Fourier-sorok Horv ath G abor 1

Átírás

1 Fourier-sorok Horváth Gábor 1

2 Tartalomjegyzék

3 1 Bevezetés Szakdolgozatom során periodikus függvények egyfajta közelítésével fogunk foglalkozni. Amíg a Taylor-sornál a függvényeket hatványsor alakban állítjuk elő, addig a Fourier-sornál úgynevezett trigonometikus sor segítségével fogjuk ezt megtenni. 1.1 Történeti bevezetés A Fourier-sorok vizsgálata először a hőtan és a hangtan kapcsán indult fejlődésnek a XVIII. században. W. R. Wade amerikai professzortól idézném a következő gondolatokat: A klasszikus harmonikus analízis, a Fourier-analízis gyökerei mélyre nyúlnak. Mondhatnám, Isten volt az első, aki Fourier-analízist művelt, amikor fülünkbe beépített egy Fourier-analizátort. Ugyanis már a gyermek is képes arra, hogy különbséget tegyen például a hegedű és a harsona hangja között. Annak ellenére, hogy a hangjegyek, amelyekkel a dallamot leírjuk, ugyanazok. Mi akkor a különbség a két hang között? Az, hogy amikor megszólaltatunk egy hangot, az sosem csupán tiszta hang, hanem több felhangból álló együttes. Kissé általánosabban fogalmazva: minden függvényben, ami egy hangzásnak megfelel, sok rejtett információ van, amit észlelni kell, s fülünk észlelni is tudja

4 1. Nevezetes periodikus függvények 1.1 Definíció: Egy f(x függvényt periodikusnak mondunk, ha létezik olyan P konstans, hogy bármely x D(f-re x + P D(f, x P D(f, továbbá f(x + P = f(x (1 Ekkor P és P periódusa lesz az f függvénynek. Könnyen meggondolható, hogy két különböző, P szerint periodikus függvény összege, különbsége, szorzata és hányadosa is (ahol a nevező nem nulla P periódusú függvény lesz, továbbá ha egy függvénynek periódusa P, akkor P, P, P, 3P, 3P, 4P, 4P,... szintén periódusa. Térjünk át a π szerint periodikus függvényekre. Ezek közül a legismertebbek a sin x és a cos x. Vizsgáljuk a következő transzformáltját például a szinusz függvénynek: y = A sin (αx + β. ( A fenti formában sin x bármilyen transzformáltját felírhatjuk alkalmas α, β és A számok megválasztásával, ahol a periódus: π α. Egy jól ismert addíciós tétel alapján ezt továbbgondolva kapjuk a következőt: A sin (αx + β = A(cos αx sin β + sin αx cos β. (3 Legyen a = A sin β és b = A cos β. felírható a következő alakban: Ezek szerint sin x bármely transzformáltja a cos αx + b sin αx. (4 1.1 Példa: 5 sin (4x + π 6 = 5 cos 4x sin 4x Vezessük be a P periódust (4-be. Mivel P = π π, ezért α = α P. Így az új képletünk: a cos π π x + b sin x. (5 P P A következő alfejezetben látni fogjuk, hogy hogyan képezünk ebből trigonometrikus polinomokat, amivel már egyre közelebbhez jutunk a lényeghez: a Fourier-sorhoz. 4

5 1.3 Trigonometrikus polinomok és ezekből képezett végtelen trigonometrikus sorok Vizsgáljuk a következő trigonometrikus függvényeket (k=1,, 3,... a k cos π P kx + b k sin π kx (6 P Frekvenciájuk: α k = π P k, periódusuk: P k = π = π P α k πk = P k Az (1. alfejezetben leírtak alapján könnyen látható, hogy a (6 alakú trigonometrikus függvényeknek a P szám szintén egy periódusa. Végezzük el a következő helyettesítést: t = πx P Ekkor az a k cos kt + b k sin kt függvények π szerint is periodikusak. Legyen n S n (x = A + (a k cos kx + b k sin kx, (7 k=1 ahol A egy konstans. S n (x nyilván nem veszti el π szerinti periodikusságát, mivel az összeadott függvényeknek egyik periódusa, a π megegyezik (és egy A konstans hozzáadása sem rontja el a periodikusságot. A fenti S n (x-et hívjuk trigonometrikus polinomnak. A következő S(x-et végtelen trigonometrikus sornak hívjuk. S(x = A + (a k cos kx + b k sin kx (8 k=1 Meg fogjuk vizsgálni, hogy egy tetszőleges π szerint periodikus függvény előállíthatóe végtelen trigonometrikus sorként. Látni fogjuk, hogy függvényeknek egy nagyon széles skálájára meg tudjuk ezt valósítani. Továbbá, ha egy periodikus függvény előáll a (8-as alakban, akkor ez a függvénysor lesz a függvény Fourier-sora, az a k és b k együtthatókat pedig a függvény Fourier-együtthatóinak fogjuk nevezni. 5

6 A Fourier-együtthatók meghatározása.1 A módszer levezetése Tegyük fel, hogy az f(x = (a n cos nx + b n sin nx (9 n= függvénysor egyenletesen konvergens, majd rögzítsük le a k nemnegatív egész számot. Ezután szorozzuk végig (9-et cos kx-szel. Így a következőt kapjuk. f(x cos kx = n= ( a n cos nx cos kx + b n sin nx cos kx Mivel a sin x és cos x integrálható függvények és a függvénysor egyenletesen konvergens, a fenti kifejezést integrálhatjuk a [, π] tartományon, továbbá az integráljelet bevihetjük a szummajel mögé: f(x cos kxdx = (a n cos nx cos kxdx + b n sin nx cos kxdx (1 n= Vizsgáljuk meg a kifejezés jobb oldalát. Könnyen adódik,hogy sin nx cos kxdx =, mivel páratlan függvényt integrálunk egy origóra szimmetrikus tartományon. Tegyük fel, hogy n = k. Ekkor cos kxdx = 1 (cos kx + 1dx = 1 Viszont ha n = k =, akkor cos kx = cos = 1, tehát cos kxdx = [ sin kx 1dx = π. k ] π + x = π. Bátkai András jegyzete ( batka/oktatas/fouriersor.pdf alapján. 6

7 Már csak azt az esetet kell megvizsgálnunk, ha n k. azonosságot használjuk: Ez alapján kapjuk: cos αx cos βx = cos (α + β + cos (α β Ehhez a következő cos nx cos kxdx = 1 [ ] cos (nx + kx + cos (nx kx dx = = 1 [ ] π sin [(n + kx] sin [(n kx] + =. n + k n k Tehát összefoglalva az eddigieket, a (1 egyenlet jobb oldala mindenhol nulla, kivéve k esetén továbbá k = esetén f(x cos kxdx = a k π, f(xdx = a π. A b n együttható kiszámolása a fentiekhez teljesen analóg módon történik azzal a különbséggel, hogy (9-et sin kx-szel szorozzuk végig, továbbá, hogy b bármi lehet, mivel az azonosan nulla függvény szorzótényezője (mert sin =. A kényelem kedvéért legyen b =. Így az előző számolást megismételve kapjuk minden k természetes számra, hogy.1 Definíció: Legyen f R[, π], továbbá legyen az a f(x sin kxdx = b k π + (a n cos nx + b n sin nx függvénysor egyenletesen konvergens. Ekkor a fenti függvénysort f Fourier-sorának nevezzük, ahol a n = 1 π a = 1 π f(x cos nxdx, b n = 1 π f(xdx, f(x sin nxdx, n N. Bátkai András jegyzete ( batka/oktatas/fouriersor.pdf alapján. 7

8 . Példák a Fourier-együtthatók meghatározára Hangsúlyoznám, hogy még csak nagyon speciális esetekben definiáltuk egy függvény Fourier-sorát. Teljesülnie kell a.1 definícióban leírt feltételeknek, illetve f-nek a π periódusa kell, hogy legyen. Emiatt az adott függvényt le kell szűkítenünk például a (, π tartományra, majd ezt a függvénytartományt kiterjeszteni az egész x tengelyre. Továbbá, (l + 1π, l Z-ben a függvény értéke legyen az ezekben a pontokban vett két féloldali határértékének számtani közepe. Ezzel a módszerrel egy π szerint periodikus függvényt kapunk.. Példa (Lazkovich Miklós T. Sós Vera - Valós analízis II. 7.8/a feladat: f(x = x ( < x < π f(π = Ennek a függvénynek a periodikus kiterjesztését mutatja az alábbi ábra. Mivel nem minden függvényre igaz, hogy a Fourier-sora egyenletesen konvergens, ráadásul a fenti függvényünk még csak nem is folytonos, be kell vezetnünk egy tételt, amihez az alábbi definíció szükséges..3 Definíció: Egy f(x függvényt egy véges intervallumon szakaszonként folytonosan differenciálhatónak nevezünk, ha az intervallum feldarabolható véges sok szakaszra úgy, hogy minden szakaszon a függvény és a deriváltja is folytonos, továbbá a szakadási helyeken a jobb és bal oldali határérték is létezik és mindkettő véges..4 Tétel: Egy szakaszonként folytonosan differenciálható, π szerint periodikus f(x függvény Fourier-sora minden pontban konvergál, f(x folytonossági helyein f(x-hez konvergál. Ha f(x mindenhol folytonos, a konvergencia egyenletes is. Ha f(x nem 8

9 folytonos, akkor minden x szakadási pontban a Fourier-sor összege [ ] 1 lim f(x + lim f(x. x x + x x Tehát ezek alapján f(x = x ( < x < π Fourier-sora előállítja f(x-et. Továbbá, a szakadási pontokban ( x = (l + 1π (l = ±1, ±, ±3... a Fourier-sor nullához konvergál. A Fourier-együtthatók: a k = 1 π b k = 1 π f(x cos kxdx f(x sin kxdx Mivel f(x páratlan függvény, cos kx pedig páros minden k természetes számra, így a szorzatuk páratlan. Ennek értelmében a k minden k-ra nulla, mivel páratlan függvényt integrálunk origóra szimmetrikus tartományon (ld. előző alfejezet. Ez értelemszerűen minden páratlan függvény Fourier-együtthatóira igaz lesz, tehát innentől nem is fogunk foglalkozni páratlan függvény a k együtthatóival, továbbá a b k együtthatók kiszámításához a könnyen számolhatóság érdekében csak [, π] tartományon integrálunk és ezt megszorozzuk kettővel. Érdemes meggondolni már előre, mielőtt nézünk egy páros függvényre is példát, hogy annak pedig a b k együtthatói esnek ki. Továbbá, hogy páratlan függvény Fourier-sora tisztán szinuszos, párosé pedig koszinuszos. Ezek alapján a fenti páratlan f(x Fourier-sora a következő alakú lesz: Páros függvényé pedig: a b k sin kx (11 k=1 + a k cos kx (1 k=1 Folytassuk tehát a Fourier-sorfejtést, amihez parciális integrálást kell alkalmaznunk: b k = x sin kxdx = [ ] π x cos kx + cos kxdx = π πk πk k cos kπ = k ( 1k+1 Így tehát (11-be behelyettesítve ( x = sin x sin x 9 + sin 3x (13

10 A továbbiakban nézzünk egy példát páros függvényre..5 Példa (Tolstov G.P. - Fourier series első fejezet, első példa: f(x = x ( x π. f(x periodikus kiterjesztését az alábbi ábrán láthatjuk. a k = π a = x dx = [ ] x 3 π = π π π 3 3 x cos kxdx = 4 x sin kxdx = 4 [ x cos kx πk πk = 4 k cos kπ = ( 1k 4 k ] π 4 πk cos kxdx = Továbbá, b k = minden k természetes számra, mivel f(x páros. Ezeket (1-be behelyettesítve kapjuk, hogy ( x = π 3 4 cos x cos 3x cos x ( A.4 tétel alapján a konvergencia egyenletes és a függvényt Fourier-sora mindenütt előállítja..6 Példa(Tolstov G.P. - Fourier series első fejezet, 3. példa: f(x = sin x f(x egy minden x-en értelmezett (tehát nem kell foglalkoznunk kiterjesztéssel folytonos, szakaszonként folytonosan differenciálható és páros függvény. Így a.4 tétel itt is alkalmazható, továbbá a konvergencia egyenletes. Mivel sin x = sin x ( x π, a = π a k = π sin xdx = 4 π. sin x cos kxdx 1

11 Ennek az integrálnak a kiszámításához át kell alakítanunk az integrandust, méghozzá a következő trigonometrikus összefüggés segítségével: sin x cos y = 1 (sin (x + y sin (y x Ennek felhasználásával folytatva a k kiszámítását: a k = 1 [ ] sin (x + kx sin (kx x = π = 1 π [ ] sin [(k + 1x] sin [(k 1x] = 1 π [ ( 1 k+1 1 k + 1 = 1 [ cos [(k + 1x] π k + 1 ] ( 1k 1 1 = ( 1k + 1 k 1 π(k 1 ] π cos [(k 1x] = k 1 Könnyen látható, hogy páratlan k-ra a számláló nulla, továbbá k=1-re a nevező is, tehát ezt az esetet külön meg kell vizsgálnunk. a 1 = π sin x cos xdx = 1 π sin xdx = Mivel f(x páros, b k =. a k -t (1-be behelyettesítve kapjuk, hogy sin x = π 4 ( cos x cos 4x (15 π 3 15 Az eddigiekben láthattunk pár általános példát a Fourier-sorfejtésre. Mielőtt továbbmennénk, vonjunk le egy-két praktikus következtetést az eddigi munkánkból. A (13-as egyenlet megfelelő rendezésével a következő trigonometrikus sor összegére bukkanhatunk: k+1 sin kx ( 1 = x ( < x < π k k=1 Továbbá, (14-ből adódik: k+1 cos kx ( 1 k=1 k = π 1 x 4 ( x π (15-ből pedig: k=1 coskx (k 1 = 1 sin x π 4 x R 11

12 A.4 tétel adott egy feltételt ami miatt a (13-ban, (14-ben és (15-ben egyenlőségjelet írhattunk, tehát nem csak megközelítettük az adott függvényt, hanem elő is állítottuk. Erre szeretnénk most egy jobban használható, egyszerűbb feltételt adni..7 Tétel: Ha f : R R π szerint periodikus és legalább kétszer folytonosan differenciálható, akkor a Fourier-sora mindenütt előállítja. Ennek a bizonyításához további segédtétel szükséges, amiből levezethetjük..8 Segédtétel: Legyen f : R R folytonos és π szerint periodikus. Ha f Fourier-sora egyenletesen konvergens R-en, akkor az összege minden pontban f(x-szel egyenlő. Bizonyítás: Legyen f Fourier-sorának összege g. Ekkor a.4 tétel szerint g folytonos, továbbá a Fourier-együtthatói megegyeznek f Fourier-együtthatóival. Ebből egyszerűen következik, hogy a folytonos és π szerint periodikus f g függvény Fourier-együtthatói nullával egyenlőek. Ekkor f g =, azaz f = g..9 Segédtétel: Ha az f : R R függvény π szerint periodikus és legalább kétszer folytonosan differenciálható R-en, akkor van olyan M > szám, hogy f Fourier-együtthatóira fennállnak az alábbi becslések minden n 1-re. a n M n a n = 1 π f(x cos nxdx = 1 π b n M n Bizonyítás: A tétel szerint f kétszer folytonosan differenciálható. Ezáltal az a n és b n Fourier-együtthatókat megadó formulákban szereplő integrálásokat parciális integrálás módszerével elvégezhetjük (mivel f(x-et deriválhatjuk. [ ] π f(x Ezt megismételve: a n = 1 πn = 1 πn [ f (x sin (nx π n sin nx n 1 π f (x cos (nx π dx ] π 1 πn = 1 f (x cos (nx πdx πn f sin nx (x n dx = f (x sin (nx π dx = n.9 Segédtétel bizonyítása Laczkovich Miklós T. Sós Vera - Valós Analízis II és Bátkai András jegyzete ( batka/oktatas/fouriersor.pdf alapján történt. 1

13 A b n együtthatókra ugyanezt végigjátszva kapjuk, hogy b n = 1 πn f (x sin (nx πdx A tételben szereplő M-et próbáljuk megtalálni, tehát már csak felülről kell becsülnünk a kapott eredményt: a n 1 f (x cos (nx π dx 1 f (x dx = M πn πn n, ahol kihasználtuk, hogy a koszinusz függvény értékkészlete [ 1, 1], továbbá bevezettük az M = 1 π f (x dx jelölést. π b n -t hasonlóan becsüljük: b n 1 πn f (x sin (nx π dx 1 πn f (x dx = M n. Ezzel a.9 segédtételt beláttuk, amiből következik az alábbi összefüggés: a n cos nx + b n sin nx M n. Weierstrass jól ismert kritériuma alapján teljesül az egyenletes konvergencia, mivel a 1 sor abszolút konvergens. Emiatt teljesül a.8-as segédtétel feltétele, így n f(x-et mindenhol előállítja a Fourier-sora. Ezzel végeztünk az elméleti résszel, szakdolgozatom hátralevő részét önálló feladatmegoldás fogja kitölteni..9 Segédtétel bizonyítása Laczkovich Miklós T. Sós Vera - Valós Analízis II és Bátkai András jegyzete ( batka/oktatas/fouriersor.pdf alapján történt. 13

14 3 Feladatok 3.1 Feladat: Fejtsük Fourier-sorba az f(x = π x ennek segítségével határozzuk meg a n= ( < x < π f( = függvényt, majd ( 1 n n + 1 numerikus sor összegét! Megoldás: A. példához hasonlóan elő tudjuk állítani a periodikus kiterjesztését f(x-nek, amire alkalmazva a.4 tételt kapjuk, hogy f(x-hez a Fourier-sora konvergál (, π minden pontjában, illetve a periodikus kiterjesztéshez (, π-n kívül. Továbbá, a szakadási pontokban a Fourier-sor nullához konvergál. Tehát, a n = 1 π b n = 1 π a = 1 π π x π x π x cos nxdx = 1 π π x dx = 1 [ ] π πx π x = 4 [ π x = 1 sin nxdx = πn [ π x sin nxdx = 1 π = sin x + = 1 π ( π n + π n = 1 n sin x + ] π sin nx + 1 n π ] π cos nx 1 n π sin 3x... = 3 sin nx n. 1 sin nx n dx = 1 cos nx n dx = A feladat második részének megoldásához vizsgáljuk meg a fenti egyenlet jobb oldalán levő függvénysort az x = π helyen. sin nπ n = π 4 Mivel sin nπ váltakozik, minden páros n-re nulla, továbbá páratlan n-ekre 1 és -1 között sin nπ n = n= ( 1 n n + 1 = π 4. 14

15 3. Feladat: Határozzuk meg a 1 n és a ( 1 n n numerikus sorok összegét. Megoldás: A feladat megoldásához a.5 példa nyújt segítséget, miszerint ( x = π 3 4 cos x cos 3x cos x +... = π n+1 cos nx ( 1. n Az első sor összegének kiszámításához a fenti egyenletben x helyére π-t írunk (mivel a periodikus kiterjesztés itt is folytonos, a Fourier-sor összege itt szintén x, továbbá kihasználjuk, hogy cos nπ = ( 1 n. Így a szummázandó sorozatban a -1 kitevője n + 1 lesz, ezért elhagyhatjuk. π = π n, így 1 n = π 6. A feladat második részéhez az x = helyettesítést kell elvégeznünk: tehát az eredmény π 1. = π ( 1 n n, 3.3 Feladat (Laczkovich Miklós T. Sós Vera - Valós Analízis II, 7.8/g feladat: Írjuk fel az alábbi függvény Fourier-sorát. f(x = (x π (x [, π, f(x = (x + π (x [, A fenti függvény periodikus kiterjesztése szinte teljesen megegyezik a.5 példánál levő ábrán látottakhoz annyi különbséggel, hogy el van tolva π-vel az x tengely mentén. Vegyük észre, hogy az így kapott függvény szintén páros, π szerint periodikus, folytonos és Fourier-sora szintén mindenütt előállítja. A párosság miatt az a n együtthatók kiszámításához nullától π-ig integrálunk, majd ezt megszorozzuk kettővel, a b n együtthatók pedig minden n -ra nullával egyenlők. a = π [ x (x π 3 dx = 3 πx + π x 15 ] π = π 3

16 a n = π = 4 πn Tehát [ sin nx (x π ] π (x π cos nxdx = π n (x π sin nxdx = 4 [ (x π cos nx πn f(x = π π ] π cos nx n. 4 πn sin nx (x π n dx = cos nxdx = 4 n Szokásunkhoz híven most is következtetünk egy nevezetes függvénysor összegére a fenti egyenlet megfelelő átrendezésével. cos nx n cos nx n = x 4 π x + π 6 = x 4 + π x + π 6 ( x < π ( x < 3.4 Feladat: Határozzuk meg a következő függvények Fourier-sorait. f(x = sgn(x ( < x < π g(x = 1 ( < x < π, g(x = ( < x < Vegyük észre, hogy a két függvény megegyezik a (, π intervallumban. f(x páratlan, tehát csak a b n együtthatókat kell kiszámolnunk, ahol nullától π-ig integrálunk és ezt megszorozzuk kettővel. Így b k = π sin nxdx = πn sgn(x = 4 π [ cos nx ] π = πn [1 ( 1n ] ( sin 3x sin 5x sin x A fenti ábrán láthatjuk f(x periodikus kiterjesztését (piros és tizedik Fourierpolinomját (zöld. 16

17 g(x se nem páros, se nem páratlan, de a Fourier-együtthatóinak számolásakor szintén nullától π-ig integrálunk, mert ezen tartományon kívül az értéke (és ezáltal az integráltja is nulla. Így b n = 1 π a = 1 π 1dx = 1 π [ x ] π = 1 a n = 1 cos nxdx = π sin nxdx = 1 [ ] π cos nx = 1 ( 1 ( 1 n πn πn g(x = 1 + π A kiterjesztés és a tizedik Fourier-polinom: ( sin 3x sin 5x sin x Feladat: Határozzuk meg az f(x = sin 3 x és g(x = cos 3 x függvények Fouriersorait! Néhány esetben elég a sorbafejtendő függvényt alakítgatnunk addig, amíg trigonometrikus polinom alakú nem lesz. Ha ezzel megvagyunk, amit eredményül kaptunk, az lesz a függvény Fourier-sora. Tehát a következő formában kell felírnunk a fenti függvényeket: a N + (a n cos nx + b n sin nx. 17

18 Megoldás: Mivel ezért Alkalmazva az sin x sin x = sin 3 x = sin x sin x sin x = 1 cos x 1 cos x, sin x = 1 sin x 1 sin x cos x. 1 sin x cos x = 1 ( sin x cos x + sin x sin x 4 trükkös átalakítást és felhasználva, hogy kapjuk az eredményt: sin 3x = sin x cos x + sin x, sin 3 x = 1 sin x 1 4 (sin 3x sin x = 3 4 sin x 1 sin 3x. 4 A g(x függvény esetében hasonlóan: cos x cos x = 1 (cos x + 1 cos x = 1 (cos x cos x + cos x = = 1 4 (cos x + cos 3x + 1 cos x = 3 4 cos x cos 3x = cos3 x, ahol felhasználtuk, hogy cos 3x = cos x cos x cos x. Tehát mindkét esetben kettő darab nemnulla Fourier-együtthatót találtunk: f(x esetében b 1 = 3 4 és b 3 = 1 4, tehát: sin3 x = 3 4 sin x 1 sin 3x. 4 g(x esetében pedig a 1 = 3 4, a 3 = 1 4, tehát: cos3 x = 3 4 cos x + 1 cos 3x. 4 18

19 3.6 Feladat (Laczkovich Miklós T. Sós Vera - Valós Analízis II, 7.8/b feladat: Fejtsük Fourier-sorba az f(x = x ( x < π függvényt! Tudjuk, hogy az x függvény az x = helyen nem differenciálható (mivel jobb és bal deriváltja nem egyenlő ebben a pontban, de mivel a.3 definíció alapján a függvény szakaszonként folytonosan differenciálható, így a.4 tétel szerint a függvényt a Fourier-sora minden pontban előállítja. Mivel f(x páros, az a n együtthatók számításához szokásosan nullától π-ig integrálunk és beszorozzuk kettővel. Ez azért is lesz kedvező, mert itt x = x. a = xdx = [ ] x π = π π π a n = x cos nxdx = [ ] π x sin nx sin nxdx = π πn πn = [ cos nx πn ] π = πn [( 1n 1] Így x = π 4 ( cos 3x cos 9x cos x π 9 5 Az alábbi ábrán láthatjuk, hogy f(x periodikus kiterjesztésétől már a második Fourier-polinomja is kevéssel tér el, nagy n-ekre már csak jóval nagyobb nagyítással látszana a különbség. A második Fourier-polinom (kék: π 4 π ( cos x + cos 3x. 9 19

20 3.7 Feladat (Tolstov G.P - Fourier series első fejezet 1/a feladat: Fejtsük Fouriersorba a következő függvényt. f(x = e ax ( < x < π ahol a nullától különböző valós szám. a = 1 e ax dx = 1 [ ] e ax π = 1 ( e aπ e aπ sh aπ = π π a π a aπ e ax cos nxdx = 1 [ ] π e ax sin nx a e ax sin nxdx = πn πn a n = 1 π = a πn [ e ax cos nx ] π a e ax cos nxdx = πn = ( 1 n a πn (eaπ e aπ a e ax cos nxdx πn Ha elnevezzük c-nek az 1 π π eax cos nxdx kifejezést, akkor az eddigiekből következik: b n = 1 π c = ( 1n a sh aπ πn = ( 1n πn (eaπ e aπ + a πn Legyen d = 1 π π eax sin nxdx, így a c, ahonnan n c = ( 1n a sh aπ = a π(a + n n. e ax sin nxdx = 1 [ ] π e ax cos nx πn [ ] π e ax sin nx d = ( 1n πn + a e ax cos nxdx = πn a πn sh aπ a d, ahonnan n d = ( 1n n sh aπ π(a + n Tehát a keresett Fourier-sor: ( sh aπ sh aπ ( 1 n a cos nx + aπ π a + n = b n. e ax sin nxdx ( 1 n n sin nx. a + n

21 3.8 Feladat (Tolstov G.P - Fourier series első fejezet 1/b feladat: Határozzuk meg a Fourier-együtthatóit a következő függvénynek. f(x = cos ax ( x π ahol a nem egész szám. Mivel a fenti függvény páros, a = cos axdx = [ ] π sin ax = π aπ a n = cos ax cos nxdx = 1 π π = 1 [ sin (a nx sin (a + nx + π a n a + n = ] π sin aπ, aπ ( cos (a nx + cos (a + nx dx = = 1 ( sin (a nπ + π a n (a + n sin(a nπ + (a n sin(a + nπ π(a n Mivel sin(a nπ + sin(a + nπ = sin πa cos πn, sin (a + nπ = a + n a n = a sin πa cos πn n cos πa sin πn π(a n b n =. n a sin πa = ( 1 π(a n. Az eredeti függvény a = 1, 57-re (zöld, az első (barna és a második (piros Fourier-polinom. 1

22 3.9 Feladat: Bizonyítsuk be, hogy sin n x és cos n x is trigonometrikus polinom minden pozitív n N-re! Trigonometrikus polinom (emlékeztető : a N + ( an cos nx + b n sin nx A bizonyításhoz szükséges formulák: cos ax cos bx = 1 [cos(a bx + cos(a + bx] (16 Továbbá (16 és (17 következményei: sin ax sin bx = 1 [cos(a bx cos(a + bx] (17 cos ax sin bx = 1 [sin(a + bx sin(a bx] (18 sin (ax = 1 (1 cos ax (19 cos (ax = 1 (1 + cos ax ( Megjegyzés: állnak. A fenti egyenleteknek a jobb oldalán trigonometrikus polinomok Bizonyítás (teljes indukció: Mivel sin x és cos x önmagukban trigonometrikus polinomok, ezért elég azt bizonyítanunk, hogy n trigonometrikus polinom szorzata is trigonometrikus polinom. Kezdjük az n = esettel: Az [ N a + ( an cos nx + b n sin nx ][ M b + ( ak cos kx + b k sin kx ] szorzat elvégzése után a trigonometrikus polinomba nem beleillő tagok a (16, (17, (18, (19 és ( egyenletek bal oldalán levő szorzatokkal megegyező alakúak lesznek (ahol a és b egész számok. Majd mindegyikre alkalmazva a megfelelő formulát, az eredmény trigonometrikus polinomok összege lesz, ami természetesen szintén trigonometrikus polinom. Tegyük fel, hogy n a legutolsó szám, amire n trigonometrikus polinom szorzata is trigonometrikus polinom. (Indukciós feltevés Bizonyítandó: (n + 1-re az öröklődés. k=1

23 Legyenek c k, k Z + tetszőleges trigonometrikus polinomok. Ekkor c 1 c c 3... c }{{ n c } n+1 ami az indukciós feltevés szerint trigonometrikus polinom Tehát az eredmény két trigonometrikus polinom szorzata, amiről az előző oldalon bebizonyítottuk, hogy trigonometrikus polinom. 3.1 Feladat: Határozzuk meg a következő függvény Fourier-sorát, majd vizsgáljuk meg a függvénysort az x = és x = π helyeken! f(x = π cos ax ( x < π ahol a nem egész szám A függvény hasonlít a 3.8-as feladatban szereplőhöz, de ha rápillantunk a lenti ábrára (a = 1, 57 esete láthatjuk, hogy ennek a függvénynek a periodikus kiterjesztése nem páros, de általában nem is páratlan (ha az a,5-nek egy páratlan számszorosa, akkor a függvény páratlan. Így az együtthatók: a = 1 π π cos axdx = 1 a [ ] π sin ax = sin aπ, a a n = 1 π cos ax cos nxdx = 1 ( cos (a nx + cos (a + nx dx = π = 1 [ ] π sin (a nx sin (a + nx + = 1 ( sin (a nπ sin (a + nπ + = a n a + n a n a + n 3

24 = (a + n sin(a nπ + (a n sin(a + nπ, (a n a 3.8-as feladatban alkalmazott addíciós tétel miatt: a n = a sin aπ a n. b n = 1 π cos ax sin nxdx = 1 π = 1 [ cos (a nx a n = 1 ( cos (a nπ a n = cos (a + nπ a + n ( sin (a + nx sin (a nx dx = ] π cos (a + nx = a + n 1 a n + 1 a + n (a + n cos(a nπ (a n cos(a + nπ n, (a n = Mivel cos(a nπ + cos(a + nπ = cos aπ cos nπ és cos(a nπ cos(a + nπ = sin aπ sin nπ, b n = n cos aπ cos nπ + a sin aπ sin nπ a n Így a keresett Fourier-sor: sin aπ ( a sin aπ cos nx + + a a n = n cos aπ a n. n cos aπ sin nx. a n Mivel az x = π helyen az f függvény folytonos, így itt Fourier-sora előállítja: π cos aπ = sin aπ a + n a sin aπ ( 1 a n, n a sin aπ sin aπ ( 1 = π cos aπ. a n a Az x = helyen a függvénynek szakadási pontja van, így a.4 tétel alapján a Fourier-sor összege 1 (f( + f(π = π (1 + cos aπ, így: a sin aπ a n = π sin aπ (1 + cos aπ. a 4

25 3.11 Feladat: Legyen f(x = π a (, π intervallumon. Fejtsük olyan tiszta szinuszos Fourier-sorba, amivel ki tudjuk számolni a következő numerikus sorok 4 összegét: (a (b (c A fenti függvény Fourier-sora akkor lesz tisztán szinuszos, ha páratlan kiterjesztést kreálunk. Ekkor a függvény: f(x = π 4 ha x (, π és f(x = ha x (,, f( =. 4 Az együtthatók: a n =, b n = [ ] π π 1 sin nxdx = cos nx = π 4 n = 1 [ ( 1 n 1 ] = 1 ( 1n. n n Tehát: π 4 = n= sin(n + 1x n + 1 x (, π, amit egy másik függvény Fourier-sorából már megkaptunk a 1. oldalon, továbbá: π 4 = n= sin(n + 1x n + 1 x (,. Az x = π helyen vizsgálva a fenti függvénysort: π 4 = ( 1 n 1 n + 1 = n= A (b feladatban szereplő sorban láthatóan nem szerepelnek a hárommal osztható páratlan számok reciprokai. Így az ötlet az, hogy az x = π helyen vizsgálódjunk, 3 sin(n + 1x mivel itt a számlálója nullát ad n = 1-re, n = 4-re, stb. n + 1 Legyen tehát x = π 3. Ekkor π 4 = 3 ( , 5

26 Továbbá, π 3 = A (c feladathoz vizsgáljuk a kifejezést az x = π 4 helyen: Mivel π 4 = n= sin(n + 1 π 4 n + 1 = 1 ( , így a keresett összeg a π Feladat: Legyen f(x = x a (, π intervallumon. Keressünk olyan kiterjesztést, aminek Fourier-sorával ki tudjuk számolni a következő numerikus sor összegét: Ha a páros kiterjesztést választjuk, akkor az f(x = x, x (, π (π szerint periodikusan kiterjesztett függvényt kapjuk. Már korábban kiszámoltuk, hogy x = π 4 ( cos 3x cos 9x cos x π 9 5 Itt elvégezve az x = helyettesítést: = π 4 ( π , ahonnan = n= 1 (n + 1 = π 8. 6

27 Források: Laczkovich Miklós T. Sós Vera - Valós Analízis II batka/oktatas/fouriersor.pdf (Bátkai András jegyzete Tolstov G.P. - Fourier series 7