: szennyeződési fokozat: 2, túlfeszültségi kategória:
RészletesebbenLineáris programozás. A mese
Lineáris programozás A mese Célok Geometriai szemlélet (nem lesz matek ) Gakorlati kérdések Már megint a szendvics Kétfajta szendvicset szeretnénk készíteni, sonkásat és szalámisat. Lehetőleg minél többet.
RészletesebbenRegionális gazdaságtan gyakorlat
1 Regionális gazdaságtan gyakorlat 2. Telephelyválasztás, vonzáskörzetek Transzferálható input és output modellje 2 Keressük azt a telephelyet (T), amelynél az S inputforrástól szállítva az alapanyagot
RészletesebbenA kardáncsukló tengelyei szögelfordulása közötti összefüggés ábrázolása. Az 1. ábrán mutatjuk be a végeredményt, egy körülfordulásra.
A kardáncsukló tengelei szögelfordulása közötti összefüggés ábrázolása Az 1. ábrán mutatjuk be a végeredmént, eg körülfordulásra. 3 330 270 2 210 1 150 A kardáncsukló hajtott tengelének szögelfordulása
Részletesebben10. elıadás: Vállalati kínálat, iparági kínálat Piaci ár. A versenyzı vállalat kínálati döntése. A vállalat korlátai
(C) htt://kgt.bme.hu/ 1 /8.1. ábra. A versenzı vállalat keresleti görbéje. A iaci árnál a vállalati kereslet vízszintes. Magasabb árakon a vállalat semmit nem ad el, a iaci ár alatt edig a teljes keresleti
RészletesebbenA jövedelem- és árváltozások hatása a fogyasztói döntésre. Az ICC görbe. Az Engel-görbe. 4-5. előadás
4-5. előadás A jövedelem- és árváltozások hatása a fogasztói döntésre CC és Engel-görbe, PCC és egéni keresleti függvén. A iaci keresleti görbe származtatása. A fogasztói többlet. Kereslet-rugalmassági
RészletesebbenA TERMELÉSI FOLYAMATOK HATÉKONY ÉS OPTIMÁLIS IRÁNYÍTÁSA A KOMPLEX MÓDSZER ALKALMAZÁSÁVAL
Wolfgang Lassmann - Günter Peissker A TERMELÉSI FOLYAMATOK HATÉKONY ÉS OPTIMÁLIS IRÁNYÍTÁSA A KOMPLE MÓDSZER ALKALMAZÁSÁVAL A termelési folyamat hatékonyabb irányítása közepes és nagy gazdasági vállalatokban,
Részletesebben7.4. A programkonstrukciók és a kiszámíthatóság
H @ tj 68 7 PROGRAMKONSTRUKCIÓK 74 A programkonstrukciók és a kiszámíthatóság Ebben az alfejezetben kis kitérőt teszünk a kiszámíthatóság-elmélet felé, és megmutatjuk, hog az imént bevezetett három programkonstrukció
RészletesebbenInverz függvények Inverz függvények / 26
Inverz függvének 2015.10.14. Inverz függvének 2015.10.14. 1 / 26 Tartalom 1 Az inverz függvén fogalma 2 Szig. monoton függvének inverze 3 Az inverz függvén tulajdonságai 4 Elemi függvének inverzei 5 Összefoglalás
RészletesebbenAlapfogalmak. értelmetlen értelmes. Ez az egész persze nem kijelentő mondat (honnan tudjuk?!!, azt azonban tudjuk, hogy
lapfogalmak. Matematika: bizonos szerkezetű kijelentő mondatok. () Kijelentő mondatok Naívan azt gondolnánk, hog minden kijelentő mondat vag igaz, vag hamis. (zaz, ha kérdő mondattá fogalmazzuk át, akkor
RészletesebbenS T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt
S T A T I K A Ez az anyag az "Alapítvány a Magyar Felsôoktatásért és Kutatásért" és a "Gépészmérnök Képzésért Alapítvány" támogatásával készült a Mûszaki Mechanikai Tanszéken kísérleti jelleggel, hogy
RészletesebbenElemi matematika szakkör
lemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 26. 1.1. eladat. z konvex négyszögben {} = és { } = (lásd a mellékelt ábrát). izonyítsd be, hogy a következő három kijelentés egyenértékű: 1. z négyszögbe
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenA fő - másodrendű nyomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként
A fő - másodrendű nomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként A Keresztmetszeti jellemzők című mappa első lakója eg ritkábban látható levezetést mutat be amel talán segít helesen elrendezni
RészletesebbenAlgebrai egész kifejezések (polinomok)
Algebrai egész kifejezések (polinomok) Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m
RészletesebbenMössbauer Spektroszkópia
Mössbauer Spektroszkópia Homa Gábor, Markó Gergely Mérés dátuma: 2008. 10. 15., 2008. 10. 22., 2008. 11. 05. Leadás dátuma: 2008. 11. 23. Figure 1: Rezonancia-abszorpció és szórás 1 Elméleti összefoglaló
RészletesebbenNövelhető-e a csőd-előrejelző modellek előre jelző képessége az új klasszifikációs módszerek nélkül?
Közgazdasági Szemle, LXI. évf., 2014. május (566 585. o.) Nyitrai Tamás Növelhető-e a csőd-előrejelző modellek előre jelző képessége az új klasszifikációs módszerek nélkül? A Bázel 2. tőkeegyezmény bevezetését
Részletesebben6. előadás PREFERENCIÁK (2), HASZNOSSÁG
6. előadás PREFERENCIÁK (), HASZNOSSÁG Kertesi Gábor Varian 3. fejezetének 50-55. oldalai és 4. fejezete alapján PREFERENCIÁK FEJEZET FOLYTATÁSA 6. A helyettesítési határarány Dolgozzunk mostantól fogva
RészletesebbenSzabadsugár. A fenti feltételekkel a folyadék áramlását leíró mozgásegyenlet és a kontinuitási egyenlet az alábbi egyszerű alakú: (1) .
Szabadsugár Tekintsük az alábbi ábrán látható b magasságú résből kiáramló U sebességű sugarat. A résből kiáramló és a függőleges fal melletti térben lévő foladék azonos. A rajz síkjára merőleges iránban
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása
Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása DEFINÍCIÓ: (Séta) A G gráf egy olyan élsorozatát, amelyben a csúcsok és élek többször is szerepelhetnek, sétának nevezzük. Egy lehetséges séta: A; 1; B; 2; C; 3; D; 4;
RészletesebbenVasbetonszerkezetek II. STNA252
Szilárdságtan és Tartószerkezet Tanszéke Vasbetonszerkezetek II. STNA5 Pécs, 007. november STNA5 Szerző: Kiss Rita M. Műszaki rajzoló: Szabó Imre Gábor ISBN szám: Kézirat lezárva: 007. november 30. STNA5
RészletesebbenAdó: kényszer útján beszedett pénzösszeg, amellyel szemben közvetlen ellenszolgáltatás nem követelhető Adósságcsapda: kezelése hitelfelvétellel
Adó: kényszer útján beszedett pénzösszeg, amellyel szemben közvetlen ellenszolgáltatás nem követelhető Adósságcsapda: kezelése hitelfelvétellel történik Alacsony (inferior) javak: azok melynek jöv.rugja.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenHatárérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és
2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend
RészletesebbenFüggvények határértéke és folytonossága. pontban van határértéke és ez A, ha bármely 0 küszöbszám, hogy ha. lim
Függvének határértéke és oltonossága Deiníció: Az -hoz megadható olan üggvénnek az A. pontban van határértéke és ez A ha bármel küszöbszám hog ha A akkor. Jele: a) Függvén határértékének ogalma visszavezethető
RészletesebbenBolyai János Matematikai Társulat
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 007/008-as tanév első (iskolai) forduló haladók II.
RészletesebbenMűszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat 2016. április 5. Piaci szerkezetek, piaci koncentráció: tökéletes verseny monopólium
Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat 206. április 5. Piaci szerkezetek, piaci koncentráció: tökéletes verseny monopólium. Optimális (maximális profitot biztosító) termelési mennyiség
Részletesebben2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar
2.3.2.2.1.2 Keresztirányú stabilitás nagy dőlésszögeknél A keresztirányú stabilitás számszerűsítésénél, amint korábban láttuk, korlátozott a metacentrikus magasságra való támaszkodás lehetősége. Csak olyankor
Részletesebbenhajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál.
5 RÚDELADATOK 51 íkgörbe rudk Grhof 1 -féle elmélete íkgörbe rúd: rúd köépvonl ( ponti ál) íkgörbe e P n e t Jelöléek: A köépvonl mentén pontokt ívkoordinátávl onoítjuk Pl P pont A P pontbn (P pontho trtoó
RészletesebbenKalkulus II., harmadik házi feladat
Név: Neptun: Web: http://mawell.sze.hu/~ungert Kalkulus II., harmadik házi feladat.,5 pont) Határozzuk meg a következ határértékeket: ahol a) A =, ), b) A =, ), c) A =, ).,) A Az egszer bb kezelhet ség
Részletesebben3 Hogyan határozzuk meg az innováció szükségszerűségét egy üzleti probléma esetén
3 Hogyan határozzuk meg az innováció szükségszerűségét egy üzleti probléma esetén 3.1 A Black Box eljárás Kulcsszavak: Black Box, Kísérleti stratégia, Elosztás, Határérték, A döntéshozatali tábla tesztje
RészletesebbenGYAKORLÓ FELADATOK MIKROÖKONÓMIA
GYAKORLÓ FELADATOK MIKROÖKONÓMIA 1. Mi a közgazdaságtan három alapkérdése? a. mennyiért, kik, hogyan b. hányan, mit, mikor c. mit, hogyan, kinek d. mennyi, ennyi, annyi 2. Mit jelent a ceteris paribus?
RészletesebbenAutoN cr. Automatikus Kihajlási Hossz számítás AxisVM-ben. elméleti háttér és szemléltető példák. 2016. február
AutoN cr Automatikus Kihajlási Hossz számítás AxisVM-ben elméleti háttér és szemléltető példák 2016. február Tartalomjegyzék 1 Bevezető... 3 2 Célkitűzések és alkalmazási korlátok... 4 3 Módszertan...
RészletesebbenRelációk. Vázlat. Példák direkt szorzatra
8.. 7. elácók elácó matematka fogalma zükséges fogalom: drekt szorzat Halmazok Descartes drekt szorzata: Legenek D D D n adott doman halmazok. D D D n : = { d d d n d k D k k n } A drekt szorzat tehát
RészletesebbenVálasztható kiegészítők csuklókaros állvány sorompókar tartóvilla sorompókar, 4.25 m szakáll
RAP-4 Jellemzők A RAP 4 egy elektromechanikus sorompó ami bejáratokhoz (autóparkoló, gyárak, kórházak stb.) használandó. A fém doboz egy motort és egy vezérlőegységet tartalmaz. A motor önzáró, a manuális
RészletesebbenVázlat. Relációk. Példák direkt szorzatra
7..9. Vázlat elácók a. elácó fogalma b. Tulajdonsága: refleív szmmetrkus/antszmmetrkus tranztív c. Ekvvalenca relácók rzleges/parcáls rrendez relácók felsmere d. elácók reprezentálása elácó matematka fogalma
Részletesebben7. Feliratkozás az új felhívásokról való értesítésekre
7. Feliratkozás az új felhívásokról való értesítésekre Feliratkozhat arra, hogy a CPV-besorolás alapján értesítést kapjon e-mailben az Ön érdeklődési körébe tartozó minden újonnan közzétett felhívásról.
RészletesebbenAnalízis lépésről - lépésre
Analízis lépésről - lépésre interaktív tananyag Dr. Stettner Eleonóra Klingné Takács Anna Analízis lépésről - lépésre: interaktív tananyag írta Dr. Stettner Eleonóra és Klingné Takács Anna Tartalom Előszó...
RészletesebbenBEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA
Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló
RészletesebbenKözbeszerzési referens képzés Gazdasági és pénzügyi ismeretek modul 1. alkalom. A közgazdaságtan alapfogalmai Makro- és mikroökonómiai alapfogalmak
Közbeszerzési referens képzés Gazdasági és pénzügyi ismeretek modul 1. alkalom A közgazdaságtan alapfogalmai Makro- és mikroökonómiai alapfogalmak ALAPKÉRDÉSEK TISZTÁZÁSA I. A gazdasági törvények lényege:
Részletesebben2. Piaci modellek. 2.1. Oligopóliumok
2. Piaci modellek 5 2. Piaci modellek A piac tanulmányozásának legalább két fontos megközelítése létezik, melyek a szerkezet-magatartás-teljesítmény paradigma és az árelmélet. Az első szerint egy iparág
Részletesebben1 1 y2 =lnec x. 1 y 2 = A x2, ahol A R tetsz. y =± 1 A x 2 (A R) y = 3 3 2x+1 dx. 1 y dy = ln y = 3 2 ln 2x+1 +C. y =A 2x+1 3/2. 1+y = x.
Mat. A3 9. feladatsor 06/7, első félév. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek típusát (eplicit-e vag implicit, milen rendű, illetve fokú, homogén vag inhomogén)! a) 3 (tg) +ch = 0 b) = e ln c)
RészletesebbenMATEMATIKA A 10. évfolyam
MATEMATIKA A 0 évfolam 6 modul Másodfokúra visszavezethető problémák Készítette: Darabos Noémi Ágnes Matematika A 0 évfolam 6 modul: Másodfokúra visszavezethető problémák Tanári útmutató A modul célja
RészletesebbenKosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Tizenharmadik, átdolgozott kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012
Kosztoláni József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönv 9 Tizenharmadik, átdolgozott kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 0 KOMBINATORIKA, HALMAZOK. Mi mit jelent a matematika nelvén? AKÁR
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:
Részletesebben6. AZ EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE
6. AZ EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE A kurzus anyagát felhasználva összeállíthatunk egy kitűnő feladatlapot, de még nem dőlhetünk nyugodtan hátra. Diákjaink teljesítményét még osztályzatokra kell átváltanunk,
Részletesebben4. mérés Jelek és jelvezetékek vizsgálata
4. mérés Jelek és jelvezetékek vizsgálata (BME-MI, H.J.) Bevezetés A mérési gyakorlat első része a mérésekkel foglalkozó tudomány, a metrológia (méréstechnika) néhány alapfogalmával foglalkozik. A korszerű
RészletesebbenVI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek
Mtemtik A 9. évfolm 7. modul: EGYENLETEK Tnári kézikönv VI. Kétismeretlenes egenletrendszerek Behelettesít módszer Mintpéld Két testvér érletpénztárnál jeget vásárol. Az egik vonljegért és eg átszálló
Részletesebben2. Koordináta-transzformációk
Koordnáta-transformácók. Koordnáta-transformácók Geometra, sámítógép graka feladatok során gakran van arra sükség, hog eg alakatot eg ú koordnáta-rendserben, vag a elenleg koordnáta rendserben, de elmogatva,
RészletesebbenA differenciálegyenlet általános megoldása az összes megoldást tartalmazó halmaz.
Differenciálegenletek Bevezetés Differenciálegenletnek olan egenletet nevezünk, amelben az ismeretlen eg függvén és az egenlet tartalmazza az ismeretlen függvén (valahánad rendű) deriváltját. Például:
Részletesebben