Mechanika I. Statika

Átírás

1 echanika I. Statika Zalka Károl 3 q 3 C udapest, 08

2 Zalka Károl, , ásodik kiadás Szabad ezt a kiadvánt sokszorosítani, terjeszteni és elektronikus vag bármel formában tárolni. Tilos viszont a kiadvánt bármel formában megváltoztatni és bármel formában értékesíteni. Lektorok: Horváth Lászlóné azakas argit okl. építőmérnök Lőrincz Görg PhD okl. építőmérnök v.3,

3 Tartalomjegzék Előszó. evezetés. lapfogalmak.. Erő.. Erőrendszer 3..3 Eredő erő; erőösszetétel; erőfelbontás 3..4 Egensúl 3..5 Egenértékűség 4..6 Erő vetülete 4..7 Erő nomatéka 5. statika alaptételei 5.. z első aióma 6.. második aióma 7..3 harmadik aióma 8..4 negedik aióma 9.3 Közös metszéspontú két erő összetétele 0.3. Közös hatásvonalon működő két erő összetétele 0.3. Végesben metsződő két erő összetétele 0. Síkbeli erőrendszer. Síkbeli erőrendszer összetétele eredővé.. egoldás szerkesztéssel.. egoldás számítással 5..3 Gakorló feladat 9..4 Síkbeli erőrendszer összetételének különleges esetei. Egensúlban lévő síkbeli erőrendszer 8.. z egensúl feltételei 8.. z egensúl feltételi egenleteinek alkalmazása síkbeli erőrendszer általános vizsgálatára 3..3 Gakorló feladat 33.3 Síkbeli erőrendszer egensúlozása Egensúlozás eg erővel Egensúlozás két erővel Egensúlozás három erővel Gakorló feladatok 4.4 Síkbeli tartók tartó alakja tartók alátámasztása Tartószerkezetek osztálozása 47 - iii -

4 .4.4 terhelő erők Gakorló feladatok Rácsos tartók evezetés rúderők meghatározása a csomóponti módszerrel Gakorló feladatok: a rúderők meghatározása a csomóponti módszerrel hármas átmetszés módszere Gakorló feladatok: rúderők meghatározása a hármas átmetszés módszerével Rudakon is terhelt rácsos tartók Statikailag határozott gerendatartók igénbevételi ábrái Definíciók és előjelszabálok lapesetek Középen koncentrált erővel terhelt kéttámaszú tartó Egenletesen megoszló teherrel terhelt kéttámaszú tartó Koncentrált erővel terhelt konzoltartó Egenletesen megoszló teherrel terhelt konzoltartó Végnomatékkal terhelt kéttámaszú tartó Két, ellenkező előjelű végnomatékkal terhelt kéttámaszú tartó Két, azonos előjelű végnomatékkal terhelt kéttámaszú tartó egoszló teherrel szakaszosan terhelt kéttámaszú tartó Két, szimmetrikusan elhelezett koncentrált erővel terhelt kéttámaszú tartó ezőben nomatékkal terhelt kéttámaszú tartó Konzolon nomatékkal terhelt kéttámaszú konzolos tartó Háromszög megoszlású teherrel terhelt kéttámaszú tartó ásodfokú parabola megoszlású teherrel terhelt kéttámaszú tartó ásodfokú parabola megoszlású teherrel terhelt konzoltartó Összefüggés a teher-, a níróerő- és a nomatékfüggvén között Kéttámaszú tartók igénbevételi ábrái Konzolos tartók igénbevételi ábrái erde helzetű és törttengelű tartók 4.7 z előjeles összegzés (szuperpozíció) elve 3 5. Statikailag határozott összetett tartók Csuklós többtámaszú (Gerber-féle) gerendatartók Csuklós többtámaszú (Gerber-féle) rácsos tartók Háromcsuklós gerendatartók Háromcsuklós rácsos tartók Csuklós többtámaszú törttengelű gerendatartók 7 6. Síkidomok keresztmetszeti ténezői evezetés ásodrendű nomatékok Gakorló feladatok 80 Irodalom 85 - iv -

5 Előszó z építő- és építészmérnöki mechanikai tanulmánaink során hatalmas ismeretanagot kell elsajátítani. Ez az anag elosztható nég félévre és ennek megfelelően nég jegzetre. Jelen jegzet tárga a echanika I. (Statika), amel merev testek statikájával foglalkozik. ( echanika II. a szilárdságtant, a echanika III. a határozatlan tartókat, a Tartók statikája pedig a statika néhán válogatott fejezetét tárgalja.) echanika I. (Statika) által ismertetett anag nem tekinthető különösebben nehéznek. Sok hallgatónak mégis gondot okoz a tárg teljesítése. Ennek valószínűleg az a fő oka, hog a középfokú oktatásból a felsőfokú oktatásba átkerült hallgatók talán figelmen kívül hagják azt a tént, hog a középfokról a tanulás tekintetében is felsőfokra kell(ene) váltani. Ez különösen igaz a mechanika tárg esetében, amikor a gakran szorosan egmásra épülő anagrészek megkövetelik a folamatos tanulást és az elsajátított tudás rendszeres gakorlását. echanika I. (Statika) kurzus elsődleges feladata a mechanikai alapfogalmak ismertetése. jegzet a statika alaptételeinek tárgalása után síkbeli erőrendszerek vizsgálatának legfontosabb kérdéseit tárgalja. gakran alkalmazott tartószerkezeteink közül azokkal foglalkozik, amelek a határozott tartókra vonatkozó már megszerzett ismeretek birtokában viszonlag egszerűen kezelhetők. emutatjuk íg a rácsos tartók számítási módszereit és megismerkedünk a határozott gerendatartókra vonatkozó általános elvekkel, valamint a gerendatartók egszerűbb gakorlati eseteivel. jegzet befejező fejezete síkidomok keresztmetszeti ténezőivel foglalkozik és ismerteti a szilárdságtani tanulmánaink során ol fontos szerepet játszó első és másodrendű keresztmetszeti ténezők számítási módszereit. jegzet alapvető feladata jelenségek bemutatása és alapelvek ismertetése. végső cél azonban az, hog a megszerzett ismeretek gakorlati alkalmazáshoz vezethessenek. tárg íg a gakorlati alkalmazásokhoz is igekszik hátteret biztosítani és ehhez a célhoz több tucat részletesen kidolgozott számpélda bemutatásával járul hozzá. echanika I. (Statika) jegzet a négrészes jegzetsorozat első tagja, amel érdekes módon sorrendben utolsónak készült el elektronikus formában. lektorok Horváth Lászlóné azakas argit és Lőrincz Görg voltak, akik már más, korábban elkészült jegzetek lektorálása során is igen nag és hasznos munkát végeztek. Gondos és lelkiismeretes munkájukért ezúton is szeretném hálás köszönetemet kifejezni. udapest, 06 július Előszó a. kiadáshoz. kiadás csak abban különbözik az. kiadástól, hog az anag kiegészült két alfejezettel: 5. Csuklós többtámaszú (Gerber-féle) rácsos tartók és 5.4 Háromcsuklós rácsos tartók.. kiadás lektorai is Horváth Lászlóné azakas argit és Lőrincz Görg voltak, akiknek lelkiismeretes munkáját ezúton is hálásan köszönöm. udapest, 08 október 3 Zalka Károl - -

6 evezetés mechanika eg igen széles tartománt lefedő tudomán. oglalkozik kinematikával, amikor a mozgások puszta leírása a cél, és foglalkozik dinamikával, amikor a vizsgálatok a mozgások okainak feltárására koncentrálnak. dinamika ismét két fontos területet érint. Ezek a kinetika és a statika. kinetika ténleges mozgásokat vizsgál, a statikai vizsgálatok során pedig nugalmi állapotot tételezünk fel. Ez összhangban van az építő-/építészmérnöki gakorlattal, amikor is alapvető fontosságúnak tekintjük azt a követelmént, hog tartószerkezeteink minden körülmének között nugalomban maradjanak. Tartószerkezeteink terheket hordanak és különböző hatásoknak vannak kitéve. terhek és hatások következtében a tartószerkezetekben igénbevételek keletkeznek. eladatunk ezen igénbevételeknek a meghatározása. z első megközelítésben azt tételezzük fel, hog a vizsgált tartószerkezet merev testként viselkedik. merev testeket az jellemzi, hog méret- és alakváltozásokat nem szenvednek. áshogan megfogalmazva, a merev testek esetében a test bármel két pontjának távolsága állandó. Ez ugan szigorúan véve nem igaz, de az alakváltozások mérnöki szerkezeteink esetében kicsinek, íg a közelítés hibája kicsi, és merevnek feltételezett szerkezetek esetében viszonlag egszerű vizsgálatokhoz jutunk. Szilárdságtani tanulmánaink során (a következő félévben) majd foglalkozunk azzal a ténnel, hog a szerkezetek alakváltozást szenvednek.. lapfogalmak Tanulmánaink során ismetelten szükség lesz néhán alapfogalomra. Ezeket a következő pontokban foglaljuk össze... Erő terhek és hatások jellemzése során az erő fontos szerepet játszik. zt a hatást, amel a test mozgásállapotát (irán vag nagság szerint) megváltoztatja, erőnek nevezzük. szerkezetekre ható erők lehetnek koncentráltak, illetve megoszlóak. koncentrált erők viszonlag kis felületen hatnak, olannira kis felületen, hog a hatás helét ponttal adhatjuk meg (. ábra). Ez a pont az erő támadáspontja. koncentrált erőt vektorral jellemezzük és nég adattal egértelműen megadhatjuk. Ezek a következők: nagság (N, kn vag N dimenzióval), támadáspont (két koordinátával), hatásvonal (amel az erő támadáspontján meg át), irán (értelem), amelet előjellel adunk meg. hatásvonal megadása során gakran használjuk a hatásvonal valamelik koordinátatengellel például az tengellel bezárt (például φ-vel jelölt) hajlásszögét. koncentrált erőket latin nagbetűkkel szokás jelölni, például az (az angol orce nomán),,, C, G ( Gravit ) és R ( Resultant ) betűkkel. z./c ábrán ábrázolt három erő például az alábbiak szerint adható meg az - koordináta-rendszerben:

7 5 ϕ + kn, 4m, 0, 0 3 ϕ kn, 0, 5m, 90 kn, 5.5m, 6m, ϕ3 n 3 3 i i+ erő hatásvonala 3 φ 3 erő támadáspontja a) b) c).. Erőrendszer. ábra. Koncentrált erő: a) felületen, b) merev testet támadva, c) megadása. Két vag több erő egüttesét erőrendszernek nevezzük. z erőrendszer síkbeli, ha az erőrendszert alkotó erők eg közös síkban hatnak. Ha nincs ilen közös sík, akkor az erőrendszert térbelinek nevezzük. z erőrendszerek jelölése úg történik, hog az erőrendszert alkotó erőket vesszővel elválasztva egmás mellé írjuk, majd az egészet zárójelek közé tesszük. z./b és./c ábrán látható n, illetve 3 erőből álló erőrendszer esetében például: (,, 3,... i,... n ) és (,, 3 ) z erőrendszerek eg gakori esete a megoszló erőrendszer. Jelölése általában latin kisbetűkkel, például q, p és g betűkkel történik. Itt megkülönböztetünk vonal mentén, felület mentén és térben megoszló erőrendszereket. Gakorlati esetekben gerendák esetében a vonal menti, lemezeknél pedig a felület menti megoszló erőrendszerrel találkozunk. térben megoszló erőrendszerre a mágneses vonzás eg jellegzetes példa...3 Eredő erő; erőösszetétel; erőfelbontás z eredő erő az az erő, amel minden vonatkozásban helettesít az erőrendszert. Jelölése gakran a nag R (Resultant) betűvel történik. z eredő meghatározása során gakran erőösszetételről beszélünk, amikor az erőrendszert alkotó összetevőket (vag komponenseket vag alkotókat) helettesítjük az eredővel. z erőösszetétel ellentétes iránú folamata az erőfelbontás, amelnek során eg erőt két vag több erővel helettesítünk...4 Egensúl statika igen fontos fogalma az egensúl. z általános megfogalmazás szerint, ha valamel anagi test mozgásállapota a rá ható erőrendszer hatására nem változik meg, akkor az 3

8 erőrendszert egensúli erőrendszernek nevezzük. z építőmérnöki gakorlatban kiemelt szerepet játszanak a nugalomban lévő testek. z ezekre vonatkozó megfogalmazás szerint, ha a nugalomban lévő test a rá ható erők hatására nugalomban marad, akkor a testre működő erők rendszere egensúlban lévő erőrendszert alkot. z egensúl jelölése például eg n erőből álló erőrendszer esetében a (,, K n ) & 0 formában történik. z egenlőség jel felett lévő pont a jelünket megkülönbözteti a matematikai egenlőség jelétől...5 Egenértékűség Gakran bizonul szükségesnek, hog két erőrendszert összehasonlítsunk, abból a célból, hog megállapítsuk, egenértékűek-e. Két erőrendszert akkor mondunk egenértékűnek, ha uganazon anagi test mozgásállapota mindkettő hatására uganúg változik meg. áshogan megfogalmazva: két erőrendszer akkor egenértékű, ha mindkettő egensúlozásához uganazt az erőrendszert kell felhasználnunk...6 Erő vetülete z erők a gakorlatban természetesen tetszőleges iránban működhetnek. Vizsgálataink során célszerűségi szempontból az erőket gakran derékszögű koordináta-rendszerben ábrázoljuk, illetve vizsgáljuk, és a ferde erőket vetületeik segítségével kezeljük. Szükségessé válik tehát eg erő vetületének előállítása. Ezt a feladatot az erő kezdő- és végpontjának merőleges vetítésével oldjuk meg (./a ábra). Eg tetszőleges iránú t tengel esetében eg erő t tengelre vonatkoztatott vetületét az t cosα összefüggés szolgáltatja, ahol α a t tengel és az erő hatásvonala által közbezárt szög. t α t.. α α a) b) c). ábra. a) erő vetülete tetszőleges t tengelre, b) ferde erő és tengelre vonatkoztatott vetülete, c) vektorháromszög. statikai feladataink megoldása során gakran a merev testet támadó ferde erő koordinátatengel iránú az./b ábrán vázolt esetben és iránú vetületeire van szükségünk. Ezeket az cosα 4

9 és sin α képletek szolgáltatják. z./c ábrán vázolt vektorháromszög alapján érvénesek még az + és tan α összefüggések is...7 Erő nomatéka statikai vizsgálatok során fontos szerepet játszik az erő nomatéka. z erő pontra vonatkoztatott nomatékát (.3 ábra) az a összefüggéssel definiáljuk, ahol az a az pont és az erő hatásvonalának távolsága. nomaték akkor pozitív, ha az erő a pont körül az óramutató járásával azonos értelemmel forgat (mint például az.3 ábrán). Zérus a nomaték, ha az erő értéke zérus, vag ha az erő ponttól mért merőleges távolsága zérus ez utóbbi eset akkor fordul elő, amikor az erő hatásvonala átmeg a ponton.. a.3 ábra. z erő pontra vonatkoztatott nomatéka. Gakran fordul elő, hog több erő eg adott pontra vonatkozó nomatékára van szükségünk. fenti képlet ismételt alkalmazásával ekkor összegezzük az erők nomatékait, vagis n erő esetében az n i a ± a ± a ± K± a i i képlethez jutunk. ontos megjegezni, hog az összegzés előjelhelesen történik.. statika alaptételei mechanika a természetben megállapítható tapasztalati ténekből indul ki. Ezekből a ténekből általánosítással alapvető tételek állíthatók fel. Ezeket az alapvető tételeket alaptételeknek vag aiómáknak nevezzük. z aiómákat az jellemzi, hog őket bizonítani nem szükséges és a belőlük levonható következtetések a természet törvéneivel nem ellenkeznek. merev testek statikáját nég aiómára építjük fel. n n 5

10 .. z első aióma z első aióma ősidők óta ismert. zt mondja ki, hog két erő akkor és csakis akkor van egensúlban, ha hatásvonaluk közös, értelmük ellentétes és nagságuk egenlő. z és erők egensúlát az első aióma szerint a (, ) & 0 módon fejezzük ki. Ha két ilen erőt eg nugalomban lévő merev testre működtetünk, azt tapasztaljuk, hog a merev test továbbra is nugalomban marad. z aióma fenti megfogalmazásában nem szerepel az erő támadáspontja. Ennek fontos következméne van: z erő támadáspontjának nincs szerepe két erő egensúlának vizsgálata során. Ez azt is jelenti, hog merev testek esetében az erők a hatásvonaluk mentén szabadon eltolhatók. (Ezt az állítást egébként a harmadik aióma segítségével szemléletesen is bizoníthatjuk.) Ennek megfelelően egaránt egensúlban van az.4/a ábrán látható és húzóerőkkel támadott és az.4/b ábrán vázolt és nomóerőkkel támadott merev test, ha teljesül az feltétel. a) b).4 ábra. Egensúlban lévő merev test a) húzóerők, b) nomóerők esetében. Nem teljesül az.5 ábrán vázolt erőrendszerek esetében az első aiómában megfogalmazott három feltétel valamelike, ezért ezek az erőrendszerek nincsenek egensúlban. > a) b) c).5 ábra. Nem teljesül az egensúl három feltétele. a) az erők értelme nem ellentétes, b) az erők nem egenlő nagságúak, c) az erők hatásvonala nem közös. Jelen jegzet csak méret- és alakváltozást nem végző merev testek statikájával foglalkozik, de már most megemlítjük, hog az erők hatásvonal mentén történő szabad eltolásával 6

11 kapcsolatos fenti megjegzés csak merev testek esetében érvénes, szilárd (méret- és alakváltozásra is képes) testek esetében nem. z.6 ábrán látható két, alakváltozásra is képes rúd viselkedésének vizsgálata látvánosan szemlélteti ezt a tént. rudak anaga szilárd, vagis a rudak alakváltozásra képesek..6 ábra. Egensúlban lévő, alakváltozásra képes rúd, a) húzóerők, b) nomóerők esetében. Tételezzük fel, hog mindkét rudat egensúlban lévő erőrendszer támadja és a terhelő erők nagságát zérus értékről folamatosan növeljük. két rúd viselkedése alapvetően különböző. húzott erőkkel terhelt rúd (.6/a ábra) az alakváltozás létrejötte (a rúd megnúlása) során végig egenes tengelű marad. nomóerőkkel terhelt rúd (.6/b ábra) eleinte tengeliránú összenomódást szenved, majd eg bizonos erőnagság elérése után meggörbül. Ez a meggörbülés a rudat jóval veszélesebb helzetbe hozza, mintha a tengele egenes maradna. jelenség azt is mutatja, hog szilárd testek vizsgálata során az erők támadáspontja a hatásvonaluk mentén nem tolható el... második aióma a) b) második aióma pontos származási ideje nem ismert, de azt tudjuk, hog már a középkor boltozatépítői is ismerték és alkalmazták. zt mondja ki, hog három erő akkor és csakis akkor van egensúlban, ha hatásvonalaik közös pontban metszik egmást és vektoraikból nílfoltonos, zárt háromszög szerkeszthető (.7 ábra). három erő (, és 3 az.7 ábrán) egensúlát a második aióma szerint a ( 3,, ) & 0 módon fejezzük ki. Ha három egensúlban lévő erőt eg nugalomban lévő merev testre működtetünk, azt tapasztaljuk, hog a merev test továbbra is nugalomban marad ábra. Három erővel terhelt merev test és az erők vektorháromszöge. Nincs viszont egensúlban az.8/a ábrán vázolt három erő, mert a vektoraikból szerkesztett zárt háromszög nem nílfoltonos. z.8/b ábrán látható három erő sincs egensúlban, mert vektoraikból nem szerkeszthető zárt háromszög. Ez a párhuzamos és 3 erők miatt nem lehetséges. 7

12 a) b).8 ábra. három erő nem lehet egensúlban. a) a nílfoltonosság hiána miatt, b) nem szerkeszthető zárt vektorháromszög...3 harmadik aióma harmadik aiómát eges források szerint Pierre Varignon (654-7) francia matematikus 685-ban fogalmazta meg. harmadik aióma azt mondja ki, hog egensúlban lévő erőrendszerhez az egensúl megzavarása nélkül lehet hozzátenni olan erőket, amelek önmagukban is egensúlban vannak, továbbá valamel egensúlban lévő erőrendszerből ugancsak az egensúl megzavarása nélkül lehet eltávolítani önmaguk között egensúlban lévő erőket. harmadik aióma felhasználásával szemléletesen bizoníthatjuk az első aióma tárgalásakor már megfogalmazott állítást, amel szerint a merev testre ható erők saját hatásvonalukon bárhova elcsúsztathatók (vagis a támadáspontjuk a hatásvonalon bárhol felvehető). bizonításhoz tekintsük az.9/a ábrán vázolt merev testet, amelet az (, és 3 ) egensúlban lévő erőrendszer támad a) b) c).9 ábra. z erő a hatásvonala mentén az egensúl megzavarása nélkül elcsúsztatható. djunk az egensúlban lévő erőrendszerhez eg másik egensúlban lévő erőrendszert. Ez a másik egensúlban lévő erőrendszer két erőt tartalmaz, amelek a pontban támadják a merev testet (.9/b ábra). két erő nagsága, értelmük ellentétes és hatásvonaluk közös. Ez a közös hatásvonal megegezik az eredeti három erőből álló rendszer erejének hatásvonalával. Íg eg öt erőből álló erőrendszerhez jutunk, amel erőrendszer a harmadik aióma szerint egensúlban van. harmadik aióma szerint ebből az egensúlban lévő erőrendszerből az egensúl megzavarása nélkül elvehetünk eg egensúlban lévő erőrendszert. Ez az erőrendszer álljon a pontban balra mutató és az pontban jobbra mutató erőből. két erő elvétele után az.9/c ábrán látható, három erőt tartalmazó egensúlban lévő rendszerhez jutunk. z.9/a és.9/c ábrát összehasonlítva 8

13 azt látjuk, hog az eredetileg az pontban működő erőt gakorlatilag áttoltuk a pontba. ivel ebbe a helzetbe úg jutottunk, hog a harmadik aiómát alkalmaztuk (kétszer), bebizonítottuk azt az állítást, hog a merev testre ható erő a hatásvonala mentén szabadon eltolható...4 negedik aióma negedik aiómát Isaac Newton (643-77) 687-ben fogalmazta meg. negedik aióma azt mondja ki, hog két merev test által egmásra kifejtett erők mindig páronként fordulnak elő, közös hatásvonalúak, ellentett értelműek és egenlő nagságúak. negedik aióma a hatás-ellenhatás és az akció-reakció törvéne néven is ismert. Egszerű példa a negedik aiómára a földön, vízszintes síkon nugalomban lévő goló esete (.0 ábra). két merev test ekkor a föld és a goló. goló G súlát az alátámasztásban keletkező, vele azonos nagságú és ellentett értelmű Gʹ reakcióerő egensúlozza. két erő közös hatásvonalú. G G'.0 ábra. G hatás (akció) és Gʹ ellenhatás (reakció) a negedik aiómának megfelelően. Általánosabb helzet áll elő, ha a goló nem vízszintes síkon helezkedik el, hanem két ferde síkú, egmással derékszöget bezáró megtámasztó felület biztosítja a goló mozdulatlan, nugalmi állapotát (./a ábra). z erőjáték vizsgálatához ekkor a második és negedik aiómát használjuk fel és alkalmazzuk az erő felbontására vonatkozó ismereteinket (az..3 pont szerint). G G G G (G,, ) 0 (G, ) 0 a) b). ábra. a) erde síkú felületekkel megtámasztott goló, b) sarokhelzet. G hatást (a goló súlát) ekkor két összetevőjével helettesíthetjük, amelek merőlegesek a megtámasztó síkokra (szaggatott vektorok az./a ábrán). két összetevő (hatás) egenként ellenhatást vált ki: ezek az és erők. három erő egensúlát a G-- vektorháromszög szemlélteti. z elrendezés vízszintes és függőleges síkú megtámasztások esetén az./b ábrán vázolt speciális sarokhelzetet eredménezi. Ha ekkor az előzőek szerint eljárva a G erőt a megtámasztó felületekre merőleges iránú összetevőkre bontjuk, akkor azt találjuk, hog a baloldali (vízszintes) összetevő zérus és az egensúl a G és erőkkel biztosítható. Ezzel gakorlatilag visszajutunk az.0 ábrán vázolt helzethez. 9

14 echanika tanulmánaink során a megtámasztások fontos szerepet játszanak, amikor a tartószerkezeteinken működő terheket a megtámasztások segítségével adjuk át az alátámasztó szerkezetekre rendszerint a földre. negedik aióma az akció-reakció törvéneként ekkor a gakorlati alkalmazás fontos eszköze..3 Közös metszéspontú két erő összetétele ielőtt a gakorlati esetekben általánosan előforduló erőrendszerekkel foglalkozunk, ebben a pontban bemutatjuk, hog hogan tudunk két közös metszéspontú erőt eredő erővé összetenni..3. Közös hatásvonalon működő két erő összetétele Tekintsük az./a ábrán vázolt két erőt. z és erők közös hatásvonalon működnek. eladatunk a két erő helettesítése egetlen erővel. 50 kn 30 kn R 0 kn 30 kn 30 kn a) b) c). ábra. Közös hatásvonalon működő két erő összetétele. a) az és erő, b) egensúlban lévő két erő, c) az R eredő erő. Vegünk el az - erőrendszerből eg egensúlban lévő (zérus értékű) erőrendszert. Ezt az egensúlban lévő erőrendszert úg választjuk meg, hog két 30 kn nagságú erőből áll (./b ábra). z eredmén az./c ábrán látható R 0 kn nagságú erő, amel erő egben az eredeti erőrendszer eredője..3. Végesben metsződő két erő összetétele Határozzuk meg az.3/a ábrán látható két erő eredőjét. E E E R R a) b) c) d) e).3 ábra. Közös metszéspontú két erő összetétele. a) az és erő, b) egensúlozás, c) az E egensúlozó erő, d) az R eredő előállítása, e) az, és R nílütközéses vektorháromszöge. z első lépésben a második aióma felhasználásával meghatározzuk a két erőt egensúlozó erőt, vagis azt a harmadik erőt amellel egütt a három erő egensúlban van. 0

15 Ezt az erőt E-vel jelöljük. második aióma szerint eljárva, nílfoltonos, zárt háromszöget kell szerkeszteni. z íg létrehozott E erő (.3/b ábra) a keresett egensúlozó erő, amel át kell menjen a két erő metszéspontján (.3/c ábra). második lépésben az első aiómát alkalmazzuk és előállítjuk az E erőt egensúlozó erőt, amel egben az és erők R eredője (.3/d ábra). entiek szerint az R eredő erővel kapcsolatban megállapíthatjuk, hog átmeg a két erő ( és ) metszéspontján és az és erők felhasználásával nílütközéses vektorháromszög szerkesztésével állíthatjuk elő (.3/e ábra). z R eredő erő természetesen minden szempontból helettesíti az eredeti két erőt.

16 Síkbeli erőrendszer Tartószerkezeteinket rendszerint több erőhatás éri és a terhelés gakran erőrendszerek formájában jelentkezik. Ez a fejezet ilen, több erőből álló erőrendszerek vizsgálatával foglalkozik.. Síkbeli erőrendszer összetétele eredővé Sokszor szükséges vag a vizsgálat során célravezető a sok erőből álló erőrendszert egetlen erővel az eredővel helettesíteni. feladatot szerkesztéssel és számítással is egszerűen megoldhatjuk. ár úg tűnik, hog napjainkban a szerkesztéses megoldások gakran háttérbe szorulnak, a szerkesztéses megoldást is bemutatjuk, mert szemléletessége nagmértékben hozzásegít a statikai érzék fejlesztéséhez... egoldás szerkesztéssel szerkesztés során felhasználjuk a két erővel kapcsolatban az.3. pontban összefoglalt tanulságokat és lépésenként járunk el. z eljárást a./a ábrán vázolt, nég erőből álló erőrendszer esetére mutatjuk be. z első lépésben az és erőt összetesszük az R - eredővé. z R - eredőt a./b ábrán látható vektorábra segítségével szerkesztjük meg, majd ábrázoljuk a./a ábrán is, ahol az R - erő átmeg az és erők metszéspontján. Iránát a vektorábráról vesszük: párhuzamos az ott megszerkesztett R - erővel. Ezzel a lépéssel az és erőket kiiktattuk a további vizsgálatokból, hiszen helettesíthetjük őket az R - eredőjükkel. R R - R - R R --3 R 4 3 a) b). ábra. Erőrendszer helettesítése eredővel és egensúlozása eg erővel. a) az erőrendszer és az R eredője, b) vektoridom. következő lépésben az R - erő és az 3 erő R --3 eredőjét szerkesztjük meg a./b vektorábra segítségével, majd ábrázoljuk a./a ábrán is. Itt az R --3 erőt úg helezzük el, hog átmenjen az R - erő és az 3 erő hatásvonalainak metszéspontján és párhuzamos legen a vektorábrán megszerkesztett erővel. Íg már csak két erőnk maradt: az R --3 erő és az 4 erő. Ezek eredője az R eredő, amel egben az egész erőrendszer eredője. Nagságát és

17 iránát a vektorábra szolgáltatja, helét pedig a./a ábra segítségével kapjuk meg: át kell mennie az R --3 erő és az 4 erő hatásvonalainak a metszéspontján. szerkesztést tanulmánozva megállapíthatjuk, hog az R eredő nagságát eg lépésben is megkaphatjuk az,, 3 és 4 erők vektoridoma segítségével, ha az erő vektorának kezdőpontját összekötjük az 4 erő vektorának végpontjával. fent bemutatott szerkesztés csak akkor alkalmazható, ha az erők metszéspontja kezelhető helre (vagis a rajzlap területére) esik. z alábbiakban bemutatunk eg alternatív szerkesztést, arra az esetre, amikor ez a feltétel nem teljesül. Párhuzamos vag közel párhuzamos erők esetében csak ez a szerkesztés alkalmazható../a ábrán vázolt,, 3 és 4 erőkből álló erőrendszer esetében az eredő meghatározása során az okozza a problémát, hog ha megpróbálunk a fent bemutatott módon eljárni, akkor azt tapasztaljuk, hog már az első lépést sem tudjuk megtenni, mert nem tudjuk elhelezni az és erők eredőjét. Ennek az az oka, hog az és erők metszéspontja (amelen keresztül menne az eredőjük) az erőket ábrázoló rajztól nagon távol kerül. Ezt a problémát eg egszerű fogással megoldhatjuk. djunk az erőrendszerhez eg S segéderőt, ol módon, hog az S erő és az erő metszéspontja können ábrázolható helre kerüljön. (Ezt az S erőt az utolsó lépésben majd el fogjuk venni az erőrendszerből.) S S S 3 3 S 4 S 5 4 S S S 3 3 S 4 S 5 4 a) b). ábra. lternatív szerkesztés párhuzamos (vag közel párhuzamos) erőrendszer esetében. a) az S erőrendszer, b) vektoridom. Il módon eljárva eg S,,, 3 és 4 erőkből álló erőrendszerhez jutunk. z előzőekben elmondottak szerint az eredeti szerkesztés lépéseit követve meghatározzuk az öt erő eredőjét, amit S 5 -el jelölünk: ( S & S,,, 3, 4 ). ábrán az S az S és, az S 3 az S és és az S 4 az S 3 és 3 eredője. problémánk az, hog a most megszerkesztett S 5 eredő az eredeti,, 3 és 4 erőkön kívül tartalmazza a nem kívánt S segéderőt is. Ezen a problémán können segíthetünk: kivonjuk az S 5 erőből az S erőt és íg pontosan az eredeti (,, 3 és 4 ) erőrendszer R eredőjéhez jutunk: Ezt a szerkesztést a.3 ábrán találjuk. ( 5 S, S ) & R 5 3

18 -S S 5 -S R S 5 R a) b).3 ábra. a) az S 5 és -S erők eredője az eredeti erőrendszer R eredőjét adja, b) vektoridom. Végül a gakorlati végrehajtás céljára egetlen ábrán foglaljuk össze a szerkesztés menetét (.4 ábra). z erőrendszer eredőjét úg kapjuk meg, hog az erőkből vektoridomot képezünk, majd az első erő kezdőpontját összekötjük az utolsó erő végpontjával (.4/b ábra) m 3 R 3 Ω R a) b).4 ábra. szerkesztés végrehajtása a gakorlatban. a) erőrendszer, b) vektoridom. Ezt a vektoridomot használjuk fel az eredő helének meghatározásához. vektoridom mellett felveszünk eg Ω póluspontot. póluspont hele tetszőleges és célszerűen úg vesszük fel, hog a következőkben részletezett szerkesztés végrehajtása minél egszerűbb legen, illetve a szerkesztés kénelmesen elférjen az erőrendszer rajzán. póluspontot összekötjük az első erő kezdőpontjával és minden erő végpontjával. Ezeket az ún. húrokat használjuk fel a szerkesztéshez. z erőrendszert ábrázoló.4/a ábrán először az első (. jelű) húrral húzunk párhuzamost, úg, hog a vonal metssze az első erőt. (Erre az első vonalra a szerkesztés befejezésekor ismét szükség lesz majd.) Ezután a második (. jelű) húrral húzunk párhuzamost, úg, hog ez a vonal átmenjen az első vonal és az első erő metszéspontján. Il módon minden húrral párhuzamost húzunk. z utolsó (esetünkben 5. jelű) párhuzamost meghosszabbítjuk ol módon, hog metszésbe kerüljön az első (. jelű) párhuzamossal. Ez az m metszéspont határozza meg az eredő helét. z eredő átmeg ezen a ponton és párhuzamos a vektoridomban már megszerkesztett R erő hatásvonalával. Nem nehéz észrevenni, hog a szerkesztéshez felhasznált jelű húrok valójában az S i segéderőknek felelnek meg. szerkesztést léptékheles ábra segítségével végezzük el. léptéket pl. cm () kn 4

19 úg állapítjuk meg, hog az erők kénelmesen elférjenek a rendelkezésre álló rajzterületen és az eredméneket rendszerint erőket megfelelő pontossággal tudjuk az ábráról leolvasni... egoldás számítással számítás végrehajtásához rendszerint derékszögű (pl. ) koordináta-rendszert használunk. z eljárás során két fontos tételt alkalmazunk. következőkben ezt a két tételt ismertetjük. tételeket először két erő esetére bizonítjuk, majd általánosítjuk őket több erőre. Vetületi tétel Tekintsük a.5/a ábrán vázolt merev testet, amelre az és erők hatnak. Állítsuk elő a két erő eredőjét: (, ) & R,,, R, R R a) b).5 ábra. a) erev test két erővel, b) ábrázolás az koordináta-rendszerben. Helezzük el a két erőt és az eredőjüket vektoridom formájában az derékszögű koordináta-rendszerben (.5/b ábra). Állítsuk elő az erők vetületeit. Ha az iránú erőket tekintjük, akkor felírható, hog R, +, enti egenlet általánosabb formában is megfogalmazható, hiszen könnű belátni, hog n erő esetében az erőket kettesével összetéve az n R i i egenlethez jutunk. Ez az. vetületi tétel. tétel azt mondja ki, hog az eredő erő vízszintes vetülete egenlő az összetevők vízszintes vetületeinek algebrai (előjeles) összegével. Hasonlóképpen eljárva az iránú erők esetében, a összefüggés az, +,, R 5

20 n R i i. vetületi tételhez vezet, vagis az eredő erő függőleges vetülete egenlő az összetevők függőleges vetületeinek algebrai (előjeles) összegével. Nomatéki tétel Szorozzuk meg az. vetületi tételhez vezető fenti, +, R egenletet -val:, +,, R.6 ábra tanúsága szerint az egenlet baloldala az és erőkből álló erőrendszer nomatéka az pontra, a jobboldal pedig az eredő nomatéka az pontra, vagis elírható tehát az általános alakú + R n i egenlet. Ez a nomatéki tétel, amel azt mondja ki, hog az eredő nomatéka a sík valamel pontjára egenlő az összetevők uganezen pontra felírt nomatékainak algebrai (előjeles) összegével. i R, R R O,,, R.6 ábra. z erőrendszer nomatéka az pontra. vetületi és nomatéki tételek ismeretében végül összefoglaljuk a számítás menetét. számítás menete általános elrendezésű erők esetében Tekintsük a.7 ábrán vázolt,... n erőkből álló erőrendszert. eladatunk az eredő meghatározása. számítás előkészítéséhez először felveszünk eg koordináta-rendszert. Ez általában eg derékszögű koordináta-rendszer. koordináta-rendszer elhelezése tetszőleges, íg rendszerint célszerűségi szempontok alapján választjuk ki a kezdőpontot és a tengelek iránítottságát: például párhuzamos erők esetén az egik tengel legen az erőkkel párhuzamos. z erőket a kiválasztott koordináta-rendszerben nagságukkal, hajlásszögükkel és a támadáspontjuk két koordinátájával adjuk meg:, α,, ). z eredőt akkor i( i i i i 6

21 tekintjük ismertnek, ha előállítottuk a nagságát, hajlásszögét és eg pontjának két koordinátáját: R( R, ϕ,, ). Szokásos alternatív megadási forma az eredő megadásakor, ha ez a pont az eredő metszéspontja az egik koordinátatengellel (például az tengellel): R R, ϕ, ). ( 0 következőkben ezt az eljárást hat lépésben összefoglalva mutatjuk be. ) z erők felbontása és iránú összetevőkre: i, i cosαi és i, i sin i ) z eredő iránú összetevőjének meghatározása az. vetületi tétellel: α n n R i, i cos α i, +, + K + n, i i 3) z eredő iránú összetevőjének meghatározása a. vetületi tétellel: n n R i, i sin α i, +, + K+ n, i i ontos megjegezni, hog az erők összetevői előjeles menniségek!,,, α O α, n n n, α n n n,.7 ábra. z,... n erőkből álló erőrendszer az koordináta-rendszerben. 4) z eredő meghatározása a két összetevőjének segítségével történik (.8/a ábra): R + R R 5) z eredő hajlásszöge a vízszintessel: tan ϕ R R 6) z eredő hatásvonala eg pontjának meghatározása Ezt a pontot általában az eredő és az tengel metszéspontjaként választjuk ki (.8/b ábra). 7

22 R φ 0 R R O R φ 0 R R a) b).8 ábra. a) z eredő és összetevői, b) az eredő eg pontjának R( 0 ; 0) meghatározása. 3. nomatéki tétel alkalmazásával felírhatjuk, hog az eredő nomatéka a koordinátarendszer O kezdőpontjára egenlő az erőrendszer összetevőinek uganerre a pontra felírt nomatékával R O n i i O vagis R O n i ( i, i + i, i ) z ( 0,0) pontban összetevőire felbontott eredő esetében ez az egenlet az alakot ölti, ahonnan 0 R, +, + K + n, n +, +, + K+ n, n Érvénesek továbbá a tan n ( + ) i, i i, i i 0 R 0 ϕ és 0 0 tanϕ 0 összefüggések (.8/b ábra). Ha az eredő helét az eredő és az tengel metszéspontjával kívánjuk megadni, akkor eg a fentihez hasonló levezetés az 8

23 összefüggést eredménezi (.9 ábra). n ( + ) i, i i, i i 0 R 0 O R φ 0 R R R φ R R a) b).9 ábra. a) z eredő és összetevői, b) az eredő eg pontjának R(0; 0 ) meghatározása. gakorlati esetek többsége a fent leírt módon az eredő meghatározását tűzi ki feladatul. Vannak azonban ún. inverz feladatok is, amelek során pl. adott, illetve előírt az eredő hele. Ilen esetekben úg jutunk megoldáshoz, hog eg vag több erő nagságát (vag helét) úg határozzuk meg, hog teljesüljön az eredő helére vonatkozó feltétel...3 Gakorló feladat Határozzuk meg a.0 ábrán vázolt, nég erőt tartalmazó erőrendszer eredőjét. O, kn, 0 kn m 4 30 kn m 3, 3, kn.0 ábra. Erőrendszer a gakorló feladathoz. 9

24 feladatot a fent felsorolt hat lépésben összefoglalva oldjuk meg. ) z erők felbontása és iránú összetevőkre: 50sin kn és 50cos kn,, 30cos kn és 30sin kn 3, 3, ) z eredő iránú összetevőjének meghatározása az. vetületi tétellel: R n i i, kn ( ) 3) z eredő iránú összetevőjének meghatározása a. vetületi tétellel: R n i i, kn ( ) 4) z eredő meghatározása a két összetevőjének segítségével történik (./a ábra): R R + R kn 5) z eredő hajlásszöge a vízszintessel: R 0.6 tan ϕ innen φ 34.8 R ) z eredő hatásvonala eg pontjának meghatározása z eredő hajlásszögének ismeretében tételezzük fel, hog az eredő az - síknegedben a./b ábrán látható módon helezkedik el. R O R R R az eredő hatásvonala φ R 0 a) b). ábra. a) z erőrendszer eredője, b) az eredő metszéspontja az tengellel. 0

25 lkalmazzuk a nomatéki tételt, amel szerint az eredő nomatéka a sík valamel pontjára (esetünkben a koordináta-rendszer O kezdőpontjára) egenlő az összetevők uganezen pontra felírt nomatékainak algebrai összegével R O n i i O z eredőt az ( 0 ; 0) pontban felbontva felírható tehát, hog z ismert adatokat behelettesítve és innen R 0 n i i O.3 m z 0 -ra kapott pozitív előjel azt jelenti, hog a számítás elején jól tételeztük fel az eredő elhelezkedését. Gakorlásképpen határozzuk meg az eredő metszéspontját az tengellel is. Ennél a számításnál az eredőt a (0; 0 ) pontban bontjuk fel összetevőire (. ábra). R R 0 O az eredő hatásvonala. ábra. z eredő metszéspontja az tengellel. nomatéki tétel alkalmazásával most a R 0 n i i O

26 illetve a egenleteket kapjuk, ahonnan m..4 Síkbeli erőrendszer összetételének különleges esetei Néhán speciális esetben az eredő meghatározása a fent bemutatott általánosan érvénes eljárásnál egszerűbben is végrehajtható. Közös hatásvonalon működő erők Tekintsük az.3/a ábrán vázolt erőrendszert. z,... n erőkből álló erőrendszer erői közös hatásvonalon működnek. Határozzuk meg az erőrendszer eredőjét és az eredő helét. O R n n a a) b).3 ábra. a) Közös hatásvonalon működő erők, b) eredő szerkesztése. z eredő szerkesztését a.3/b ábrán találjuk, ahol az erők közös hatásvonalának következtében eg elfajuló vektoridomot látunk. z R eredőt úg kapjuk meg, hog az első erő ( ) kezdőpontját összekötjük az utolsó erő ( n ) végpontjával. számítást a.. pontban leírtak szerint hajtjuk végre. z eredő két összetevőjét a két vetületi tétel segítségével kapjuk meg: n R i, 0 és R i, + n i n i z eredő helét a nomatéki tétel felhasználásával kapjuk meg. z eredő nomatéka a koordináta-rendszer kezdőpontjára megegezik az erőrendszer nomatékával uganerre a pontra: Innen: R 0 a + a n a ( + n ) a R a

27 a 0 rra a számítás előtt már látható eredménre jutottunk, hog az eredő hatásvonala az erők közös hatásvonalával azonos. Közös metszéspontú erők.4/a ábra eg nég erőből álló erőrendszert mutat. z erők közös metszésponton, az ponton mennek át. eladatunk az eredő meghatározása. R O R 4 3 R 3 - φ R a) b).4 ábra. a) Közös metszéspontú erőkből álló erőrendszer, b) az eredő szerkesztése. z eredő szerkesztését a.4/b ábra mutatja. z R eredőt úg kapjuk meg, hog az első erő ( ) kezdőpontját összekötjük az utolsó erő ( 4 ) végpontjával. Ha a szerkesztést kettesével (az -, --3 csoporteredők segítségével) hajtjuk végre, akkor az eredő hele is adódik: minden csoporteredő, és íg az eredő is a közös metszésponton meg át. Ez a tén a nomatéki tétel alkalmazásával is belátható: z erők nomatékösszege zérus az pontra, íg az eredőé is zérus kell hog legen, vagis az eredő is átmeg az ponton. z eredő két összetevőjét számítással a két vetületi tétel szolgáltatja: n R i, és R i i két összetevő segítségével az eredő vízszintessel bezárt hajlásszöge is meghatározható: n i, tan ϕ R R Párhuzamos erők Gakori eset, hog tartószerkezeteink terhe párhuzamos erőkből áll. Tekintsük a.5/a ábrán vázolt erőrendszert, amel öt párhuzamos erőt tartalmaz. eladatunk az erőrendszer eredőjének meghatározása. közös hatásvonalon működő erők esetéhez hasonlóan az erők vektoraiból szerkesztett 3

28 vektorábra most is elfajuló vektoridomhoz vezet. z első erő vektorának kezdőpontját az utolsó erő vektorának végpontjával összekötve megkapjuk az eredő nagságát (.5/b ábra). z eredő helét a.. pontban bemutatott módon végrehajtott szerkesztés segítségével kapjuk meg. z erők vektoridomától jobbra felveszünk eg Ω póluspontot. póluspontból az erők kezdő-, illetve végpontjaihoz húzott húrokkal (.5/b ábra) párhuzamosan láncgörbét szerkesztünk az erőkre (.5/a ábra). z első (S jelű) és utolsó (S 6 jelű) húrokat meghosszabbítjuk és a metszéspontjuk kijelöli az eredő helét. z eredő természetesen párhuzamos az erőkkel. S S S 3 3 S 4 4 S 5 R S S S 3 Ω S 6 O 0 3 S 4 S 6 a a S 5 a 3 a 5 4 R a) b).5 ábra. a) Párhuzamos erőkből álló erőrendszer, b) az eredő szerkesztése. számításhoz az - koordináta-rendszert úg vesszük fel, hog az tengel párhuzamos az erőkkel és egbeesik az erő hatásvonalával. z eredő összetevőit a vetületi tételekkel határozzuk meg: n R i, 0 és R R i, i z eredő helét a nomatéki tétel segítségével kapjuk meg: Innen: n i 0R a a33 + a44 a55 a + a33 + a4 R a Erőpár Érdekes, speciális és igen fontos esettel találkozunk a.6/a ábrán látható két erő esetében. két erő azonos nagságú, egmással párhuzamos és ellentétes iránú. z első aióma két erő egensúlára vonatkozó feltételei közül csak eg nem teljesül: a két erő nem közös hatásvonalú. Ez eg új, speciális eset, amelnek során a két erő erőpárt alkot. Ha két egmással párhuzamos erő ellentétes iránú és azonos nagságú, akkor a két erő 4

29 egüttesét erőpárnak nevezzük. két erő közötti merőleges távolság az erőpár karja. O a t a) b).6 ábra. a) Erőpár: a két párhuzamos (de nem közös hatásvonalú) erő azonos nagságú és ellentétes iránú, b) a két erő vektoridoma. két vetületi tétel tanúsága szerint az eredő erő két összetevője zérus n R 0 és R 0 i, i n i, i és íg az eredő erő is zérus: R 0. égsem beszélhetünk egensúlról (hiszen a két erő hatásvonala nem közös). nomatéki tétel ismételt alkalmazásával azt látjuk, hog az erőpár nomatéka a sík tetszőleges pontjára állandó; az, és O pontokra felírt nomatéki egenlet szerint ez az érték: t, t, O a + ( a + t) t Ez a nomaték az erőpár eredője, amelet úg kapunk, hog az erőpárt alkotó két erő értékét megszorozzuk az erők között mért merőleges távolsággal. z erőpár megadása ezek szerint egetlen adattal történhet és ez az adat a nomaték előjeles nagsága. szokásos dimenzió [Nmm], vag [knm], vag [kncm], jelölése pedig (pozitív előjel esetén):. Erő és erőpár összetétele Tekintsük a.7/a ábrán vázolt erőrendszert. z erőrendszer három erőből áll: a két erőből álló t erőpárt eg Q erő egészíti ki. eladatunk az erőrendszer eredőjének meghatározása. S O Q S S 3 R t S 4 R S S S 3 Q S 4 Ω T a 0 a) b).7 ábra. a) Erő és erőpár R eredője, b) a vektoridom. 5

30 három erő vektorát tartalmazó vektoridom most is szolgáltatja az R eredőt, amelet az első erő kezdőpontjának és az utolsó erő végpontjának összekötésével kapunk (.7/b ábra). z erők elhelezésének sorrendje a vektorábrában tetszőleges és íg célszerűségi szempontok döntenek, például az, hog az ábra áttekinthető legen, illetve hog az eredő helének meghatározására szolgáló szerkesztés kénelmesen elférjen az ábrán. Esetünkben a sorrend a következő: : a jobbra/felfelé mutató erő, : a Q erő, és 3: a balra/lefelé mutató erő. z eredő helének megszerkesztéséhez szükségünk van az S, S, S 3 és S 4 húrokra (.7/b ábra), ameleket az Ω póluspont és az erők vektorainak kezdő-, illetve végpontjainak összekötésével kapunk meg. z Ω póluspont felvétele tetszőleges: helét célszerű úg megválasztani, hog a szerkesztés a rendelkezésre álló helen kénelmesen elvégezhető legen. z S, S, S 3 és S 4 húrok ismeretében megszerkesztjük a láncgörbét: az első erőt az S, húrral hozzuk metszésbe, majd a metszéspontból indítjuk az S húrt amelnek a Q erő hatásvonalát metsző pontjából indítjuk az S 3 húrt, amellel elmetsszük a harmadik erőt. Ebből a metszéspontból indítjuk az S 4 húrt az S húr iránába. Végül az S és S 4 húrok metszéspontján keresztül behúzzuk az eredőt, amel párhuzamos a vektoridomban már megszerkesztett vektorral. számítás során az eredő összetevőit a vetületi tételekkel határozzuk meg: n R 0 és R Q + Q i i, n i, i z eredő tehát a Q erővel azonos nagságú és iránú és vele párhuzamos erő: R R z eredő helét a nomatéki tétel segítségével határozzuk meg. nomatéki tétel szerint az erőrendszer eredőjének nomatéka a sík valamel pontjára egenlő az erőrendszer tagjainak uganezen pontra felírt nomatékainak algebrai (előjeles) összegével. nomatéki tételt a T pontra alkalmazva (.7/a ábra) az egenlethez jutunk. z eredő hele tehát: Q R aq + t 0 aq + t aq + 0 a + R Q Q erő és az R eredő közötti távolság innen a 0 Q z erő és erőpár eredője tehát az adott erővel megegező iránú, azonos nagságú, de ahhoz képest /Q távolsággal párhuzamosan eltolt erő. Előállhat eg olan helzet, amelnek során eg adott erőt eg erővel és eg nomatékkal kell helettesíteni. Ez a fenti feladat megfordításának tekinthető, amelnek során az adott erőt eg másik pontba helezünk át (eg nomaték kíséretében). z eljárást a.8 ábrán vázoljuk. Első lépésben az egetlen erőből álló erőrendszerhez (.8/a ábra) hozzáadunk eg egensúlban lévő erőrendszert, amel két, - és nagságú erőből áll (.8/b ábra). két erő közös hatásvonala párhuzamos az eredeti ponton átmenő erő hatásvonalával és attól Q 6

31 t távolságra van. z íg előálló három erőből álló erőrendszer két erője a - erő és a jobboldali erő eg t nagságú erőpárt alkot (.8/c ábra). Ezzel az pontban működő erőt helettesítettük az O pontban működő erő és az erőpár egüttesével. áshogan megfogalmazva: az pontban működő erőt eg t erőpár kíséretében átheleztük az O pontba. - O O t t a) b) c).8 ábra. Erő helettesítése erővel és erőpárral. z erő áthelezése az - derékszögű koordináta-rendszerben a.9 ábrán vázolt módon történik, ahol érvénesek az X Y cosα sin α összefüggések. O α O Y α X.9 ábra. Erő helettesítése erővel és erőpárral az - derékszögű koordináta-rendszerben. Erőrendszer esetében a fentiek szerinti lépésekben járunk el az X Y n i n i n X i i n Y i i i, i, 7

32 n i i n i ( i i, + i i, ) összefüggések szerint, ahol n az erőrendszert alkotó erők száma.. Egensúlban lévő síkbeli erőrendszer Ebben a pontban egensúlban lévő erőrendszer általános vizsgálatával foglalkozunk. Először megadjuk az egensúl feltételeit, majd vázoljuk a feltételi egenletek gakorlati alkalmazását. Végül számpéldát mutatunk be a gakorlati alkalmazásra... z egensúl feltételei Tekintsük a.0/a ábrán vázolt merev testet. z első lépésben a merev testre az, és 3 erőket működtetjük. Nilvánvaló, hog a három erő nincs egensúlban. Ezt a három erőre szerkesztett vektoridom is bizonítja: az vektoridom nem zárt (.0/c ábra). második lépésben megszerkesztjük az, és 3 erők R eredőjét. 3 3 Ω E 4 R R 3 4 a) b) c).0 ábra. a) az, és 3 erőkkel terhelt merev test, b) az,, 3 és 4 erőkkel terhelt, egensúlban lévő merev test, c) vektoridom. következő lépésben az eredeti, és 3 erőket kiegészítjük az R eredő E ellentettjével, amit 4 -el jelölünk (.0/c ábra). Ezzel biztosítottuk, hog az,, 3 és 4 erők egensúlban lévő erőrendszert alkotnak:,, 3, ) & 0 ( 4 fenti szerkesztés tehát azt mutatja, hog eg erőrendszer egensúlának az a feltétele, hog a rendszert alkotó erők vektoraiból zárt és nílfoltonos vektorsokszög legen szerkeszthető. következőkben az egensúl számítási feltételeit fogalmazzuk meg..0/b ábrán vázolt erőrendszert vizsgáljuk, amelet az, és 3 erők kiegészítésével hoztunk létre, ol módon, hog a három erőhöz úg adtuk hozzá az 4 erőt, hog a nég erő egensúlban lévő rendszert alkosson..0/c ábra E és R vektoraival kapcsolatban az első aióma alapján felírhatjuk, hog E & R 8

33 ivel R az, és 3 erők eredője, vagis ( 3,, ) & R és az E egensúlozó erőre bevezettük az 4 jelölést, az iránú erőkre vonatkoztatott. vetületi tétel alapján vagis Átrendezve: 4, R 4, (, +, + 3, ), +, + 3, + 4, 0 Hasonlóképpen eljárva, az iránú erőkkel kapcsolatban az illetve az összefüggések írhatók fel, ahonnan 4, R 4, (, +, + 3, ), +, + 3, + 4, 0 3. (nomatéki) tétel alapján mivel E és R közös hatásvonalon hatnak, csak ellentétes iránban felírható hog E R ahol a sík eg tetszőleges pontja. jobboldalon és baloldalon szereplő erőket részletezve: Innen: ( entiek alapján rögzíthetjük az egensúl három feltételét az - derékszögű koordinátarendszerben, általános elrendezésű, n erőt tartalmazó síkbeli erőrendszer esetében. I. z erők vízszintes vetületeinek algebrai összege zérus: i i, II. z erők függőleges vetületeinek algebrai összege zérus: n 0 ) 0 9

34 n i i, III. z erők nomatékösszege a sík bármel pontjára zérus: 0 n i i 0 három független egenletből három ismeretlen határozható meg. Ez szétszórt síkbeli erők esetében mindig megoldást jelent. z egenletek felírásának sorrendje tetszőleges; a sorrendet célszerűségi szempontok alapján állapítjuk meg. Általános esetben tetszőleges elrendezésű szétszórt erők esetében a három egenletre szükség is van az egértelmű megoldás érdekében. bban a speciális esetben amikor az erők párhuzamosak, vag közös metszéspontúak, két egenlet elegendő az egértelmű megoldáshoz. Közös vonalon működő erők egensúlának vizsgálata során egetlen egenlet is megoldáshoz vezet. z egensúl feltételeit a fenti I., II. és III. egenletek felhasználásával más formában is megfogalmazhatjuk. Ekkor azonban kiegészítő feltételek teljesülése is szükséges. szétszórt síkbeli erőrendszer a n i n i n i i, i i feltételek teljesülése esetén is egensúlban lehet. z első egenlet azt fejezi ki, hog az erők vízszintes vetületeinek algebrai összege zérus. második egenlet az erők nomatékösszegének az pontra vonatkoztatott zérusértékét fejezi. Hasonló módon, a harmadik egenlet az erők nomatékösszegének a pontra kiszámított zérusértékét követeli meg. ontos kiegészítő feltétel viszont, hog az vetületi tengel nem lehet merőleges a nomatéki pontok összekötő egenesére! Ekkor uganis a három feltétel teljesülése esetén is létezhetne eg olan eredő, amel az és ponton is átmeg és merőleges az tengelre (./a ábra). O R C R a) b). ábra. három feltétel teljesül, még sincs egensúl. a) az eredő átmeg az és ponton és merőleges az tengelre, b) az eredő átmeg az, és C ponton. 30

35 szétszórt síkbeli erőrendszer egensúlát a n i n i n i i i C i feltételek teljesítésével is biztosíthatjuk. z első egenlet azt fejezi ki, hog az erők nomatékösszege az pontra zérus. második egenlet az erők nomatékösszegének a pontra vonatkoztatott zérusértékét fejezi ki. Hasonló módon, a harmadik egenlet az erők nomatékösszegének a C pontra kiszámított zérusértékét követeli meg. ontos kiegészítő feltétel viszont, hog a három pont nem eshet eg egenesre! Ekkor uganis a három feltétel teljesülése esetén is létezhetne eg olan eredő, amel az, és C ponton is átmeg (./b ábra)... z egensúl feltételi egenleteinek alkalmazása síkbeli erőrendszer általános vizsgálatára hogan a megfogalmazás is jelzi, az egensúl feltételi egenleteit túlnomórészt arra használjuk, hog eldöntsük, eg adott erőrendszer egensúlban van-e. Ezen túlmenően, a feltételrendszer alkalmazásával azt is el tudjuk dönteni, hog ha eg erőrendszer nincs egensúlban, akkor az erőrendszer eredője eg erő vag eg nomaték. z egensúli feltételrendszer előző pontban bemutatott három formáját alkalmazva a következőkben ezt mutatjuk be. Vizsgálat két vetületi és eg nomatéki egenlet segítségével vizsgálathoz két tetszőleges vetületi tengelt és eg tetszőleges nomatéki pontot választunk (./a ábra). két vetületi tengel általában a derékszögű koordináta-rendszer vízszintes és függőleges tengelei. z a pont, amelre az erők nomatékát felírjuk, gakran a koordináta-rendszer kezdőpontja. vizsgálat elvégzéséhez elő kell állítani a n i i,, n i i,, n i i értékeket. vizsgálat eredméneképpen három megállapítást tehetünk. Ha a két vetületösszeg és a nomatékösszeg is zérus, vagis n i n n i i, i, i i akkor a vizsgált erőrendszer egensúlban van. Ha legalább az egik vetületösszeg zérustól különböző, vagis 0 3