A ferde hajlítás alapképleteiről

Átírás

1 ferde hajlítás alapképleteiről Beveetés régebbi silárdságtani sakirodalomban [ 1 ], [ ] más típusú leveetések, más alakú képletek voltak forgalomban a egenes tengelű rudak ferde hajlításával kapcsolatban, mint manapság. eglepő tapastalat, hog eekben nemigen rajoltak térbeli semléltető ábrákat, bár a feladat termésetéhe e igencsak illene. ost megkíséreljük e sép és értékes tananag lénegét a mostanság megsokottho hasonló formába önteni, termésetesen köel váltoatlan tartalom mellett. Ebben segítségünkre les eg modern sakkönv [ 3 ] is. [ 1 ] fesültség - képleteinek leveetése alkalmaott jobbsodrású térbeli deréksögű koordináta - rendsert a 1. ábra semlélteti. kerestmetseti ( S ): súlponti főtengelrendser. 1. ábra meggörbült rúd núlásvisonait a. ábra alapján tistáuk. egmástól ds távolságra lévő K 1 és K kerestmetsetek egmásho képest dφ söggel elfordulnak, a n n semleges tengelük körül. semleges tengeltől m távolságra lévő sál fajlagos megnúlása: ds m d d P ds m. ds d ( 1 ). ábra

2 ost Hooke törvéne serint: E. ( ) ajd ( 1 ) és ( ) - vel: E m. ( 3 ) ost fejeük ki m - et a és koordinátákkal! 3. ábra serint: m cos sin. ( 4 ) ost ( 3 ) és ( 4 ) - gel: E cos sin. ( 5 ) Eután határouk meg a - erőrendser eredőit! Egelőre tista hajlításról van só, íg a normálerő érus: N d ábra ( 6 ) Elősör ( 3 ) és ( 6 ) - tal: E E N md md 0. ( 7 ) inthog E 0, íg ( 7 ) és ( 8 ) - cal: md 0. ( 9 ) inthog ( 9 ) súlponti koordináta - rendserben teljesül, eel nem jutottunk előrébb, hisen eleve ilet válastottunk. egerősíti, hog a semleges tengelnek át kell mennie a súlponton. eges kerestmetsetek súlpontjait össekötő tengelvonalon gondo - latban végigveetett semleges tengel - sakasok a gerenda semleges felületét súrolják. nomatékú külső erőpár hatására fellépő belső - erőrendser eredője: maga a hajlítónomaték. Ennek a és tengelre vett vetülete:, ld 4. ábra! Írjuk fel komponenseit! cos ; ( 10 ) sin. ( 11 ) ( 8 )

3 3 ásrésről a ábra serint is: dn d ; 4. ábra ( 1 ) ost ( 5 ) és ( 1 ) - vel: E cos sin d; ( 13 ) Feltessük, hog E a kerestmetset minden pontjára ugana, valamint felidéük, hog a ρ görbületi sugár nem függ a és koordinátáktól, íg ( 13 ) - ból: E E cos sin d cos d sin d ( 14 ) inthog a φ sög eg adott kerestmetsetre állandó, ( 14 ) - ből: E cos d sin d. ( 15 ) Beveetve a d, ( 16 ) d ( 17 ) jelöléseket, és emléketetve arra a ténre, hog a főtengelek koordináta - rendserében 0, ( 17 / 1 ) íg a ( 15 ), ( 16 ) ( 17 ) képletekkel:

4 4 E cos. Átalakítva: 1 cos. E ost ( 10 ) és ( 19 ) - cel: ( 18 ) ( 19 ) cos 1 cos. E ( 0 ) Teljesen hasonlóan: a ábra alapján E d = cos sin d= E E cos sin sin, tehát 1 sin. E tt menet köben alkalmatuk ( 17 / 1 ) - et és beveettük a ( 1 ) d ( ) másodrendű nomatékot. ost ( 11 ) és ( ) - vel: sin 1 sin. E ( 3 ) ost képeük ( 3 ) és ( 0 ) hánadosát! sin 1 sin E, aa cos 1 cos E ( 4 ) tg tg ;

5 5 most érvénesítve, hog 1 és, ( 4 ) - ből: 1 tg tg. ( 5 ) Eel meghatárotuk a semleges tengel heletét: ~ ( 9 ) serint átmeg a súlponton, és ~ irána ( 5 ) serinti. ost tovább manipuláljuk képleteinket: ( 0 ) és ( 3 ) jobb oldalaival: 1 1 sin cos 1 sin cos ; majd a bal oldalakkal is: sin cos sin cos ; E E E eután ( j ) = ( b ) - vel: 1 sin cos, E majd gököt vonva: 1 sin cos. E ost beveetjük a ún. effektív másodrendű nomatékot [ 4 ] : eff, sin cos ill. a főtengelek sokásos jelöléseivel: 1 eff ; sin cos 1 majd ( 6 ) és ( 7 ) - tel: 1. E eff ( j ) ( b ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) (7 ) képlet teljesen hasonló a egenes hajlítás ismert képletéhe. ost térjünk vissa a fesültség - sámítás képleteihe! ( 3 ) és ( 6 ) - ból:

6 6 m (m). ( 9 ) eff ás alakban: ( 5 ), ( 19 ), ( 1 ) - gel: E Ecos Esin cos sin (x), tehát (x) (x,,). ( 30 ) Vag ( 10 ), ( 11 ) és ( 30 ) - cal: cos (x) sin (x) (x,, ) (x). ( 31 ) Továbbá ( 10 ) és ( 11 ) - ből: (x) (x) (x) ; ( 3 ) (x) ( 33 ) (x) tg (x). egjegések: 1. Bár a fenti képleteket eredetileg a tista hajlítás esetére írták fel, a gakorlatban köelítésként a nírással, húással, stb. kombinált igénbevételek esetére is alkalmauk, értelemserűen. t a körülmént, hog konst., a ( 31), (3 ), (33 ) képletekben a x váltoó kiírásával érékeltettük.. ( 19 ) és ( 1 ) képletek által kifejeett statikai / geometriai tének [ 1 ] - ben ábráolás után kiáltanak! E hiánt alább pótoljuk.

7 7 deformált tengelvonal egenleteinek leveetése Elősör [ 3 ] nomán visgáljuk meg a rugalmas vonal görbületi visonait! Ehhe tekintsük a 5. ábrát! 5. ábra tt a térbeli Δs hossúságú tengelvonal - darabot, valamint annak Δs és Δs vetületeit láthatjuk. ost néük meg, hog milen össefüggés áll fenn a általában térgörbe deformált rúdtengel és annak a koordináta - síkokra vett vetületei görbülete köött! Elősör tekintsük a 6. ábrát, mel a 5. ábra ( m, x ) síkbeli megfelelője! 6. ábra alapján: BC x, ( 34 ) innen BC. ( 35 ) x térgörbe rúd görbületének kifejeése:

8 8 d d d cos ; ( 36 ) ds ds ámde igen kis sögérték, hisen a rúd merev, íg cos 1. ( 37 ) ost ( 36 ) és ( 37 ) - tel: d d. ( 38 ) ds ivel ( 35 ) - tel is: d BC lim lim, ( 39 ) x0 x x0 x íg d ds BC lim. x0 x ( 40 ) 5. ábra alapján, a előőkhö hasonlóan: d B1C 1 lim ; x0 x d B C lim. x x0 6. ábra ( 41 ) ( 4 ) Ámde a 5. ábra serint felírható, hog B1C BC cos, 1 ( 43 ) BC BCsin, ( 44 ) íg ( 40 ), ( 41 ) és ( 43 ) - mal: d B1C 1 BCcos lim lim x 0 x 0 x x d BC d cos lim x 0 cos, x tehát d cos. ( 45 )

9 9 Vag felhasnálva, hog d ds, ( 46 ) innen: d d 1. ( 47 ) ds ost ( 45 ) és ( 47 ) - tel: d 1 cos. ( 48 ) Hasonlóan ( 40 ), ( 4 ), ( 44 ) képletekkel: d BC BCsin lim lim x 0 x 0 x x d BC d sin lim sin, x0 x d tehát sin. ( 49 ) ost ( 47 ), ( 49 ) - cel: d 1 sin. ost állítsuk fel a rugalmas sál vetületi görbéinek a egenleteit! Ehhe tekintsük a 7. ábrát is! ( 50 ) 7. ábra

10 10 ábra alapján: dv(x) ; ( 51 ) dw(x). ( 5 ) vetületi görbék görbületére a síkbeli eset képleteivel: d ; ( 53 ) d E d. ( 54 ) d E ost ( 51 ) és ( 53 ) - mal: (x) v ''(x) ; ( 55 ) E majd (x) w ''(x). ( 56 ) E Eután ( 53 ) és ( 11 ) - gel: d sin ; ( 57 ) d E majd ( 57 ) és ( 48 ) - cal: sin 1 cos ( 58 ) E ost ( 54 ) és ( 10 ) - el: d cos ; ( 59 ) d E majd ( 59 ) és ( 50 ) - nel: cos 1 sin. E ost a 5. ábráról: 90 ; figelembe véve, hog ( 61 ) - gel is adódóan cos cos 90 cos 90 cos90 sin, valamint sin sin 90 sin 90 sin90 cos, ( 60 ) ( 61 ) ( 6 ) (63 )

11 11 ( 58 ) és ( 6 ) - vel: sin 1 sin ; E ( 64 ) majd ( 60 ) és ( 63 ) - mal: cos 1 cos. E ( 65 ) ( 64 ) képlet megegeik ( 3 ) - mal, a ( 65 ) pedig ( 0 ) - sal. Eserint a főleg statikai és a főleg geometriai alapon álló leveetésekkel uganat kaptuk. leveetések pedig bepillantást engedtek a jelenségek belső össefüggéseibe. Eg további érdekes és a semléletesség fokoása miatt is igen jelentős megállapítás tehető, a eddigiekre alapova. Ehhe tekintsük a 8. ábrát is! 8. ábra tt össegűjtöttük a 5. és 7. ábrák mondandónk sempontjából fontos résleteit. Tekintsük a eges tengelek körüli, igen kis sögelfordulásokat vektoroknak! ferde hajlítás során a gerenda kerestmetsete a n n semleges tengel körül fordul el Φ söggel, melnek követketében a vetületi görbék adott pontbeli érintői Φ és Φ söggel fordulnak el, a terheletlen állapotbeli, x - tengellel egbeeső heletükhö képest. vektor - felbontás ismert módján: cos ; ( 66 ) sin. ( 67 ) Differenciálva a tengelvonal - koordináta serint, ( 66 ) és ( 67 ) - ből:

12 1 d d cos ; ( 68 ) d d sin. ( 69 ) ( 68 ) képlet ( 45 ) - tel, a ( 69 ) pedig ( 49 ) - cel egeik. E at is jelenti, hog a alkalmaott elmélet keretein belül a sögelfordulások vektorok - nak tekinthetők. Eel lénegesen könnebben jutunk célho, bár a semléltetés kedvéért a hossabb utat is érdemes végigjárnia a jelenség iránt érdeklődő tanulónak. Érdekes, hog úg tűnik: a sakkönvek serői nemigen alkalmaák a vektoros semléletet, a forgásokkal kapcsolatban. Ellenpélda: [ 5 ]. Eg ritkán előforduló képletalakról ( 3 ) képlet serint a sélső sálban annál nagobb normálfesültség ébred, minél nagobb a sélső sál m max távolsága a semleges tengeltől. Feltehetjük a kérdést: eg a kerestmetset súlponti főtengelek által rögített koordináta - rendserében adott P(, ) pont milen távol van a semleges tengeltől? [ 5 ] - ben is megtalálható válas a ( 3 ) képlet alapján most nem ( 4 ) - et hasnálva! : m. E ( 70 ) ( 30 ) képletből: ; ( 71 ) majd ( 19 ) és ( 1 ) - ből: E ; végül ( 70 ), ( 71 ), ( 7 ) - ből: ( 7 ) m(,). ( 73 )

13 13 rodalomjegék [ 1 ] C. Bach ~ R. Baumann: Elastiitaet und Festigkeit Springer Verlag, Berlin, 194. [ ] nderlik Előd ~ Feimer Lásló: echanika Pallas Rt., Budapest, [ 3 ] Ed.: Thomas J. Lardner: n ntroduction to the echanics of Solids Second Edition, cgraw - Hill Book Compan, New York, 197. [ 4 ] L. D. Landau ~ E.. Lifsic: Elméleti fiika V.: Rugalmasságtan Tankönvkiadó, Budapest, [ 5 ] Red.:.. Birger ~ N.. Koterov: Rascsot na procsnost aviacionnüh gaoturbinnüh dvigatelej asinostroenije, oskva, Sődliget, 008. augustus 3. Össeállította: Galgóci Gula mérnöktanár