A hajlítással egyidejű nyírás fogalma. Tipikus esetek a mérnöki gyakorlatban

Átírás

1 24. HAJLÍTÁ É NYÍRÁ I. A hajlítással egidejű nírás fogalma M Ha a rúd eg kerestmetsetének nemérus níróigénbeételen kíül a nírásra merőleges hajlítónomaték-komponense is an, akkor a nírást hajlítással egidejűnek neeük. M Tipikus esetek a mérnöki gakorlatban (sinte minden, amit a tista hajlításnál láttunk, csak akkor a nírással még nem foglalkotunk) stb. általában: gerendák A tista nírásra leeetett fesültségképlet ilenkor nem érénes. A ok: a tista nírásnál elfogadott fesültségeloslás ellentmondásra eet aáltal, hog a tista nírás lokális jellegét bitosító köetlen erőbeeetés itt hiánik (lásd konkrétan a peremen léő elemi hasábok egensúlát). Emléketető: tista nírás tista hajlítás M M

2 24. HAJLÍTÁ É NYÍRÁ II. Alapető felteések: egenes tengelű rúd állandó kerestmetsetű (primatikus) rúd homogén, lineárisan rugalmas anag (Hooke-törén) sík kerestmetsetek ele ellentmondásra eetne! Helette feltessük, hog: níróigénbeételből csak níró-, hajlítónomatéki igénbeételből csak normálfesültségek keletkenek Mi történik? K τ τ? A nírófesültségek reciprocitása miatt (elemi hasábra ΣM i = 0) τ = τ, agis τ = 0 miatt mindkettő 0: ellentmondás a tista nírás fesültségképletéel a fesültségek nagságát illetően. A τ nírófesültségek mentén áltonak, tehát a γ sögtorulások is. Köetkemén: a kerestmetset nem marad sík nem iga a hajlítás fesültségképlete sem? erencsére kis magasságú gerendáknál a hiba kicsi: σ () = M I toábbra is hasnálható. Ha a kerestmetset kontúrja alahol -he képest ferde, a tista nírás alapján kapott fesültségirán is ellentmondásra eet: A kerestmetset síkjában, a kontúronal köelében ébredő nírófesültség nem a níróigénbeétellel, hanem a kontúronal érintőjéel párhuamos. τ t 0 τ t 0 da ' t

3 24. HAJLÍTÁ É NYÍRÁ III. A reciprocitás köetkeméne a tengeliránban fellépő (ísintes) nírófesültség (csústatófesültség) : (eredője csústatóerő, jelölése H) τ 0 τ 0 A ísintes níróerők hatásának semléltetése: F F

4 24. HAJLÍTÁ É NYÍRÁ IV. Hajlított és nírt tömör selénű gerenda Kiegésítő felteések: simmetikus a kerestmetset (a leeetésben legen a simmetria-tengel) a V níróerő hatásonala a simmetria-tengelbe esik a M hajlítónomaték V-re merőleges (aa egenesen hajlít) a (kiárólag) nírásból sármaó függőleges eltolódások -tól függetlenek (aa a γ sögtorulás a kerestmetseten belül mentén állandó) Tekintsük a rúdelem koordinátájú ísintes síkkal leálastott alsó rését: M M + dm dh + d dh N' d tatikából láttuk: () = N'+dN' d M d d A' s() N'+dN' TATIKAI egenlet F i : 0 = (N' + dn') dh N' Vegük ésre: dn' a normál, dh isont a nírófesültségek eredője: egmást egensúloák! TAT F i : 0 = d N ' d H = d σ ()d A s()τ ()d ( A ') d -sel osta, majd a deriálás és integrálás sorrendjét a első tagban megcseréle: dσ 0 = () d A s()τ d () ( A ')

5 24. HAJLÍTÁ É NYÍRÁ V. de σ a hajlításból sármaik, illete osthatunk s()-el is: a nomaték deriáltja a níróerő, illete /I a serinti deriálásban konstans: τ () = 1 s() ( A ') d d ( M I ) d A τ () = 1 V s() ( A ') ( I ) d A a A' serinti integrálban /I konstans, illete τ = τ : τ () = d A = ' I s() (A ' ) I s() Zsuraskij-képlet ' a ún. elcsúsni akaró rés statikai nomatéka a súlponti tengelre (és eért mindeg, hog a alsó ag a felső területrés statikai nomatékának absolút értékét tekintjük), s() a metsőonal hossa. Nírófesültségek esetén általános iránel: a előjeleket inkább semléletből állapítjuk meg. 1. Határouk meg a függőleges nírófesültség-eloslást és a nírófesültség maimumát a megadott téglalapkerestmetset figelembe ételéel! F = 20 kn l = 0,5 m M m = 18 cm M 0 és mentén áltoik = 20 kn a statikai nomaték célserű sámítása: a = 9 cm ' () = ah2 2 a2 2 a h τ = ' I s τ maimumhele ()= a 2 (( m 2 ) 2 2) deriáltjából: d () állandó! τ ma =1,852 MPa (másodfokú) =0 (a súlponti tengelen) ma = am2 8 am 2 τ ma 8 = = 3 am 3 12 a 2 am = 3 20 kn =0, cm. 2 d = a =0

6 24. HAJLÍTÁ É NYÍRÁ VI. M M A' A' τ () = ' () I s() általános kerestmetsetben τ,ma : ' /s sélsőértékénél τ τ () = ' () I s nírással párhuamos oldalfalak esetén (s állandó) τ,ma : ' sélsőértékénél, aa a súlpontban τ (eek csupán lokális sélsőértékek: ha s ugrásserűen csökken, nagobb érték is adódhat) A eredő nírófesültség meghatároásának ele: a Zsuraskij-képletből kapott érték csak a -el párhuamos τ komponens, amelhe még éppen akkora merőleges τ sükséges, ami a eredőt érintő iránúá tesi. M A' P O + t φ τ τ τ e P τ P φ P P τ t nírófesültségi eredő P pontban: A τ komponens eloslása simmetrikus, a egserűség kedéért lineárisnak feltételeük. τ t 0 τ t 0 τ,ma = τ tg φ τ ma = τ t da φ τ t maimális nírófesültség a séleken: τ P P e = τ 2 P 2 +τ τ ma =τ t = τ 2 2, ma +τ t ' τ ma = τ cosφ

7 24. HAJLÍTÁ É NYÍRÁ VII. 2. Határouk meg a függőleges nírófesültség-eloslást és a nírófesültség maimumát a megadott háromsög-kerestmetset figelembe ételéel! F = 20 kn l = 0,5 m M m = 18 cm M 0 és mentén áltoik = 20 kn d = 18 cm célserű eg új ' koordinátát beeetni a statikai nomaték egserűbb sámításáho: ' s τ ma =0,926 MPa (lineáris) τ ma =1,852 MPa 2 3 (m ' ) τ ( ') = ' I s állandó! e is másodfokú (de pl. trapéra már nem olna a!) ' s = s ' (m ' ) = ' m ' 2 s 3 m 2 '=0 '= m 2 ; τ ma = 36 m 2 dm 3 12 = 3 dm = 3 20 kn =0, cm. 2 τ τ t φ A τ t eredő nírófesültség a kerületi pontokban érintőiránú: τ τ ma =τ ma ma d kn tg φ=τ =0, m cm ; 2 τ ma t = (τ ma ) 2 +(τ ma ) 2 = τ ma cosφ =0,2070kN cm Határouk meg a függőleges nírófesültség maimumát, ha a konol kerestmetsete most R = 5 cm sugarú kör! M

8 25. HAJLÍTÁ É NYÍRÁ VIII. Hajlítással egidejű nírás: a ísintes csústatóerő Emléketetőül a Zsuraskij-képlet: s() τ () = ' I s Mitől függhetnek a eges tagok? H() τ (, ) = V () ' (,) I ( )s(,) K 1 l dh d A' primatikus rúd: ', I és s -től független τ (, ) = () ' () I s() K 2 reciprocitás: τ = τ A K 1 és K 2 kerestmetsetek köötti H csústatóerő a elemi dh erők eredője: H = (H) 2 dh = 1 2 s()τ (, )d = 1 () ' () d I A -től független tagok kiemelése után H l = H l () = ' () I 2 ()d = ' () 1 A A V a níróerő-ábra 1 és 2 köé eső, I V (l hossúságú) résének a területe Egmásra lapolt (rétegelt) serkeetű gerendák esetén et a erőt alaminek föl kell ennie: - segecselés / csaaroás - ragastás - fabetétek stb.

9 25. HAJLÍTÁ É NYÍRÁ IX. 4. ámítsuk ki a fabetétekben keletkeő nírófesültségek értékét! F = 30 kn 12 cm cm kn 15 kn A V = = 750 kncm felső palló alsó palló eeket esik fel a fabetétek ' = = 6250cm 3 betét I = = cm 4 H = ' A I V = = 22,5kN A fabetétekben tista nírás: τ = H A = 22, = 6250 kn 750 = 0, cm. 2

10 25. HAJLÍTÁ É NYÍRÁ X. Vékonfalú gerendák hajlítással egidejű nírása Két (speciális) esetet isgálunk: simmetria-tengellel párhuamos níróerő simmetria-tengelre merőleges níróerő M M Eddigi felteések: egenes tengelű rúd állandó kerestmetsetű (primatikus) rúd homogén, lineárisan rugalmas anag (Hooke-törén) níróigénbeételből csak níró-, hajlítónomatéki igénbeételből csak normálfesültségek keletkenek sík kerestmetsetek ele ellentmondásra eetne! Een felül feltessük, hog: a nírófesültségek a selén faláal párhuamosak, a nírófesültségek falra merőleges iránú eloslása egenletes. n t A simmetria-tengellel párhuamos níróerő esete TATIKAI egenlet F i : F i : V = 0 = τ (t) da (A) = τ (t) da (A) M i : M = 0 = (τ (t) τ (t) ) da (A) M i : M = σ (t) da (A) A első és harmadik egenlet a simmetria miatt feltétlenül teljesül. M

11 25. HAJLÍTÁ É NYÍRÁ XI. Tekintsük a rúdelem alsó öének koordinátájú függőleges síkkal leálastott bal oldali rését: σ TATIKAI egenlet σ + dσ τ F i : 0 = dn' dh F i : TAT 0 = dn ' dh = d σ da τ ( )d ( A ') h M b A' d -sel osta, majd a deriálás és integrálás sorrendjét a első tagban megcseréle: b b d dσ 0 = ( A') d d A τ ( ) τ ( ) = 1 ( A') d d ( M I ) d A = 1 V (A') ( I ) da = I d A = ' I (A') Köelítés: h mellett /2 elhanagolható: ' h 2 (b ) τ ö ( ) = h(b ) 2I a öekben csak ísintes nírófesültségek: ö, ma τ = hb 2 I τ ma + a gerincben csak függőleges nírófesültségek: ', fent gerinc, fent τ h 2 (2b) = h b I τ ma + M τ t τ t : nírófolam + τ ma

12 25. HAJLÍTÁ É NYÍRÁ XII. 5. Határouk meg a alábbi ékonfalú selénben ébredő nírófesültségi maimumot, illete rajoljuk meg a nírófesültségi diagramot a jellemő értékek feltüntetéséel! w = 30 mm = 20 mm = 42 kn h = 360 mm ' m = 350 mm a = 240 mm 240 a a A súlpont hele és a súlponti tengelre ett inercia: A = 2(24 2)+35 3 = 201cm 2 tengellel párhuamos ékon faldarab I inerciájáho elég csak a teiner-tag: ' = = 1837,5 cm 3 2 ' = 1837,5 = 9,142 cm 201 I = ,1422 = 26080cm 4 nírófesültségek a gerincben: nírófesültségek a öben: ma ma τ = 3 (35 9,142)2 2 = ma I w = 1003 cm 3 = kn =0, cm 2 ö ö τ = ,142 = 438,8cm 3 = ,8 kn =0, cm 2 fent fent τ = 3 ((35 9,142)2 9,142 2 ) 2 = ,6 kn =0, cm 2 = 877,6cm 3 3,534 4,712 3,534 a öek nírófolamai itt is össegődnek a gerincben: 2(0,3534 2)=14,13 kn cm 0,4712 3=14,13 kn cm 5,383 τ t [MPa]

13 25. HAJLÍTÁ É NYÍRÁ XIII. 6. Milen t maimális táolságra lehet elheleni a A = 25 mm 2 kerestmetseti területű, τ e = 90 MPa megengedett nírófesültségű kapcsolóelemeket a = 6 kn függőleges, hoss mentén konstans níróerőel terhelt ékonfalú gerenda jelölt illestéseinél? = 15 mm w = 6 kn w = 10 mm h = 150 mm 13,5 cm a = 160 mm 15 cm t alk = 12 cm

14 25. HAJLÍTÁ É NYÍRÁ XIV. 7. Váoljuk a alábbi állandó falastagságú ékonfalú selénben hatására keletkeő nírófesültségek eloslását a ábrát jellemő tulajdonságok feltüntetéséel!

15 26. HAJLÍTÁ É NYÍRÁ XV. A simmetria-tengelre merőleges níróerő esete F i : F i : TATIKAI egenlet V = 0 = τ (t) da (A) = τ (t) da (A) M i : M = σ (t) da (A) M i : M = (τ (t) τ (t) ) da =? (A) A első egenlet a simmetria miatt feltétlenül teljesül. A negedik egenlet jobb oldalán mi an? A áltoó M -ból kapott nírófesültségek eredőjének eddig csak σ a nagságát tudjuk ( ), a helét nem. Megfigelés: σ + dσ τ n M t ö, τ ma g, =τ fent = h b 2 I τ ma F h M M τ t + τ ma b d + τ ma A kapott fesültségeloslás eredője alójában... Y Z (=) Z (=) C F' (=) Y T ö k e T' ' Z = F' = T ö =hy T '=k és eg T' = k nagságú csaarónomaték!

16 26. HAJLÍTÁ É NYÍRÁ XVI. csaarás nélkül: csaarással: F F' C e C: nírási köéppont a itt terhelt ékonfalú gerenda nem csaarodik el. τ t T' = kf' + τ t F' C hele: a előbbiekben tárgalt nírófolam eredőjének a simmetriatengellel ett metséspontja. k F' M τ t F = τ t k

17 HAJLÍTÁ É NYÍRÁ XVII. Határouk meg a iménti, = 8 mm állandó falastagságú, köéponalában h = 180 mm gerincmagasságú és b = 75 mm ösélességű U-acél nírási köéppontjának helét! C e =? ma τ Y Z = Y I fent = h b ( h 2) 2 = h2 12 = b ( h 2 ) Y = 1 2 b τ ma A gerinc bármel pontjára felírt nomatéki egensúl alapján: e = hy = bv fent 2 I (h+6 b) = hb fent = h2 b 2 = 3b2 2 I 4 I h+6 b = 26,79mm F' = C e 9. Határouk meg a alábbi egseresen simmetrikus, = 15 mm állandó falastagságú I- acél nírási köéppontjának helét! h = 225 mm a = 200 mm b = 100 mm C c = 240 mm e =? e = 25,00 mm (Össehasonlításképpen a súlpont hele uganinnen: = 91,67 mm )

18 HAJLÍTÁ É NYÍRÁ XVIII. A alábbi simmetrikus, = 20 mm falastagságú sögacélra a áltoó M mellett csupán = 10 kn níróigénbeétel hat. Határouk meg a maimális nírófesültség nagságát, iránát és helét! Rajoljunk nírófesültségi diagramokat! a = 180 mm 1. Ha a (F' ) erő a nírási köéppontban működne: (eel eg T = F' nagságú, óramutató járásáal ellentett csaarónomatékot is figelembe ennénk) F 1 F' l = 170 mm F' = a VT,ma τ t VT τ t ( = ) ( = ) C l F 2 I ma 2 ( l / 2)3 = 2 ( 3 ) = l 3 3 = = VT,ma τ t 2 (l / 2)2 2 = ma I = l = = 3275cm 4 = 204,4 cm 3 = ,4 kn =0, cm 2 ' = = 6,010 cm I és sempontjából: ( = ) 2. aonban a súlpontban működik: T = F ' = 10 6,010 = 60,10 kncm ellentettjét működtetnünk kell a kerestmetsetre, ahol (a égpontok körneetét kiée) = + F' T I a = 2 l 3 3 = = 90,67 cm 4 T,ma, ebből τ t = T = 60,10 2 = 1,326kN I a 90,67 cm 2 T T τ t VT τ t 3,120 MPa + = T τ t 13,26 MPa V τ t 16,38 MPa a csaarás a domináns jelenség!

19 HAJLÍTÁ É NYÍRÁ XIX. Fejeük ki a nírási köéppontjukban terhelt nílt és árt ékonfalú selénekben keletkeő fesültségmaimumokat a megadott paraméterekkel! R R C C F F R R n,ma τ I = (R+/2 ) 4 ( R /2 ) 4 π = (4R2 + 2 ) R π R 3 π 4 4 ma = ( R+/2 )3 ( R /2 ) 3 2 = (6 R2 + 2 /2) 2R = ma I = 2 R 2 R 3 π,ma τ = ma I 2 = 2 R 2 R 3 π 2 = 4 2 R π = 4 A = 2 2 R π = 2 A τ t τ t (össehasonlításképp: tömör körselén esetén a Zsuraskij-képlet serint τ ma = V 2 R3 /3 R 4 π /4 2 R = 4 3 A ) Megjegés: a árt gűrű ísintes átmérőjében keletkeő nírófesültségek sámításakor nem hasnáltuk ki, hog a selén ékonfalú (hisen a ottani nírófesültségek uganúg állandó intenitásúak és függőlegesek, mint a függőleges falú tömör selének esetében), eért a alapetően tömör selénekre leeetett Zsuraskij-képlet astag falú körgűrű-selének fesültségmaimumának sámítására is alkalmas.

20 HAJLÍTÁ É NYÍRÁ XX. Fejeük ki a nírási köéppontjukban terhelt árt és többféle nílt ékonfalú selénben keletkeő fesültségmaimumokat! Váoljuk a nírófesültségek diagramjait! b C F F C C F a τ t τ t τ t Megjegések: - A árt selén függőleges falának eg metsetében a nírófesültség uganúg állandó és függőleges, mint a függőleges falú tömör seléneknél, eért a alapetően tömör selénekre leeetett Zsuraskij-képlet aon üreges esetekre is alkalmaható, ahol a selénfalak isgált metsetbe eső érintői mind függőlegesek. - Tudatosítsuk a eltérő feltételeést ékon- és astag falú esetekre: τ?? τ τ τ

21 27. HAJLÍTOTT É NYÍRT GERENDÁK FEZÜLTÉGEI, PÉLDÁK I. 0. Döntsük el, hog hasnálható-e Zsuraskij elmélete a alábbi esetekben! M M M M M V M M V M? b? M a a M M a M M V

22 27. HAJLÍTOTT É NYÍRT GERENDÁK FEZÜLTÉGEI, PÉLDÁK II. 1. Határouk meg a hajlított-nírt kerestmetset legnagobb nírófesültségét és ábráoljuk a nírófesültségek eloslását a jellemő értékekkel egütt. 4 cm 2 V M 0,8295 2,488 2,495 M = 10 knm V = 20 kn =2,2cm I = 57,867 cm Határouk meg a hajlított-nírt kerestmetset legnagobb nírófesültségét és ábráoljuk a nírófesültségek eloslását a jellemő értékekkel egütt M = 10 knm 2,069 V = 20 kn 0,6896 I = 38,667 cm 4 M 0,9483 V 2 2 2

23 HAJLÍTOTT É NYÍRT GERENDÁK FEZÜLTÉGEI, PÉLDÁK III. A ábrán eg tartó kerestmetsete látható a tengellel semköti néetben. Határouk meg a kerestmetsetben ébredő legnagobb nírófesültség iránát és értékét! Rajoljunk alakheles nírófesültségi diagramot, egértelműen megada a maimális nírófesültség helét és nagságát! t s V M t e u h 0, , , ,1252 0,1261 e = 5 cm s = 10 cm t = 6 cm h = 18 cm u = 8 cm =14,35 cm I = cm 4 V = 30 kn M = 25 knm 4. A ábrán látható konolt három aonos astagságú lemeből erősítjük össe ragastással. Milen iránú a ragastóban ébredő nírófesültség, és mekkora a legnagobb értéke? l 3 Q s = 19 cm = 2,5 cm l = 1,6 m Q = 20 kn s

24 27. HAJLÍTOTT É NYÍRT GERENDÁK FEZÜLTÉGEI, PÉLDÁK IV. 5. a) A gerenda a áolt módon két téglalapselén össeragastásáal késült. Hol keletkeik a ragastott felületben a legnagobb nírófesültség? Hogan fejehető e ki a ábrán sereplő paraméterekkel? Indokoljuk álasunkat! p l b b a b) A gerenda a áolt módon két félkörselén össeragastásáal késült. Hol keletkeik a ragastott felületben a legnagobb nírófesültség? Hogan fejehető e ki a ábrán sereplő paraméterekkel? Indokoljuk álasunkat! R R p l

25 27. HAJLÍTOTT É NYÍRT GERENDÁK FEZÜLTÉGEI, PÉLDÁK V. 6. Ellenőriük a áolt serkeet kerestmetsetének a = 2 cm-es méretét a mértékadó kerestmetsetekben, ha a megengedett fesültségek σ e = ± 140 MPa és τ e = ± 40 MPa! Rajoljunk nírófesültségi diagramot! 36 5 kn N [kn] V [kn] M [knm] α 36 kn 36 kn ' (tg α = 0,5) K 2 K 1 4 1,2 m M a V 10a I ' =20 ( ) 3 12 cm 4 2 A= =144cm 2 ' =20 ( ) = =1224 cm 3 ' = ' A =8,5cm =16992 cm4, innen I = ,5 2 =6588cm 4. a) Ellenőrés nomásra (mértékadó a nomás a felső sálban): b) Ellenőrés húásra (mértékadó a húás a alsó sálban):

26 27. HAJLÍTOTT É NYÍRT GERENDÁK FEZÜLTÉGEI, PÉLDÁK VI. c) maimális níróerő a K 2 kerestmetsetben (a fesültségek iránának értelmeése a igénbeételekéel aonos): a gerinc tetején: a súlpontban: A jellemő fesültségek: τ [MPa] d) ha a alsó ö két egforma astag lemeből áll, mekkora fesültség keletkeik a tartó tengele mentén t = 30 cm táolságra elheleett, d = 20 mm átmérőjű segecsekben, feltée, hog a segcseket párosáal alkalmauk? b dh d b A V t V Reciprocitás: τ =τ, dh =τ bd= V I d H = Vd= A I I V mentén állandó! V-ábra területe

27 28. TÉRBELI RÚDZERKEZETEK IGÉNYBEVÉTELEI I. 1. Redukáljuk a F 1 és F 2 erőket a K kerestmetset köéppontjára, majd határouk meg a K kerestmetset igénbeételeit és ábráoljuk a kerestmetset ábráján! F 2 a a F 1 K l 1 l 2 A konol égén ható F 1 erő párhuamos a tengellel, a F 2 a -el. F 1 = 10 kn a = 30 cm F 2 = 8 kn l 1 = 3 m l 2 = 1,5 m A K kerestmetset köéppontjára redukált társerő és társerőpár komponensei, semből sámola: A K kerestmetset igénbeételei: 2. Határouk meg a álló daru K 1 és K 2 kerestmetseteinek igénbeételeit a G teher és a F erő egüttes hatására! (A daru önsúlát elhanagoljuk, a teher a daruho mereen rögített.) h = 8 m K 1 l = 4 m G F s = 1,5 m F G F = 2,2 kn G = 3,5 kn K 2 F sin 25 F cos 25 l G G F α = 25

28 K K TÉRBELI RÚDZERKEZETEK IGÉNYBEVÉTELEI II. l K 1 : (jobbról née) 1 R = 30 cm 1 K 2 : (felülről née) K 1 kerestmetset isgálata (jobbról sámola) 1 A igénbeételek: 1 1 G F sin 25 s F cos 25 2 =2 cm 2 a=50 cm Redukálás a kerestmetset súlpontjára: a 1 l 1 K 2 kerestmetset isgálata (felülről sámola) Redukálás a kerestmetset súlpontjára: F sin G F cos 25 h s 2 A igénbeételek: 2 2

29 28. TÉRBELI RÚDZERKEZETEK IGÉNYBEVÉTELEI III. 3. Tartalék példa: Redukáljuk a kör kerestmetsetű áslóra ható erőket a befogási kerestmetset köéppontjára, majd határouk meg a befogási kerestmetset igénbeételeit és ábráoljuk a kerestmetset ábráján! F = 0,5 kn W = 2 kn h = 3 m d = 1 m 4. OTTHONI GYAKORLÓ FELADAT. Redukáljuk a kör kerestmetsetű kilincsre ható erőket a befogási kerestmetset köéppontjára, majd határouk meg a befogási kerestmetset igénbeételeit és ábráoljuk a kerestmetset ábráján! l F F = 50 N R = 1,5 cm l = 15 cm e = 10 cm Redukálás a befogási kerestmetset súlpontjára: R e F = 0 F = 0 F = F = 50 N M =0 M = F e= 500 Ncm M = F l= 750 Ncm T N = 0 T = 5 Nm M V = 0 = 50 N ( ) M = 7,5 Nm (felül hú) M = 0

30 29. ÖZETETT IGÉNYBEVÉTELEK I. 1. Határoa meg a ábrán látható ékonfalú konol befogási kerestmetsetének össes nemérus igénbeételét, majd ábráolja is eeket eg síkú, iránáal sembeni néetben! Határoa meg a befogási kerestmetset A pontjában keletkeő normál- és nírófesültségi értékeket, és a B pontjában ébredő normálfesültség értékét! (A F erő a síkkal párhuamos és a tengellel α=25 -os söget ár be.) h α F b B a A h = 140 cm a = 15 cm b = 12 cm = 1 cm F = 200 kn B b Kerestmetseti jellemők: a A Igénbeételek: B A A A pont fesültségei: A B pont normálfesültsége:

31 29. ÖZETETT IGÉNYBEVÉTELEK II. 2. a) Határouk meg a F teher maimumát a megadott normál- és nírófesültségi határértékeknek megfelelően! l = 1 m a = 2 cm 2 F R = 5 cm fa 2 2 acél e = 0,4 m 2R a 1 F ef? M σ e,acél = 250 MPa τ e,acél = 100 MPa σ e,fa = 10 MPa τ e,fa = 2 MPa 1 1 a acélgerenda hajlítása: a fagerenda hajlítása: a acélgerenda nírása: a fagerenda nírása: b) Mekkora F erő engedhető meg, ha a acélgerenda égkerestmetsetének 1 tengel körüli elfordulása nem haladhatja meg a másfél fokot? E a =200GPa, G f =5GPa. a nég kritérium alapján tehát F ma =0,8125kN. F ma =0.6684kN

32 29. ÖZETETT IGÉNYBEVÉTELEK III. 3. Ellenőriük a alábbi külpontosan terhelt serkeetet a megadott normálfesültségi értékek alapján! Visgáljuk meg a fagerendát és a acélgerenda B pontját nírásra. 2R l = 1 m acél fa F l = 1 m F = 30 kn 35 σ e,acél = 250 MPa τ e,acél = 100 MPa σ e,fa = 10 MPa τ e,fa = 2 MPa F 2 c 2 b 1 1 a R = 11 cm a = 30 cm b = 40 cm c = 30 cm 1 = 1 cm 2 = 4 cm A acélgerenda ellenőrése: B T N V M M A A fagerenda ellenőrése:

33 30. FŐFEZÜLTÉGEK É FEZÜLTÉGI FŐIRÁNYOK I. A fesültségállapot jellemése A anag alamel pontjában beköetkeő tönkremenetel eséle nem ítélhető meg pustán eg, a pontot tartalmaó metsethe tartoó normál- és nírófesültség ismeretében. Emléketető: a fesültségektor fogalma a elemi hasábra ható fesültségek három sík, legen n rendre,, iránú: P p n n d τ τ σ d τ τ σ τ n P p n σ n n d σ τ τ Adott P ponttól és a rajta kerestül fektetett n normálisú síktól függ; felbontható n iránú (normál-) és arra merőleges (níró-) fesültségekre. [ σ ] p = τ τ [ τ p = σ τ ] [ τ ] p = τ σ Adott pontbéli fesültségállapot: a pontban értelmeett fesültségektorok össessége. A nírófesültségek reciprocitása Nomatéki egenlet a hasáb súlpontján átmenő 0 tengelre: τ d d M i 0 :(τ d d)d (τ d d )d=0 τ d d 0 d τ =τ stb. τ =τ, τ =τ, τ =τ : d p, p, p tehát 9 helett csupán 6 adattal leírható.

34 30. FŐFEZÜLTÉGEK É FEZÜLTÉGI FŐIRÁNYOK II. A fesültségtenor Tegük föl, hog a, és normálisú síkokho tartoó P-beli fesültségektorok ismertek. Mit állíthatunk eg általános n normálisú síkho tartoó fesültségektorról? k A n σ p n n d τ τ τ p n i d A j A A n d σ τ A τ τ p n σ A n A tetraéder etületi egensúla, és iránokban: F i : p n A n σ A τ A τ A = 0 F i : p n A n τ A σ A τ A = 0 Belátható, hog n = [n ] n = n 1 A n [ A A ] A F i : p n A n τ A τ A σ A = 0 A n -nel osta és rendee: F i : p n σ n τ n τ n = 0 F i : p n τ n σ n τ n = 0 F i : p n τ n τ n σ n = 0, aa [ p n p n = p n] [ p n σ τ τ τ σ τ τ τ σ ][n ] n n = σ n Megjegések: - a fesültségtenor sorait a p, p, p fesültségektorok alkotják, - a tenor mátriának segítségéel bármel síkho tartoó p n fesültségektor egserű sorással megkapható, tehát a tenor 9 eleme (6 független eleme) alóban meghatároa a pont fesültségállapotát. σ = [ σ τ τ ] τ σ τ τ τ σ fesültségtenor (simmetrikus másodrendű tenor)

35 30. FŐFEZÜLTÉGEK É FEZÜLTÉGI FŐIRÁNYOK III MPa 1 MPa 1 MPa 1 MPa 3 MPa 2 MPa A elemi hasáb oldallapjaira a ábrán megadott fesültségek hatnak. Írjuk fel a fesültségtenor mátriát a (,, ) koordináta-rendserben! Megoldás: [ ] σ = MPa Adottak eg pont fesültségtenorának elemei. Ábráoljuk, hog milen normál- és nírófesültségek hatnak a pontot tartalmaó elemi hasáb oldallapjaira! [ σ = ] MPa A fesültségi főiránok és a főfesültségek Keressük a σ mátriának sajátértékeit (σ 1, σ 2, σ 3 ) és sajátektorait ( 1, 2, 3 ) a (,, ) koordináta-rendserben. Miel σ simmetrikus, sajátértékei mindig alósak, sajáektorai egmásra merőlegesek. A sajátérték-feladat matematikából ismert alakja: F i =σ i i (i=1,2,3) 1. (matematikai) definíció: a P pontbéli σ fesültségtenor sajátektorai által meghatároott iránokat P pontbéli fesültségi főiránoknak, a hoájuk tartoó sajátértékeket P pontbéli főfesültségeknek neeük. Konenció: σ 3 σ 2 σ (mechanikai) definíció: bármel P anagi pontban léteik három olan, egmásra páronként merőleges irán, melekhe mint normálisokho tartoó síkokon a fesültségektor is normális iránú (aa nírófesültségi komponense érus). Et a három iránt, illete normálfesültséget a P pontbéli fesültségi főiránoknak, illete főfesültségeknek neeük. Megjegés: amenniben a főiránokho tartoó koordináta-tengeleket úg iránítjuk, hog 1,2 és 3 jobbsodrású rendsert alkossanak (e mindig megtehető), akkor a eddigi képletek átírhatók a (,, ) (1, 2, 3) átalakítással. Miel τ 12 = τ 23 = τ 31 = 0, a fesültségtenor a főiránok koordináta-rendserében felíra alóban diagonális alakú.

36 30. FŐFEZÜLTÉGEK É FEZÜLTÉGI FŐIRÁNYOK IV. σ 2 σ 2 1 τ τ τ τ σ 1 σ τ τ σ σ 3 σ = [ σ τ τ ] τ σ τ τ τ σ 3 σ 123 = [σ σ σ 3] Fesültségi fősík: két fesültségi főirán által kifesített sík. 3. Eg serkeeti elem A, B és C pontjában ismerjük a fesültségtenornak a (,, ) koordináta-rendserben felírt mátriát. Főirán-e alamelik koordináta-tengel a eges pontokban? A pontban: [ ] σ (A) = MPa 1 0 A első sor elemei a p fesültségektor koordinátái (σ, τ, τ ) sorrendben τ 0, tehát nem főirán. A második sorban τ = τ = 0, tehát főirán. A harmadik sorban τ = 1 0, sem főirán. B pontban: σ (B) = [ ] MPa C pontban: [ σ (C ) = ] MPa

37 30. FŐFEZÜLTÉGEK É FEZÜLTÉGI FŐIRÁNYOK V. A főfesültségek és főiránok mechanikai jelentősége: 1. Fesültségek meghatároása a kerestmetseti síkoktól eltérő síkokban. Eddig csak a kerestmetset síkjában értelmeett fesültségektorokat határotuk meg. Hátha uganaon pontban, de más síkra ett fesültségektor normál- és níróiránú komponensei nagobbak? Belátható, hog σ 3 a legkisebb (a legnegatíabb ), σ 1 a legnagobb lehetséges normálfesültség a adott pontban. intén igaolható, hog a 1,3 fesültségi fősíkban (tehát a hasábot arra merőlegesen forgata): τ ma = σ 1 σ A erőjáték semléltetése. Főfesültségi trajektóriák: olan görbesereg, melnek érintői minden pontban eg adott sorsámú főiránba esnek. A első és harmadik főfesültségi trajektóriák rendre a legnagobb húások és nomások jellemő iránát illustrálják. egeccsel megtámastott húott leme 1. (balra ) és 3. (jobbra) főfesültségi trajektóriái Még eg felhasnálási terület: a on Mises-féle egenértékű fesültség. E adott pontban a főfesültségekből sámított egetlen fesültségérték, jelentése: mennire an a anag a adott pontban nírásra igénbe ée? (duktilis, aa képléken iselkedésre hajlamos anagok esetén alkalmas a tönkremenetel előrejelésére).

38 30. FŐFEZÜLTÉGEK É FEZÜLTÉGI FŐIRÁNYOK VI. A alakáltoási állapot jellemése Emléketető: a elemi hasáb alakáltoásai d d ε d ε d d d d d d d d ε d γ (= γ ) γ (= γ ) γ (= γ ) A alakáltoás-tenor, főiránok, főnúlások [ 1 ε 2 γ 1 2 γ ] 1 ε = 2 γ 1 ε 2 γ 1 2 γ 1 2 γ ε γ 1 2 γ?? γ! 1 2 γ 1. (matematikai) definíció: a P pontbéli ε alakáltoás-tenor sajátektorai által meghatároott iránokat P pontbéli alakáltoási főiránoknak, a hoájuk tartoó sajátértékeket P pontbéli főnúlásoknak neeük. Konenció: ε 3 ε 2 ε (mechanikai) definíció: bármel P anagi pontban léteik három olan, egmásra páronként merőleges irán, melekkel párhuamos élű elemi hasáb a deformáció után is aokkal párhuamos élű marad (aa sögtorulás nem keletkeik). Et a három iránt és a megfelelő fajlagos núlásokat a P pontbéli alakáltoási főiránoknak, illete főnúlásoknak neeük.

39 30. FŐFEZÜLTÉGEK É FEZÜLTÉGI FŐIRÁNYOK VII. A alakáltoási főiránok meghatároása legegserűbb a fesültségi főiránok koordinátarendserében (lásd a mechanikai definíciókat): γ ij = τ ij G, aa γ = τ =0 a fesültségi főirán egben alakáltoási főirán is és isont. G A főnúlások sámítása: ε 1 = 1 E ( σ 1 ν(σ 2 +σ 3 )) ε 2 = 1 E ( σ 2 ν(σ 3 +σ 1 )) ε 3 = 1 E ( σ 3 ν(σ 1 +σ 2 )) ε 123 = [ε ε ε 3] peciális fesültségi és alakáltoási állapotok A fesültségi állapot általános esetben térbeli: ilenkor egik főfesültség sem érus. peciális esetek: Hidrostatikus fesültségi állapot: σ 1 = σ 2 = σ 3 Lineáris fesültségi állapot: pontosan eg főfesültség nemérus íkbeli fesültségi állapot: pontosan két főfesültség nemérus pl. foladékok belsejében pl. rácsos tartók rúdjaiban (tista húás, tista nomás) pl. faltartók, tárcsák pontjaiban, terheletlen felületi pontokban (köelítőleg a gerendákban is) A tista nírás fesültségi állapota: σ 2 = 0 és σ 1 = σ 3 (a síkbeli fesültségi állapot eg speciális esete) A alakáltoási állapot általános esetben térbeli: ilenkor egik főnúlás sem érus. peciális esetek: Hidrostatikus alakáltoási állapot: ε 1 = ε 2 = ε 3 Lineáris alakáltoási állapot: íkbeli alakáltoási állapot: pontosan eg főnúlás nemérus pontosan két főnúlás nemérus

40 30. FŐFEZÜLTÉGEK É FEZÜLTÉGI FŐIRÁNYOK VIII. A fesültségi és alakáltoási állapotok össefüggései: Hidrostatikus fesültségi állapot esetén: ε 1 =ε 2 =ε 3 = 1 E ( σ 1 ν(σ 2 +σ 3 )) = 1 2 ν E σ 1 sintén hidrostatikus alakáltoási állapot Lineáris fesültségi állapot esetén (tfh. σ 1 0): ε 1 = 1 E ( σ 1 ν(0+0) ) = 1 E σ 1 >0 ε 2 =ε 3 = 1 E ( 0 ν(σ 1 +0)) = ν E σ 1 <0 térbeli alakáltoási állapot íkbeli fesültségi állapot esetén a) ha σ 1 = 0: ε 1 = ν E (σ 2 +σ 3 )>0 ε 2 = 1 E (σ 2 νσ 3 )? ε 3 = 1 E (σ 3 νσ 2 )<0 térbeli (speciális esetben síkbeli) alakáltoási állapot b) ha σ 2 = 0: ε 1 = 1 E (σ 1 νσ 3)>0 ε 2 = ν E (σ 1 +σ 3 )? ε 3 = 1 E (σ 3 νσ 1 )<0 térbeli (speciális esetben síkbeli) alakáltoási állapot Térbeli fesültségi állapotho általában térbeli, de speciálisan síkbeli, sőt akár lineáris alakáltoási állapot is tartohat. tipikus: speciális: fesültségi állapot lineáris síkbeli térbeli alakáltoási állapot lineáris síkbeli térbeli

41 31. FŐFEZÜLTÉGEK É FEZÜLTÉGI FŐIRÁNYOK IX. Gerendák pontjainak fesültségi állapota A fesültségi állapot meghatároása általános esetben a fesültségtenor sajátérték-feladatának megoldását jelenti, e kéi sámítással bonolult lehet. Rudak (gerendák) esetén a eljárás néhán feltétel teljesülése réén egserűsíthető. Kiegésítő felteések: egenes tengelű, primatikus rúd a isgált pont körneetében nincs a rúd felületére ható köetlen terhelés A eddig hasnált elméleti rúdmodellből a fentiek mellett csak a normálisú felületben keletkeő normál- és nírófesültség ektorára (σ és τ ) köetketettünk, ahol a nírófesültség eredő irána a síkba esik; legen e a irán mostantól. Ennek alapján tegük is föl, hog a ponton átmenő, -re merőleges normálisú metsetek semelikében nem keletkeik -re merőleges fesültségkomponens (aa csak σ és τ = τ lehet nemérus). Köetkemén: a pont síkbeli fesültségállapotban an, ahol a fesültségi állapot síkja, illete σ = 0. σ τ = τ P τ A elemi hasáb fesültségállapota Legen (u,, ) jobbsodrású koordináta-rendser úg, hog irána megegeék τ -éel: u 2 τ u felől née: célserűen: τ σ τ τ σ τ τ σ

42 31. FŐFEZÜLTÉGEK É FEZÜLTÉGI FŐIRÁNYOK X. A 1. és 3. főiránok köelítő meghatároása semléletből A főiránok a síkon egmásra merőlegesen helekednek el. Egmásra halmoás: különkülön csak a normálfesültségek, illete csak a nírófesültségek hatását essük figelembe. A eredő főirán a íg kapott sélső heletek köött an. τ σ = σ + τ τ τ 1 τ Ha a normálfesültség nem húás, hanem nomás lenne, akkor a legnagobb megnúlás irána a nomás iránára merőleges olna. 1 σ σ + τ τ σ 3 3 σ 1 1 Ha σ = 0, akkor σ 1 és σ 3 ellentétes előjelű Megjegés (ismeretterjestő jelleggel...): a harántkontrakció a fesültségek sámításakor nem jelentkeik, de a csak nírt hasáb átlói mentén tapastalt fajlagos núlást a főfesültségek függénében is felíra a E, G és ν paraméterek köti össefüggés könnedén belátható: dl dl γ dl 2 ε = +γ d l 1 2 2d l γ γ dl 2 ε = γ d l 3 2 2d l ε 1 = 1 E ( σ 1 ν(σ 2 +σ 3 )) γ 2 = 1 E ( σ 1 ν(0 σ 1 )) t τ 2 G = 1 E ( σ 1 (1+ν)) E=2G (1+ν) σ 1 F it 2 τ w dl 2 =σ 1 w 2 dl τ =σ 1

43 31. FŐFEZÜLTÉGEK É FEZÜLTÉGI FŐIRÁNYOK XI. 4. Állapítsuk meg a húott és csaart körselénű rúd jelölt kerestmetsetének megadott pontjaiban a fesültségi főiránokat becsléssel! D C M C A A T N B F B A normáligénbeételből konstans σ > 0, a csaarónomatékból a adott pontho tartoó sugárra merőleges τ t keletkeik. tengellel sembenée: D A pontban: A fesültségállapot síkját a σ és τ t = τ fesültségkomponensek fesítik ki, tehát a u 2. főirán egbeesik a iránnal. D T C A B N A D T N B C T T u A τ σ N 2 A 3 1 N B pontban: A fesültségállapot síkja ismét, a 2. főirán most a iránnal esik egbe: B T τ u N σ T 3 N B 1 2

44 31. FŐFEZÜLTÉGEK É FEZÜLTÉGI FŐIRÁNYOK XII. C pontban: A fesültségállapot síkja () függőleges, a 2. főirán ismét a ± iránnal esik egbe: T C τ N u σ T C N u D pontban: A fesültségállapot síkja () a D-he húott sugárra merőleges: D D τ T σ N T N 5. Állapítsuk meg a hajlított és nírt körselénű rúd jelölt kerestmetsetének megadott pontjaiban a fesültségi főiránokat becsléssel! B A C F B A V C M A hajlítónomatéki igénbeételből a magasság mentén lineárisan áltoó σ, a níróerőből pontonként áltoó iránú és nagságú τ keletkeik. tengellel sembenée:

45 31. FŐFEZÜLTÉGEK É FEZÜLTÉGI FŐIRÁNYOK XIII. B A M C V u (B) u (A) B (B) A V u (C) M C (C) (A) A B C

46 32. FŐFEZÜLTÉGEK É FEZÜLTÉGI FŐIRÁNYOK ZÁMÍTÁA I. Gerendák főfesültségeinek sámítása A gerendák pontjaiho rendelt fesültségtenor speciális: a korábban beeetett (u,, ) koordináta-rendserben felíra csupán három eleme nemérus: σ (u,, ) = [0 0 0 ] 0 0 τ 0 τ σ Ennek a (már csak kétdimeniós) sajátérték-feladatnak a megoldása: σ 1 = σ 2 ( + σ ) +τ σ 2 =0 ajátértékek: σ 3 = σ 2 ( σ ) +τ A (, ) síkban fekő sajátektorok (, ) tengelekkel beárt söge: tg 2 α 0 = 2 τ σ, aa α 0 = 1 2 arctg 2 τ σ +k 90 A képletek hasonló serkeetűek, mint ameleket a tehetetlenségi nomatékokkal kapcsolatban már láttunk, aa itt is alkalmas semléltetőestö a Mohr-kör. Különbség, hog σ =0 miatt a átmérőt kijelölő egik égpont a függőleges tengelre esik, aa a inerciáktól eltérően itt a legkisebb főérték (σ 3 ) negatí les. 1. A ábrán eg gerenda eg pontja körül felett elemi hasáb látható. A oldallapokra ható nemérus fesültségkomponensek: σ = 8 MPa, τ = τ = 3 MPa. Írjuk fel a fesültségtenor mátriát, majd határouk meg a főfesültségeket és a fesültségi főiránokat! Késítsünk eredménálatot! A fesültségtenor mátria: 3 18,43 A főfesültségek: A tengelt a 1-es főiránba forgató sög: 1 3 1

47 32. FŐFEZÜLTÉGEK É FEZÜLTÉGI FŐIRÁNYOK ZÁMÍTÁA II. 2. Határouk meg P-ben a σ és τ normál- és nírófesültségi komponenseket! Állítsuk össe a fesültségtenor mátriát a (,, ) koordinátarendserben! Határouk meg a főfesültségeket és a fesültségi főiránokat! Igénbeételek K-ban: I és ' sámítása: N K = 0 V K = = 144 kn M K = ,5 = 81 knm '=( 20 12) ( ) =3600 cm3 σ P = I = = cm 12 fesültségek P pontban: =0,3240kN cm 2 (+) τ P = =0,3455kN cm 2 A fesültségállapot síkja a - sík!

48 32. FŐFEZÜLTÉGEK É FEZÜLTÉGI FŐIRÁNYOK ZÁMÍTÁA III. A elemi hasáb oldallapjaira ható fesültségkomponensek: egensúl és reciprocitás σ τ τ τ F=[ +3, ,455 ] σ τ MPa τ τ σ 3, ]=[ A főiránok köelítő meghatároása egmásra halmoással: A főiránok köelítő meghatároása a Mohr-kör segítségéel: A főiránok meghatároása sámítással: tg 2α 0 = 2 τ 2 ( 3,455) = σ 3,240 α 0 =+32,48 σ 1,3 = 3,240 2 ± ( 3,240 2 ) 2 +( 3,455) 2 σ 1 =+5,44 MPa, σ 2 =0, σ 3 = 2,20MPa

49 32. FŐFEZÜLTÉGEK É FEZÜLTÉGI FŐIRÁNYOK ZÁMÍTÁA IV. 3. Becsüljük meg a fesültségi főiránokat, ha ismerjük a elemi hasáb + oldallapján ébredő fesültségeket és a irán fesültségmentes! - síkbeli fesültségi állapot τ - a fesültségi állapot síkja:- sík τ σ Felülről (+-nal semben) née: σ + = A 2. főirán a fesültségi állapot síkjára merőleges irán: 2 4. a) Határouk meg a fesültségeket a befogási kerestmetset A és B pontjaiban! b) ámítsuk ki a B pontbéli főfesültségek értékét! a) F = 0,5 kn A h = 3 m W = 2 kn B σ d = 1 m R= 5 cm = 6 mm A B

50 32. FŐFEZÜLTÉGEK É FEZÜLTÉGI FŐIRÁNYOK ZÁMÍTÁA V. b) Becsüljük meg a 1. és 3. főirán heletét! = + B A 2. főirán a fesültségi állapot síkjára merőleges (most iránú): 2 τ σ

51 32. FŐFEZÜLTÉGEK É FEZÜLTÉGI FŐIRÁNYOK ZÁMÍTÁA VI. 5. Határouk meg a háromsögkeresmetsetű konol befogási kerestmetsetének P és Q pontjában keletkeő főfesültségeket és aok iránát! K F = 20 kn l = 0,5 m P pont isgálata: P σ P τ P Q P V M cm Önálló órai gakorlás: Q pont isgálata: