Mechanika. II. előadás március 4. Mechanika II. előadás március 4. 1 / 31

Átírás

1 Mechanika II. előadás 219. március 4. Mechanika II. előadás 219. március 4. 1 / 31

2 4. Merev test megtámasztásai, statikai feladatok megtámasztás: testek érintkezése útján jön létre, az érintkezés során egmásra erőt fejtenek ki merev testek érintkezése: pontszerű: a két test egetlen pontban érintkezik, a támasztó-erőrendszer egetlen koncentrált erő F vonalszerű: a két test eg vonal mentén érintkezik, a támasztó-er vonal mentén megoszló ER [ ] f N m felület menti érintkezés: a két test [ felület ] mentén érintkezik egmással, a támasztó-er felület mentén megoszló ER p N m 2 Mechanika II. előadás 219. március 4. 2 / 31

3 4. Merev test megtámasztásai, statikai feladatok 4.1 A Coulomb-féle súrlódási modell és törvén (száraz súrlódás esete, Charles Augustine de Coulomb, francia fizikus) a) kísérleti tapasztalatok: T : tolóerő, N leszorító erő támasztó-er eredője: F = F n + F t F n = N a támasztóerő normál iránú összetevője nugalom: F t = T a súrlódási erő T N F t F t F n F F t nugalom mozgás T Mechanika II. előadás 219. március 4. 3 / 31

4 4. Merev test megtámasztásai, statikai feladatok b) a Coulomb-féle súrlódási törvén: kapcsolat az F n és F t között nugalom esetén: F t µ F n; F t = µ F n mozgás esetén: F t = µf n ahol µ a nugalmi (tapadási), µ a mozgásbeli súrlódási ténező µ,1,9 µ > µ Mechanika II. előadás 219. március 4. 4 / 31

5 4. Merev test megtámasztásai, statikai feladatok c) a Coulomb-féle súrlódási kúp = tan α F t F n F törvén: t µ F n a nugalom feltétele legen µ = tan ρ, íg F t = tan α µ F n = tan ρ tan α tan ρ α ρ következmén: a nugalom feltétele, hog a támasztó ER eredőjének hatásvonala a súrlódási kúp palástja (F t = F t a nugalmi helzet határa), vag azon belül legen mozgás esetén F t F n = µ sima felület/támasz: µ = µ = : F t = ; a támasztóerő merőleges a támasztó felületre a súrlódási törvént érvénesnek tekintjük pontszerű/vonalszerű érintkezés esetén ρ F t F n α F Mechanika II. előadás 219. március 4. 5 / 31

6 4. Merev test megtámasztásai, statikai feladatok 4.2 Megtámasztások fontosabb típusai síkban a) a támasztóerő irána ismert, nagsága ismeretlen sima támasz: F F, KR: F F arána ismert súltalan kötél, vag rúd támasza F F Mechanika II. előadás 219. március 4. 6 / 31

7 4. Merev test megtámasztásai, statikai feladatok görgős támasz (görgő) F F F jelölés csúszka (sima) µ = F F KR-ben F és F ismeretlen F F ismert a hatásvonal miatt Mechanika II. előadás 219. március 4. 7 / 31

8 4. Merev test megtámasztásai, statikai feladatok b) a támasztóerő nagsága és irána ismeretlen érdes megtámasztás F F csukló, csuklós támasz F jele: KR-ben: F = F e + F e mind F, mind F ismeretlen Mechanika II. előadás 219. március 4. 8 / 31

9 4. Merev test megtámasztásai, statikai feladatok befogás, befalazás F F M M z KR-ben: F = F e + F e M = M z e z 3 db ismeretlen Mechanika II. előadás 219. március 4. 9 / 31

10 4. Merev test megtámasztásai, statikai feladatok 4.3 Statikai feladatok megoldása statikai feladat: merev test az ismert terhelő-erőrendszer és a támasztásoknál fellépő ismeretlen erőrendszer hatására tartós nugalomban van. Keresett a támasztó-er. megoldás: tartós nugalom, statika alaptétele, támasztó ER + terhelő ER külső ER, mel egúttal egensúli ER. statikai (egensúli) egenletekkel dolgozunk, számuk síkban 3 db, térben 6 db. Mechanika II. előadás 219. március 4. 1 / 31

11 5. Megoszló erőrendszerek vonal, vag felület mentén érintkező testek kölcsönhatásának eredméne a vonal, vag felület mentén megoszló ER térfogaton megoszló ER (pl. gravitáció) 5.1 Egenes vonal mentén megoszló ER (síkbeli) f () F F F M O O f () C C f (l) ismert: a megoszló ER sűrűségvektora [ ] f = f e N egségni hosszra eső erő m kérdés: a megoszló ER eredője és nomatéka a) a megoszló ER redukált vektorkettőse szakaszon ható erő: F = f () [N] a megoszló ER eredője: F n = lim n F = lim l f = f ()d [N] n i=1 n i=1 Mechanika II. előadás 219. március / 31 l

12 5. Megoszló erőrendszerek a megoszló ER nomatéka az O pontra M O = e F = F e z = f () e z Ez a F erő nomatéka karon O pontban. n M O = lim n l M O = lim f () e z = f ()d e z n n, i=1 i=1 l M O = f ()d e z [Nm] a megoszló ER nomatéka az O pontra. = következmén: ( bármel ) vonal mentén megoszló ER helettesíthető eg eredő erővel és eg nomatékkal. F ; MO a megoszló ER redukált vektorkettőse az O pontban. O Mechanika II. előadás 219. március / 31

13 5. Megoszló erőrendszerek b) a megoszló ER centrális egenese keresett: C( C ; ) pont, a centrális egenes O-hoz legközelebb eső pontja r OC = 1 F 2 F e M O ez = 1 F 2 FM O e = M O F e = C e C = M O F = l f ()d l f ()d szemléletből nomaték az O pontra: ( C F ) e z = M O e z C = M O F Mechanika II. előadás 219. március / 31

14 5. Megoszló erőrendszerek c) egváltozós függvén integrálása numerikusan: Simpson-formula = f() f a f k f b a a+b 2 l b b a f ()d = b a 6 ez a képlet pontos legfeljebb 3-adfokú polinomig (f a + 4f k + f b ) Mechanika II. előadás 219. március / 31

15 5. Megoszló erőrendszerek egenletesen megoszló terhelés F = fl f F M O = f l2 2 C = l 2 l adott: f () = f = áll., kérdés: eredő, M O, C eredő: F l l l = f ()d e = f d e = f d e = f [] l e = fl e nomaték az O pontra: M l l [ ] O = f ()d e z = f d e z = f 2 l e 2 z = f l2 2 ez a centrális egenes O-hoz legközelebb eső C pontja: C = M O F = f l 2 2 fl = l 2 [m] Mechanika II. előadás 219. március / 31

16 5. Megoszló erőrendszerek lineárisan megoszló terhelés a) = f () b) F F f f M O l 2 C = 2l 3 l l 3 l f () = f l f () = f f l a) b) l M O = l F = f ()d = l 6 f ()d = l ( + 4 l f fl ( + 4 f2 + f ) = fl 2 [N] ) = fl2 3 [Nm] C = M O F = 2 3 l [m] F = fl 2 ; M O = fl2 6 ; C = l 3 Mechanika II. előadás 219. március / 31

17 5. Megoszló erőrendszerek másodfokú polinom (parabola) szerint megoszló terhelés a) = f () b) F M O f 4 F f C = 3l 4 l f l 4 = f () l f () = f l 2 2 f () = f l 2 ( l) 2 a) b) l M O = l F = f ()d = l 6 f ()d = l ( + 4 l ) f fl = l ( + 4 f4 + f ) = fl 3 fl = fl2 4 C = M O F = 3 4 l F = fl 3 ; M O = fl2 12 ; C = l 4 Mechanika II. előadás 219. március / 31

18 5. Megoszló erőrendszerek másodfokú polinom (parabola) szerint megoszló terhelés a) érintő f F = f () b) = f () érintő f O C = 3l 8 l C = 5l 8 l f () = f f l 2 2 f () = f f l 2 ( l) 2 a) F = 2 3 fl M O = fl2 4 C = 3 8 l b) F = 2 3 fl M O = 5fl2 12 C = 5 8 l Mechanika II. előadás 219. március / 31

19 5. Megoszló erőrendszerek 5.2 Vonal mentén, felületen és térfogaton megoszló ER-ek vonal mentén megoszló felületen megoszló térfogaton megoszló f(s) d F s = l d F p dv V s = s z r(s) ds da z A g d F z sűrűségvektor f = f(s) [ N m ] p = p( r) [ N m2] q = q( r) [ N m 3 ] elemi erő d F = f(s)ds [N] d F = pda [N] d F = qdv [N] eredő erő F = d l F = f(s)ds [N] F = pda [N] F = qdv (A) (V ) [N] nomaték O-ban M l O = r df = l = r f(s)ds [Nm] M O = r pda [Nm] M O = r qdv (A) (V ) pl.: q = ρg e [Nm] következmén: bármel megoszló ER helettesíthető a test/tér eg tetszőleges pontjában eg koncentrált erővel és eg nomatékkal az ER redukált vektorkettősével Mechanika II. előadás 219. március / 31

20 6. Tömegközéppont, súlpont, statikai nomaték 6.1 Tömegpontrendszer tömegközéppontja és súlpontja a) Tömegpont statikai nomatéka O z r P = r OP P m a P anagi ponthoz eg skaláris menniséget rendelünk: m tömeg [kg]. Tömeg: a tehetetlenség mértéke. Értelmezés: a P pontbeli m tömeg statikai nomatéka az O pontra: S O = r OP m [kgm] tömegpont tömegközéppontja: P, S P = (ez eg segédmenniség, lineáris vag elsőrendű nomatéka m-nek) egetlen m Mechanika II. előadás 219. március 4. 2 / 31

21 6. Tömegközéppont, súlpont, statikai nomaték b)tömegpontrendszer tömegközéppontja ismert: P i, m i, i = 1,..., n, r OPi r i keresett: a tömegpontrendszer tömegközéppontja: r T a tömegpontrendszer össztömege: (eredő tömeg) m = m 1 + m m n = n m i i=1 értelmezés: az m i, i = 1,..., n tömegpontrendszer tömegközéppontja az a pont, amelben a tömegpontrendszer az m össztömegével helettesíthető olan módon, hog erre a pontra (T ) a tömegpontrendszer statika nomatéka zérus m 1 P 1 r1 O z r i r T P i m i T Mechanika II. előadás 219. március / 31

22 6. Tömegközéppont, súlpont, statikai nomaték meghatározása: n S O = r 1 m r nm n = r i m i i=1 S O = m r OT átszámítás másik pontba: r OT m = r 1 m r nm n n r i m i i=1 r OT r T = m S A = S O + r AO m = S O m [m] (analógia: M A = M O + r AO F ) például: S T = S O + r TO m = m r OT + m r TO = a statikai nomaték koordinátái eg tömegpont esetén: S O = r OP m = OP m e + OPm e + z OPm e z }{{}}{{}}{{} S z S z S itt S z, S z, S rendre az z, z és koordináta-síkokra számított statikai nomaték Mechanika II. előadás 219. március / 31

23 6. Tömegközéppont, súlpont, statikai nomaték c) tömegpontrendszer súlpontja ismert: m i, r i, i = 1,..., n, g, e: gravitációs erőtér (gorsulás, irán) (Föld: g 9,81 m s ) G 2 i = m i g = m i g e [ kgm s 2 ] = N a tömegpontrendszer eredő súla (összsúla) G = G 1 + G G n = n (m i g) = ( i=1 n = ) m i g = m g i=1 értelmezés: az m i i = 1,..., n tömegpontrendszer súlpontja az a pont, amelben a tömegpontrendszer G i súlerői a G eredő súlerővel helettesíthető gravitáció iránától és nagságától függetlenül olan módon, hog erre a pontra a súlerőrendszer nomatéka zérus m 1 P 1 G 1 r1 e O z r i P i m i r S S G centrális egenes Gi Mechanika II. előadás 219. március / 31

24 6. Tömegközéppont, súlpont, statikai nomaték a súlpont meghatározása: ( M O = r 1 G r n G n n ) n = r i m i g = r i m i g i=1 i=1 M O = r S G = r S m g = ( r S m ) g Magarázat: a zárójelben álló menniségeknek meg kell egezniük n r S m = r i m i i=1 n r i m i i=1 r S = r T m következmén: a tömegközéppont és a súlpont egbeesik: S T Mechanika II. előadás 219. március / 31

25 6. Tömegközéppont, súlpont, statikai nomaték 6.2 Merev test tömegközéppontja és súlpontja [ ] a test sűrűsége: ρ = ρ( r) kg m 3 homogén test: ρ = áll. az elemi térfogat: dv = dddz az elemi tömeg: dm = ρdv a test n térfogata: V = lim V = n, m i=1 dv = dddz V z a test tömege: m= ρdv = dm = ρdddz (V ) (V ) z a test súla: n G = lim m g = dm g = m g, ρg = γ n, m i=1 (V ) a merev test statikai nomatéka az O pontra: S n O = lim m r = n, m i=1 rdm = rρdv (V ) (V ) z r r T [ N m 3 ] a fajsúl d G T dv dm = ρdv Mechanika II. előadás 219. március / 31

26 6. Tömegközéppont, súlpont, statikai nomaték a merev test tömegközéppontja és súlpontja azonos: r S r T = rdm S Om (V ) = dm [m]; (V ) S O = r T m ρ rdv ρ rdv rdv rdv (V ) a homogén test súlpontja: r S = r T = ρdv = (V ) ρ dv = (V ) dv = (V ) ; V (V ) (V ) (V ) rdv = r T V (V ) Mechanika II. előadás 219. március / 31

27 6. Tömegközéppont, súlpont, statikai nomaték 6.3 Speciális merev testek súlpontja a) homogén rúd keresztmetszet: A = áll.; ρ = áll. rúd hossza: l = ds (l) a rúd tömege: m = dm = ρdv = ρ dads = (V ) (A) (l) (A) (l) ρ da ds = ρal = ρv z s dv ds s = S T (A) l }{{}}{{} A l statikai nomaték: S O = rρdv = ρ rdads = (V ) (A) (l) ρ da rds = ρa rds (A) (l) (l) súlpont: r S = ρa rds rds S Om (l) (l) = = ; ρal l vonal: ha A, akkor ρa = 1, íg továbbra is érvénesek a fenti képletek Mechanika II. előadás 219. március / 31 s = l

28 6. Tömegközéppont, súlpont, statikai nomaték b) homogén merev lap vastagsága: h = áll. (z iránban) sűrűség: ρ = áll. felület: A = da = dd (A) statikai nomaték: S O = rdm = rρdv = (V ) (V ) ρ rdv = ρ rdadz = ρh rda (V ) (A) (h) (A) S O r r T da S T súlpont: r S r T = ρh rda rda S Om (A) (A) = =, ρah A koordinátái: r S = S e + S e, r = e + e, ezek da da (A) S = = S A A, (A) S = = S, ahol S = da és S A A = da rendre az és (A) (A) tengelre számított (lineáris) statikai nomaték. Megjegzés: ha és tengelek átmennek a súlponton, akkor O S, S O, és S = S = Mechanika II. előadás 219. március / 31 S

29 7. Szerkezetek statikája Feladat: több merev testből álló rendszer tartós nugalmához szükséges külső és belső erők meghatározása 7.1 Jelölések, statikai határozottság, megoldhatóság két merev testből álló rendszer S 1 D F 12 A F A S 2 G 1 G 2 F C S 2 C A F A F 21 G 1 G 2 C F C F A F B B F B B Adott: az ábra a méretekkel egütt, ill. µ = ismeretlen külső ER: F A = F A e + F A e ; F B = F B e ; F C = F C e. Az egész (1+2) szerkezetre összesen 3 statikai (egensúli) egenlet írható fel. Mechanika II. előadás 219. március / 31

30 7. Szerkezetek statikája ismeretlen belső erők: 1-ről a 2-re: F 12 = F 12 e F 12 e 2-ről az 1-re: F 21 = F 21 e + F 21 e és: F 12 = F 21 ; vag F 12 + F 21 = továbbá: ismert az F 12 irána is, azaz az F 12 arán. Következmén: a belső erő eg F 12 ismeretlent jelent. az 1 és 2 test a rájuk ható külső és belső erők hatására külön-külön tartós nugalomban van egensúli erőrendszerek a) 1+2 külső ER-re: 3 egensúli egenlet b) 1 külső és belső ER-re: 3 egensúli egenlet c) 2 külső és belső ER-re: 3 egensúli egenlet Ez összesen 6 db független statikai (egensúli) egenlet n db merev testből álló rendszer esetén síkban 3n független egenlet; térben 6n független egenlet írható fel az ismeretlenek száma legen n i, a felírható független egenleteké pedig n e a felrajzolt példában: n e = 6, n i = 5, vagis n e > n i, a feladat tehát megoldható Mechanika II. előadás 219. március 4. 3 / 31

31 7. Szerkezetek statikája statikailag határozott szerkezet: értelmezés eg merev testekből álló rendszer statikailag határozott, ha a külső és belső ER ismeretlenjeinek száma és a felírható független statikai egenletek száma megegezik, vagis n e = n i ha n e > n i, akkor a szerkezet labilis, mozgékon, de a támasztó ER számítható, a feladat megoldható (statikailag túlhatározott) ha n e < n i, akkor a szerkezet statikailag határozatlan, és csak egensúli v. statikai egenletekkel nem számítható a támasztó ER. például eg merev test: n e = 3 n i n e esetén oldható meg a feladat Mechanika II. előadás 219. március / 31