Adatok: fénysebesség, Föld sugara, Nap Föld távolság, Föld Hold távolság, a Föld és a Hold keringési és forgási ideje.

Átírás

1 FOGALMAK, DEFINÍCIÓK Az SI rendszer alapmenniségei. Síkszög, térszög. Prefixumok. Adatok: fénsebesség, Föld sugara, Nap Föld távolság, Föld Hold távolság, a Föld és a Hold keringési és forgási ideje. Fogalmak, definíciók: kinematika, dinamika, tömegpont, helvektor, pála, út, elmozdulás, vonatkoztatási rendszer, sebesség, gorsulás, homogén, stacionárius, determinisztikus, inerciarendszer, erő, tömeg, mozgásegenlet, szögsebesség, szöggorsulás, körfrekvencia, frekvencia, amplitúdó. Tömegpont kinematikája Tömegpont mozgásának leírása: helvektor, vonatkoztatási rendszer, pála, út, elmozdulás. Sebesség, gorsulás. A helvektor, a sebességvektor és a gorsulásvektor irána, nagsága. Egenes vonalú mozgás; egenletes mozgás, egenletesen változó mozgás. Körmozgás. Egenletes és egenletesen változó körmozgás. Szögsebesség, szöggorsulás. A gorsulás tangenciális és centripetális komponense. Harmonikus rezgőmozgás. Periódusidő, frekvencia, körfrekvencia, amplitúdó. Rezgések összetétele. Tömegpont dinamikájának alapjai A mechanika axiómái. Inerciarendszer. Erő, erőtér. Tömeg. Dinamikai és sztatikai erő és tömegmérés. Mozgásegenlet. Kezdeti feltételek. Erőtörvének: földi nehézségi erőtér, súrlódási erők, kénszererők, rugóerő (lineáris rugalmas erő). Mozgás homogén erőtérben, hajítások. Koordinátarendszerek (Descartes koordinátarendszer, síkbeli polárkoordináta rendszer). Vektor komponensei, abszolút értéke. Műveletek vektorokkal. Egségvektor. Skalárszorzat, vektoriális szorzat. Egségvektor deriváltja. Időfüggő menniség megváltozása. Átlagos változási sebesség, (pillanatni) változási sebesség. Differenciálás, integrálás; a differenciálás és integrálás grafikus jelentése: irántangens, görbe alatti terület. Hatván, szinusz/koszinusz függvén, konstansszoros, összeg, szorzat, összetett függvén differenciálása. 1

2 KÉRDÉSEK, FELADATOK RÉGI ZÁRTHELYIKBŐL: Az alábbi állítások közül melek azok, amelek általános esetben érvénesek; amelek soha nem igazak; amelek csak eges speciális esetekben érvénesek (mikor)? <1> A gorsulás koordinátája egenlő a sebesség koordinátájának idő szerinti deriváltjával. <> Polárkoordináta rendszerben eg adott pontban az e r és e egségvektorok által bezárt szög függ a pont helétől. <3> A gorsulás idő szerinti deriváltja egenlő a helvektor idő szerinti integráljával. <4> Ha két test sebességvektora minden időben megegezik, akkor megegezik a helvektoruk is. <5> Ferde hajításnál a vízszintes sebességkomponens állandó. <6> Ferde hajításnál a függőleges sebességkomponens állandó. <7> Csak eg inerciarendszer létezik. <8> Ha inerciarendszerben eg test sebessége állandó, akkor nem hathat rá erő. <1> Igaz; Descartes koordinátarendszerben uganis v(t) = v x (t)i+ v (t)j+v z (t)k, a v v xi v j v zk xi j zk, azaz a v <> Nem igaz; az e r és e egségvektorok által bezárt szög mindig derékszög <3> Nem igaz; a helvektor deriváltja egenlő a gorsulás integráljával (megfelelő kezdeti feltételekkel) <4> Csak abban a speciális esetben igaz, ha tudjuk, hog eg időben megegezett a helvektoruk ekkor igaz, hog bármel más időben is megegezik (megfelelő kiindulási feltétel esetén igaz) <5> Igaz, mert vízszintes iránban a gorsulás zérus. (((feltéve, hog a közegellenállás elhanagolható))) <6> Nem igaz, a g gorsulás miatt a sebesség v z = v z0 gt. (((Illetve lehet igaz, ha figelembe vesszük a közegellenállást, akkor kialakulhat eg stacionárius sebesség))) <7> Nem igaz; eg inerciarendszerhez képest egenes vonalú egenletes transzlációt végző vonatkozatási rendszer is inerciarendszer (azaz végtelen sok inerciarendszer létezik) <8> Nem igaz; az erők eredője zérus Igaz e, hog <1> az út idő görbének lehet vízszintes érintője? Ha igen, mit jelent az? <> görbe vonalú mozgásnál a sebesség nagsága mindig változik? Minden válaszhoz indoklást is kérünk! <1> IGEN, ekkor a sebesség zérus <> NEM IGAZ, a sebesség nagsága lehet állandó (az irána változik, és íg a sebességvektor is) másrészt a centripetális erő miatt

3 Az alábbi állításokról döntse el, hog lehet e igaz! Indokolja! <1> Eg tömegpont sebességvektora időben változik, de uganakkor a sebességének nagsága állandó. <> Eg tömegpont sebességének nagsága időben változik, de uganakkor a sebességvektora állandó. <3> Eg tömegpont átlagsebessége a [0; 0 s] időintervallumban nem zérus, de a [0; 60 s] időintervallumban zérus. <4> Eg tömegpont átlagsebessége a [0; 60 s] időintervallumban zérus, de a [0; 0 s] időintervallumban nem zérus. <5> Tömegpont mozog az x tengel mentén. A sebessége pozitív és a gorsulása negatív. <6> Tömegpont mozog az x tengel mentén. A sebessége negatív és a gorsulása pozitív. <1> Igaz lehet, ha a vektor irána változik. <> Nem lehet igaz. Két vektor akkor egenlő, ha nagságuk és iránuk megegezik. <3 4> Ez a két kérdés uganaz. Mivel az átlagsebesség az elmozdulásvektor és az eltelt idő hánadosa, igaz lehet az állítás, ha a [0; 60 s] intervallumban a tömegpont visszatér a kiindulópontba, ahol t = 0 ban volt. <5 6> Ezekre a kérdésekre bármi lehet igaz. A gorsulás a sebesség deriváltja, de nincs semmi megkötés arra, hog ha az egik pozitív/negatív, milen kell legen a másik előjele. (Az viszont itt mindkét esetben igaz, hog a sebesség abszolút értéke csökken.) Írjon fel 3 példát erőtörvénre! Írja le, melik mire, mikor érvénes! Az egikhez írja fel a mozgásegenletet is! Az erőtörvének azt adják meg, hog mitől, hogan függ az erő eg adott kölcsönhatás esetén. Példák: Földi nehézségi erőtér G = mg = mgk A Földfelszín közelében lévő testekre hat. Irána függőleges, a Föld középpontja felé mutat; g a gravitációs gorsulás. Csúszási súrlódási erő F = N Ha eg test eg szilárd felületen mozog, akkor rá a mozgásiránnal (azaz v vel) ellentétes iránú csúszási súrlódási erő hat; csúszási súrlódási ténező, N a (felület által a testre kifejtett) nomóerő. Tapadási súrlódási erő Az az erő, amelet a felület fejt ki a (felülethez képest nugalomban lévő) testre, ha a testet más erő mozgásba kívánja hozni. A tapadási súrlódási erő maximális értéke F t, max = t N. Gördülő ellenállási erő F = g N Henger, gömb, kerekek gördülésénél fellépő fékező erő. Lineáris rugalmas erőtörvén F = k x A rugó által kifejtett erő arános a rugó megnúlásával, mindig a nugalmi hossz felé mutat. x a megnúlás, x= l l 0, l a rugó aktuális hossza, l 0 a rugó hossza megnújtatlan állapotban; k a rugóállandó. (Rugalmas: az erő csak a pillanatni kitéréstől függ, lineáris: az erő arános a kitéréssel.) 3

4 Mozgásegenlet: (a II. axiómába behelettesítjük az aktuális erőtörvént, és a gorsulást a helvektor második deriváltjaként írjuk fel) pl. m r mgk Adjuk meg a következő menniségeket: a) A Föld sugara mm ben: b) m = 0 g, a = 6480 km/h. Adjuk meg a testre ható erő nagságát N ban! c) A Föld keringési ideje percben: a) 6, mm b) a = 6480 km/h 1000m = 6480 (3600s) c) , min = 0,5 m/s, F = ma = 0,0 0,5 = 0,01 N Az E épület liftjével az 1. emeletről megünk le a földszintre, ehhez a liftnek 4,5 m t kell ereszkednie. A lift induláskor 0,5 s alatt gorsít fel (állandó nagságú gorsulással) az 1,5 m/s os állandó sebességére, fékezéskor ugancsak 0,5 s alatt fékez le álló helzetbe. Ábrázoljuk (megfelelően beskálázott koordinátarendszerekben) az idő függvénében a lift gorsulását, a lift sebességét, a lift által megtett utat! A gorsulás nagsága a = v / t = 1,5 / 0,5 = 3 m/s. Ha a z tengelt a szokásosnak megfelelően felfelé pozitívnak vesszük fel, akkor az első 0,5 s ban a gorsulás 3 m/s, az utolsó 0,5 s ban a gorsulás + 3 m/s, közben pedig zérus. A sebesség zérusról indulva lineárisan csökken 1,5 m/s ra az első 0,5 s ban és nő 0 ra az utolsó 0,5 s ban, közben pedig állandó. A teljes időt (vagis azt, hog menni ideig meg a lift állandó nagságú sebességgel) abból tudjuk kiszámolni, hog összesen 4,5 m t kell megtennie. Az első 0,5 s ban a megtett út az idő függvénében s 1 (t) = ½ a t = 1,5 t, t 1 = 0,5 s behelettesítésével az első 0,5 s alatt megtett út s 1v = 0,375 m, és uganennit tesz meg az utolsó 0,5 s ban is. Az állandó sebességű részen tehát s v = 4,5 0,375 = 3,75 m t kell megtennie, az ehhez szükséges idő t = s v / v = 3,75/1,5 =,5 s. Tehát a z koordináta az első 0,5 s alatt z 1 (t) = 1,5 t (parabola), a középső,5 s alatt z (t) = z 1v + vt = 0,375 1,5 t (lineáris), az utolsó 0,5 s alatt z 3 (t) = s v + vt + ½ at = 3,75 1,5t + 1,5t (parabola). 4

5 Eg tömegpont harmonikus rezgőmozgást végez az x tengel mentén: A/ x(t) = x* cos ( t + ), ahol x* = m, = /5 s 1 B/ x(t) = x* cos ( t /), ahol x* =,4 m, = / s 1 a) Ábrázoljuk a test x koordinátáját a [0, T] időintervallumban! (Menni a T periódusidő? Mekkora az A amplitúdó? Honnan indul a test a t = 0 s ban?) b) Menni a sebesség átlagértéke eg teljes periódusra? c) Menni a sebesség nagságának átlagértéke eg teljes periódusra? a) A/ T = / = 5 s, A = * x = m, x(0) = cos( 0+ m B/ T = / = 4 s, A = * x =,4 m, x(0) =,4 cos( 0 0 b) Mivel eg teljes periódus alatt a tömegpont visszatér a kiindulási helzetébe, az elmozdulás zérus, vagis a sebesség átlagértéke zérus. c) Eg teljes periódus alatt a tömegpont kétszer meg ki a szélső helzetébe és meg vissza az origóba, azaz a megtett út 4 szerese az amplitúdónak, a sebesség nagságának átlaga v átl = 4A / T, azaz A/ v átl = 4 /5 = 1,6 m/s, B/ v átl = 4,4/4 =,4 m/s. 50 m/s kezdősebességgel függőlegesen felfelé hajítunk eg követ. Uganakkor eg 50 m magas toronból szabadeséssel leesik eg másik kő. a) Melik pillanatban vannak azonos magasságban? b) Mekkora ekkor az egik ill. másik sebessége? a) Fölfelé mutató z tengelt használva a feldobott kő z koordinátája z 1 = 50 t ½gt, a leesőé z = 50 ½gt. z 1 = z : 50 t ½gt = 50 ½gt t = 1 s. b) v = v 0 gt: v 1 = = 40 m/s, v = 10 1 = 10 m/s. 5

6 790 m magasságban állandó, 960 km/h vízszintes sebességgel haladó repülőgépről leesett az egik ajtó. Szupermen is azon a repülőgépen utazott, de éppen aludt. 10 s ig tartott, amíg felébresztették és elmondták neki, mi történt. Ekkor azonnal (0 s alatt) odaszaladt az ajtó helén tátongó lukhoz és a) függőlegesen lefelé v 0 kezdősebességgel elrugaszkodva utánaugrott az ajtónak. Mekkora kezdősebességgel ugrott ki Szupermen, ha 3 s alatt érte utol az ajtót? b) zérus kezdősebességgel, de különleges képességeit felhasználva állandó nagságú, függőleges gorsulással indult az ajtó után (ez a gorsulás hozzáadódik a nehézségi erőből eredő gorsulásához). Legalább mekkorának kellett lenni ennek a gorsulásnak, hog még a levegőben elérje az ajtót? A g értékét vegük 9,9 m/s nek. A légellenállást hanagoljuk el! Ha a légellenállást elhanagolhatjuk, akkor a leesett ajtóra nem hat vízszintes iránú erő, megtartja a repülőgép sebességével megegező vízszintes sebességkomponensét, mindig a repülőgép alatt lesz. A feladat megoldásához elég a z koordinátát felírni. a) 10+3 s alatt az ajtó s = ½ 9,9 13 = 836,55 m t zuhant. Szupermen t S = 3 s alatt v 0 kezdősebességről indulva tesz meg ekkora utat: s = v 0 t S + ½ g t S v 0 = (s ½ g t S ) / t S = 64 m/s. b) Az ajtó h = 790 m magasságból t a = h / g = 40 s alatt ér földet. Ennél 10 s mal kevesebb idő alatt kell Szupermennek földet érnie, ha még a levegőben el akarja kapni az ajtót. s = ½ (g+a)t = s/t g 790/(40 10) 9,9 = 7,7 m/s. Eg fekete autó 84 km/h sebességről 10 km/h sebességre gorsít fel 4 s alatt állandó gorsulással, eg fehér autó pedig 48 km/h ról 84 km/h ra ugancsak 4 s alatt szintén állandó gorsulással A: egenes úton, B: R = 150 m sugarú köríven. A két autó tömege egenlő. Igaz e, hog a) a fekete autó gorsulása nagobb? b) a fekete autó nagobb utat tesz meg eközben? a) A: nem B: igen Egenes úton a fekete és a fehér autó gorsulása megegezik, mert a sebességváltozás és az eltelt megegezik (tehát nem igaz, hog a fekete autó gorsulása nagobb) Köríven viszont a fenti gorsulás még csak az érintőiránú (tangenciális) gorsuláskomponens (ami a sebesség nagságának változását okozza), itt viszont figelembe kell venni a (sebességvektor iránának változását okozó) centripetális gorsuláskomponenst is, ami v tel arános, tehát a fekete autónál nagobb. Az eredő gorsulás a t cp, tehát köríven igaz, hog a fekete autó gorsulása nagobb. b) A: igen B: igen A megtett út s = v 0 t + ½at. A kezdősebességet, v 0 at kivéve minden megegezik, tehát az az autó, amelik nagobb sebességről indult, nagobb utat tesz meg, akár egenesen, akár köríven halad. 6

7 Eg fekete autó egenes úton, eg fehér autó pedig R = 40 m sugarú köríven 108 km/h sebességről 16 km/h sebességre gorsít fel 5 s alatt állandó kerületi gorsulással. a) Igaz e, hog fehér autó gorsulása nagobb? b) Írjuk fel a fehér autó szögsebességét az idő függvénében! a) Igaz, mert a kerületi/tangenciális gorsulásuk azonos: v 1 = 108/3,6 = 30 m/s, v = 16/3,6 = 35 m/s, a t = v/ t = (35 30)/5 = 1 m/s ; de a fehér autónak a körpála miatt centripetális gorsulása is van, íg annak gorsulása a t cp t b) 1 = v 1 /R = 30/40 = 0,75 s 1, = v /R = 35/40 = 0,875 s 1, t = (0,875 0,75)/5 = 0,05 s, (vag: = a t / R = 1/40 = 0,05 s ), azaz = 1 + t = 0,75 + 0,05 t (s 1 ) MEGOLDÁS NÉLKÜL: Eg m tömegű tömegpont gorsulása a. A tömegpontra két erő hat, az egik erő (F 1 ) ismert. Határozzuk meg képletben és szerkesztéssel az ismeretlen másik erőt (F )! Segítség a megoldáshoz: Az eredő erő iránába mutat a gorsulás. Eg m = 0 g tömegű test állandó erő hatására mozog az x síkban. A test a t 1 = s időben a P 1 (10 m, 0 m) pontban van, sebessége a + tengel iránába mutat és nagsága v 1 = 10 m/s. A test a t = 6 s időpontban a P ( 6 m, 0 m) pontban van, a sebessége a x tengel iránába mutat és nagsága v = 8 m/s. a) Mekkora az erő nagsága? b) Mekkora a test sebessége a t 3 = 8 s időpontban, és hol lesz a test akkor? Segítség a megoldáshoz: A fenti adatokkal felírható v(), r(), v(6) és r(6). Ha az erő állandó, akkor v = v 0 + at = v/ t, tehát v() ből és v(6) ból meghatározható a és v 0, majd behelettesítéssel a többi [ r = r 0 + v 0 t + at ]. 7