9. A RUGALMASSÁGTAN 2D FELADATAI

Átírás

1 9 A UGALMASSÁGTAN D FELADATAI A D ( két dimeniós ) feladatok köös jellemői: - két skalár elmodulásmeő különöik nullától - minden mechanikai menniség két helkoordinátától függ 9 Sík alakváltoás (SA) a) Definíció: Sík alakváltoásról esélünk ha a visgált testnek van eg kitüntetett síkja amellel párhuamos valamenni sík alakváltoása aonos és a síkok távolsága sem váltoik P P u u x x A P(x) pont elmodulásvektora: u = ue + ve x itüntetett sík: x A elmodulásmeő skaláris koordinátái csak a x helkoordináták függvénei: u= u( x ) v= v( x ) w= Ilen alakváltoás a alái feltételek teljesülése esetén alakul ki: - A test kitüntetett síkra merőleges ( iránú) mérete lénegesen nago (tart -he) mint a másik kettő (A árán a test iránra merőleges egségni vastagságú selete látható e a mechanikai moell) - A terhelés párhuamos a kitüntetett síkkal és a legnago kiterjedés (a tengel ) iránáan nem váltoik - A párhuamosv síkok távolságának váltoatlanságát külső kénser itosítja (et a árán sraffoott vonal jelöli) ) A alakváltoási állapot: u εx= = εx( x ) εx γx x A alakváltoási tenor: ( ) v A = A x = γ ahol x ( x ) x ε ε = = ε v u γ x = + = γx ( x ) x c) A fesültségi állapot (a Hooke törvén felhasnálásával): εx + ε x( x ) = Gεx + ν ν εx + ε ( x ) = Gε + ν ν 5

2 E τ x ( x ) = Gγx = γ x ( x ) = ν x + ( + ν ) x τx A fesültségi tenor: F F( x ) τ x = = A Hooke törvén másik alakjáól: εx = x ν( x + ) G ε = ν ( x + ) G τ x γ x = G d) A egensúli egenletek sík-alakváltoásra DD-en: τ x x τ x + + qx = + + q = q = x x e) A sík-alakváltoási állapotan lévő test (alkatrés) mechanikai modellje: - a testől kiragadjuk a kitüntetett síkot (vag más sóval kiragadunk eg a kitüntetett síkkal párhuamos egségni vastagságú síkseletet) - a kitüntetett sík (egségni vastagságú síkselet) alakváltoását visgáljuk 9 Általánosított sík fesültségi feladat (ÁSF) tárcsa feladat Definíció: A általánosított sík fesültségi feladat a saját síkjukan terhelt lemeek feladata Leme: Olan test melnek egik mérete lénegesen kise mint a másik kettő és értelmehető a köépsík Elneveés: általánosított sík-fesültség feladat = tárcsa feladat x Feltételeés: a = ± felületek terheletlenek Dinamikai peremfeltétel a =± felületen: ρ = = τ = τ = x Mivel a vastagság kicsi eért a test minden pontjáan jó köelítéssel = τ = τ = a) Átlagos fesültségek: x = x d d x x d = τ = τ x = d x x d d = τ = τ = τ = τ = 5

3 A átlagos fesültségi tenor: ) Átlagos alakváltoások: x τx F F x τ x = = ε x = εx d ε = ε d γ x = γx d ε = ( εx + ε) ν ν εx γx A átlagos alakváltoási tenor: A A( x ) γ x ε = = ε A átlagos alakváltoási tenor koordinátái átlagos elmodulásokól állíthatók elő: u v εx= ε = x u v γ x = + x c) Átlagos elmodulások: d) Egensúli egenletek DD-en: τ x x + + qx = x u( x ) = ud v x = vd w= τ x x + + q = q = A általánosított síkfesültségi állapotan lévő test (alkatrés) mechanikai modellje: - a testet a köépsíkjávallal helettesítjük - a átlagos menniségeket a köépsíkho kötjük 93 Forgássimmetrikus feladatok (FSZ) Definíció: a visgált test geometriája és terhelése is forgássimmetrikus (tengelsimmetrikus) p ( ) r u P u P p ( ) r A henger koordináta-rendseren dolgounk Tengelsimmetriáól követkeően minden mechanikai menniség független a - től A elmodulásmeő: u= ue + ve + we ν u = u v= w 53

4 A test pontjai a meridián síkan modulnak el a elmoduláskoordináták csak a és függvénei a) A alakváltoási állapot: u v u ε( ) = ε( ) = ε ( ) = u v γ = + γ = γ = ε γ A alakváltoási tenor: A A( ) γ ε = = ε ) A fesültségi állapot (a Hooke-törvén felhasnálásával): ν = Gε + A ν I ν = Gε + A ν ( ) I ν = Gε + AI ν τ = Gγ τ = τ = τ F = F = τ A fesültségi tenor: 94 Síkfeladatok oldása fesültségfüggvénnel a) A SA és ÁSF össehasonlítása: - Aonosság: Minden menniség csak x függvéne Független meők: két független elmodulásmeő három független alakváltoási meő három független fesültségi meő A geometriai és egensúli egenletek alakja - ülönöőség: A anagegenletek alakja SA-nál ponteli ÁSF-nél vastagság menti átlagos menniségek SA: nem független meők ÁSF: ε ) A Air (kiejtése: éri)-féle fesültségfüggvén: q = q = SA és q = q = ÁSF Feltételeés: x x 54

5 U x U( ) - a továiakan a felülvonás jelölést elhagjuk A fesültségfüggvént úg vessük fel hog a előle sámított fesültségek kielégítsék a egensúli egenleteket: U U U x = = τx = x x Eek a össefüggések a SA-ra és a ÁSF-re is érvénesek Jelölés: - fesültség függvén: U( x ) U( ) ( ) A oldás gondolatmenete: Fesültségek Anagegenletek Alakváltoások ompatiilitási egenlet U= - iharmonikus differenciálegenlet U( x ) - iharmonikus függvén kielégíti a iharmonikus differenciál egenletet A Laplace-féle differenciál operátor kétváltoós (síkeli) eseten = + x Et ehelettesítve a iharmonikus differenciálegenlet DD-en: U U U + + = 4 4 x x 95 Síkeli forgássimmetrikus feladatok furatos tárcsa vastagfalú cső A síkeli forgássimmetrikus feladatokat henger koordináta-rendseren oldjuk Fesültségfüggvén: U U( ) U Fesültségek: = = = (A forgássimmetria miatt) du d du = esetén d ν + SA = ÁSF 55

6 A fesültségi tenor: F = ε Alakváltoások (a Hooke-törvénől): A ε du u = ahol ε = ε = d ε A Hooke-törvén forgássimmetrikus eseten: SA ÁSF ε = ν( + ) G ε = ( ν ) E ε = ν( + ) G ε = ( ν ) E ν ε = ε = ( + ) E A iharmonikus differenciál egenlet: U= d d d du Tengelsimmetrikus eseten: d d = d d E eg homogén köönséges negedrendű Euler (kiejtése: ojler) típusú differenciálegenlet A Euler típusú differenciálegenlet matematikáól ismert formája: d d d d x x x x dx + dx + dx + dx = A Euler típusú differenciálegenlet oldását a követkeő alakan sokás keresni: h n x = x Een a eseten a iharmonikus differenciálegenlet oldása: U = A + ln + C + D ln A D ln -es tag nem ad egértékű elmodulásmeőt kör körgűrű tartománan eért a oldás utolsó tagját elhagjuk Íg a oldás: A U = + ln+ C A fesültségfüggvénől a fesültségek: du = A d = + du ν ( + ) SA = = A esetén = d ÁSF A A és állandók a dinamikai peremfeltételekől határoható 56

7 95 Vastagfalú csövek a) Megoldás: sík alakváltoás és húás-nomás superpoíciója p A vastagfalú csőnek a csővégektől elég távol levő sakasát visgáljuk p Feltételeük hog a visgált sakason a véglap avaró hatása már nem érvénesül Superpoíció: F = = + SA húás-nomás A csően kialakuló fesültségi állapot: = = A + = = A = + A tengel iránú normál fesültségek: - sík-alakváltoásól: ( ) = ν + = ν A - húás-nomásól: = állandó A csően ténlegesen fellépő tengel iránú normál fesültségek: - nitott cső esetén: = = - árt cső esetén: F pπ p = = A π π A húás-nomásól sármaó -nek mindig akkorának kell lennie hog a -he hoáadva a fenti értékek adódjanak: - nitott cső esetén: = = = Aν - árt cső esetén: = ) Csődiagram: A csődiagram áttekinthetően semlélteti a három érustól különöő fesültségkoordinátának a csővastagság menti eloslását Új váltoó: ψ = ( ψ < ψ < ) π 57

8 A új váltoónak a cső külső és első felületén felvett értékei: ψ = ψ = = a ψ A fesültségek a új váltoó eveetésével: = a+ ψ A ψ váltoó eveetésével a fesültségekre két egenest kaptunk A fenti össefüggéseken a és új állandók amelek dinamikai peremfeltételekől határohatók ( = ) = ( ψ = ) = p A új állandók határoása a peremfeltételekől: ( = ) = ( ψ = ψ ) = p A ehelettesítést elvégeve: a = p p p pψ p = = tgϑ a= a ψ = p ψ ψ A csődiagram: Nitott cső: = = állandó Zárt cső: F pπ pπ ϑ (árt) = = = A a ϑ π π ψ (n) ψ p pψ p = = a = állandó p ψ A diagram rajolásának lépései: - A dinamikai peremfeltételekől a ψ = és a ψ = ψ helen ismert a értéke eért - A ψ = helre p -t a ψ = ψ helre pedig p -t mérünk fel - A két pont össekötésével kapjuk a ( ψ ) egenest - A ( ψ ) egenes irántangense = tgϑ a egenes a függőleges tengelt a a helen metsi - A ( ψ ) egenest a ( ψ ) egenesnek a = a vísintes egenesre történő tükröésével kapjuk - A = állandó egenesek értékei a diagram melletti össefüggésekől sámíthatók c) Vastagfalú cső silárdságtani méreteése ellenőrése - Ha p > p : A főfesültségek: = = 3 = a ϑ ϑ ψ (árt) (n) p p red max ψ A Mohr serint sámított redukált fesültség: Mohr = = red 3 58

9 A redukált fesültség maximuma: red max ( Mohr) ( ) ( ) A csődiagramól: = = - Ha p > p : a ϑ ϑ Nitott cső: ψ p red max (n) (árt) p p Mohr ψ p (árt) red max A redukált fesültség maximuma: ψ = = = red max(n) A csődiagramól: Zárt cső: max ψ = A főfesültségek: Nitott cső: = = 3 = Zárt cső: = = 3 = A Mohr serint sámított redukált fesültség: Mohr = red 3 Mohr = = = + p red max max ψ = p p Mohr = + p = + p red max ψ A redukált fesültség maximuma: red max ( Mohr) ( ) ( ) p p red max Mohr ψ Méreteés ellenőrés: red max A csődiagramól: = = = = = max ψ = 95 Gorsan forgó tengelek csőtengelek Feltételeés: - ω = állandó q e - súlerő - p = p = p = e A visonokat a tengelhe kötött vele egütt forgó koordináta-rendseren írjuk le ω dv Forgás: térfogaton osló erőrendser: p = x S q γ = qe = ρω e = ω e g γ a anag fajsúla N/m 3 ρ a anag tösűrűsége kg/m 3 g a gravitációs gorsulás m/s rad/s ω a forgás sögseessége [ ] 59

10 A térfogaton osló erőrendser q = qe sűrűségvektora a tengel/csőtengel kerestmetsetének síkjáa esik eért a alakváltoás során a kerestmetsetek síkok maradnak A alakváltoás a kerestmetset síkjáan történik a) Megoldás: sík alakváltoás és húás-nomás ( = + ) 6 - Sík alakváltoás: Een a eseten a iharmonikus egenlet nem homogén a jooldalon jelenik a q ν iharmonikus differenciál egenlet: U= ρ ω ν Új váltoó eveetése: = < < A új váltoónak a csőtengel külső és első felületén felvett értékei: = = A fesültségek: = a ω = a + µ ω = ν( + ) 3 νρ A össefüggéseken sereplő állandók: + ν ω= ω µ = < ν 8 3 ν - Húás-nomás: a sík alakváltoásól és a húás-nomásól sármaó tengel iránú eredő erőnek érusnak kell lennie N = N + N = N = π d+ N = N = π d ehelettesítve a integrála a ( ) a ( ) = ν + = ν ν ω + µ kifejetés és áttérve a új vártoóra: d = d N = πaν( ) + ν ω( + µ ) π d N = πaν + ν + µ π N = A ( ) ω E a normálfesültség itosítja hog a csőtengelen ne lépjen fel tengel iránú eredő erő - Superpoíció: a forgó csőtengel/tengel fesültségei = = a ω a µ ω = = + µ ( ) = + = + ω

11 ν Új állandó: µ = < ( µ < µ ) 3 ν A össefüggéseken sereplő konstansok határoása a dinamikai peremfeltételekől: = ( = ) = = a ω = ( = ) = = a ω A a és a állandók eől a két egenletől határohatók ) A gorsan forgó csőtengel diagramja: A forgó csőtengel diagram áttekinthetően semlélteti a három érustól különöő fesültségkoordinátának a csőtengel vastagsága menti eloslását Jelölés: h = a h = a+ - hiperolák A hiperolák asimptotái: ha akkor h h asimptoták ha akkor h a h a A hiperolák tulajdonsága: A hiperola tetsőleges selő egenesén a vastag vonallal ejelölt metsett sakasok hossa aonos tetsőleges selő egenes A forgó csőtengel diagramja: i h i a > h > a ω µ ω + 6

12 A diagram rajolásának lépései: - A és értékek eg hiperola és eg egenes különségeként állnak elő: = h ω = h µ ω - Másképp fogalmava a hiperola pontokho úg jutunk ha a felelő egeneshe hoáadjuk a és értékeket: h = ω+ h = µ ω + - A diagram rajolás első lépéseként rajoljuk a ω illetve a µ ω meredekségű egenest - A = és a = helen függőleges egeneseket rajolunk e Eekre a egenesekre felmérjük ( ) = illetve ( = ) = dinamikai peremfeltételeket Íg kapjuk a h hiperola két pontját Eeket a pontokat össekötve pedig kapjuk a paraola selőjét - A két hiperola pontra a asimptoták figelemevételével erajoljuk a h hiperolát - A előőeken ismertetett hiperola tulajdonságól követkeően a h hiperola két pontját úg kapjuk hog a selő egenest hossaítjuk és a jooldali diagraman elmetsük a = és a = helre erajolt függőleges egenesekkel - A két pont és a két asimptota ismeretéen rajoljuk a h hiperolát - A és értékek a hiperolák és a egenesek különségeként állnak elő - A egenest a adott össefüggés alapján áráoljuk A fesültségek képleteien sereplő állandók határoása peremfeltételekől: a = = = = ω = ( = ) = = a ω a A első egenlete vissahelettesítve: = + ω( + ) = ( ) + ω( + ) = ω Vissahelettesítve a második egenlete: a= ( + ) ω = ω = a a= + c) Gorsan forgó csőtengel silárdságtani méreteése ellenőrése: A főfesültségek: A = helen: = = 3 = = A = helen: = = = 3 = < A diagramól látsik hog a veséles a = hel ω ω 6

13 Itt van a redukált fesültség maximuma: red max ( Mohr) = ( ) a µ ω = = + A össefüggése a a és értéket ehelettesítve: red max ( Mohr) = ( + ) ω + ω µ ω ( Mohr ) ( ) = + µ red max ω A redukált fesültség maximumának határoása a diagramól: - A h hiperola helettesítési értéke a helen a selő meredekségének ismeretéől: h = ω ( + ) - A egenes heletesítési értéke a helen: µ ω - A ( ) aa a max ( Mohr ) ennek a két értéknek a különsége: red ( Mohr) ( ) = + µ red max ω Méreteés ellenőrés: red max Megjegés: méreteésnél adott és ω esetén a -ra maximumat kapunk és nem minimumot! d) A gorsan forgó tengel diagramja: Tömör tengel: ( ) Tapastalat: ( ) = = = = -nál is véges nagságúak a fesültségek = Fesültségeloslás: = a ω a µ ω Peremfeltétel: = = µ ( ) = = = = a a = A gorsan forgó tengel diagramja: i ω ω ω i a = ω µ ω µ ω = µ ω e) Gorsan forgó tengel silárdságtani méreteése ellenőrése: ( Mohr ) = ( ) = ( ) = ( ) red ω µ = = = 63

14 ( Mohr) = ( ) = ( + ) red ω µ µ = = Méreteés ellenőrés: red max 96 Gakorló feladatok vastagfalú csövekre gorsan forgó tengelekre csőtengelekre 96 feladat: Zárt vastagfalú cső p = MPa = 5 mm p = 5 MPa = mm Adott: A árán látható árt vastag-falú csö geometriája és terhelése: p = 5 MPa p = MPa = 5 mm = mm Feladat: a) A ψ értékének határoása ) A csődiagram rajolása c) A cső silárdságtani ellenőrése a Mohr-elmélet serint ha = MPa d) A = helen lévő pontokan a fesültségi tenor mátrixának felírása a koordináta-rendseren idolgoás: a) A ψ értékének határoása: 5 ψ = ψ = = 5 = ) A csődiagram: p a i [ MPa] ψ 3 p red max ψ 64

15 c) Silárdságtani ellenőrés: p p 5 3 red max(mohr) = = = = 8MPa ψ 5 75 red max 8MPa < MPa eért a cső silárdságtani sempontól felel! d) A fesültségi tenor mátrixa a vag ψ helen: ψ = p = MPa A csődiagramól: ( ) p p ψ = ψ p = 8 5 = ψ p p = a= ψ p = MPa ψ árt π p π p p p ψ p p 5 5 = = = = = MPa π ψ 5 árt A fesültségi tenor mátrixa: F ( ψ ) 96 feladat: Vastagfalú cső = = MPa ψ p = 6MPa p MPa = = mm Adott: a árán látható vastagfalú csö anaga terhelése és első sugara: p = MPa p = 6MPa = mm = MPa 5 Feladat: a) A csődiagram jellegheles rajolása ) A cső silárdságtani méreteése (a sugár határoása) ha a cső árt c) A cső silárdságtani méreteése (a sugár határoása) ha a cső nitott idolgoás: a) A csődiagram jellegheles rajolása: ψ = Peremfeltételek: = ( ψ = ) = p = MPa ( ψ ψ ) MPa = = = p = 6 65

16 A ψ -t önkénesen vesem fel és rajolom e a diagrama i [ MPa] ψ (n) ψ a 4 6 p p (árt) ) A árt cső silárdságtani méreteése: p p p p = = ψ ( ) red max ψ = ψ p p ψ = = = = = 36 = = = mm 5 5 ψ 3 c) A nitott cső silárdságtani méreteése: p p = ψ = = + p red max p p 4 ψ = = = = 38 = 46 mm p 5 ψ 963 feladat: Nitott vastagfalú cső p P p Adott: a árán látható nitott vastagfalú cső geometriája és terhelése: = mm = 4 mm p p = MPa Feladat: a) A csődiagram rajolása ) A cső silárdságtani ellenőrése Mohr-elmélet serint ha = MPa c) A fesültségi tenor mátrixának felírása a P pontan idolgoás: a) A csődiagram: ψ = ψ = ψ = = 5 4 A fesültségeloslás: = a ψ = a+ ψ = 66

17 Peremfeltételek: ( ) ψ = = p = a ψ = a ψ = 5 = = a ψ A egütthatók: p a = ψ ψ = 5 = a 5 = p = 33 3 ψ = 5 = p = p ψ red max ) Silárdságtani ellenőrés Mohr-elmélet serint: ( ) red max ( Mohr ) = red max red ψ = p p ( Mohr) = = = = 666 MPa ψ 5 max ( Mohr ) = 66 6 MPa > = MPa eért a cső silárdságtanilag nem felel! c) A P pont fesültségi állapota: ψ = 5 = = ( ψ) = a ψ = = ( ψ) = a + ψ = = 66 6 MPa ( ψ ) = ( ψ) F = ( ψ ) = 66 6 P 964 feladat: Zárt vastagfalú cső MPa p = 5MPa p 45MPa = = mm Adott: a árán látható árt vastagfalú cső geometriája és terhelése: p = 45MPa p = 5MPa = mm ψ = 6 Feladat: a) A csődiagram rajolása ) A külső sugár határoása c) A Mohr serinti legnago redukált fesültség kisámítása 67

18 d) A árt csően fellépő fesültség kisámítása idolgoás: a) A csődiagram: MPa 55 i [ ] a = 55MPa red max p = 5MPa ψ = 6 ψ = p = 45 MPa ψ ) A külső sugár határoása: = = = 5898 mm ψ 6 c) A Mohr serinti legnago redukált fesültség kisámítása: p p 45 5 red max ( Mohr) = = = MPa ψ 6 d) A árt csően fellépő fesültség kisámítása: pψ p = a = = = = 55 MPa ψ feladat: Zárt vastagfalú cső p p Adott: a árán látható árt vastagfalú cső geometriája és terhelése: = mm ψ = 6 p = 5MPa p = 45 MPa Feladat: a) A cső méretének határoása ) A csődiagram rajolása c) A fesültség határoása d) A Mohr serinti legnago fesültség kisámítása idolgoás: 68

19 a) A cső méretének határoása: ψ = ) Csődiagram rajolása: = = = 58 mm ψ 6 A fesültségek: = a ψ = a+ ψ = a ψ = ψ = 55 Peremfeltételek: ψ = = p = 45MPa ψ = p = 5MPa a= 55 red max A áráól: p p 45 5 = = = MPa ψ 6 ϑ p 6 ϑ ψ c) A tengeliránú fesültség: = a a+ p p p tgϑ = = ψ ψ p 45 p p 45 5 a= p + ψ = 5+ 6 = 55 MPa ψ 6 = a= 55MPa d) A Mohr serinti legnago fesültség: max ( Mohr ) = = ( ψ = ) ( ψ = ) = 55 ( 45) = MPa red 966 feladat: Zárt vastagfalú cső p p Feladat: a) A csődiagramot jellegheles rajolása ) A cső sugarának határoása ha = 5 MPa c) A fesültségi tenor mátrixának felírása a P pontan P Adott: a árán látható árt vastagfalú cső geometriája és terhelése: = mm = mm p = MPa p 69

20 a) Csődiagram jellegheles rajolása A fesültségek: = a ψ = a+ ψ ψ = ψ = = a Peremfeltételek: a ( ψ = ) = ( ψ ) = p p A áráól: tgϑ = = = a ψ idolgoás: a) Méreteés Mohr serint: max p red Mohr = ( ) = = ψ = ψ red max p = ψ p ψ ϑ ϑ (árt) ψ red max p = = mm p 4 5 c) A P pont fesültségi állapota: ψ = = 86 = p ( ψ) = a( ψ) = ( ψ) ( 86 ) 75 MPa ψ = 4 = p ( ψ) = a( + ψ) = ( ψ) ( 86 ) 8 5 MPa ψ + = 4 + = p = a = 5 MPa ψ = 4 = ( ψ ) 75 F 8 5 P ψ = = MPa feladat: Zárt vastagfalú cső p p P Adott: a árán látható árt vastagfalú cső geometriája és terhelése: = mm = 3 mm p = 5 MPa p = MPa 7

21 Feladat: a) A csődiagramot rajolása ) A cső silárdságtani ellenőrése Mohr-elmélet serint ha a cső anagának engedett fesültsége = MPa c) A fesültségi tenor mátrixának felírása a P pontan idolgoás: a) A csődiagram: ψ = ψ = ψ = = red max = a ψ ψ ψ ϑ A fesültségek: = a+ ψ a ϑ = a p Peremfeltételek: p ( ψ = ) = ψ = p ) Silárdságtani ellenőrés Mohr serint: ( ) max ( Mohr ) = red red red ψ = max p p 5 Mohr = = = = 8 MPa ψ 444 max ( Mohr ) = 8 MPa > = MPa eért a cső silárdságtanilag nem felel! c) A P pont fesültségi állapota: ψ = = = p p p p p pψ tgϑ = p a = a = p = ψ ψ ψ pψ p p p 5 a= = = MPa = = = 9 MPa ψ 4444 ψ 444 ( ψ) = a ψ = 9 = MPa ( ψ) = a + ψ = + 9 = 8 MPa ( ψ ) = a= MPa ( ψ ) F 8 P ψ = = MPa p 7

22 968 feladat: Gorsan forgó csőtengel x ω D D Adott: A árán látható gorsan forgó csőtengel anaga geometriája és sögseessége: 3 D = 4 mm D = 6 mm ω = rad / s = állandó ρ = 8 kg / m ν = /3 Feladat: a) A és ω menniségek határoása ) A ( ) ( ) és ( ) fesültségi diagramok rajolása c) A = D helen levő P pontokan a fesültségi tenor mátrixának felírása henger koordináta-rendseren d) A Mohr-féle elmélet serinti legnago redukált fesültség kisámítása idolgoás: a) A és ω menniségek határoása: = = = ( 3 ν ) ρ ( ) 6 ω = ( ω) = 3 = 6 = 6 ν ( ) és ) A = + ω ( ) = µ ω + fesültségi diagramok rajolása: Pa MPa = a ω a µ A vastagságmenti fesültségeloslás függvénei 7

23 a > > ω µ ω + µ ω + ν = µ = = = 74 3 ν ν 3333 µ = = = 85 3 ν c) A = D helen levő P pontokan a fesültségi tenor mátrixának felírása henger koordináta-rendseren: A diagramól: ( = ) = ( = ) = ω ( + ) µ ω = = 48 MPa = = µ = = MPa ω A fesültségi tenor mátrixa: F ( ) 4 8 = = MPa d) A Mohr-féle elmélet serinti legnago redukált fesültség kisámítása: = = + µ = = 679 MPa red max ω ω 965 feladat: Gorsan forgó csőtengel x ω Adott: A árán látható ω = állandó sögseességgel gorsan forgó csőtengel: 73

24 Feladat: = mm = MPa ρ = 8 kg / m ν = 5; E = MPa ω a) A ( ) ( ) és első sugár értékének határoása ha MPa ) A fesültségi diagramok jellegheles rajolása 3 = 44 c) A helen kialakuló fesültségi állapot határoása d) A csőtengel külső átmérőjének D váltoásának kisámítása e) A csőtengel legnago engedett sögseességének határoása ha a anag engedett fesültsége = MPa idolgoás: a) A ( ) ( ) és = a ω a µ = + ω ( ) = µ ω + fesültségi diagramokat jellegheles rajolása: A fesültségek vastagságmenti eloslása 5 + ν + 5 = µ = = = 6 3 ν 3 5 A gorsan forgó csőtengel diagramja: µ ν 5 = = = 3 ν 3 5 a > > ω µ ω + µ ω ) A első sugár értékének határoása ha MPa = 44 : A diagramól: ( ) µ ( µ ) ω ω ω ω = + = + 44 = + 6 =

25 4 = 8 = 5 = = = = mm = mm c) A helen kialakuló fesültségi állapot határoása: = esetén = = = ( = ) = ( = ) = ( + ) = = ( + 6) = 8 MPa 5 MPa µ ω ω = = µ = = ω d) A csőtengel külső átmérőjének D E G = = = 8 5 ( + ν ) ( + ) 5 4 váltoása: MPa ( ) A fesültségi tenor: F 8 = MPa + 6 ε ε ν G ( + ν ) = = = = 8 5 = 45 4 ε 4 D = u = = 45 = 837 mm D 8 mm e) A csőtengel legnago engedett ω max sögseessége ha = MPa : red max ( ) + µ ω ω ( 3 ν ) ( ν ) ρ 8 ( ω ) ( ) ( ) ω + µ ( ν ) max = = = ( + µ ) ρ 3 ν m /s ω = 5 = 47 m/s max rad ω max = = = 434 s 4 A engedett legnago fordulatsám: 6ωmax ford nmax = = = 448 π 68 min 966 feladat: Gorsan forgó tengel 75

26 x ω D Adott: A hossú tömör D átmérőjű tengel amel ω = állandó sögseességgel forog 3 D= 4 mm ρ = 8 kg / m ν = 5 ω = 4 MPa Feladat: fesültségi diagramok rajolása a) A ( ) és ) A Mohr-féle elmélet alapján sámított redukált fesültség maximumának kisámítása c) A tengel engedett legnago fordulatsámának határoása ha = 8 MPa idolgoás: a) Fesültségi diagramok rajolása: + ν ν 5 5 = µ = = = = 6 µ = = = = 3 ν ν = a ω = a µ ω A fesültségeloslás függvénei = µ ω( ) Peremfeltétel: ( ) a a 4 MPa = = = = ω = = ω = A gorsan forgó tengel diagramja két alakan: [ MPa] = [ MPa] = Fesültségek a = és = helen: = ( = ) = a = 4 4 = 4 MPa ω = ( = ) = a = 4 4 = MPa ω = ( = ) = a µ = = 4 MPa ω 76

27 = ( = ) = a µ = = 6 MPa ω = ( = ) = µ ( ) = 4( ) = 8 MPa ω = ( ) µ ( ) 4( ) 8 MPa = = = = ω ) A Mohr serinti redukált fesültség: red ( Mohr) ( ) 4 8 ( ) 4( ) MPa ω µ = = = = = = = red ( Mohr) ( ) 6 ( 8) ( ) 4( 6 ) 4 MPa ω µ µ = = = = + = + = Maximális redukált fesültség: red max ( Mohr) ( ) 3MPa = = = c) A maximális fordulatsám: ( 3 ν ) ρ red max( Mohr ) = red ( Mohr) = ω ( µ ) = ( ω ) ( µ = ) ν 8 ω ( ν) ( ν) ρ ( µ ) = = = max 6ωmax ford nmax = = = 87 π 68 min 967 feladat: rad s 77