2.2. A z-transzformált
|
|
- Emília Fábiánné
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 22 MAM2M előadásjegyet, 2008/ A -transformált 2.. Egy információátviteli probléma Legyen adott egy üenetátviteli rendserünk, amelyben a üeneteket két alapjel mondjuk a és b segítségével kódoljuk és továbbítjuk. Egy üenet formája a a és b alapjelekből álló valamely véges hossúságú soroat. Például: abaabbb. Ilyen rendserekre példa lehet a telegráf vagy a binárisan kódolt adatátviteli rendserek (fax, internet, stb.). A rendserben a a alapjel átviteléhe k, míg a b alapjel átviteléhe k 2 időegységre van sükség (k és k 2 poitív egés). Tegyük fel a meghatároottság kedvéért, hogy k 2 k. Kérdés: Hány olyan egymástól különböő üenet (jelsoroat) van amelyek átviteléhe pontosan n időegység kell? Jelölje s n aon a egymástól különböő üeneteknek a sámát, amelyek pontosan n időegység alatt vihetők át. Ekkor s n teljesíti a s n = s n k + s n k2, n k 2 (2.) rekurív össefüggést, mivel két eset van: ha a utolsó átvitt alapjel k hossú volt, akkor előtte össesen s n k db különböő n k hossú jelsoroat lehet, ill. ha a utolsó átvitt alapjel k 2 hossú volt, akkor előtte össesen s n k2 féle n k 2 hossú jelsoroat lehetett. Termésetesen a rekurív képletünk akkor határoa meg egyértelműen a (s n ) soroatot, ha megadjuk a soroat első k 2 db kedeti értékét: s 0 = u 0, s = u,..., s k2 = u k2. Speciális eset: Legyen a a = átviteléhe sükséges idő egy egység, k = és a b = átviteléhe sükséges idő 2 egység, aa k 2 = 2. Ekkor Látható, hogy ebben a esetben a n s n lehetséges soroatok 2 2 ; 3 3 ; ; 4 5 ; ; ; ;. s n = s n + s n 2, n 2, s 0 =, s = rekurió adja a probléma megoldását. Ilyen rekurív soroatok megoldásai keresésére a -transformált módsert fogjuk alkalmani A -transformált Tekitsünk egy (x n ) valós vagy komplex sámokból álló soroatot. Ebben a fejeetben minden soroatról feltessük, hogy a indexe 0-val indul, n = 0,,2,... (E a alkalmaásokban nem megsorítás, hisen mindig át tudjuk úgy alakítani a soroat képletét, hogy a indexe 0-val kedődjön.)
2 2. A -transformált Definíció. At mondjuk, hogy a (x n ) soroatnak léteik a -transformáltja a C helyen, ha a x n X() = n sor konvergens. A x = (x n ) soroat C helyen vett -transformáltját a simbólumokkal sokás jelölni. X(), Z{x n }(), Z{x}() Valós vagy komplex sámsorok konvergenciájának ellenőrésére hasnálhatjuk például a gyökkritériumot. Et alkalmava a fenti sorra kapjuk, hogy X() léteik, aa a sor konvergens, ha n x n n xn lim = lim n n <, n és X() nem léteik, aa a végtelen sor nem konvergens, ha n x n n xn lim = lim n n >. n Jelölje eért n R = lim xn, n feltéve, hogy a határérték léteik. Ekkor a fenti sámolás at adja, hogy X() konvergens, ha > R, és X() divergens, ha < R. A R sámot a -transformált konvergenciasugárnak neveük. Ha R = 0, akkor X() léteik minden 0-ra. Megjegyeük, hogy ha a -transformált váltoóját helyettesítjük a w = / új váltoóval, akkor a X(/w) = x n w n hatványsort kapjuk, amit a soroat generátorfüggvényének hívunk. Látható, hogy a generátorfüggvény és a -transformált köött igen soros a kapcsolat. Kombinatorikában például gyakran hasnálják a generárotfüggvényt különböő feladatokban, de a differenciaegyenletek megoldására a -transformált módsert igen kényelmes hasnálni, hisen ennek a Laplace-transformáltho hasonló tulajdonságai vannak, ahogy et majd láthatjuk a fejeet során Példa. Sámítsuk ki a x n = a n, (a 0) soroat -transformáltját! A -transformált definícióját és a geometriai sor össegképletét alkalmava kapjuk > a ra, hogy Z{a n }() = a n n = ( a ) n = a = a. Valóban, a konvergenciasugár ebben a esetben R = lim n + n a n = a Példa. Tekintsük a x n = konstans soroatot. E a előbbi soroat speciális esete (a = ), eért Z{}() =, >.
3 24 MAM2M előadásjegyet, 2008/ Példa. A egység impulus soroat vagy más néven a Kronecker-delta soroat definíciója: adott k nemnegatív egésre δ n (k) legyen a követkeő { δ n (k), ha n = k = 0, ha n k. Definíció alapján Speciálisan, ha k = 0, akkor Z{δ (k) n }() = δ (k) n n = k, 0. Z{δ n (0) Példa. Tekintsük a Heaviside-soroatot vagy egységugrás soroatot, aa valamely k poitív egésre { u (k) 0, ha n < k n =, ha n k. Ekkor minden > -re Z{u (k) n }() = u (k) n n = n = k n = n=k k k = Tétel. Tegyük fel, hogy létenek olyan M 0 és a > 0 konstansok, hogy a (x n ) soroatra x n Ma n, minden n = 0,,... -re. Ekkor a (x n ) soroatnak léteik a -tansformáltja minden > a-ra. Bionyítás: Mivel a feltétel serint ( ) x n a n n M, és M ( ) a n konvergens, ha > a, eért a majoráns kritérium alapján a x n n sor is absolút konvergens, aa a -transformált léteik. Adott k > 0 egés, a,...,a k valós konstansok, (b n ) valós soroat. A x n = a x n + a 2 x n a k x n k + b n, n = k,k +,... (2.2) egyenletet k-adrendű konstans együtthatós lineáris rekurív differenciaegyenletnek hívjuk. A egyenlet egyértelműen definiál egy (x n ) soroatot, ha megadjuk a soroat első k darab tagját: x 0 = u 0,...,x k = u k, (2.3) ahol u 0,...,u k adott sámok. A követkeő állítás értelmében a (2.2) (2.3) rekurív soroat mindig exponenciálisan korlátos, feltéve, hogy a (b n ) soroat is a. Ebből követkeik, hogy a (2.2) egyenlet megoldásának mindig léteik a -transformáltja elég nagy -re Tétel. Tegyük fel, hogy a (b n ) soroat exponenciálisan korlátos, aa létenek olyan B 0 és b sámok, hogy b n Bb n minden n = k,k +,... egés sámra. Ekkor a (2.2) (2.3) rekurív soroat is exponenciálisan korlátos, aa létenek olyan M 0 és a sámok, hogy x n Ma n, n = 0,,2,...
4 2. A -transformált A -transformált tulajdonságai 2.8. Tétel (Linearitás). Legyen X() a (x n ) soroat -transformáltja, amely konvergencia sugara R és legyen Y () a (y n ) soroat -transformáltja, amely konvergencia sugara R 2. Ekkor bármely a és b komplex sámokra Z{ax n + by n }() = ax() + by (), > max{r,r 2 }. Bionyítás: Legyen > max {R,R 2 }. Ekkor (ax n + by n ) n a x n n + b y n n <, tehát a bal oldalon álló -transformált is léteik, és a értéke Z{ax n + by n }() = (ax n + by n ) n = a x n n + b y n n = ax() + by () Példa. Sámítsuk ki a x n = sinan soroat -transformáltját! A Euler-formula serint sin an = eian e ian, 2i így a -transformált linearitását hasnálva Z{sin an} = 2i Hasonlóan megmutatható, hogy ( Z{e ian } Z{e ian } ) = 2i ( e ia = 2 e ia 2 + e ia 2i 2 (e ia + e ia ) + = sin a 2 2 cos a +. ) e ia Z{cos an} = 2 cos a 2 2 cos a +. Bionyítás nélkül tekintsük a követkeő állítást: 2.0. Tétel (Unicitás tétel). Legyen a (x n ) és (y n ) két soroat, amelyek X = Z{x n } és Y = Z{y n } -transformáltjai konvergensek a > R, illetve > R 2 tartományokban. Ha X() = Y (), > max{r,r 2 }, akkor x n = y n, minden n = 0,,2,...-re. A 2.0. Tétel serint tehát a -transformáltnak egyértelmű inver művelete léteik, amelyet inver -tranformáltnak hívunk, és Z -gyel jelölünk. Aa ha Z{x n }() = X(), akkor Z (X) = x n. A -transformált linearitásából könnyen igaolható a alábbi tulajdonság. 2.. Tétel. A inver -transformált lineáris, aa minden a és b konstansra Z {ax() + by ()} = az {X()} + bz {Y ()}.
5 26 MAM2M előadásjegyet, 2008/ Példa. Sámítsuk ki a X() = függvény inver -transformáltját! A neveő sorattá alakítható, így parciális törtekre alakítjuk a kifejeést, de egy sorótényeőt elősör kiemelünk: eért = ( ) = , Z {X()} = 2 3 ( 5)n + 3 4n Példa. Sámítsuk ki a X() = függvény inver -transformáltját! A neveő nem alakítható sorattá, így a sinus és kosinus aonosságokra veetjük vissa a sámolást: = = cos π 3 + = 4(2 2 ) cos π 3 + eért 2 cos π 3 = cos π sin π cos π 3 +, ( π ) Z {X()} = 4cos 3 n + 2 ( π ) 3sin 3 n Tétel (Eltolás). Legyen (x n ) olyan soroat, amelyet (tesőleges módon) kiterjestünk negatív indexekre is, legyen u (k) n a egységugrás soroat. Legyen továbbá a X = Z{x n } - transformált konvergencia sugara R, és legyen k > 0 rögített egés. Ekkor (a) Z{u (k) n x n k } = k X(), > R, (eltolás jobbra) (b) Z{x n+k } = k X() k Bionyítás: A (a) rés követkeik a u (k) n x n k n = x n k n = x n k n, > R, (eltolás balra). n=k x j (j+k) = k x j j össefüggésekből, ahol a j = n k helyettesítést hasnáltuk. A (b) állítás hasonlóan adódik a j = n + k helyettesítéssel: k x n+k n = x j k j = k x j j x j j. j=k
6 2. A -transformált Tétel. Legyen a 0 komplex sám. Ha a (x n ) soroat X = Z{x n } -transformáltjának konvergencia sugara R, akkor ( Z{a n x n }() = X, > R a. a) Bionyítás: Egyserű sámolással kapjuk Z{a n x n }() = a n x n n = ( x n a ) n = X ( a), ha a > R. A eltolási tétel lehetőséget ad differenciaegyenletek megoldására Példa. Oldjuk meg a x n+ = 3x n, x 0 = differenciaegyenletet! Vegyük a egyenlet mindkét oldalának -transformáltját és hasnáljuk a kedeti feltételt: aa X() x 0 = 3X(), ( 3)X() =, X() = 3 ( )( 3). Inver -transformáltat sámolva { } { ( x n = Z 3 = Z ( )( 3) )} 2 3 { = Z } = 2 2 3n Tétel. Ha a (x n ) soroat X = Z{x n } -transformáltjának konvergencia sugara R, akkor X () = Z{nx n }(), > R, általában, ( ) k k X (k) () = Z{n(n + ) (n + k )x n }(), > R. Bionyítás: A -transformált konvergenciasugara definíciójából követkeik, hogy a g(w) = x nw n hatványsor konvergál a w < /R tartományon. Tudjuk, hogy egy hatványor tagonként differenciálható a konvergenciatartományán belül, aa g (w) = nx n w n, n= w < /R.
7 28 MAM2M előadásjegyet, 2008/2009 Mivel g(w) = X(/w), eért ( ) w 2X = g (w) = w aa ( ) w X = w A = /w helyettesítéssel kapjuk nx n w n, n= nx n w n. X () = nx n n = Z{nx n }(), > R. A második állítás teljes indukcióval könnyen igaolható Példa. Sámítsuk ki a x n = n soroat -transformáltját! A 2.7. Tételt alkalmava Z{n} = Z{n } = d ( ) ( ) = d ( ) 2 = ( ) Példa. Sámítsuk ki a x n = n 2 soroat -transformáltját! A 2.7. Tételt alkalmava újra Z{n 2 } = Z{n n} = d ( ) d ( ) 2 = ( )2 2( ) ( + ) ( ) 4 = ( ) Példa. Oldjuk meg a kedeti érték feladatot! -transformáltat sámolva x n+2 4x n+ + 4x n = u (2) n, x 0 = 0, x = 0 2 X() 2 x 0 x 4X() + 4x 0 + 4X() = amiből a kedeti feltételeket is hasnálva követkeik X() = Sámítsuk ki elősör { } Z ( 2) 2 ( ) ( ), ( )( ) = 2 ( 2) 2 ( ). ( = Z { = { 2 Z ( 2) 2 /2 (/2 ) 2 = 2 2n n 2 n + = 2 n n 2 n )} } { Z 2 } { } + Z
8 2. A -transformált 29 Eért a jobbra eltolási tételt hasnálva x n = u (2) ( n 2 n 3 (n 2) 2 n 2 + ). A Z {X()} inver -tansformáltat kisámolhatjuk úgy is, hogy kiindulunk a ( X() = 2 ( 2) 2 ( ) = ( 2) ) = ( 2) alakból. Eért x n = 4 δ() n 2 δ(0) n + 8 2n n 2 2n +. Ellenőrihető, hogy a fenti két képlet ugyanat a soroatot generálja. Bionyítás nélkül tekintsük a alábbi eredményt Tétel (Kedeti- és végérték tétel). Legyen X = Z{x n }. Ekkor (a) Kedeti érték állítás: lim X() = x 0, + (b) Végérték állítás: lim x n = lim( )X() n + (feltéve, hogy e a határérték léteik) Definíció. A x = (x n ) és y = (y n ) soroatok konvolúciója alatt at a x y-nal jelölt soroatot értjük, amely általános tagja a követkeő össefüggéssel definiált: n (x y) n = x n j y j, n = 0,,2,.... Egyserű sámolás mutatja, hogy (x y) n = n x j y n j, n = 0,,2,.... Sokás egyserűen a x n y n jelölést is hasnálni a konvolúciós soroat n-edik tagjára. Könnyen ellenőrihetők a konvolúció alábbi tulajdonságai: Állítás. Minden x, y, w soroatra teljesül (a) kommutativitás: x y = y x, (b) associativitás: (x y) w = x (y w), (c) distributivitás: (x + y) w = x w + y w, (d) x O = O, ahol O n 0 a aonosan nulla soroat Tétel (Konvolúciós tétel). Ha x = (x n ) és y = (y n ) két soroat, amelyek X = Z{x n } és Y = Z{y n } -transformáltjainak a konvergencia sugara R, illetve R 2, akkor aok konvolúciójának -transformáltja is léteik, és Z{x y}() = X()Y (), > max{r,r 2 }.
9 30 MAM2M előadásjegyet, 2008/ Alkalmaás Térjünk vissa a 2.. sakasban definiált információátviteli probléma speciális esetéhe: Példa. Sámoljuk ki a s n = s n + s n 2, n 2, s 0 =, s = rekurív össefüggéssel definiált (s n ) soroat képletét! A -transformált kényelmes alkalmaásáho írjuk át a rekurív egyenletet a s n+2 = s n+ + s n, n 0 alakba. Legyen S = Z{s n }. Ekkor mindkét oldal -transformáltját véve és alkalmava a eltolási tételt kapjuk, hogy ahova a kedeti értékeket behelyettesítve aa 2 S() 2 s 0 s = S() s 0 + S(), ( 2 )S() = 2, S() = 2 2. S() inver -transformáltjának meghatároásáho parciális törtekre bontunk, de úgy, hogy egy sorótényeőt meghagyunk a sámlálóban: 2 2 = 2 ( A ( )( 2 ) = + B ), 2 ahol Et végigsámolva kapjuk = + 5 2, 2 = 5. 2 A = 2 = 5 és B = 2 2 = 2 5, és így Ennek inver -transformáltját véve ( s n = n 2 2 n = S() = ) n+ ( ) n+ 5, n = 0,,2, Példa. Oldjuk meg a x n+ 4y n =, y n+ x n = 0, x 0 =, y 0 =
10 x n = 4 3 ( 2)n 3, y n = 2 3 ( 2)n A -transformált 3 differenciaegyenlet-rendsert! A egyenletek mindkét oldalának -transformáltját véve így a kedeti feltételeket hasnálva X() x 0 4Y () = Y () y 0 X() = 0, X() 4Y () = + Y () X() =. A algebrai egyenletrendsert megoldva kapjuk ( ( 2) 4 X() = ( )( + 2) = ) 3 2 ( Y () = ( )( + 2) = ). 3 Eért a megoldás
26 Győri István, Hartung Ferenc: MA1114f és MA6116a előadásjegyzet, 2006/2007
6 Győri Istvá, Hartug Ferec: MA4f és MA66a előadásjegyet, 006/007. A -trasformált.. Egy iformációátviteli probléma Legye adott egy üeetátviteli redserük, amelybe a üeeteket két alapjel modjuk a és b segítségével
Részletesebben7. feladatsor: Laplace-transzformáció (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyésmérnöki, Biomérnöki, Környeetmérnöki sakok, 017/18 ős 7. feladatsor: Laplace-transformáció (megoldás) 1. A definíció alapján sámoljuk ki a követkeő függvények Laplace-transformáltját.
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
Részletesebbenx = 1 egyenletnek megoldása. Komplex számok Komplex számok bevezetése
Komplex sámok Komplex sámok beveetése A valós sámok körét a követkeőképpen építettük fel. Elősör a termésetes sámokat veettük be. Itt két művelet volt, a össeadás és a sorás (ismételt össeadás A össeadás
RészletesebbenFeladatok Oktatási segédanyag
VIK, Műsaki Informatika ANAÍZIS () Komplex függvénytan Feladatok Oktatási segédanyag A Villamosmérnöki és Informatikai Kar műsaki informatikus hallgatóinak tartott előadásai alapján össeállította: Frit
RészletesebbenMatematika M1 Gyakorlat
Matematika M Gyakorlat BME - Gépésmérnök MSc Gyakorló Feladatsor. Zh. Határoa meg a α paraméter értékét úgy hogy a vx y = αx y xy 4y 3 3 kétváltoós függvény egy reguláris komplex függvény képetes rése
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenA feladatsorok összeállításánál felhasználtuk a Nemzeti Tankönyvkiadó RT. Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I III. példatárát.
Oros Gyula, 00. november Emelt sintű érettségi feladatsor Össeállította: Oros Gyula; dátum: 00. október A feladatsorok össeállításánál felhasnáltuk a Nemeti Tankönyvkiadó RT. Gyakorló és érettségire felkésítő
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenFelsőbb Matematika Informatikusoknak D házi feladatok a Sztochasztika 2 részhez 2013 tavasz
Felsőbb Matematika Informatikusoknak D hái feladatok a Stochastika réshe tavas Minden héten össesen egy pontot érnek a kitűött feladatok HF: (Beadási határidő: 4) HF Egy kétsemélyes internetes vetélkedő-játékban
RészletesebbenPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenFizika A2E, 5. feladatsor
Fiika A2E, 5. feladatsor Vida György Jósef vidagyorgy@gmail.com. feladat: Mi a homogén E térer sség potenciálja? A potenciál deníciója: E(x,y, = U(x,y,, amely kifejtve a három komponensre: Utolsó módosítás:
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenSorozatok, sorozatok konvergenciája
Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő exponenciális egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) 5 3 x 2 2 y = 7 2 3 x + 2 y = 10 7 x+1 6 y+3 = 1 6 y+2 7 x = 5 (6 y + 1) c) 25 (5 x ) y = 1 3 y 27 x = 3 Megoldás:
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
RészletesebbenKALKULUS INFORMATIKUSOKNAK II.
Írta: GYŐRI ISTVÁN PITUK MIHÁLY KALKULUS INFORMATIKUSOKNAK II. Egyetemi tananyag 2011 COPYRIGHT: 2011 2016, Dr. Győri István, Dr. Pituk Mihály, Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Matematika Tanszék
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
RészletesebbenGyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz
Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Függvények. Viszgaljuk meg, hogy az alabbi fuggvenyek kozuk melyik injektv, szurjektv, illetve bijektv? F : N N, n n b) F : Q Q, c) F : R R, d) F : N N, n n e) F
Részletesebben4. Laplace transzformáció és alkalmazása
4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:
RészletesebbenAnalízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport
Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2012. okt. 19. Elméleti kérdések A csoport 1. Hogyan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komplex szám szorzatát más alakba való
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
RészletesebbenSZÁMELMÉLET. Szigeti Jenő
SZÁMELMÉLET Sigeti Jeő. OSZTHATÓSÁG A osthatósággal kapcsolatba égy alapvető eredméyt kölük bioyítás élkül. Jelölje φ() a {,,..., } halmaból ao elemek sámát, amelyek relatív prímek a -he. Ha például p
RészletesebbenElérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont
Villamosmérnök Szak Távoktatás 2. félév Matematika kollokvium 2008. dec. 20. Név: Neptun Kód: Tanár: Fel.: Elm.: Hf.: Össz.: Oszt.: Vajda István Rendelkezésre álló idő: 105 perc Elérhető maximális pontszám:
Részletesebben1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
Részletesebben15. Többváltozós függvények differenciálszámítása
5. Többváltoós függvének differenciálsámítása 5.. Határoa meg a alábbi kétváltoós függvének elsőrendű parciális derivált függvéneit és a gradiens függvénét, valamint eek értékét a megadott pontban:, =
Részletesebben4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim
Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
Részletesebben2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel
2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenMátrix-exponens, Laplace transzformáció
2016. április 4. 2016. április 11. LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET RENDSZEREK ÉS A MÁTRIX-EXPONENS KAPCSOLATA Feladat - ismétlés Tegyük fel, hogy A(t) = (a ik (t)), i, k = 1,..., n és b(t) folytonos mátrix-függvények
RészletesebbenHÁZI FELADAT megoldási segédlet PONTSZERŐ TEST MOZGÁSA FORGÓ TÁRCSA HORNYÁBAN 2. Anyagi pont dinamikája neminerciarendszerben
HÁZI FELADAT megolási segélet PONTSZEŐ TEST MOZGÁSA FOGÓ TÁCSA HONYÁBAN. Anyagi pont inamikája neminerciarenserben. A pont a tárcsán egyenes pályán moog, mert a horony kénysert jelent a mogása sámára.
RészletesebbenDifferenciál és integrálszámítás diszkréten
Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenHatványsorok, Fourier sorok
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés
RészletesebbenMinden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
RészletesebbenFourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.
Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
RészletesebbenVIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2.
VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2. 208. november Sorok. Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, adjuk meg a határértéküket! n(n+3) n(n+)(n+2) 9n 2 3n 2 ( n + 2 2 n + + n) 2n+ n 2 (n+) 2 (f) ( 3) k+2
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
RészletesebbenGyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:
RészletesebbenALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK
ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával
Részletesebbencos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4
Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
Részletesebben(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1
Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya,
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor
RészletesebbenFeladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.
Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
RészletesebbenSorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2
Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt
RészletesebbenProgramtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenMarkov-láncok stacionárius eloszlása
Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,
RészletesebbenBevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
RészletesebbenKomplex függvénytan. Farkas Barnabás
Komplex függvénytan Farkas Barnabás El só A jegyet els sorban a Budapesti M saki és Gadaságtudományi Egyetem villamosmérnök hallgatóinak késült, harmadik féléves matematika tanulmányaik (A3) komplex fügvénytani
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
Részletesebben2. Fourier-elmélet Komplex trigonometrikus Fourier-sorok. 18 VEMIMAM244A előadásjegyzet, 2010/2011
8 VEMIMAM44A előadásjegyzet, /. Fourier-elmélet.. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [, ], C Hilbert-teret, ahol a skaláris szorzat definíciója f, g ftgt dt. Tekintsük a [, ] intervallumon
RészletesebbenMágneses momentum mérése vibrációs magnetométerrel
Beveetés Mágneses momentum mérése vibrációs magnetométerrel A mérés célja megismerkedni egy makroskopikus minta mágneses dipólmomentumának mérésével, valamint megvisgálni egy lágymágneses anyag momentumának
Részletesebbenkonvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!
1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenTevékenység: Olvassa el a jegyzet oldalain található tananyagát! Tanulmányozza át a segédlet 11. fejezetében lévı kidolgozott feladatot!
3.2. Lánchajtások Tevékenység: Olvassa el a jegyet 163-173 oldalain található tananyagát! Tanulmányoa át a segédlet 11. fejeetében lévı kidolgoott feladatot! A tananyag tanulmányoása köben a alábbiakra
RészletesebbenDifferenciálegyenletek. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:
RészletesebbenKomplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 4 IV HATVÁNYSOROk 1 ELmÉLETI ALAPÖSSZEFÜGGÉSEk Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények, függvénysornak nevezzük Ha a tagok hatványfüggvények, akkor a sor neve hatványsor
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenMatematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:
RészletesebbenMesterséges Intelligencia 1
Mesterséges Intelligencia Egy ember kecskét, farkast és kápostát seretne átvinni egy folyón, de csak egy kis csónakot talál, amelybe rajta kívül csak egy tárgy fér. Hogyan tud a folyón úgy átkelni, hogy.
RészletesebbenRobottechnika II. 1. Bevezetés, ismétlés. Ballagi Áron Automatizálási Tanszék
Robottechnika II. 1. Beveetés, ismétlés Ballagi Áron Automatiálási Tansék Bemutatkoás Dr. Ballagi Áron tansékveető-helettes, egetemi docens Automatiálási Ts. C71, 3461 Autonóm és Intelligens Robotok Laboratórium
RészletesebbenSorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
Részletesebben2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.
. Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
RészletesebbenLineáris programozás 2 Algebrai megoldás
Lineáris progrmoás Algeri megoldás Késítette: Dr. Árhám István A lineáris progrmoási feldtok mátriritmetiki lkji A LP feldtok lgeri megoldás függ feldt típsától. Tekintsük át eeket! Normál feldt A ( )
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
RészletesebbenFourier transzformáció
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Fourier transzformáció Fourier transzformáció, heurisztika Tekintsük egy 2L szerint periodikus függvény Fourier sorát: f (x) = a 0 2 + ( ( nπ ) ( nπ )) a n cos
Részletesebben