6. RUDAK ÖSSZETETT IGÉNYBEVÉTELEI

Átírás

1 RUK ÖZETETT GÉNYBEVÉTELE Tönkremeneteli elméletek a) peiális eset: a fesültségi tenornak sak eg eleme nem nulla (pl rudak egserű igénbevételeinél), ϕ tt nins probléma, mert a anagjellemők eekre a egserű esetekre rendelkeésre állnak b) Általános eset: Probléma: Nem tudom, hog melik fesültségkoordinátát hasonlítsam össe a engedett fesültséggel! = Redukált fesültség: Olan fesültség, amel a pontbeli fesültségi állapotot tönkremenetel sempontjából egértelműen jellemi Redukált fesültség egenértékű fesültség össehasonlító fesültség ukált fesültség beveetésével a általános térbeli fesültségállapotot vissaveetjük a speiális egserű esetre ukált fesültség határoására különböő elméletek vannak - Coulomb elmélet: (kiejtése: kulomb) Eg fesültségi állapot akkor nem oko károsodást, ha a fesültségi állapotho tartoó legnagobb normál fesültség kisebb a anag sakítósilárdságánál Redukált fesültség: ( Coulomb) = ma (, ), ahol a legnagobb, a legkisebb főfesültség - ohr elmélet: (kiejtése: mór) Eg fesültségi állapot akkor nem oko károsodást, ha a fesültségi állapotho tartoó legnagobb és legkisebb főfesültség különbsége kisebb, mint a anag foláshatára / sakítósilárdsága Redukált fesültség: ( ohr) = ( ), ahol a legnagobb, a legkisebb főfesültség - Huber - ises - Henk elmélet: (kiejtése huber-mies-henki) Két fesültségi állapot akkor egformán veséles, ha a hoájuk tartoó torulási energia aonos Redukált fesültség (a négete arános a fajlagos torulási energiával): ( HH) = ( ) + ( ) + ( ), ahol,, főfesültségek, vag 8

2 ( HH) = ( ) + ( ) + ( ) + ( + + ) Húás nomás és egenes hajlítás N N h h l h tengel a kerestmetset simmetria tengele a és tengelek a kerestmetset ponti tehetetlenségi főtengelei esültségi állapot: = +, = 0 0 0, 0 0 = N h + Veséles pont: ahol a a maimális (e általában a kerestmetsetnek a tengeltől legtávolabb levő pontja, ahol a és aonos előjelű) Kör és körgűrű kerestmetsetű rudak húás nomása és savarása N N l rúd kerestmetsete kör, vag körgűrű lehet esültségi állapot: = 0 0 ϕ, Rϕ 0 ϕ Veséles pontok: a kerestmetset kerületén lévő pontok ( R= /) Redukált fesültség: = + + ϕ, β = Huber ises Henk ( HH ), - = + β ϕ, β = ohr - ( Coulomb) N =, ϕ = R p 8

3 Kör és körgűrű kerestmetsetű rudak hajlítása és savarása h h l rúd kerestmetsete kör, vag körgűrű lehet (Egenes hajlítás) esültségi állapot: R h ϕ =, = = 0 0 ϕ P Rϕ 0 ϕ esültségeloslás: h B Veséles pontok:, B h h aimális fesültségek: ma = =, ϕ ma = = K K p p Kör és körgűrű kerestmetset esetén: = K = K p p β = HH, Redukált fesültség: = + β ϕ, β = ohr = = B ( ) ( ) ma β = + β = + =, h ma ma ϕ ma K K K β = h + 8

4 5 erde hajlítás erde hajlítás esetén a nomatékvektor nem párhuamos egik ponti tehetetlenségi főtengellel sem = ( he he), tengelek a kerestmetset ponti tehetetlenségi főtengelei Tehetetlenségi főtengel: = = 0 erde hajlítás két egenes hajlítás superpoíiója (össege) esültségi állapot: = +, = 0 0 0, h h = Zérusvonal: = h h 0 = +, h = h - a érusvonal nem párhuamos a nomatékkal esültségeloslás: η érusvonal B Veséles pontok:, B (a kerestmetseten h érusvonaltól legtávolabb h lévő pontok) ξ η Nírás és hajlítás nírás rúdserkeeteknél általában hajlítással egütt lép fel nírás és hajlítás kapsolata: dh ( ) = T( ), h( ) h( = 0) T( ζ ) dζ d = ζ = 0 Köelítő oldás: a) úg sámítható, mint tista hajlításnál b), a kerestmetset ponti tehetetlenségi főtengelei ) a fesültségek a tengelen eg pontban metsődnek d) a tengellel párhuamos egenes mentén a állandó fesültségek kisámítása: 8

5 O = áll T T > 0 a ( ) ( ) T h =, ( ) ( ) T = a a iránából határoható Köepes nírófesültség: kö = 0 0 fesültségi tenor: = 0 0 sámítása téglalap kerestmetsetű rúdnál: T T ( ) = parabola, b =a b, ma = kö b T > 0 a sámítása kör kerestmetsetű rúdnál: ( ) d π =, ma T d d = = kö parabola, (, ) a () d ϕ T > 0 ϕ 7 Gakorló feladatok rudak össetett igénbevételeire 7 feladat: Húás-nomás és egenes hajlítás C 0 0 K B e e dott: = 80 kn, = 0 kn, e = 50 mm, = 00 Pa 85

6 eladat: a) B rúdsakas igénbevételi ábráinak rajolása b) esültségeloslás rajolása a K kerestmetseten ) fesültség határoása a C, és a pontokban d) tartó ellenőrése fesültségsúsra Kidolgoás: a) B rúd igénbevételi ábráinak rajolása: K B Veséles kerestmetset: a rúd B sakasa aonos mértékben veséles N [ kn] h [ knm] 0 0 b) esültségeloslás rajolása a K kerestmetseten: C N h ( ) = + = +, N = 00 kn=állandó, = 0 knm=állandó h Veséles pontok: a E sakas minden pontja aonos mértékben veséles E ) fesültség határoása a C, és a pontokban: kerestmetseti jellemők: = = 000 mm, = =, 9 0 mm fesültségek: N h ( ) = + = 00 0 = 50 Pa, N h ( C) = C + = = 000, 9 0 = 50 8, 5 =, 5 Pa, 7 N h ( ) = + = ( 0) = 000, 9 0 = , 5 =, 5 Pa d) tartó ellenőrése fesültségsúsra: 8

7 tartó silárdsági sempontból felel, ha a veséles kerestmetset veséles pontjában ma veséles pontokban a fesültség: ma = ( ) = ( E) =, 5 Pa tartó nem felel, mert a ma egenlőtlenség nem teljesül tt ma =, 5 Pa > = 00 Pa, tehát a tartó silárdsági sempontból nem felel 7 feladat: Húás-nomás és egenes hajlítás η ξ C m s,5 m B m dott: = 0 kn, = R 0 = 0 Pa, p, n = 5, 00-as selvén kerestmetseti jellemői sabvánból: = 8 m, ξ = 90 m, K ξ = 0 m eladat: a) BC rúd igénbevételi ábráinak rajolása, a veséles kerestmetset határoása b) esültségeloslás rajolása a veséles kerestmetseten, a veséles pont határoása ) tartó ellenőrése fesültségsúsra Kidolgoás: a) BC rúd igénbevételi ábráinak rajolása, a veséles kerestmetset határoása: η B C s N [ ] kn s T η [ kn] 0 0 s 80kNm hξ [ knm ] s Veséles kerestmetset: a B rúdsakas minden kerestmetsete b) esültségeloslás rajolása a veséles kerestmetseten: 87

8 P η Q η η η 00 ξ Veséles pontok: a PQ vonalsakas minden pontja ) tartó ellenőrése fesültségsúsra: egfelel a tartó, ha a veséles kerestmetset veséles pontjaiban: Rp 0, ma n veséles pontban a fesültség: ma = ma + ma, N hξ ma =, illetve ma = Kξ N h ξ Behelettesítve: ma Kξ = + = + = Rp 0, engedett legnagobb fesültség: = = Pa n tartó felel, mert ma, vagis 5, 8 < 9, + 579, = 58Pa, 7 feladat: Húás-nomás és savarás d B dott: = 5kN, = 0 kn, d = 80 mm, =, m, R p 0, = 80 Pa, n = 5, l eladat: a) igénbevételi ábrák rajolása, a veséles kerestmetset határoása b) fesültségeloslás rajolása a = l / helen, a veséles pontok határoása ) tartó ellenőrése fesültségsúsra Kidolgoás: a) igénbevételi ábrák rajolása, a veséles kerestmetset határoása: 88

9 N [ kn] 0 0 [ knm] B savaró nomaték nagsága: = =, 5= knm Veséles kerestmetset: a tartó minden kerestmetsete aonos mértékben veséles b) fesültségeloslás rajolása a = l / helen, a veséles pontok határoása: d Veséles pontok: a palást pontjai ( R = ) > 0 ) tartó ellenőrése fesültségsúsra: egfelel a tartó, ha a veséles kerestmetset veséles pontjaiban: 80 ma = = = 0 Pa n 5, d π 80 π Kerestmetseti jellemők: d π 80 π K p = = = 00, 5 0 mm fesültségi koordináták a palást pontjaiban ( R= /): N = = = 98Pa,, ma = = = 59, 8 Pa 50, 5 K p 00, 5 0 ma ohr serint: ma = ( P) = + β ma = tartó ohr elmélet serint felel, mert ma = 9, Pa < = 0 Pa teljesül ma Huber-ises-Henk serint: = = =,,, , 8 = 9, Pa ma = ( P) = + β ma =, , 8 = 0, 5 Pa tartó Huber-ises-Henk serint felel, mert 50 5 mm 89

10 ma = 0, 5 Pa < = 0 Pa teljesül 7 feladat: Csavarás és egenes hajlítás dott: eg körgűrű kerestmetsetű tartó veséles kerestmetsetének igénbevétele: = ( e + he) = (800e 00 e) Nm, valamint h d = d, = 80 Pa eladat: a) esültségeloslások rajolása a kerestmetset és tengele mentén, valamint a veséles pont(ok) határoása b) ukált nomaték határoása ) kerestmetset méreteése ohr elmélet serint Kidolgoás: a) esültségeloslások rajolása a kerestmetset és tengele mentén, valamint a veséles pont(ok) határoása: h =, h =, = p p Veséles pontok: - hajlításból a és B pont, B - savarásból a palást valamenni pontja, - hajlításból és savarásból egüttesen a és B pont veséles Tehát a kerestmetset méreteését a, vag B pontbeli ukált fesültségek figelembevételével kell elvégeni b) ukált nomaték határoása: == + β = ma h β + = K K p β + K h K = ohr serint β = : β = h + = Huber-ises-Henk serint β = : β = h + = ) kerestmetset méreteése ohr serint: tartó felel, ha ma, K + = Nm + =, Nm 90

11 Ebből K ivel = d, eért K méreteési egenlőtlenségből: ( d ) π ( ) d π 5 = = = d π d d = 5 π = 5, mm abvános külső átmérőt válastva ( 7-): 75 feladat: Húás-nomás és egenes hajlítás 5kN 00 C B 0 5 π 80 = 5, 7 mm, = 0 mm és d = 0 mm dott: kör kerestmetsetű kéttámasú tartó méretei és = R p 0, = 0 Pa, 5 E = 0 Pa eladat: a) CB rúd igénbevételi ábráinak rajolása, a veséles ke- restmetset határoása b) fesültségeloslás rajolása a veséles kerestmetseten ) tartó méreteése fesültségsúsra d) rúdban felhalmoott alakváltoási energia határoása Kidolgoás: a) CB rúd igénbevételi ábráinak rajolása, a veséles kerestmetset határoása: = 505, = 075kNm,, 5 kn 5kN 0,75 knm,5 kn C 5kN a = 0= 0, 75 B 0,, N [ kn] T, 5 [ kn] h [ knm] 5 0,5 0,75 knm 0,5 B 5, 5 b) esültségeloslás rajolása a veséles kerestmetseten: =, 5kN, B b = 0= 0, 0, 75, = 5kN,, = 0= 5+ B, = 5kN B Veséles kerestmetset a C + 9

12 Veséles pont: P P ) tartó méreteése fesültségsúsra: tartó felel, ha a veséles kerestmetset veséles pontjaiban ma h ma = ma + ma = +, K N d π d π a kerestmetseti jellemők: =, K = kerestmetseti jellemőket a méreteési egenlőtlenségbe behelettesítve: N h + E a d ismeretlenre néve harmadfokú egenlet d π d π harmadfokú egenlet oldása helett a tartót elősör sak hajlításra méreteük, majd a kapott méretet növelve hajlításra és húásra ellenőriük: h d π h 0, 5 0 d = =, 9 mm π 0 π átmérőre eg ennél nagobb sabvános d értéket ( 7-) válastva, legen: d = mm π Eel a átmérővel a kerestmetseti jellemők: π π K = = 580, mm, = = 8 7, 9 mm rúd ellenőrése húásra és hajlításra: N h , ma = + = + =, 9+ 09, =, 07 Pa K 07, , rúd felel, mivel ma, vagis, 07 < 0 = = 0788mm,, d) rúdban felhalmoott alakváltoási energia határoása: U = Uhú + Uhajl + Unír nírásból sármaó alakváltoási energiát elhanagolva: N h U = d d E + E = () l () l = N lcb lc 0 [ h (0)] [ h (0 )] E + E +, +, + 9

13 lcb (50) 00, + {[ h (0, )] + [ h (0, )] + 0} = + 5 E 07, , ( 05 0 ) ( ) + +, +, + 87, 9 0 0, 0 + (050), + (050), + 0 = 5 87, 9 0 =, 5 +, , 7 = 59, Nmm = 0,59 J 7 feladat: Csavarás és egenes hajlítás dott: d átmérőjű rúd igénbevételi B C ábrái és a rúd anagának = 0 Pa engedett h [ knm] fesültsége eladat: a) veséles kerestmetset h [ knm] határoása és a fesültségeloslás rajolása a vesé- les kerestmetseten b) ohr serinti ukált 8 [ knm] nomaték határoása a veséles kerestmetseten ) rúd méreteése ohr serint Kidolgoás: a) veséles kerestmetset határoása és a fesültségeloslás rajolása a veséles kerestmetseten: veséles kerestmetset: B (, ) fesültségeloslás érusvonala: h < 0 > 0 h h (, ) = 0 + = ivel =, eért a érusvonal h egenlete: = h kerestmetset veséles pontjai: - savarásból a R = d / pontok, - hajlításból a érusvonaltól legtávolabb levő két pont érusvonal párhuamos a h = he he nomatékvektorral egenes hajlítás h 9

14 b) ohr serinti ukált nomaték határoása a veséles kerestmetseten: β = ( h + h ) + = = 5, knm ) rúd méreteése a ohr elmélet serint: tartó felel, ha: ma d π veséles pontban a fesültség: ma =, K = K d π 5, 0 d = = 09, 8 mm π 0 π abvános ( 7-) d értéket válastva, a rúd átmérője: d = 0 mm 77 feladat: erde hajlítás dott: B rúd K kerestmetsetének méretei és igénbevétele: = (0 e 00 e) knm, a = 5 mm, b = 50 mm b eladat: a) fesültségeloslás rajolása és a veséles pontok határoása C a b) fesültségállapot határoása a, B és C pontokban ) érusvonal egenletének határoása Kidolgoás: a) fesültségeloslás rajolása és a veséles pontok határoása: esültségeloslás: B h h (, ) = + = + Veséles pontok a B és C C b) fesültségállapot határoása a, B és C pontokban: Kerestmetseti jellemők: K = = = 07 mm K = = = 508 mm b a kerestmetset igénbevétele ferde hajlítás: = 0 Nm, = 00 Nm h h 9

15 fesültség a kerestmetset tetsőleges P pontjában: = + h h P P esültségállapot a, B és C pontokban: h h h h ( ) = + = + = + =,8Pa, K K = Pa 0 0 8, ( ),8 [ Pa] h h h h ( B) = B + B = + = + =,5Pa, K K = Pa B 0 0, 5 ( B),5 B [ Pa] h h h h ( C) = C + C = = =,5Pa K K = Pa C 0 0, 5 ( C),5 C [ Pa] ) érusvonal egenletének határoása: =,5 = h h 0 + = h h K b = = 5 h h K a = =, 95

16 78 feladat: Eentrikus húás-nomás a dott: = N= 0 N, a =, m, b=,5 m, b E E = ( 08, ; 0, ; l) m, B = ( 00, ; ; ) m, l = m, C = ( 0050 ;, ; ) m, = ( 050, ;, ; ) m E E eladat: a) = 0 kerestmetseten a rúd igénbevételének, a kerestmetset jellemőinek, illetve a l, B, C és a pontokban a fesültségeknek a határoása C b) érusvonal egenletének a felírása és a veséles pont határoása B ) esültségeloslás rajolása a és a tengelek mentén, valamint d) kerestmetseten fellépő legnagobb fesültség határoása e) önsúlt figelembe véve a a) és d) feladat oldása, ha ρ = 800 kg/m Kidolgoás: a) = 0 kerestmetseten a rúd igénbevételének, a kerestmetset jellemőinek, illetve a, B, C és a pontokban a fesültségeknek a határoása: kerestmetset igénbevétele: N = = 0 N, = = 0 ( 0), = 0, Nm, 9 h h E = = 0 08, = 80, Nm E kerestmetset geometriai jellemői: = ab=, 5, = m, ba 5,, ab, 5, = = = 0m,, = = = 55m, N h h esültség sámítás: = + + = + +, N h h 0 ( ) = + + = = Pa, 0 9 N h h 0 80, ( B) = + B + B = +, 0 = 0, 55 0 =, 9= 5, 9Pa, 9 N h h 0 0, ( C) = + C + C = + 0, 5 0 = 0 0, 0 = +, = Pa,, 9 9 N h h 0 80, 0, ( ) = + + = +, 0 + 0, 5 0 = 0, , 0 =, 9 +, =, Pa

17 b) érusvonal egenletének a felírása és a veséles pont határoása: N h h = + + = + + = 0, érusvonal V N h E = =, E E h h E E 0, 0, 8 0, =, E, 0, 0, 55 Zérusvonal egenlete: = 0, + 0, 08 Veséles pont: V a kerestmetset érusvonaltól legtávolabb lévő pontja ) esültségeloslás rajolása a és a tengelek mentén: V d) kerestmetseten fellépő legnagobb fesültség határoása: N h h ma = ( V) = ( V) + ( V) + ( V) = + V + V, 0 80, 0, ma = + 5, + ( 0), =, 55 0, = 0, = 9, 8 0 Pa = 9, 8 Pa e) önsúlt figelembevéve a a ) és d ) feladat oldása: Terhelés a önsúlból: Ng = G = ρ g l ab= 800 0,, 5 = N igénbevételek: N = + N g = =, 77 0 N h -et és a h -t nem váltotatja a önsúl figelembevétele fesültségek: 97

18 N h h, 770 ( ) = + + = =, 58 Pa, 0 9 N h h, 770, 80 ( B) = + B + B = +, 0 = 0, 55 0 =, 58, 9 = 5, 98 Pa, 9 N h h, 77 0, 0 ( C) = + C + C = + 0, 5 0 = 0 0, 0 =, 58 +, =, 07 Pa, N h h ( ) = + + = 9 9, 77 0, 8 0, 0 = +, 0 + 0, 5 0 = 0, , 0 =, 58, 9 +, =, 8 Pa Veséles pont: váltoatlanul a V kerestmetseten fellépő legnagobb fesültség a határoása: N h h ma = ( V) = ( V) + ( V) + ( V) = + V + V,, 77 0, 8 0, 0 ma = + 5, + ( 0), =, 55 0, =, 58 0, = 0, Pa = 0, 098 Pa 79 feladat: Nírás és hajlítás b C a l dott: = ( 0 e )kn, a = 0 mm, b = 0 mm, l = 50 mm, C = 0 mm eladat: a) rúd igénbevételi ábráinak rajolása és a veséles kerestmetset határoása b) fesültségeloslások rajolása és a veséles pont(ok) határoása a veséles kerestmetseten ) fesültségállapot határoása a veséles kerestmetseten a, C és a pontokban d) ohr serinti ukált fesültség határoása a veséles pontokban Kidolgoás: a) rúd igénbevételi ábráinak rajolása és a veséles kerestmetset határoása: 98

19 l kn 0 0 h,5 T [ ],5kNm [ knm] B Veséles kerestmetset a befalaás hele: veséles kerestmetset igénbevétele: - tengel körüli hajlítás: h = 5kNm,, - iránú nírás: T = 0 kn kerestmetset tengelre sámított másodrendű nomatéka: ab 0 0 = = = 00, mm b) fesültségeloslások rajolása és a veséles pont(ok) határoása a veséles kerestmetseten: h B H =, C T ( ) T b C b = = J ( ) a K Veséles pontok: Hajlításból a BH és EG egenes pontjai, nírásból a tengel, aa a JK E a G egenes pontjai ) fesültségállapot határoása a veséles kerestmetseten a, C és a pontokban: h pontban: ( ) = 0, ( ) =, 5, 0 ( ) = 0 = 5 Pa 00, = Pa [ Pa] C pontban: T C ( C) = = b 00 0 = = 0, 8Pa, h 5, 0 ( C) = C = 0 = 8, Pa 00, = Pa C, 0 0, 8 8, 0,8 8, [ Pa] 99

20 pontban: ( ) = 0, T 00 ( ) = = = 7, 5Pa, = Pa C, 0 7, 5 0 7,5 [ Pa] d) ohr serinti ukált fesültség határoása a veséles pontokban = + β = + BH és EG egenes mentén sak hajlításból sármaó fesültség éb: ( =± b/ ) = 0 = ma = ( ) = 5Pa JK egenes mentén sak nírásból sármaó fesültség éb: ( = 0) = 0 = ma = ( ) = 7, 5= 75Pa kerestmetseten a ukált fesültség maimuma: ma = 5 Pa 70 feladat: Nírás és hajlítás dott: a kerestmetset méretei és = (5 e ) kn, 0 = ( e )knm öv C B eladat: a) fesültségeloslások rajolása 0 b) fesültségállapot, valamint a ohr serinti ukált fesültség határoása a kerestmetset, B, C és pontjá- 0 gerin ban 0 öv 0 Kidolgoás: a) fesültségeloslások rajolása: ξ ξ 00

21 T h ( ) T ( ) =, =, = a( ) a( ) Ebben a esetben h < 0 és T < 0 fesültség nílfolama a selvén köépvonala mentén foltonos ebből adódik ki a fesültség előjele eloslásban a sakadás abból adódik, hog a gerinben a = 0 mm, a övben pedig a = 0 mm kerestmetset sraffoott tartománaiban a fesültségek nagsága biontalan b) fesültségállapot, valamint a ohr serinti ukált fesültség határoása a kerestmetset, B, C és pontjában: másodrendű nomaték: = = 7, 5 0 mm - pontban: h 0 ( ) = 0, ( ) = = 5 = 9, Pa, 7, 5 0 T ( ) ( ) =, ( ) = = 000 mm, v = 0 mm, v ( ) = = 8, 9Pa, 7, , [ Pa] = Pa, 8, 9 0 9, 8, 9 8, 9 ( ) = + = 9, = 9, + 8, 9 = 00, 5 Pa - B pontban: h 0 ( B) = 0, ( B) = B = 5 = 5, 07 Pa, 7, 5 0 T ( B) ( B) =, ( B ) = 0 0= 00mm, v = 0 mm, v ( B) = = 5, Pa, 7,

22 0 0, 5 = Pa, B, 5 0 5, 07 ( B) = + = = 5, , 9 = 57, 9 Pa B 5, 5,07 [ Pa] - C pontban: T ( C) ( C) = 0 ( C) = = = 5, 07 Pa, a 7, ( C) = ( B) = 5, 07Pa, =, Pa, C C 0 5, 07 5, 07 5,07 5,07 ( C) = + = = 5, , 07 = 5, 8 Pa 5, 07 T ( ) - pontban: ( ) = 0, ( ) = 0, ( ) = a ( ) = , 5 = 75 mm, ( ) = = 79, 9Pa, 7, = , 9 Pa, 0 79, ,9 ( ) = + = = = 79, 9= 59, 8Pa kerestmetset veséles pontjai a tengelen vannak 79,9 5, [ Pa] [ Pa] 7 feladat: Nomás és egenes hajlítás dott: a = 0 mm, b = 0 mm, = ( 0 e ) kn, = ( e ) knm, Rp0, = = 90 Pa b a 0

23 eladat: a) rúd igénbevételeinek határoása b) érusvonal egenletének felírása ) esültségeloslás rajolása a és a tengelek mentén, illetve a veséles pontok határoása d) legnagobb fesültségek határoása e) ténleges bitonsági téneő határoása egoldás: a) rúd igénbevételei: rúd nomott: N = 0 kn rúd tengel körül hajlított: h = knm N < 0 < 0 b) érusvonal egenlete:,,, N h N = + = + = 0 = = mm h ) esültségeloslás a, tengelek mentén: Veséles pontok: a B oldalon lévő pontok h d) legnagobb fesültségek: N B = = 50 Pa, h a ( = a/) = = 50 Pa, ma = ( = a/ ) = = 00 Pa h e) ténleges bitonsági téneő: jell Rp0 Rp0 90 ma =, nt =, = =, n n 00 7 feladat: erde hajlítás b B ma dott: rúd K kerestmetsetének méretei és igénbevétele: = (0 e + 00 e ) Nm, a = 5 mm, b = 50 mm a C eladat: a) fesültségeloslás rajolása és a veséles pontok keresése b) fesültségállapot határoása a, B és C pontokban ) érusvonal egenletének határoása 0

24 egoldás: a) esültségeloslás és a veséles pontok: Veséles pontok a B és C B h < 0 C h > 0 b) esültségállapot a, B és C pontokban: h h h h ( ) = + = + =,8 Pa, K K h h h h ( B) = B + B = + =,5 Pa, K K h h h h ( C) = C + C = =,5 Pa, K K = Pa, 0 0 8, ) érusvonal egenlete: = h h 0 + = h h K b = =, K a =,5 h h = B Pa, 0 0, = C 0 0, 5 B =,5 C Pa 7 feladat: Húás-nomás, savarás P dott: = 7, 8 kn, = 0988, knm, d = 50 mm, G = 80 GPa, ν = 0, d eladat: 0

25 a) kerestmetset területének és poláris másodrendű nomatékának a határoása b) fesültségeloslás ábráolása és a veséles pont(ok) határoása ) P pontbeli fesültségi állapot határoása és semléltetése a elemi kokán d) főfesültségek és a ukált fesültségek határoása a P pontban e) alakváltoási állapot határoása a P pontban egoldás: a) kerestmetset területe és poláris másodrendű nomatéka: d π = = 9, 5 mm d π, p = =, 0 mm b) fesültségeloslás ábráolása és a veséles pont(ok) határoása: P Veséles pontok: Húásból veséles a kerestmetset valamenni pontja N = Csavarásból vesélesek a kerestmetset paláston lévő pontjai ϕ = R p Egüttesen húásból és savarásból vesélesek a kerestmetset paláston lévő pontjai ) P pontbeli fesültségi állapot határoása és semléltetése a elemi kokán: [ Pa = P = Pa, ] P N = = 0 Pa, = P == 0 Pa 0 p d) főfesültségek és a ukált fesültségek határoása a P pontban: 0 0 det 0 0 = ( ) = (0 ) 0 ± ± = 0,, = = főfesültségek: = 80 Pa, = 0, = 0 Pa Redukált fesültség Coulomb serint: = = 80 Pa Redukált fesültség ohr serint: = = 00 Pa, vag ( ) 00 = + = Pa 05

26 Redukált fesültség Huber-ises-Henk serint: = + =, Pa ( ) 95 e) alakváltoási állapot határoása a P pontban: P P ν G ν E =, = + + = 0 Pa, + ν ε = 880 G =, + ν ν ε = 08 0 G =, + ν, ε 0 0 0, ε γ ,, γ ε = =,, P 7 feladat: Eentrikus húás-nomás l b a ν ε = 08 0 G =, + ν, ν γ = G ν = =, + G dott: 7 =0 N = 0 N, ( 0, ; 0, ; l) m, a= m, b= m eladat: a) rúd igénbevételeinek és a kerestmetset jellemőinek határoása a = 0 kerestmetseten b) érusvonal egenletének felírása és a veséles pont határoása ) esültségeloslás a és a tengelek mentén d) kerestmetseten fellépő legnagobb fesültség határoása,, egoldás: a) rúd igénbevételei a = 0 kerestmetseten és a kerestmetset jellemők: pontban támadó erőt ukáljuk a kerestmetset súlpontjába: a kerestmetset igénbevétele nomás és ferde hajlítás: h 7 N = = 0 N, m h = = 0 Nm, h = = 0 Nm h m 0

27 kerestmetset geometriai jellemői: = ab= m, ba ab = = 0, 7 m, = = 07m, b) érusvonal egenlete és a veséles pont:,,,,,, N h h = + + = + + = 0, h N =, = 0, 555 h h V Veséles pont: V a kerestmetset érusvonaltól legtávolabb lévő pontja ) esültségeloslás a és a tengelek mentén: érusvonal h d) kerestmetseten fellépő legnagobb fesültség: ma = ( V) = ( V) + ( V) + ( V) = N h h = + V + V ma = Pa h 75 feladat: Nírás és hajlítás dott: rúd eg kerestmetsetének méretei és igénbevételei: = ( 0, 7e) knm, = ( e ) kn, a = 0 mm, b = 0 mm eladat: b a) fesültségeloslások rajolása és a veséles pont(ok) határoása b) fesültségkoordináták felírása a pontban a függvénében a ) ukált fesültség határoása ohr serint a veséles pontokban d) ukált fesültség határoása Huber-ises-Henk serint a veséles pontokban 07

28 egoldás: a) fesültségeloslások és a veséles pont(ok): kerestmetset igénbevétele: h = 07kNm, és T = kn h B C =, T ( ) T b b = = J a( ) K Veséles pontok: hajlításból a BC és EG egenes sakas pontjai, nírásból E a a tengel b) fesültségkoordináták a pontban a függvénében: h ab h ( ) =, =, ( ) = ab T ( ) b b b ( ) =, ( ) = + a = a a b T a T ( ) = = ab a b ) ukált fesültség ohr serint a veséles pontokban: = + β = + BC és EG egenes mentén sak hajlításból sármaó fesültség éb: = 0, h = ma = ma = 0 Pa ab JK egenes mentén sak nírásból sármaó fesültség éb: = 0 T = ma = = 0Pa d) ukált fesültség Huber-ises-Henk serint a veséles pontokban = + β = + BC és EG egenes mentén sak hajlításból sármaó fesültség éb: = 0, h = ma = ma = 0 Pa ab JK egenes mentén sak nírásból sármaó fesültség éb: = 0 T = ma = = 5, 98 Pa 08

29 7 feladat: Redukált fesültségek dott: silárd test P pontjában a fesültségi tenor érustól különböő elemei: = 0Pa, = 0Pa, = 90 Pa, = = 0 Pa eladat: (a) P pontbeli fesültségi tenor mátriának felírása (b) főfesültségek határoása () Huber-ises-Henk-féle, a Coulomb-féle és a ohr-féle ukált fesültség kisámítása Kidolgoás: (a) P pontbeli fesültségi tenor mátria: P = = Pa (b) főfesültségek határoása: E e = 0 őfesültségek határoása sajátérték feladat: ( ) ( ) e 0 0 ( 0- ) -0 e 0 = 0-0 ( 90- ) e 0 nemtriviális oldás léteésének feltétele: det E = 0 Karakteristikus egenlet: ( ) ( )( ) = 0 ( )( ) = 0 karakteristikus egenlet oldásai: 0 = 0 = 0 Pa, ( ) 0 ± Pa 0 00 = 0 = = 0Pa főfesültségek: = 0 Pa, = 0 Pa, = 0 Pa () Huber-ises-Henk-féle, a Coulomb-féle és a ohr-féle ukált fesültség: Huber-ises-Henk-féle ukált fesültség: ( HH ) = ( ) + ( ) + ( ), = + + = ( HH ) ( ), 9 Pa Coulomb-féle ukált fesültség: ( Coulomb) = = 0 Pa ohr-féle ukált fesültség: ( ohr) = = 0 ( 0) = 0 Pa 09

30 77 feladat: Redukált fesültségek dott: silárd test P pontjában a fesültségi tenor érustól különböő elemei: = 70 Pa, = 50 Pa, = 0 Pa, = = 0 Pa eladat: (a) P pontbeli fesültségi tenor mátriának felírása (b) főfesültségek és a fesültségi főiránok határoása () Huber-ises-Henk-féle, a Coulomb-féle és a ohr-féle ukált fesültség kisámítása Kidolgoás: (a) P pontbeli fesültségi tenor mátriának felírása: P = = Pa (b) főfesültségek és a fesültségi főiránok határoása: = őfesültségek határoása sajátérték feladat: ( E) e 0 ( ) e 0 0 ( 50 ) 0 e 0 = 0 0 ( 0 ) e 0 nemtriviális oldás léteésének feltétele,: det E = 0 karakteristikus egenlet: ( )( ) karakteristikus egenlet oldásai: 50 = 0 = 50 Pa, ( ) = 0 80 ± Pa = 0 = = 0 Pa főfesültségek: = 90 Pa, = = 50 Pa, = 0 Pa főfesültségi iránok határoása vissahelettesítés a lineáris algebrai egenletrendserbe: - = 90 Pa főfesültséghe tartoó e főirán határoása: ( ) e 0 0 ( 50 ) 0 e 0 =, 0 0 ( 0 ) e 0 egenletrendser oldása: 0e + 0e = 0, e = e 0e = 0, e = 0 0e 80e = 0, e = e e e 0 = e 0 0

31 egenletek nem függetlenek egmástól, íg a egik váltoót sabadon válasthatjuk Legen e =, ekkor e = 0, e = 0, 5 iránvektor : e = ( e + 0, 5e ) e ( e + 0,5e ) irán egségvektor: e = = = e + e = ( 0,89e + 0,7e) e + 0,5 5 5 Hasonló gondolatmenet alapján: = 50 Pa, e = ( e), e = ( e), = 0 Pa, e = ( e +e ), e = (-0,7 e+0,89e) sajátvektorok (fesültségi főiránok) semléltetése: e P 0,5 α e e e P α e 0 Pa e 90 Pa P e 90 Pa α 0 Pa e = o tgα = α =, 0,5 egjegés: e i, (i=,, ) és a e i egaránt főfesültségi iránok e és e főirán határoása után a e i főiránt úg vettük fel, hog a e, e, e vektorhármas jobbsodrású rendsert alkosson e = e e ) ukált fesültségek határoása: Huber-ises-Henk-féle ukált fesültség: ( HH ) = ( ) + ( ) + ( ), ( HH ) = ( 90 50) + ( 50 ( 0) ) ++ ( 0 90) = 87,8 Pa Coulomb-féle ukált fesültség: ( Coulomb) = = 90 Pa ohr-féle ukált fesültség: ( ohr) ( ) = = 90 0 = 00 Pa