Héj / lemez hajlítási elméletek, felületi feszültségek / élerők és élnyomatékok

Átírás

1 Héj / leme hajlítási elméletek felületi fesültségek / élerők és élnomatékok Tevékenség: Olvassa el a bekedést! Jegee meg a héj és a leme definícióját! Tanulja meg a superpoíció elvét és a membrán állapot jellemőit! Héj: - Olan test amelnek egik mérete a másik két méretéhe képest kicsi A legkisebb méret elneveése: vastagság - Értelmehető köépfelület amel nem sík hanem görbült felület A köépfelületet a vastagsági méret feleéspontjai alkotják - A héj terhelése tetsőleges (köépfelülettel párhuamos és arra merőleges) erőrendser lehet Leme: - Olan test amelnek legkisebb (vastagsági) mérete lénegesen (sokkal kisebb mint a másik két jellemő mérete - Értelmehető köépfelület amel sík - A leme terhelése a köépsíkra merőleges erőrendser lehet Superpoíció elv: - Tetsőlegesen terhelt héj feladatának megoldása: membrán állapot és héj hajlítási feladat superpoíciója - Tetsőlegesen terhelt sík köépfelületű héj feladatának megoldása: ÁSF és leme hajlítási feladat superpoíciója Általánosított síkfesültségi állapot (ÁSF) A saját köépsíkjában terhelt leme (tárcsa) esete A fesültségek a vastagság mentén nem váltonak P e R e ϑ σϑ σϑ N ϑ p p N ϑ ϑ Membrán állapot A héjban fellépő fesültségek a vastagság mentén nem váltonak Pl: léggömb/belső nomással terhelt gömbhéj 61 Héj / leme hajlítási elméletek Tevékenség: Olvassa el a bekedést! Jegee meg a Kirchhoff - Love-féle héj/leme elmélet feltételéését a hipotéist és a geometriai jellemőket! Rajolja le a mechanikai modellt a sükséges jelölésekkel!

2 611 A Kirchhoff - Love-féle héj / leme elmélet A Kirchhoff 1 (kirhhof)-love (lav)-féle héj/leme elmélet nem vesi figelembe a nírási alakváltoást Et a elméletet sokás vékon héjak/lemeek elméletének is neveni Hipotéis: hajlításnál a köépfelület/köépsík normálisai a alakváltoás után is normálisai lesnek a alakváltoott köépfelületnek/köépsíknak és a normálisokon levő pontok távolsága nem váltoik A koordináta-rendsert a köépfelülethe/köépsíkho kötjük A köépfelülethe kötött menniségeket indesel különbötetjük meg Pl: P ( = ) P O P( ) köépsík b A geometriai hipotéis követkeméne: γ =γ = és = Fesültségi hipotéis: σ Tevékenség: Írja fel/jegee meg a elmodulásmeőt a alakváltoási állapotot és a fesültségi állapotot jellemő össefüggéseket! A hajlításból sármaó silárdságtani állapot lemeeknél: Elmodulásmeő: u( ) = w( e ) + e w - a köépsík iránú elmodulása (lehajlása) w w = e + e = e e - a köépsík normálisának sögelfordulása u ( ) =e e + we Alakváltoási állapot: w = = = =κ 1 γ w = = = =κ 1 A = γ w γ = + = = κ 1 Gustav Robert Kirchhoff ( ) német fiikus Augustus Edward Hough Love ( ) angol fiikus

3 κ κ κ - a köépfelület/köépsík görbületei (a köépfelület/köépsík alakváltoását jellemik) σ τ σ = E1 ( κ + νκ ) Fesültségi állapot: F = τ σ E σ = E1( κ + νκ ) E1 = 1 ν τ = E1 ( 1 ν) κ Megjegések: - A w ( ) lehajlásfüggvén ismeretében a test minden silárdságtani jellemője előállítható w meő második deriváltjai serepelnek - A potenciális energiában a ( ) Tevékenség: Olvassa el a bekedést! Jegee meg a Reissner-Mindlin-féle héj/leme elmélet feltételéését a hipotéist és a geometriai jellemőket! Rajolja le a mechanikai modellt a sükséges jelölésekkel! 61 A Reissner-Mindlin-féle héj/leme elmélet A Reissner 3 (rejsner) - Mindlin 4 -féle héj/leme elmélet figelembe vesi a nírási alakváltoást Et a elméletet sokás vastag héjak/lemeek elméletének is neveni Hipotéis: hajlításnál a köépfelület/köépsík normálisai a alakváltoásnál egenesek maradnak de nem lesnek merőlegesek a alakváltoott köépfelületre és a normálisokon levő pontok távolsága nem váltoik A geometriai hipotéis követkeméne: = γ = állandó γ = állandó a vastagság mentén Fesültségi hipotéis: σ A hajlításból és nírásból sármaó silárdságtani állapotok lemeeknél: > O > u =e e + w e u v - a normális tengel körüli sögelfordulása Elmodulásmeő: ( ) 3 Eris Reissner ( ) német sármaású amerikai matematikus mérnök 4 Ramond David Mindlin ( ) amerikai mérnök

4 - a normális tengel körüli sögelfordulása A és sögelfordulás független a w( ) lehajlásmeőtől: w w = ψ = ψ a és tengelek sögének megváltoása ψ a és tengelek sögének megváltoása 1 1 γ γ 1 1 Alakváltoási állapot: A = γ γ 1 1 γ γ = = =κ = = =κ γ = + = + =κ ψ w w w w γ = + = =ψ γ = + = =ψ σ τ Fesültségi állapot: F = τ σ E σ = E κ + νκ σ = 1 ( κ + νκ ) 1 ( ) τ 1 = E1 ν κ 1 E ( ) E = 1 ν τ = Gγ τ = Gγ a vastagság mentén nem állandó Megjegés: - A test mechanikai jellemőinek meghatároásáho három független meőt kell ismerni: w = ( ) ( ) ( ) - A potenciális energiában a w meők első deriváltjainál magasabb deriváltak nem serepelnek Tevékenség: Olvassa el a bekedést! Jegee meg a membrán állapot és a héj/lemehajlítás kiindulási adatait jellemőit! 6 Felületi fesültségek / élerők és élnomatékok Héj/leme mechanikai modellje a köépfelület/köépsík A mechanikai jellemőket a köépfelülethe/köépsíkho kötjük - Membrán állapot/ ÁSF u v Elmodulásmeő: ( ) ( )

5 Alakváltoási jellemők A vastagság mentén állandók Fesültségek Felületi fesültségek (élerők): N = σ d N = σ - Héj / leme hajlítás Elmodulásmeő: w( ) ( ) ( ) Alakváltoások fesültségek: γ σ σ τ Lineáris eloslásúak a vastagság mentén d N = N = τ d Tevékenség: Jegee meg a Kirchhoff - Love-féle és a Reissner-Mindlin-féle fesültségi jellemőket! Kirchhoff - Love: γ = γ = τ = τ = Egensúli egenletekből: τ τ parabolikus (Ellentmondás!) Reissner - Mindlin: γ = állandó γ = állandó τ = állandó τ = állandó Egensúli egenletből τ Reissner-Mindlin elméletből τ P P τ τ Tevékenség: Jegee meg a Kirchhoff - Love-féle és a Reissner-Mindlin-féle elméletek ellentmondásait hiánosságait! A Kirchhoff - Love-féle héj/leme elméletet sokás kiegésíteni a egensúli egenletekből sármatatott nírófesültségekkel A íg sámított τ τ nírófesültségek nincsenek össhangban a geometriai hipotéissel A Reissner-Mindlin-féle héj/leme elmélet serint meghatároott τ τ a elégíti ki a dinamikai peremfeltételeket t = ± helen nem A két nírási állapot energetikai egenértékűségét a κ nírási téneő beveetésével lehet bitosítani (Homogén iotróp anag esetén 5/6 κ= )

6 Felületi fesültségek/élerők (mindkét esetre): Q = τd Q = τd A τ τ általában kisebb mint a többi fesültség koordináta Q P Q Tevékenség: Jegee meg a vékon héj és leme feladatok domináns fesültségeit a felületi fesültségpárokat! Rajolja le a domináns fesültségeket bemutató ábrákat! Vékon héj és leme feladatoknál általában a σ σ τ fesültségek a dominánsak σ M P τ τ P M M σ M Felületi fesültségpárok/élnomatékok: M = σ d M = σ d A maimális fesültségek lemeeknél/héjaknál általában a van hajlítás!) M = M = τ d b = ± felületeken lépnek fel (ha