5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája

Átírás

1 TARTALOM 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája Koordináta transzformációk Forgatás R-P-Y szögek Homogén transzformációk Denavit Hartenberg-transzformáció Jakobi mátri Robotok dinamikai rendszere és mozgásegenletei Tehetetlenségi tenzor Robotok mozgásegenletei Robotok dinamikai modelljei A robotmozgás inverz feladata Hajtónomatékok számítása aritmetikai processzorral PTP és CP iránítás PTP iránítás CP iránítás Számított hajtónomatékok realizálása Robotok hajtásszabálozása Ellenőrző kérdések ROBOTOK PROGRAMOZÁSA Robotok pálagenerálása betanító és világ koordináta-rendszerben való programozás esetén Pálagenerálás betanító programozással Pálagenerálás világ koordinátarendszerben A CP programozás elve betanító programozással A PTP programozás elve betanító programozás esetén Programszerkesztés betanító programozási rendszerekhez Programszerkesztés elvei világ koordinátarendszerű programozási rendszerekben Ellenőrző kérdések ROBOTOK ALKALMAZÁSA... 6 Kulcsár Béla, BME

2 6 ROBOTTECHNIKA II. 7.. Robotos anagkezelő rendszerek Robotos technológiai rendszerek Gártócellák Robotos festőrendszerek Robotos hegesztő rendszerek Robotos vágó rendszerek Mobil robotos rendszerek Anagkezelési és technológiai segédberendezések Robotok alkalmazása az orvostechnikában Ellenőrző kérdések ROBOTOK VIZSGÁLATA Robotok vizsgálatának elvei, vizsgálati paraméterek Robotok pálakövetési pontosságának vizsgálata Robotok beállási pontosságának és ismétlőképességének vizsgálata Robotok munkatér vizsgálata A robotok egéb jellemzőinek vizsgálata Mozgó tárg követésének pontossága Legkisebb programozható lépés Merevségi vizsgálatok Zajvizsgálatok Ellenőrző kérdések FELADATOK IRODALOMJEGYZÉK Kulcsár Béla, BME

3 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE A robotok iránító rendszerének legfontosabb feladata, hog a TCP pont előírt pálájához a szükséges csuklókoordinátákat ( ij (t), s ij (t)) meghatározza, és azokat a hajtórendszerek és a szenzorikai rendszerek segítségével végrehajtsa. Az iránítórendszer ezen túlmenően még több feladatot is ellát, - kapcsolatot tart a robot körnezetével, - felügeli a hajtásszabálozó rendszert, - biztosítja a programok tárolását, - felügeli a különböző egségek közötti adatkommunikációt. 5.. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája A robotok iránító rendszere standard modulokból épül fel, amelek a robot üzemeltetésében meghatározott részfeladatokat látnak el. Külön-bőző gártó cégek ezeket a modulokat különféleképpen strukturálják, abban azonban megegeznek, hog mindegikben található - CPU modul, - szervo modul, - memória modul, - input-output modul. Abban már eltérés van, hog bizonos kezelőszervek vag egségek adatkommunikációja közvetlenül a fenti modulok valamelikéhez kapcsolódva, vag pedig eg illesztőegség közbeiktatásával buszrendszeren keresztül történik. Az 5.. ábra eg buszrendszeren keresztül történő adatkommunikációt mutat. Az 5.. ábra a TRALLFA TR-4 Mk.. tip. iránítórendszer felépítését mutatja. Az összehasonlításból látható, hog az utóbbi struktúrában az iránítási feladatnak megfelelően új modulok is megjelennek és a kezelőszervek közvetlenül a modulokhoz kapcsolódnak. Kulcsár Béla, BME

4 8 ROBOTTECHNIKA II. Központi busz. Tengel Központi processzor Arithmetikai processzor Tengel helzetszabálozó. Tengel Motor Tachométer Út/szögadó Végálláskapcsoló RAM ROM EPROM n. Tengel Külsõ tároló Disk Bináris I/O illesztõ egség Bemenet Kimenet Displa - kijelzõ kezelõ egség Terminál Programfelvétel Szenzor I/O illesztõ egség Analóg Digitális párhuzamos Digitális soros Bemenet Kimenet PHG Programkorrekció 5.. ábra Kulcsár Béla, BME

5 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE 9 Központi processzor Arithmetikai processzor Szervo modul Displa - kijelzõ kezelõ egség Robot Zener diódák Terminál Programfelvétel Memória modul RAM Merev lemez ROM EPROM Külsõ tároló Disk Analóg modul Szelep vezérl. Festékszóró fej (pisztol) PHG Programkorrekció Központi busz Input-Output modul Szenzor I/O illesztõ egség Analóg Digitális párhuzamos Digitális soros Bináris I/O illesztõ egség Bemenet Kimenet 5.. ábra Kulcsár Béla, BME

6 ROBOTTECHNIKA II. 5.. Koordináta transzformációk A robotok mozgását felfoghatjuk úg is mint a robotkarokhoz rögzített koordinátarendszerek (frame koordinátarendszerek) relatív helzetének változását. Ennek megfelelően a TCP pont világkoordináta-rendszerbeli helzete a karokhoz rögzített koordinátarendszerek transzformációjával előállítható, ha ismerjük a koordinátarendszerek relatív helzetét meghatározó időfüggvéneket. A továbbiakban a robotspecifikus koordináta transzformációkat tekintjük át Forgatás A koordinátageometriából ismert módon a z tengel körüli forgatást (5.. ábra) az z z 5.. ábra Kulcsár Béla, BME

7 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE cos sin R Rot ( z) sin cos z, (5.) mátri segítségével írhatjuk le. Hasonló mátriok képezhetők az és tengelek körüli forgatásra is, ahol és a koordináta tengelek körüli elfordulások szöge, íg R R ot( ) cos sin sin cos, (5.) R cos sin R ot ( ) sin cos. (5.) Ha bármelik két mátriot összeszorozzuk, akkor a két tengel körüli egüttes forgatás mátriához jutunk: R z R cos Rot (z) Rot ( ) sin sin cos cos sin sin cos. (5.4) cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos A három mátri összeszorzásából a három tengel körüli egidejű forgatás mátria adódik: Kulcsár Béla, BME

8 ROBOTTECHNIKA II. R z R R Rot ( z) Rot ( ) Rot ( ) cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin cos cos sin cos sin sin cos cos cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin sin sin cos cos cos sin cos sin sin sin sin sin cos sin cos cos cos cos (5.5) 5... R-P-Y szögek Az orientáció jellemzésének eg másik módja a csavarás (Roll), billentés (Pitch) és forgatás (Yaw) szögek használata. Az 5.4. ábrán lévő z R P Y 5.4. ábra szögjelöléseket alkalmazva, és az R-P-Y sorrendnek megfelelően összeszorozva R (z), R (), R () mátriokat; Kulcsár Béla, BME

9 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE RPY (,, ) R R R z Rot (z) Rot ( ) Rot ( ) cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin cos sin sin cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin sin sin cos sin cos cos sin sin sin cos cos cos (5.6) forgató mátrihoz jutunk, amel az 5.5. ábra szerinti forgatást eredménezi. z z z z z 4 z ábra Kulcsár Béla, BME

10 4 ROBOTTECHNIKA II Homogén transzformációk Tekintsük az 5.6. ábrán lévő ; ; z és ; ; z ; koordinátarendszer P ( P ; P ; z P ) és P ( P ; P ; z P ) pontja közötti összefüggést az alábbi bázis független alakban: r = r + p. (5.7) z z P r P z P p r P z P e P e e P 5.6. ábra Legenek továbbá e ; e ; e az ; ; z koordinátatengel iránú egségvektorok az i; j; k bázisában. A fenti bázis független alak e ; e ; e ismeretében az alábbi formában írható fel: Kulcsár Béla, BME

11 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE 5 Kulcsár Béla, BME z z z z z z z p p p z e e e e e e e e e z e e e e e e e e e z p (5.8) Írjuk fel a fenti mátriegenletet az alábbi alakban: z z p e e e p e e e p e e e z T z z z z p A, (5.9) amelből megállapíthatjuk, hog az első három egenlete azonos az előzőekben felírt mátriegenlettel, az utolsó egenlete pedig az = azonosság, íg a két mátriegenlet ekvivalens. A fentiek alapján az z (5.) vektor homogén koordinátás alakjának az értékű negedik koordinátával kiegészített z (5.) vektort nevezzük Denavit Hartenberg-transzformáció A robotkarok csuklóval való kapcsolódása általános kialakítást tekintve az 5.7. ábra szerinti kinematikai láncot adja. Az ábrán íg általánosan be-

12 6 ROBOTTECHNIKA II. mutatható a karokhoz rögzített koordinátarendszerek egmáshoz viszonított helzete, illetve egmásba való transzformációja. Tekintsük a két egmást z i - i Csukló i Csukló i - Kar i - Kar i i+ z i Csukló i + Kar i + a i i s i i - i i - i 5.7. ábra követő koordináta rendszert az 5.8. ábrán megadott jellemzőkkel adottnak. Az z koordinátarendszer tengelei és szöggel való elforgatás után z koordinátarendszer iránával azonosak lesznek, ezt a transzformációt a cos sin cos sin sin R sin cos cos cos sin (5.) sin cos forgatómátri hajtja végre. Ahhoz, hog a két koordinátarendszer Kulcsár Béla, BME

13 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE 7 z a z z P P P P s P z P P 5.8. ábra teljesen fedje egmást még az z koordinátarendszer kezdő pontját a cos p a sin (5.) s mértékkel el kell tolni. Az (5.) mátri bővíthető az (5.) vektorral. Homogén koordinátákat alkalmazva az és z tengel körüli forgatást és az, és z tengel menti eltolást egüttesen értelmező ún. Denavit Hartenbergmátrihoz jutunk; Kulcsár Béla, BME

14 8 ROBOTTECHNIKA II. Kulcsár Béla, BME s cos sin sin a sin cos cos cos sin cos a sin sin cos sin cos DH (5.4) Az és koordinátarendszer közötti transzformáció = DH (5.5) mátriegenlettel írható le, ahol z, (5.6) z, (5.7) illetve z s cos sin sin a sin cos cos cos sin cos a sin sin cos sin cos z. (5.8) A fenti elvek egenesbe vezetéses kinematikai lánc esetén is alkalmazhatók 5.9. ábra.

15 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE 9 z i - i = const Csúszka i Csukló i - Kar i - Kar i i+ z i Csukló i + Kar i + a i i s i i - i i - i 5.9. ábra Több robotkar egmáshoz kapcsolásával létrejövő esetben is értelmezhető az (5.5) illetve az (5.8) alatti feladat. Ez esetben eges koordinátarendszerek transzformációját megvalósító DH mátriok összeszorzódnak és az (5.5) egenlet = DH n n (5.9) egenletté alakul át. A robotiránítás gakorlatában a Denavit Hartenberg-transzformációnak nem az (5.9) összefüggéssel meghatározott formáját alkalmazzák. Az esetek nag többségében nem adott forgatási szög és az eltolási mértékhez kell valamelik koordinátát meghatározni, hanem a koordináták és az eltolási mérték ismeretében kell előállítani a forgatási szögeket. A koordinátarendszerek célszerű felvételével a forgatási szögek megegeznek a robot csukló koordinátáit megvalósító szögelfordulásokkal. Alkalmazzuk a fenti elvet az 5.. ábrán lévő robotra. Kulcsár Béla, BME

16 ROBOTTECHNIKA II. z 4 z z 4 P(;;z) = TCP 5 z z z 5.. ábra A robotkarok geometriai méretei alapján az eltolási mértékek: s s s a a a,,, 4, 4 4,, 9,. o, Kulcsár Béla, BME

17 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE Ennek megfelelően az eges DH-mátriok: cos sin sin cos DH, (5.) cos sin sin cos cos DH, (5.) sin cos sin 4 sin cos 4 cos DH 4. (5.) A három mátri összeszorzásából kapjuk, sin 4 4 DH 4 DH DH DH 4 mátriot, amellel végrehajtható P = TCP pont 4 4 z 4 koordinátarendszerből z illetve z világkoordináta-rendszerbe való transzformálása. Ha jobban szemügre vesszük az 5.. ábrát, megállapíthatjuk, hog a P = TCP az 4 4 z 4 koordinátarendszer kezdőpontjában van, íg az 4 (5.) homogén koordinátákkal jellemezhető. A transzformációhoz (5.9) alapján Kulcsár Béla, BME

18 ROBOTTECHNIKA II. DH4 4 (5.4.) mátriegenlet felhasználásával jutunk, amelet részletezve z DH 4 (5.5) összefüggést kapjuk. Az előzőekből ismert, hog DH 4 implicite tartalmazza, és változókat. (5.5) egenletrendszer, és -re 4 4 való megoldásából a rc tg, a rcsin z 4 sin ( ) (5.6) 4 a rccos ( z) 4 4 összefüggések adódnak, amel minden összetartó ; ; z értékhez - az 5.. ábra koordinátarendszer elhelezése alapján - kiszámítható. Ha = (t), = (t) és z = z(t) időfüggvének, akkor i i ( t) is időfüggvén lesz. Példaként határozzuk meg a Denavit Hartenberg-mátriok segítségével az 5.. ábrán látható robotkar P pontjának helzetét -os szögelfordulás megtétele után az,, z koordinátarendszerben. Az ábrán vázolt helzet a o o, szöghelzetnek felel meg. Kulcsár Béla, BME

19 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE z = - 9 s z O a z P = O s ( t ) z ( t ) ( t ) 5.. ábra A robotkaron három koordinátarendszert heleztünk el. Látható, hog a P pont a koordinátarendszer kezdőpontjával egezik meg. Az eges koordinátarendszerek eltolásának és elforgatásának mértékét is az ábra mutatja. - Transzformáció az - koordinátarendszer esetén; a s mm,, 9, 5 mm. (5.4) felhasználásával az - koordinátarendszer közötti transzformációt megvalósító Denavit Hartenberg-mátri általánosan és a kiszámított értékeivel Kulcsár Béla, BME

20 4 ROBOTTECHNIKA II. Kulcsár Béla, BME s cos sin sin a sin cos cos cos sin cos a sin sin cos sin cos DH (5.7) 5 DH (5.8) - Transzformáció a - koordinátarendszer esetén;.,, mm s, mm 6 a A transzformációs mátriok (5.4) felhasználásával:, s cos sin sin a sin cos cos cos sin cos a sin sin cos sin cos DH (5.9) illetve a kiszámított értékek:. 6 DH (5.)

21 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE 5 Az és a koordinátarendszer közötti transzformációt megvalósító mátri: illetve a számértékeivel DH DH DH, (5.) DH 6. (5.) 5 A P pont helzetét leíró vektor a koordinátarendszerben homogén koordinátákkal megadva:. (5.) Az koordinátarendszerbe áttranszformált P pont az mátri szorzás végrehajtásával DH (5.4) , (5.5) adódnak amelből a koordinátákra 6, ; z 5 mm adódik. A mátriokat és 6 értékekre is elvégezve (5.7) és (5.9) mátriok értékei módosulnak. Kulcsár Béla, BME

22 6 ROBOTTECHNIKA II. - Az - koordinátarendszer közötti transzformáció adatai; a s mm, 9, 5 mm, ameleket (5.7)-be helettesítve,,866,5,5,866 5 DH (5.6) mátriot kapjuk. A szögekkel kapcsolatban megjegezzük, hog a koordináta transzformációban a pozitív forgatási irán a jobbsodrású koordináta rendszer forgási irána. Ez és esetén ellentétes iránú a 4. fejezetben pozitív iránként értelmezett és 4 iránokkal. 4 - A - koordinátarendszer közötti transzformáció jellemző adatai: a 6 mm, s mm,, 6 A fenti adatokat (5.9)-be behelettesítve a transzformációs mátri,5,866,866,5 59,65 DH. (5.7) (5.6) és (5.7) mátriok (5.) szerinti összeszorzásából Kulcsár Béla, BME

23 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE 7 DH, 4, 75, 5 59, 88, 5, 4, 866, 5, 866, 5,. (5.8) (5.4) és (5.8) felhasználásával a P pont transzformált homogén koordinátái az koordinátarendszerben 59, 88, 5,, (5.9) amelből 59, 88,, 5, z, mm. Nézzük meg az előző feladat megoldását abban az esetben, ha a koordinátarendszereket az 5.. ábra szerint helezzük el, azaz a és a koordinátarendszer fedésben van. - Transzformáció - koordinátarendszer esetén; a s mm,, 9, 5 mm. Az eltolási mértékek azonossága alapján az - koordinátarendszer közötti transzformációt megvalósító mátri megegezik (5.8)-cal. Kulcsár Béla, BME

24 8 ROBOTTECHNIKA II. z = - 9 s z z O O P s ( t ) z ( t ) ( t ) 5.. ábra - Transzformáció - koordinátarendszer között; a s,,, mm, tehát a és koordinátarendszer fedésben van. Ennek megfelelően a transzformációs mátri DH. (5.4) Kulcsár Béla, BME

25 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE 9 (5.8) és (5.4) mátriok (5.) szerinti összeszorzásából DH 5 (5.4) adódik. A P pont helzetét homogén koordinátákkal a koordinátarendszerben most 6 (5.4) vektor írja le. (5.4) és (5.4), (5.4) szerinti összeszorzásával, P pont,, koordinátarendszerbeli helzetét z 6 5 (5.4) vektor jellemzi, amel megegezik (5.5)-tel, tehát 6, 5, z mm. Ha a számításokat a és a 6 helzetre is elvégezzük; - - koordinátarendszer közötti transzformációs adatok: a s 5 mm,, 9, mm, Kulcsár Béla, BME

26 ROBOTTECHNIKA II. amelekkel DH megegezik (5.6)-tal. - - koordinátarendszer közötti transzformációs adatok: a s,,, 6 A fenti adatokkal (5.9)-ből.,5,866,866,5 DH (5.44) mátri adódik. (5.6) és (5.44) mátriok (5.) szerinti szorzásából az és koordinátarendszer közötti transzformációt megvalósító mátrira adódik. DH, 4, 75, 5, 5, 4, 866 7, 5, 866, 5 5 (5.45) A P pont helzete a koordinátarendszerben itt is (5.4)-vel írható le. (5.45) (5.4)-vel való szorzásából a P pont helzetét az koordináta-rendszerben leíró vektorra 59, 88, 5, (5.46) Kulcsár Béla, BME

27 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE adódik, amel azonos (5.9)-cel. A példából látható, hog a transzformáció független a koordinátarendszer helzetétől, ha a P pont helzetét az utolsó koordinátarendszerben helesen adjuk meg. Abban az esetben, ha a robot több tagból épül fel újabb transzformációs mátriot képezhetünk. Erre mutat példát az 5.. ábra. z = - = + = - 9 z s O a 4 z O a 4 z 4 s ( t ) P = O 4 s 4 = ( t ) 4 4 z ( t ) ( t ) 5.. ábra Példaként itt is határozzuk meg az 5.. ábrán lévő robot P pontjának helzetét o az ábrán vázolt,, és, 6, esetén. 4 4 A koordinátarendszerek elhelezése legen az ábra szerinti. Ennek megfelelően az eltolási mértékek a robotkarok méreteivel jellemezhetők; - Transzformáció - koordinátarendszer esetén; a mm, s, 9, 5 mm. O O Az adatokból látható, hog megegeznek az 5.. ábra transzformációjánál lévő adatokkal, íg a transzformációs mátri is megegezik (5.8)-cal. Kulcsár Béla, BME

28 ROBOTTECHNIKA II.. 5 DH (5.47) - Transzformáció - koordinátarendszer esetén a s 6 O O,. mm mm,, A transzformációs mátri (5.4) felhasználásával, (5.9) alapján kiszámítható értékekkel; DH 6. (5.48) - Transzformáció -4 koordinátarendszer között; (5.4) felhasználásával; cos sin cos sin sin a cos sin cos cos cos sin a sin sin cos s DH 4 (5.49) illetve a kiszámított értéke 4, Kulcsár Béla, BME

29 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE 4 6. DH (5.5) (5.) szerinti szorzással (5.47), (5.48) és (5.5)-ből a DH (5.5) transzformációs mátriot kapjuk. A P pont helzetét a 4 koordinátarendszerben homogén koordinátákkal leíró vektor; 4. (5.5) A P pont helzetét az koordinátarendszerben leíró vektort (5.5) és (5.5) szorzásával kapjuk 4, (5.5) 5 amelből, 4, z 5 mm. A továbbiakban az 5.4. ábrán vázolt robothelzethez határozzuk meg a P pont koordinátáit. Az ábrán vázolt helzetet, 6, 4 jellemzi, a szögek iránára itt is az előzőekben leírtak érvénesek; Kulcsár Béla, BME

30 4 ROBOTTECHNIKA II. - Transzformációt - koordinátarendszer között; a mm, s, 9, 5 mm. O O A transzformációt megvalósító mátri - az előző számítást tekintve - megegezik (5.47)-tel. -Transzformáció - koordinátarendszer között; a 6 mm, s mm,, 6. z = -9 = ( t ) s z = ( t ) 4 4 O a z O 4 a 4 s ( t ) s 4 z 4 P = O 4 = ( t ) 4 4 z ( t ) ( t ) 5.4. ábra Kulcsár Béla, BME

31 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE 5 A transzformációs mátri (5.4) illetve (5.9) felhasználásával;,5,866,866,5 59,65. DH (5.54) - Transzformáció -4 koordinátarendszer között; a s O, O mm mm.,, A fenti adatokkal a transzformációs mátri DH 4, 866, 5 59, 65, 5, 866. (5.55) (5.47), (5.54) és (5.55) mátriok (5.) szerinti szorzásából az -4 koordinátarendszerek közötti transzformációt megvalósító DH 4, 866, 5 89, 65 4, 5, 866 (5.56) mátriot kapjuk. A P pont helzetét a 4 koordinátarendszerben itt is 4 (5.57) Kulcsár Béla, BME

32 6 ROBOTTECHNIKA II. homogén koordinátákkal megadott vektor írja le. (5.56) mátri (5.57) vektorral való szorzásából adódik a P pont helzetét az koordinátarendszerben leíró vektor 89, 65 4, (5.58) amelből a koordinátákra 89, 65, 4, z mm értékeket kapunk. A robotnak ezt az új helzetét az 5.4. ábra mutatja Jakobi mátri Az inverz kinematikai feladatok megoldására alkalmasak a differenciál eljárási módok. Tekintsünk példaként eg hatváltozós vektorfüggvént F ( ), (5.59) ahol f (,,, 4, 5, 6 ), f (,,, 4, 5, 6 ), f (,,, 4, 5, 6 ), 4 f 4 (,,, 4, 5, 6 ), (5.6) 5 f 5 (,,, 4, 5, 6 ), 6 f 6 (,,, 4, 5, 6 ). (5.59) vektorfüggvén differenciálját Kulcsár Béla, BME

33 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE 7 Kulcsár Béla, BME d F d (5.6) formában képezhetjük, ahol. d f d f d f d, d f d f d f d, d f d f d f d (5.6) (5.6) és (5.6)-ből értelmezhető f f f f f f f f f F (5.6) 6 6 méretű mátriot Jakobi-mátrinak nevezzük és J-vel jelöljük. Az i f függvének nemlineáris függvénei, ennélfogva J mátri is függvéne, íg (5.6) általánosságban d d J ( ) (5.64)

34 8 ROBOTTECHNIKA II. alakban írható fel. A Jakobi-mátri determinánsát a matematikai szakirodalom Jakobiánnak nevezi. Fel kell hívni a figelmet, hog a két megnevezés gakran összemosódik a robottechnikai szakirodalomban. A robottechnika az inverz kinematikai transzformációkhoz a Jakobi mátriokat és nem a Jakobiánokat használja. A Jakobi mátriok alkalmazhatók a derékszögű koordinátákról csuklókoordinátákra való transzformációhoz. Alkalmazzuk az alábbi jelöléseket q =, (5.65) ahol z z =,,, z,,, T. (5.66) (5.66)-ban,, z koordinátákkal a TCP pont pozíciója, az szögekkel pedig az orientációja jellemezhető. Az (5.65) értelmezésben q eg általános csukló koordináta vektornak felel meg. A jelölésekkel (5.64) dz J( q) dq (5.67) alakba írható, amelből dq J ( q) d z. (5.68) (5.67) és (5.68) egformán alkalmasak a transzformációra. Azonban két problémára fel kell hívni a figelmet. Az egik az, hog J mátri nem állandó mátri. A másik probléma tisztán számítási természetű, főleg az inverz képzésnél. A robottechnikában a Jakobi-mátrinak van eg további gakoribb alkalmazása. Formális osztással osszuk (5.67) egenlet mindkét oldalát dt - vel, úg hog az operációnál J (q) -t állandónak tekintjük; d z d t d q J ( q). (5.69) d t (5.69) összefüggés a sebesség leképzését írja le, ahol Kulcsár Béla, BME

35 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE 9 d z T v, v, v z,,, t. (5.7) d t Gakorlásképpen írjuk fel az 5.5. ábrán lévő síkbeli robot Jakobimátriát. Az ábra alapján a TCP pont koordinátái TCP l l O 5.5. ábra cos sin cos ( sin ( ). ), (5.7) Az idő szerint deriválva mindkét egenletet, sin cos sin ( cos ( )( )( ). ), (5.7) Jelöljük Kulcsár Béla, BME

36 4 ROBOTTECHNIKA II. és d z z d t (5.7) dq q, d t (5.74) akkor (5.69) (5.7), (5.7) és (5.74) felhasználásával illetve sin sin ( cos cos ( ) ) z J ( q ) q sin ( ) cos ( ) (5.75) (5.76) alakba írható át, ahol a Jakobi-mátri sin sin ( ) J ( q ) cos cos ( ) sin ( cos ( ). (5.77) ) Figelembe véve a csuklókaros robotok csuklókoordinátáinak a 4. fejezetben lévő értelmezését 4,, (5.78) (5.77) szerinti Jakobi-mátri sin J ( q ) cos sin ( cos ( 4 4 ) ) sin ( cos ( 4 ) ) (5.79) 4 Kulcsár Béla, BME

37 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE 4 csukló szögelfordulással is kifejezhető. A mátri elemeiből látható, hog függ a robot konfigurációjától. A gakorlatban legtöbbször nem az (5.76) szerinti transzformációt, hanem annak az inverz feladatát kell megoldani. q J ( q) z (5.8) 5.. Robotok dinamikai rendszere és mozgásegenletei A robotok iránításához elengedhetetlen a dinamikai rendszerének ismerete. A munkafolamat végrehajtása során megvalósítandó bonolult mozgáspálák a csuklókoordinátákat realizáló hajtórendszerek instacionárius mozgásállapotán keresztül realizálódnak. Ezeket a pálákat típusaiktól és az általuk kiszolgált technológiától függően különleges pontossági előírások mellett kell megtenni. E követelmének a hajtások szabálozásával elégíthetők ki. A tervezés és az üzemeltetés oldaláról ez annak a kérdésnek a megválaszolásával jár, hog a valós robotszerkezet energiaforrását a berendezés üzeme alatt hogan kell folamatosan, vag meghatározott időközönként módosítani ahhoz, hog a mozgás az előírt pontossági követelméneknek megfeleljen. A robot felépítését tekintve eg nagméretű, nemlineáris dinamikai rendszer, ezért iránítása bonolult feladatot jelent. Az iránítási feladatot azonban nemcsak a rendszer mérete teszi bonolulttá, hanem az a tén is, hog paramétereit nem, vag csak bizontalanul ismerjük. A szakirodalom e problémát igazában nem vizsgálta kellően, hatását az ún. zavaró-jellemzők kategóriájában kezelte. Ennek megfelelően alakultak ki különféle iránítási algoritmusok, mint a decentralizált szervohajtások, a nemlineáris szétcsatolás, a csúszószabálozás, a robusztus szabálozási algoritmusok stb Tehetetlenségi tenzor Az 5.6 ábrán lévő merev test mozgási energiájának számításához tekintsük a testet diszkrét tömegpontok rendszerének, amel alapján a kinetikus energia Kulcsár Béla, BME

38 4 ROBOTTECHNIKA II. z r o O r R v (5.8)-et részletesebben kifejtve 5.6. ábra T m v m ( v ω r ). i i (5.8) i i T m v m ( ) m ( ) i v ω r ω r i i (5.8) i i összefüggéshez jutunk, amelben m i v ( ω r ) m r ( v ω ) ( v ω ) m r, (5.8) i ha az koordinátarendszer kezdőpontja a súlpont, mivel a súlpontra nézve i i i i r. (5.84) m i i (5.84)-et figelembe véve a súlpontra számított kinetikus energia (5.8)-ből Kulcsár Béla, BME

39 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE 4 Kulcsár Béla, BME i i i ) ( m m T r ω v (5.85) alakban írható fel. A vektorszorzásoknál megismert kifejtési tételt alkalmazva (5.85) ) ) ( ( m m T i i i i r ω r ω v (5.86) egenlet csak skalár szorzásokat tartalmaz. A továbbiak megértéséhez értelmezzük az ω, (5.87) és r i i i i (5.88) vektorokat, illetve azok transzponáltjait T = ω (5.89) r i T i i i. (5.9) Az (5.87), (5.88) és (5.9) értelmezések felhasználásával (5.86) második tagját felírva ) )( ( ) )( ( ω r r ω r ω ω T i i r i T i T i m (5.9) fejezethez jutunk, amel a vektorszorzás szabálai szerint

40 44 ROBOTTECHNIKA II. T i i i i i T T m ω I ( r r ) ( r r ) ω (5.9) formába írható át, ahol I az egségmátri. Mivel komponensei az r i T helvektornak nem függvénei (5.9)-ből az ω és ω kiemelhető; T T T ω m I( r r ) ( r r ) i i i i i ω. (5.9) Végezzük el a szögletes zárójelben lévő műveleteket, akkor ( i i i i i i ) ( i i i i i i ) ( i i i i i i ) (5.94) mátriot kapjuk. Szorozzuk meg (5.94) minden tagját az (5.9) szerinti -vel, íg eg új jellemzőhöz jutunk m i M m i ( i i ) m i i i m i i i m m m i i i i ( i i) i i i m i i i m i i i m i ( i i) (5.95) amelet súlponti tehetetlenségi tenzornak nevezünk. Ha a merev test foltonos tömegeloszlásúnak tekinthető, akkor (5.95) helett a tehetetlenségi tenzor illetve M I ( r r) ( r r ) V T T d V, (5.96) Kulcsár Béla, BME

41 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE 45 ( d V d V )d V M d V ( )d V (5.97) )d V d V d V d V ( alakban határozható meg. Amenniben az 5.6. ábrán lévő merev test súlpontja és a vonatkoztatási rendszer kezdőpontja egbeesik, a merev test csak,, tengelek körül végez forgó mozgást. Ez esetben a kinetikus energia (5.85)-ből T T ω M ( r ) ω (5.98) i kifejezéssel határozható meg, amel átírható a gakorlatban használatos vag T ω T M ω (5.99) alakra, ahol q az általános koordináta vektor. T q T M q (5.) 5... Robotok mozgásegenletei A robot mozgását a Lagrange-féle másodfajú mozgásegenletek általánosított alakjának d d t i T T Q i q q i i (5.),,... n Kulcsár Béla, BME

42 46 ROBOTTECHNIKA II. felhasználásával vizsgáljuk, ahol T a robot kinetikus energiája q i a mozgást leíró általános koordináták, q pedig annak deriváltja és i Q i U M i q i. (5.) (5.) kifejezés az általános erőt jelenti, amelben M i az eges karok mozgatásához szükséges hajtónomaték, U pedig a robot potenciális energiája. A robotrendszer kinetikus energiáját állítsuk elő T q T M q (5.) alakban, ahol az általános koordináta derivált vektora - csak a robot pozíciómozgását vizsgálva - legen illetve annak transzponáltja pedig q, (5.4) T q (5.5) a robotkarok szögsebességeivel adott. Megjegezzük, hog q q(q,t ). A robot tehetetlenségi tenzora (használatos a tömegmátri megnevezés is) M M ( q). (5.6) A tehetetlenségi tenzor elemei a robot csuklókoordinátáinak nemlineáris függvénei. Végezzük el a Lagrange-féle egenletekben előírt műveleteket, mozgásegenletekként az alábbi mátri-differenciálegenlet adódik: T T T M q ( q ) M q ( q M q ) ( q ) M q Q, (5.7) q q q Kulcsár Béla, BME

43 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE 47 És Q m h U q, (5.8) ahol m h a hajtónomaték vektora m h M M M (5.9) q T (5.) pedig a differenciál operátor. Megjegezzük, hog az U = U (q) potenciális energiát a robotmodellek paraméterei határozzák meg, tehát típusfüggő. A modelleknél erre külön rá fogunk mutatni. (5.7) mátri-differenciál egenletben a változók felett lévő függőleges nilak az jelentik, hog a differenciál operátor a szóban forgó változóra hat. (5.7) és (5.8) egenletek kétféleképpen értelmezhetők; - Ismerjük m h hajtónomaték vektort és vizsgáljuk a robot mozgását. - Adott a TCP pont pálagörbéje és a pálasebesség, keressük azt a hajtónomaték vektort (hajtónomatékokat) amel teljesíti az előírásokat. A robot iránítása szempontjából ez az elsődleges feladat. Ehhez az m h M q ( q T ) M q q ( q q T M q ) ( q q T U ) M q q mátri differenciálegenlet-rendszert meg kell oldani. (5.) 5... Robotok dinamikai modelljei Az előző fejezetpontbeli (5.) egenletből látható, hog a robot mozgatásához szükséges hajtónomatékot valamilen dinamikai modellen Kulcsár Béla, BME

44 48 ROBOTTECHNIKA II. tudom generálni, uganis a modell alapján előállítható a tehetetlenségi tenzor. A robot szakirodalomban sokféle dinamikai modell ismeretes. Legtöbbje diszkrét elemű merevtest modell, de megtalálhatók a karok szerkezeti rugalmasságát is figelembe vevő kontinuum modellek is. A szerkezeti elemek (karok, tengelek, hajtóművek stb.) merevségi vizsgálatából általában megállapítható, hog legkisebb merevséggel a karok hajtását átszármaztató tengelek rendelkeznek. A karok diszkrét tömegekkel viszonlag jól helettesíthetők, a számítások hibája is kézben tartható. A könv ezen diszkrét paraméterű modellekkel foglalkozik, a modellek nem tartalmaznak csillapító és veszteségi elemeket. a) Merevtestszerű robotmodellek A modell eg térbeli RR robot osztált szemléletet ábra. z d m M d J J M M J M M cos 5.7. ábra Kulcsár Béla, BME

45 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE 49 Az ábrából látható, hog a két mozgást megvalósító M és M motor tengele egmásra merőleges. Az M motor biztosítja a függőleges tengel körüli forgatást, az M motor pedig a kar vízszintes tengel körüli forgását. A modell két szabadságfokú. A függőleges tengel körül forgó tömegek tehetetlenségi nomatéka; J J J J J M Zk ZM, (5.) ahol - J M az M motor forgórész, - J a kart rögzítő forgórész, - J Zk a kar, - J Z M B az m M tömeg z tengelre számított tehetetlenségi nomatéka. J M és J tehetetlenségi nomatékok állandóak, J Zk és J ZM pedig változik a robot mozgása során. Az utóbbiak közül - az 5.7. ábra jelöléseit figelembe véve: J Zk d m d l d cos (5.) összefüggéssel határozható meg. Elvégezve az integrálást Zk cos cos adódik, amelből m k l értelmezéssel J d cos (5.4) J Zk m k cos (5.5) egenletet kapjuk. A kar végén lévő tömegpont z tengelre számított tehetetlenségi nomatéka pedig Kulcsár Béla, BME

46 5 ROBOTTECHNIKA II. J ZM m cos. (5.6) M (5.5) és (5.6) felhasználásával m J cos k J J ( m ) M M (5.7) A vízszintes tengel körüli forgás tehetetlenségi nomaték az 5.8. ábra alapján határozható meg. z m M d J M M 5.8. ábra A kart modellező homogén tömegeloszlású súlos rúd tehetetlenségi nomatékát J m k d k (5.8) összefüggéssel számíthatjuk. Az m M tömeg tehetetlenségi nomatékát is figelembe véve a vízszintes tengel körül forgó tömegek tehetetlenségi nomatéka Kulcsár Béla, BME

47 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE 5 J m, (5.9) k J ( m ) M M kifejezéssel határozható meg, ahol J M az M motor forgórész tehetetlenségi nomatéka. A dinamikai modell a fentiek alapján koordináta vektorral, q, (5.) J M J (5.) tömegmátriszal, és U m (5.) k ( m ) g sin M potenciális energiával jellemezhető. Az (5.) egenletben lévő előírások kiszámításából J M q, (5.) J ( q T m k ( m ) cos sin M ) M q q, (5.4) Kulcsár Béla, BME

48 5 ROBOTTECHNIKA II. Kulcsár Béla, BME sin cos ) ( ) ( M k T m m M q q q, (5.5) ) ( M q q q T, (5.6) illetve M k cos g ) m m ( U q (5.7) kifejezések adódnak, amelekkel a hajtónomaték vektor mátriegenletes alakja M k M k M k k gcos ) m m ( sin cos ) m m ( sin cos ) m m ( J J M M m (5.8)

49 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE 5 Az 5.7. ábrán lévő modellhez újabb kart kapcsolva jutunk az 5.9. ábra dinamikai modelljéhez, amel az RRR robotosztált jellemzi. Ennek megfelelően a modell szabadságfoka ez esetben három lesz. z m M4 4 J M, m M d 4 M J J, m M M M J M M cos 5.9. ábra A és 4 karokat foltonos tömegeloszlású rúdként modellezzük, ameleknek a z tengelre számított tehetetlenségi nomatékai az 5.. ábra jelölései alapján számíthatók. A kart és az m M tömeget jellemző tehetet- Kulcsár Béla, BME

50 54 ROBOTTECHNIKA II. lenségi nomatékok megegeznek (5.4) és (5.5) összefüggésekkel meghatározható értékekkel. A 4 kar tehetetlenségi nomatékát az 5.. ábrán lévő adatokkal az z cos +,, d 4 m M 4 m M4 d 4 4 d J M cos M cos ( ) ábra J zk 4 d m cos 4 cos( 4 ) cos ( cos 4 ( cos, ) d m k 4 cos 4 cos ( 4 4 ) cos ( 4 ) (5.9) Kulcsár Béla, BME

51 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE 55 összefüggés írja le. Az m M 4 tömeg tehetetlenségi nomatéka az ábra jelöléseivel J cos cos ( (5.) m ) ZM 4 M alakba írható. Amenniben a 4 kar súlkiegenlítésű, akkor a tehetetlenségi nomaték számításánál a kiegenlítő tömeget is figelembe kell venni. A tömegmátri első eleme a fentiekkel J J J J J J J J M Zk ZM Zk 4 ZM 4 ki, (5.) amelnek elemei az előzőekből ismertek, J ki pedig a tömeg kiegenlítő szerkezet tehetetlenségi nomatéka. A vízszintes tengelekre számított tehetetlenségi nomatékok az 5.. ábra alapján számíthatók. z 4, d, 4 4 m M4 d m M.. 4 ( + ) 4 4,, cos 4. cos J M M 5.. ábra Kulcsár Béla, BME

52 56 ROBOTTECHNIKA II. A levezetések mellőzésével a kar kapcsolódását megvalósító tengelre (M motor tengel) számított tehetetlenségi nomaték J m m ( M 4 k ( m 4 M ) m 4 k 4 ( cos 4 ). 4 4 cos 4 ) (5.) A és 4 kart összekapcsoló tengelre számított tehetetlenségi nomaték J m k 4 ki ( m ) (a b ) b m M 4 4 e m, (5.) ahol az utolsó két tag a 4 kar tömegkiegenlítő szerkezetének tehetetlenségi nomatéka. Mivel a 4 kar nemcsak tengel körüli forgómozgást végez, hanem haladó mozgást is a tömegmátriban a főátlón kívül is lesznek elemek; 4 J J m ( cos ) m ( cos k M A tömegmátri (5.), (5.), (5.) és (5.4) értelmezésével ). (5.4) J M J J, (5.5) J J elemei függvénei a koordinátavektornak. A J elem változását a és 4 függvénében az 5.. ábra mutatja. Kulcsár Béla, BME

53 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE 57 m m m m J 4 k M k 4 M 4,8, J 4 5kg,,5kg, 7kg,,5kg, m, m, M 4 6 adatok mellett.,6 kg m 4 5,., J 6.4 [ Nm ] [ o ] 8 56 [ o ] ábra Az 5.9 ábrán vázolt robotdinamikai rendszert a fenti tömegmátrion kívül, a q 4 (5.6) Kulcsár Béla, BME

54 58 ROBOTTECHNIKA II. koordináta vektor és az U m ( m ( ks k 4 m m M M 4 ) g )g ( sin sin 4 sin ( 4 )) (5.7) potenciális energia egértelműen meghatározza. A koordinátavektor elemei, a csuklókoordináták, felhasználhatók a hajtórendszer tervezéséhez is. b) Rugalmas elemeket tartalmazó robotmodellek Az 5.7. ábrán lévő merevtest modellben a hajtó tengeleket rugalmas elemekkel helettesítve jutunk az 5.. ábra rugalmas modelljéhez. z m M m k m M J c c M J M J M M 5.. ábra Kulcsár Béla, BME

55 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE 59 A modell ez esetben is térbeli RR robotosztálra vonatkozik, azonban a szabadságfokainak száma nég. A dinamikai modell általános koordináta vektora tömegmátria pedig q, (5.8) J J M (5.9) J J 44 alakú. Elemei az 5.7. és 5.8. ábrák lapján (5.7) és (5.9) értelemszerű alkalmazásával; J J J J 44 J M m k J ( m J M m k ( m ) M M ) cos (5.4) egenletekkel határozható meg. A potenciális energia (5.) alatti kifejezése is megváltozik, a változást a rugalmas elemekben felhalmozott energia adja, íg jelen esetben az Kulcsár Béla, BME

56 6 ROBOTTECHNIKA II. U c m ( k ( m M ) ) c gsin ( ) (5.4) összefüggés érvénes. Az 5.9. ábra modelljében a hajtószerkezetek merevségi jellemzőitől függően eg, kettő vag három rugalmas elem iktatható be. Ennek megfelelően az RRR robotosztál nég, öt, illetve hat szabadságfokú dinamikai modellekkel jellemezhető, illetve vizsgálható. Az 5.4. ábra eg nég szabadságfokú, az 5.5. ábra pedig eg hat szabadságfokú dinamikai modellt mutat. z m M4 4 M4 J M, m M d J c M J, m M M J M M cos 5.4. ábra Kulcsár Béla, BME

57 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE 6 z m M4 c 4 4 M4 J M, m M d J c c M J, m M M J M M cos 5.5. ábra A teljesség kedvéért megjegezzük, hog valamenni robotosztálra állíthatunk fel dinamikai modelleket A robotmozgás inverz feladata Az előző fejezetpontban említettük, hog a robot működtetésében elsődleges annak a jelentősége, hog a mozgatáshoz szükséges hajtónomatékokat előállítsuk. A robot mozgása ennek megfelelően két szinten játszódik le: - a TCP pont által befutandó pálának megfelelően modell segítségével meghatározásra kerülnek a hajtónomatékok, illetve az azoknak Kulcsár Béla, BME

58 6 ROBOTTECHNIKA II. megfelelő hajtóenergiák (nomási energia, villamos energia - armatúrafeszültség vag áram stb.), - a modellen generált hajtónomatékok a valós robotmechanikai szerkezetre hatnak, azon mozgásokat hoznak létre. A két mozgási szint közül az elsőt nevezzük a robotmozgás inverz feladatának, az utóbbit pedig az un. direkt feladatnak. Írjuk elő a világkoordináta-rendszerben a robot térbeli páláját eg egenessel, amel z = z (; ) függvénnel realizálható. A robot TCP pontjának munkavégzés céljából ezen egenes eg szakaszát kell megtenni. Az 5.6. ábra szemléltesse ezt a térbeli egenest, amelnek P P szakaszán halad végig a robot v = v (t) sebességgel. Az ábrán a TCP pont mozgásának foronómiai görbéit is feltüntettük. Azért alkalmaztuk a ferde elhelezést, hog könnebben érthető legen, hog a T idő alatt megtett út megegezik a P P pálaszakasz hosszával. z s v a t t T t t t t P v z s z P = G = TCP z z, P, P 5.6. ábra Az előírt pálasebességet, pálagorsulást és a megtett utat részletesen is bemutatja az 5.7. ábra. Megjegezzük, hog a gakorlatban más pálasebesség előírások is használatosak, a könnebb érthetőség és az állandó gorsulás miatt jelen tárgalásban az ábrán vázoltat alkalmazzuk. Tételezzük fel, Kulcsár Béla, BME

59 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE 6 Kulcsár Béla, BME - a számítások egszerűsége miatt - hog a pálagorsulás és a pálalassulás megegezik a a a, ebből következik, hog t t ábra Az 5.7. ábra adatait figelembe véve az előírt út, megtételéhez szükséges idő; T s v v a. (5.4) Az út-idő függvén pedig T t a v T a v T t a a v T v a v a v T t t a v t v a v t t t a t s ) ( ) ( ) ( ) ( (5.4) t t t t t t t T a v s v a -a s

60 64 ROBOTTECHNIKA II. összefüggésekkel írható le. Ha a pálát t időintervallumonként számítjuk s( t t) s( t) s ahol s értékét útinkrementnek nevezzük, illetve, (5.44) ( t t) ( t), ( t t) ( t), z ( t t) z ( t) z. (5.45) ahol a térbeli összegzés alapján a koordinátageometria alapján s z. (5.46), (5.47) z z z, (5.48) z z z, (5.49) Amenniben síkmozgásról van szó, pl. z- síkkal párhuzamos mozgás esetén, akkor (5.48) helett (5.49)-et használjuk a számításhoz. Helettesítsük az (5.47) és (5.48) kifejezéseket (5.46)-ba. amelből s z z ( ) ( ), (5.5) Kulcsár Béla, BME

61 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE 65 s z z ( ) ( ) (5.5) adódik. Az (5.5)-ből kapott értékével és z értékek számíthatók, és segítségükkel (5.45) egenletekkel a robot által befutandó pála diszkrét értékei meghatározhatók. A pálapontok ismeretében a Denavit Hartenberg-mátri (5.6) szerinti megoldásából előállíthatjuk a ( t t) ( t t) ( t t) ( t t) ( t t) ( t t) 4 q ( t t) 4 ( t t) ( t t) ( t t) (5.5) (5.5) koordinátavektort. A koordinátavektor deriválásából kapott és (t t) q (t t) (t t) (5.54) (t t) 4 (t t) q (t t) (t t) (5.55) (t t) 4 vektorok a dinamikai modell segítségével a pálamozgást megvalósító hajtónomatékok (5.) szerint kiszámíthatók. Az inverz feladatot az ismertetett eljárással geometriai transzformációra vezettük vissza, hiszen (5.4) egenlet segítségével kinematikai jellemzőkből út jellemzőt állítottunk elő (közvetve világkoordinátát), majd csukló koordinátát (koordináta vektort). Inverz kinematikai transzformáció a Jakobi-mátri segítségével is végrehajtható. Ez esetben a pálasebesség közvetlenül felhasználható a transz- Kulcsár Béla, BME

62 66 ROBOTTECHNIKA II. formációhoz, igaz eredménül a koordináta vektor deriváltját kapjuk és csak ennek integrálásával adódik a koordináta vektor. Az inverz feladat természetszerűleg nemcsak lineáris pála interpoláció esetén hajtható végre, hanem különböző görbék alkalmazása esetén is. A pálagörbék azonban nem lehetnek tetszőlegesek. Robotok esetén leggakrabban használt görbék a: - körívek - spline -ok (szplájnok). A spline -ok elterjedését főleg az magarázza, hog diszkrét pontokra fektetett közelítő görbeként a gakorlatban előnösen használhatók. Bizonos (robotos) felületi megmunkálások megkövetelik a spline felületek alkalmazását is Hajtónomatékok számítása aritmetikai processzorral Az 5.. ábrán lévő iránítórendszer funkcionális elemeiből emeljük ki az 5.8. ábrán lévő részt. Az tapasztaljuk, hog a vázolt rész számítógépi funkciót is el tud látni, tehát alkalmassá tehető nagobb méretű számítási feladatok gors elvégzésére. Megfelelő szoftver segítségével az aritmetikai processzor ezeket a számításokat végre tudja hajtani. A szoftver struktúráját az 5.9. ábra mutatja K özponti processzor A rithm etikai processzor R A M R O M E P R O M K özponti busz K ülső tároló D isk D ispla - kijelző kezelő egség 5.8. ábra Kulcsár Béla, BME

63 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE 67. ROBOT MODELL M ( q ) - q. T ( ) M q. - q. T ( q M q ). - q P - q q. T ( ) M q. P z P v (t) Interpolláció z Inverz transzformáció (Denavit - Hartenberg ) q d dt. q d dt.. q M ( q ) M h U( q) q U( q) 5.9. ábra Az 5.9. ábra szoftverstruktúrája alapján, az 5.9. ábra merevtestmodelljét figelembe véve J J J J m m M, kgm, v 5 m s, 8 kgm, m M 5 kg, 4 kgm, m M 4 5 kg M M, kgm, a 5 m s,, l 4 m,,,, P l m, 9,,,,, P 95 l m,, kg, l 55 m kg, l, 8 m, k 5 k 4 7,,,,,, Kulcsár Béla, BME

64 68 ROBOTTECHNIKA II. adatokra az M motor által kifejtendő nomatékot az idő függvénében az 5.. ábra mutatja, érdekességként bemutatjuk a koordinátavektor 5.. ábra második deriváltjaként számított - uganezen tengelhez tartozó - szöggorsulás értékét is ábra. 5.. ábra Kulcsár Béla, BME

65 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE PTP és CP iránítás A robotok iránítórendszere a mozgáspálák realizálására általában két lehetőséget biztosít; - PTP (Point to Point) pont-pont iránítás - CP (Continuons Path vag Controlled Path) foltonos pálairánítás A magasabb szintű programozó szoftverek e két lehetőséget a programozás során a menürendszerben felkínálják és a programot ennek megfelelően kell megírni, illetve lejátszani. A robot folamatiránító szoftver és a hardver a két egmástól eltérő mozgás végrehajtási módot kezelni tudja PTP iránítás PTP pont-pont iránításról akkor beszélünk, ha a világkoordináta-rendszerrel jellemzett tér két pontja között nincs definiálva pála, mint az 5.6. ábrán lévő egenes, hanem az iránítórendszer számára csak a következő elérendő térbeli pont létezik. (pl: a P ). Íg a csuklókoordináták változására nem az (5.5) szerinti koordináta vektort kapjuk, amel az idő függvéne, hanem P P PP P P q (5.56) P P 4 konstans érték. Az iránítórendszer ezeket a szögelfordulásokat úg hajtja végre, hog mindegik hajtó tengelt egszerre kezdi el működtetni a megengedett legnagobb szögsebességgel, mindaddig, amíg a tengelenkénti szögelfordulás változása el nem éri a (4.56)-ban meghatározott értékeket. Mivel (4.56) elemei egmástól eltérőek, az eges karok különböző időpontokban állnak meg, vagis hiánzik a hajtótengelek közötti összhang. A TCP pont által befutott pála nem eléggé meghatározott, un. kiadódó trajektória. A P pontból a P pontba való mozgás (5.56) alapján meghatározott szögelfordulását példaként jellemezve az 5.. ábra. Az ábrából látható, hog Kulcsár Béla, BME

66 7 ROBOTTECHNIKA II. t 4 t P P t t 5.. ábra P P, tehát eg síkmozgásról van szó, és P P szögelfordulás megtétele előbb befejeződik, mint P P 4. Ennek megfelelően a P P pont közötti pálagörbe eg töréspontot mutat ábra. 4 4 P O P Pálagörbe 5.. ábra A PTP iránításnak van eg fejlettebb változata, amel (5.56) elemeinek ismeretében úg határozza meg a hajtások szögsebességét, - továbbra is állandó értéken tartva - valamenni tengelt egszerre indítva a mozgásuk egszerre is fejeződjön be. Ezt az iránítási módot némel szakirodalom lineáris tengelinterpolációnak nevezi. A hajtótengelek szögelfordulása - az Kulcsár Béla, BME

67 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE 7 előbbi síkbeli mozgás példáját tekintve - ez esetben az 5.4. ábra szerinti. A P P pont közötti pálagörbe pedig az 5.5. ábrán látható. t 4 t P P t t 5.4. ábra 4 4 P O P Pálagörbe 5.5. ábra Ezt az iránítást nem célszerű alkalmazni, ha a robot munkaterében programozás technikailag nehezen kezelhető akadálok vannak CP iránítás Kulcsár Béla, BME

68 7 ROBOTTECHNIKA II. A CP foltonos-pálairánításnál a mozgást megvalósító hajtótengelek működése összehangolt. Az összehangolás törvénszerűségét maga a TCP pont által befutandó pálagörbe, a pálasebesség és a pálagorsulás adja. A világ koordinátarendszer két pontja között ez esetben definiált a pála. Ez a gakorlatban azt jelenti, hog ismert a pálageometria, a pálasebesség és a pálagorsulás, azaz ( t) ( t) ( t) z( t) (5.57) (t) (t) (t) (5.58) z (t) (t) (t) (t) (5.59) z (t) időfüggvének. Eg ilen esetet mutat az 5.6. ábra. Az iránítórendszer ez esetben úg határozza meg a robot mozgását, hog a hajtótengelek szögelfordulása (5.5) szerint képezhető koordinátavektor legen q P P ( t) P P P P P P 4 ( t) ( t). (5.6) ( t) (5.5) és ennek megfelelően (5.6) képzéséből következik, hog valamenni hajtótengel egszerre kezdi és fejezi be a mozgását. Eg síkbeli Kulcsár Béla, BME

69 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE 7 P P mozgást tekintve ( ( t) ) a hajtótengelek szögelfordulását az 5.6. ábra, a pálagörbét pedig az 5.7. ábra mutatja. t 4 t P P t t 5.6. ábra 4 4 P O P Pálagörbe 5.7. ábra Az előző fejezetpontban megemlítettük, hog inverz feladatként a robot az egenes pálán kívül más pálagörbét is generálni tud. Természetesen az iránító rendszer is kezelni tudja ezek végrehajtását. Az eddigiek során a könnebb érthetőség kedvéért a robotok három - az un. pozíciómozgást megvalósító - mozgását vizsgáltuk. Nem említettük a megfogószerkezet, illetve a mozgatott munkadarabok iránba helezését Kulcsár Béla, BME

70 74 ROBOTTECHNIKA II. megvalósító kettő vag három újabb csuklókoordináta által meghatározott un. orientációs mozgást. Természetesen e fejezetben leírtak érvénesek +, illetve + csuklókoordináta esetén is Számított hajtónomatékok realizálása Az 5.9. ábra, illetve (5.) mátri-egenlet által szolgáltatott adatokat a , fejezetpontokban meghatározott elvek szerint árammá, a fejezetpont szerint feszültséggé, a fejezetpont alapján pedig vezérlő impulzussá, mint beavatkozási jellemzővé kell átalakítani. A beavatkozási jellemzők azután a végrehajtó szerveken keresztül (pneumatikus hengerek, hidraulikus hengerek, egenáramú motorok és léptetőmotorok) valósítják meg a kívánt hajtónomatékot. DC motorok esetén az armatúrafeszültség vag az armatúraáram a beavatkozási jellemző. Az armatúrafeszültségek nagságát az 5.8. ábrán lévő szoftverstruktúrával lehet meghatározni, amelet fizikailag a teljesítménelektronika realizál. A valós armatúrafeszültségeket a ROBOT MODELL TELJESÍTMÉNY ELEKTRONIKA M ( q ) q. T ( ) M q. - q. T - ( q M q ). - q K m I g I a P P z P v (t) Interpolláció z Inverz transzformáció (Denavit - Hartenberg ) q d dt. q - q q. T ( ) M q. d dt.. q M ( q ) M h d dt L a K m I g R a U a K m I g K I g g U( q) q U( q) 5.8. ábra hajtómotorra kapcsolva ábra - megvalósul a robot mozgása. Kulcsár Béla, BME

71 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE 75 z 4 4 m M4 4 R a L a U a 4 M J M, m M q. q R a L a U a J M J, m M M J M q. q M R a L a q. q U a 5.9. ábra Az 5.9. ábrán lévő robot modell azonban paramétereiben eltér az 5.9. ábrán lévő modell paraméterétől. Az eltérésnek számos oka lehet, - a modellezés pontatlansága, - gártási tűrések, - stb. Ennek következtében a robot által megvalósított mozgás is eltér a tervezettől, amit korrigálni kell, ezt a szabálozó rendszerek hajtják végre. A mozgás eltérés szoftveresen is vizsgálható az 5.4. ábra mutatja az 5.9. ábra hardverének leképezését. Kulcsár Béla, BME

72 76 ROBOTTECHNIKA II. MOTOROK ROBOT I a K I m g d L a dt.. ( T q ) M q - q. - q q T. ( M q) q q T ( ) M q M ( q ) U a R a K m I g -... M h - q q M ( q ) - q K c I g q U( q) U( q) 5.4. ábra 5.8. Robotok hajtásszabálozása A robotok szabálozása általánosságban azt a feladatot jelenti, hog vag a mozgásokat realizáló hajtásnomatékok - a hajtónomaték vektor m h vag a végrehajtó szervek input jellemzőinek u (input vektor) értékét kövessük végig és szükség esetén módosítsuk annak érdekében, hog a robot TCP pontja az előírt mozgáspálát minél pontosabban hajtsa végre. Legen a robot által befutandó pála (az előírt pála) a világkoordináta-rendszerben d (t) vektorral jellemzett, a pálahiba pedig (t) ábra. z P d ( t ) P ( t ) P Kulcsár Béla, BME

73 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE ábra A robot szabálozásának ki kell elégíteni: - m h (t) szabálozási folamat esetén t, (), a, b,m (t) (t) ε(t), (5.6) - u (t) szabálozási folamat esetén pedig az feltételeket, ahol d (t) (t) az előírt pálamozgás, h d t, (), a, b, u (t) (t) ε (t) d (5.6) a megvalósult pálamozgás, (t) a megvalósult mozgás és az előírt mozgás különbségének (a () a b pálaeltérés) tűréshatára, a pála kiindulási pontja, a robothajtások paramétervektora, a robotmechanika paramétervektora. Können belátható, hog (5.6) és (5.6) feltételi egenletekhez hasonló írható fel a csuklókoordináták koordináta vektorára is. - m h (t) szabálozási folamatra - u (t) szabálozási folamat fennállásakor q q t, q (), a, b, m (t) q (t) δ (t), (5.6) h d t, q (), a, b, u (t) q (t) δ(t) d. (5.64) (5.6) és (5.64) feltételi egenletek egben a hajtásszabálozás feltételi egenletei is. Kulcsár Béla, BME

74 78 ROBOTTECHNIKA II. A továbbiakhoz tekintsük az 5.4. ábrán lévő forgó tömegnek a fejezetben ismertetett egenáramú (DC) motorral történő hajtását. Legen az ábrán vázolt rendszer a robot i-edik hajtása a motor J Ri = J + J Mi ki m ti m ki q i D i 5.4. ábra tengelére redukálva, és tételezzük fel, hog a forgó tömegek tehetetlenségi nomatéka a mozgás során állandó marad. Vizsgáljuk meg mi történik, ha a mozgás során a terhelés megváltozik. A rendszer mozgásegenlete, ha szögsebességgel arános veszteséget tételezünk fel, ahol J Ri q D q m m, (5.65) i i J Ri J Mi J ki a rendszer redukált tehetetlenségi nomatéka, i ki ti D i m ki m ti a csapág csillapítási ténezője, a villamos motor által kifejtett hajtónomaték, a terhelőnomaték. Hozzuk (5.65)-öt illetve D i q q m m, (5.66) i i ki ti J Ri J RI J Ri q T q K m K m (5.67) i i i Ri ki Ri ti Kulcsár Béla, BME

75 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE 79 alakra. Írjuk fel (5.67) bal oldalát operátoros formában, a jobb oldalt pedig alakítsuk át, akkor: s(s további átalakításból a hajtás csukló koordinátájára T )q K (m m ). (5.68) i i Ri ki ti q K (m m ) (5.69) i Ri ki ti s(s T ) i összefüggés adódik. Ha az (5.69) egenletben az m ti terhelés értéke megváltozik, akkor q i is megváltozik. Amenniben a változás értéke nem elégíti ki (5.6) feltételt, be kell avatkozni, azaz az m ki hajtónomatékot is meg kell változtatni, növelni vag csökkenteni szükséges. (5.69) egenlet az előírt q di koordinátára is igaz, íg Vonjuk ki (5.7)-ből (5.69)-et amelből átrendezéssel q s(s di q di K (m m ). (5.7) Ri kdi tdi s (s T ) i q K (m m ) (m m ), (5.7) i s(s T ) i RI kdi T ) (q q ) (m m ) (m m ). (5.7) i K Ri di i Látható, hog a nomatékváltozás értéke arános az előírt koordináta és a ténleges koordináta különbségével. Ha ezt a nomatékkompenzációt (5.7) helett arános szabálozást tekintve ki ki ti tdi kdi ti tdi K K i Ri (q di q ) (m m ) (m m ) (5.7) i ki ti kdi tdi függvénnel állítjuk elő, ahol K i az arános ténező, akkor Kulcsár Béla, BME