6.8. Gyorsan forgó tengelyek, csőtengelyek

Átírás

1 68 Gyorsan forgó tengelyek, csőtengelyek p y p S iinduló feltételeések: - állandó, - a súlyerő, - p p A silárdságtani állapotokat henger koordinátarendseren (H-en) írjuk le Forgás a gyorsulásól sármaó, a térfogaton osló erőrendser: q q e e e g a tösűrűség kg/m, a fajsúly N/m, g a gravitációs gyorsulás m/s A q qe a tengely/csőtengely kerestmetsetének síkjáa esik, eért a alakváltoás során a kerestmetsetek síkok maradnak A feladat oldása: SA + tista húás-nyomás F F F a) Sík alakváltoás: Een a eseten a iharmonikus differenciálegyenlet nem homogén, a jooldalon jelenik egy, a -tól függő tag iharmonikus differenciál egyenlet: U d d d du Tengelysimmetrikus eseten: állandó d d d d g Megoldás: U U ( ) U ( ) h p A U( ) ln C D ln g 64 A ln C g 64 Megjegyés: a D ln tagot aért hagyjuk el, mert nem ad egyértékű elmodulásmeőt kör és körgyűrű tartományon Új váltoó eveetése: A U U e dv q e függvényől sármatatott fesültségek: x

2 66 a a ) Tista húás: Sögseességtől és anyagtól függőállandók:, 8 A húó-nyomó erőt olyan nagyságúra kell felvenni, hogy a superpoíció után érus tengely irányú erőt kapjunk N N N N d N a ehelyettesítve és átrendeve: N a d d d,, N a N A c) Superpoíció: forgó csőtengely/tengely a, Anyagtól függő állandó: a,, - A konstansok határoása a peremfeltételekől: a a A a és a állandók eől a két egyenletől határohatók Jelölés: A hiperolák asimptotái: h a hiperolák h a

3 Ha, akkor h, h, Ha, akkor h A hiperolák tulajdonsága: asimptoták a, h a Egy tetsőleges selő egyenes a hiperolán és a asimptotán levő pontjainak távolsága aonos A aonos távolságokat (sakasokat) a árán vastag vonal jelöli tetsőleges selő egyenes 68 A gyorsan forgó csőtengely diagramja i h i a h a A csőtengely diagram rajolásának gondolatmenete: - Megrajoljuk a egyenest - Felvessük a h és h hiperola asimptótáit: a i függőleges és a a vísintes egyeneseket - A peremfeltételekől ( nél és nél ) határouk a h hiperola két pontját, majd felrajoljuk a h hiperolát - erajoljuk a h hiperolát és a egyenest A a és állandók határoása peremfeltételekől: a, a 67

4 A második peremfeltételől: a, Et ehelyettesítve a első peremfeltétele: Vissahelyettesítve a második peremfeltétele: a A gyorsan forgó csőtengely tetsőleges P pontjának fesültségállapota: F F F F Maximális redukált fesültség:, ahol,, Mohr a red max A peremfeltételekől határoott a, értéket ehelyettesítve: red max Mohr, Mohr red max 68 A gyorsan forgó tengely diagramja Tömör/furat nélküli tengely: Tapastalat: főfesültségek -nál is véges nagyságúak a fesültségek Fesültségek: a, a, Peremfeltétel: a a i i a A Mohr serint sámított redukált fesültség: 68

5 Mohr, red Mohr red 68 Gyakorló feladatok gyorsan forgó csőtengelyekre, tengelyekre 68 feladat: Gyorsan forgó csőtengely y y x D D Adott: A árán látható gyorsan forgó csőtengely anyaga, geometriája és sögseessége: D 4 mm, D 6 mm, rad / s = állandó, 8 kg / m, / Feladat: a) A és mennyiségek határoása fesültségi diagramok rajolása idolgoás:, és ) A c) A D helyen levő P pontokan a fesültségi tenor mátrixának felírása a,, henger koordináta-rendseren d) A Mohr-féle elmélet serinti legnagyo redukált fesültség kisámítása a) A és mennyiségek határoása:,44444, 6,,,6,6 8, ) A, és a a fesültségi diagramok rajolása: Pa MPa A vastagság menti fesültségeloslás függvényei Peremfeltételek: ( ), ( ) 69

6 a,,,74,,,,85, c) A D helyen levő P pontokan a fesültségi tenor mátrixának felírása,, henger koordináta-rendseren: A diagramól:,,6,4444,74 4,8 MPa,,85,6,44444 MPa A fesültségi tenor mátrixa: F ( ) 4, 8 MPa d) A Mohr-féle elmélet serinti legnagyo redukált fesültség kisámítása:,6,4444,4 6,79 MPa red max 68 feladat: Gyorsan forgó csőtengely y y x Adott: A árán látható, = állandó sögseességgel gyorsan forgó csőtengely: 7

7 Feladat: 5 mm, MPa, 8 kg / m,,5 ; E MPa a) A, és fesültségi diagramok jelleghelyes rajolása ) A első sugár értékének határoása, ha 44 MPa c) A helyen kialakuló fesültségi állapot határoása d) A csőtengely külső átmérőjének D váltoásának kisámítása e) A csőtengely legnagyo engedett sögseességének határoása, ha a anyag engedett fesültsége MPa idolgoás: a) A, és a a fesültségi diagramok jelleghelyes rajolása: A fesültségek vastagság menti eloslása,5,,6,5, Peremfeltételek: ( ), ( ) A gyorsan forgó csőtengely diagramja:,5,,5 a ) A 44 : első sugár értékének határoása, ha MPa A diagramól:, 7

8 44,6 4 8, 4 8,5 mm, mm c) A helyen kialakuló fesültségi állapot határoása: esetén,,6 8MPa,,,5 MPa d) A csőtengely külső átmérőjének D E G 8,5 5 4 váltoása: MPa A fesültségi tenor: F 8 MPa 6 G 8,5 4 8,5 4,5 4 4 D u 4,5 8,7 mm D,8 mm e) A csőtengely legnagyo engedett max sögseessége, ha MPa : red max,, 8,, max,, m /s,,,5,47 m/s, max,47,47 rad max 44, s 4 A engedett legnagyo fordulatsám: 6max 6 44 ford nmax 448 6,8 min 7

9 68 feladat: Gyorsan forgó tengely y y x Adott: A hossú tömör D átmérőjű tengely, amely állandó sögseességgel forog Feladat: D 4 mm, 8 kg / m,,5, 4 MPa a) A, és fesültségi diagramok rajolása ) A Mohr-féle elmélet alapján sámított redukált fesültség maximumának kisámítása c) A tengely engedett legnagyo fordulatsámának határoása, ha 8 MPa idolgoás: a) Fesültségi diagramok rajolása:,5,5,,6,5,5 a a, A fesültségeloslás függvényei,5,5,,5,5 Peremfeltétel: a a 4 MPa A gyorsan forgó tengely diagramja két alakan: 8 MPa D MPa 6 Fesültségek a = és helyen: = a MPa 8 a 4 4 MPa 8 7

10 = a 4,6 4 4 MPa a 4,6 4 6 MPa =,4 8 MPa, 4 8 MPa ) A Mohr serinti redukált fesültség: Mohr 4 8 4, 4,8 MPa red, Mohr 6 8 4,6, 4 MPa red, Maximális redukált fesültség: Mohr MPa c) A maximális fordulatsám: red max red max( Mohr ) red Mohr , ,5 8,, max 6max ford nmax 87 6,8 min 684 feladat: Gyorsan forgó csőtengely rad s,, y y x D Adott: A áll sögseességgel forgó D külső és D első átmérőjű csőtengely D 4 mm, D 6 mm, rad/s, 8 kg/m, / Feladat: a) A és értékének határoása diagramok rajolása idolgoás:, és ) A D c) A Mohr serinti legnagyo redukált fesültség határoása d) A D / sugárral kijelölt körön levő tetsőleges P pontan a fesültségi tenor mátrixának határoása henger koordináta-rendseren a) A és értékének határoása: 74

11 4,44444, 9 -ν -, ,6 N/mm -ν 8 -, ) A, és a a + - diagramok rajolása: Peremfeltételek: ( ), ( ) + +,4444 5, -,4444 7,4444 -, a Peremfeltételek: a a a a a A első peremfeltételi egyenlete vissahelyettesítve:, Vissahelyettesítve a második peremfeltételi egyenlete:,6,4444 8, MPa a a a 8,,6 5,6 MPa 75

12 A fesültségek jellemő értékei: + - -,6,4444 MPa, 7 + -,6,4444- MPa 7 5,6 a, h ( ) a 8, 8,,6,8 MPa,,4444 5,6, MPa, 7 a,8 4 6,8MPa a, h ( ) a 8, 5,6,8 MPa, 5,6 9 MPa, 7 a,8 9 4,8 MPa c) A Mohr serinti legnagyo redukált fesültség határoása:, ( Mohr ) 4,8 ( ) 6,8 MPa, red,44444, ( Mohr ) 6,8 6,8 MPa, ( Mohr) 6,8 MPa red max red d) A D / sugárral kijelölt körön levő tetsőleges P pontan a fesültségi tenor mátrixának határoása henger koordináta-rendseren: ( ) F ( P) ( ) 4,8 MPa ( ) feladat: Gyorsan forgó tengely y y x Adott: A áll sögseességgel forgó D átmérőjű tengely D 4mm, 76 8kg/m, 4 MPa,,5 Feladat: a) A D, és diagramok rajolása ) A Mohr serinti legnagyo redukált fesültség határoása c) A tengely legnagyo engedett fordulatsámának határoása, ha a engedett fesültség 8 MPa

13 idolgoás: a) A fesültségi diagramok rajolása: a a - + +,5,6,,5,5,,5 Peremfeltétel: a a 4 MPa A gyorsan forgó tengely diagramja két alakan: A fesültségek jellemő értékei: a 4 4 =4MPa, a 4 4 =MPa, a 4,6 4 = 4MPa, a 4,6 4 = 6MPa,, 4 ( )= 8MPa,, 4 ()= 8MPa ) A Mohr serinti legnagyo redukált fesültség határoása:, red ( Mohr ),,8,8 4 MPa,, red ( Mohr ),4 +,,6,6 4 4 MPa, ( Mohr) MPa red max 4 MPa, c) A tengely legnagyo engedett fordulatsámának határoása, ha a engedett fesültség 8 MPa : max ( Mohr ),8 red MPa,6, ν 6 8,75 ν,8,8 ν rad/s,, ν,,58, n n 866= 869 ford/min 6,4 4 MPa,4,, 77

14 686 feladat: Gyorsan forgó tengely 8 kg/m, Poisson- Adott: A hossú, tömör, D átmérőjű tengely, amely D 6 mm, 4 : A tengely anyagának sűrűsége: s tényeője: /, engedett fesültsége: MPa állandó sögseességgel forog y y x Feladat: a) A, és diagramok rajolása ) A fesültségi tenor mátrixának határoása hengerkoordináta-rendseren a mm sugárral kijelölt körön levő P pontan c) A fesültségállapot semléltetése a P pont környeetéől kiragadott elemi kockán d) A tengely silárdságtani ellenőrése a Mohr elmélet serint idolgoás: a) A, és diagramok rajolása: a a,,, m + +,74,,,,86, -ν 7,5 8 =,5,44 =5,4 7 N N, 5 4 -ν 8 8 m mm A diagram: D a A diagramok más alakan: 78

15 i edukált fesültségek: red red,,74,,57, red red ) A fesültségi tenor mátrixának határoása hengerkoordináta-rendseren a mm sugárral kijelölt körön levő P pontan: 8 8 5,4 44,8 MPa, 9 9 9,74 5,4 46,4 MPa, 9,86 5,4, MPa 9 A fesültségi tenor: c) A fesültségállapot semléltetése a P pont környeetéől kiragadott elemi kockán: 44,8 F 46, 4 MPa, e e e d) A tengely ellenőrése Mohr elmélete serint: red max,74 5,99 MPa 687 feladat: Gyorsan forgó tengely y y x D 79

16 Adott: A hossú, tömör, Feladat: 4 MPa, a) A,, áll sögseességgel forgó D átmérőjű tengely D 4 mm, 8 kg/m,,5 függvények felírása és a diagramok rajolása ) A Mohr-féle elmélet alapján a redukált fesültség maximumának határoása c) A tengely legnagyo engedett fordulatsámának határoása, ha a engedett fesültség 8 MPa d) Mekkora átmérőjű furat esetén felel a tengely a adott sögseességre a Mohr elmélet serint? idolgoás: a) A,, a a függvények felírása és a diagramok rajolása:,, m + + 5,6,,5,5,,5 a ) A Mohr-féle elmélet alapján a redukált fesültség maximumának határoása: 8,8 4 MPa red max c) A tengely legnagyo engedett fordulatsámának határoása, ha a engedett fesültség 8 MPa : red max 5 8 N/mm 8 N/m k max 8 m m m kmax m 8 6, n max 5 f nmax 8 6,4 min max 5, s

17 d) Mekkora átmérőjű furat esetén felel a tengely a adott sögseességre a Mohr elmélet serint? a, a,, red max, red max 8 8 4,6 A tengelye furat nem késíthető 688 feladat: Gyorsan forgó hüvely A D külső és D első átmérőjű hüvelyt (csőtengelyt) felmelegítve D D tengelyre húunk, majd lehűtjük Ekkor a hüvely / D t átmérőjű merev túlfedéssel illeskedik a tengelyre Lehűtés után a serkeetet forgatni kedjük Feltételeük, hogy a hüvely anyaga lineárisan rugalmas, a tengely pedig tökéletesen merev Adott: D mm, D mm, D D Dt t t 5 MPa,75 mm, E,,5, 8 kg/m, 5 E G ( ),5 5,8 MPa Feladat: a) A túlfedés követketéen a hüvely első felületén fellépő nyomás határoása ) Mekkora fordulatsámnál laul a hüvely tengelyen, ha a hüvelyt hossú, gyorsan forgó vastagfalú csőként (csőtengelyként) modelleük? 8

18 idolgoás: a) A túlfedés követketéen a hüvely első felületén fellépő nyomás határoása: mm, mm, A túlfedésől sármaó nyomás határoása (a álló cső diagramja): D D G, t p G t t A túlfedés: u t ( ) p A csődiagramól: ( ) p p p t t ( ) p p p G G A túlfedésől sármaó nyomás: p t ( ) G ) Mekkora fordulatsámnál laul a hüvely tengelyen, ha a hüvelyt hossú, gyorsan forgó vastagfalú csőként (csőtengelyként) modelleük? A forgó hüvely diagramja: a a Peremfeltételek: a a + + 5,6,,5,5,,5, p a p 8

19 Fesültségállapot a első sugárnál: ( ) p, ( ),,5,, p ( ) ( ) A forgó cső fesültségi diagramja sugorkötés esetén: a p Laulásnál: p Alakváltoási állapot a helyen laulásnál: F I A F E ; G m FI,,,,, G G G E,6 MPa,74, Laulás: D 5,875, 8 N/mm N/m 4,75,875 8

20 8, 8 5 4,6 6, 6, 6 l, n f n n l 6 589,45 min 688 feladat: Gyorsan forgó kettősfalú csőtengely D merev rugalmas Adott: Lineárisan rugalmas anyagú csőre tökéletesen merev csövet húunk úgy, hogy héag és túlfedés nélkül illeskedjenek Eután a két csövet aonos sögseességgel forgatjuk A első csőre:,5, 6 N/mm,,5 Feladat: a) A első csően fellépő fesültségek eloslásának jelleghelyes áráolása ) A első csőre a sugárnál átadódó erőrendser p sűrűségének határoása c) A Mohr-féle elmélet alapján a első csően fellépő legnagyo redukált fesültség kisámítása idolgoás: a) A első csően fellépő fesültségek eloslásának jelleghelyes áráolása: a a + + 5,6,,5,5,,5 Peremfeltételek: p a, a 84

21 p ) A első csőre a sugárnál átadódó erőrendser A első cső külső felületén ( ) a fesültségek:, p 6 MPa, p sűrűségének határoása: p p p, 6,6 p 84 p MPa A első cső külső felületén ( ) a alakváltoási jellemők: F I A F E, G G E, 5 G,6 MPa F p 6 84 p, F 78 4p I FI 84 p,78 4 p G G 84 7, 6, p G u 66,4, p I 66,4 p,9 MPa, c) A Mohr-féle elmélet alapján a első csően fellépő legnagyo redukált fesültség kisámítása: Fesültségek határoása a első cső első és külső felületén: p 85

22 p ( ) 5,7MPa red 84 9, 9,7 MPa, red max 5,7 MPa 6 MPa p,9 MPa 5,9 MPa red 68 47,4 5,7 MPa 86

23 69 ör és körgyűrű alakú tárcsák Megoldás: általánosított sík fesültségi állapot Váltoó: A iharmonikus differenciálegyenlet oldásával előállított U U( ) fesültségfüggvényől formailag a vastagfalú csöveknél kapottal aonos a oldás a fesültségekre néve, aonan itt 69 Furatos tárcsa p p p p A fesültségek a a Peremfeltételek: A tengelysimmetria miatt: ( ) a p, ( ) a p A első egyenletől: a p, A második egyenletől: p p p p Vissahelyettesítve: p p p p p a p A furatos tárcsa diagramja: A tárcsa diagram serkestésének gondolatmenete egyeik a vastagfalú cső diagramjának serkestésével A tárcsadiagramot a p p esetre rajoltuk A,, een a eseten is főfesültségek edukált fesültség a diagramól: red Mohr, red max p p Mohr Een a eseten is fennáll a a proléma, hogy a p p terheléskülönség nem növelhető minden határon túl Megoldás: növelni kell a p terhelést össetett tárcsát kell alkalmani i p p red max 87

24 69 Túlfedéssel illestett össetett furatos tárcsa p Túlfedés: Feltételeés:, p Váltoó:, Tárcsa diagram: a a külső tárcsa első tárcsa red max p p p p red max A tárcsadiagram serkestése a össetett cső diagramjának serkestésével analóg módon történik Feltételeés: p p Peremfeltételek (ismert értékek): ( ) ( ) p, ( ) ( ) p, ( ) ( ) p Maximális redukált fesültségek: p p red max, p p red max A túlfedés határoása: Hooke-törvény: E p A tárcsa diagramól: p p red max p p p p p Eek a ( ) helyen vett értékek E 88

25 69 Gyakorló feladatok kör és körgyűrű alakú tárcsákra 69 feladat: örgyűrű alakú tárcsa f Adott: A állandó vastagságú tárcsa geometriája és sűrűségű osló terhelése f és f állandó f f mm, mm, 4 mm, f N/mm, f N/mm Feladat: a) A N, N felületi fesültségi diagramok rajolása a jellemő metsékek sámértékeinek adásával ) A N legnagyo értékének határoása c) A Mohr serinti legnagyo redukált fesültség kisámítása f idolgoás: a) A N, N felületi fesültségi diagramok rajolása a jellemő metsékek sámértékeinek adásával: N A N A, Peremfeltételek: N ( ) A f, N ( ) A f Felületi fesültségi diagram: N i N/mm f N f A N red max N 4 ) A N legnagyo értékének határoása: 89

26 Nred max f f 4 Nred max 6 N/mm,5 N N f N max red max max 6 4 N/mm c) A Mohr serinti legnagyo redukált fesültség kisámítása: Nred max 6 4 N/mm red max 4 69 feladat: örgyűrű alakú tárcsa idolgoás: a) A peremfeltételek felírása:,,5 f f f f Adott: A állandó vastagságú tárcsa terhelése: f 5 N/mm és f N/mm, méretei: 5 mm, mm, mm Feladat: a) A peremfeltételek felírása ) A N, N felületi fesültségek diagramjának rajolása a jellemő metsékek sámértékeinek adásával c) A értékének határoása a és helyen d) A helyen fellépő felületi fesültségállapot semléltetése a elemi négyeten Peremfeltételek: N f 5 N/mm N f N/mm ) A N, N felületi fesültségek diagramjának rajolása a jellemő metsékek sámértékeinek adásával: N A N A N N N A,5 f f N c) A értékének határoása a és helyen: 9

27 f f N f N 5 N/mm, N f f 4 f 5 N ( ) ( ) 6 N/mm f f N f f f N f N, N ( ) ( ) d) A helyen fellépő felületi fesültségállapot semléltetése a elemi négyeten: N N N e N N e 69 feladat: örgyűrű alakú tárcsa Adott: f A 4 mm vastag tárcsa f 6 N/mm és f N/mm terhelése, a furat 8 mm első sugara és a tárcsa anyagának engedett fesültsége: 6 MPa f f Feladat: a) A peremfeltételek felírása ) A N, N felületi fesültségi diagramok jelleghelyes rajolása c) A tárcsa külső sugarának határoása f idolgoás: a) A peremfeltételek felírása: N f, N f ) A N, N felületi fesültségi diagramok jelleghelyes rajolása: 9

28 N A N A N N i N f N f N c) A tárcsa külső sugarának határoása: Nred max f f red max f f 6 mm f f 9,

29 6 Gyorsan forgó kör és körgyűrű alakú tárcsák 6 Gyorsan forgó furatos tárcsa p p p p iinduló feltételeések: - állandó, - súlyerő - A p és a p más, a tárcsáho kapcsolódó alkatrés hatását modellei Váltoó: Fesültségek: a, a, 8 Peremfeltételek: A forgó tárcsa diagramja:,, p,,, p h a h p p A diagram serkestésének gondolatmenete egyeik a gyorsan forgó csőtengely diagramjának serkestésénél leírtakkal A redukált fesültség maximuma Mohr serint: Mohr red max 9

30 6 Gyorsan forgó tömör tárcsa Tömör tárcsa: Tapastalat:, Fesültségek: Peremfeltétel: -nál is véges nagyságúak a fesültségek a, a p a p A redukált fesültség maximuma Mohr serint: Mohr a p red max 6 Gyorsan forgó egyensilárdságú tömör tárcsa érdés: Milyen tárcsavastagsággal érhető el a állandó feltétel teljesülése? A forgó tárcsa térfogati terhelése: q Egyensúlyi egyenlet ÁSF esetén henger koordináta-rendseren: d d q A állandó, illetve a feltétel teljesülését akarjuk elérni! d q, d d d E egy sétválastható típusú differenciálegyenlet áll A differenciálegyenlet oldása: Átrendeés után: Mindkét oldalt integrálva: d d d d, ahol a tárcsavastagság a helyen 94

31 A integrálást elvégeve: ln e E a egyensilárdságú gyorsan forgó tömör tárcsa meridián göréjének egyenlete A göre inflexiós pontjának keresése: d A első derivált: d, d d d d A második derivált: A átalakítás során felhasnáltuk, hogy d e d A göre inflexiós pontjáan a második derivált nulla: d, a inflexiós hely sugara i d A oldás a esetre érvényes i A oldást úgy hasnáljuk, hogy a tárcsát a -nál elvágjuk és itt működtetünk egy p felületi terhelést Gyakorlati példa: Gáturina forgórése modellehető így p a lapátoás forgás követketéen fellépő hatása A 64 Gyakorló feladatok gyorsan forgó kör és körgyűrű alakú tárcsákra 64 feladat: Gyorsan forgó körgyűrű tárcsa p p p p Adott: A árán látható sögseességgel gyorsan forgó furatos tárcsa anyaga, geometriája és sögseessége: 5 E MPa, /, 8 kg / m, mm, mm, mm, rad / s, p p Feladat: a) A gyorsan forgó tárcsa diagramjának serkestése ) A helyen levő P pontokan a fesültségi tenor mátrixának felírása a,, hengerkoordináta-rendseren c) A tárcsa silárdságtani ellenőrésének elvégése Mohr serint, ha a engedett fesültség 8 MPa d) A tárcsa első átmérője D váltoásának kisámítása 95

32 idolgoás: a) A forgó tárcsa diagramjának serkestése:,5, ν+ (/)+ = =,6 +ν +(/) + +, 8 6, 6 Pa 6 MPa 8,8 Fesültségek: a a Peremfeltételek: ( ) p, ( ) p a ) A helyen levő P pontokan a fesültségi tenor mátrixának felírása a,, hengerkoordináta-rendseren: ( ) p, ( ) 6,9,4 MPa, ( ) F,4 MPa P c) A tárcsa silárdságtani ellenőrésének elvégése Mohr serint, ha a engedett fesültség 8 MPa = = 6,= 75,6 MPa red max red max 75,6 MPa 8 MPa, eért a tárcsa silárdságtani sempontól felel d) A tárcsa első átmérője D váltoásának kisámítása: A Hooke-törvény serint: G G E D,4,4 mm =,4 m 5 E 96

33 64 feladat: Gyorsan forgó furatos körtárcsa p p p p Adott: A árán látható állandó fordulatsámmal gyorsan forgó furatos tárcsa méretei, anyaga és fordulatsáma:,, 78 kg / m, mm, mm, n ford/min, p p Feladat: a) A és a ) A függvények határoása fesültség maximumának határoása c) A furatos tárcsa engedett legnagyo fordulatsámának határoása, ha MPa idolgoás: a) A és a, függvények határoása:, ν+ (,)+ = =,598, n 4, +ν +(,) 6 s + +, 7,8 6, 4, 8,85 Pa 8,85 MPa 8,8 A átlagos fesültségek: a, a, Peremfeltételek: ( ) p a,,, ( ) p a A egyenletrendser oldása:,89 MPa, a, 9, 5 MPa A peremfeltételekől határoott a, paramétereket a átlagos fesültségekre felírt össefüggéseke helyettesítve: ) A,89,89 9,5 8,85 ; 9,5, ; fesültség maximumának határoása: Sélsőérték ott van, ahol a d d függvény deriváltja érus:,89 8,85,,64 (a negatív gyöknek nincs fiikai tartalma) 97

34 ,89 max,64 9,5 8,85,64 4,67 MPa,64 c) A furatos tárcsa engedett legnagyo fordulatsámának határoása, ha MPa : = =,4 = MPa, red max max max max = 49,9 MPa,4 n max ford max 4 min 64 feladat: Gyorsan forgó tömör körtárcsa 6 8 max 8, 49,9 max 56 +, 78,4 s D Adott: A D átmérőjű tömör tárcsa, amely állandó sögseességgel forog D mm, mm, 8 kg / m, /, MPa Feladat: a) A, ) A, függvények határoása diagramok rajolása c) A Mohr-féle redukált fesültség maximumának határoása d) A tárcsa legnagyo sögseességének kisámítása, ha a engedett fesültség: 4 MPa idolgoás: a) A, a a függvények határoása: A állandók határoása a peremfeltételekől: a MPa a véges ) A, +ν +,, = =,6 +ν +, diagramok rajolása: 98

35 Fesültségi diagramok: A fesültségeloslás függvények: i MPa,,6 MPa, c) A Mohr-féle redukált fesültség maximumának határoása: A fenti tárcsa-diagramról leolvasható, hogy a legnagyo- és a legkise főfesültség köti különség a helyen, vagyis a tárcsa köéppontjáan lép fel Mohr MPa red max d) A tárcsa legnagyo sögseességének kisámítása, ha 4 MPa : A Mohr-elmélet serint a tárcsa silárdsági sempontól akkor felelő, ha a Mohr-féle redukált fesültség sehol sem haladja a engedett fesültséget: red max Mohr 4 MPa A + össefüggésől a maximális sögseesség határoható: max 66 8,5 s 644 feladat: Gyorsan forgó furatos körtárcsa 6max ford, nmax 6 min Adott: A árán látható sögseességgel gyorsan forgó furatos tárcsa 5 anyaga, külső sugara és engedett fesültsége: E MPa, /, 8 kg / m, mm, 8 MPa Feladat: a) A forgó tárcsa diagramjának rajolása ) Annak visgálata, hogyan függ a maximális fordulatsám a furat átmérőjétől idolgoás: a) A forgó tárcsa diagramjának rajolása: 99

36 + 8, 4 8 8, ν+ (/)+ = =,6 +ν +(/) Fesültségek: a, a, Peremfeltételek: ( ) p, ( ) p A forgó furatos tárcsa fesültség eloslási diagramja: a ) Annak visgálata, hogyan függ a maximális fordulatsám a furat átmérőjétől: A tárcsadiagramról leolvasható, hogy a Mohr-féle redukált fesültség maximális értéke: = = 4,4 MPa red max A fordulatsám csak addig növelhető, amíg a redukált fesültség el nem éri a engedett fesültséget: 8 MPa = = 4,4 red max max max Figyeleme véve a 5 6, 5 D és,4 6 n össefüggéseket: 6 nmax D 8 = 4,4 6,5 6 A képlete a furatátmérőt méteren kell ehelyettesíteni n max 47 ford,5d min

37 A n ( ) max nmax D függvény a jo oldali árán látható: 645 feladat: Gyorsan forgó furatos körtárcsa Adott: A sögseességgel gyorsan forgó furatos tárcsa geometriája, anyaga és terhelése: kg D mm, D 4 mm,, n, m min A forgásól sármaó és a anyagra jellemő állandók: 8,9,7 MPa,,5757 8, Feladat: a) A, fesültségek határoása ) Legfelje milyen sögseességgel foroghat a tárcsa, ha ΜPa? idolgoás: a) A, fesültségek határoása: A fesültségeloslás: Peremfeltételek: a a a, a A első egyenletől: a Pa Et ehelyettesítve a másodika: a,,

38 Eől:, a Pa A fesültségeloslás, tárcsadiagram: a Jellemő fesültségek: 5,7 MPa, MPa max d,7,7, max Pa d ) A tárcsa lehetséges legnagyo sögseessége, ha ΜPa : A tárcsadiagramól: Méreteés: n red max max red max 49,6MPa, , 6 6, 78, s ,8 min max max 5,9 646 feladat: Gyorsan forgó tömör körtárcsa Adott: A forgó tömör tárcsa geometriája, fordulatsáma és anyaga kg D mm,, n, m min Feladat: a) A, fesültségek határoása

39 ) Milyen fordulatsámnál y tönkre a tárcsa, ha ΜPa? idolgoás: a) A, fesültségek határoása: -nál, a a Peremfeltétel: Fesültségek_,9,,5757 8,, ahol D n, m, 4,5 6 s, 78, 4,5 7 4,64 Pa 8,7 MPa a, a,7 MPa,7 5,9,7 ) A engedett maximális fordulatsám határoása: Mohr elmélet: red Mohr n F max max red max nmax , 78, 4 6, 8 min 647 feladat: Merev tengelyre serelt gyorsan forgó furatos körtárcsa merev tengely h Adott: A merev tengelyre túlfedéssel serelt tárcsa méretei és anyagjellemői: mm, mm, h mm, kg mm,,, m E Pa

40 Feladat: a) Annak a max sögseességnek a határoása, amelynél a tárcsa lelaul (sűnik a túlfedés) ) A fesültségek határoása een a lelaulási eseten c) Milyen p nyomás lép fel a tárcsa és a tengely köött, ha nem forog a tengely? d) Mekkora axiális erő sükséges a tárcsa lehúásáho, ha,5? e) Melyik állapot, a gyors forgási, vagy a nyugalmi állapot a vesélyese? idolgoás: a) Annak a max sögseességnek a határoása, amelynél a tárcsa lelaul (sűnik a túlfedés):,, Fesültségek:, a, a,9,5757, 8, ahol a Peremfeltételek a lauláskor: a A állandók határoása: a, a A túlfedés: Eől: E E E E, illetve max 8 max 6 5 E 8 8,, 78,,57 max s ) A fesültségek határoása een a lelaulási eseten:, 78, 88,5 5 7,6 Pa max 8 8 MPa 4

41 A állandók határoása: Fesültségek a külső és első sugárnál: a MPa, MPa a a a 5757 Pa a 575 Pa c) Milyen p nyomás lép fel a tárcsa és a tengely köött, ha nem forog a tengely? a Fesültségeloslás álló tárcsa esetén:, ahol a Peremfeltételek: a, p a i a p red max E A túlfedés: Eől: p p p p E E 6 5 E p,,,,99 d) Mekkora axiális erő sükséges a tárcsa lehúásáho, ha,5? 5 Fax p h,9 N 9 kn 6 5,5 Pa 5 MPa e) Melyik állapot, a gyors forgási, vagy a nyugalmi állapot a vesélyese? 5

42 p red max alapján dönthető el: red max álló Pa forgó Pa red max A nyugalmi állapot a vesélyese 648 feladat: Merev tengelyre serelt gyorsan forgó furatos körtárcsa merev tengely Feladat: Adott: A váolt h vastagságú tárcsát túlfedéssel serelik a merev tengelyre A tárcsa kerületén sűrű lapátoás van A lapátok együttes töe m és súlypontjuk a sugárra esik Ismert a tárcsa geometriája és anyaga: mm, mm, mm, h mm, kg m,5 kg,, m E Pa, a) Milyen túlfedés kell ahho, hogy a tárcsa / s sögseesség esetén lauljon le a tengelyről? ) Mekkora p nyomás lép fel a tárcsa és a tengely köött össeserelés után, ha? c) Tönkremenetel (törés) sempontjáól melyik állapot a vesélyese? idolgoás: a) Milyen túlfedés kell ahho, hogy a tárcsa / s sögseesség esetén lauljon le a tengelyről? A lapátoásól sármaó kerületi (felületen osló) terhelés: p k m,5,5,49 Pa=,44 MPa h,,45, Fesültségek: h a, a p a, Peremfeltételek lauláskor: a, 8 6

43 Tárcsa diagram: a p a Állandók határoása: tg a p, p, p A állandók kisámítása: 5 5,6,, 786, 6 46,688 6 Pa=46,688 MPa, 8 8 tg p 6, MPa, a tg 6,6 MPa, tg 6, 5,6,94 MPa Túlfedés: a,9,5757, E E 5 5 6,6 6,,576 46,688 5,6 9, mm Fesültségek:, Pa, p,44 MPa, 5, MPa ) A tárcsa és a tengely köött össeserelés után fellépő p nyomás határoása, ha : Fesültségeloslás nyugalmi helyeten: a, a 7

44 Peremfeltételek: a, p a p E E Eől: 5,6 E 9, p, 56,,, , 44 Pa 87,44 MPa c) Tönkremenetel (törés) sempontjáól vesélyese állapot határoása: E a kérdés a red max alapján dönthető el: Gyors forgás: max Nyugalmi állapot: Pa red f red max á A nyugalmi állapot a vesélyese p 87,44 Pa, feladat: Sakasonként állandó vastagságú gyorsan forgó furatos körtárcsa f f Adott: A sakasonként állandó vastagságú, gyorsan forgó tárcsát első palástján állandó f sűrűségű, vonal mentén osló erőrendser terheli,5,,5,,,6, N, f f Feladat: a) A N, N ) A N és N felületi fesültségi diagramok jelleghelyes rajolása függvényeken sereplő állandók értékének határoása peremfeltételekől c) A f sűrűség értékének kisámítása illestési feltételekől idolgoás: a) A N, N felületi fesültségi diagramok jelleghelyes rajolása: A tárcsát a sugárnál két körgyűrű tárcsára, a és jelű tárcsára ontjuk A és jelű tárcsa egymásra gyakorolt hatását a f vonalmentés osló (első) erőrendserrel vessük figyeleme 8

45 N N N f N f f N N N N N N ) A N és N függvényeken sereplő állandók értékének határoása peremfeltételekől: Felületi fesültségek: N A N tárcsa: N A N N A N tárcsa: N A N Peremfeltételek: N N N N f f f A állandók határoása a peremfeltételekől: jelű tárcsa peremfeltételei: A N f A,5N A egyenletől: A N, A N f N A egyenletől: f,5n, f jelű tárcsa peremfeltételei: f A 4 N 4 f f A A f f f A N / A f N,5 f f N c) A f sűrűség értékének kisámítása illestési feltételekől: Illestési feltétel: u u 9

46 Hooke törvény: f f G G u u - e a fesültségekre vonatkoó illestési feltétel f N N N,N f f f N N N f N f N f N,4 N f f N Illestési feltétel a fesültségekre: N N N ehelyettesítve: 4,4N 6 f,4 N f f N f 9 f f N f 9 64 feladat: Merev tengelyre túlfedéssel illestett gyorsan forgó furatos körgyűrű tárcsa D Adott: Állandó vastagságú tárcsát felmelegítve a D t átmérőjű tengelyre húunk A lehűtés után a tárcsa D D túlfedéssel illeskedik a tengelyre / érdés: Mekkora fordulatsámnál laul a tárcsa a tengelyen? idolgoás: D Dt Laulás feltétele: D t Ekkor a serkeetet forgatni kedjük 8 mm, D 4 mm, D mm,, mm Feltételeük, hogy a tárcsa anyaga lineárisan rugalmas: E MPa, /, 8 kg/m, a 5 tengely pedig tökéletesen merev 4

47 Fesültségeloslás: Fesültségi diagram: N a a N ; D n D E E Laulási feltétel: D 5 E 4, 6 4 N/mm = 4 N/m D, , 4, 9,54 f n, 6 9,54 7,86,4 s 7,86 n 65,6,4 min