Optika gyakorlat 3. Sugáregyenlet, fényterjedés parabolikus szálban, polarizáció, Jones-vektor. Hamilton-elv. Sugáregyenlet. (Euler-Lagrange egyenlet)

Átírás

1 Optika gyakorlat 3. Sugáregyenlet, fényterjeés parabolikus szálban, polarizáció, Jones-vektor Hamilton-elv t2 t2 δ Lq k, q k, t) t δ T V ) t 0 t 1 t 1 t L L 0 q k q k Euler-Lagrange egyenlet) De mi az optikai Lagrange függvény? B B δ OP L) δ nr) s δ n B x 2 + y δ nx, y, z) 1 + x 2 + y 2 A A A }{{} Lagrangefv. q k q 1, q 2 ) x, y) : t {}}{ 0 L x L x 0 ; x x L y L y 0 ; y y Sugáregyenlet L x n x 1 + x 2 + y 2 ; ) n x 1 + x 2 + y 2 L x n 1 + x x 2 + y x 2 + y 2 n x Inhomogén közegben a sugár terjeését a sugáregyenlet írja le paricális vektor) ierenciálegyenlet), amelyet legtöbbször numerikusan olunk meg. Az Euler-Lagrange egyenletekb l kapjuk: n x ) nx, y, z) s s x ; n y ) nx, y, z) s s y n r ) nx, y, z) Ray equation) s s ; *) n ) nx, y, z) s s z 1

2 speciális eset n nx; y) n ) n s s z 0 n s β konstans nx, y) cos θx, y) β nx, y) sin φx, y) β n s nx; y) 1 + x 2 + y 2 ) *) β x nx; y) β n x Euler-Lagrange egyenletek 2 x 2 ñ n β x 1 n 2 2 β 2 x ; 2 y 2 ñ n β y 1 n 2 2 β 2 y 1. péla: Fény pályája homogén közegben - sugáregyenlet Határozzuk meg a fény pályáját homogén közegben a sugáregyenlet felhasználásával. Megolás: Homogén közegben a törésmutató állanó: nx, y, z) konstans A sugáregyenlet szerint r n ) nx, y, z) s s Mivel az n törésmutató állanó, ezért minen eriváltja nulla, így: r n s s ) 2 r s 2 0 A másoren ierenciálegyenlet megolását két integrálást követ en kapjuk, melynek általános alakja: r a s + b Az ilyen típusú egyenletek egyeneseket parametrizálnak a térben. Tehát homogén közegben a fény egyenes vonalon terje. 2. péla: Fénytörés két közeg határfelületén - sugáregyenlet Igazoljuk a törési törvényt a sugáregyenlet felhasználásával. Megolás: A közegeken belül a törésmutató állanó, a közeghatáron peig ugrásszer en változik: x > x 0 esetén nx, y, z) n 1 és x < x 0 esetén nx, y, z) n 2. Az n nx, y) speciális esetre vonatkozó sugáregyenletet felírva: s n s ) n z 0 A ierenciálegyenlet megolását integrálással meghatározva kapjuk: n s kostans A erivált értékét szögekkel kifejezve: s sinφ Ezt visszaírva a sugáregyenlet megolásába éppen a törési törvényt kapjuk: n sinφ konstans 2

3 3. péla: Fény pályája lineáris törésmutatójú közegben Legyen a törésmutató eloszlás x > 0 esetén n 2 x) n 2 0 x és x < 0 esetén n2 x) n 2 0. A fénysugár az xz 0) 0 helyen x z 0) tgθ 0 szög alatt lép be a közegbe. A sugáregyenlet segítségével határozzuk meg a fénysugár útját! Megolás: Az Euler-Lagrange egyenletek alapján 2 x 2 ñ n β x 1 n 2 2 β 2 x Ie behelyettesítve az x > 0 térrész törésmutató-eloszlását kapjuk: 2 x 2 2 β 2 A homogén lineáris másoren ierenciálegyenlet általános megolását két integrálást követ en kapjuk: x 2 β 2 z + A xz) 4 β 2 z2 + A z + B Az általános megolásban szerepl konstans értékek a kezeti feltételekre való illesztéssel határozhatók meg: xz 0) 0 B 0 Ezzel a fénysugár útja: x z 0) tgθ 0 A tgθ 0 xz) 4 β 2 z2 + tgθ 0 z ahol β n 0 cosθ 0. Ilyen a ráióhullámok terejése az ionoszférában. 4. péla: Parabolikus szál hullámvezet ) Legyen a törésmutató eloszlás: n 2 x, y) n x 2 + y 2 ) ; << 1 A sugáregyenlet segítségével határozzuk meg a fénysugár útját! 1. ábra. Parabolikus szálban halaó fénysugár számolás - Comsol Ray Optics moule) 3

4 Megolás: Az Euler-Lagrange egyenletek szerint: 2 x 2 ñ β n x 1 2 β n2 2 x Ahol a törésmutató helyfüggésének megfelel en: n 2 x 22 x Ezt visszahelyettesítve az Euler-Lagrange egyenletbe: 2 x β 2 22 ) x Átrenezve a következ másoren, homogén, lineáris iereciálegyenletet kapjuk: 2 x 2 + β ) 2 x 0 Ez a típusú ierenciálegyenlet az egyimenziós harmonikus oszcillátor mozgásegyenlete. Megolásának általános alakja: xz) A cos β z) + B sin β z) Az y koorinátára teljesen analóg móon a sugáregyenletb l hasonló ierenciálegyenlet vezethet le, melynek általános megolása: yz) C cos β z) + D sin β z) A fénysugár útját meghatározó két egyenletben szerepl négy konstans értékét a kezeti feltételek határozzák meg. 1. speciális eset: A fénysugár az x z síkban terje, s az origóban Θ 0 szögben lép be a hullámvezet be. Ekkor az értékekre és a eriváltakra felírt kezeti feltételekb l a következ értékek aónak a konstansokra: xz 0) 0 A 0 Továbbá a β n s egyenletb l: ahol n 0 az origó törésmutatóját jelöli. Ezt visszahelyettesítve B egyenletébe kapjuk: yz 0) 0 C 0 x z 0) tgθ 0 β B B β tgθ 0 y z 0) 0 D 0 β nx, y) cosθx, y) n 0 cosθ 0 B n 0 cosθ 0 tgθ 0 n 0 sinθ 0 4

5 Ezzel a fénysugár útja: xz) n 0 sinθ 0 sin z) n 0 cosθ 0 2. speciális eset: A fénysugár x x 0 helyen lép be a hullámvezet be y z 0) tgθ 0 szög alatt. Ekkor az értékekre és a eriváltakra felírt kezeti feltételekb l a következ értékek aónak a konstansokra: xz 0) x 0 A x 0 yz 0) 0 C 0 x z 0) 0 B 0 y z 0) tgθ 0 β D D β tgθ 0 A kezeti feltételekb l aóó konstansokat behelyettesítve az általános megolásba: xz) x 0 cos β z) Továbbá a β n s egyenletb l: yz) β tgθ 0 sin β z) β nx, y) cosθx, y) nx 0, 0) cosθ 0. Ezen belül is vizsgáljunk egy speciális esetet, amikor x 0 β tgθ 0. Ekkor: xz) x 0 cos β z) ami azt jelenti, hogy z-t l függetlenül yz) x 0 sin β z) xz) 2 + yz) 2 x 2 0 Az ilyen típusú egyenletek spirális pályán való terjeést írnak le. A fény polarizációja Tekintsünk egy z irányba terje síkhullámot. A térer sség vektor a terjeési irányra mer keges irányban helyezkeik el, általános esetben az alábbi függvénnyel írható le: Ez, ) t) Re A exp iωt kz), ahol A komplex amplituó felbontható külön x és z irányú komponensekre: 5

6 A A x x + A y y a x exp iφx x + a y exp iφy y A hullám z irányú terjeése során, aott z koorináta esetén térer sség vektor minig felfogható két azonos frekvenciájú, e különböz amplituójú és fázisú rezgés összegének, ahol az egymásra ortogonális komponensek: E x a x cosωt kz + φ x ) E y a y sinωt kz + φ y ) A térer sség vektor végpontja általános esetben egy ellipszis kerületén mozog: E 2 x a 2 x + E2 y a 2 y cos 2 ωt kz + φ x ) + cos 2 ωt kz + φ y ) sin 2 φ) + 2cosφ ExE y a x a y, ahol φ φ y φ x Lineárisan poláris fény: 2. ábra. Forrás: Saleh-Teich: Funamentals of Photonics φ x φ y + mπ E x ± a y )E y E a a 2 x + a 2 y x Cirkulárisan poláris fény: Θ tan 1 a y a x ) φ ± π 2 a x a y a 0 E x a 0 cosωt kz + φ 0 ) E y ±a 0 sinωt kz + φ 0 ) E2 x a 2 x + E2 y a 2 y 1 a kör egyenlete E x ± a y a x )E y E Θ tan 1 a y a x ) A polarizáció síkja az x tengellyel Θ szöget zár be. a 2 x + a 2 y 6

7 3. ábra. Forrás: Saleh-Teich: Funamentals of Photonics Jones-vektor Ha az A x és A y kompnenseket vektorba renezzük, a Jones-vektort kapjuk: [ ] [ ] Ax ax exp J iφx A y a y exp iφy A hullám intenzitása felírható a Jones vektor segítségével: I cɛ 2 J J cɛ 2 a2 x + a 2 y) A tovabbiaban a konvenció szerint a Jones vektorok hosszát 1-re normálva ajuk meg. Az alábbi táblázatban megtalálható a linárisan poláris, a jobbra cirkulárisan poláris RCP) valamint balra cirkulárisan poláris LCP) fény Jones-vektora: 7

8 Mátrix reprezentáció: polarizációs eszközök A fény polarizációs állapota polarizációs eszközökkel megváltoztatható. A legegyszer bb polarizációs eszközök lineárisak, ezáltal egyszer mátrix transzformációval jellemezhet ek. A bemeneti J 1 Jones-vektor az eszközön való áthatláást követ en átalakul J 2 Jones-vektorrá. [ ] [ ] [ ] A2x T11 T J 2 T J1 12 A1x A 2y T 21 T 22 A 1x ahol a T a polarizációs eszköz ún. Jones-mátrixa. A következ kben mevizsgáljuk néhány eszköz Jones mátrixát. 5. péla: lineáris polarizátor, fáziskésleltet lemez, polarizációs forgató Írjuk fel a lineáris polarizátor, fáziskésleltet lemez és polarizáció forgató kocka Jones mátrixát! Lineáris polarizátor Az x-irányú lineáris polarizátor csak az x irányú polarizációt tartja meg: [ ] [ ] [ ] A2x 1 0 A1x A 2y 0 0 A 1y [ ] 1 0 T 0 0 Fáziskésleltet lemez 4. ábra. Forrás: Saleh-Teich: Funamentals of Photonics Az y-irányban φ fázikésleltetést ereményez fázistolólemez mátrixa: [ ] [ ] [ ] A 1x 1 0 A1x e i φ A 1y 0 e i φ A 1y [ ] 1 0 T 0 e i φ Két speciális esetet szoktunk kiemelni, a λ/4 -es és λ/2-es lemezt: λ/4-es lemez: φ π [ ] T 0 ±i [ ] 1 0 λ/2-es lemez: φ π T 0 1 A λ/4 -es lemez linárisan polarizált fényb l cirkulárisan polarizált fényt csinál, a λ/2 -es lemez peig balra cirkulárisan polarizált fényb l jobbra cirkulárisan polarizáltat csinál és forítva. 8

9 Polarizáció forgató lemez 5. ábra. Forrás: Saleh-Teich: Funamentals of Photonics A polarizáció forgató lemez a lineáris polarizáció irányát forgatja el Θ szöggel, miközben a lineáris polarizációs állapot megmara. A transzformáció mátrixa megegyezik a közismert, lineáris transzformáció forgatási mátrixával. [ ] [ ] [ ] A2x cosθ) sinθ) A1x A 2y sinθ) cosθ) A 1y [ ] cosθ) sinθ) T sinθ) cosθ) 6. péla: Tetsz leges szögben álló lineáris polarizátor Határozzuk meg az optikai tengellyel Θ szöget bezáró lináris polarizátor Jones-mátrixát! A Θ szöggel elforgatott koorinátatengely renszerben az ábrán x' és y' tengelyekkel jelölve) a Jones mátrix: [ ] T Az óramutató járásáva ellentétes irányban Θ szöggel való forgatás koorináta transzformáció mátrixa x x koorináta transzformáció): [ ] cosθ) sinθ) RΘ) sinθ) cosθ) 9

10 Az óramutató járásáva megyez irányban Θ szöggel való forgatás koorináta transzformáció mátrixa x x koorináta transzformáció): [ ] cosθ) sinθ) R Θ) sinθ) cosθ) Ha az x y renszerben kívánjuk felíni a T transzformációs mátrixot, akkor R Θ) koorináta transzformációt kell alkalmaznunk -Θ szöggel el kell forgatunk a tengelyeket). Az új x y renszerben felírva a transzformációt, a következ t kapjuk: T R Θ) 1 T R Θ) RΘ) T R Θ) [ ] [ ] [ ] cosθ) sinθ) 1 0 cosθ) sinθ) T sinθ) cosθ) 0 0 sinθ) cosθ) [ ] [ ] [ cosθ) sinθ) cosθ) sinθ) cos 2 ] Θ) sinθ)cosθ) sinθ) cosθ) 0 0 sinθ)cosθ) sin 2 Θ) 10