HÁZI FELADAT megoldási segédlet PONTSZERŐ TEST MOZGÁSA FORGÓ TÁRCSA HORNYÁBAN 2. Anyagi pont dinamikája neminerciarendszerben

Átírás

1 HÁZI FELADAT megolási segélet PONTSZEŐ TEST MOZGÁSA FOGÓ TÁCSA HONYÁBAN. Anyagi pont inamikája neminerciarenserben. A pont a tárcsán egyenes pályán moog, mert a horony kénysert jelent a mogása sámára. A álló környeethe képest a pályagörbe egyenlete és a pont helyvektora a iı függvényében nem írható fel egyserően, így a kinematikai mennyiségek (sebesség, gyorsulás) sem. Eért a pont mogásának leírásáho fel kell hasnálni két, egymásho képest mogó V-ben felírható mennyiségek köötti kapcsolatokat. Elıkésítı sámítások, megállapítások: A egyik V a nyugvó környeet, inerciarenser. (V I). A másik, hoá képest mogó V a forgó tárcsa. (V) A forgó tárcsa mint merev test mogásállapota V-ho képest: Sebességállapot: vω, Gyorsulásállapot: aω, konst, ε A forgó tárcsa mint vonatkotatási renser NEM INECIAENDSZE, mert a I-he képesti gyorsulásállapotát megaó vektorok nem min nullák: t : y aω,, ε A V-ekhe rögített K-ek efiniálása: m V-ho K: { O; } V-he K: { ;,, } t : m y, x, konst ψ t x konst. A megfigyelt test: a m tömegő, pontserőnek tekintett test a horonyban mooghat. A t iıpontban aott ( t ) helyetbıl aott ( t ) keısebességgel ke moogni a horonyban. Határouk meg, hogy a pont HOGYAN moog a.) a V-he képest (a tárcsán ülı megfigyelı serint) b.) a V-ho képest (a nyugvó környeetbıl megfigyelve) A HOGYAN moog kérés at jelenti, hogy meg kell határoni a pont helyetét, sebességét és a gyorsulását a iı függvényében. Vagyis: ( t), ( t), α ( t) a.) [ ],,,,,, b.) [ r ( t) ], [ v ( t) ], [ a ( t )]

2 A pont helyvektora, sebessége és gyorsulása a forgó tárcsán, a horonyban : ( t) ( t) ( t) α ( t) ( t) ( t),,,,,, Írjuk fel a inamika alaptételét a pontserő testre a mogó tárcsán ülı megfigyelı serint: m α F + F valói tehetetlenségi A pélában a valói erık: a súlyerı (a Föl hatása), és a kontakterı (a horony hatása). A tehetetlenségi erık: a sállítóerı és a Coriolis erı. A sabatest ábra: y K F sállító m α F Coriolis ψ t x konst. K m α G Jelölés: valamely mennyiség fölé írt csillag a iı serinti eriválást jelenti a mogó V-ben. A álló V-beli iı serinti eriválást a mennyiség fölé tett ponttal jelöljük. Savakkal: a kinetikai vektor a aott V-ben egyenlı a pontserő testre ható össes erı vektori össegével. Inerciarenserben a össes erı valói kölcsönhatásból sármaik, vagyis a erık más testek hatásai a megfigyelt testre. Ha nem inerciarenserben írjuk fel a inamika alaptételét, akkor ehhe hoá kell ani a vonatkotatási renser mogása miatt fellépı látsólagos vagy más néven tehetetlenségi erıket. A egyenlet jobbolalán ekkor is a aott V-ben éslelhetı össes erı serepel: a valói erık és tehetetlenségi erık.

3 t F sáll m a sáll m ( aω + ε ) m F Cor m a Cor m m m Eekkel a mogásegyenlet 3 : m m + K + m + m m g K A kontakterı merıleges a horonyirányra, vagy ami ugyana: a kontakterı irányú komponense nulla, mert a súrlóást elhanyagoltuk. (A sima érintkeés ieális kényser.) A mogásegyenletnek megfelelı három skaláregyenlet: m m K + m m ( 3) m g + K A ()-es és a (3)-as egyenletbıl a kontakterı komponenseit lehet meghatároni. A ()-es egyenlet a mogásegyenlet horonyirányú vetületi egyenlete, vagyis a mogást a horonyban leíró ( t ) mogástörvényre vonatkoó ifferenciálegyenlet: t t t t A keeti feltételek: A megolást a követkeı alakban keressük: t Deriváljuk egyser: t kétser: C e t λ t C λ e C λ e λ t λ t [ ] ( t ) [ ] ( t ) C λ e C e λ t λ t Helyettesítjük a ifferenciálegyenletbe: λ t C e λ λ ±, 3 A inamika alaptételének egyenletét mogásegyenletnek is sokás neveni, különösen akkor, amikor benne a iıfüggés is fel van tüntetve. A mogásegyenlet a helyetvektorra vonatkoó másorenő ifferenciálegyenlet. 3

4 A megolás: t C e + C e t t t C e C e t t A C és C konstansok meghatároása a keeti feltételekbıl: [ ] C + C C C [ ] C C C C, C Eel a pont helyete a horonyban, a iı függvényében: (mogástörvény a horonyban): t t e e sht. A pont horonyban való mogását megaó helykoorináta, sebesség és gyorsulás: t sht t t cht α t t sht A helyet-, sebesség- és gyorsulásvektor a forgó tárcsáho (V) rögített K-ben: sht ( t) cht ( t) α t,,,, sht,, Eel meghatárotuk a pont mogását a tárcsába vájt horonyban. 4

5 A álló környeethe képesti sebesség és gyorsulás meghatároásáho felírjuk a két, egymásho képest mogó vonatkotatási renserbıl megfigyelt sebességek (és gyorsulások) köötti kapcsolatot: v v sállító + sállító + v + Ω a α a + a Coriolis a + ε Ω y a Coriolis y v sállító v m ψ t m a α ψ t x a sállító x konst. konst. sht r ( t) ( t),,,, cht v( t) + sht a t,, ( t) t ( t ) cht + + +,, Eel a pont V-ban éslelt sebessége és gyorsulása ( absolút sebesség és gyorsulás) a K-ben áll renelkeésre.,, 5

6 Megjegyés: abból, hogy a absolút gyorsulás horonyirányú vetülete nulla, gyakran tévesen arra követketetnek, hogy akkor a absolút sebesség horonyirányú vetülete konstans kell legyen. Márpeig a nem nulla: Mi a hiba a követketetésben? 4 A helyvektort, vagyis a mogástörvényt, valamint a absolút sebességet és gyorsulást a környeethe rögített K-ben seretnénk felírni. Ehhe koorinátatransformációt kell végrehajtani: tetsıleges t iıpontban a tárcsa és eel K sögelforulása a nyugvó környeethe kötött K tengelye körül: ψ t. [ r] T [ r],, K K y A transformációs mátrix: cosψ sinψ T sinψ cosψ K K ψ t x ψɺ konst Transformáljuk a helyvektort: sht cost sint cosψ sinψ cost sint r t sin cos. sin cos sh sin cos ψ ψ t t + t t t + t,, 4 A absolút gyorsulás horonyirányú vetületének nulla volta inamikailag at jelenti, hogy nincs valói erı horonyirányban. Ha a horony I lenne, akkor ebbıl a tehetetlenség törvénye értelmében tényleg a követkene, hogy a absolút sebesség horonyirányban állanó. De a horony NEM INECIAENDSZE, mert forog egy Ihe képest: a I-he képesti gyorsulásállapotát leíró három vektor köül egy nem nulla: a,, ε Ω A absolút gyorsulásvektort a álló környeethe kötött megfigyelı ésleli. Koorinátáinak kifejeése a,, K-ben a absolút gyorsulásvektor horonyho képesti minenkori állását jelenti. A pélában a absolút gyorsulás minen pillanatban merıleges a horonyirányra, mivel csak a koorinátája nem nulla. v Kinematikailag: a a, illetve a a v állanó össefüggések csak egyaon V-en belül t érvényesek. Ilyen követketetéseket csak akkor lehet levonni, ha a gyorsulásvektort ugyanabban a V-ben ésleljük, mint amelyikben a iı serinti eriválást végeük. 6

7 Transformáljuk a sebességvektort: cosψ sinψ v v cost v sint v t sinψ cosψ. v v sint + v cost,, cost sint ( cht ) cost sht sint v( t) sint + cost ( cht ) sint + sht cost Transformáljuk a gyorsulásvektort: cosψ sinψ a sint t sint a ( t ) sinψ cosψ. a cos cos a t + t t,, ( ) ( ) cht sint a ( t) + cht cost 7

8 3. a. Pythagoras tétellel kisámítható a koorináta a peremre érkeés pillanatában:,968[ m] t Ismert a mogástörvény a horonyban: t sht t sht ebbıl t arsh, 8 s [ ] b. c. A tárcsa állanó sögsebességgel forog. A söghelyete a iı függvényében: ψ ( t) ψ o ( t) t, 8[ ra] 3,7 A. pontban felírt iıfüggvényekbe helyettesítjük a t, 8[ s] értéket: m t cht 9,89 t 9,89 e s m α t sht 96,8 α t 96,8 e s t. A kénysererı komponenseit a inamika alaptételének másoik és harmaik skaláregyenletébıl sámítjuk: (l.. pont) K + m m K m + m ( t ) 78[ N] ( 3) m g + K K m g 98,[ N] 78 [ N] K t 98,,, e. A absolút sebességet és gyorsulást sintén a. pontban felírt iıfüggvényekbıl sámítjuk, a t érték behelyettesítésével:,8[ s] K-ben: ( t) 7,39 m v( t) 9,68 s,,,, ( ) α t m a ( t) + t 7, 7 s,, 8

9 K-ban: ( cht ) cost sht sint,6 m v( t) ( cht ) sint + sht cost, 7 s ( ) cht sint 3,99 m a ( t) + cht cost, 6 s Megjegyés: A fent ismertetett felaatmegolás során megolottuk a horonyban felírt mogásegyenletet, (megolottunk egy másorenő ifferenciálegyenletet a aott keeti feltételekhe), maj ebbıl meghatárotuk a kinematikai mennyiségeket (hely, sebesség, gyorsulás) a iı függvényében. Más meggonolás alapján, a "fényképfelvétel" 5 semlélettel megválasolhatók a 3. kérés c.,., e. pontjai, vagyis kisámítható a relatív sebesség és gyorsulás abban a pillanatban, amikor a pont a tárcsa peremére ér 6, kisámítható ekkor a horonyfalról és fenékrıl a pontserő testre ható kénysererı is, e nem tujuk megmonani, mikor ér a pont a tárcsa peremére, és hogy milyen söghelyetben van a tárcsa ekkor. Megolás a "fényképfelvétel" semlélettel: 3.c. A munkatétel a forgó tárcsán, a T t T t W és A mogási energia megváltoása t és poíció köött, vagyis a t, t intervallumra : T t T t m m t köött: A munkatétel jobbolalán W a testre ható össes erı munkáját jelenti a t, t intervallumban. A munkatételt a forgó tárcsán írjuk fel, neminerciarenserben, eért a testre ható össes erı alatt a valói erık és a tehetetlenségi erık össegét kell érteni, vagyis a tárcsáho kötött megfigyelı által éslelt össes erı mechanikai munkáját kell felírni a munkatétel jobbolalán. A pélában a valói erık: (más testekkel való kölcsönhatásból sármanak): a súlyerı és a horonyfal (olalfal és fenék) hatása. A tehetelenségi erık: a sállítóerı és a Coriolis erı. F valói + F tehetetlenségi G + K + F sállító + F Coriolis 5 Fényképfelvétel semléletőnek neveük a olyan ifferenciálegyenleteket, amiket egy aott iıpontban vett helyettesítési értékeikkel algebrai egyenletként hasnálunk. 6 A egymásho képest mogó V-ekben felírt kinematikai mennyiségek köötti kapcsolat alapján ( v + v, a α + a + a ) kisámíhatjuk a absolút sebességet és gyorsulást is, e csak a K-ben, a sállító sállító Coriolis tárcsáho rögített koorinátarenserben tujuk felírni a koorinátáit, hisen nem ismerjük a tárcsa söghelyetét K- ho képest. 9

10 W ( G K F sállító F Coriolis ) A tehetetlenségi erık meghatároása: F sállító m a sállító m ( a Ω + ε ) m m F Coriolis m a Coriolis m ( ) m m mg K F valói F tehetetlenségi K m m A horonyban való mogás folyamán a erıknek csak a horonyirányú komponense vége mechanikai munkát. A erık fenti felírásából látsik, hogy csak a sállítóerınek van horonyirányú komponense. Így a munkatétel jobbolala: W K m m + + m m mg K m m m + 7 m 9,89 s. A inamika alaptételét írjuk fel a tárcsáho kötött V-ben, abban a pillanatban, amikor a pont a tárcsa peremére ér: a tárcsán megfigyelhetı kinetikai vektor egyenlı a anyagi pontra ható valói (vagyis más testekkel való kölcsönhatásból sármaó) erık plus a (V mogása miatt fellépı) tehetetlenségi erık össegével : m α G + K + F + F sállító Coriolis valói tehetetlenségi 7 Négyetgyökvonáskor a + vagy a elıjelet kell figyelembe venni? Másképp fogalmava a kérést: megforulhat-e a horonyban a pont mogásának iránya? Erre a kérésre a "nem fényképfelvétel" semlélető megolás segítségével lehet felelni. Ott meghatárotuk a relatív sebességet a iı függvényében: ( t) ch t. Ebbıl kiolvasható, hogy a relatív sebesség elıjele minen t-re megegyeik elıjelével. (Mert a chx fügvény minenütt poitív.)

11 m α m K m m m g K m Ebbıl α 96,8 s A kénysererı komponenseit ugyanúgy sámítjuk, mint a elıbb: K m m K [ ] [ ] + 78 N m g 98, N e. Ugyanúgy, mint a. pontban, aal a különbséggel, hogy minen mennyiség a t iıpillanatban vett helyettesítési értékével serepel. v t ( t ) t 7,39 m 9,68 s,,,, ( ) α t m a ( t) + t 7, 7 s,, Most nem tujuk felírni eeknek a vektoroknak a koorinátáit a V környeethe rögített K- ban, hisen a tárcsa söghelyetének ismerete nélkül a V tárcsáho kötött K helyete sem ismert.