Műszaki mechanika gyakorlati példák 1. hét: Közös ponton támadó erőrendszer síkban, kötélerők számítása

Átírás

1 Műsaki mechanika gakorlati példák. hét: Köös ponton támadó erőrendser síkban, kötélerők sámítása. ábrán látható G = 22 N súlerejű lámpát fújja a sél. Ennek hatására a kötél a függőlegestől β = 2 -ban tér ki. Mekkora a lámpa F légellenállása és a kötélben ébredő erő? β F G Végeredmének: F = ( 8,7 e ) N; Fk = (8,7 e + 22 e ) N..2 Eg daru teherhorgára F és F 2 erő eredőjeként függőlegesen F e = 3 kn erő hat. Mekkora erők lépnek fel a kötelekben? F F2 F e 4 6 Végeredmének: F = ( 6,96 e 2,2 e ) kn; F2 = (6,96 e 9,79 e ) kn.

2 .3 ábrán eg F = (9 e + 3 e ) N erővel megfesített húr látható. Határoa meg a húr sáraiban ébredő F és F 2 erőket! F P Végeredmének: F = ( 45 e + 3 e ) N; F2 = ( 45 e 6 e ) N. 2. hét: Köös ponton támadó erőrendser térben, támastóerők, kötélerők sámítása 2. Eg 8 m magas antennatoron 3 drótkötéllel van kikötve. P kötélágban mérjük a erőt, amel F 2 = 2 kn. Határoa meg a F és F 3 erőket, ha tudjuk, hog F ; F 2 ; F 3 eredője függőleges! Mekkora a O-ban ébredő támastóerő, ha a toron súla G = 25 kn? P F 3 F 2 C (4; 4; ) m ( 6; ; ) m F O (6; 6; ) m Végeredmének: F = (,6 e +,6 e,8 e ) kn; F 3 = (,6 e,6 e,2 e ) kn; F2 = (,2 e,6 e ) kn; FO = (28,6 e ) kn. 2

3 2.2 három drótkötéllel a ábrán látható módon felfüggestett üst súla G = 4 kn. Határoa meg a eges kötelekben ébredő erőket! 36 C 45 5 D 32 F 2 F 3 F 6 G Végeredmének: F = (,3 e +,37 e ) kn; F2 = (,74 e +,39 e ) kn; F 3 = (,74 e,3 e +,24 e ) kn. 2.3 csigán átvetett kötél G = 8 N terhet tart. Mekkora a konol pontjában a konolt terhelő erő nomatéka a pontra? G Végeredmén: M = ( 27,85 e ) Nm. 3

4 2.4 dott a ábrán látható daruserkeet a ráható terhelésekkel és megtámastásokkal egütt. datok: l = 3,6 m; l 2 =,9 m; l 3 =,2 m; l 4 = 5,4 m; G = 9 kn; G 2 = 6 kn; F = kn. Határoa meg a támasokban ébredő a) F és F reakcióerőket, ha minden terhelés hat a serkeetre; b) F és F reakcióerőket, ha csak a G és G 2 erő hat (F = ); c) F és F reakcióerőket, ha csak a G és F erő hat (G 2 = )! l 3 l 2 l l 4 G 2 G F Végeredmének: a) F = (6,278 e + 35 e ) kn; F = ( 6,278 e ) kn. b) F = ( 2,6 e + 25 e ) kn; F = (2,6 e ) kn. c) F = (9,83 e + 9 e ) kn; F = ( 9,83 e ) kn. 2.5 ábrán látható ajtóra saját G súlereje hat. datok: G = 8 N; l = m; l 2 =,6 m. Határoa meg a támastóerőket! l G l 2 Végeredmének: F = ( 48 e ) N; F = (48 e + 8 e ) N. 4

5 2.6 dott a ábrán látható lámpa, és annak felfüggestése, terhelése. datok: l = 3 m; l 2 = 2,7 m; l 3 = m; l 4 =,2 m; G = 6 N. Határoa meg a támastóerő-rendsert! l 4 l G l 2 l 3 Végeredmének: F = (24 e e ) N; F = ( 24 e + 72 e ) N. 3. hét: Egserű serkeetek statikája, támastóerő-rendser meghatároása 3. (Mechanikai Példatár I. 5.6) Határoa meg a ábrán váolt, tartós nugalomban lévő tartó F és F támastóerőit sámítással! 36 knm 2 kn/m 2 m 6 m Végeredmének: F = (2 e ) kn; F =. 5

6 3.2 (MP. I. 5.3) Határoa meg a ábrán váolt, tartós nugalomban lévő tartó F és F támastóerőit sámítással!,5 m 6 N m N/m m 5 N 2 m 4 m Végeredmének: F = (5 e ) N; F = (5 e + 5 e ) N. 3.3 (MP. I. 5.4) Határoa meg a ábrán váolt, tartós nugalomban lévő tartó F és F támastóerőit sámítással! m 2 m 2 knm 6 kn 2 m 8 kn 2 m Végeredmének: F = ( 8 e 8 e ) kn; F = (4 e ) kn. 6

7 3.4 (MP. I. 5.2) Határoa meg a ábrán váolt, tartós nugalomban lévő tartó F és F támastóerőit sámítással! 2 kn 6 kn 2 m 3 knm 4 m 3 m µ = 45 Végeredmének: F = (7 e 7 e ) kn; F = ( e + 5 e ) kn. 3.5 (MP. I. 5.34) Határoa meg sámítással a ábrán váolt, tartós nugalomban lévő serkeet támastóerő-rendserét! 8 kn C 2 m 2 kn/m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m Végeredmének: F = (8 e ) kn; F = ( 8 e + 8 e ) kn; FC = (8 e ) kn. 7

8 3.6 (MP. I. 5.38) Határoa meg sámítással a ábrán váolt, tartós nugalomban lévő serkeet támastóerő-rendserét! C 2 m E D 2 m 6 knm 2 m 45 Végeredmének: F = (3 e ) kn; F = (,5 e +,5 e ) kn; FC = (,5 e,5 e ) kn. 4. hét: Statikai nomaték, súlpont meghatároása 4. (MP. I..8 módosítva) dott a ábrán látható C rúdra ható, tengel mentén lineárisan megosló erőrendser. f = (2 e ) kn, f m 2 = (4 e ) kn. m ( ) a) Határoa meg a erőrendser pontba redukált F ; M vektorkettősét! b) Határoa meg a F és F C támastóerőket! f f 2 C 2 m 3 m Végeredmének: a) F = (9 e ) kn; M = (33 e ) knm. b) F = ( 4 e ) kn; FC = ( 5 e ) kn. 8

9 4.2 (MP. I..44) dott a anagi pontokból álló skalárrendser. m = 5 kg, m 2 = 2 kg, m 3 = 3 kg, r = (4 e + 4 e + 3 e ) m. Sámítsa ki a tömegpontrendser a), illetve pontra vonatkoó S illetve S statikai nomatékát; b) ξη, ηζ és ξζ koordinátasíkokra vonatkoó statikai nomatékát; c) T tömegköéppontjának r T helvektorát! m 3 ξ ζ m m 2 η Végeredmének: a) S = (4 e + 28 e + 5 e ) kgm; S = ( 2 e 5 e ) kgm; b) S ξη = 5 kgm; S ηζ = ; S ξζ = 2 kgm; c) r T = (4 e + 2,8 e +,5 e ) m. 4.3 (MP. I..49 d) Sámítsa ki a ábrán váolt kerestmetset, illetve tengelre vonatkoó S, illetve S, valamint a pontra vonatkoó S statikai nomatékát és súlpontjának r S helvektorát! 2 5 Végeredmének: S = 345 mm 3 ; S = 25 mm 3 ; S = ( 25 e e ) mm 3 ; r S = ( 2,78 e + 38,33 e ) mm. 9

10 4.4 (MP. I..5) Határoa meg a ábrán váolt, bevonalkáott síkidom a) és tengelekre vonatkoó statikai nomatékát; b) súlpontjának S és S koordinátáját! R/2 R Végeredmének: a) S = R3 8 π; S = ; b) S = ; S = R (MP. I..52) Sámítsa ki a CD törtvonal a) pontra vonatkoó S statikai nomatékát; b) súlpontjának S és S koordinátáját! D 5 C 2 2

11 Végeredmének: a) S = (225 e + 58 e ) mm 2 ; b) S =,84 mm; S = 83,6 mm. 4.6 (MP. I..46) Határoa meg a ábrán váolt homogén test súlpontjának r S helvektorát! Végeredmén: r S = (4 e + 5 e + 7 e ) mm. 4.7 Határoa meg a ábrán váolt fali forgódaru origóra sámított S statikai nomatékát, súlpontjának r S helvektorát, majd sámítsa ki a és támasokban ébredő reakcióerőket, ha a daru minden eleme q = 262 N folómétersúlú anagból késült! m 4 m 2 3 m,5 m S G 3 4 m

12 Végeredmének: S = (8 e + 8 e ) m 2 ; r S = (,25 e + 5 e ) m; F = (857,45 e e ) N; F = ( 857,45 e ) N. 5 hét: Össetett serkeetek statikája 5. (MP. I. 5.64) súlos korongból és súltalan rúdból álló serkeet a váolt heletben tartós nugalomban van. Határoa meg a?-lel jelölt erőt, a támastóerőket és a belső erőket! R = m F =? 5 N 2 C 3 m 45 Végeredmének: F = ( 56,94 e ) N; F = (5 e ) N; F = (5 e + 6,94 e ) N; F 2 = ( 5 e + 5 e ) N. 5.2 (MP. I. 5.74) Határoa meg sámítással a ábrán váolt rúdserkeet támastó- és belső erőit! rudak súla elhanagolható! kn m 6 knm 6 m 2 C 3 m 2

13 Végeredmének: F = ( 8 e + 7 e ) kn; F = (8 e e ) kn; F2 = ( 8 e + e ) kn; 5.3 (MP. I. 5.75) Határoa meg sámítással a ábrán váolt rúdserkeet támastó- és belső erőit! rudak súla elhanagolható! 4 kn m m R = 2 m 2 kn m C 2 2 m 4 knm Végeredmének: F = ( e + 3 e ) kn; F = (3 e + e ) kn; F2 = ( 3 e e ) kn; 5.4 (MP. I. 5.9) Határoa meg a ábrán váolt Gerber-tartó támastóerő-rendserét és belső erőit! 6 kn m D 2 C 6 kn 4 kn 2 m m 2 m m Végeredmének: F = (6 e ) kn; F = ( 4 e + 9 e ) kn; FC = (9 e ) kn; F2 = ( 4 e 3 e ) kn. 3

14 5.5 (MP. I. 5.9) Határoa meg a ábrán váolt Gerber-tartó támastóerő-rendserét és belső erőit! α 4 knm 2 6 kn C 2 kn 3 m 3 m 2 m 2 m Végeredmének: F = (3 e 2 e ) kn; M = ( 22 e ) knm; FC = (3 e ) kn; F2 = (3 e 2 e ) kn. 6. hét: Rácsos tartók rúderőinek meghatároása, igénbevételek 6. (MP. I. 5.) Határoa meg a ábrán váolt rácsos serkeet kijelölt rúdjaiban ébredő rúderőket! m 2 kn 8 kn 4 4 m Végeredmének: N = 7,333 kn; N 2 = 2,667 kn; N 3 = 2 kn; N 4 = 8,667 kn; N 5 =,667 kn; N 6 =. 6.2 (MP. I. 5.6) Határoa meg a ábrán váolt rácsos serkeet kijelölt rúdjaiban ébredő rúderőket! 4 kn 3 3 m kn 3 3 m 4

15 Végeredmének: N = 7 kn; N 2 = 2,828 kn; N 3 = 9 kn; N 4 = 9,487 kn; N 5 = 2 kn. 6.3 (MP. I. 5.8) Határoa meg a ábrán váolt rácsos serkeet kijelölt rúdjaiban ébredő rúderőket! 3 m 2 6 kn 3 m 3 3 m m 6 4 m 4 m 4 m Végeredmének: N = ; N 2 = 2,369 kn; N 3 = ; N 4 = ; N 5 = 8 kn; N 6 = 2 kn. 6.4 (MP. II..) Ismeretes a befogott rúd terhelése és támastóerő-rendsere. F = ( 2 e + e ) kn; F 2 = ( 4 e ) kn; F 3 = ( 4 e 4 e ) kn; F = ( e + 3 e ) kn; M = (9 e ) knm; a =,5 m; b =,25 m. Határoa meg F F 2 F 3 F I K II a b b a M a) a I jelű rúdrés egensúla alapján a K kerestmetset mentén e résre ható fesültségeknek a K kerestmetset S súlpontjába redukált vektorkettősét, vagis a F S I fesültségi eredő erőt és a M S I fesültségi eredő erőpárt; b) a II jelű rúdrés egensúla alapján a K kerestmetsetben e résre ható F S II eredő erőt és M S II fesültségi eredő erőpárt; 5 fesültségi

16 c) a K kerestmetset igénbevételét, vagis a N K rúderőt, a T K níróerőt és M hk hajlítónomatékot! Végeredmének: a) F I S = (6 e e ) kn; M I S = (2,5 e ) knm. b) F S II = ( 6 e + e ) kn; M II S = ( 2,5 e ) knm. c) N K = kn; T K = 6 kn; M hk = 2,5 knm. 6.5 (MP. II..3) Ismeretes a kéttámasú tartó terhelése. Határoa meg a K kerestmetsetben I f 2 = ( 3 e ) N/m K II m,5 m,5 m F = ( e + 4 e ) N a) ( a I jelű rúdrésre ható fesültségeknek a kerestmetset S súlpontjába redukált F I S ; M ) S I vektorkettősét, illetve ( b) a II jelű rúdrésre ható fesültségeknek a kerestmetset súlpontjába redukált F II S ; M ) S II vektorkettősét, majd c) a N K rúderőt, a T K níróerőt és a M hk hajlítónomatékot! Végeredmének: a) F I S = ( e ) N; M I S = ( 87,5 e ) Nm. b) F S II = ( e ) N; M II S = (87,5 e ) Nm. c) N K = ; T K = N; M hk = 87,5 Nm. 6

17 7) Igénbevételi ábrák serkestése 7. (MP. II..34) dott a kéttámasú tartó terhelése és támastóerő-rendsere. Rajolja meg a egés tartóra a igénbevételi ábrákat! 2,5 kn/m C D E 4 kn F = 3 kn F E = 2 kn m m m,5 m 3 T [kn] 2 M h [knm],5,

18 7.2 (MP. II..35) dott a kéttámasú tartó terhelése és támastóerő-rendsere. Rajolja meg a egés tartóra a igénbevételi ábrákat!,5 m m m m m kn H 3 kn/m C D E 2 kn kn F = (2,5 e + e ) kn F D = (6,5 e ) kn N [kn] T [kn],5 2 4,5 M h [knm],5,5 2 2,5 8

19 7.3 (MP. II..3) Rajolja meg a adott terhelésű befogott rúd N () rúderő-, T () níróerő- és M h () hajlítónomatéki ábráját, a sámserű értékeknek, illetve a görbe sakasok végérintőinek a megadásával!,5 m,5 m 4 kn/m C knm N [kn] F = (6 e + 2 e ) kn 2 T [kn],5 knm 2 knm M h [knm],5,5 4,25,25 9

20 7.4 (MP. II..3) Rajolja meg a adott terhelésű befogott rúd N () rúderő-, T () níróerő- és M h () hajlítónomatéki ábráját, a sámserű értékeknek, illetve a görbe sakasok végérintőinek a megadásával!,2 m, m 2 kn/m C 5 3 F = ( 3 e + 3 e ) kn N [kn] T [kn] 3 knm 3 3 knm 3 M h [knm] ,5,75 3 2

21 7.5 dott a ábrán látható tartó és terhelése. Határoa meg a támastóerőket, majd serkesse meg a tartó igénbevételi ábráit! 2 kn 8 kn C 3 kn/m D 2 m m N [kn] T [kn] 7 2 m 2 m 2 4 knm 5 M h [knm] , ,5 2

22 8. hét: Silárdságtani beveetés, alakváltoási állapot, fesültség állapot 8. (MP. II. 3.2 a, d) Eg rugalmas test P pontjában a alakváltoási állapotot a ábra semlélteti. 8 4 e P e e a) Írja fel a P alakváltoási tenor mátriát! b) Sámítsa ki a e n =,8 e +,6 e és e m =,8 e,6 e egségvektorho tartoó ε n fajlagos núlást és γ mn fajlagos sögtorulást! Végeredmének: ] 3 a) [ P = b) ε n = 5,76 4 ; γ mn = 5, (MP. II. 3.3) koordináta-rendser P pontjában ismeretesek eg rugalmas test alakváltoási jellemői: ε = 5 3 ; ε = 4 3 ; ε = 2 ; γ = γ = γ = γ = és γ = γ = 2. a) Semléltesse elemi triéderen a P pontbeli alakváltoási állapotot! b) Sámítsa ki a ε n fajlagos núlást és a γ n sögtorulást, ha e n =,8 e +,6 e! 22

23 Végeredmének: a) semléltetés 2 e P e e b) ε n = 2 3 ; γ n =. 8.3 (MP. II. 3.5 a) Ismert eg test sík felületének eg pontjában a ábrán váolt három iránban, valamint a síkra merőleges iránban (amel alakváltoási főtengel) a fajlagos núlás. ε = 4 4 ; ε = 6 4 ; ε ξ = 6 4 ; ε = 5 4 ; γ = γ = γ = γ = ; α = 3. Sámítsa ki a γ sögváltoás értékét! α ξ Végeredmén: γ = 5, (MP. II. 3.2) Eg silárd test P pontjában ismert a T P fesültségi tenor mátria: ] [T P = Határoa meg a P pontban MPa. a) a e ; e ; e normálvektorokho tartoó ρ ; ρ ; ρ fesültségvektorokat; b) a n =,8 e +,6 e normálisú elemi felületen a ρ n fesültségvektort, a σ n normálfesültséget és a τ n csústatófesültség-vektort! 23

24 Végeredmének: a) ρ = (4 e 5 e ) MPa; ρ = ( 5 e +5 e ) MPa; ρ = (5 e 5 e ) MPa. b) ρ n = ( 4 e + 3 e + e ) MPa; σ n = 3 MPa; τ n = ( 4 e + 6 e 8 e ) MPa. 8.5 (MP. II. 3.2) P pontban keletkeő fesültségi állapot a pont körneetéből kivett elemi kockán adott. e 9 (MPa) e e a) Írja fel a fesültségi tenor mátriát! b) Rajolja meg a fesültségi állapot teljes Mohr-féle fesültségi kördiagramját! c) kördiagram segítségével határoa meg a főfesültségeket és a fesültségi főiránokat! d) Sámítsa ki külön a Mohr-, és külön a Huber-Mises-Henck-féle elmélet serinti redukált fesültség értékét! Végeredmének: a) [ T ] 3 = 3 4 MPa. 4 9 b) Mohr-féle fesültségi kördiagram τ n [MPa] 4 Y Z ϕ X σ n [MPa]

25 c) σ = MPa; σ 2 = MPa; σ 3 = 3 MPa; ϕ = 26,565. n ϕ n 2 d) σred Mohr = 4 MPa; σred HMH = 24,9 MPa. 8.6 (Fejeetek a Silárdságtanból (FS.): 67. old. 2.7) dott a fesültségi tenor mátria a koordináta-rendserben: [ ] 8 T = 4 32 MPa Írja fel a fesültségi tenor diadikus előállítását, semléltesse a fesültségi állapotot a elemi kockán és sámítsa ki a n = 7 (4 e e ) és a m = 7 ( e + 4 e ) normálisú felületelemeken ébredő σ n és σ m normálfesültséget, valamint a τ mn nírófesültséget. Írja fel a fesültségi tenor mátriát, illetve diadikus előállítását a e ; n; m egségvektorok által kifesített kartéiusi koordináta-rendserben! Végeredmének: Diadikus alak: T = 8 e e + (4 e 32 e ) e + ( 32 e 8 e ) e MPa. Semléltetés a elemi kockán: e 8 (MPa) e e σ n = 48 MPa; σ m = 88 MPa; τ mn =. [ ] 8 T = 88 MPa.,m,n 48 25

26 . hét: Egserű igénbevételek: húás, nomás. (MP. II. 4.2) néget kerestmetsetű ömök rúdsakas nomásra van igénbevéve. N = 6 kn; a = 5 mm; l = mm; n =,6 e +,8 e ; E = 2 5 MPa; ν = /3. S n a P N P N a l a) Rajolja meg a = kerestmetsetben ébredő fesültségek eloslásának jellegét a és koordináták függvénében! b) Határoa meg a P (25; 2,5; 4) mm pontbeli T P fesültségi tenor valamint a P alakváltoási tenor mátriát, és semléltesse is aokat! c) Serkesse meg a P pontbeli fesültségi állapot Mohr-féle kördiagramját! d) Határoa meg a P ponton átmenő n normálisú S síkon fellépő σ n fesültséget! Végeredmének: a) fesültségeloslás: σ σ b) ] [T P = 24 MPa; ] [ P =,4,4,2 3 26

27 e 24 (MPa),2 3 e e e,4 3 e P e,4 3 c) Mohr-féle kördiagram: τ n [MPa] Z 24 X, Y σ n [MPa] d) σ n = 53,6 MPa..2 (S Példatár 5.8) Méreteünk vontatórudat. Sükséges vontatóerő F = 25 kn, a rúd körkerestmetsetű, anagára vonatkoó foláshatár σ F = 2 MPa; n F =,5; E = 2 5 MPa. Mekkora a ténleges bitonsági téneő, ha d = 5 mm-t válastunk? Mekkora a 3 m hossú rúd megnúlása? Végeredmének: d 5,79 mm; n ténl. F =,48; l = 2,225 mm..3 (S Példatár 5.) Eg acélsodron kötélnek F = 9 kn terhet kell tartania. Határoa meg, hán acélsálnak kell alkotnia a sodront! Eg acélsál átmérője: d =,6 mm; σ meg = 2 MPa. Végeredmén: k = 224 db. 27

28 .4 (MP. II. 4.9) D átmérőjű hengeres tartál fedelét k sámú csavar sorítja le. tartál p nomású gát tárol. p = MPa; k = 2; D = 5 mm. csavarok anagának σ F = 6 MPa a folási határa, és n F = 4 a erre vonatkotatott bitonsági téneő. Határoa meg, hog mekkora a eges csavarok magkerestmetsetének s sükséges mérete (a sereléskor fellépő fesültségek elhanagolását a nag bitonsági téneő indokolja)! D Végeredmén: s = 2,454 3 mm 2 = d s 55,9 mm..5 (MP. II. 4.4) Három rúdból össeépített serkeet függőleges rúdján G súlú test függ. G = 5 kn; d = 4 mm; 2a = b; E = 2 GPa; a rudak anagának σ meg = 2 MPa a megengedett fesültsége. d 2 3 m 2 3 m a b 3 2 m G a) Ellenőrie a -es jelű rúd bejelölt kerestmetsetét! b) Határoa meg a 2-es és 3-as jelű rudak 2s és 3s sükséges kerestmetsetét, majd méretee a 2-es jelű rudat 2 db egenlőtlen sárú L selvénre, és a 3-as jelű rudat téglalap kerestmetsetűre! c) Határoa meg a eges rudakban felhalmoódó U ; U 2 ; U 3 belső energia értékét! 28

29 Végeredmének: a) σ = 9,37 MPa< σ meg = megfelel. b) 2s = 3s = 25 mm 2 = a válastott L selvén: L a téglalap méretei: a = 25 mm; b = 5 mm. c) U = 34,3 J; U 2 = 33,93 J; U 3 = 9 J.. hét: Egserű igénbevételek: hajlítás. (MP. II. 4.55) egik végén befogott körkerestmetsetű primatikus rudat F és F erők terhelik. F = 2 kn; d = 6 mm. F d K C F 6 m 3 m 3 m a) Rajolja meg a tartó hajlítónomatéki ábráját a jellemő metsékek feltüntetésével! b) Határoa meg a tartó veséles kerestmetsetét, illetve veséles kerestmetseteit! c) Határoa meg a tartó = kerestmetsetében a fesültségek eloslását, mint a és koordináták függvénét! d) Határoa meg a P (; 8; ) mm pontban a T P fesültségi tenor mátriát! e) Semléltesse a P pontbeli fesültségi állapotot (a koordináta-rendser tengeleivel párhuamos élű) elemi kockán! f) Rajolja meg a P pontbeli fesültségi állapot Mohr-féle kördiagramját! 29

30 Végeredmének: a) Igénbevételi ábrák: F K C F 6 m 3 m 3 m T [kn] 6 6 M h [knm] 2 2 b) rúd sakasán minden kerestmetset veséles. c) σ =,865 σ σ d) ] [T P = 49,2 MPa. 3

31 e) semléltetés: e 49,2 MPa e e f) Mohr-körök: τ n X, Y Z 49,2 σ n.2 (MP. II. 4.57) Ismeretes a állandó kerestmetsetű kéttámasú tartó terhelése. S 5 kn/m U6 6 m a) igénbevételi ábrák megrajolása után határoa meg a tartó veséles kerestmetsetét, illetve veséles kerestmetseteit! b) Határoa meg a σ ma maimális normálfesültség értékét, továbbá a tartó maimális fesültségű P pontjának, illetve pontjainak,, koordinátáit! c) Ellenőrie a tartót fesültségcsúcsra, ha a tartó anagára σ meg = 5 MPa a megengedett fesültség! 3

32 Végeredmének: a) Igénbevételi ábrák alapján a veséles kerestmetset: C 5 kn/m C 6 m 5 T [kn] 5 M h [knm] 22,5 45 b) σ ma = 2,48 MPa; P ( 64 64; = ±8; = 3) mm. c) Mivel σ ma σ meg = megfelel..3 (MP. II. 4.6) Ismeretes a állandó kerestmetsetű kéttámasú tartó terhelése.,4 kn C m 4 m a) igénbevételi ábrák megrajolása után határoa meg a tartó veséles kerestmetsetét, illetve veséles kerestmetseteit! b) Határoa meg a σ ma maimális normálfesültség értékét, továbbá a tartó maimális fesültségű P pontjának, illetve pontjainak,, koordinátáit! c) Ellenőrie a tartót fesültségcsúcsra, ha a tartó anagára σ meg = 5 MPa a megengedett fesültség! 32

33 Végeredmének: a) igénbevételi ábrák alapján a veséles kerestmetset: C,4 kn C 4 m 4 m,7 T [kn] M h [knm],7 2,8 b) σ ma = 64,54 MPa; P (; ±3; 4) mm. c) Mivel σ ma > σ meg = nem felel meg..4 (MP. II. 4.63) Ismeretes a primatikus tartó terhelése, kerestmetsetének alakja, anagának σ F folási határa és a előírt n F bitonsági téneő. σ F = 33 MPa; n F = 2. Méretee a tartót fesültségcsúcsra! S 9 kn C 27 knm D 2,5 m 2 m,5 m I (MSZ325) Végeredmén: K süks = 63636,36 mm 3 íg a válastott I tartó: I2. 33

34 .5 (S Példatár 5.83) Ismeretes a ábrán váolt I tartó és annak terhelése. Méretee a tartót fesültségcsúcsra! σ meg = 2 MPa; F = 5 kn; F 2 = 9 kn; F 3 = 2 kn; l = 2 m; l 2 =,5 m; l 3 =,8 m. F 3 F 2 F S l 3 C D l2 l Végeredmén: K süks = mm 3 íg a válasott I tartó: I hét: Egserű igénbevételek: csavarás 2. (MP. II. 4.79) körkerestmetsetű, d átmérőjű, egik végén befalaott l hossúságú rudat M c csavarónomaték terheli. M c = 4 Nm; l = 5 mm; l = 6 mm; d = 2 mm; E = 2 GPa; ν =,3; ρ = 5 mm. η ξ S ρ 3 l K l K 2 Mc d a) Határoa meg a K kerestmetsetben ható τ (), τ (), és τ η (ξ) csústatófesültség eloslását a, illetve ξ tengel mentén! b) Határoa meg a K kerestmetset pontjában a T fesültségi tenor mátriát, és semléltesse at a pont körneetéből kivett (a koordináta-rendser tengeleivel párhuamos élű) elemi kockán! c) Határoa meg a alakváltoási tenor mátriát a pontban, és semléltesse a elemi triéderen! d) Határoa meg a K, K 2 kerestmetsetek egmásho visonított ψ 2 sögelfordulását! e) Határoa meg a rúd l hossúságú sakasán felhalmoódott U belső energia értékét! 34

35 Végeredmének: a) a fesültségeloslások: η ξ τ τ τ η ξ τ τ b) τ () = 2,55; τ () = 2,55; τ η (ξ) = 2,55ξ. ] [T = 2,73 MPa 2,73 semléltetés: e 2,73 MPa e e 2,73 MPa c) ] [ =,83,

36 semléltetés: e,83 4,83 4 e e d) ψ 2 = 5,3 3 rad =,3. e) U =,33 J. 2.2 (MP. II. 4.8) egik végén befogott körgűrű kerestmetsetű primatikus rudat M és M 2 nomatékú erőpárok terhelik. M = M e ; M2 = (,2 e ) knm; D = 4 mm; d = 2 mm; a rúd anagának csavarásra megengedett csústató fesültsége τ meg = 6 MPa; G = 8 GPa. S M K M 2 C d D 5 5 a) Mekkora M nomaték esetén les a K kerestmetsetben a legnagobb csústatófesültség éppen τ meg? b) Határoa meg a rúd csavarónomatéki ábráját a jellemő metsékek sámserű feltüntetésével, és sámolja ki a kerestmetsetnek a C kerestmetsethe visonított ψ C sögelfordulását! c) Sámítsa ki a terhelés hatására a rúdban felhalmoódó U belső energia értékét! 36

37 Végeredmének: a) M = 76,858 Nm. b) Igénbevételi ábra: M K M 2 C ,858 M c [Nm] 586,858 ψ C =,2 rad =,59. c) U = 3,358 J. 2.3 (MP. II. 4.8) d átmérőjű rúdho mereven kapcsolódó D átmérőjű tárcsa kerületén állandó F és F erőkből álló erőpár működik. F = 5 kn; D =,4 m; d = 6 mm. Ellenőrie a rudat, ha a rúd anagára τ meg = 6 MPa a csavarásra megengedett csústatófesültség! F d D F F F l Végeredmén: τ ma = 47,6 MPa < τ meg = megfelel. 37

38 2.4 (MP. II. 4.86) l hossúságú, d átmérőjű körkerestmetsetű rudat M c csavarónomaték terheli. M c = 86 Nm; G = 8 GPa; l =,2 m. M c M c l d a) Méretee a rudat, ha a két sélső ( és ) kerestmetsetek egmásho visonított sögelfordulásának megengedett értéke φ meg = 2 3 rad! b) Ellenőrie a rudat fesültségcsúcsra, ha τ meg = 6 MPa! Végeredmének: a) d 57,52 mm. b) τ ma = 23, MPa < τ meg = megfelel. 2.6 (S Példatár 5.6) D = 28 mm külső átmérőjű acélcsövet 4,9 4 Nm csavarónomaték vesi igénbe. a) Mekkora lehet legfeljebb a cső belső átmérője, ha a legnagobb csavarófesültség lehet? 32 N mm 2 b) Mekkora a cső méterenkénti sögelfordulása? Végeredmének: a) d 25,9 mm. b) ψ = 2,79 3 rad =, (FS. 25. old. 4.) Melegví kút fúrásakor a fúrófej a 9 m mélséget érte el. Újraindításkor at figelték meg, hog a 2 mm külső ármérőjű acél fúrócső eg teljes fordulatot vége, mielőtt a fúrófej újra munkáho kedene. Mekkora a fúrócsőben a csavarásból adódó nírófesültség maimuma? (G acél = 8 GPa) Végeredmén: τ ma = 55,85 MPa. 38

39 2.8 (FS. 25. old. 4.) ábrán váolt rúd sakasán 36 MPa, C sakasán pedig 9 MPa a megengedett nírófesültség. sakasnak 92 mm, a C sakasnak pedig 7 mm a átmérője. Mekkora lehet a rudat terhelő M C csavarónomaték maimuma, ha nem vessük figelembe a kerestmetset-váltoás fesültséggűjtő hatását? C M C,9 m,45 m Végeredmén: M ma C = 5,54 knm. 3. hét: Össetett igénbevételek 3. (MP. II. 5.6 a) kéttámasú tartónak tekinthető körkerestmetsetű tengelre ékelt tárcsa kerületén tengeliránú F erő hat. F = ( 5 e ) kn; E = 2 GPa. Méretee a tengelt fesültségcsúcsra, ha a tartó anagának σ meg = 3 MPa a megengedett fesültsége! F C Végeredmén: d 33,96 mm. 39

40 3.2 (MP. II. 5.9 módosítva) Ismert a ábrán látható I tartó sakasának kerestmetsete, melre F és F 2 erők hatnak. F = 8 kn; F 2 = 2 kn; e = 25 mm. C F S K F 2 e e D I (MSZ325) a) Határoa meg a K kerestmetsetben ébredő fesültségek eloslását a tengel mentén! b) Méretee a tartót, ha a megengedett fesültség σ meg = MPa! c) Határoa meg a K kerestmetset C, S és D pontjában a T C, T S és T D fesültségi tenor mátriát! Végeredmének: a) fesültségeloslás: S σ σ σ I (MSZ325) b) I22. ] c) [T C = ] [T D = 4,66 86,64 MPa; MPa. ] [T S = 5 MPa; 4

41 3.3 (MP. II. 5.23) néget kerestmetsetű oslopra a önsúlon kívül külpontosan ható F erő is működik. G = 3 kn; F = kn. Mekkorára kell a oslop betonalapjának b méretét késíteni, hog a alaplapon húófesültség ne ébredjen?,5 m F G b b Végeredmén: b =,75 m. 3.4 (MP. II. 5.) Téglalap kerestmetsetű ( ) primatikus rúd K kerestmetsetének igénbevétele a S súlpontba redukált F ; MS eredő vektorkettőssel adott. F = ; M S = (5 e + 2 e ) Nm. M S 4 2 C a) Rajolja meg a fesültségeloslást a és tengelek mentén! 4

42 b) Határoa meg a pontban a T fesültségi tenor mátriát és semléltesse at a pont körneetéből kivett ( koordinátatengelekkel párhuamos élű) elemi kockán! c) Határoa meg a érusvonal egenletét, továbbá a érusvonal és a tengel által beárt ϕ sög tangensét! d) Sámítsa ki a kerestmetset veséles pontjainak koordinátáit, és eekben a pontokban a σ ma maimális fesültséget! Végeredmének: a) fesültségeloslások: M S σ σ σ σ b) ] [T = 6,875 MPa; e 6,875 MPa e e c) = 3,2 = tan ϕ = 3,2. d) és C pont a veséles: r = ( e + 2 e ) mm; r C = ( e 2 e ) mm; σ ma = 73,25 MPa. 42

43 3.5 (MP. II. 5.2) téglalap kerestmetsetű, l magasságú, G súlú oslopra annak = (,8;,4; l) m pontjában F koncentrált erő hat. F = 6 MN. Határoa meg a test K ( = ) kerestmetsetében a súlerő elhanagolásával a) a σ normálfesültség értékét a S(; ; ) m, (,2; ; ) m, C(;,5; ) m és D(,2;,5; ) m pontokban; b) a érusvonal = () alakú egenletét! F l,2 m S C D 2,5 m Végeredmének: a) σ S = 2 MP; σ = 5,6864 MPa; σ C =,3333 MPa; σ D = 2,353 MPa. b) = 3 +, hét: Össetett igénbevételek 4. (MP. II. 5.28) Körkerestmetsetű ( ) primatikus rúd K kerestmetsetének igénbevétele a S súlpontba redukált F ; MS eredő vektorkettőssel (fesültségi eredőkkel) adott. F = (5 e ) kn; MS = (5 e ) knm; d = 8 mm. P S S F M S d 43

44 a) Állapítsa meg a K kerestmetset igénbevételét! b) Határoa meg a σ () normálfesültség és a τ (); τ () csústatófesültségek eloslásának függvéneit a tengel mentén! c) Határoa meg a P (; 2) mm pontban a T P fesültségi tenor mátriának érustól különböő koordinátáit! d) Állapítsa meg a K kerestmetset veséles pontjainak koordinátáit! e) Ellenőrie fesültségcsúcsra a kerestmetsetet a Mohr-féle elmélet alapján, ha a rúd anagára megengedett fesültség σ meg = 2 MPa! Végeredmének: a) húás és csavarás b) a fesültségeloslások: σ () = 9,95; τ () = ; τ () =,24. P S τ τ σ τ τ σ c) ] [T P = 24,8 24,8 9,95 MPa. d) Veséles pontok: a kör kerületén lévő pontok. e) σ ma red = 99,7 MPa σ meg = megfelel. 44

45 4.2 (MP. II. 5.3 a, b) körkerestmetsetű, d átmérőjű, egik végén befalaott rúd másik végére ékelt D átmérőjű tárcsa kerületén F és F erőkből álló erőpár működik, míg a tengelében F 2 erő hat. d = 8 mm; F = 5 kn; F 2 = 2 kn; σ F = 8 MPa; n F =,5; D =,2 m. F D F d F F F 2 a) Rajolja meg a rúd igénbevételi ábráit! b) Ellenőrie a d átmérőjű rudat a Mohr-féle elmélet alapján! Végeredmének: a) igénbevételi ábrák: 2 6 N [kn] M c [knm] b) σ ma red = 9,42 MPa σ meg = megfelel. 45

46 4.3 (MP. II a, b, c) Ismeretesek a D körkerestmetsetű primatikus rúd érustól különböő igénbevételi ábrái. d = 8 mm; E = 2 GPa; ν =,25.,5 m C D m,5 m 6 N [kn] 2,5 M c [knm] 25 a) Határoa meg a rúd veséles pontjait! b) Határoa meg a C kerestmetset Q(; 4) mm pontjában a T Q fesültségi tenor mátriát és semléltesse at a elmei kockán! c) Rajolja meg a Q pontho tartoó Mohr-féle fesültségi kördiagramot, és olvassa le arról a főfesültségeket! Végeredmének: a) veséles kerestmetsetek: C sakas minden kerestmetsete; a veséles pontok: a kör kerestmetset kerületi pontjai. ] 24,87 b) [T Q = MPa; a semléltetés: 24,87,94 e,94 (MPa) 24,87 e 24,87 e 46

47 c) Mohr-körök: X τ n 24,87 Z 9,6 5 Y 5 5,94 3,55 σ n σ = 3,55 MPa; σ 2 = MPa; σ 3 = 9,6 MPa. 4.4 (MP. II. 5.36) D külső, d belső átmérőjű körgűrű-kerestmetsetű, tengelű, l hossúságú primatikus rudat M és M nomatékú erőpárok terhelik. rúd anagára a megengedett fesütség σ meg = 8 MPa. M = (6 e + 8 e ) Nm. a) Határoa meg a M red redukált nomatékot a Mohr-féle elmélet serint! b) Méretee a rudat fesültségcsúcsra, ha D d = 2! Végeredmének: a) M red = Nm. b) d 25,7 mm D 5,4 mm. 4.5 (MP. II. 5.37) Egik végén befogott körkerestmetsetű primatikus rúd másik végéhe rögített tárcsa kerületén ismert F erő hat. D = 5 mm; l = mm; F = 8 N. Méretee a rudat fesültségcsúcsra a Huber-Mises-Henck-féle elmélet serint, ha σ meg = 25 MPa. F d D F l Végeredmén: d 9,8 mm. 47

48 4.6 (MP. II. 5.4) Ismeretesek a állandó d átmérőjű, körkerestmetsetű E tengel igénbevételi ábrái. C D E M h [Nm] 7 M h [Nm] 9 45 M c [Nm] 4 3 a) Határoa meg a tengel veséles kerestmetsetét! b) Méretee a tengelt fesültségcsúcsra a Huber-Mises-Henck-féle elmélet serint, ha σ meg = 8 MPa! Végeredmének: a) veséles kerestmetset:. b) d 8,89 mm. Eddig tart a félév teljes anaga. Sok sikert kívánok a visgákho! 48