12. AZ EULER-FÉLE SZABADNUTÁCIÓ, KÉNYSZERNUTÁCIÓ, PÓLUSVÁNDORLÁS

Átírás

1 1. Z EULER-FÉLE SZBDUTÁCÓ, KÉYSZERUTÁCÓ, PÓLUSVÁDORLÁS Euler-egenletek inen merev test forgása során a forgási tehetetlensége miatt igeksik megtartani forgási állapotát, más sóval a impulusnomaték megmaraási törvéne értelmében bármel árt renser impulusnomatéka állanó, tehát iőbeli váltoása:. (1) Ha a forgó merev testre külső erők is hatnak, akkor. a impulusnomaték megváltoása a külső erők forgatónomatékával egenlő, íg a r sögsebességgel forgó merev test kinetikai egensúlának feltétele valamel K (,, ) inerciarenserből (tehát a testtel nem egüttforgó külső koorinátarenserből) semlélve. () 1. ábra. erev testek forgásának leírásáho hasnált koorinátarenserek Térjünk eek után át a K (,, ) inerciarenserről a merev testtel egütt forgó (a 1. ábrán látható) K (,, ) koorinátarenserre. Ha a forgó K koorinátarenseren belül a vektor nem váltona, akkor a K inerciarenserből semlélve a vektor váltoása csak a forgásból állna: r. 1

2 Ha a K renserből semlélve is váltoik, akkor: r. (3) Ennek a egébként bármel tetsőleges vektorra érvénes általános vektor transformációnak a felhasnálásával a (3) átírható a r (4) alakra; ami a merev testtel egütt forgó megfigelő sámára a forgási egensúl feltétele (a Euler-féle vektoregenlet). Euler-féle vektoregenlet össetevőkre bontásáho elősör sámítsuk ki a (4) össefüggésben sereplő r vektoriális soratot a ),, ( K koorinátarenserben: ( ) ( ) ( ) k j i k j i r és bontsuk fel ennek segítségével a (4) vektoregenletet a,, koorináta iránok serinti skalár-egenletekre:. (5) követkeő lépésben sámítsuk ki a impulusnomaték-vektor, és össetevőit. impulusnomaték-vektort a tehetetlenségi-nomaték tenor és a forgási sögsebesség-vektor sorata aja: r (6) ahol a merev test tehetetlenségi-nomaték tenora, melnek főátlójában a aott testnek a, és a tengelre vonatkoó

3 3 ( ) ( ) ( )m m m tehetetlenségi nomatékai serepelnek, a főátlón kívüli elemek peig a ún. centrifugális nomatékok : m m m. Ha a K koorinátarensert úg vessük fel, hog a, és a tengele egbeessen a test tehetetlenségi főiránaival, akkor eek a centrifugális nomatékok érusok lesnek. Ekkor a általában sokásos jelölés serint: C B és íg: C B. Behelettesítve eeket a (5) egenletekbe, a merev testek forgását leíró Euler-féle mogásegenleteket (a ún. pörgettű-egenleteket) kapjuk, a merev testtel egütt forgó K koorinátarenserre vonatkoóan: ) ( ) ( ) ( B C C B B C. (7) E három elsőrenű nem lineáris ifferenciálegenlet a testhe rögített ),, ( K koorinátarenserre vonatkoó,, sögsebesség össetevőkre, és abban a esetben érvénes, ha a merev test tehetetlenségi főiránai egbeesnek a, és a koori-

4 náta iránokkal, továbbá a koorinátarenser keőpontja a test tömegköéppontjában van. Föl, mint erőmentes simmetrikus pörgettű menniben a (7) Euler-féle egenleteket erőmentes simmetrikus pörgettűnek feltételeett Fölre alkalmauk, a alábbi egserűsítő feltevéseket tehetjük: 1. a Föl alakváltoásra képtelen merev test, aa eltekintünk a rugalmasságától,., aa a Fölre semmiféle külső forgatónomaték nem hat (erőmentes pörgettű esete), 3. B vagis a egenlítő síkjába eső tehetetlenségi nomatékok megegenek (simmetrikus pörgettű esete), 4. heleük el a Fölhö rögített és vele egütt forgó K (,, ) koorinátarenser O keőpontját a Föl tömegköéppontjába (O tkp.), 5. a forgástengel menjen át a tömegköépponton, 6. a Fölhö rögített koorinátarenser tengelének irána essen egbe a legnagobb tehetetlenségi nomaték C iránával (C >). Ekkor a (7) Euler-féle mogásegenletek a ( C ) ( C ) (9) C alakra egserűsönek. ivel C, a harmaik egenlet megolása: áll. (1) tehát a tengel körüli forgás sögsebessége (a r sögsebesség-vektornak a simmetriatengelre vonatkoó vetülete) állanó. Et követően ossuk el a (9) első két egenletét -val és veessük be a C k jelöléssel a inamikai lapultság fogalmát. Ekkor a (9) első két egenlete: k k. (11) Differenciáljuk a (11) első egenletét t serint és helettesítsük be a íg keletkeő / ifferenciálhánaos kifejeését a (11) másoik egenletébe. reneés után: 4

5 ( k ) amel másorenű ifferenciálegenletnek a triviális megolása mellett a [( k ) τ ] m cos t (1) is megolása; melben m és τ integrálási állanók (a harmonikus regőmogás ifferenciálegenletének megolásáho hasonlóan m a legnagobb kitérést, τ peig a keőfáist jelöli). Ha a (1) megolást t serint ifferenciáljuk és behelettesítjük a (11) első egenletébe, akkor a is kisámítható: [( k ) τ ] m sin t. (13) Legenek a t iőpontban m és keeti feltételek (vagis a keő iőpontnak at válastjuk, amikor a r vektor éppen a síkban feksik). Ekkor a (1) és a (13) serint τ. Beveetve a α ( )t (14) k jelölést, a (1), (1) és a (13) alapján a r forgási sögsebesség-vektor össetevői: r m cosα msinα. (15). ábra. utációs mogás a forgó testhe rögített koorinátarenserből semlélve. eig kapott ereméneket a. ábrán foglaltuk össe. Eserint a r vektor össetevőiben sereplő α nem más, mint a koorinátatengel és a r vektor által meghatároott 5

6 síknak a síkkal beárt söge. ivel a α a (14) serint a t iőnek lineáris függvéne, eért α C k áll. (16) tehát a r vektor állanó sögsebességgel járja körül a test tömegéhe rögített koorinátarenser tengelét. r (15) össetevőit megvisgálva látható, hog a r vektor végpontja a tengel körül a (16) serint állanó sögsebességgel m sugarú kört ír le, íg maga a forgási sögsebesség-vektor aa a Föl forgástengele eg β nílássögű körkúp palástja mentén moog a tehetetlenségi főtengellel aonos koorinátatengel körül, ahol m β arctg. (17) Föl forgása tehát nem a C simmetriatengel körül (aa nem a Föl tömegéhe kötött állanó heletű tengel-) hanem minig a pillanatni forgástengel körül történik. Föl felsínén a r vektor végpontja által leírt kör (a pillanatni forgástengelnek a fölfelsíni nomvonala) a merev Föl póluspálája, vag pollóiuma. E a erőmentes simmetrikus pörgettű nutációs mogásának lénege a testtel egütt forgó koorinátarenserből semlélve. Határouk meg eek után a Föl esetében a pillanatni forgástengel eg teljes körülvánorlásának iejét. Jelölje T E at a iőt, amel alatt a forgástengel egser körüljárja a tengelt; ekkor a (14) alapján: tehát : T k T π E E π C ivel a forgás jó köelítéssel a tengel körül történik, eért tehát: π π 1csillagnap.9973 soláris nap, T E Csillagásati megfigelések serint:. C r aa 6

7 .395 C íg tehát TE 33 nap. ivel a mogásegenletek fenti leveetése EULERTŐL sármaik, a forgástengel állanó sögsebességű körbevánorlásának 33 napos perióusát Euler-féle perióusnak (gakran Euler-féle sabanutációs perióusnak) neveük. elneveésben a "saba" jelő arra utal, hog a jelenség külső erőhatásoktól teljesen független és a kialakult mogás perióusiejét kiárólag a merev test (esetünkben a Föl) tömegeloslása határoa meg. ineekből a követkeik, hog ha valamel merev test tengelkörüli forgása nem a C főtehetetlenségi nomaték tengele körül inult meg, akkor e a mogási állapot megmara, tehát a forgástengel nem billen vissa olan állapotba, hog a főtehetetlenségi tengellel egbeessék. Ekkor visont a pillanatni forgástengel állanó söggel hajlik a főtehetetlenségi tengelhe, miköben állanó sebességgel járja körül. mikor a forgástengel pontosan egbeesik a simmetriatengellel ( β ), vag a B C esetén a mogás ugan olan mint eg rögített tengel körüli állanó sögsebességű forgás, aa nutáció nem lép fel. 3. ábra. Euler-féle sabanutáció külső inerciarenserből semlélve. ine, amit eig tárgaltunk, a Fölel egütt forgó K koorinátarenserből semlélve látható. Külső inerciarenserből semlélve (a K inerciarenserben) min a Föl forgástengelének, min a Föl C simmetriatengelének a irána folamatosan váltoik, csupán a impulustengel irána váltoatlan, a impulusnomaték (1) serinti megmaraási törvéne értelmében. mogást legegserűbben a 3. ábra alapján érthetjük meg. Föl pillanatni forgástengele (a C > esetén) a kisebb nílássögű ún. herpolhoia kúp palástja mentén, a C simmetriatengel (a Föl tehetetlenségi főirána) 7

8 peig a nagobb nílássögű ún. nutációs kúp palástja mentén kerüli meg a impulusnomaték vektort. Eköben a r vektor a ún. polhoia kúp palástja mentén a C tengel körül is vánorol. mogás során a r, a és a C minig eg síkban van, miköben a Föl tömegéhe rögített heletű polhoia kúp és a inerciarenserben rögített heletű herpolhoia kúp palástja állanóan a r vektor irána mentén érintkeve csúsásmentesen görül egmáson. pólusingaoás valói perióusa valói Föl pillanatni forgástengelének a főtehetetlenségi iránát jól köelítő (megállapoással efiniált) tengeléhe visonított mérésekkel meghatároható mogását pólusingaoásnak neveük. eigi feltevések (pl. merev és forgássimmetrikus Föl esete) a valóságban nem érvénesek, eért a megfigelt pólusingaogás jelentősen eltér a elméleti megfontolások fenti ereméneitől Y. CO.4. X Y. CO. X ábra. póluspála köött. Ha mérésekkel bármikor meghatárouk a valói póluspálát, a polloiumot (a forgástengel mogásának fölfelsíni nomvonalát) akkor a 4. ábra balolalán láthatóho hasonló képet kapunk. 4. ábrán a 1967 és 1979 köötti póluspála látható olan koorinátarenserben, amelnek tengele a greenwichi keőmeriián iránába, tengele peig erre merőlegesen, nugat felé mutat; a keőpontja peig a 19 és 195 köötti iőtartamra meghatároott köepes pólushel: a CO (Conventional nternational Origin). Látható, hog a pólus valóban perioikus mogást vége, a pólus elmoulása kb..5" 1 m sugarú körön belül mara, e a amplitúó nem állanó és a perióus sem egenlő a Euler-féle 33 napos perióussal, hanem ennél lénegesen hossabb: 45 és 457 nap köött ingaoik átlagosan minteg 435 nap. pólusmogás felfeeése utáni években CHDLER amerikai csillagás kimutatta, hog a pólusingaoás két omináns perióusból, eg 1 és eg 14 hónapos perióusból 8

9 tevőik össe. utóbbit tisteletére Chanler-perióusnak neveték el. éhán hónappal CHDLER felfeeése után EWCOB már elméleti magaráattal is solgált: a 14 hónapos össetevő a Föl sabanutációja, míg a 1 hónapos össetevő a ún. kénsernutáció, mel a aonos perióusú globális meteorológiai jelenségek (pl. légtömegmogások, hótömegek olvaása és újraképőése stb.) követkeméne. 5. ábra. pólusmogás össetevője 189- köött. 6. ábra. pólusmogás össetevője 189- köött. 4. ábrán látható, hog a pólus a óramutató járásával ellentétes iránban többékevésbé sabálos spirális pálán moog. Eek a spirális pálák kb. hat évenként hasonló 9

10 jellegűek, a két frekvencia össeaóásából kialakuló lebegés követketében. Jól látható e a lebegés a 4. ábra jobb olalán, a pólusingaoás 1967 és 1979 köötti iősakra vonatkoó 3 imeniós képén. Ugancsak et semlélteti a 5. és a 6. ábra is, ahol a felső görbe a pólusmogás illetve iránú össetevője, alatta peig a sétválastott 14 hónapos, 1 hónapos és a maraék össetevők láthatók. egállapítható, hog a sabanutáció és a kénsernutáció külön-külön is meglehetősen bonolult folamat. Chanler-össetevőn pl. felismerhető eg fél évsáa körüli perióus, amel több más fölfiikai folamatban is jelentkeik, okát aonban egelőre nem ismerjük. átlagosan 47 napos Chanler-perióus és a 33 napos Euler-perióus köötti különbség oka a Föl rugalmas viselkeése. Ha uganis a Föl nem merev mint ahogan Euler feltételete akkor a forgástengel elmoulásának megfelelően a megváltoó centrifugális erő hatására úg eformálóik a tömege, hog a tehetetlenségi főtengele köeleik a forgástengelhe. (Sélső esetben, ha a Föl folaékserűen viselkene, akkor a tehetetlenségi főtengele teljes mértékben követné a forgástengel elmoulását tehát a perióus végtelen nag lenne, és íg pólusingaoásról nem is lehetne besélni.) Ennek megfelelően a T E Euler-féle, és a T C Chanler-perióus hánaosa kapcsolatba hoható a Föl rugalmasságával. pólusvánorlás Ha meghatárouk eg-eg teljes perióusho a 4. ábrán látható póluspálák köepes pólusheleteit, akkor at tapastaljuk, hog eek a köepes pólushelek a iő függvénében folamatosan eltolónak. jelenséget sekuláris pólusmogásnak, vag pólusvánorlásnak neveük. 7. ábrán látható, hog pl. a 189 és köötti póluspála már teljes egésében a 19 és 195 köött meghatároott CO köéppóluson kívül hala. ábrán látható, hog a köepes pólus 11 év alatt több mint 1m-t moult el Kanaa iránában. 7. ábra. pólus vánorlása 189 és köött. 1

11 megfigelések serint a pólusvánorlás mértéke visonlag csekél, évente legfeljebb néhán m (néhán ere sögmásoperc) nagságrenű a fölörténeti iőskálán aonban e a elmoulás jelentős (több 1 o ) mértékű is lehet. Eért a pólusvánorlás problémája a geológia és a geofiika sokat tárgalt kérése; különösen a paleoklimatológiai és újabban néhán globális tektonikai kérés megválasolása sempontjából igen fontos. pólusmogás geoéiai és csillagásati hatása Kiárólag a pólusmogás hatását figelembe véve a r forgási sögsebesség-vektornak a állócsillagokho visonított heletét gakorlatilag állanónak tekinthetjük. Ekkor visont állanó a égi egenlítő síkjának helete is, tehát a csillagok saját mogásától eltekintve, eek égi egenlítői (ekvatoriális) koorinátái a iőben váltoatlanok. Uganakkor a Föl felsínén fekvő pontoknak a forgástengelhe visonított helete a Föl tömegének a forgástengelhe visonított elmoulásával folamatosan váltoik, íg a pontok sintfelületi fölraji koorinátái is folamatosan váltonak. pólusmogás oka pörgettűmogás elmélete serint a saba tengel körül forgó merev testek helete akkor stabil, ha a forgás meginulásakor a test forgástengele megegeik a tehetetlenségi főtengelével. Ellenkeő esetben, vagis ha a forgás nem a tehetetlenségi főtengel körül inul meg, akkor a forgó test helete erőmentes térben is állanóan váltoik, aa a test sabanutációs mogást vége. Íg ha valamel merev bolgó esetében valamikor kialakult a sabanutációs mogás, akkor ennek fenntartásáho semmiféle mechanimusra nincs sükség. ivel a Föl nem merev test, rá e a megállapítás nem érvénes. Föl esetében a minimális mogási energiájú állapot a tehetetlenségi főtengel körüli forgás. Ettől eltérő heletű forgástengel esetén olan belső tömegátreneőések lépnek fel, amelek a két tengel köeleését illetve egbeesését igekenek előiéni. Chanler-össetevő visgálata alapján a a csillapítási iő, amel alatt a mogás amplitúója e-e résére csökken kb. 1-3 év köötti értékre becsülhető. ennél jóval hossabb iejű megfigelések at bionítják, hog létenie kell valamilen gerjestő folamatnak, amel a pólusmogás ismeretlen móon elnelőő energiáját valamilen formában pótolja. lehetséges issipációs és gerjestési folamatok napjainkban még tistáatlanok, mivel a eig felmerült lehetőségek általában más móon neheen ellenőrihetők és a sámítások igen bonolultak. fentiek serint a visont nilvánvaló, hog a Föl nutációs mogásának oka a Föl bonolult belső tömegeloslása és a tömegek állanó mogása, átheleőése. Fölön kívüli tömegek eloslásának, a különböő égitesteknek a pólusmogásra semmilen hatása nincs! 11