3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN

Átírás

1 ÉRETEZÉS ELLENŐRZÉS STATIUS TERHELÉS ESETÉN A méreteés ellenőrés célkitűése: Annak elérése hog a serkeet rendeltetésserű hasnálat esetén előírt ideig és előírt bitonsággal elviselje a adott terhelést anélkül hog benne károsodás lépne fel Statikus terhelés: a terhelés időben nem váltoik éreteés ellenőrés statikus terhelésnél: - Pontbeli jellemő alapján (fesültségcsúcsra) - Serkeeti jellemő alapján (teherbírásra alakváltoásra) éreteés ellenőrés fesültségcsúcsra esültségcsúcsra történő méreteés ellenőrés esetén a serkeet veséles pontjában kisámított a tönkremenetelre jellemő redukált fesültséget hasonlítjuk össe aal a megengedett fesültséggel amelnél már károsodás lép fel árosodás: -maradó (képléken) alakváltoás - törés sakadás Anagsilárdsági jellemő: R p - foláshatár R m - sakítósilárdság Eek a anagsilárdsági jellemők sakító kísérletekkel határohatóak meg a) Speciális eset: egtengelű fesültségi állapot A méreteés ellenőrés a követkeő egenlőtlenség alapján történik: jell meg = ahol n a bitonsági téneő n a károsodásho tartoó silárdsági jellemő jell Itt nincs probléma mert csak eg főfesültség koordináta nem nulla: A silárdsági jellemők is a egtengelű fesültségi állapotra állnak rendelkeésre Például: Húás: A fesültségi állapot: Hajlítás: h h b) Általános eset: tetsőleges térbeli fesültségi állapot 4 Probléma: nem tudjuk hog melik fesültség koordinátát hasonlítsuk össe a -tel! meg

2 Redukált fesültség / egenértékű fesültség / össehasonlító fesültség Definíció: Olan fesültség amel a pontbeli fesültségi állapotot a károsodás sempontjából egértelműen jellemi A redukált fesültség beveetésével a tetsőleges térbeli fesültségi állapotot egtengelű fesültségi állapotra veetjük vissa A redukált fesültség kisámítására különböő elméletek vannak A redukált fesültség meghatároására több elméletet is kidolgotak A elméletek nem általános érvénűek vannak olanok amelek rideg anagok és vannak olanok amelek alakítható anagok esetén alkalmahatók előnösebben aa írják le a valóságho köelállóbban a tönkremenetelt Rideg anagok: R m Rideg anag: nem képes képléken alakváltoásra A rugalmas alakváltoás után hirtelen (képléken alakváltoás nélkül) törik/sakad el Például a öntött vas kerámia üveg stb R m a anag sakítósilárdsága B Coulomb - elmélet: eg fesültségi állapot akkor nem oko károsodást ha a fesültségi állapotho tartoó legnagobb normál fesültség kisebb a anag sakítósilárdságánál őfesültségek jelölése: A pontban fellépő legnagobb normálfesültség: ma ma A Coulomb-féle redukált fesültség: red Coulomb ma ma éreteés ellenőrés: Rm red ( Coulomb) meg ahol n a előírt bitonsági téneő n Alakítható anagok R m R p Alakítható anag: képléken alakváltoásra képes A törés csak a képléken alakváltoás után követkeik be Például a fémek acél alumínium stb R p a anag foláshatára ohr - elmélet: eg pontbeli fesültségi állapot akkor nem oko károsodást ha a fesültségi állapotho tartoó legnagobb ohr-kör átmérője kisebb mint a megengedett fesültség Charles Augustin de Coulomb (76-86) francia fiikus és hadmérnök Christian Otto ohr (85-98) német mérnök 4

3 A ohr-féle redukált fesültség: red ohr éreteés ellenőrés: jell red ( ohr) meg n ahol a anag tönkremenetelét jellemő silárdsági érték jell Itt általában jell Rp vag jell Rm és n a előírt bitonsági téneő Huber - ises 4 - Henck 5 - elmélet: ét fesültségi állapot a károsodás sempontjából akkor aonosan veséles ha a torulási alakváltoási energiájuk megegeik: u T u T A Huber-ises-Henck-féle elmélet serinti redukált fesültség arános a u T torulási energiával red ( HH ) 6 G ut red ( HH ) 6 éreteés ellenőrés: Itt jell Rp red jell ( HH ) meg n vag jell Rm és n a előírt bitonsági téneő A ohr és a HH serint redukált fesültség csak kis mértékben tér el egmástól Általában: HH < ohr red red c) éreteés ellenőrés általános gondolatmenete rúdserkeetek esetén: - A rúdserkeet veséles kerestmetsetének megkeresése meghatároása A veséles kerestmetset a ahol legnagobbak a igénbevételek - A veséles kerestmetseten a veséles pontok megkeresése meghatároása A veséles pontok aok ahol legnagobb a redukált fesültség - A veséles pontokban a méreteés ellenőrés elvégése: ma éreteés ellenőrés serkeeti jellemők alapján red A serkeeti jellemőre történő méreteés ellenőrés esetén nem eg pontbeli érték hanem a serkeet egésére jellemő menniség figelembevételével döntjük el hog a serkeetet mechanikai silárdságtani sempontból megfelelőnek tekintjük vag nem a) éreteés ellenőrés teherbírásra: red meg aksimillian Titus Huber (87-95) lengel mérnök 4 Richard Edler von ises (88-95) ostrák mérnök 5 Heinrich Henck (885-95) német mérnök 4

4 A teherbírásra történő méreteés ellenőrés esetén at a állapotot tekintjük tönkremenetelnek amikor a serkeet minden pontjában eléri a fesültség a foláshatár értékét R p R p A teherbírásra történő méreteés ellenőrés kiinduló feltételeése hog: - a anag jól alakítható - a anag lineárisan rugalmas ideálisan képléken A ábrán eg ilen idealiált anagmodell a lineárisan rugalmas ideálisan képléken anag sakító diagramja látható - éreteés-ellenőrés teherbírásra húás-nomás esetén: Ha húás-nomás esetén a N húó/nomó erőt folamatosan növeljük akkor a rúdkerestmetset minden pontjában egserre lép fel R p nagságú fesültség Ehhe a állapotho tartóó húó/nomó igénbevételt N határerőnek neveük Tönkremenetel a N határerőnél lép fel R p S N növelése tönkremenetel N A N Rp A ( N határerő) N éreteés ellenőrés: Nma Nmeg N ma - a rúdban fellépő legnagobb rúderő n - éreteés-ellenőrés teherbírásra egenes hajlítás esetén: n - előírt bitonsági téneő Ha tista egenes hajlítás esetén a h hajlító nomatékot folamatosan növeljük akkor a rúdkerestmetset sélső pontjaiban lép fel elősör R p nagságú fesültség A h hajlító nomatékot tovább növelve a kerestmetset egre nagobb résén fogja elérni a fesültség a R p értéket A h hajlító nomatékot tovább növelve végül olan állapot alakul ki hog a kerestmetset tengel fölötti résén minden pontban R p a kerestmetset tengel alatti résén pedig minden pontban - R p fesültség fog fellépni Ehhe a állapotho tartóó hajlító igénbevételt határnomatéknak neveük és at mondjuk hog tönkremenetel a határnomatéknál lép fel 4

5 A R p R p S h A Hajlító nomaték: h Rp Rp növelése h tönkremenetel da A tönkremenetelhe tartoó határ hajlító nomaték: A A A A da R da R da p p S A R S A S A p S A Tista hajlítás a fesültségeloslásból nem sármahat eredő erő A A Például: A h A S A A S ( A) S ( A ) étseres simmetrikus kerestmetset: A kerestmetsetnek két egmásra merőleges simmetria tengele van A A S da da - S A da A A A S A S A A R S p 44

6 éreteés ellenőrés: h ma hm eg n h ma - a rúdserkeetben fellépő legnagobb hajlító nomaték n - a előírt bitonsági téneő - éreteés-ellenőrés teherbírásra csavarás (kör körgűrű) esetén: c S R Határnomaték: R da R da c S p A A Sp poláris statikai nomaték c Sp c éreteés ellenőrés: c ma cmeg n - c ma - a rúdban fellépő legnagobb csavaró nomaték - n - előírt bitonsági téneő b) éreteés ellenőrés alakváltoásra Alakváltoásra történő méreteés esetén a visgált serkeetet akkor tekintjük normál üemserű működésre alkalmatlannak ha a serkeet alakváltoása eg előírt mértéket túllép Például ha eg megmunkáló gép állvánában a megmunkálás során túl nag deformációk lépnek fel akkor a gép pontos megmunkálásra alkalmatlan les Például húás nomás esetén: N ma l ma meg AE Alakváltoásra kell méreteni például: megmunkáló gépeket hidakat silipeket nagméretű csőelárókat stb Gakorló feladatok méreteésre ellenőrésre statikus terhelés esetén feladat: éreteés teherbírásra és fesültségcsúcsra 9 kn a S A kn m C B a 4m m l N ma Adott: A tartó méretei téglalap kerestmetsetének oldalarána és terhelése valamint: Rp Pa n 45

7 eladat: a) A tartó igénbevételi ábráinak megrajolása b) A tartó méreteése teherbírásra c) A tartó méreteése fesültségcsúcsra idolgoás: a) A tartó igénbevételi ábráinak megrajolása: 8 kn 9 kn 4 kn A kn m B C 9 kn 4m m kn T kn 9 h knm 8 Támastó erőrendser meghatároása: a kn B b B = A 9 kn A A igénbevételi ábrák megrajolása a sokásos módon történik Veséles kerestmetset: C h ma knm 4 b) A tartó méreteése teherbírásra: h S a a S A / da a A / Hajlítási határnomaték: Határnomaték: da da S ( A / ) A/ A/ S - a fél kerestmetset tengelre sámított statikai nomatéka A / / da S a A S 46

8 A tartó megfelel ha a a n h ma n aa 6 hma 4949 mm c) A tartó méreteése fesültségcsúcsra: hma a n A tartó megfelel ha a egenlőtlenség teljesül: ma n feltétel teljesül hma ma a 6n a 4 a a hma 5665 mm 6 hma 4a n feladat: éreteés teherbírásra és fesültségcsúcsra A a 6kN b a B 6kN c C h 4kN 4kN c) A ABCD rúdsakas méreteése fesültségcsúcsra D e e Adott: A kör kerestmetsetű ABCD tartóserkeet melnek jellemő méretei ah m b 4m c 5m e m és n 6Pa eladat: a) A ABCD rúdsakas igénbevételének meghatároása b) A ABCD rúdsakas méreteése teherbírásra idolgoás: a) A ABCD rúdsakas igénbevételének meghatároása 64 e 4e knm A B pontba redukált nomaték: B A D pontba redukált nomaték: e e A ABCD rúdsakas tistán csavarva van! Veséles kerestmetsetek: a B-D rúdsakas valamenni kerestmetsete cma 4kNm 46 4 knm D c A B C D knm 4 4 a) A ABCD rúdsakas méreteése teherbírásra: 47

9 c d S R esültségeloslás határállapotban Határnomaték: R da R da S c P A A S P - a kerestmetset S pontra sámított poláris statikai nomatéka S P A d/ d/ d / r d SP r da r r d dr r dr Csavarási határnomaték: A tartó megfelel ha a d r r r cma d S c P n n 4 6 c aa ha a 6 cma 4 6mm c) A ABCD rúdsakas méreteése fesültségcsúcsra: d c d S R cma d feltétel teljesül n esültségeloslás rugalmas alakváltoás esetén A tartó megfelel ha a ma egenlőtlenség teljesül: cma ma p 6 n p d 6 6 cma 5 mm feladat: Csőtengel méreteése fesültségcsúcsra n 6cma d n 48

10 d idolgoás: e h c D P e R Adott: eg körgűrű kerestmetsetű tartó veséles kerestmetsetének igénbevétele: (6e 8 e ) Nm meg 8 Pa D d S eladat: a) esültségeloslás rajolása a kerestmetset és tengele mentén a veséles pont(ok) meghatároása b) A redukált fesültség meghatároása Coulomb ohr és Huber-ises-Henck serint c) A kerestmetset méreteése ohr-elmélet serint a) esültségeloslás megrajolása a kerestmetset és tengele mentén a veséles pont(ok) meghatároása: A S Veséles pontok: - hajlításból a A és B pont - csavarásból a palást minden pontja - hajlításból és csavarásból egüttesen a A és B pont B A kerestmetset méreteését a A vag B pontbeli redukált fesültség figelembevételével kell elvégeni b) A redukált fesültség meghatároása Coulomb ohr és Huber-ises-Henck serint: R ahol I I h c I I p A redukált fesültség Coulomb serint: h D h ma I c D c ma p I p p p 49

11 n red ( Coulomb ) Z R R n ma h h c p ma h h c red h h c p p A redukált fesültség ohr és Huber-ises-Henck serint: red ( ohr) 4 red ( HH ) Behelettesítés és átalakítás után: HH red Össefoglalva: red ohr : 4 HH : red ma red A red B ma ma red ma h c p 4 h c red ohr serint: 4 : red h c 4 Huber-ises-Henck serint: : Nm 4 red h c Nm 4 c) A kerestmetset méreteése ohr-elmélet serint: 5

12 red red A tartó megfelel ha red ma meg meg ivel D d eért A méreteési egenlőtlenségből: 4 4 ( D d ) 64 d 4 (6 ) d 5 d D 64 d Sabvános külső átmérőt válastva (S 47-64): red meg meg 5 7 mm D 6 mm és d mm 4 feladat: Tengel méreteése ellenőrése fesültségcsúcsra d idolgoás: A igénbevételi ábrák megrajolása: T N 8 8 h Nm 8 c Nm 6 esültségeloslás a A kerestmetsetben: D B l A Adott: 8 N l mm D 5 mm 5 Pa meg eladat: A tengel méreteése fesültségcsúcsra A terhelés redukciója a tengel köépvonalába B A Csavaró nomaték: D Nm Veséles kerestmetset: A l 5

13 P T TS( ) I a S c h Q nírás 4T ma A h h ma I c c ma I p p csavarás I I p p A veséles kerestmetset veséles pontjai a P és Q pontok éreteés a P és Q pontokban ohr serint: A redukált fesültség: ohr : 4 red P Q red ma red red ma ma red ma h c p ohr serint 4 : 4 h c 4 red h c red 4 4 A tartó megfelel ha red ma meg red meg red 8 mm meg 5 ivel d Ellenőrés a S pontban ohr serint: red ma red ma S S 4 T 4 meg A d A 8 6 Nm 8 d mm 4 T Pa meg 5Pa A 8 A tengel silárdságtani sempontból megfelel! 85 4 mm 5

14 4 RUGALASSÁGTANI EGYENLETE Célkitűés: Olan rugalmas serkeeti elemeket alkatréseket (aa a mechanikai sóhasnálat serint testeket) akarunk megvisgálni silárdságtani sempontból méreteni ellenőrini amelek nem keelhetők a eddig hasnált rúdmodellel A méreteéshe ellenőréshe ismernünk kell a rugalmas test silárdsági állapotát jellemő menniségeket Rugalmas test állapotának jellemői: - u u( ) elmodulási vektormeő - A A( ) alakváltoási tenormeő - ( ) fesültségi tenormeő - u u( ) fajlagos alakváltoási energiameő érdés: milen általános össefüggések állnak fent een állapotjellemők köött? Válas: A rugalmasságtani egenletek A rugalmasságtani feladat megfogalmaása: Adott: - a test alakja és méretei - a test anagi viselkedését jellemő menniségek - a terhelés és a megtámastás eresett: u A u eladat: a rugalmasságtani egenletek megoldása 4 Egensúli egenletek fesültségi állapot V A da dv da n d da A testből kiragadunk eg olan V térfogatot mel teljes egésében a test belsejében van O r d qdv A V térfogat körneetének mechanikai hatásait erőkkel vessük figelembe: - a térfogaton megosló elemi erő: d q dv - a felületen megosló elemi erő: d da n da A V testrés egensúlban van A egensúl feltétele: a) da b) 5

15 a) Egensúli egenletek: A első vektoregenlet: q dv n da V A Gauss 6 -Ostrogradskij 7 -féle integrál átalakítási tétel: A Hamilton 8 -féle (vag nábla) differenciál operátor: n da dv A V - deréksögű descartesi koordináta-rendserben (DDR-ben): e e e - henger koordináta-rendserben (HR-ben): er e e R R q dv V Alkalmava a Gauss-Ostrogradskij tételt: A integrálnak bármel V válastás esetén el kell tünnie a integrandus érus Egensúli egenlet(ek): q ( vektor egenlet darab skalár egenlet) A egensúli egenletben sereplő menniségek: A fesültségi tenor (diadikus alakja): e e e A térfogaton megosló terhelés sűrűségvektora: q q e q e q e A skalár egensúli egenletek előállítása a DDR-ben: e e e e e e q q q q aegensúli egenletek skaláris alakja q b) A fesültségi tenor simmetriája: 6 Carl riedrich Gauss ( ) német matematikus 7 ihail Vasiljevics Ostrogradskij (8-86) oros matematikus 8 William Rowan Hamilton (85-865) ír matematikus fiikus és csillagás 54

16 A második vektoregenlet: r q dv r n da V A Átalakítás a Gauss-Ostrogradskij féle integrál átalakítási tétellel: A r r q r dv V kifejeés fölötti níl arra utal hog a nábla operátor erre a soratra hat A integrálnak bármel V válastása esetén el kell tünnie a integrandus érus A sorat differenciálását elvégeve: r q r A második tag résleteése: r r r r e e e e e e A fesültségi tenor vektorinvariánsa: e e e Invariáns: koordináta-rendsertől független (koordináta transformációval semben váltoatlan állandó) Például a vektor iránú koordinátája: e e e e e e e veges sorat e e Uganeel a gondolatmenettel elő lehet állítani a többi koordinátáját is: Eel bionítottuk hog a fesültségi tenor simmetrikus Tétel: inden simmetrikus tenor vektorinvariánsa érus c) A eredmének össefoglalása: q egensúli egenlet T a fesültségi tenor simmetrikus Egensúli egenletek: kapcsolat a térfogati terhelés és a belső erőrendser köött 55

17 4 inematikai /geometriai/ kompatibilitási egenletek 4 A elmodulásmeő derivált tenora P dr u P Q uq u u A test eg tetsőleges P pontjának elemi körneetét visgáljuk meg A Q a P pont elemi körneetében helekedik el dr de d e d e A elmodulásmeő: u uq up u up u u u e v e w e u u u Sorfejtés: u up d d d (()) u P lineáris rés u P u P magasabb rendű tagok Lineáris köelítés esetén a sorfejtésben a magasabb rendű tagokat elhanagoljuk: u du Ha d d u u d Ha d d u u d Ha d d u u d Relatív elmodulás vektorok: u u v w u e e e u u v w u e e e u u v w u e e e A elmodulásmeő hel serinti megváltoása lineáris köelítés esetén: u u u u du d d d P e dr P e dr P e dr u e dr u e dr u e dr u u u du u e u e u e dr e e e dr D dr du D dr 56

18 A elmodulásmeő derivált tenora: Du u u u Du e u e u e D e e e Nem simmetrikus tenor! A derivált tenor mátria a koordináta-rendserben: u u u v v v D w w w u u u A elmodulásmeő skaláris koordinátái: u u v v w w T T A derivált tenor felbontása: D D D D D 4 A alakváltoási tenor simmetrikus rés ferdesimmetrikus rés A alakváltoási tenor a derivált tenor simmetrikus rése: T A D D u u is alakváltoások esetén e a tenoregenlet a kinematikai/geometriai egenlet E a egenlet a u elmodulásmeő és a A alakváltoási (tenor) meő kapcsolatát adja meg A alakváltoási tenor elemeinek jelölése: A Simmetrikus tenor: A alakváltoási tenor koordinátái a értelmeés (a derivált tenor koordinátái) felhasnálásával: 57

19 u v u w u u v v w v A u w v w w A kinematikai/geometriai egenletek skaláris alakja: u u v v v w w u w 4 A forgató tenor A forgató tenor a derivált tenor ferdesimmetrikus rése: A forgató tenor mátria: T D D u u u v u w v u v w w u w v A forgató tenor a elemi körneet merevtestserű sögelfordulását jellemi A forgató tenornak a silárdságtanban/rugalmasságtanban nincs további serepe nem hasnáljuk 4 Anagegenletek lineárisan rugalmas anag Anagegenlet: össefüggés a alakváltoási és a fesültségi állapot köött 4 A általános Hooke 9 -törvén iotróp anagra I ) A E G ahol AI ) G A E G csústató rugalmassági modulus anagjellemők Poisson téneő 9 Robert Hooke (65-7) angol termésettudós 58

20 A fesültségi/alakváltoási tenor első skalár invariánsai: A I I Invariáns eg menniség ha a koordináta-transformációval semben váltoatlan állandó A ) alak skaláris egenletei: A ) alak skaláris egenletei: ás anagállandók beveetése: G G G G G G G G G G G G a) Egserű Hooke- törvén egtengelű fesültségi állapot (húás-nomás/hajlítás): A ahol N N húás-nomás h hajlítás h Egserű Hooke-törvén: E Általános Hooke-törvén: G G G G E A két alakot össevetve: G vag EG ahol E a Young -féle rugalmassági modulus Thomas Young (77-89) angol termésettudós 59

21 b) Össefüggés a első skalár invariánsok köött: AI I G A I I G I I térfogati rugalmassági modulus (nem független anagállandó) c) ajlagos térfogatváltoás: E G dv AI V ( jelentése: lineáris köelítés esetén) Lineárisan rugalmas iotróp anag anagállandói: E G eek köül kettő független egjegés: A merta deviátor tenorok a test tista torulását jellemik di di A iotróp anagra vonatkoó általános Hooke-törvén felírása mátri alakban: iindulva a Hooke-törvén A I E G alakjából és felhasnálva a G E össefüggést: E E E E E E E E E E E E G G G A alakváltoási és a fesültségi tenor független koordinátáit oslopmátriba rendeve kapjuk a törvén mátrios alakját A általános Hooke-törvén mátrios alakban: E E E E E E E E E G G G 6

22 Tömören: C ahol C a anagjellemők/anagállandók mátria 4 A általános Hooke-törvén ortotróp anagra Aniotróp anag: a anagi tulajdonságok (viselkedés) irántól függő Pl: faanag hossú sálaással erősített műanag stb Ortotróp anag: a aniotróp anag speciális esete a anagi viselkedés egmásra merőleges iránokban vett anagjellemőkkel leírható Pl: eg iránban futó párhuamos hossú sálakkal erősített műanag Aért foglalkounk eel a esettel mert a gakorlatban elterjedt sálerősítésű műanag kompoitok köül sok eel a anagmodellel leírható ompoit anag: többféle eltérő tulajdonságú anagból össetett anag Rései: - erősítés (üvegsál sénsál aramid sál stb) - mátri (ágaó anag: epoi poliéster poliamid stb) Tapastalat: a kompoit anag sok esetben jobb mechanikai tulajdonságokkal rendelkeik mint a alkotórései ő előnök: nag silárdság kis tömegsűrűség (önsúl) korróió állóság stb mátrianag sálanag a kompoit anagi főiránai (a anag termésetes/anagi koordináta-rendsere) Valóság: a anag nem homogén (a sálak és a mátri anaga eltérő tulajdonságú) echanikai modell: Eg olan homogén ortotróp anag amel nem alkalmas a sálakban vag a mátriban fellépő mechanikai jellemők (alakváltoások fesültségek) meghatároására hanem csak a kompoit anag eg olan kisebb tartománának átlagos jellemői határohatók meg vele amelben elegendően sok sál van 6

23 Áltános Hooke-törvén ortotróp anagra: E E E E E E E E E G G G E E E a iránú húásho tartoó rugalmassági modulus G G G a csústató rugalmassági modulusok a Poisson téneők Például: a iránú húásho tartoó iránú kontrakció : C A ortotróp Hooke-törvén mátrios felírás esetén formailag uganolan alakban írható fel mint a iotróp Hooke-törvén A anagtörvén iotróp és ortotróp esetre formailag aonos különbség a C anagállandó mátri tartalmában van öös tulajdonság: C simmetrikus mátri (energetikai okokból követkeően) Simmetria: E E E E E E A lineárisan rugalmas ortotróp anag viselkedése 9 független anagállandóval írható le: E E E G G G 44 Peremfeltételek A u O n da p A p Dinamikai peremfeltétel: n p a A p n inematikai peremfeltétel: u u a A u -n A p ismert felületi terhelés A p - a test felületének a a rése ahol a felületi terhelés ismert A u ismert elmodulás A u - a test felületének a a rése ahol a elmodulás ismert 6

24 45 A rugalmasságtan egenletrendsere q egensúli egenlet (db) A u u kompatibilitási egenlet (6 db) C anagegenlet ( 6db) n A p dinamikai p peremfeltételek u A u kinematikai u ( db) ( db) Ismeretlenek: u( ) A( ) ( ) Bebionítható: a rugalmasságtan egenletrendserének adott peremfeltételek mellett eg és csakis eg megoldása léteik (egistencia és unicitás) Egakt megoldás: A keresett u A meők a egenletrendser és a peremfeltételek minden egenletét kielégítik öelítő megoldás: A keresett u A meők a egenletrendser és a peremfeltételek nem minden egenletét elégítik ki 46 A kompatibilitási egenlet más alakjai geometriai egenletből indulunk ki A A u u Átalakítás: sorás jobbról és balról vektoriálisan -val Saint-Venant féle kompatibilitási egenlet 46 A Saint-Venant féle kompatibilitási egenlet A skalár egenletek leveetése DDR-ben: a) A A kifejeés előállítása: A e e e A (tenor egenlet) és e e e A leveetésnél felhasnáljuk a a b c a b c aonosságot A e e e e e e e e e e e e A kifejeést átrendeve: 6

25 A e e e b) Sorás vektoriálisan balról -val A Saint-Venant tenor-egenlet bal oldalán álló kifejeés mínus egseresét jelöljük - val A A tenor mátriának első oslopába a koordinátái kerülnek A oslopmátri előállítása: e vektor e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e A átalakítások során felhasnáltuk a a b b a aonosságot A kifejeés tagjainak átcsoportosítása után: e e e Hasonló sámítások eredméneképpen kapjuk a A tenor második és harmadik oslopát: e e e e e 64

26 e e e e A Saint-Venant féle kompatibilitási tenor egenlet serint a fenti oslopok minden koordinátája nullával egenlő E a kilenc egenlet a Saint-Venant féle kompatibilitási tenor egenlet skaláris alakja DDR-ben: A alakváltoási tenor simmetriáját figelembe véve hat egmástól különböő skalárisegenlet marad: 65

27 egjegés: E hat egenlet megsorításokat jelent a alakváltoási tenor koordinátáira néve At jelenti hog a alakváltoási tenor koordinátái nem függetlenek egmástól Ha figelembe vessük a A u u össefüggést akkor a egenletek aonossággá alakulnak Tehát a Saint-Venant-féle kompatibilitási egenlet fiikai tartalma megegeik a 4pontban felírt geometriai/kinematikai egenletek tartalmával Átalakítás: a Saint-Venant egenlet + iotróp Hooke-törvén + egensúli egenletek Beltrami - ichell -féle kompatibilitási egenlet 46 A Beltrami-ichell-féle kompatibilitási egenlet I q q q E (tenor egenlet) Laplace féle differenciál operátor: A skalár egenletek leveetése DDR-ben: q q q q q q q q q q q q q q q q q q q T Eugenio Beltrami (85-9) olas matematikus John Henr ichell (86-94) austrál matematikus Pierre-Simon de Laplace (749-89) francia matematikus csillagás és fiikus 66

28 q q q q q q q q q q q q q A skaláregenleteket a kijelölt differenciálások elvégésével kapjuk A fesültségi tenor diagonális elemeihe kapcsolódó három skaláregenlet: I q q q q q I q q q I q q q q A fesültségi tenor főátlón kívüli elemeihe kapcsolódó hat skaláregenlet valójában csak három különböő egenlet a fesültségi tenor simmetriája miatt: I q q I q q q I q 47 Gakorló feladatok a rugalmasságtani egenletekre 47 feladat: Rugalmas test elmodulási és alakváltoási állapota Adott: A rugalmas test elmodulási állapota a u r u P pontjának r P helvektora u r u u( ) e v( ) e w( ) e u / R v / R w / R R m =5 rp e e e 4 5 mm függvénnel továbbá a test eladat: a) A D derivált a A alakváltoási és a forgató tenor mátriának meghatároása b) A P pontbeli alakváltoási tenor mátriának meghatároása és semléltetése a elemi triéderen 67

29 idolgoás: c) A n fajlagos núlás és a en 5e e mn fajlagos sögváltoás meghatároása ha és em e +5e a) A D derivált a A alakváltoási és a forgató tenor mátriának meghatároása: A elmodulásmeő derivált tenora: u u u Du e u e u e e e e u u u u R R v v v D R R R w w w R R - nem simmetrikus tenor A derivált tenor a P() pont elemi körneetének relatív fajlagos elmodulási állapotát jellemi A alakváltoási tenor: T A D D u u (a derivált tenor simmetrikus rése) u v u w u A u v v w v u w v w w R A R R A alakváltoási tenor a P() pont elemi körneetének alakváltoását jellemi A forgató tenor: T D D u u (a derivált tenor ferde simmetrikus rése) 68

30 u v u w R v u v w R R w u w v R A forgató tenor a P() pont elemi körneetének merevtestserű sögelfordulását jellemi b) A P pontbeli alakváltoási tenor mátriának meghatároása és semléltetése a elemi triéderen: R G R G 4 R G 5-4 A P 5 - c) A n fajlagos núlás és a mn fajlagos sögváltoás meghatároása: n A P e n 5 / / 4 - A fajlagos núlás: P e e e n n en / 4 5 / A fajlagos sögváltoás: -4 mn n e m / 4 / 5 69

31 47 feladat: Rugalmasságtani egenletek húott rúd l b a Adott: A ábrán látható hasáb alakú (mechanikai sempontból rúdnak is tekinthető) rugalmas önsúlával terhelt test elmodulásmeőjének skaláris koordinátái: u g / E v g / E g w l E E - a anag rugalmassági modulusa - Poisson téneő - a test anagának tömegsűrűsége g - gravitációs gors a b l - a test méretei Eeket a elmodulási koordinátákat a rúdelmélet (húott - nomott primatikus rúd) felhasnálásával kapjuk eladat: A rugalmasságtani egenletek teljesülésének ellenőrése idolgoás: a) A alakváltoási tenor előállítása: u v w g / E g / E g / E v u w v u w g / E A g / E g / E A geometriai egenletek teljesülnek mert eek felhasnálásával állítottuk elő a alakváltoási tenort b) A általános Hooke-törvén alkalmaása a fesültségi tenor előállítása: g AI ( ) E G( ) E G G G g G G G 7

32 ( ) g N gv g( ab) A rúdelméletből: g A anagegenletek teljesülnek A A ab c) Egensúli egenlet teljesülésének ellenőrése: q q q e g e q q q g g Valamenni egensúli egenlet teljesül d) A kinematikai peremfeltételek teljesülése: A =l egenletű felületen: u g u g l E v g l E w E / / E a feltétel csak a pontban teljesül e) Dinamikai peremfeltételek teljesülése: A felület terheletlen és teljesül A A b felületek sintén terheletlenek és e a felületek is terheletlenek és e teljesül teljesül 47 feladat: Rugalmasságtani egenletek hajlított nírt rúd h p Adott: A ábrán látható hasáb alakú (mechanikai sempontból rúdnak is tekinthető) rugalmas test geometriai méretei és terhelése: h b l p h b l eladat: Annak ellenőrése hog a rúdelmélettel kapott megoldás kielégíti-e a egensúli egenletet és a peremfeltételeket idolgoás: 7

33 a) A fesültségi állapot meghatároása a rúdelméletből: terhelés: q pb q p b l níróerő: T q d p b hajlító nomaték: T d p b h A fesültségi tenor: ( ) h p I 4h T S p h I b 4h h b b( h) bh I S b h h b) Egensúli egenlet teljesülésének ellenőrése: q q p q h 4h E a skalár egenlet csak a = h egenletű felületeken teljesül p p q h h c) Dinamikai peremfeltételek teljesülésének ellenőrése: b A felületen ( e ) b volta éppen et jelenti - a felületek terheletlen A felületen e - a felület terheletlen volta éppen et jelenti A h felületeken: ( e ) e h h 7

34 E csak h esetén teljesíti a dinamikai peremfeltételt amenniben a tartó alsó felülete valóban terheletlen A felső felület esetén ( h) uganis e pe esetén teljesülne a dinamikai peremfeltétel ivel eg skaláris egensúli egenlet és eg skaláris dinamikai peremfeltételi egenlet nem teljesül eért a rúdelmélet alapján előállított megoldás rugalmasságtani sempontból nem egakt hanem köelítő h 474 feladat: Rugalmasságtani egenletek Adott: A ábrán látható kesken téglalap kerestmetsetű rúd fesültségmeője: p 4e p 4e l e e l p e 4e l e e a l eladat: a) A egensúli egenlet teljesülésének visgálata q esetén b) A rúd terhelésének illetve támastóerő rendserének meghatároása a dinamikai peremfeltételekből c) Annak visgálata hog a megadott fesültségmeő lehet-e valamel rugalmasságtani feladat egakt megoldása ha q idolgoás: a) A egensúli egenlet teljesülésének visgálata q esetén: Ha a térfogati terhelés a rúd minden pontján érus akkor a q egensúli egenlet a alakra egserűsödik A visgálandó skaláregenletek a követkeők: A első skaláregenlet aonnal teljesül hisen a benne sereplő fesültségkoordináták aonosan egenlők nullával 7

35 A második skaláregenlet is teljesül tetsőleges pontban: p p e e 4e l 4e l Uganet láthatjuk a harmadik skaláregenlet esetén uganis: p p 4e l 4e l A egensúli egenlet tehát a rúd minden pontjában teljesül b) A rúd terhelésének illetve támastóerő-rendserének meghatároása a dinamikai peremfeltételekből: ivel térfogati erő nem hat és a fesültségeloslás foltonos függvénekkel leírható a rúdra ható terhelés és a támastóerő rendser is felületen megosló erőként jelentkeik Ennek sámítása a felületi fesültségállapot visgálatával lehetséges i kell sámítani a rudat határoló hat téglalap felületen a fesültségeket A normálisú felületek terheletlenek uganis vagis e e A e normálisú felület (a rúd felső lapja ) a e helettesítéssel áll elő p e e e p 4e l l p e e 4e l sűrű- A negatív normálfesültség össenomást jelent a felületet tehát p p e l ségű felületen megosló erő terheli A e normálisú felület (a rúd alsó lapja ) a e helettesítéssel áll elő p e e e 4e l p e e E a felület terheletlen 4e l A e normálisú felület a l helettesítéssel áll elő A p l pl l 4e l e p l l e e 4e l 8e lp e normálisú felület a helettesítéssel áll elő 74

36 A felület terheletlen c) Annak visgálata hog a megadott fesültségmeő lehet-e valamel rugalmasságtani feladat egakt megoldása ha q : Egakt megoldás esetén a fentieken kívül teljesülnie kell a Beltrami ichell-féle kompatibilitási egenleteknek is Eek skaláris alakja q esetén: I I I I I I A deriválásokat (fenti sorrendben/elrendeésben) elvégeve a követkeő egenletekre jutunk: 6p 6p 4e l 4e l p p 4e l 4e l p p p e e 4e l 4e l 4e l l l 475 feladat: Rugalmasságtani egenletek elmodulási alakváltoási és fesültségi állapot S l r P S P R Adott: Eg kör kerestmetsetű rúd geometriai méretei és csústató rugalmassági modulusa a csavarásakor a elmodu- u r u függvénnel továb- lás vektormeő a bá a test P pontjának r P helvektora u ( ) e ( ) e rad/m R m G =8 GPa l = m e r e e m P eladat: a) A A alakváltoási tenor mátriának meghatároása b) A rúd térfogatváltoásának meghatároása 75

37 idolgoás: c) A r helvektorú P pontban a főnúlások és a P e e e alakváltoási főiránok meghatároása A P pontbeli alakváltoási állapot semléltetése d) A P pontbeli fesültségi állapot meghatároása a) A A alakváltoási tenor mátriának meghatároása: A kijelölt deriválásokat elvégeve: A P pontban: T A D D u u A 4 5 A P 4 5 b) A rúd térfogatváltoásának meghatároása: A relatív térfogatváltoás a alakváltoási tenor determinánsával egenlő (is alakváltoások esetén köelíthető a A első skalár invariánssal is) I V det A tehát a alakváltoás során nincs térfogatváltoás V c) A r P helvektorú P pontban a főnúlások és a e e e alakváltoási főiránok meghatároása A P pontbeli alakváltoási állapot semléltetése: A sajátérték feladat kitűése és a karakteristikus egenlet: -4 e 5 e e e -4 5 e e 5-8 e e A főnúlások vagis a karakteristikus egenlet (harmadfokú algebrai egenlet) megoldásai: A e főirán meghatároása: 5 5 e 5 5 e -4 5 e A e főirán meghatároása: e e 5e 5e 5e 5e 5e e e e e e e A e főirán meghatároása: e e e e e e e e 76

38 Semléltetés a elemi triéderen: e 5 4 e 5 P e d) A P pontbeli fesültségi állapot meghatároása: A A általános Hooke-törvén: G A I E Ebből a fesültségi tenor nem érus koordinátái: G 8Pa 8 A fesültségi tenor: Pa feladat: Rugalmasságtani egenletek a alakváltoási tenor felírása henger koordináta-rendserben kinematikai egenlet Adott: A A u u kinematikai egenlet skaláris egenleteinek leveetése a R henger koordináta-rendserben eladat: A A u u idolgoás: A nabla differenciáloperátor henger-koordinátarendserben: er e e R R A u elmodulásmaő henger koordináta-rendserben u uer ve we Du uer ve we er e e R R A derivált tenor: A henger-koordinátarendserben a báisvektorok eg rése nem független a heltől: er er ( ) e e( ) e állandó Eért henger-koordinátarendserben a báisvektorok helkoordináták serinti deriváltjai semben a Descartes-féle deréksögű koordinátarendserrel nem mind egenlők nullával: e e R e e e e R e er de R R R A kijelölt diadikus sorás elvégésénél et figelembe véve: e e er 77

39 DueR ve we er e e R R u v w u er v er er e er e er er e u e e e R R R R R R e e w u v w v e e e er e e e e e R R e R A aonos diádokat össevonva: u v w u v u v D er er e er e er er e e e R R R R R R R w u v w e e e e e e e e R R Ebből a elmodulásmeő derivált tenorának mátria: u u u R R R v v u v D R R R w w w R R T A alakváltoási tenor: A D D nem simmetrikus tenor vagis a derivált tenor simmetrikus rése: u u v u w v R R R R R u v u v v w A v R R R R R R R u w v w w R R R 477 feladat: Rugalmasságtani egenletek a egensúli egenletek felírása henger koordináta-rendserben Adott: A q egensúli egenlet eladat: A q egensúli egenlet skaláris egenleteinek meghatároása a R henger-koordinátarendserben 78

40 idolgoás: A differenciáloperátor henger-koordinátarendserben: er e e R R A fesültségi tenor henger-koordinátarendserben: R er e e A henger-koordinátarendserben a báisvektorok eg rése nem független a heltől: er er ( ) e e( ) e állandó Eért henger-koordinátarendserben a báisvektorok helkoordináták serinti deriváltjai semben a Descartes-féle deréksögű koordinátarendserrel nem mind egenlők nullával: e e R e e e e R e er de R R R A skaláris sorás elvégése: R er e e er e e R R R er er e er e er R R R e e er R er e er e R e e e e e e R R R R e e R e e e e e e R A diadikus és a skaláris sorás associativitását és a báisvektorok merőlegességét figelembe véve: R R R R R R R R er e e R ReR Re Re R R R R R R R er e er R e e R R R R R e e R e e e e e e R R A báisvektorokkal való skaláris sorás eredméneképpen a q térfogati erősűrűség megfelelő skaláris koordinátájának figelembe vételével a követkeő skaláris egenleteket kapjuk: R 79

41 R R R R qr R R R R R q R R R R q R R 8