2. Fourier-elmélet Komplex trigonometrikus Fourier-sorok. 18 VEMIMAM244A előadásjegyzet, 2010/2011

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "2. Fourier-elmélet Komplex trigonometrikus Fourier-sorok. 18 VEMIMAM244A előadásjegyzet, 2010/2011"

Átírás

1 8 VEMIMAM44A előadásjegyzet, /. Fourier-elmélet.. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [, ], C Hilbert-teret, ahol a skaláris szorzat definíciója f, g ftgt dt. Tekintsük a [, ] intervallumon definiált t e ikt komplex értékű függvények rendszerét: S def { } e ikt : k, ±, ±,... Megmutatjuk, hogy S ortogonális rendszer [, ], C-ben... Állítás. A. képlettel definiált S függvényrendszer ortogonális rendszer az [, ], C Hilbert-térben. Bizonyítás: egyen k l, és tekintsük következő skaláris szorzatokat:. e ikt, e ilt ik l e ikt e ilt dt [e ik lt] t t e ikt e ilt dt e ik lt dt [ ] e ik l ik l. Tehát S egy ortogonális rendszert alkot [, ], C-ben. Számítsuk ki S elemeinek normáit: / / / e ikt e ikt, e ikt e ikt e dt ikt e ikt e dt ikt dt,. ha k Z. Ezért definiáljuk az S C def { } e ikt : k, ±, ±,....3 függvényrendszert. Ez már ortonormált rendszer lesz [, ], C-ben, sőt belátható, hogy maximális is:.. Tétel. A.3 képlettel definiált S C halmazrendszer maximális ortonormált rendszer az [, ], C Hilbert-térben. Alkalmazható tehát az S C függvényrendszerre az.67. Tétel, azaz például az [, ], C tér elemeit az S C rendszerre vonatkozó Fourier-sorba fejthetjük, és a Fourier-sor konvergál az normában az adott függvényhez. Az.67. Tétel jelölését használva: f f, e ikt e ikt. k Z

2 . Fourier-elmélet 9 Ennek megfelelően az f [, ], C komplex trigonometrikus Fourier-során az ft k végtelen sort értjük, ahol a c k Fourier-együtthatók képlete c k f, e ikt c k e ikt.4 Azt mondjuk, hogy a t [, ] pontban az f Fourier-sora konvergens, ha az s n t n k n c k e ikt, n,,..., fte ikt dt..5 szimmetrikus részletösszegek sorozata konvergens, n esetén. Azt mondjuk, hogy az f függvény Fourier-sora normában vagy négyzetintegrálban konvergál az f függvényhez, ha f s n ft s n t dt, ha n. Világos az eddigiek alapján, hogy a négyzetintegrálban való konvergenciából nem következik a pontonkénti konvergencia. A definícióból, a skaláris szorzat linearitásából és a konvergens sorok tulajdonságaiból rögtön következik, hogy a Fourier-sor számítása lineáris művelet az alábbi értelemben:.3. Állítás. egyen f, f [, ], C, α C. Ekkor. az f + f függvény Fourier-sora az f és f függvények Fourier-sorainak összege,. az αf függvény Fourier-sora az f függvény Fourier-sorának α-szorosa. Az S C halmazrendszer maximalitásából és az.67. Tételből rögtön következik az alábbi eredmény..4. Tétel. egyen S C a.3 képlettel definiált halmazrendszer. Ekkor a következő állítások teljesülnek.. Ha valamely f [, ], C függvényre c k fte ikt dt, k, ±, ±,... azaz az f függvény Fourier-együtthatói nullák, más szóval az f merôleges az S C halmazra f S C, akkor ft, m.m. t [, ]-re.. Az f függvény Fourier-sora négyzetesen konvergál az f függvényhez, azaz n ft c k e ikt dt, ha n. 3. Teljesül a Parseval-azonosság, azaz k n f ft dt k c k lim n n k n c k.

3 VEMIMAM44A előadásjegyzet, / Bizonyítás nélkül tekintsük az alábbi fontos eredményt..5. Tétel Riesz Fisher-tétel. Tetszôleges olyan γ k C, k, ±, ±,..., konstansokhoz, amelyekre γ k < k teljesül, létezik olyan f [, ], C függvény, hogy γ k fte ikt dt c k azaz γ, γ ±, γ ±,... az f függvény Fourier-együtthatói, és négyzetintegrálban konvergál f-hez. k γ k e ikt A Riesz Fisher-tételt alkalmazva kapjuk, hogy ha egy f [, ], C függvényhez hozzárendeljük a Fourier-együtthatóinak c k k Z két irányban végtelen sorozatát, akkor egy lineáris izomorfiát kapunk a [, ], C és a négyzetesen összegezhető két irányban végtelen sorozatok Banach-tere között. Ha ebben a térben egy c k k Z sorozat normáját a c k k c k / képlettel értelmezzük, akkor a fenti lineáris izomorfia izometria is lesz a Parseval-formula miatt..6. Megjegyzés. Ha f és g két szerint periodikus függvény, akkor ftgt dt ftgt dt, ezért az S C függvényrendszer az [, π], C Hilbert-téren is maximális ortonormált, továbbá az S C -re vonatkozó Fourier-sor az [, π], C Hilbert-téren is.4 alakú lesz, ahol a c k Fourier-együtthatókat a c k fte ikt dt képlettel számoljuk ki..7. Megjegyzés. Az előbbi meggondolást általánosíthatjuk. Ha f és g két szerint periodikus függvény, akkor az ft f t b a és gt g t b a összetett függvények b a szerint periodikus függvények lesznek, és b a ft gt dt b a f t t g dt b a b a b a b b a a b a fxgx dx b a fxgx dx, speciálisan, f [a,b],c b a f [,],C.

4 . Fourier-elmélet Ezért az S C halmaz elemeit a b a az [a, b] intervallomon értelmezett t ik b a e S [a,b] def együtthatóval megszorozva és új változót bevezetve tekintsük b a t függvényekből álló { } ik e b a t : k, ±, ±,... b a függvényrendszert. Ez maximális ortonormált rendszer lesz az [a, b], C Hilbert-téren. Egy f [a, b], C függvény Fourier-során ezért az ik f c k e b a t k végtelen sort értjük, ahol a c k Fourier-együtthatók képlete c k b a b a ik fte b a t dt, k, ±, ±,.... A.4. Tétel értelemszerűen kiterjeszthető [a, b], C-re... Valós trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [, π], R Hilbert-teret. egyen S def {, cos x,x,cos x,x,cos 3x,3x,...,cos kx,kx,...} a [, π]-n értelmezett függvények halmaza. Megmutatjuk, hogy az S halmaz ortogonális rendszer [, π], R-ben..8. Állítás. Az S függvényhalmaz ortogonális rendszer az [, π], R Hilbert-térben. Bizonyítás: Az állítás direkt módon is könnyen belátható, de most mi az S ortogonalitását az előző szakaszban bevezetett S függvényhalmaz ortogonalitását felhasználva indokoljuk. egyen k N. A cos kx eikx + e ikx és kx eikx e ikx i Euler-képletek értelmében kx és cos kx lineáris kombinációja az e ikx és e ikx függvényeknek. Ez persze fordítva is teljesül, az e ikx és e ikx függvények is felírhatók kx és cos kx lineáris kombinációjaként. Ezért az.58. Állítás szerint, ha egy függvény ortogonális az eikx és e ikx függvényekre, akkor ortogonális a kx és cos kx függvényekre is. Ezért a.6. Megjegyzést alkalmazva kapjuk, kx és cos kx is ortogonális bármely e ilx függvényre, ahol l k. De ekkor a fentiekből következik, hogy kx és cos kx ortogonális bármely lx és cos lx függvényre, valamint a konstans függvényre is. Most már csak azt kell belátni, hogy kx és cos kx egymásra is ortogonális. A.. Állítás és. alapján kapjuk e ikx + e ikx cos kx,kx, eikx e ikx i e ikx, e ikx e ikx, e ikx + e ikx, e ikx e ikx, e ikx 4ī + 4ī Ezzel a bizonyítás teljes..

5 VEMIMAM44A előadásjegyzet, / Számítsuk ki S elemeinek normáját. egyen k. Ekkor e ikx + e ikx cos kx, eikx + e ikx / e ikx, e ikx + e ikx, e ikx + e ikx, e ikx + e ikx, e ikx / Hasolóan kapjuk, hogy π. e ikx e ikx kx, eikx e ikx / π, i i valamint a konstans függvény normája Kaptuk tehát a következő eredményt: / dx. /.9. Állítás. Az S R def {, cos x, x cos x,, x cos kx,..., kx },... π π π π π π.6 függvényrendszer ortonormált rendszer az [, π], R Hilbert-térben. Az.67. Tétel szerint az [, π], R tér elemeit az S R rendszerre vonatkozó Fourier-sorba fejthetjük, és a Fourier-sor konvergál az normában az adott függvényhez. Az.67. Tétel jelölését használva: fx fx, + cos kx cos kx fx, + π π fx, kx π kx π. Ennek megfelelően az f [, π], R valós trigonometrikus Fourier-során az fx a + a k cos kx + b k kx.7 végtelen sort értjük, ahol az a, a,...,b, b,... Fourier-együtthatók képlete a k π b k π fxcos kx dx k,,...,n,....8 fx kx dx k,,...,n....9 Az.67. Tételből rögtön következik a.4. Tétel valós Fourier-sorokra vonatkozó alakja... Tétel. egyen S R a.6 képlettel definiált halmazrendszer. Ekkor

6 . Fourier-elmélet 3. Ha valamely f [, π], R függvényre és a k π b k π ftcos kx dx, k,,... ft kx dx, k,,..., azaz az f függvény összes Fourier-együtthatója nulla, más szóval az f merôleges az S R halmazra, akkor fx, m.m. x [, π]-re.. Az f függvény Fourier-sora négyzetintegrálban konvergál az f függvényhez, azaz fx a n a k cos kx + b k kx dx, n. 3. Parseval-azonosság: a + a k + b k π f xdx. A Riesz Fisher-tétel valós Fourier-sorokra vonatkozó alakja:.. Tétel Riesz-Fischer tétel. Tetszôlegesen elôírt a, a k, b k k valós számokhoz, amelyekre a + a k + b k <, van olyan f [, π], R függvény, hogy a, a,...,a k,...,b,...,b k,... az f függvénynek az S R rendszerre vonatkozó Fourier-együtthatói. A.7. Megjegyzésnek megfelelően egy tetszőleges [, ] halmazon értelmezett valós függvénynek értelmezhetjük a Fourier-sorát... Megjegyzés. Tekintsük a [, ] intervallumon értelmezett { πx πx x x def cos S R,, cos,,,,..., cos kπx, } kπx,... függvényrendszert. Ez maximális ortonormált rendszer lesz az [, ], R Hilbert-térben. Egy f [, ], R függvény Fourier-során az fx a + a k cos kπx + b k kπx végtelen sort értjük, ahol az a k, b k Fourier-együtthatók képlete a k b k f x cos kπx f x kπx dx, k,,..., dx, k,,..... Most megmutatjuk, hogy valós függvényekre a komplex trigonometrikus Fourier-sor egybeesik a valós trigonometrikus Fourier-sorral.

7 4 VEMIMAM44A előadásjegyzet, /.3. Állítás. egyen f [, π], R. Ekkor f-nek az S C és az S R rendszerekre vonatkozó Fourier-sora megegyezik. Bizonyítás: egyen f [, π], R valós függvény, és legyenek a c k, a k és b k konstansok a.5,.8 és.9 képletekkel definiálva. Ekkor az f komplex Fourier-sora fx k c k e ikx c + c k e ikx + Másrészt az Euler-azonosság alapján és így c k fue iku du k c k e ikx c + c k e ikx + c k e ikx. fucos ku du i fu ku du c k fue iku du fucos ku du + i fu ku du c k, Ezt felhasználva fx k c k e ikx c k e ikx c k e ikx, k,,.... c k e ikx c + c k e ikx + c k e ikx c + Re c k e ikx. Ugyanakkor Re c k e ikx [ π Re π fucos ku du π a k cos kx + b k kx, fucos ku du i cos kx + π fu ku du fu ku du ] cos kx + i kx kx továbbá Ezért fx k c a fxdx. c k e ikx a + a k cos kx + b k kx. Azt mondjuk, hogy az f függvény Fourier-sora tiszta szinuszos sor, ha csak szinuszos tagokat tartalmaz, azaz a k minden k,,,...-re. Ha pedig f Fourier-sora csak koszinuszos tagokat tartalmaz, azaz b k minden k,,...-re, akkor azt mondjuk, hogy a Fourier-sor tiszta koszinuszos sor..4. Állítás. egyen f [, ], R.. Ha f páratlan függvény, akkor a Fourier-sora tiszta szinuszos sor.. Ha f páros függvény, akkor a Fourier-sora tiszta koszinuszos sor.

8 . Fourier-elmélet 5 Bizonyítás:. Tegyük fel, hogy f páratlan. Ekkor az fxcos kπx a k. Ha f páros, akkor az fx kπx b k fxcos kπx dx, k,,,.... függvény lesz páratlan, ezért függvény is páratlan, ezért fx kπx dx, k,, Példa. Tekintsük a szerint periodikus f : R R függvényt, amelyre f x x, ha π x < π. Fejtsük f-et Fourier-sorba! Vegyük észre, hogy f páratlan függvény, így csak a szinuszos tagok együtthatóit kell kiszámolni: Parciális integrálással kapjuk xkx dx [ x [ x b k π ] cos kx π k cos kx k xkx dx. + cos kx dx k [ ] kx π ] π + k k cos kπ + cos kπ + k k k kπ k kπ k cos kπ. Tehát és így b k k cos kπ k k, k,,..., fx x x + 3x 4x Példa. Tekintsük most a szerint periodikus f : R R függvényt, amelyre f x x, ha x <. Az előző példához hasonló módon végigszámítható, hogy b k x kπx dx kπ k, k,,..., így fx π πx x + 3πx 3 4πx 4 +.

9 6 VEMIMAM44A előadásjegyzet, / Ezt az eredményt megkaphatjuk úgy is, hogy definiáljuk a gt f π t, t R függvényt. Ekkor g szerint periodikus és gt πt, ha t [, π, így az előző példából is megkapható a sorfejtés..7. Példa. egyen f : R R olyan α szerint periodikus függvény, amelyre fx x, α < x < α, ahol α olyan valós szám, amelyre α > és α kπ, k,,.... Mivel f páratlan függvény, a Fourier-sora csak szinuszos tagokat tartalmaz, amelyek együtthatói b k b k α és b k α α α α α α α x kπx α dx kπ kπ cos α x cos α + x dx [ kπ α x α kπ α kπ α + x kπ α + kπ α kπ + α α kπ α kπ α + α α kπ cos α cos kπ α kπ α k α kπ α k α α k α kπ α + kπ α + + kπ α kπ α kπ α + kπ k α α kπ. Tehát az f függvény Fourier-sora: fx α ] xα x α k k α kπ kx. kπ cos α + coskπ α kπ α + Vizsgáljuk azt az esetet, amikor α π. Ekkor k -re a Hospital-szabályt alkalmazva kapjuk egyébként pedig lim b α cos α α lim α π α π α π lim, α π α lim b kα, k, 3,.... α π Tehát a Fourier-sor együtthatói tartanak a periodikus x függvény Fourier-sorának együtthatóihoz.

10 . Fourier-elmélet 7.3. Valós Fourier-sorok pontonkénti konvergenciája.8. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : R R valós függvény szakaszonként folytonosan differenciálható, ha bármely korlátos [a, b] intervallumon véges sok szakadási pontja van, bármely x szakadási pontjában léteznek az fx + lim x x + fx, fx lim x x fx egyoldali függvényhatárértékek és az f fx fx + x + lim, f fx fx x lim x x + x x x x x x egyoldali deriváltak, továbbá bármely két szakadási pontja közötti nyílt intervallumon folytonosan differenciálható. Bizonyítás nélkül tekintsük a következő eredményt, amely a Fourier-sorok pontonkénti konvergenciájára vonatkozik..9. Tétel. egyen f : R R szakaszonként folytonosan differenciálható szerint periodikus függvény. Ekkor bármely x R pontban az f függvény S R, rendszerre vonatkozó. Fouriersora konvergál az fx+ + fx határértékhez. Speciálisan, ha f folytonos az x pontban, akkor a Fourier-sora x-ben konvergál az fx függvényértékhez. Ha egy f [, π], R függvény Fourier-sorának pontonkénti konvergenciáját vizsgáljuk, akkor először periodikusan kiterjesztjük f-et R-re, és a kiterjesztett függvényre alkalmazzuk a tételt. Megjegyezzük, hogy a periodikus kiterjesztés csak akkor lehetséges, ha f fπ. Egyébként vagy az f vagy az fπ függvényértéket használjuk a periodikus kiterjesztéshez, azaz a kiterjeszett függvény egy pontben nem egyezik meg az eredeti függvénnyel. Viszont a két függvény Fourier-együtthatói, és így a Fourier-sora is megegyezik... Példa. Tekintsük újra a.5. Példában kiszámított Fourier-sort. Az előbbi tételt alkalmazva kapjuk, hogy a Fourier-sor pontonként konvergens, és x 3x x + 4x { x, < x < π, + 3 4, x és x π. A Fourier-sor n-edik részletösszegét jelölje f n x def x x + 3x 4x + nnx. 3 4 n A következő ábrán az f, f 4 és f 6 közelítő összegek grafikonja látható. Ebből is érzékelhető a Fourier-sor konvergenciája.

11 8 VEMIMAM44A előadásjegyzet, / 3 f f 4 f Az f x, f 4 x és f 6 x részletösszegek grafikonja. A Fourier-sorok egyik legfontosabb alkalmazási területe a parciális differenciálegyenletek elméletében található, ahol bizonyos feladatokat a megoldások Fourier-sorba fejtésével oldunk meg. Az egyik kulcs kérdés a módszer alkalmazásánál, mikor lehet differenciálni a Fouriersort, ill. a végtelen összeg deriváltját tagonkénti differenciálással kiszámolni. Erre ad választ a következő tétel, amit szintén bizonyítás nélkül közlünk... Tétel. egyen f : [, π] R folytonos, szakaszonként folytonosan differenciálható, továbbá f fπ. Ekkor az f függvény Fourier-sora abszolút és egyenletesen konvergál a [, π] intervallumon az f függvényhez, azaz fx a + a k cos kx + b k kx, ahol a k, b k a.8 és.9 képletekkel definiált Fourier-együtthatók. Továbbá, f Fourier-sorát f Fourier-sorának tagonkénti differenciálásával megkaphatjuk, azaz f x ka k kx + kb k cos kx. Minden olyan x pontban, ahol f x létezik, az előző reláció egyenlőséggel helyettesíthető. A.9. és.. Tételeket nyilvánvaló módon terjeszthetjük ki arra az esetre, amikor az f függvény a [, ] szimmetrikus intervallumon definiált..4. Tiszta koszinuszos és szinuszos Fourier-sorok Ebben a szakaszban azzal a kérdéssel foglalkozunk, hogyan lehet Fourier-sorba fejteni egy [, ] alakú intervallumon definiált függvényt. Egy természetes ötlet erre az, hogy kiterjesztjük a függvényt a [, ] intervallumra, és a kiterjesztett függvénynek számítjuk ki a Fourier-sorát. Ekkor a.9. Tételben megadott feltételek teljesülése esetében a Fourier-sor konvergál a kiterjeszett függvényhez, ill. [, ]-re leszűkítve a Fourier-sor értelmezési tartományát, az eredeti függvényhez. Két speciális esetet vizsgálunk: páros ill. páratlan függvényként terjesztjük ki a függvényt. Tekintsük először a páros kiterjesztés esetét. egyen f : [, ] R adott, és legyen { f x, x [, fx fx, x [, ].

12 . Fourier-elmélet 9 Ekkor f Fourier-sora a.4. Állítás szerint tiszta koszinuszos sor, így a Fourier-sorában minden b k. Az a k Fourier-együtthatókat az a k fxcos kπx dx fxcos kπx dx + fxcos kπx dx kπx képlettel számíthatjuk ki. Mivel fxcos két páros függvény szorzata, ezért maga is páros függvény, így a fenti két integrál megegyezik, tehát a k fxcos kπx dx, k,,,..... Most tekintsük azt az esetet, hogy páratlan módon terjesztjük ki f-et a [, ] intervallumra, azaz legyen { f x, x [,], fx, x, fx, x [, ]. Ekkor f páratlan periodikus függvény, ezért a Fourier-sora tiszta szinuszos sor lesz, azaz minden a k. A b k együtthatókat az előző esethez hasonló levezetéssel kapjuk: b k fx kπx dx fx kπx dx + fx kπx fx kπx dx dx, k,,..... Az előző levezetésből rögtön következik az alábbi eredmény. Ha a kiterjeszett függvény páros, akkor annak Fourier-sora tiszta koszinuszos sor lesz,.. Állítás. Az és az S cos def {, cos x, cos x, cos 3x,...} S def { x, x, 3x,...} rendszerek egyaránt teljes ortogonális rendszert alkotnak a [, π] intervallumon..3. Példa. Számítsuk ki a [, π] intervallumra megszorított x függvény tiszta koszinuszos sorát, azaz az S cos függvényrendszerre vonatkozó Fourier-sorát! A. képletet és trigonometrikus azonosságokat alkalmazva kapjuk k -re, hogy a k π π π π [ xcos kx dx + kx + kx dx cos + kx + k +k + k k + π k + π cos kx k ] π k k + k + k k.

13 3 VEMIMAM44A előadásjegyzet, / k -re kapjuk a π xcos x dx π x dx π [ cos x A.9. Tétel szerint a Fourier-sor minden pontban konvergál a függvényhez, tehát kapjuk, hogy x + π cosx + cos 4x + cos 6x +, x [, π]. 4 6 Megjegyezzük, hogy a x függvény tiszta szinuszos Fourier-sora természetesen önmaga azaz b és b k minden k > -re. ] π..4. Példa. Számítsuk ki az f : [, 5] R, fx függvény tiszta szinuszos Fourier-sorát! A. képlet szerint b k [ ] 5 kπx 5 5 dx kπx 5 cos 5 cos kπ 5 kπ kπ kπ k, k,,..., 5 ezért 4 π πx 5 + 3πx πx πx 7 5 +, x, 5. x és x 5-re a Fourier-sor összege. Ha x 5/-et helyettesítünk be az előző egyenletbe, akkor kapjuk a π ú.n., Euler-összefüggést. Jelölje f n a Fourier-sor n-edik részletösszegét, azaz f n x n b k kπx 5. A bal oldali ábrán az f 5 x, f 7 x és f 4 x részletösszegek grafikonjai, a jobb oldalin pedig az f 8 x részletösszeg grafikonjának kinagyított része látható.. f 5 f 7 f Az ábra azt igazolja, hogy a részletösszegek n növekedésével egyre jobban közelítik a konstans függvény grafikonját. Viszont ez a határérték nem egyenletes, az intervallum két végpontjához közel a Fourier-sor részletösszegeinek maximuma kb..8 körüli értéket vesz fel. Numerikusan ellenőrizhetjük, hogy ez a maximum n növelésével nem változik, csak azt a részletösszeg függvény egyre közelebb veszi fel az intervallum végpontjához. Hasonló viselkedés figyelhető meg nem folytonos függvények véges Fourier-féle közelítő összegeinél. Ezt a jelenséget Gibbs-jelenségnek hívjuk. Az f függvény tiszta koszinuszos Fourier-sora, azaz a, a k b k minden k,,...-ra.

14 . Fourier-elmélet 3.5. Fourier-transzformált és Fourier-integrál egyen f : R C szakaszonként folytonosan differenciálható függvény, amely nem szükségszerűen periodikus. egyen > állandó, g : R C olyan periodikus függvény, amelyre g x fx, < x <. Írjuk fel g komplex Fourier-sorát. A g függvény Fourier-együtthatói és ezért g x n c n g te in π t dt, g te in π t dt e in π x, x R. Mivel g x fx ha < x <, így a.9. Tétel szerint egyen fx+ + fx n fte in π t dt e in π x, λ n nπ. def Ekkor λ n λ n+ λ n π. Ezzel a jelöléssel az előbbi egyenlet az fx+ + fx n alakban írható fel. Ez minden -re teljesül, ezért Definiáljuk az fx+ + fx lim n x,. fte iλnt dt e iλnx λ n, x, fte iλnt dt F : R C, Fλ e iλnx λ n, x R..3 fte iλt dt.4 függvényt, amelyet az f függvény Fourier-transzformáltjának vagy komplex Fourier-integráljának nevezünk. Ezzel a jelöléssel kapjuk a.3 egyenletből, formálisan először a zárójelen belül elvégezve a határátmenetet, hogy fx+ + fx lim n Fλ n e iλnx λ n, x R. A jobb oldali összeg egy improprius integrál Riemann-féle közelítő összege, ahol a {λ n : n Z} osztópontokat használjuk a számegyenes felosztásához, így kapjuk, hogy fx+ + fx Fλe iλx dλ, x R..5 A.4 és.5 képletet együtt a Fourier-féle inverziós formuláknak nevezzük. Hangsúlyozni kell, hogy a fenti levezetés csak formális számolás volt. A képletek precízen is levezethetők a következő feltétel mellett: ft dt <.

15 3 VEMIMAM44A előadásjegyzet, / Azon f : R C ebesgue-mérhető függvények lineáris terét, amelyek abszolút értéke az egész számegyenesen végesen ebesgue-integrálható, azaz amelyekre a fenti egyenlőtlenség teljesül, R, C-vel jelöljük. Ezzel a jelöléssel a következőképpen foglalhatjuk össze az eredményünket..5. Tétel. egyen f R, C szakaszonkén folytonosan differenciálható függvény. Ekkor érvényes az ún. Fourier-féle integrálformula: Fλe iλx dλ fte iλt dt e iλx dλ fx + fx+, x R. Vizsgáljuk meg most azt az esetet, amikor az f valós függvény, azaz f : R R. Ekkor a Fourier-féle integrálformulán a következő átalakításokat végezzük: fte iλt dt e iλx dλ fte iλx t dt fte iλx t dt dλ dλ + fte iλx t dt dλ. Használva az u λ du dλ helyettesítést az első integrálban, kapjuk, hogy fte iλt dt e iλx dλ fte iux t dt ft du + e iλx t + e iλx t dt Mivel e iλx t + e iλx t cos λx t, f valós függvény, ezért fx+ + fx π fte iλx t dt dλ dλ. ftcos λx tdt dλ. Ez a valós Fourier-féle integrálformula. A jobb oldalon álló integrálban a cos függvényt kifejtve kapjuk a következő állítást..6. Következmény. egyen f R, R szakaszonkén folytonosan differenciálható függvény. Ekkor Aλcos λx + Bλ λx dλ fx+ + fx, x R,.6 ahol Aλ ftcos λt dt és Bλ π π ft λt dt..7 A.6 egyenlet bal oldalán álló integrált valós Fourier-integrálnak nevezzük.

16 . Fourier-elmélet Példa. Írjuk fel az függvény Fourier-integrálját! A.7 képletek szerint f : R R, fx Aλ ftcos λt dt π 3 cos λt dt + π [ 3 λt ] π λ { 3, x [, ], 5, x, 4],, x < vagy x > 4. 4 [ + 5 λt λ 5 cos λt dt 3 λ + 5 4λ. πλ Megjegyezzük, hogy Aλ folytonosan kiterjeszthető λ -ra is, hiszen létezik a 3 λ lim Aλ lim + 5 4λ λ λ πλ πλ π π határérték. Bλ hasonlóan számítható: Bλ π [ 3 π 3 λt dt + cos λt λ ] 4 [ + 5 ] 4 5 λt dt cos λt λ 8 3 cos λ 5 cos 4λ. πλ Megmutatható, hogy lim λ Bλ. A.6. Következmény szerint 3 λ + 5 4λ cos λx + πλ 8 3 cos λ 5 cos 4λ πλ ] 4 λx dλ, x <, 3/, x, 3, x,,, x, 5, x, 4, 5/, x 4,, x > 4. Az f függvény Fourier-transzformáltjára használjuk az Ffλ Fλ jelölést is. A következő tételben összefoglaljuk a Fourier-transzformált néhány fontosabb tulajdonságát..8. Tétel. egyen f, g R, C és α, β C. Ekkor. Fαf + βg αff + βfg.. Ha f differenciálható és f R, C, akkor Ff λ iλffλ. 3. Ff g Ff Fg, ahol az f és g konvolúciója. f gx ftgx tdt

17 34 VEMIMAM44A előadásjegyzet, /.6. Alkalmazások Tegyük fel, hogy f Fourier-transzformáltja a [, ] intervallumon kívül azonosan nulla, azaz Fλ, λ > Tétel Mintavételi tétel. Tegyük fel, hogy f R, C függvény folytonos és szakaszonként folytonosan differenciálható, amelyre.8 teljesül. Ekkor f-et meghatározzák a pontokban felvett értékei: fx n nπ f, ± π, ±,... x nπ, x nπ, n Z. x nπ Bizonyítás: A Fourier-féle inverziós formulát és a.8 feltételt alkalmazva fx Fλe iλx dλ Fλe iλx dλ, x R..9 Az Fλ függvény a, intervallumon felírható Fourier-sora összegeként: Fλ c n e i nπλ, λ,, n ahol c n nπλ i Fλe dλ. A.9 összefüggést alkalmazva kapjuk, hogy nπ c n f. Ezt visszahelyettesítve F Fourier-sorába kapjuk Fλ Ezért a.9 formula szerint x nπ -re fx n n n nπ f e i nπλ nπ nπλ i f e. nπ nπλ i f e e iλx dλ nπ nπ iλ f e +x dλ n nπ e ix nπ e ix nπ f ix nπ n nπ x nπ f. x nπ n

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b

Részletesebben

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont Villamosmérnök Szak Távoktatás 2. félév Matematika kollokvium 2008. dec. 20. Név: Neptun Kód: Tanár: Fel.: Elm.: Hf.: Össz.: Oszt.: Vajda István Rendelkezésre álló idő: 105 perc Elérhető maximális pontszám:

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel 2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Határozatlan integrál, primitív függvény

Határozatlan integrál, primitív függvény Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 4 IV HATVÁNYSOROk 1 ELmÉLETI ALAPÖSSZEFÜGGÉSEk Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények, függvénysornak nevezzük Ha a tagok hatványfüggvények, akkor a sor neve hatványsor

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 1 mintapélda Frissítve: 01. novermber 19. :07:41 1. Azonosságok 1.1. Azonosság. A sin és cos szögfüggvények derékszög háromszögben vett, majd kiterjesztett

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................

Részletesebben

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n ) Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Valós függvénytan Elektronikus tananyag

Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan Elektronikus tananyag Valós függvénytan: Elektronikus tananyag TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1 MSc Tananyagfejlesztés Interdiszciplináris és komplex megközelítésű digitális tananyagfejlesztés a

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

1. Bevezetés Differenciálegyenletek és azok megoldásai

1. Bevezetés Differenciálegyenletek és azok megoldásai . Bevezetés.. Differenciálegyenletek és azok megoldásai Differenciálegyenlet alatt olyan függvény egyenleteket értünk, melyekben független változók, függvények és azok deriváltjai szerepelnek. Legegyszerűbb

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 +

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 + . Fourier-soro. Bevezet definíció Enne a fejezetne a célja, hogy egy szerint periodius függvényt felírjun mint trigonometrius függvényeből épzett függvénysorént. Nyilván a cos x a sin x függvénye szerint

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,

Részletesebben

Analízis ZH konzultáció

Analízis ZH konzultáció Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben. Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS

A valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel

Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós

Részletesebben