A szilárdságtan alapkísérletei III. Tiszta hajlítás
|
|
- Valéria Csonkané
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 5. FEJEET silárdságtan alapkísérletei III. Tista hajlítás 5.1. Egenes primatikus rúd tista egenes hajlítása Beveető megjegések.tista hajlításról besélünk, ha a rúd eg adott sakasa csak hajlításra van igénbe véve. Másként fogalmava, ha a adott sakason belül a rúd minden eges kerestmetsetének egetlen, a kerestmetset síkjában fekvő hajlítónomaték a igénbevétele. jelen 5.1. sakas célja tista egenes hajlításnak 1 kitett primatikus rúd alakváltoási és fesültségi állapotának a tistáása. kedetben feltételeük, hog a rúdnak van simmetriasíkja, amel egbeesik a KR síkjával. Magát a KR-t a megsokott módon vesünk fel, aa a vísintes tengel a rúd hosstengele, a tengel pedig felfelé mutat. tista hajlítás feladatával össefüggésben só esik a kerestmetsetek másodrendű nomatékairól is Tista egenes hajlításra igénbevett rúd silárdságtani állapota ábra eg téglalapkerestmetsetű rudat, a rúd terhelését, valamint a rúd T níróerő ésm h nomatéki ábráját semlélteti. Leolvasható a igénbevételi ábrákról, hog a rúd két támas köötti sakasának tista hajlítás a igénbevétele. Tegük fel, hog a rúd és B kerestmetsetei F B F l a F L F a T F F M h =M h af af 5.1. ábra. 1 egenes jelő jelentését a (5.16) képletet követő második bekedésben v.ö.: 130. o. tistáuk. 15
2 P P P l P P M -M M =M h e Φ l O 5.. ábra. elegendő távolságra vannak a támasoktól ahho, hog ne legen hatással a két támas össhangban a aint Venant elvvel a B rúdsakas silárdságtani állapotára. továbbiakban a B rúdsakas a visgálatok tárga. visgálatok megkönnítése érdekében a, és koordinátasíkokkal párhuamos síksorok segítségével elemi kockákra bontjuk fel gondolatban a B rúdsakast. 5.. ábra a rúdsakas jobboldalára néve semlélteti a ténleges visonokat érékeltető erős nagításban a felostást mind a alakváltoás előtti, mind pedig a alakváltoás utáni állapotra néve. alakváltoási visonokat illetően a alábbiakat figelhetjük meg: 1. terhelés előtt tengellel párhuamos anagi vonalak (egenesek) körívekké görbülnek. terhelés előtt aonos koordinátájú anagi vonalaknak aonos a görbületi sugara a alakváltoás után. felső anagi vonalak megnúlnak, a alulsó anagi vonalak megrövidülnek, a alakváltoás előtt =0koordinátájú anagi vonalak hossa aonban váltoatlan marad.. terhelés előtt tengellel párhuamos anagi vonalak (egenesek) is körívekké görbülnek. Figeljük meg baloldali ábraréslet, hog a terhelés előtt aonos koordinátájú anagi vonalaknak is aonos a görbületi sugara a alakváltoás után. felső anagi vonalak megrövidülnek, a alulsó anagi vonalak megnúlnak, a alakváltoás előtt =0 16
3 koordinátájú anagi vonalak hossa pedig váltoatlan marad. tengellel párhuamos anagi vonalak egenesek maradnak a alakváltoás során, de elfordulnak. és tengelekkel párhuamos anagi vonalak által alkotott háló ortogonális marad. 3. síkkal párhuamos síkok olan síkok maradnak, meleknek a O ponton átmenő és a tengellel párhuamos egenes a köös tartóegenese. ábra a véglapok és a P pont esetén feltünteti eeket a élben látsó síkokat. Jól látsik a ábrán, hog a kerestmetsetek úg fordulnak el a irán körül, hog a körívekké görbült iránú sálakra minden pontban merőlegesek maradnak. 4. eredetileg kockákból felépülő hálóból, össhangban a fentebb mondottakkal, új ortogonális háló jön létre. alakváltoási visonok tekintetében abból a körülménből, hog a háló ortogonális marad aonnal követkeik, hog érus értékűek a sögtorulások: γ = γ = γ =0. (5.1) mi a fajlagos núlásokat illeti a mérési megfigelések serint a tengelre merőleges (kerestiránú), ε k = ε = ε fajlagos núlások és a tengellel párhuamos (hossiránú) ε fajlagos núlás köött a első alapkísérlet kapcsán már sereplő v.ö.: (3.6) össefüggés áll fenn: ε k = ε = ε = νε (5.) fentiek serint, ellentétben a első alapkísérlet során visgált húás (nomás) esetével, nem homogén a alakváltoási állapot, hanem függ a heltől a alakváltoási tenor, hisen pl. poitív esetén poitív a ε, negatív esetén pedig negat1v a ε. További megfigelés, hog a adott koordinátájú a terhelés előtt a -vel párhuamos hossiránú sál minden eges pontjában aonos a ε fajlagos núlás. visonok tistáása érdekében sámítsuk ki et a értéket. alakváltoás után, amint a jól leolvasható a ábráról, (ρ + ) Φ l a =0koordinátájú hossiránú sál mérete, ahol ρ a =0sál görbületi sugara a alakváltoás előtti méret pedig l = ρφ l (5.3) hisen nincs hossváltoás, ha a =0. Követkeésképp P e e e ahonnan ε = (ρ + ) Φ l l l = (ρ + ) Φ l ρφ l ρφ l, ε = ρ. (5.4) (5.1), (5.) és (5.4) képletek alapján = ε ε 0, 0 0 ε (5.5a) ε = ε = νε = ν ρ, ε = (5.5b) ρ a alakváltoási tenor mátria. teljesség kedvéért diadikus alakban is felírjuk a alakváltoási tenort: 5.3. ábra. = ε e e + ε e e + ε e e. (5.5c) Mivel valamenni sögtorulás érus a rúd minden eges pontjában párhuamosak a alakváltoási tenor főtengelei a válastott KR, és koordináta tengeleivel. Vegük at is ésre, hog a fajlagos núlások a koordináta lineáris függvénei. Ebből a függvénkapcsolatból követkeik, hog =0 esetén, aa a un. semleges rétegben, érus a alakváltoási tenor. alakváltoási tenort aal a feltevéssel semlélteti fentiek alapján a 5.3. ábra a elemi triéderen, hog poitív a koordináta, aa poitív a ε is. 17
4 Nilvánvaló, hog a fajlagos núlások képleteiben sereplő ρ görbületi sugár a M h nomaték függvéne, hisen a nagobb nomaték jobban meggörbíti a B rúdsakast. függvénkapcsolat jellegét a fesültségek ismeretében tistáuk majd. mi a fesültségek sámítását illeti abból kell kiindulni, hog a (3.18) egenlet serint fennáll a = 1+ν E T νε E össefüggés, ahonnan T = E 1+ν + νe 1+ν ε E. utóbbi egenletből, a (5.5a,b) képletek helettesítésével, a T = E ν ρ ν ρ ν 0 0 ρ vag ami ugana, a T = νe 1+ν ρ σ eredmén követkeik. kalár alakban írva = = E ρ E 1+ν (1+ν) ρ, (5.6) σ = Eε = E ρ (5.7a) és σ = σ = τ = τ = τ =0 (5.7b) a fesültségek értéke. Diádokkal írva T = ρ e = σ e {} e (5.8) ρ a fesültségi tenor. Nilvánvaló fentiek alapján, hog a rúd bármel pontjában a fesültségi tenor eg főiránhármasát adják a, és koordináta-tengelekkel párhuamos egenesek. Maga a fesültségi állapot egtengelű. tetsőleges P pont kerestmetsetét igénbevételével egütt a 5.4.(a) ábra, a σ (, ) = σ () lineáris fesültség eloslást pedig a 5.4.(b) ábra semlélteti. ábra feltünteti emellett a P pont fesültségi állapotát semléltető elemi kockát, valamint a Mohr-féle résleges fesültségi kördiagramot is. a b c d mn e=b/ e=b/ P a M h Y n 5.4. ábra. Össhangban a fentiekkel a rúd bármel poitív, aa e normálisú kerestmetsetén ρ = σ e = E ρ e (5.9) 18
5 R d 5.5. ábra. F = a fesültségvektor. kerestmetset aon egenesét, ahol érus értékű a fesültségvektor (e a σ (, ) felület és a kerestmetset síkjának metsésvonala) semleges tengelnek, vag érusvonalnak neveük. jelen esetben e a tengellel esik egbe ábra a rúd eg kerestmetsetén megosló ρ belső erőrendsert és a érusvonalat aonometrikus képen semlélteti. Mivel a kerestmetseten megosló ρ belső erőrendser kerestmetset súlpontjába redukált [F, M ] redukált vektorkettőse egetlen M h e erőpárral kell, hog legen egenértékű fenn kell állnia a 5.5. ábra alapján írható ρ d =0, M = R ρ d = M h e (5.10) egenleteknek. (5.9) képlet helettesítésével a (5.10) 1 egenletben álló integrálra, a eredőre, valóban a kívánt F = ρ d = E d e =0 (5.11) ρ eredmén adódik, hisen a megjelölt képletrés a kerestmetset súlponti tengelére vett statikai nomatéka és a aonosan érus. F eredő érus volta a magaráata annak, hog a kerestmetsetek geometriai köéppontjait (súlpontjait) össekötő köépvonal (a súlponti sál) nem váltotatja meg a hossát a hajlítás során. (5.9) képlet és a helvektort adó R = e + e össefüggés helettesítésével a (5.10) egenletben álló integrál, a eredő nomaték, a alábbiak serint alakítható tovább: M = R ρ d = E (e + e ) e d = E de de (5.1) ρ ρ I I fenti egenletben megjelölt első képletrés a kerestmetset súlponti tengelre sámított (vett) másodrendű nomatékátértelmei: I = d>0. (5.13a) Mivel a integrandus mindig poitív a tengelre sámított másodrendű nomatékiscsak poitív menniség lehet. (5.1) egenlet második megjelölt képletrése a kerestmetset súlponti tengelpárra sámított (vett) másodrendű nomatékát más elneveés serint a veges másodrendű nomatékot értelmei: I = d. (5.13b) E a menniség poitív, nulla és negatív egaránt lehet. Vegük ésre, hog a fentiekben definiált másodrendű nomatékok csak a kerestmetset geometriai jellemőitől annak alakjától és méreteitől függenek. jelen esetben, amint at a 5.4. Mintafeladatban is megmutatjuk majd lásd a 144. o., érus a veges másodrendű nomaték, mivel a tengel simmetriatengel. Ennek figelembevételével vetve egbe a (5.10) és a (5.1) képleteket kapjuk, hog κ = 1 ρ = M h I E. (5.14) utóbbi egenlet a keresett kapcsolat a κ görbület, a ρ görbületi sugár és a M h hajlítónomaték köött. kapott eredmén (5.4) és (5.7a) képletekbe történő helettesítésével a ε 19
6 fajlagos núlás és a σ normálfesültség a M h hajlítónomatékkal fejehető ki: ε = M h I E, σ = M h I. (5.15) most felírt össefüggéseknek a a jelentősége, hog numerikus össefüggéseket adnak a rudat terhelő M h hajlítónomaték, a rúd anagára jellemő E rugalmassági modulus, a rúd kerestmetsetének geometriai adataitól függő I,aρ görbületi sugár, a ε fajlagos núlás, valamint a σ fesültség köött. Bár nem mutatjuk meg formálisan, de a eddigi gondolatmenet és a vonatkoó képletek akkor is érvénesek maradnak, ha negatív a M h hajlítónomaték. Továbbmenve a kapott képletek a primatikus rudakra néve akkor is igaak maradnak, ha ha a rúd nem téglalap kerestmetsetű, érus értékű a veges másodrendű nomaték, aa fennáll a I =0egenlet (pl. a vag tengel simmetriatengel) M = M h e a rúd igénbevétele (tista hajlítás esete forog fenn). későbbiekben igaoljuk, hog nem simmetrikus kerestmetsetek esetén is mindig található olan súlpontho kötött egmásra kölcsönösen merőleges, tengelpár melre néve I =0. Eeket a tengeleket tehetetlenségi főtengeleknek fogjuk neveni ábra olan kerestmetseteket semléltet, melekre néve főtengelek a, súlponti tengelek. M h M h M h 5.6. ábra. kerestmetseten megosló belső erőrendser kerestmetset súlpontjára sámított M = M h e + M h e + M c e (5.16) M h nomatékának a kerestmetset síkjába eső és a fenti képletben külön is megjelölt M h rése a hajlítónomaték-vektor. Egenes hajlításról besélünk akkor, ha a hajlítónomaték vektor párhuamos a kerestmetset egik súlponti tehetetlenségi főtengelével. Ha nem párhuamos a hajlítónomaték vektor a kerestmetset valamelik súlponti tehetetlenségi főtengelével, akkor a hajlítást ferde hajlításnak neveük. Nilvánvaló a eddigiek alapján, hog tista hajlítás esetén érvénesek és hasnálhatók a (5.4), (5.5a,b), (5.6), (5.7a,b) (5.14) és (5.15) képletek, feltéve hog a hajlítónomaték M h = M h e alakú, a tengel tehetetlenségi főtengel a rúd pedig primatikus. (5.15) képlet serint poitív M h esetén a felső sélső sálban ébred a legnagobb poitív normálfesültség (húófesültség) és a alsó sélső sálban kapjuk a legnagobb absolút értékű negatív normálfesültséget (a legnagobb nomófesültséget). Negatív M h esetén a visonok fordítottak, a felső sélső sálban negatív, a alsó sélső sálbanpedigpoitívσ ébred. 130
7 Ha megsorouk a görbületet adó (5.14) képletet a rúd l hossával és figelembe vessük a (5.3) össefüggést, akkor a B rúdsakas véglapjainak (sélső kerestmetseteinek) egmásho visonított Φ l = l ρ = M hl (5.17) I E sögelfordulását kapjuk. tista hajlításra igénbe vett B rúdsakas alakváltoási energiáját a (3.5) alapján felírt u = 1 σ E fajlagos alakváltoási energia rúdsakas V térfogatán vett integrálja adja, ha helettesítjük a σ -t adó (5.15) össefüggést: U = u dv = 1 V l I (5.13a) alatti értelmeését is helettesítve U = 1 σ E d d = 1 M h l IE d d. l M h I E d (5.18) a eredmén. Tovább egserűsödik a fenti képlet, ha figelembe vessük, hog állandó a M h hajlítónomaték: U = 1 Mh l I E. (5.19) fenti össefüggés egúttal, össhangban a (.96) és (5.17) képletekkel, a B rúdsakasra működő M h hajlítónomaték W K munkája a hajlítónomaték hatására bekövetkeő Φ l sögelfordulás során: U = W K = 1 M hφ l Ellenőrés, méreteés. alábbiak a tista hajlításra igénbevett rúd fesültségcsúcsra történő ellenőrésének és méreteésének kérdéseit tekintik át. σ ma fesültséget a σ ma =ma σ (5.0) módon értelmeük a kerestmetseten. Ha a anag egformán viselkedik húásra és nomásra, akkor at fogjuk megkövetelni, hog e a érték előírt korlát alatt maradjon. Ha a anag nem viselkedik egformán a húásra és nomásra, akkor a húófesültségek és a nomófesültségek maimumai külön-külön előírt korlátok alatt kell, hog legenek. jelen esetben e a követelmén a úgneveett fesültségcsúcsra történő ellenőrés illetve méreteés alapja. Ha egforma a sélső sálak távolsága a tengeltől a húott illetve nomott oldalakon, et a esetet a 5.7. ábra a 5.6. ábrán is megrajolt tengelre simmetrikus I selvénnel semlélteti, akkor σ e ma = M h e = M h I I e = M h, (5.1) K M h ahol K = I (5.) e e a tengelre vonatkoó kerestmetseti téneő. Hanemegformaasélső sálak távolsága a tengeltől a húott illetve nomott oldalakon, et 5.7. ábra. a esetet a 5.8. ábra a 5.6. ábrán is megrajolt T selvénnel semlélteti, akkor két kerestmetseti té- 131
8 a b M h e 1 M h e 1 e e 5.8. ábra. neőt érdemes beveetni. Jelölje, össhangban a ábrával, e 1 és e a sélső sálak tengeltől mért távolságát. (5.) képlet alapján a két kerestmetseti téneőt a K 1 = I, valamint a K = I e 1 e 1 képletek értelmeik. fenti adatokkal a K = K min =min(k 1,K ). (5.3) képlet értelmei K -et. Tegük fel egelőre, hog egformán viselkedik a anag a húásra és nomásra. Felhasnálva a kerestmetseti téneő fogalmát ha aonos a sélső sálak tengeltől mért távolsága, akkor a (5.), ha nem aonos, akkor pedig a (5.3) képlettel kell dolgoni írhatjuk, hog σ ma = M h. (5.4) K Követkeőleg ellenőrés esetén hivatkova ehelütt a sakasra a σ jell fesültség és a n előírt bitonsági téneő fogalmát illetően a σ ma = M h K σ meg = σ jell n (5.5) relációnak kell fennállnia. Legen K s = M h (5.6) σ meg a sükséges kerestmetseti téneő. Követkeőleg méreteés esetén a (5.5) és a (5.6) össefüggések egbevetése alsó korlátot ad a kerestmetseti téneőre: K K s = M h (5.7) σ meg Érdemes hangsúloni, hog e a sükséges (minimális) kerestmetseti téneő csakakkorha- tároa meg egértelműen a kerestmetset alakját, ha a válastott alak csak eg geometriai paraméter (méret) függvéne (pl. körkerestmetset). Ha a válastott alak több geometriai paraméter (méret) függvéne, akkor további sempontok is figelembe vehetők a kerestmetset méreteinek megválastása során. Tegük fel a továbbiakban, hog nem viselkedik egformán a anag a húásra és nomásra. Legen σ meg húás és σ meg nomás rendre a húó-, illetve nomófesültségre vonatkoó megengedett fesültség. Megjegeük, hog a rideg anagok ilen pl. a öntöttvas, vagpedig a beton nomásra lénegesen nagobb fesültséget képesek maradó károsodás nélkül elviselni. Ebből adódóan een anagok esetén fennáll a σ meg húás σ meg nomás reláció. Legen továbbá σ ma húás és σ ma nomás rendre a maimális húó-, illetve nomófesültség. 13
9 Ha aonos a sélső sálak tengeltől mért távolsága, akkor megegeik egmással e a két érték, aa fennáll a σ ma húás = σ ma nomás = σ ma reláció. Ha nem aonos a két sélső sál tengeltől mért távolsága, akkor a nomaték előjelét is figelembe véve e dönti uganis el melik a húott és melik a nomott oldal kell sámítani a σ ma húás és σ ma nomás fesültségek értékét. Íg például ha poitív a M h, aa a 5.8.(a) ábrán váolt esetben σ ma húás = M h I Eel semben a 5.8.(b) ábrán váolt esetben σ ma nomás = M h I e 1 = M h és σ ma nomás = M h e = M h. (5.8a) K 1 I K e 1 = M h és σ ma húás = M h e = M h. (5.8b) K 1 I K fentiek alapján ellenőrés esetén egidejűleg kell teljesülnie a σ ma húás σ meg húás és a σ ma nomás σ meg nomás. (5.8c) relációknak. Legen K s húás = M h és K s nomás = M h (5.9) σ meg húás σ meg nomás a maimális húó, illetve nomófesültséghe tartoó sükséges kerestmetseti téneő. Nilvánvaló a eddigiek alapján, hog méreteés esetén a fenti két kerestmetseti téneő birtokában lehet csak helesen megválastani a kerestmetset alakját és méreteit. ellenőrés és méreteés megismert össefüggései akkor is alkalmahatók, ha váltoik a hajlítónomaték a rúd hossa mentén, de elhanagolható a hajlítónomatékkal társuló níróerő, pontosabban a níróerő okota nírófesültségek hatása. mint at a össetett igénbevételek kapcsán látni fogjuk akkor hanagolhatók el a nírófesültségek, ha sokkal nagobb a rúd hossa mint a kerestmetset maimális mérete. Ilenkor a ellenőrést, illetve a méreteést arra a kerestmetsetre kell elvégeni, ahol a legnagobb a hajlítónomaték absolút értéke. Et a kerestmetsetet veséles kerestmetsetnek sokás neveni. 5.. íkidomok (kerestmetsetek) másodrendű nomatékai Beveető megjegések alsakas (5.13a,b) képletei olan menniségeket, másodrendű nomatékokat értelmetek, melek csak a tekintett rúdkerestmetset geometriájának függvénei és mint ilenek függetlenek a rúd anagától illetve terhelésétől. jelen 5.. sakasban további másodrendű nomatékokat értelmeünk és résletesen is megvisgáljuk eek tulajdonságait Másodrendű nomatékok értelmeése ábra a tetsőleges alakú síkidomot semlélteti. koordináta-rendser kedőpontját (origóját) O jelöli. E a pont a sík eg tetsőleges végesben fekvő pontja, aa nem sükséges feltétel, hog a origó a síkidom eg belső pontja legen. d felületelem köéppontjának R = e + e a helvektora. O R d 5.9. ábra. síkidom tengelre sámított I, illetve a tengelre sámított I másodrendű nomatékát, megismételve I tekintetében a (5.13a) képletet, a I = d>0 és a I = d>0 (5.30a) 133
10 integrálok értelmeik. veges másodrendű nomatéknak pedig, megismételve a (5.13b) képletet, a I = d (5.30b) integrál a értelmeése. Értelmeésükből követkeően a tengelre sámított I és I másodrendű nomatékokpoitív menniségek. I veges másodrendű nomaték poitív, érus és negatív egaránt lehet. okás a fenti másodrendű nomatékok mellett poláris másodrendű nomatékrólbesélni. Etamenniségeta I p = I O = R d = + d (5.31) integrál értelmei. indeben álló p a poláris só első betűje. okás helette a vonatkotatási pontot aonosító betűt, a jelen esetben e O, is hasnálni. is kiolvasható a fenti képletből, tekintettel a (5.30a) 1, képletekre, hog a O pontra sámított poláris másodrendű nomaték a O ponton áthaladó és tengelekre sámított másodrendű nomatékok össege: I p = I O = I + I (5.3) Határouk meg példaként, a későbbi alkalmaásokat is sem előtt tartva téglalap alakú, illetve kör és körgűrű kerestmetset esetén a másodrendű nomatékokat, valamint a kerestmetseti téneőket ábrán váolt téglalapalakú kerestmetset esetén a (5.30a) 1 képlet és a ábra alapján írható, hog b d d I = aa, hog d = b/ b/ ad {} d = a 3 3 b/ b/ I = ab3 1. (5.33a) Értelemserű betűcserékkel kapjuk innen, hog a I = a3 b 1. (5.33b) ábra. fenti két képlet és a poláris másodrendű nomaték (5.3) alatti felbontása alapján I p = I = I + I = ab a + b. (5.34) 1 Végeetül a (5.) és (5.33a,b) képletek felhasnálásával sámíthatók a és tengelekre vonatkoó K és K kerestmetseti téneők: K = I b/ = ab 6, K = I a/ = a b 6. (5.35) Körkerestmetset esetén nilvánvaló simmetria okok miatt I = I. Vissaidéve, hog a poláris másodrendű nomatékot erre a kerestmetsetre a (4.48) képlet adja, továbbá felhasnálva, a poláris másodrendű nomaték és a tengelre sámított I és I. nomatékok köötti (5.3) össefüggést írhatjuk, hog I + I =I =I = I p = d4 π 3, 134,
11 aa, hog I = I = I p = d4 π 64. (5.36) Ismét felhasnálva a (5.) képletet kapjuk a vonatkoó kerestmetseti téneőket: K = K = I d/ = d3 π 3. (5.37) Körgűrű alakúkerestmetset esetén a I p -t adó (4.49) össefüggés, a I p felbontását adó (5.3) képlet, valamint a simmetriát tükröő I = I egenlet figelembe vételével írhatjuk, hog D 4 d 4 π I + I =I =I = I p =. 3 Követkeőleg D 4 d 4 π I = I = 64 és K = K = I D 4 D/ = d 4 π 3D. (5.38) Mivel a és súlponti tengelek mindhárom esetben simmetriatengelek érus értékű a veges másodrendű nomaték: I = koordinátarendser eltolásának hatása. teiner tétele ábrán váolt síkidom (kerestmetset) esetén két egmással párhuamos tengelpár által alkotott KR-ekben tekintjük a másodrendű nomatékokat. Elsőként a B kedőpontú görögbetűs ξη KR- d BO O r BO B BO ábra. ben tekintjük át a visonokat. Felhasnálva a másodrendű nomatékok (5.30a,b) alatti értelmeését a I ξ = η d, I η = ξ d, (5.39a) valamint a I ξη = ξη d (5.39b) képleteket kapjuk, ahol I ξ és I η a ξ és η tengelekre sámított másodrendű nomaték, I ξη pedig a ξ és η tengelpárra sámított másodrendű nomaték. további átalakítások célja a I ξ, I η és I ξη,valamintao kedőpontú KR-ben sámított I, I és I másodrendű nomatékok köötti kapcsolat tistáása. Ennek érdekében helettesítsük a ábráról leolvasható ξ = ξ BO +, η= η BO + 135
12 geometriai össefüggéseket a (5.39a,b) képletekbe. első esetben elemi átalakításokkal kapjuk, hog I ξ = (η BO + ) d = d +η BO d + ηbo d. (5.40a) I második és harmadik esetben uganilen módon kell eljárni: I η = (ξ BO + ) d = d +ξ BO d d, (5.40b) I I ξη = (ξ BO + )(η BO + ) d = = d + ξ BO d + η BO I + ξ BO d + ξ BO η BO d. (5.40c) fenti képletek megjelölt rései rendre a síkidom és tengelekre, valamint a - tengelpárra sámított I, I és I másodrendű nomatékait, a síkidom és tengelekre sámított és statikai nomatékait, illetve a síkidom területét adják. Követkeőleg írható, hog I ξ = I +η BO + ηbo, I η = I +ξ BO + ξbo, I ξη = I + ξ BO + η BO + ξ BO η BO. (5.41) E a eredmén teiner tétel néven ismeretes. tételt savakban a követkeő módon fogalmahatjuk meg: Ha ismeretesek eg síkidom adott pontjáho kötött (a jelen esetben a O pontho kötött) KR-ben a I, I és I másodrendű nomatékok, illetve a és statikai B B = B B = O = B 5.1. ábra. B nomatékok, akkor integrálás nélkül sámíthatók a síkidom eg másik pontjáho kötött (a jelen esetben a B pontho kötött) ξη KR-ben, ha egébként rendre párhuamosak a ξ, η és, koordinátatengelek. Tovább egserűsödnek a teiner tételt alkotó (5.41) képletek, ha egbeesik a O origó a síkidom (kerestmetset) geometriai köéppontjával (súlpontjával). E esetben uganis érus értékűek a síkidom és tengelekre sámított statikai nomatékai: = =0. Ha emellett at is figelembe vessük, hog e esetben ξ B = B és η B = B a teiner tétel a I ξ = I + B, I η = I + B, I ξη = I + B B (5.4) alakot ölti. Kiolvasható a (5.4) 1 képletből, hog adott súlponti tengelre (mondjuk a tengelre) sámított másodrendű nomaték ismeretében úg sámítható eg vele párhuamos (mondjuk Jakob teiner ( ). vájci sületésű német geométer, a Berlini Tudomános Társaság tagja. Heidelbergben tanul től élete végéig a berlini egetem professora. akterülete a projektív geometria és a ioperimetrikus geometriai problémák volt. 136
13 a ξ tengelre) sámított másodrendű nomaték hog hoáadjuk a adott súlponti tengelre vonatkoó másodrendű nomatékho a síkidom területének és a két tengel köötti távolság négetének soratát. is követkeik a utóbbi mondatból, hog a egmással párhuamos tengelekre sámított másodrendű nomatékok köül a súlponti tengelre sámított másodrendű nomaték a legkisebb. Megjegeük, hog a I I = I I, I I I B = ξ I ξη, (5.43a) I ηξ I η valamint a I B = B B B η B B = B ξ B η B B η B ξ B ηb, (5.43b) mátri jelölések beveetésével a I ξ I ξη I = I + B B B I ηξ I η I I B B, (5.44a) B vag ami ugana a I B = I + I B (5.44b) alakban írhatók fel a teiner tétel (5.4) alatti skaláregenletei. Megmutatjuk majd a sakasban lásd a (5.58) képletre veető gondolatmenetet, hog a I mátri a kerestmetset súlpontjáho tartoó I tehetetlenségi tenor mátria a KR-ben. Uganilen módon adódik majd a is, hog a I B mátri a kerestmetset B pontjáho tartoó I B tehetetlenségi tenor mátria a B kedőpontú ξη KR-ben Primatikus rúd tista ferde hajlítása. Tehetetlenségi tenor Általánosítás. továbbiakban at a kérdést visgáljuk meg hogan váltonak a visonok, ha a M hajlítónomaték vektor nem esik a kerestmetset súlponti tehetetlenségi főtengelére, aa ferde hajlítás esete áll fenn. Legen a eddigieknek megfelelően a tengel a rúd súlponti hosstengele, továbbá vegük a ábrán semléltetetett módon a, valamint a ξη KR-t. vonatkoó egségvektorokat e ξ és e η, illetve e és e jelöli. n irán e e R d e =O e = n =n ábra. 137
14 essék egbe a ξ iránnal, aa n = e ξ. gondolatmenet aon alapul, hog a primatikus rúd tista ferde hajlítása esetén is fennállnak a alábbi, a egenes hajlítás kapcsán rögített megfigelések: 1. Van olan ξη KR a ábra semlélteti et a KR-t, amelben = ξη ε ξ ε η ε, és ε ξ = ε η = νε = ν η ρ, ε = η ρ (5.45) a alakváltoási tenor mátria, illetve annak elemei. Megjegeük, hog a utóbbi képletekben ρ a alakváltoást senvedett súlpontvonal görbületi sugara a η síkban.. Érvénes a egserű Hook törvén, aa σ = Eε = E η ρ. Nilvánvaló, hog a η =0egenes, aa a ξ tengel a semleges tengel. Leolvasható a ábráról, hog a R = ξe ξ + ηe η helvektor a d felületelemhe mutat. is nilvánvaló, hog n R = n (ξe ξ + ηe η )=e ξ (ξe ξ + ηe η )=ηe. utóbbi két sorköi képlet egbevetése alapján ρ = σ e = E ρ η e = E ρ n R (5.46) a fesültségvektor értéke. Mivel tista hajlításról van só érus kell legen a kerestmetseten megosló ρ belső erőrendser F eredője. E a eredmén egserű sámítással adódik, ha felhasnáljuk ρ (5.46) alatti előállítását és figelembe vessük, hog érus értékűa kerestmetset = O súlpontra vett O statikai nomatéka: E F = ρ d = ρ n R d = E ρ n R d =0. (5.47) O =0 kerestmetseten megosló ρ belső erőrendser kerestmetset súlpontjára vett M nomatékát adó M = R ρ d (5.48) képlet is hasonló gondolatmenettel, aa a ρ fesültségvektor a (5.46) alatti képletének, valamint a R felbontásának helettesítésével alakítható tovább: M = (ξe ξ + ηe η ) E ρ η e d = E η d e ξ ηξ d e η (5.49a) ρ I ξ I ηξ aa M = E Iξ e ξ I ηξ e η. (5.49b) ρ fenti képletben álló I ξ = η d, I ηξ = ηξ d integrálok, valamint a I η = ξ d (5.50) integrál rendre a kerestmetset ξ tengelre, ηξ tengelpárra, valamint a η tengelre sámított másodrendű nomatékait adják. (5.49b) képlet rését alkotó I ξ = I n = I ξ e ξ I ηξ e η (5.51) vektor a ξ tengelhe, illetve a e ξ iránho (vag ami ugane a n tengelhe, illetve a n iránho) tartoó tehetetlenségi vektor. 138
15 Mivel általában I ηξ 6=0a követkeik a (5.49b) képletből, hog a M nomatékvektor általában nem párhuamos a ξ semleges tengellel. Másként fogalmava, ha a I ηξ 6=0,akkor valóban ferde hajlítás áll fenn. Tovább alakítható céljainknak megfelelően a M (5.48) alatti képlete, ha ρ értékét a (5.46) jobboldalának utolsó rése alapján helettesítjük és at is figelembe vessük a (5.49b) és a (5.51) egbevetése alapján, hog a E ρ -nak I n a egütthatója: M = E R (n R) d = E ρ ρ I n (5.5) utóbbi képlet alapján a tehetetlenségi vektor értéke. I n = R (n R) d (5.53) kerestmetset tehetetlenségi tenorai. (5.53) össefüggés serint homogén lineáris függvéne a I n tehetetlenségi vektor a n vektornak. Vissaidéve a másodrendű tenorok geometriai értelmeésével kapcsolatos és a 1.3. sakasban résleteett ismereteket at mondhatjuk, hog a (5.53) össefüggés a I n -reképeilean vektort. Kihasnálva, hog a kifejtési tétel serint a (b c) =(a c) b (a b) c, aholmosta és c-nek R, b-nek pedig n felel meg, a (5.53) alatti össefüggésből a I n = [(R R)n R(R n)] d (5.54) eredmén követkeik. további átalakítások célja a n vektor kiemelése. Vegük figelembe, hog n = E n itte a egségtenor és hog R(R n) =R R n. utóbbi képletek kihasnálásával kapjuk, hog I n = [(R R)E R R] d n = I n. (5.55) I fenti egenlet megjelölt rése a kerestmetset I súlponti tehetetlenségi tenorát értelmei: I = [(R R)E R R] d (5.56) Érdemes megjegeni, hog a (5.56) képlet a súlponti tehetetlenségi tenor koordinátarendsertől független alakja. (5.56) képlet alatti értelmeése serint simmetrikus a súlponti tehetetlenségi tenor, hisen mind a E egségtenor, mind pedig a R R diadikus sorat simmetrikus tenorok. koordinátarendserben R = e + e,míge = e e + e e.követkeőleg I = ( + )(e e + e e ) (e + e ) (e + e ) d = = ( e e ) e +( e + e ) e d = = de de e + de + de e, aa vagis I I I I I =(I e I e ) e +( I e + I e ) e, (5.57a) I I I = I e + I e, 139 (5.57b)
16 ahol a I és I tehetetlenségi vektorok rendre a egmástól lineárisan független e és e egségvektorok képei a I tenorho tartoó leképeésben. I és I tehetetlenségi vektorok ismeretében h i I I = I = I I = I (5.58) (,) I I a súlponti tehetetlenségi tenor mátria a KR-ben. Mivel a tenor simmetrikus a KR-ben felírt mátria is simmetrikus. Vissaidéve, hog a súlponti ξη koordinátarendserben R = ξe ξ + ηe η a helvektor és E = e ξ e ξ + e η e η a egségtenor, majd sóserint megismételve a előő bekedés lépéseit felhasnálva eköben a (5.50) alatti képleteket at kapjuk, hog I =(I ξ e ξ I ξ e η ) e ξ +( I ξηe ξ + I η e η ) e η (5.59a) I ξ I η a tehetetlenségi tenor a súlponti ξη KR-ben, ahol I ξ és I η a vonatkoó tehetetlenségi vektorok (a e ξ és e η egségvektorokho tartoó képvektorok). Követkeőleg I = I ξ e ξ + I η e η, (5.59b) a tenor diadikus alakja és h I = I = (ξ,η) i I ξ Iη = I ξ I ξη I ηξ I η (5.60) a I tenor mátria a súlponti ξη KR-ben. Vegük ésre, hog a (5.55) képlet serint Követkeőleg I n = I e n n =, és I ν = I e ν ν = ξ,η (5.61) I n = e n I e n (,) (ξ,η) (ξ,η) (ξ,η) n =, és I ν = e ν I e ν (ξ,η) (,) (,) (,) ν = ξ,η (5.6a) továbbá I mn = e m I e n (,) (ξ,η) (ξ,η) (ξ,η) m, n =, és I µν = e µ I e ν. µ,ν = ξ,η (5.6b) (ξ,η) (,) (,) (,) utóbbi eredmén savakban a követkeőképp fogalmaható meg: Ha ismeretes a I tehetetlenségi tenor és a [e, e ]{e ξ, e η } egségvektorok [a ξη] {a } KR-ben, akkor [a (5.6a,b) 1 ] {a (5.6a,b) } képletekkel sámíthatók a tehetetlenségi tenor mátriának [I,I és I ]{I ξ,i η és I ξη }elemei[a] {aξη} KR-ben. Megjegeük, hog e a eredmén a tenorok transformációjával kapcsolatos (1.83) képletek értelemserű, aa síkbeli visonokra vonatkoó alkalmaásával is felírható: a W helére I -t kell gondolni, el kell hagni a és ζ indeeket, illetve figelembe kell, venni a nem diagonális elemekre vonatkoó előjelbeni eltérést. Megjegeük végeetül, vissaidéve a ábra jelöléseit és a (5.56) alatti definíciót, hog a I B = [(ρ ρ)e ρ ρ] d (5.63) össefüggés értelmei a kerestmetset tetsőleges B pontjáho tartoó I B tehetetlenségi tenort. 140
17 I tenor főtngelproblémája ábrán váolt kerestmetset (síkidom) súlpontjáho két KR-t a nm =, valamint a nm = KR-eket kötjük. második KR a első KR óramutató járásával ellentétes iránba történő 90 o -os elforgatásával kapható meg. Követkeőleg d = d. E a eredmén at fejei ki, hog a nm = KR 90 o - R os elforgatásával a I nm veges másodrendű nomaték = absolút értéke váltoatlan marad, de a előjele megváltoik. Mivel a KR forgatása köben csak foltonosan vál- O * e n tohat a I nm értéke adódik a követketetés, hog bármel kerestmetsetnek (síkidomnak) van legalább két olan egmásra kölcsönösen merőleges súlponti nm tengele, hog a általuk meghatároott KR-ben ábra. I nm =0. ilen tengeleket súlponti tehetetlenségi főtengeleknek, a vonatkoó iránokat főiránoknak, afőtengelek által kifesített KR-t a főtengelek KR-ének, a tengelek egségvektorait pedig a I tehetetlenségi tenor sajátvektorainak neveük. főtengeleket a n =1és m =indeek aonosítják. főtengelekre sámított másodrendű nomatékokat rendre I 1 és I jelöli. sámoást úg válastjuk meg, hog teljesüljön a I 1 I egenlőtlenség. Mivel érus a I 1 veges másodrendű nomaték, párhuamosak a főiránokho tartoó tehetetlenségi vektorok a főiránokkal, aa fennáll a I i = I e i = I i e i i =1, (5.64) egenlet. Legen a egelőre ismeretlen n = n e + n e n = * e m = * d q n + n =1 (5.65) vektor a keresett főirán iránvektora. hoá tartoó ugancsak ismeretlen főmásodrendű nomatékot I n jelöli. Nilvánvaló a (5.64) össefüggések alapján, hog a n vektor és a I n másodrendű nomaték eleget kell, hog tegen a I n = I n n, vag ami ugana a (I I n E) n = 0 (5.66) egenletnek. Mátrios alakra térve át a ½ ¾ I I 1 0 n 0 I I I n =, 0 1 n 0 illetve a I I n I n 0 = (5.67) I I I n n 0 homogén lineáris egenletrendsert kapjuk a n és n sámítására. Triviálistól különböő megoldás csak akkor léteik, ha eltűnik a (5.66) egenletrendser determinánsa: ahol I I n I I I I n = I n (I + I ) I I I n + I I I =0, (5.68a) I II I I = I + I és I II = I I I (5.68b) 141
18 a I tenor úgneveett első és második skalárinvariánsa. (5.68a) karakteristikus egenlet s I n = I 1, = I µi s + I + I ± I I + I = I µi + I I ± + I (5.69) gökei valós sámok, mivel poitív a gökjel alatt álló kifejeés (a másodfokú egenlet diskriminánsa). O R d h n n Nem nehé belátni a ábra, a ábráról leolvasható n R = l, R l = h össefüggések és a (5.56) képlet alapján, hog I n = n I n = n [(R R)n R(R n)] d = = R n (R n) d = R l d = = h d>0. (5.70) l kapott eredmén serint (a) I n valóban a n tengelre sámított másodrendű nomaték ábra. (b) és mint ilen sigorúan poitív. Követkeőleg a I 1, gökök nemcsak valósak, hanem poitív menniségek is. I 1, gökök ismeretében a (5.68a) egenletrendser és a n =1feltétel figelembevételével adódóan vag a n 1 (I I 1 ) I n 1 =0, n 1 + n 1 =1 (5.71a) egenletek, vagpedig a n 1 I +(I I 1 )n 1 =0, n 1 + n 1 =1 (5.71b) egenletek megoldása (5.71a) 1 és (5.71b) 1 nem független egmástól adja a 1 jelű főirán n 1 iránvektorának n 1 és n 1 koordinátáit. Ha már ismert a n 1 a jelű főirán n iránvektora a n = e n 1 (5.7) képletből sámítható. Vegük ésre, hog a n 1, n és e jobbsodratú vektorhármast alkot. Mivel érus a veges másodrendű nomaték a főtehetetlenségi tengelek által kifesített KRben, uganitt diagonális a tehetetlenségi tenor mátria: I1 0 0 I. I = (1,) 14
19 5.4. Mintafeladatok ábrán váolt téglalapkerestmetsetű acélrudat a M B nomaték terheli. (a) Határoa meg a M B értékét, ha a maimális normálfesültség eléri a σ F = 40 MPa foláshatárt. (b) ámítsa ki a fesültségi és alakváltoási tenorok mátriait a K kerestmetset P pontjában, ha M B =3.84 knm (E acél 00 GPa, ν 1/3). (c) Mekkora e esetben a K kerestmetset felső oldalélének a méretváltoása. P K M B b =60mm M h =M B a = 40mm B ábra. sámításokho sükség les a téglalap kerestmetset tengelre sámított I másodrendű nomatékára. (5.33a) képlet serint I = ab3 1 = 40 mm (60 mm)3 1 = mm 4. Mivel a rúdnak tista hajlítás a igénbevétele a (5.1) képlet alapján írhatjuk, hog és végül σ ma = σ F = M B I b ahonnan M B = σ F I b M B = 40MPa mm 4 = Nmm =5.76 knm. 60 mm (b) kérdésben terhelésként megadott nomaték ennek a nomatéknak a két harmada. P pont afelső oldalélen van, ahol maimális a normálfesültség. Követkeik tehát, hog ennek értéke a σ F = 40 MPa foláshatár két harmada: σ (P ) = 160 MPa. Mivel érvénes a egserű Hook törvén a (5.7a), (5.) és (5.1) képletek serint ε = σ E = 160 Mpa 10 5 Mpa = ε = ε = νε = és γ = γ = γ =0. Eekkel a eredménekkel T P = MPa és P = a fesültségi és alakváltoási tenor mátria ábra a K kerestmetsetet és annak igénbevételét, a tengel menti fesültségeloslást, valamint a P pontbeli fesültségi állapotot semlélteti. P 160 MPa 30 mm M h= 5.76 knm 30 mm 40 mm (P) = 160 MPa ábra. 143
20 Mivel állandó a kerestiránú fajlagos núlás a K kerestmetset felső oldalélementéna a méretváltoás, értelemserűen alkalmava a (3.1) képletet, a alábbiak serint sámítható: µ a = ε k a = mm = mm ábra tista hajlításnak kitett aluminium rúd kerestmetsetét semlélteti (E al =70GPa, ν al 0.3). Határoa meg, felhasnálva a ábra adatait, (a) a alakváltoási tenor mátriát a kerestmetset P pontjában, és (b) uganitt a normálfe- P M sültség értékét. h (5.4) és (5.) képletek alapján 9mm 1.5 mm ε (P )=ε = P ρ = 4.5 mm mm = , ábra. Követkeésképp =3.5 m és ε = ε = ν al ε = = = γ = γ = γ =0. P = ε ε 0 = ε a alakváltoási tenor mátria. mi pedig a (b) kérdést illeti a (5.7a) egserű Hook törvénből a keresett normálfesültség. 9mm P B ábra. σ (P )=E al ε = MPa MPa M h P B ábrán váolt félkörkerestmetsetű rúdnak tista hajlítás a igénbevétele. kerestmetset P pontjában ε P = anúlásmérő béleggel mért fajlagos núlás a iránban. Mekkora a rúd görbületi sugara? (η B =4r/3π) P pont P = r η B = r 4r 4 9 mm =9mm = mm 3π 3π helkoordinátájával, kihasnálva a (5.4) képletet, kapjuk a ρ = P mm = 5000 mm ε P görbületi sugarat Mutassa meg, hog érus a kerestmetset súlponti tengelpárra sámított másodrendű nomatéka, ha simmetria tengel a tengel. d d 5.0. ábra ábrán váolt kerestmetsetnek a tengel a simmetriatengele. simmetria miatt maga a kerestmetset olan simmetrikusan elhelekedő d és d 0 felületelemekre bontható eg ilen felületelempárt a ábra is feltüntet, ameleknek aonos a koordinátája, de a koordinátájuk előjele különböő: 0 =. Ha tehát páronként össegeünk d + 0 d 0 =0. E egben at is jelenti, hog I = d =0. fenti eredmén serint valóban érus a kerestmetset súlponti tengelpárra vett vett másodrendű nomatéka, ha simmetria tengel a tengel. 144
21 5.5. Határoa meg a 5.1. ábrán váolt deréksögű háromsög esetén a oldalélek által alkotott KR-ben a I, I és I másodrendű nomatékokat. b O d =a d a 5.1. ábra. a b d Felhasnálva a ábra jelöléseit a definíciót adó (5.30a) 1 képlet alapján írható, hog " b # =a a/b I = d = d d = b 0 0 h = a 1 i 3 d = a 0 b 3 4 b 4b = ab (5.73a) Uganilen módon kapjuk a (5.30b) képlet alapján, hog " b # =a a/b I = d = d d = = b h1 a i d = a b 3 3b + 4 4b b 0 = a b 1. (5.73b) Nilvánvaló a I -et adó képlet alapján, hog I = a 3 b/ Határoa meg a a alapú és m magasságú általános háromsög másodrendű nomatékát a alapjára (aa a ξ tengelre), valamint a alappal párhuamos súlponti tengelre (aa a tengelre). d d O v m m 3 O v B a B a 5.. ábra. Vegük ésre, hog a ξ tengelen nugvó alappal semköti csúcs a alappal párhuamos és a csúcson áthaladó egenesen történő eltolása nem váltotatja meg a ξ tengelre sámított másodrendű nomatékot. E at eredménei, hog aonos a általános háromsög, és a tőle jobbra fekvő deréksögű háromsög ξ tengelre sámított másodrendű nomatéka. Követkeőleg alkalmaható a (5.73a) össefüggés, amivel I ξ = am3 1. (5.74) súlponti tengelre sámított másodrendű nomaték eek után a ábra adataival és a (5.4) 1 teiner tétel felhasnálásával adódik: I = I ξ B = am3 1 m am 9 = am3 36. (5.75) 5.7. Tegük fel, hog alumíniumból késült a 5.3. Mintafeladat félkörselvéne. Határoa meg e esetben (a) P és B pontokban a σ normálfesültség értékét, valamint (b) a hajlítónomaték értékét (E al =70GPa). Figelembe véve, hog érvénes a egserű Hook törvén a (5.7a) képlet serint a normálfesültség a P pontban. Mivel σ = E al ε P = MPa MPa η B = 4r 3π = 4 9 mm = mm, 3π 145
22 a pont η koordinátája és homogén lineáris függvéne a σ normálfesültség a koordinátának a σ (P ) σ (B) = P B aránpárból σ (B) = η B P mm σ (P )= 7.5 MPa 53.5 MPa mm hajlítónomaték sámításáho sükség les a félkörkerestmetset tengelre vett I másodrendű nomatékára. kerestmetset = 1 r π = 1 (9 mm) π = 17.3 mm területének, illetve ξ tengelre sámított I ξ = 1 d 4 π 64 = (18 mm)4 π = mm 4 18 másodrendű nomatékának ismeretében a (5.4) 1 teiner tételből I = I ξ B = mm4 ( mm) 17.3 mm = 70. mm 4. fenti adatokkal illetve a görbületi sugár sámított értékével a (5.14) képletből M h = I E ρ a keresett hajlítónomaték. = 70. mm MPa 5000mm Nm Határoa meg a 5.3. ábrán váolt néget átlói által kifesített ξη KR-ben a néget súlponti tehetetlenségi tenorának mátriát. Tekintettel a téglalap másodrendű nomatékaival kapcsolatos (5.33a,b) képletekre, valamint arra a körülménre, e e 1 hog mind a, mind pedig a tengel simmetriatengel e 1 utalunk ehelütt a 5.4. Mintafeladatra is at kapjuk, hog d I O = 1 a4 0 = a (,) 1 0 a 4 a v a súlponti tehetetlenségi tenor mátria a KR-ben. e Leolvasható a is a ábráról, hog e ξ = (e + e ) a és e η = ( e + e ) ábra. fentiek birtokában már alkalmahatók a (5.6a) és a (5.6b) képletek. sámítások során mátri jelölésekre érdemes áttérni a sámítások megkönnítése érdekében. Íg a a a 4 = a4 1 1 = I (5.76a) és a I ξ = e ξ I e ξ = e T ξ I e ξ = (ξ,η) (,) (,) (,) 1 I η = e η I e η = e T η I e η = (ξ,η) (,) (,) (,) I ξη = e ξ I e η = e T ξ I e η = (ξ,η) (,) (,) (,) 1 a a a a 4 1 = a4 1 = I (5.76b) =0 (5.76c) eredméneket kapjuk. Követkeőleg I = 1 a4 0 (ξ,η) 1 0 a 4 = I. (,) Ugane a eredmén más módon is megkapható. Mivel simmetriatengel a ξ és η tengel I ξη =0. Mivel a pont körüli 90 o -os elforgatás önmagába visi át a négetet I ξ = I η. Végeetül vegük ésre, hog a néget nég olan egbevágó egenlősárú deréksögű háromsögre bontható fel, melek egik 146
23 oldala a ξ és a eel egenlő másik oldala pedig a η tengelen nugsik. Követkeőleg alkalmaható a (5.73a) össefüggés: a ³ a 3 I ξ =4 = a ábra a ártselvénű B acélrudat semlélteti (E acél = 00 GPa). rúdnak 6 mm a falvastagsága. Legen σ meg = 10 MPa a megengedett fesültség. Ellenőrie a rudat és sámítsa ki a deformálódott köépvonal görbületi sugarát. 1.6 m B 6 mm 100 mm 4.1 knm 60 mm 5.4. ábra. épen semlélteti a 5.5. ábra hog a rúd kerestmetsete a 1 és jelű téglalapok különbsége. Jelölje rendre I 1 és I a 1 és jelű téglalapok tengelre sámított másodrendű nomatékát. (5.33a) képlet értelemserű felhasnálásával adódik, hog I = I 1 I = = mm 4 a rúd kerestmetsetének tengelre sámított másodrendű nomatéka. 1 = 100 mm 88 mm 60 mm 48mm 5.5. ábra. Mivel a rúd anaga húásra és nomásra egformán viselkedik a (5.1) képlet felhasnálásával a σ ma = M h e = Nmm I mm 4 50mm 90 MPa <σ meg = 10 MPa eredmént kapjuk. rúd tehát megfelel. (5.14) képlet alapján ρ = I E = mm MPa M h m Nmm a köépvonal görbületi sugara ábrán váolt T selvénű rúd alumíniumból késült (E al =70GPa). rúdnak tista hajlítás a igénbevétele. Határoa meg a selvénben ébredő legnagobb húó-, és nomófesültséget, (b) a rúd görbületi sugarát, valamint (c) a rúdban felhalmoódott rugalmas energiát. 147
24 10 mm 30 mm B 5 knm 90 mm 30 mm 1.8 m P K K P 1 =45mm 1 a b 1 1 e 1 e =105 mm 5.6. ábra. Első lépésben meghatárouk a kerestmetset súlpontjának η koordinátáját valamint a súlponti tengelre sámított I másodrendű nomatékot. sámítások során, célserűségi okokból két résre, eeket rendre 1 és jelöli, bontjuk fel a kerestmetsetet. hossegség mm. 5.7.(a) ábra és a i i mm η i mm η i i mm = P i = 6300 ξ = P i η i = tábláat adataival ( ξ a kerestmetset ξ tengelre vett statikai nomatéka) írható, hog η = P ξ = i η P i = =79.86 mm. i és jelű rések súlpontjainak 1 = η 1 η = = mm és = η η = = mm koordinátáival 5.7.(b) ábra alkalmahatóvá válik a 1 jelű réseseténa 1 pontok köött, a jelűréseseténpediga pontok köött a (5.4) 1 teiner tétel: I = X h i I ξi +( i ) i = = +(5.714) ábra ( 34.86) 700 = 1 = mm 4. Mivel negatív a hajlítónomaték a nomófesültség a P pontot tartalmaó felső oldalélen, a húófesültség a K pontot tartalmaó alsó oldalélen maimális. e 1 = +15= = mm, e = η =79.86 mm értékekkel és a (5.8b) képletekkel kapjuk, hog σ ma nomás = σ P = M h e 1 = Nmm I mm 7 MPa mm4 és σ ma húás = σ K = M h e = Nmm I mm 5 MPa. mm4 148
25 (5.14), valamint a (5.19) képletek alapján a görbületi sugár és ρ = I E al M h = mm MPa Nmm 107 m U = 1 Mh l = Nmm mm I E al mm Nm MPa a alakváltoási energia ámítsa ki a 5.9. Mintafeladatban visgált rúd B kerestmetsetében a súlpontvonal (a rúd) ϕ B = ϕ B sögelfordulását és uganitt súlpont (a rúd) függőleges v B elmodulását ábra a sokott betűket hasnálva jelleghelesen semlélteti a B rúd nomatéki ábráját, illetve a körívvé görbült köépvonalat. Mivel merőleges sárúak a ϕ B = ϕ B és Φ L sögek és mivel nem váltoik meg a rúd köépvonalának hossa írható, hog M M B L h ϕ B = ϕ B = Φ L = L ρ ahonnan, tekintettel a görbületet adó (5.14) össefüggésre és a M h = M B egenlőségre, kapjuk hog L L/ ϕ B = M BL I E. (5.77) E a képlet előjelhelesen adja a keresett sögelfordulást. Helettesítve a feladat adatait L B ϕ B = Nmm mm mm MPa = v = rad = o ρ B a eredmén. E a sögelfordulás igen kicsin, ellentétben a ábrával, amelen a visonok érékeltetésére B véges sögelfordulást tüntettünk fel. kapott érték at a mindennapi tapastalatot tükröi, hog a valós serkeeteken általában kicsinek a terhelésből adódó sögelfordulások és elmodulások. ρcosφ L Φ L v B elmodulás ugancsak a ábra alapján írható fel: v B = ρ(1 cos Φ L ). Mivel kicsi a ϕ B = ϕ B = Φ L sög elegendő a cos = O ábra. sorfejtés első két tagját megőrini. Ha elvégeük a ρ görbületi sugár és a ϕ B = ϕ B = Φ L forgás tekintetében is a sükséges helettesítéseket, akkor a µ v B = ρ Φ L = 1 M B L (5.78) I E képletet kapjuk. feladat adataival v B = Nmm mm mm = mm MPa a keresett elmodulás. továbbiak a (5.77) és (5.77) képletek lehetséges interpretációit adják. (a) Vissaidéve, hog a jelen esetben U = 1 MB L I E 149 M B
26 a teljes rugalmas energia, at kapjuk, hog ϕ B = U = M BL M B I E. E a képlet a (3.4) és (4.5) össefüggések eg analogonja. (b) Írjuk át a (5.77) és (5.78) képleteket a I Eϕ B = M B L és I Ev B = 1 M BL alakba. Ha most a B rúdon működő fiktív terhelésnek tekintjük a M h nomatéki ábrát lásd a 5.8. ábra felső rését,akkoraϕ B sögelfordulás I E-serese ebből a fiktív terhelésből adódó níróerő a rúd végén, a B kerestmetsetben hisen a níróerő am B L fiktív eredővel egeik meg. (c) Uganíg kapjuk, hog a v B elmodulás I E-serese a fiktív terhelésnek vett M h nomatéki ábrából adódó hajlítónomaték a B kerestmetsetben dott valamel kerestmetset súlpontho kötött tehetetlenségi tenorának mátria a súlponti KR-ben: I = cm ámítsa ki a főtehetetlenségi nomatékokat, a főiránok iránvektorait majd írja fel a tehetetlenségi tenor mátriát a főiránok koordinátarendserében. I I = I + I = = 19 cm 4 és I II = I I I = = cm 8 invariánsok és a (5.68a) képlet alapján felírható karakteristikus egenlet I n I I I n + I II = I n 19 I n = 0 I 1, = 19 ± = ½ gökei adják a keresett főtehetetlenségi nomatékokat. Eek birtokában a (5.71a) 1 képlet alapján kapott egenletből a n 1 (I I 1 ) I n 1 = 375n n 1 =0 cm 4 eredmén követkeik, amivel a (5.71a) -ből n 1 =5n 1 n 1 + n 1 = n 1 (1 + 5) = 1 aa Végeredménben n 1 = 1 6 és n 1 =5n 1 = 5 6. n 1 = 1 6 (e +5e ) a első főirán iránvektora. Ennek ismeretében a (5.7) képletből n = e n 1 = 1 (5e e ) 6 amásodikfőirán iránvektora. főtengelek 1=ξ, =η koordinátarendserében I I = = cm (ξ,η) 0 I a tehetetlenségi tenor mátria. 150
27 Gakorlatok ábrán váolt aluminium rudakat két erő terheli. ábra feltünteti a BC sakas eg K kerestmetsetét is. Határoa meg σ ma értékét a BC sakason belül és írja fel a fesültségi tenor mátriát a O pontban. Mekkora a BC sakas görbületi sugara és a C kerestmetset sögelfordulása? (E al =70GPa.) 80 kn B a 80kN C D 50kN B b C 50kN D 0.4 m 1.6 m 0.4 m 0.6 m 1. m 0.6 m 0 mm 160 mm 0 mm 00 mm O 160mm 0 mm 60 mm 10 mm 360 mm O 60mm 5.9. ábra. 151
28
29 Irodalomjegék [1] Mutnánsk Ádám: ilárdságtan, Műsaki Könvkiadó, Budapest, [] Kurutné Kovács Márta: Tartók statikája. Műegetemi kiadó, 003. [3] tephen Thimoshenko: trength of Materials. New York, Van Nostrand, [4] Ferdinand P. Beer, E. Russel Johnston, JR.: Mechanics of Materials (i Mertric Edition). McGraw- Hill, (IBN ) 153
30
31 . FÜGGELÉK Kulcsok a gakorlatokho 5. Fejeet 5.1. (a) η = 115 mm; I = mm 4 ; σ ma 4.3 MPa T O = MPa ρ m; ϕ C = rad (b) η = 100 mm; I = mm 4 ; σ ma 9 MPa T O = MPa ρ m; ϕ C = rad 155
Műszaki mechanika gyakorlati példák 1. hét: Közös ponton támadó erőrendszer síkban, kötélerők számítása
Műsaki mechanika gakorlati példák. hét: Köös ponton támadó erőrendser síkban, kötélerők sámítása. ábrán látható G = 22 N súlerejű lámpát fújja a sél. Ennek hatására a kötél a függőlegestől β = 2 -ban tér
RészletesebbenSTATIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2003/2004 tavaszi félév)
STATIKA A minimum test kérdései a gépésmérnöki sak hallgatói résére (2003/2004 tavasi félév) Statika Pontsám 1. A modell definíciója (2) 2. A silárd test értelmeése (1) 3. A merev test fogalma (1) 4. A
Részletesebben6. RUDAK ÖSSZETETT IGÉNYBEVÉTELEI
RUK ÖZETETT GÉNYBEVÉTELE Tönkremeneteli elméletek a) peiális eset: a fesültségi tenornak sak eg eleme nem nulla (pl rudak egserű igénbevételeinél), ϕ tt nins probléma, mert a anagjellemők eekre a egserű
Részletesebbenl = 1 m c) Mekkora a megnyúlás, ha közben a rúd hőmérséklete ΔT = 30 C-kal megváltozik? (a lineáris hőtágulási együtható: α = 1, C -1 )
5. TIZTA HÚZÁ-NYOMÁ, PÉLDÁK I. 1. a) Határouk meg a függestőrúd négetkerestmetsetének a oldalhossát cm-re kerekítve úg, hog a függestőrúdban ébredő normálfesültség ne érje el a σ e = 180 MPa-t! 3 m 1 C
RészletesebbenMechanika. III. előadás március 11. Mechanika III. előadás március / 30
Mechanika III. előadás 2019. március 11. Mechanika III. előadás 2019. március 11. 1 / 30 7. Serkeetek statikája 7.2. Rácsos serkeet hidak, daruk, távveeték tartó oslopok, stb. 3 kn C 4 m 2 4 8 5 3 7 1
RészletesebbenA szilárdságtan alapkísérletei III. Tiszta hajlítás
5. FEJEZET silárdságtn lpkísérletei III. Tist hjlítás 5.1. Egenes primtikus rúd tist egenes hjlítás 5.1.1. Beveető megjegések. Tist hjlításról besélünk, h rúd eg dott sks csk hjlításr vn igénbe véve. Másként
RészletesebbenMűszaki Mechanika I. A legfontosabb statikai fogalmak a gépészmérnöki kar mérnök menedzser hallgatói részére (2008/2009 őszi félév)
Műsaki Mechanika I. A legfontosabb statikai fogalmak a gépésmérnöki kar mérnök menedser hallgatói résére (2008/2009 ősi félév) Műsaki Mechanika I. Pontsám 1. A modell definíciója (2) 2. A silárd test értelmeése
Részletesebben(5) Mit értünk a szilárdságtanban a dinamikán? A szilárdságtanban a dinamika leírja a terhelés hatására a testben fellépő belső erőrendszert.
SZÉCHENY STVÁN EGYETE ECHANKA - SZLÁRDSÁGTAN ALKALAZOTT ECHANKA TANSZÉK Elméleti kérdések és válasok egetemi alapképésben (BS képésben) réstvevő mérnökhallgatók sámára () i a silárdságtan tárga? A silárdságtan
RészletesebbenAz összetett hajlítás képleteiről
A össetett hajlítás képleteiről Beveetés A elemi silárdságtan ismereteit a tankönvek serői általában igekenek úg kifejteni, hog a kedő sámára se okoanak komolabb matematikai nehéségeket. A húásra / nomásra
RészletesebbenA szilárdságtan alapkísérletei I. Egyenes rúd húzása, zömök rúd nyomása
3. FEJEZET silárdságtan alapkísérletei I. Egenes rúd húása, ömök rúd nomása 3.. alapkísérletek célja Hétkönapi megfigelés, hog uganaon silárd test alakváltoásainak mértéke függ a testet terhelő erőrendsertől.
RészletesebbenKozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL
Koák Imre Seidl Görg FEJEZETEK SZILÁRDSÁGTNBÓL KÉZIRT 008 0 Tartalomjegék. fejeet. tenorsámítás elemei.. Beveető megjegések.. Függvének.3. másodrendű tenor fogalmának geometriai beveetése 5.4. Speciális
RészletesebbenY 10. S x. 1. ábra. A rúd keresztmetszete.
zilárdságtan mintafeladatok: tehetetlenségi tenzor meghatározása, a tehetetlenségi tenzor főtengelproblémájának megoldása két mintafeladaton keresztül Először is oldjuk meg a gakorlatokon is elhangzott
RészletesebbenAz F er A pontra számított nyomatéka: M A = r AP F, ahol
Sécheni István Egetem M saki Tudománi Kar lkalmaott Mechanika Tansék LKLMZTT MECHNIK () Mi a mechanika tárga? Elméleti kérdések és válasok MSc képésben réstvev mérnök hallgatók sámára nagi rendserek (testek)
RészletesebbenANYAGJELLEMZŐK MEGHATÁROZÁSA ERŐ- ÉS NYÚLÁSMÉRÉSSEL. Oktatási segédlet
ANYAGJELLEMZŐK MEGHATÁROZÁSA ERŐ- ÉS NYÚLÁSMÉRÉSSEL Oktatási segédlet a Rugalmasságtan és Alkalmaott mechanika laboratóriumi mérési gakorlatokho a egetemi mesterképésben (MSc) réstvevő mérnökhallgatók
RészletesebbenHéj / lemez hajlítási elméletek, felületi feszültségek / élerők és élnyomatékok
Héj / leme hajlítási elméletek felületi fesültségek / élerők és élnomatékok Tevékenség: Olvassa el a bekedést! Jegee meg a héj és a leme definícióját! Tanulja meg a superpoíció elvét és a membrán állapot
Részletesebben12. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár.
1 EHNK-ZLÁRDÁGTN GYKORLT (kidolgota: dr Nag Zoltán eg adjunktus; Bojtár Gergel eg Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár) 11 Primatikus rúd össetett igénbevétele (nírás és hajlítás) dott: a 0,4 m, b 45 mm, F 1 kn,
RészletesebbenA ferde hajlítás alapképleteiről
ferde hajlítás alapképleteiről Beveetés régebbi silárdságtani sakirodalomban [ 1 ], [ ] más típusú leveetések, más alakú képletek voltak forgalomban a egenes tengelű rudak ferde hajlításával kapcsolatban,
RészletesebbenA szilárdságtan 2D feladatainak az feladatok értelmezése
A silárdságtan D feladatainak a feladatok értelmeése Olvassa el a ekedést! Jegee meg a silárdságtan D feladatainak csoportosítását! A silárdságtan (rugalmasságtan) kétdimeniós vag kétméretű (D) feladatai
Részletesebben3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN
ÉRETEZÉS ELLENŐRZÉS STATIUS TERHELÉS ESETÉN A méreteés ellenőrés célkitűése: Annak elérése hog a serkeet rendeltetésserű hasnálat esetén előírt ideig és előírt bitonsággal elviselje a adott terhelést anélkül
RészletesebbenSzilárdságtan. Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR
Miskolci Egetem GÉÉMÉRNÖKI É INORMTIKI KR ilárságtan (Oktatási segélet a Gépésmérnöki és Informatikai Kar sc leveleős hallgatói résére) Késítette: Nánori riges, irbik ánor Miskolc, 2008. Een kéirat a Gépésmérnöki
RészletesebbenTARTÓSZERKETETEK III.
TARTÓSZERKETETEK III. KERESZTETSZETEK ELLENÁLLÁSA + STABILITÁSI ELLENÁLLÁS 1 KERESZTETSZETEK ELLENÁLLÁSA 1.1 Csavarlukkal gengített köpontosan húott rúd 1. Egik sárán kapsolt köpontosan húott sögaél 1.
Részletesebbenσ = = (y', z' ) = EI (z') y'
178 5.4.. Váltoó kerestmetsetű rudak tsta hajlítása Enhén váltoó kerestmetsetű, tsta hajlításra génbevett rúdnál a eges pontok fesültség állapota - a váltoó kerestmetsetű rudak tsta nomásáho vag húásáho
RészletesebbenKozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL
Koák Imre Seidl Görg FEJEZETEK SZILÁRDSÁGTNBÓL KÉZIRT 004 008 . FEJEZET tenorsámítás elemei.. Beveető megjegések... Könapi tapastalat, hog a terméset jelenségei függetlenek a megfigelőtől. Várható tehát,
RészletesebbenDr. Égert János Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT RUGALMASSÁGTAN
Dr Égert János Dr Nag Zoltán ALALMAZOTT UGALMASSÁGTAN Dr Égert János Dr Nag Zoltán ALALMAZOTT UGALMASSÁGTAN UNIVESITAS-GYŐ Nonprofit ft Gőr 9 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM GYŐ Írta: Dr Égert János Dr Nag Zoltán
Részletesebben3. Szerkezeti elemek méretezése
. Serkeeti elemek méreteése.. Serkeeti elemek méreteési elvei A EC serint a teherbírási határállapotok ellenőrése során a alábbi visgálatokat kell elvégeni: - Kerestmetseti ellenállások visgálata, ami
Részletesebben15. Többváltozós függvények differenciálszámítása
5. Többváltoós függvének differenciálsámítása 5.. Határoa meg a alábbi kétváltoós függvének elsőrendű parciális derivált függvéneit és a gradiens függvénét, valamint eek értékét a megadott pontban:, =
RészletesebbenTerhelés: Minden erőt egy terhelési esetben veszünk figyelembe.
71 Síkbeli rácsos tartó Adott: A serkeet geometriai méretei A rudak átmérője: d = 4 mm A anag acél: 5 N E =,1 1, ν =,3 mm A terhelés: F1 = F = kn, F 3 = 4 kn F 1 A 6 5m F F 3 1 m B Feladat: a) A serkeet
RészletesebbenA lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a rugalmasságtan 2D feladatainak elméleti alapjait.
9 modul: A rugalmasságtan D feladatai 9 lecke: A D feladatok definíciója és egenletei A lecke célja: A tananag felhasnálója megismerje a rugalmasságtan D feladatainak elméleti alapjait Követelmének: Ön
Részletesebben10. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár.
10.1. Ferde hjlítás 10. ECHNK-ZLÁRDÁGTN GYKORLT (kidolgot: dr. Ng Zoltán eg. djunktus; ojtár Gergel eg. Ts.; Trni Gábor mérnöktnár.) dott: b 60 b 20 mm, mm, ( 40 j 120 k ) knm. Feldt: ) Htáro meg és sámíts
RészletesebbenA lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erő, a nyomaték és erőrendszerek jellemzőit.
2 modul: Erőrendserek 21 lecke: Erő és nomték lecke célj: tnng felhsnálój megismerje erő, nomték és erőrendserek jellemőit Követelmének: Ön kkor sjátított el megfelelően tnngot, h sját svivl meg tudj htároni
RészletesebbenGÉPÉSZMÉRNÖKI, INFORMATIKAI ÉS VILLAMOSMÉRNÖKI KAR
ZÉCHENYI ITVÁN EGYETE GÉPÉZÉRNÖKI, INFRTIKI É VILLÉRNÖKI KR E C H N I K LKLZTT ECHNIK TNZÉK Elméleti kérdések és válasok mesterképésben (c) réstvevő mérnökhallgatók sámára 1 dja meg vektorok skaláris sorásának
RészletesebbenMatematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola
O k t a t á s i H i v a t a l A 017/018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmáni Versen második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Adja meg
RészletesebbenA hajlítással egyidejű nyírás fogalma. Tipikus esetek a mérnöki gyakorlatban
24. HAJLÍTÁ É NYÍRÁ I. A hajlítással egidejű nírás fogalma M Ha a rúd eg kerestmetsetének nemérus níróigénbeételen kíül a nírásra merőleges hajlítónomaték-komponense is an, akkor a nírást hajlítással egidejűnek
RészletesebbenProjektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria
Projektív ábráoló geometria, centrálaonometria Ennél a leképeésnél a projektív teret seretnénk úg megjeleníteni eg képsíkon, hog a aonometrikus leképeést (paralel aonometriát) speciális esetként megkaphassuk.
Részletesebben9. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár.
LKLZOTT EHNIK TNSZÉK 9 EHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgot: dr Ng Zoltán eg djunktus; ojtár Gergel eg Ts; Trni Gábor mérnöktnár) 9 Fjlgos núlás htároás núlásmérő béleggel érőeskö: 6 -os núlásmérő béleg
Részletesebben9. A RUGALMASSÁGTAN 2D FELADATAI
9 A UGALMASSÁGTAN D FELADATAI A D ( két dimeniós ) feladatok köös jellemői: - két skalár elmodulásmeő különöik nullától - minden mechanikai menniség két helkoordinátától függ 9 Sík alakváltoás (SA) a)
RészletesebbenGyakorló feladatok a 2. zárthelyihez. Kidolgozott feladatok
Gakorló feladatok a. zárthelihez Kidolgozott feladatok. a) Határozzuk meg a függesztőrúd négzetkeresztmetszetének a oldalhosszát cm-re kerekítve úg, hog a függesztőrúdban ébredő normálfeszültség ne érje
Részletesebben2. Koordináta-transzformációk
Koordnáta-transformácók. Koordnáta-transformácók Geometra, sámítógép graka feladatok során gakran van arra sükség, hog eg alakatot eg ú koordnáta-rendserben, vag a elenleg koordnáta rendserben, de elmogatva,
RészletesebbenMechanika. II. előadás március 4. Mechanika II. előadás március 4. 1 / 31
Mechanika II. előadás 219. március 4. Mechanika II. előadás 219. március 4. 1 / 31 4. Merev test megtámasztásai, statikai feladatok megtámasztás: testek érintkezése útján jön létre, az érintkezés során
RészletesebbenAcélszerkezetek méretezése Eurocode 3 szerint
Acélserkeetek méreteése Eurocode 3 serint Gakorlati útmutató Dunai Lásló, Horváth Lásló, Kovács auika, Varga Géa, Verőci Béla, Vigh L. Gergel (a Útmutató jelen késültségi sintjén a Tartalomjegékben dőlt
RészletesebbenStatika gyakorló teszt I.
Statika gakorló teszt I. Készítette: Gönczi Dávid Témakörök: (I) közös ponton támadó erőrendszerek síkbeli és térbeli feladatai (1.1-1.6) (II) merev testre ható síkbeli és térbeli erőrendszerek (1.7-1.13)
RészletesebbenÍVHÍDMODELL TEHERBÍRÁSA: KÍSÉRLETI, NUMERIKUS ÉS SZABVÁNYOS EREDMÉNYEK
ÍVHÍDODELL TEHERBÍRÁSA: KÍSÉRLETI, UERIKUS ÉS SZABVÁYOS EREDÉYEK Dunai Lásló * - Joó Attila Lásló ** RÖVID KIVOAT A Dunaújvárosi Duna-híd terveése kapcsán a BE Hidak és Serkeetek Tansékén végrehajtottunk
RészletesebbenMŰSZAKI MECHANIKA II SZILÁRDSÁGTAN A legfontosabb fogalmak jegyzéke a fogalmak felsorolása (2009/2010)
MŰSZAKI MECHANIKA II SZILÁRDSÁGTAN A legfontosabb fogalmak jegzéke a fogalmak felsorolása (2009/2010) Műszaki Mechanika II Pontszám 1. A másodrendű tenzor értelmezése (2) 2. A másodrendű tenzor transzponáltjának
RészletesebbenMŰSZAKI MECHANIKAII SZILÁRDSÁGTAN A legfontosabb fogalmak jegyzéke a fogalmak felsorolása (2007/2008)
MŰSZAKI MECHANIKAII SZILÁRDSÁGTAN A legfontosabb fogalmak jegzéke a fogalmak felsorolása (2007/2008) Műszaki Mechanika II Pontszám 1. A másodrendű tenzor értelmezése (2) 2. A másodrendű tenzor transzponáltjának
RészletesebbenStatika. Miskolci Egyetem. (Oktatási segédlet a Gépészmérnöki és Informatikai Kar Bsc levelez½os hallgatói részére)
iskolci Egetem GÉPÉSZÉRNÖKI ÉS INORTIKI KR Statika (Oktatási segédlet a Gépésmérnöki és Informatikai Kar sc levele½os hallgatói résére) Késítette: Sirbik Sándor, Nándori riges ½usaki echanikai Intéet iskolc,
RészletesebbenA VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI
A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI A projekt címe: Egségesített Jármű- és mobilgépek képés- és tananagfejlestés A megvalósítás érdekében létrehoott konorcium réstvevői: KECSKEMÉI FŐISKOA BUDAPESI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGUDOMÁNYI
RészletesebbenSzabadsugár. A fenti feltételekkel a folyadék áramlását leíró mozgásegyenlet és a kontinuitási egyenlet az alábbi egyszerű alakú: (1) .
Szabadsugár Tekintsük az alábbi ábrán látható b magasságú résből kiáramló U sebességű sugarat. A résből kiáramló és a függőleges fal melletti térben lévő foladék azonos. A rajz síkjára merőleges iránban
RészletesebbenFizika A2E, 1. feladatsor
Fiika AE, 1. feladatsor Vida Görg Jósef vidagorg@gmail.com 1. feladat: Legen a = i + j + 3k, b = i 3j + k és c = i + j k. a Mekkora a a, b és c vektorok hossa? b Milen söget ár be egmással a és b? c Mekkora
RészletesebbenA feladatsorok összeállításánál felhasználtuk a Nemzeti Tankönyvkiadó RT. Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I III. példatárát.
Oros Gyula, 00. november Emelt sintű érettségi feladatsor Össeállította: Oros Gyula; dátum: 00. október A feladatsorok össeállításánál felhasnáltuk a Nemeti Tankönyvkiadó RT. Gyakorló és érettségire felkésítő
RészletesebbenSZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat)
SILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) Szilárdságtan Pontszám 1. A másodrendű tenzor értelmezése (2) 2. A
Részletesebbenaz eredő átmegy a közös ponton.
M Műszaki Mechanikai Tanszék STTIK dr. Uj József c. egetemi tanár g közös ponton támadó koncentrált erők (centrális erőrendszer) Két erő eredője: = +, Több erő eredője: = + ++...+ n, az eredő átmeg a közös
RészletesebbenA fő - másodrendű nyomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként
A fő - másodrendű nomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként A Keresztmetszeti jellemzők című mappa első lakója eg ritkábban látható levezetést mutat be amel talán segít helesen elrendezni
RészletesebbenFizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 9. hét. , ahol ρ a sűrűség (ami lehet helyfüggő is), és M = ρ dv az össztömeg. ϕ=104,45 d=95,84 pm !,!
Fiika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 9. hét Tömegköéppont (súlpont) Pontrendser esetén a m i tömegű, r i helvektorú tömegpontok tömegköéppontja a tömegekkel súloott átlagos helvektor: = =, ahol M
RészletesebbenFeladatok Oktatási segédanyag
VIK, Műsaki Informatika ANAÍZIS () Komplex függvénytan Feladatok Oktatási segédanyag A Villamosmérnöki és Informatikai Kar műsaki informatikus hallgatóinak tartott előadásai alapján össeállította: Frit
RészletesebbenRUGALMASSÁGTAN ALAPKÉRDÉSEK
RUGALMASSÁGTAN ALAPKÉRDÉSEK SEGÉDLET 4 Bagi Katalin Bojtár Imre Tarnai Tibor BEVEZETÉS E a segédlet a BME Építőmérnöki Karán oktatott Rgalmasságtan című tantárg legfontosabb tdnialóit foglalja össe. Célja,
RészletesebbenMAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010.
MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 00.. Tetszőleges, nem negatív szám esetén, Göktelenítsük a nevezőt: (B). Menni a 0 kifejezés értéke? (D) 0 0 0 0 0000 400 0. 5 Felhasznált
RészletesebbenStatika gyakorló teszt II.
Statika gakorló teszt II. Készítette: Gönczi Dávid Témakörök: (I) Egszerű szerkezetek síkbeli statikai feladatai (II) Megoszló terhelésekkel kapcsolatos számítások (III) Összetett szerkezetek síkbeli statikai
RészletesebbenA lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit.
modul: Erőrendserek lecke: Erőrendserek egenértékűsége és egensúl lecke célj: tnng felhsnálój megsmerje erőrendserek egenértékűségének és egensúlánk feltételet Követelmének: Ön kkor sjátított el megfelelően
RészletesebbenMegoldás: ( ) és F 2
. példa Határoa meg F F F erıkbıl álló erırendser F eredıjét annak F nagságát és e iránvektorát valamint a talajban ébredı F 0 támastóerıt! F = 0 N; F = 0 N; F = 0 N! F F F F e e N F = 5.5880 N = F. =
Részletesebben6.8. Gyorsan forgó tengelyek, csőtengelyek
68 Gyorsan forgó tengelyek, csőtengelyek p y p S iinduló feltételeések: - állandó, - a súlyerő, - p p A silárdságtani állapotokat henger koordinátarendseren (H-en) írjuk le Forgás a gyorsulásól sármaó,
RészletesebbenJAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005.október 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot
RészletesebbenF.I.1. Vektorok és vektorműveletek
FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg
Részletesebben1. Lineáris transzformáció
Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható
Részletesebben3. Lokális approximáció elve, végeselem diszkretizáció egydimenziós feladatra
SZÉCHENYI ISÁN EGYEEM AAMAZO MECHANIA ANSZÉ 6. MECHANIA-ÉGESEEM MÓDSZER EŐADÁS (kidolgozta: Szüle eronika, eg. ts.) I. előadás. okális aroimáció elve, végeselem diszkretizáció egdimenziós feladatra.. Csomóonti
RészletesebbenEgy feltételes szélsőérték - feladat
Eg feltételes sélsőérté - feladat A most öveteő feladattal már régen találotam; most újra elővesem. Ami lepő, a a, hog a 80 - as éve elején történt találoás óta sehol nem uant fel, pedig jócsán hordo tanulságoat.
RészletesebbenRobottechnika II. 1. Bevezetés, ismétlés. Ballagi Áron Automatizálási Tanszék
Robottechnika II. 1. Beveetés, ismétlés Ballagi Áron Automatiálási Tansék Bemutatkoás Dr. Ballagi Áron tansékveető-helettes, egetemi docens Automatiálási Ts. C71, 3461 Autonóm és Intelligens Robotok Laboratórium
Részletesebben1. MÁSODRENDŰ NYOMATÉK
Gak 01 Mechanka. Szlárdságtan 016 01 Segédlet MECHNK. TNNYG SMÉTLÉSE Tartalom 1. MÁSODRENDŰ NYOMTÉK... 1. RÁCSOS TRTÓ.... GÉNYEVÉTEL ÁRÁK... 5. TÉREL TRTÓK GÉNYEVÉTEL ÁRÁ... 8 Ez a Segédlet a 015, 016
RészletesebbenMechanika című MSc tantárgy: TENGELYMÉRETEZÉS
ZÉHENY TVÁN EGYETE GÉPÉZÉRNÖ NORT É VLLOÉRNÖ R LLZOTT EHN TNZÉ ehanika ímű tantárg: TENGELYÉRETEZÉ felaat: őtengel méreteée feültégúra iolgoá: ott: eg körgűrű keretmetetű tartó (őtengel) veéle keretmetetének
RészletesebbenA tiszta hajlítás fogalma. A hajlítás tipikus esetei a mérnöki gyakorlatban
13. HAJLÍTÁ I. A tist hjlítás foglm A rúd kerestmetsetére htó erőrendser eredője kerestmetseti síkn fekvő erőpár (másképpen: kerestmetset egetlen nemérus igénevétele hjlítónomték). A hjlítás tipikus esetei
RészletesebbenMEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KIALAKÍTÁSA 3 REPÜLŐKÉPESSÉG
Dr. Óvári Gula 1 - Dr. Urbán István 2 MEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KILKÍTÁS 3 cikk(soroatban)ben a merev sárnú repülőgépek veérsík rendserinek terveését és építését követheti nomon lépésről
RészletesebbenANALITIKUS MÓDSZER RÉSZLEGESEN KAPCSOLT, RÉTEGEZETT KOMPOZIT RUDAK SZILÁRDSÁGTANI FELADATAINAK MEGOLDÁSÁRA
Multidisciplináris tudománok. kötet. () s. pp. 89-. ANALITIKUS MÓDSZER RÉSZLEGESEN KAPCSOLT RÉTEGEZETT KOMPOZIT RUDAK SZILÁRDSÁGTANI FELADATAINAK MEGOLDÁSÁRA Lengel Ákos Jósef Ecsedi István doktorandus
RészletesebbenTöbbváltozós analízis gyakorlat, megoldások
Többváltozós analízis gakorlat, megoldások Általános iskolai matematikatanár szak 7/8. őszi félév. Differenciál- és integrálszámítás alkalmazásai. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek összes,
Részletesebben7. Kétváltozós függvények
Matematika segédanag 7. Kétváltozós függvének 7.. Alapfogalmak Az A és B halmazok A B-vel jelölt Descartes-szorzatán azt a halmazt értjük, melnek elemei mindazon a, b) rendezett párok, amelekre a A és
RészletesebbenMECHANIKA SZILÁRDSÁGTAN ÚTMUTATÓ a nyúlásmérési laboratóriumi gyakorlathoz
MEHNIK SZILÁRDSÁGTN ÚTMUTTÓ a núlásmérési laboratóriumi gakorlathoz. lapismeretek a núlásméréshez Szilárdságtani tanulmánaink során a különbözı igénbevételnek kitett szerkezeti elemek valamel keresztmetszetében
RészletesebbenAcélszerkezetek méretezése Eurocode 3 szerint
Aélserkeetek méreteése Euroode serint Gakorlati útmutató rásos tartó síkja h t t r h t Serők: Dunai Lásló, Horváth Lásló, Kovás auika, Verői Béla, Vigh L. Gergel Verió: 9.9.. Tartalomjegék. Beveetés....
RészletesebbenA lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a forgó tömegek kiegyensúlyozásának elméleti alapjait.
modu: Kinematika Kinetika 4 ecke: Forgó tömegek kiegensúoása ecke céja: tananag fehasnáója megismerje a forgó tömegek kiegensúoásának eméeti aapjait Követemének: Ön akkor sajátította e megfeeően a tananagot
RészletesebbenIdőszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 65 percre lesz szüksége.
4. modul: Rudak igénbevételei, igénbevételi ábrái 4.2. lecke: Igénbevételi ábrák, igénbevételi függvének lecke célja: tananag felhanálója megimerje: a rudak igénbevételi ábráit, megrajoláuk gondolatmenetét;
RészletesebbenFÜGGELÉK - MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ
FÜGGEÉK - MAEMAIKAI ÖSSZEFOGAÓ E a fejeet rövien össefoglalja aokat a matematikai ismereteket, ameleket a Végeselem analíis tantárg fel fog hasnálni A össefoglalás nem teljes résletességgel mutatja be
RészletesebbenA PÓLUSMOZGÁS FIZIKAI ALAPJAI. Völgyesi Lajos *
Geomatikai Kölemének V., PÓLUSMOZGÁS FZK LPJ Völgesi Lajos * Phsical backgrounds of polar motion. Rotation of the Earth is quite involved process. Deep knowledge of certain area of phsics is indispensable
RészletesebbenKétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által
Kétváltozós függvének ábrázolása síkmetszetek képzése által ) Ábrázoljuk a z + felületet! Az [,] síkkal párhuzamos síkokkal z c) képzett metszetek körök: + c, tehát a felület z tengelű forgásfelület; Az
RészletesebbenPéldatár megoldások. æ + ö ç è. ö ç è. ö ç è. æ ø. = ø
Műsaki matematika I. Lineáris algebra pldatár s feladattár Ksítette a Centroset SakkpsServesi Nonprofit Kft. Pldatár megoldások. feladat megoldása Mivel s B típusa megegeik, a sseadás elvgehető s Z is
RészletesebbenHatárérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és
2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend
RészletesebbenEUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei
Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ola, metrkáak eveett m: H H R {0} függvé, amelre a követkeők
RészletesebbenFrissítve: Síkidomok másodrendű nyomatékai. Egy kis elmélet 1 / 21
Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki Eg kis elmélet 1 / 21 Frissíte: 2015.02.16. Síkidomok másodrendű nomtéki 1. péld: Számítsk ki súlponti és tengelekre számított másodrendű nomtékokt! Megjegzés:
Részletesebben- Anyagi pontrendszer: anyagi pontok halmaza / összessége.
2 LPFGLK mechnk fk egk (klsskus) résterülete mechnk tárg: testek (ng pontok ng pontrendserek) heletváltottó mogásnk és eeket létrehoó htásoknk (erőknek) vsgált vsgált testek hlmállpot sernt besélhetünk:
RészletesebbenA statika és dinamika alapjai 11,0
FA Házi feladatok (A. gakorlat) Adottak az alábbi vektorok: a=[ 2,0 6,0,2] [ 5,2,b= 8,5 3,9] [ 4,2,c= 0,9 4,8] [,0 ],d= 3,0 5,2 Számítsa ki az alábbi vektorokat! e=a+b+d, f =b+c d Számítsa ki az e f vektort
Részletesebbenx = 1 egyenletnek megoldása. Komplex számok Komplex számok bevezetése
Komplex sámok Komplex sámok beveetése A valós sámok körét a követkeőképpen építettük fel. Elősör a termésetes sámokat veettük be. Itt két művelet volt, a össeadás és a sorás (ismételt össeadás A össeadás
Részletesebben11. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnöktanár)
SZÉHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MEHNIK TNSZÉK.. Példa:. MEHNIK-STTIK GYKORLT (kidolgozta: Triesz Péter, eg. ts.; Tarnai Gábor, mérnöktanár) Összetett szerkezetek statikája (három csuklós ív, Gerber tartó)
RészletesebbenEgzakt következtetés (poli-)fa Bayes-hálókban
gakt követketetés pol-fa Baes-hálókban Outlne Tpes of nference B method: exact, stochastc B purpose: dagnostc sngle-step, sequental DSS, explanaton generaton Hardness of exact nference xact nference n
Részletesebben12. AZ EULER-FÉLE SZABADNUTÁCIÓ, KÉNYSZERNUTÁCIÓ, PÓLUSVÁNDORLÁS
1. Z EULER-FÉLE SZBDUTÁCÓ, KÉYSZERUTÁCÓ, PÓLUSVÁDORLÁS Euler-egenletek inen merev test forgása során a forgási tehetetlensége miatt igeksik megtartani forgási állapotát, más sóval a impulusnomaték megmaraási
RészletesebbenMechanika II. Szilárdságtan
echanika II. Szilárdságtan Zalka Károl / q / B Budapest, 05 Zalka Károl, 05, e-kiadás Szabad ezt a kiadvánt sokszorosítani, terjeszteni és elektronikus vag bármel formában tárolni. Tilos viszont a kiadvánt
Részletesebben5. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár)
ZÉCHENY TVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANKA TANZÉK 5 MECHANKA-ZLÁRDÁGTAN GYAKORLAT (kidogota: dr Nag Zotá eg adjuktus; Bojtár Gerge eg ts; Tarai Gábor méröktaár) 5 Rugamas sá differeciáegeete (ehajás sögeforduás):
Részletesebben2.2. A z-transzformált
22 MAM2M előadásjegyet, 2008/2009 2. A -transformált 2.. Egy információátviteli probléma Legyen adott egy üenetátviteli rendserünk, amelyben a üeneteket két alapjel mondjuk a és b segítségével kódoljuk
Részletesebben- Anyagi pontrendszer: anyagi pontok halmaza / összessége.
LFGLK mechnk fk egk (klsskus) résterülete mechnk tárg: testek (ng pontok ng pontrendserek) heletváltottó mogásnk és eeket létrehoó htásoknk (erőknek) vsgált vsgált testek hlmállpot sernt besélhetünk: -
RészletesebbenFÜGGELÉK - MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ
FÜGGEÉK - MAEMAIKAI ÖSSZEFOGAÓ E a fejeet rövien össefoglalja aokat a matematikai ismereteket ameleket a Végeselem analíis tantárg fel fog hasnálni A össefoglalás nem teljes résletességgel mutatja be a
RészletesebbenA rögzített tengely körül forgó test csapágyreakcióinak meghatározása a forgástengely ferde helyzete esetében. Bevezetés
A rögített tengel körül forgó test csapágreakcióinak meghatároása a forgástengel ferde helete esetében Beveetés A előő dolgoatokban nem esett só a forgástengel ferde heletének esetéről. Aokban a ábrák
RészletesebbenMECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN 12. hét gyakorlati anyaga (kidolgozta : dr. Nagy Zoltán egy.adjunktus, Bojtár Gergely egy.tanársegéd)
ZÉHENY TVÁN EGYETE LKLZOTT EHNK TNZÉK EHNK-ZLÁRÁGTN 1. hét gakorlati anaga (kidolgota : dr. Nag Zoltán eg.adjunktus, ojtár Gergel eg.tanársegéd) 1.1 feladat : Primatikus rudak össetett igénbevételei (
RészletesebbenKettős és többes integrálok
Kettős és többes integrálok ) f,) + + kettős integrálja az, tartománon Megoldás: + + dd 6 + 6 + 8 + 9 + ] + + ] d 8 + 8 + ) f,) sin + ) integrálja a, tartománon Megoldás: ] d + 9 + d + + 68 8 7,5 + sin
Részletesebben5. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár)
ZÉCHENY TVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANKA TANZÉK 5. MECHANKA-ZLÁRDÁGTAN GYAKORLAT (kidogota: dr. Nag Zotá eg. adjuktus; Bojtár Gerge eg. ts.; Tarai Gábor méröktaár) 5.. Rugamas sá differeciáegeete (ehajás
RészletesebbenTeljes függvényvizsgálat példafeladatok
Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss
Részletesebben