A rögzített tengely körül forgó test csapágyreakcióinak meghatározása a forgástengely ferde helyzete esetében. Bevezetés

Átírás

1 A rögített tengel körül forgó test csapágreakcióinak meghatároása a forgástengel ferde helete esetében Beveetés A előő dolgoatokban nem esett só a forgástengel ferde heletének esetéről. Aokban a ábrák is a forgástengel vísintes és függőleges heletének megfelelően késültek, sugalmava minteg annak egserűségét és célserűségét. Most sakítunk eel, íg mondhatjuk, hog előfeltevéseink erejéig a visgálat eg általánosabb esetre vonatkoik. A előfeltevések: ~ a forgórés tetsőleges tömegeloslású, ami a időben váltoatlan; ~ a forgórés merev, vagis deformációjától eltekinthetünk; ~ a forgás geometriai tengele rögített; ~ a forgórés a két végén csapágaott; ~ a forgórést a saját súla, a motor forgatónomatéka, a csapágerők és a forgás miatt fellépő tehetetlenségi erők terhelik. A súrlódási és a egéb vesteségektől eltekintünk. A nem - sakember is tudja, hog nem olan ritka és eért nem is lénegtelen eset e. Aonban a is können látható, hog e nem a léteő legáltalánosabb eset, még a merev forgórésekre vonatkoóan sem. Gondoljuk meg, hog például ~ a forgó késtengelbe befogott forgácsoló sersám által a késtengelre kifejtett erők csak forgás köben léphetnek fel, s akkor sem mindig uganúg: eltérő sűrűségű anagrések, üresjárat, stb.; ~ a forgó betonkeverő gépben a beton nedves - képléken, íg mogása nem egeik a forgórés mogásával: elválik attól, megváltotatva a forgórés tömegeloslását, stb. A anag alábbi tárgalása többnire [ 1 ] - et követi, ahol leveették a mondott előfeltevéseknek megfelelő eset képleteit. E a sámítás sép, ám nem egserű és rövid: kitartást igénel; ráadásul vektorsámítást alkalma, íg ilen iránú előtanulmánokra is sükség lehet. Ebben a Függelék is segíthet. A csapágreakciókat leíró képletek leveetése Ehhe tekintsük a 1. ábrát is! 1. ábra

2 A ábrán a ferde heletű forgórést semlélhetjük, eg ( XYZ ) térbeli koordináta - rendserben ábráolva. A forgórés forgástengele, mel a YZ síkban helekedik el, és a Z tengellel θ söget ár be. A forgórést a A és B pontokban csapágaták; itt lépnek fel a A és B csapágreakció - erők. A forgástengelen felvettünk eg O pontot, a csapágaktól a és b távolságra, ahol a b l. ( 1 ) A O pont eg olan ( ) koordináta - rendser kedőpontja, mel a testhe mereven rögített, aa vele egütt forog. A forgás sögsebessége ω, söggorsulása ε. A térben nugvó ( XYZ ) koordináta - rendser tengeleinek egségvektorai: ( I, J, K ). A test súlpontja G, súla G m g m g J. ( ) r* r r A súlpont helvektora a ( O ) koordináta - rendserben:. G A 1. ábrán a forgó tengelkerest a kedeti heletéből éppen ψ söggel fordult el, a tengel körül. A M nagságú forgatónomatékot a tengelre kifejtő gépéseti egség ( motor ) a ábrán nincs feltüntetve. Annak érdekében, hog a térben nugvó és forgó menniségek köti kapcsolatot megkapjuk, elősör állítsuk fel a egségvektorok köötti össefüggéseket! Ehhe tekintsük a. ábrát is!. ábra

3 3 A. ábra serint: i cos i sin j cos i sin j ; ( 3 ) 0 j cos(90 ) i sin(90 ) j sin i cos j. 0 intén a. ábra alapján, ( 3 ) és ( 4 ) felhasnálásával: I j0 sin i cos j ; ( 5 ) J cos i sin k cos cos i cos sin j sin k. ( 6 ) 0 Most a külső akció + reakció erők eredőjét írjuk fel: F = A B m g J ; ( 7 ) komponensekben, ( 6 ) - tal is: F A B mgcos cos ; F A B mgcos sin ; F A B mgsin. ( 4 ) ( 8 ) A impulustételnek a Függelék ( F59 ) egenlet - alakjából: F m ; F m ; F 0. ( 9 ) Össehasonlítva ( 8 ) és ( 9 ) - et: A B mgcos cos m ; A B mgcos sin m ; A B mgsin 0. ( 10 ) Most felírjuk a O pontra vett nomatékvektort: (O) M r m g J a k A bk B M k. ( 11 ) Résleteük a sámításokat.

4 4 cos cos cos sin sin r J i j k i j k cos sin i j sin i k felhasnálva, hog cos cos j i sin j k cos cosk i cossin k j; i j j i k; i k k i j; j k k j i, ( 1 ) és ( 13 ) serint kapjuk, hog r J cossin cos cos k sin cos cos j sin cossin i; végül ( 11 ) első tagja: r mg J mg sin mg cos sin i m g sin mg cos cos j mg cos sin mg coscos k. Most foglalkounk ( 11 ) második tagjával! k A k A i A j A k A k i A k j A j A i A i A j; eel ( 11 ) második tagja: ( 1 ) ( 13 ) ( 14 ) ( 15 ) ( 16 ) a k A A a i A a j. ( 17 ) Hasonlóképpen ( 11 ) harmadik tagja: bk B B b i B b j. ( 18 ) Eután a ( 11 ), ( 15 ), ( 16 ), ( 17 ) képletekkel: (O) M i mg sin mg cossin A a B b j m g sin mg cos cos A a B b k mg cos sin mg cos cos M. Komponensekben: ( 19 )

5 5 (O) M A a B b mg sin mg cos sin ; (O) M A a B bmg sin mg cos cos ; (O) M M mg cos sin mg cos cos. ( 0 ) A impulusmomentum - tételnek a Függelék ( F5 ) alakú egenleteivel: (O) M J J ; (O) M J J ; (O) M J. ( 1 ) Össehasonlítva ( 0 ) és ( 1 ) - et: A a B b m g sin m g cos sin J J ; A a B bmg sin mg coscos J J ; M mg cos sin mg cos cos J. A ( 10 ) és a ( ) egenletek: a forgórés mogásegenletei. Ide kívánkoik még a ψ és a ω menniségek köti kapcsolatot kifejeő d dt ( ). ( 3 ) össefüggés is. A eredmének taglalása A fentiek alapján mondhatjuk, hog a általánosabb esetet jelentő ferde heletű merev forgórés - modell serinti sámítás eredménei nem egserűek. Et a állítást mindjárt alá is támastjuk; ( ) harmadik egenletéből kapjuk, hog: J mg cos sin (t) mg cos cos (t) M (t). ( 4 ) Majd ( 3 ) és ( 4 ) - gel: d (t) J mg cos sin (t) mg coscos (t) M (t). dt ( 5 )

6 6 A (5 ) egenlet: eg nemlineáris köönséges másodrendű differenciálegenlet a (t) függvénre. Ennek megoldására célserű numerikus módsert alkalmani; e már önmagában is elég komol nehéséget jelenthet. Márpedig a sögelfordulás, majd eel a sögsebesség és a söggorsulás függvénei általában a ( 5 ) egenlet (t) megoldásából kaphatók meg. Most visgáljunk meg néhán könnebb speciális esetet! 1.: A forgórés statikusan kiegensúloott 0; 0. ( * ) Ekkor ( 4 ) és ( * ) - gal: J (t) M (t), innen M (t) majd ebből (t), J 1 (t) M (t)dt C ; végül ( 3 ) - ból: 1 J (t) (t)dt C. Itt C 1 és C állandók, melek a feladat kedeti feltételeiből sámíthatók ki. Most vegük at a alesetet, hog M (t) 0 ; ( 1 - a ) ekkor konst. ( ) Határouk meg ebben a speciális esetben a támasreakciókat! A ( 10 ) és ( * ) össefüggésekből: A B m g cos cos 0; A B m g cos sin 0; A B m g sin 0. ( 1 - b ) Továbbá a ( ), ( * ), ( 1 - a ) képletek serint: A a B b mg cossin J ; A a B b mg cos cos J ; ( 1 - c ) A ( 1 - b ) képlet harmadik egenletéből: A B m gsin. ( 1 - d )

7 7 Feltéve, hog A - nál hengeres, B - nél gömbcsuklós a megtámastás, ( 1 - d ) - vel is: A 0; ( 1 - e ) B m gsin. ( 1 - f ) A többi reakció - komponens meghatároására ( 1 - b ) első és második egenlete, valamint ( 1 - c ) solgál. Megoldva: b J A mgcos cos ; l l J b ( 1 - g ) A m gcossin ; l l a J B m g cos cos ; l l a J B m g cos sin. l l ( 1 - h ). A forgórés statikusan kiegensúloatlan és csak a súlerő hatása alatt áll. Ekkor általában 0; 0, ( ** ) és M (t) 0. ( *** ) Most ( 4 ) - ből: J mg cos sin (t) mg cos cos (t) 0. ( - a ) orítkounk a kis kitérések esetére; ekkor sin (t) (t); cos (t) 1, ( - b ) aa ( a ) és ( b ) - vel: J mg cos (t) mg cos 0; ( - c ) innen mg cos mg cos (t) (t) 0; ( - d ) J J Elősör néük a (t) 0 (! ) alesetet!

8 8 Ekkor a forgórés áll, nem forog. A (! ) egenlet uganis at mondja, hog a söggorsulás bármel időpontban érus, aa a sögsebesség állandó. Mivel pedig a kis kitérések esetére sorítkotunk, vagis a forgórés nem fordul körbe, íg a sögsebesség nem lehet más állandó, csak érus. Ekkor ( - d ) - ből: mg cos mg cos 0 0, aa J J 0. ( - e /1 ) Arra jutottunk, hog a forgórés a saját súl hatására felvett nugalmi heletét a ( - e / 1 ) egenlet serinti kis söggel jellemehetjük. Veessük le et másképpen is! A ( - a ) egenletből ω 0 - val: mg cos sin 0 mg cos cos 0 0, innen pedig ( - e / ) tg 0, ami kis kitérések esetén átmeg ( - e / 1 ) - be. Másodsor visgáljuk meg ( - d ) általános megoldását! Első lépésként alakítsuk át! mg cos (t) (t) 0; J ( e / 1 ) - gel is: mg cos (t) 0 (t) 0 0; J beveetve a 1(t) (t) 0 ( - ψ1 ) jelölést, előő egenletünk íg alakul: 1(t) k 1(t) 0, ( - ψ ) ahol alkalmatuk a mg cos k ( - k ) J jelölést. A ( - ψ ) egenlet általános megoldása: 1(t) K1 sin(k t) K cos(k t). ( - ψ3 ) A t = 0 - ra vonatkoó ( felvett kedeti ) feltételek: (0), ( - kf 1 ) 1 1ma 1 (0) 0. ( - kf ) Most ( - ψ3 ) és ( - kf 1 ) - gel: K 1ma. ( - K ) Továbbá ( - ψ3 ) és ( - K ) - vel:

9 9 1(t) K1 sin(k t) 1ma cos(k t). ( - ψ4 ) Deriválva ( - ψ4 ) - et: 1(t) K1 k cos(k t) 1ma k sin(k t); ebből t = 0 - val és ( - kf ) - vel: 0 K1 k, vagis K1 0. ( - K1 ) Most ( - ψ4 ) és ( - K1 ) - gel: 1(t) 1ma cos(k t). ( - ψ5 ) Eután ( - ψ1 ) és ( - ψ5 ) - tel: (t) cos(k t); rendeve: 0 ma 0 0 ma 0 (t) cos(k t); ( - ψ6 ) most ( - e / 1 ) és ( - k ) - val is: mg cos (t) ma cos t. J ( - ψ7 ) E eg harmonikus lengés egenlete; a lengésidő ( - k ) - val is: J k mg cos T. ( - T ) Látható, hog ha 90, akkor T, ami bionos eskööknél fontos terveési sempont lehet ( seimikus detektorok ). 3. A forgórés statikusan és dinamikusan is kiegensúloott és konst. A statikus és dinamikus kiegensúloottság esetén egidejűleg fennállnak a 0; s 0; J 0; J 0 feltételek. Ekkor ( 1- g ) - ből: ( $ ) b l b l A m g cos cos ; A m g cos sin ; ( 3 - a ) Hasonlóan ( 1 - h ) - ból:

10 10 a l a l B m g cos cos ; B m g cos sin. ( 3 - b ) Megfigelhető, hog a J 0; J 0 feltételek uganolan hatásúak, mint ha ω = 0 lenne. Más savakkal: a ( 3 - a,b ) képletekkel írhatók le a nugvó forgórés csapágreakció - komponensei is. Eek a komponensek a forgó ( ) koordináta - rendserben lettek felírva. Keressük meg a álló ( XYZ ) koordináta - rendserben érvénes képleteket is! A A csapágban ébredő reakcióerő vektora: A A i A j A k ; ( 3 - c ) komponensei a ( 1 - e ) és ( 3 - a ) képletekkel adottak a mogó rendserben. Tudjuk, hog a álló rendserbeli komponensekre fennáll, hog A A I A J A K. ( 3 - d ) Innen: A AI, X A AJ. Y X Y Z ( 3 - e / 1, ) Emléketetőül: I sin i cos j ; ( 5 ) J cos cos i cos sin j sin k. ( 6 ) Most ( 3 - c ), ( 5 ) és ( 3 - e / 1 ) - gel: A AI A i A j A k sin i cos j X sin A cos A ; ( 3 - f ) Majd ( 3 - a ) és ( 3 - f ) - fel: b b AX sin mgcos cos cos m gcos sin 0, l l tehát AX 0. ( 3 - g ) Hasonlóan ( 3 - c ), ( 6 ) és ( 3 - e / ) - vel: A A J A i A j A k cos cos i cos sin j sin k Y cos cos A cos sin A sin A ; Most ( 3 - a ) és ( 3 - h ) képletekkel: ( 3 - h )

11 11 b AY cos cos mgcos cos l b cos sin m gcossin sin A ; l rendeve: b AY mg cos cos sin sin A, l vag még egserűbben: b AY mg cos sin A. ( 3 - i ) l A B csapágban ébredő reakcióerő vektora: B B i B j B k ; ( 3 - j ) komponensei a ( 1 - f ) és ( 3 - b ) képletekkel adottak a mogó rendserben. Tudjuk, hog a álló rendserbeli komponensekre fennáll, hog B B I B J B K. ( 3 - k ) Innen: B X BI, B Y B J. X Y Z A korábbiak serint: B BI B i B j B k sin i cos j X sin B cos B ; Most ( 3 - b ) és ( 3 - m ) - mel: a BX sin m gcos cos l ( 3 l / 1,) ( 3 - m ) a cos mgcos sin 0, l tehát: BX 0. ( 3 - n ) Foltatva: B B J B i B j B k cos cos i cos sin jsin k Y coscos B cos sin B sin B ; ( 3 - o )

12 1 most ( 3 - b ) és ( 3 - o ) - val: a BY cos cos m gcos cos l a cos sin m gcossin sin B ; l rendeve: a BY mgcos cos sin sin B ; l vag még egserűbben: a BY m gcos sin B. ( 3 - ö ) l A csapágreakciók tehát a forgástengelen átmenő függőleges síkban helekednek el. Ellenőrés a semlélet serint: A Y + B Y = mg? ( 3 - i ) és ( 3 - ö ) - vel: b AY BY mgcos sin A l a mgcos sin B l b a m g cos ( 3 - p ) sin A B l l m g cos sin A B. Most ( 1 - d ) és ( 3 - p ) - vel: A B m gcos sin m gsin Y Y m g cos sin m g. A utolsó egenlőség is igaolja sámításaink helességét. ( 3 - q ) 4. A forgórés statikusan és dinamikusan is kiegensúloatlan és konst. Ekkor egidejűleg fennállnak a 0; s 0; J 0; J 0 ( ) össefüggések. A csapágreakció - komponenseket a ( 10 ) és ( ) egenletekből sámítjuk ki, alkalmava a 0 konst. feltételt. A mondott egenletek:

13 13 A B mgcoscos m ; A B mgcos sin m ; A B mgsin 0. ( 4 - a ) A a B b mg sin mg cos sin J ; A a B bmg sin mg cos cos J. ( 4 - b ) A ( A, A ), ( B, B ) megoldásokat ( 4 - a ) első két egenletéből és ( 4 - b ) - ből sámítjuk ki. A sámítás legegserűbben a behelettesítéses módserrel végehető el. A eredmének: b A m g cos cos m b m g sin J ; l l l b A m g cos sin m b m g sin J ; l l l a l l B m g coscos ma mg sin J ; l a B m g cos sin m a m g sin J. l l l ( 4 - c ) A és B sámítására ( 4 - a ) ad lehetőséget, pl. ( 1 - e ) és ( 1 - f ) serint. A ( 4 - c ) képletekben a előőek serint három rés különíthető el. A első árójeles tagok a statikusan és dinamikusan is kiegensúloott eset össetevői. A második tagok a statikus kiegensúloatlanság miatt fellépő össetevőket adják meg. A harmadik tagok pedig a dinamikus kiegensúloatlanság miatt fellépő reakcióréseket írják le. Utóbbiakból jól kiolvasható, hog ( A, B ) J, valamint ( A, B ) J eg - eg erőpárt képenek, melek eredője is erőpár. Utóbbi nomatékának nagsága: M J J J J J J. ( 4 - d ) 4 e Mindeek a rotorral egütt forgó koordináta - rendserben értendők. A további esetek tárgalását már a Olvasóra bíuk; e a fentiekhe hasonlóan végehető. Javasoljuk a Olvasónak, hog végee el a 0 esetre vonatkoó sámítást, majd a eredméneket vesse össe a fentiekkel és a harmadik résben kapottakkal is!

14 14 FÜGGELÉK A merev test mogásegenletei ( válatos leveetés ) ld. [ ]! Tekintsük a m tömegű merev testet, melet infiniteimálisan kicsin dm tömeg - elemek egüttesének gondolunk F1. ábra! F1. ábra A tömegelemre ható külső erő: df. A súlpont heletét eg térben rögített ( O ) koordináta - rendserben a alábbi össefüggés adja meg: m r r dm. ( F1 ) Idő serinti kétseri differenciálással kapjuk, hog m r r dm, ( F / 1 ) m r r dm. ( F / ) A ( F / 1 ) képlet jobb oldalán a egés test teljes p impulusa áll, mint a infiniteimális impulusok össege. Minthog r v, ( F3 ) eért ( F / 1 ) és ( F3 ) - mal: p m v. ( F4 ) avakban: a merev test teljes impulusa / mogásmennisége egenlő a test tömegének és a súlpontja / tömegköéppontja sebességének soratával.

15 15 A ( F / ) képlet jobb oldalán Newton II. törvéne serint : r dm df, és F df, eért ( F / ) - vel: m r F, vag p F. ( F5 ) ( F5 ) első rése savakban: a merev test tömegköéppontja úg moog, mintha a teljes tömege a tömegköéppontjában lenne egesítve, és a össes külső erők erre a pontra hatnának. E a tömegköéppont tétele a merev testre ld. [ 3 ] - at is! ( F5 ) második rése savakban: a merev test teljes impulusának idő serinti differenciálhánadosa egenlő a merev testre ható külső erők eredőjével impulustétel vag lendület - tétel, a merev testre vonatkoóan. A alább követkeő nomatéktételt eg a merev testhe rögített A pontra vonatkotatva írjuk fel. Most sorouk meg a v dm df differenciális mogástörvént vektoriálisan r vektorral, majd integráljunk a egés testre! Íg at kapjuk, hog a r v dm r df. ( F6 ) ( F6 ) jobb oldalán a külső erők A pontra vett M nomatékvektora áll. ( F6 ) bal oldalán átalakításokat végünk. Induljunk ki a ( r v) r v r v aonosságból! Átrendeve: r v ( r v) r v. ( F7 ) A F1. ábra serint: r r r ; ( F8 ) A idő serint differenciálva: r r r ; ( F9 ) A ( F9 ) - et másként írva: v v v ; ( F10 ) A figelembe véve, hog a ω sögsebesség - vektorral fennállnak a v r ω r, ( F11 ) valamint a (ω r ) (ω r ) 0 aonosság, továbbá a ábra serinti

16 16 r r r ( F1 ) A P össefüggések is, ( F7 ) íg alakul: r v ( r v) ω r v ω r A ( r v) ω r v A ( r ) v ω ra r P va ( r v) ω r v ω r v. A A P A Beveetjük a A pontra vonatkotatott forgásimpulus / impulusnomaték / impulusmomentum / perdület - vektort : L r v dm, majd átalakítjuk ( F6 ) bal oldalát, ( F13 ) - mal: d r v dm dm dm dt r v ω r A va ( F13 ) ( F14 ) ( F15 ) dm ω. r P va Felhasnálva a tömegre és a súlpontra vonatkoó dm m, ( F16 ) P r dm 0 ( F17 ) definíciós össefüggéseket, ( F15 ) íg írható: d r v dm dm m. dt r v ω r A v A ( F18 ) Most ( F14 ) és ( F18 ) - cal: dl r v dm ω r A v A m. ( F19 ) dt Most megformuláva a ( F6 ) jobb oldalán álló nomatékvektort: M r df, ( F0 ) ( F6 ), ( F19 ) és ( F0 ) - sal kapjuk, hog

17 17 dl dt M ω r A v A m. ( F1 ) A ( F1 ) egenlet írja le a impulus momentum - tétel eg általánosabb alakját. A gakorlat és dolgoatunk sempontjából nagon fontos speciális esetek a alábbiak. A.) A =, vagis a vonatkotatási pont maga a test súlpontja. Ekkor a ( F1 ) össefüggés íg alakul: ra 0 miatt () () L M, : súlpont. ( F ) avakban: a merev test ( akárhogan mogó ) súlpontjára vett impulus - momentum váltoási sebessége egenlő a külső erők súlpontra vett forgatónomatékainak eredőjével. B.) A testhe rögített A pont egidejűleg a térben is rögített. Ekkor: va 0, íg a ( F1 ) össefüggés íg alakul: L M, A : fi pont. ( F3 ) avakban: a merev test eg tetsőleges, de térben rögített pontjára vett impulus - momentumának váltoási sebessége egenlő a külső erőknek e rögített pontra vett forgatónomatékainak eredőjével. A továbbiakban sükség les L kifejeésére, a előbb mondott speciális esetekben. Felírásáho tekintsük a F. ábrát is! Testhe rögített koordináta - rendser F. ábra

18 18 Induljunk ki ( F14 ) - ből! A fentiek serint: L r v r va ω r dm dm dm ( F4 ) dm. r va r ω r A ( F4 ) képletből a A.) és a B.) speciális esetekben a jobb oldal első tagja eltűnik, íg képletünk alakja: L r ω r dm. ( F5 ) Most felhasnáljuk a A B C = BC ACAB ( F6 ) vektoralgebrai aonosságot. Eel r ω r ωr r r ω. ( F7 ) Eután ( F5 ) és ( F7 ) - tel: L r ω r r ω dm ω r dm r r ω dm. ( F8 ) Most kifejtjük ( F8 ) jobb oldalának második tagját. Ehhe: r i j k ; ( F9 ) ω i j k ( F30 ) ; majd ( F9 ) és ( F30 ) - cal: r ω, ( F31 ) íg a második tag integrandusa: r r ω i j k i j k. Most ( F8 ), ( F30) és ( F3 ) - vel: ( F3 )

19 19 L i j k r dm i dm j dm k dm ; ( F33 ) Rendeve: L i r dm dm dm dm j r dm dm dm dm k r dm dm dm d m. ( F34 ) Most felhasnáljuk, hog r, ( F35 ) majd eel: r, r, r ; ( F36 ) ( F36 ) - ot integrálva:

20 0 r dm r dm dm dm; r dm r dm dm dm; r dm r dm dm dm. Most ( F34 ) és ( F37 ) - tel: L i dm dm dm j dm dm dm k dm dm dm. Átrendeve: ( F37 ) ( F38 ) L i dm dm dm j dm dm dm k dm dm dm. ( F39 ) Beveetjük a követkeő jelöléseket, ill. elneveéseket, melek a merev test tömegeloslásával kapcsolatosak: ~ a tehetetlenségi ( inercia - ) nomatékok kifejeései:

21 1 J dm, J dm, J dm ( F40 ) ~ a deviációs ( terelő - ) nomatékok kifejeései: J J dm, J J dm, J J dm. ( F41 ) Eek után ( F39 ), ( F40 ) és ( F41 ) - gel: L i J J J + j J J J k J J J ; ( F4 ) vag a perdületvektor komponens - egenletei: L J J J ; L J J J ; L J J J. ( F43 ) Abban a esetben, ha ω k ( F44 ), akkor ( F4 ) - ből:

22 L J i J j J k. ( F45 ) A ( F3 ) össefüggés alkalmaásáho sükségünk les a alábbi össefüggésre: dl dt L t ω L. ( F46) E a nagon fontos képlet a L vektornak a nugvó és a ehhe képest ω sögsebességgel forgó koordináta - rendserekben vett időbeli váltoási sebességei köti kapcsolatot írja le v.ö.: [ 3 ]! Most alkalmauk ( F46 ) - ot ( F45 ) - re! A első tag: L t J i J j J k, ( F47 ) hisen a forgó rendserben mind a tehetetlenségi és deviációs nomatékok, mind pedig a forgó rendserhe kötött ( i, j, k )egségvektorok állandók. Eután ( F46 ) második tagja, ( F44 ) és ( F45 ) - tel is: ω L k i j k J J J J ki J k j J kk ; Itt figelembe vessük, hog ki j, kj i, kk 0. Majd ( F48 ) és ( F49 ) - cel: ( F48 ) ( F49 ) ωl J ij j J i J j. ( F50 ) Most a ( F46 ), ( F47 ) és ( F50 ) képletekkel: dl dt L t ωl J i J j J k J i J j i J J J J J j k. Most ( F3 ) és ( F51 ) - gel a komponens - egenletek: ( F51 ) M J J ; ( F5 / 1 )

23 3 M J J ; ( F5 / ) M J. ( F5 / 3 ) ükségünk les még a súlpont - gorsulás kifejeésére is: dv a v ω r ω r ω r dt ω r ω ω r. ( F53 ) Most ( F44 ) - ből: ω k ( F54 ) továbbá, ω r k i j k Foltatva: k i k j k k j i 0 i j. ω ω r ω r ω r ωω 0 0 i j i j. ( F55 ) k i j k i j k ( F56 ) Most ( F53 ), ( F55 ), ( F56 ) - tal: a i j i j i j i j. ( F57 )

24 4 A ( F5 ) impulustétel: F m a. ( F58 ) Komponensekben ( F57 ) és ( F58 ) serint : F ma m ; F ma m ; F ma 0. ( F59 ) Irodalom: [ 1 ] Lawrence E. Goodman ~ William H. Warner: DYNAMIC Dover Pulications, Inc., Mineola, New York, 001. [ ] Werner Hauger ~ Walter chnell ~ Dietmar Gross: Technische Mechanik, Band 3.: Kinetik 7. Auflage, pringer, 00. [ 3 ] Budó Ágoston: Mechanika 5. kiadás, Tankönvkiadó, Budapest, 197. ődliget, 009. március 5. Össeállította: Galgóci Gula mérnöktanár