Y 10. S x. 1. ábra. A rúd keresztmetszete.

Átírás

1 zilárdságtan mintafeladatok: tehetetlenségi tenzor meghatározása, a tehetetlenségi tenzor főtengelproblémájának megoldása két mintafeladaton keresztül Először is oldjuk meg a gakorlatokon is elhangzott egik feladatot: Mechanikai Példatár II zámítsa ki az 1. ábrán látható keresztmetszet súlpontjának r helvektorát, valamint az I tenzor mátriát és a főiránokat! Y X 1. ábra. A rúd keresztmetszete. Első lépésként bontsuk fel a keresztmetszetet olan alap síkidomokra, melek súlpontjainak elhelezkedését ismerjük. Eg lehetséges felbontást mutat a 2. ábra, ezt használjuk a továbbiakban. Az r helvektor koordinátáit a nag XY -nal jelölt koordináta-rendszerben adjuk meg. A 2. ábrán látható két téglalap súlpontját 1 és 2 jelöli, melekhez két lokális koordináta-rendszert kötünk (ξ 1 η 1 illetve ξ 2 η 2 ). Az egszerűbb számítás kedvéért a méreteket átváltottuk cm-be. Y 1 cm η 2 6 cm 2 ξ 2 η 1 1 cm 1 5 cm ξ 1 X 2. ábra. A keresztmetszet felbontása két téglalapra. 1

2 Ezek alapján az 1 -es és 2 -es súlpontok helvektorát könnű felírni XY -ban r 1 (3,5 e X + 0,5 e Y ) cm, (1) r 2 (0,5 e X + 3 e Y ) cm. (2) A súlpont meghatározásához szükségünk van még a két téglalap területére A 1 5 cm 2, A 2 6 cm 2. (3) Íg pedig a tatikából már jól ismert képlet segítségével a súlpont helvektora a következő r r 1 A 1 + r 2 A 2 (3,5 e X + 0,5 e Y ) 5 + (0,5 e X + 3 e Y ) 6 A 1 + A (1, e X + 1, e Y ) cm. (4) A tehetetlenségi tenzor meghatározását a következő elv alapján kell elvégezni. Megint felbontjuk a keresztmetszetet olan alap síkidomokra, melek súlpontját ismerjük, és ezekhez rögzítünk eg-eg lokális koordináta-rendszert, melekben können meg tudjuk határozni a tengelekre számított másodrendű nomatékokat. Ezért vettük fel a 2. ábrán már az említett két téglalapot, és azok súlpontjához a két ξη koordináta-rendszert. A téglalap keresztmetszet jellemzője, hog a szimmetria tengelek egúttal tehetetlenségi főtengelek is. A tehetetlenségi főtengelek koordináta-rendszerében pedig csak az ezen tengelekre számított másodrendű nomatékok térnek el nullától, a tengelpárra számított másodrendű nomatékok zérusok. (A tehetelenségi tenzorban csak a főátlóban találhatóak 0-tól eltérő elemek, a mellékátló elemei mind zérusok.) Válasszuk ki az 1-es téglalapot. A súlpontba felvett koordináta-tengelek egbeesnek az 1-es téglalap szimmetria tengeleivel, vagis a ξ 1 η 1 koordináta-rendszer egúttal a főtengelek koordináta-rendszere (ezért is vettük fel íg a ξ 1 η 1 koordináta-rendszert). Ezért ξ 1 η 1 -ben a tehetelenségi tenzor mátria a következőképpen néz ki [ Iξ1 0 [I 1. (5) 0 I η1 A két koordinátát, vagis I ξ1 -et és I η1 -et a már jól ismert képlet alapján kell meghatározni: I ξ1 ab3 12, I η 1 ba3 12, (6) ahol a a téglalap ξ 1 tengellel párhozamos oldalának hossza, míg b a téglalap η 1 tengellel párhozamos odalának a mérete. Ezen képletekbe behelettesítve ismerjük az 1-es téglalap saját súlpontjához rögzített koordináta-rendszerében a tehetetlenségi nomatékok értékét. Ezt kell átszámítani a teiner-tétel segítségével az eredeti keresztmetszet súlpontjába, az oda rögzített koordináta rendszerbe. (Mivel a terhelést mindig a rúd súlpontjába redukált vektorkettőssel adjuk meg, vagis az koordináta-rendszerben, és ott is számoljuk a feszültségeket, lásd a második példában.) Ez a tétel pedig íg szól a tehetetlenségi tenzorokkal felírva [ I 1 [ Iξ1 0 0 I η1 + A 1 [ (7)

3 Uganezt a műveletet kell végrehajtani a 2-es téglalappal. Kiszámolni a saját súlponjához rögzített koordináta-rendszerben a tehetelenségi nomatékokat (ξ 2 η 2 -ben, mel a 2-es téglalap tehetetlenségi főtengeleivel esik egbe), majd ezeket a teiner-tétel segítségével átszámolni a közös súlponti koordináta-rendszerbe. Íg [ I 2 [ Iξ2 0 0 I η2 + A 2 [ (8) A (7)-es egenletben szereplő 1 és 1 az 1 -es súlpontból az súlpontba mutató helvektor két koordinátája r 1 1 e + 1 e, (9) ehhez hasonlóan a (8)-as egenletben 2 és 2 pedig az 2 -es súlpontból az súlpontba mutató helvektor két koordinátája r 2 2 e + 2 e. (10) Miután pedig felírtuk mind I 1 -et, mind pedig I2 -t a keresett I tenzor a következő [ [ [ [I I 1 + I 2 I I. (11) I I Itt I a teljes keresztmetszet tengelre számított másodrendű nomatéka, I a teljes keresztmetszet tengelre számított másodrendű nomatéka, míg I pedig a teljes keresztmetszet tengelpárra számított másodrendű nomatéka, vagis ez a 3 menniség a súlponti tehetetlenségi tenzor 3 koordinátája. A 2. ábra alapján, valamint ismerve a súlpontok koordinátáit az (1)-es, (2)-es és (4)-es egenletekből können meghatározható, hog 1 1, cm, 1 1, cm, 2 1, cm, 2 1, cm. Összevetve a (7)-es, (8)-as és a (11)-es egenleteket a következőképp kell az súlponti tehetetlenségi tenzor tengelre vett másodrendű nomatékát kiszámítani (12) I 1 I ξ1 + A 1 2 1, (13) I 2 I ξ2 + A 2 2 2, (14) I I 1 + I 2 I ξ1 + A I ξ2 + A (15) Behelettesítve az ismert adatokat a (15)-ös egenletbe tehát kapjuk, hog I , , , cm 4. (16) Az tengelre vett másodrendű nomaték [(7)-es, (8)-as és a (11)-es alapján I 1 I η1 + A 1 2 1, (17) 3

4 I 2 I η2 + A 2 2 2, (18) I I 1 + I 2 I η1 + A I η2 + A (19) A megadott adatokat behelettesítjük a (19)-es egenletbe I , , , cm 4. (20) Végül az tengelpárra számított másodrendű nomaték [(7)-es, (8)-as és a (11)-es alapján I A 1, (21) I A 2, (22) I I 1 + I A A 2. (23) Az ismert adatokat előjelhelesen behelettesítve a (23)-as egenletbe kapjuk, hog I ( 1, ) 1, , ( 1, ) 6 20, cm 4. (24) Vagis a teljes keresztmetszet I tenzorának mátria az koordináta-rendszerben [ [ I I [I 35, , cm 4. (25) 20, , I I Mivel a mellékátló elemei nem zérusok, ebből következik, hog az súlpontba elhelezett koordináta-rendszer nem a főtengelek koordináta-rendszere a teljes keresztmetszetre nézve. A feladatunk a teljes keresztmetszet főtengeleinek és fő másodrendű nomatékainak a meghatározása. Ez az ún. sajátérték-probléma megoldásával érhető el. A probléma matematikai felírása a következő [ I λ1 n 0. (26) Ha találhatóak olan λ értékek és n vektorok, melekre a (26)-os egenletrendszer teljesül, akkor ezeket a λ értékeket főértékéknek, vag sajátértékeknek nevezzük, a hozzájuk tartozó n vektorok pedig az ún. főiránok, vag sajátvektorok. A főiránok meghatározásához abból a tételből indulunk ki, hog a (26)-os egenletrendszer triviálistól eltérő megoldásait keressük, mel azt jelenti, hog az egüttható mátri determinánsa zérus kell legen. [ det I λ1 0. (27) Először is írjuk fel az egüttható mátriot [ [ [ I I I λ1 1 0 λ 0 1 I I [ I λ I I λ I. (28) Behelettesítve a (25)-ös eredméneit a (28)-asba, majd a (27)-esbe, kifejtve a determinánst eg λ-ra nézve másodfokú egenlethez jutunk 35, λ 20, , , λ (35, λ) (35, λ) 20, (29) λ 2 70, λ + 839,

5 Ennek az egenletnek a gökei λ 1 55, , λ 2 15, , (30) mel értékek egúttal a keresztmetszet fő másodrendű nomatékai. A két gök közül megállapodás szerint a nagobb lesz az 1-es főtengelhez tartozó érték, míg a kisebb a 2-eshez tartozó. A továbbiakban az 1-es főiránt ξ-vel, a 2-es főiránt pedig η-val fogjuk jelölni. Ennek megfelelően I 1 I ξ 55, cm 4, I 2 I η 15, cm 4. (31) Zárójelben jegezzük meg, hog uganennek a keresztmetszetnek tehát az I tenzora a ξη főtengelek koordinátarendszerében [ [ Iξ 0 55, [I cm 4. (32) 0 I η 0 15, Most már ismerjük a fő másodrendű nomatékokat, a következő lépés a hozzájuk tartozó főtengelek meghatározása. Ehhez nincs más dolgunk, mint visszahelettesíteni a ξ tengelhez tartozó főértéket a (26)-os egenletbe, mellel a ξ iránvektorát, vagis az n ξ iránt kapjuk meg [ I I ξ 1 n ξ 0. (33) Ez a következő egenletrendszert jelenti [ I I ξ I I I I ξ [ nξ n ξ [ 0 0. (34) A 3. ábra szemlélteti, hog hogan keressük a főiránokat (a ξ tengel és az tengel szögét). η n η ξ n ξ n ξ n ξ tan 3. ábra. A főiránok felvétele. Ha behelettesítjük az ismert értékeket a (34)-es egenletrendszerbe, kapjuk [ [ [ 20, , nξ 0. (35) 20, , n ξ Ezt kifejtve 20, n ξ + 20, n ξ 0 20, n ξ 20, n ξ 0 5 }. (36)

6 Íg kaptunk két egenletet, melek azonban nem függetlenek egmástól, íg az n ξ koordinátáinak konkrét értékét nem tudjuk kiszámítani, azonban az egik egenletet felhasználva a vektor tengellel bezárt szögét meg tudjuk határozni. Átrendezve az első egenletet kapjuk n ξ 20, n ξ 20, tan 45. (37) Ez alapján a 3-as ábrán már tudjuk a szöget, be tudjuk rajzolni a heles főiránokat. Megjegezzük, hog az n ξ vektor két koordinátájának hánadosa pozitív érték lett, ez pedig két esetben lehetséges. Vag mindkét koordináta pozitív (ezt ábrázoltuk a 3. ábrán), vag mindkét koordináta negatív, vagis az ábrázolt vektort el kell forgatni kal. Mindkét megoldás heles, ezért az egszerűség kedvéért a pozitív koordinátákat javasoljuk. További megjegzés, hog az η irán merőleges a ξ-re, ahog a 3. ábra is mutatja, íg további számításokra nincs szükség az n η vektor meghatározására, mert a ξ és η tengelek merőlegesek egmásra és az koordináta-rendszerhez hasonlóan jobbsodrású koordináta-rendszert kell alkotniuk, íg n ξ ismeretében már egértelműen felvehető n η is. Ettől függetlenül az n η iránvektor koordinátáinak hánadosa természetesen meghatározható, ha a sajátérték feladat (26)-os egenletébe I η értékét helettesítjük vissza, ekkor adódik, hog [ [ I I I I η 1 n η η I I I I η [ nη n η [ 0 0. (38) Megoldva ezt az egenletrendszert a 3. ábrán látható n η vektort fogjuk kapni. Ha meg akarjuk határozni az n ξ vektor koordinátáinak konkrét értékét, akkor szükségünk van még eg egenletre a (37)-es egenleten kívül. Ehhez feltesszük, hog az n ξ vektor egségvektor, vagis a hossza egségni, mel a koordinátákkal felírva a következő egenletet jelenti n 2 ξ + n2 ξ 1. (39) Ez az egenlet a (37)-essel egütt két egenletből álló két ismeretlenes egenletrendszert ad, melek függetlenek egmástól, ebből a konkrét koordináták értéke is meghatározható. Önellenőrzési lehetőség, hog tudjuk, a szimmetriatengelek egúttal tehetetlenségi főtengelek is. Az 1-es ábrát szemügre véve láthatjuk, hog a keresztmetszetnek van eg szimmetriatengele, mel az tengellel 45 -os szöget bezáró, súlponton áthaladó egenes. Épp ezt kaptuk a számításaink alapján is ξ tengelként. Most nézzünk meg eg másik példát, másik keresztmetszettel. 6

7 Feladat: Adott a 4. ábrán látható rúdkeresztmetszet, melnek méretei ismertek. Erre a rúdra olan terhelés hat, melnek súlpontba redukált vektorkettőse: F 0; M 2,4 e knm. A rúd anagának foláshatára σ F 300 MPa, és a biztonsági ténező értéke n F 2. Ellenőrizze a rudat feszültségcsúcsra! Y M X 4. ábra. A rúd keresztmetszete és terhelése. Első ránézésre azt hihetnénk, hog eg egszerű egenes hajlítási feladatról van szó. Igazunk lenne abban az esetben, ha tudnánk, hog az és tengelek tehetetlenségi főtengelek. Ezt azonban ránézésre nem tudjuk megállapítani, sőt, mivel egik tengel sem szimmetriatengel, inkább az a sejtésünk, hog az és tengelektől eltérő lesz a főtengelek koordináta-rendszere. Vagis jó eséllel ez eg ferde hajlítási feladat. Ahhoz, hog meghatározzuk a veszéles pontban/pontokban ébredő maimális feszültséget, ismernünk kell a tehetetlenségi főtengeleket, mert hajlítás esetén a σ z feszültség számítására szolgáló tanult összefüggés csak és kizárólag főtengelek koordináta-rendszerében alkalmazható. (Az általános képletet is lehet alkalmazni, ám az eg rendkívül bonolult képlet, és ahhoz is meg kell határozni az tengelre, az tengelre és az tengelpárra számított másodrendű nomatékokat.) Íg a feladatot uganúg kezdjük, mint az előző feladat megoldását. Meghatározzuk a keresztmetszet súlpontjának r helvektorát az XY koordináta-rendszerben, majd ez alapján kiszámítjuk az I tehetetlenségi tenzor mátriát, majd pedig a fő tehetelenségi nomatékokat és főtengeleket. Ehhez ismét fel kell bontani a keresztmetszetet olan alap síkidomokra, melek súlpontját meg tudjuk mondani. Eg ilen lehetséges felbontást szemléltet a 5. ábra. Jól látható az ábrán, hog most is két téglalapra fel lehet bontani a keresztmetszetet, melek súlpontjait is bejelöltük ( 1 és 2 ), melekhez a tehetetlenségi tenzor koordinátáinak meghatározásához szükséges újabb két koordináta-rendszert is rögzítettünk (ξ 1 η 1 illetve ξ 2 η 2 ). Először is határozzuk meg a keresztmetszet súlpontját. Uganazt kell tennünk, mint az előző feladatban. Felvesszük először a két téglalap súlpontjának helvektorát, illetve a két téglalap területét. Ismét az egszerűség kedvéért cm-re váltottuk át a távolságokat. r 1 (3,5 e X + 1 e Y ) cm, (40) r 2 (0,5 e X + 4 e Y ) cm, (41) 7

8 Y 1 cm η 2 8 cm 2 ξ 2 η 1 2 cm 1 ξ 1 5 cm X 5. ábra. A keresztmetszet felbontása. A 1 10 cm 2, A 2 8 cm 2. (42) Majd pedig a jól ismert képlettel [mint a (4)-es egenletnél is kiszámítjuk a súlpontot r r 1 A 1 + r 2 A 2 (3,5 e X + 1 e Y ) 10 + (0,5 e X + 4 e Y ) 8 A 1 + A (2, e X + 2, e Y ) cm. (43) Most pedig határozzuk meg a tehetetlenségi tenzort. Ehhez megint szükségünk van a súlpontok előjeles távolságára [a (9)-es és (10)-es egenletben szereplő helvektorok koordinátáira. Az 5. ábra és r alapján tehát 1 1, cm, 1 1, cm, 2 1, cm, 2 1, cm. (44) Ezekután minden adatunk ismert a tehetetlenségi tenzor koordinátáinak meghatározásához. Használjuk megint a (15)-ös egenletet az tengelre számított másodrendű nomaték meghatározásához íg I I 1 + I 2 I ξ1 + A I ξ2 + A 2 2 2, (45) I , , cm 4. (46) Most alkalmazzuk megint a (19)-es egenletet a tengelre számított másodrendű nomatékhoz I I 1 + I 2 I η1 + A I η2 + A 2 2 2, (47) vagis I , , ,5 cm 4. (48) 8

9 Végül ismét elővesszük a (23)-as egenletet az tengelpárra számított másodrendű nomatékhoz I I 1 + I A A 2, (49) ez alapján pedig I ( 1, ) 1, , ( 1, ) 8 40 cm 4. (50) Mivel ez az érték nem lett nulla, biztos, hog az koordináta-rendszer nem a főtengelek koordináta-rendszere. Íg tehát a tehetetlenségi tenzor mátria [ [ I I [I cm 4. (51) 40 61,5 I I A fő másodrendű nomatékok és főtengelek meghatározásához ismét a (26)-os sajátérték feladatot oldjuk meg [ I λ1 n 0. (52) A fő másodrendű nomatékok meghatározásához az egüttható mátri determinánsát zérussal tesszük egenlővé [ det I λ1 0, (53) vagis 86 λ ,5 λ (86 λ) (61,5 λ) 402 λ 2 147,5λ (54) Ennek a másodfokú egenletnek a gökei megadják a fő tehetetlenségi nomatékokat, melek közül a nagobb lesz az I ξ, a kisebb pedig az I η fő másodrendű nomaték λ 1 I ξ 115, cm 4, λ 2 I η 31, cm 4. (55) Ezek az értékek szükségesek lesznek később a maimális feszültség meghatározásánál. A főtengelek koordináta-rendszerében a tehetetlenségi tenzor most [ [ Iξ 0 115, [I cm 4. (56) 0 I η 0 31, Most már csak a főtengelek meghatározása maradt. Ismét arra vagunk kíváncsiak, mekkora szöget zár be az tengellel a ξ főtengel, ahog az a 6. ábrán is látható. Ehhez megint elővesszük a (34)-es egenletrendszert [ I I ξ I I I I ξ [ nξ n ξ [ 0 0. (57) Ebből pedig kapjuk, hog [ , ,5 115, [ nξ n ξ [ 0 0. (58) 9

10 η n η ξ n ξ n ξ n ξ tan 6. ábra. A főtengelek feltételezett irána. Ez a következő két egmástól nem független egenletet jelenti 29, n ξ + 40n ξ 0 40n ξ 54, n ξ 0 }. (59) Az első egenlet alapján pedig meghatározható a szög (a második egenletből is uganezt a hánadost kapnánk) n ξ 29, tan 36,49. (60) n ξ 40 Megint pozitív lett a szög tangense, vagis az n ξ vektor két koordinátája megegező előjelű, ebből pedig azt választjuk, amikor mindkettő pozitív, íg a főtengelek koordinátarendszere hasonlóan néz ki, mint ahog a 6. ábrán is felvettük. Most, hog ismerjük a főiránokat és a fő másodrendű nomatékokat, már meg tudjuk oldani a feladatot ferdehajlításként. Első lépés, hog felbontjuk a megadott M vektort két komponensre a ξη koordináta-rendszerben (7. ábrán pirossal jelölt nomatékok). η M hξ ξ M hη 7. ábra. A nomaték felbontása. A kiszámított szög segítségével felírva a nomaték M (2,4 cos 36,49 e ξ 2,4 sin 36,49 e η ) (1,93 e ξ 1,43 e η ) knm. (61) 10

11 A ferde hajlításos feladatok esetén az igénbevétel felírható két egenes hajlítás összegeként, íg eg ξ és eg η tengel körüli egenes hajlításról van szó. Az igénbevételek a tanult előjelszabál és a (61)-es nomaték alapján tehát M hξ 1, Nmm, M hη 1, Nmm. (62) Vagis mindkét tengel körül pozitív előjelű a hajlítás, és a számolás könnítése érdekében átváltottuk a nomatékok mértékegségét is. Ismerve a hajlítónomatékokat, a fő tehetetlenségi nomatékokat [(55)-ös egenlet, felírjuk a keresztmetszetben ébredő feszültséget σ z M hξ η + M hη 1, Nmm ξ I ξ I η 115, mm η + 1, Nmm 4 31, mm ξ 4 1,67η + 4,48ξ. (63) Ebbe a függvénbe a keresztmetszet bármel pontjának ξ és η koordinátáját beírjuk, megkapjuk abban a pontban a feszültség értékét. Ez az a képlet, mel csak a főtengelek koordináta-rendszerében érvénes. Ezért kellett meghatározni a fő tehetetlenségi nomatékokat és a főtengeleket. A feladatunk ellenőrizni, hog a megadott terhelést elviseli-e károsodás nélkül (folás nélkül) a szerkezet. Ehhez meg kell határozni a maimális feszültség értékét, amel a veszéles pontban/pontokban ébred. Vagis tudnunk kellene, hol található(ak) a veszéles pont(ok). Hajlítás esetén a veszéles pontok a zérusvonaltól legtávolabb eső pontok. Vagis meg kell határoznunk a zérusvonal egenletét. A zérusvonal az a vonal, mel mentén nem ébred semmilen feszültség a keresztmetszetben. Azaz a (63)-as egenletet 0-val tesszük egenlővé 0 1,67η + 4,48ξ η 4,48 ξ 2,68ξ. (64) 1,67 Megvan a zérusvonal egenlete, ahol ξ egütthatója az egenes meredeksége, azaz az egenes ξ tengellel bezárt α szögének a tangense. Ez a szög pedig tan α 2,68 α 69,56. (65) A 8. ábrán bejelöltük a zérusvonalat, és ez alapján a tőle legtávolabb eső pontot is (P ), mel a veszéles pont lesz. Ennek a veszéles pontnak a koordinátáit können le tudjuk olvasni az koordináta rendszerben ismerve a súlpont helét. Ez alapján a súlpontból a P pontba mutató helvektor r P ( 1, e + 5, e ) cm. (66) Csakhog nekünk ennek a pontnak a ξ és η koordinátája kellene, hog be tudjuk helettesíteni a feszültség képletébe. Vagis át kell transzformálni ezt a vektort a ξη koordinátarendszerbe. Ehhez meg kell adni az e és e vektorokat is a ξη koordináta rendszerben, melhez a 9. ábra nújt segítséget (most a ξη koordináta-rendszerből nézzük az e és e vektorokat, ezért forgattuk el a nézetet). Ez alapján tehát e cos 36,49 e ξ sin 36,49 e η 0,804 e ξ 0,595 e η, e sin 36,49 e ξ + cos 36,49 e η 0,595 e ξ + 0,804 e η. (67) 11

12 η P α 69,56 ξ 36,49 zérusvonal 8. ábra. A zérusvonal és a veszéles pont. e η e e ξ 9. ábra. Az e és e vektorok felvétele a ξη koordináta-rendszerben. e Ezt a két vektort kell visszahelettesíteni a (66)-os egenletbe, és ezzel meg is van a P pont a ξη koordináta-rendszerben r P ( 1, (0,804 e ξ 0,595 e η ) + 5, (0,595 e ξ + 0,804 e η )) (2,03 e ξ + 5,25 e η ) cm. (68) Ezt behelettesítve a (63)-as egenletbe mm-ben megkapjuk, mekkora a feszültség a P pontban, vagis mekkora a maimális feszültség σ ma z 1,67 52,5 + 4,48 20,3 178,62 MPa. (69) A feladat a folási határt és a biztonsági ténezőt adta még meg, melből számítunk eg megengedett feszültséget σ meg σ F n F 300 MPa MPa. (70) Mivel a megengedett feszültség kisebb, mint a maimális, ebből az következik hog a keresztmetszet nem felel meg. 12