XII. MAGYAR MECHANIKAI KONFERENCIA MaMeK, 2015 Miskolc, augusztus

Átírás

1 XII. MAGYAR MECHANIKAI KONFERENCIA MaMeK, 215 Miskolc, 215. augusztus MARÁSI FOLYAMAT STABILITÁSA A SZERSZÁMÉLEN MEGOSZLÓ ÁLLANDÓ INTENZITÁSÚ FORGÁCSOLÓ ERŐRENDSZER ESETÉN Molnár Tamás G. 1, Insperger Tamás 2 1,2 BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 1111, Budapest, Műegetem rkp. 5. molnar@mm.bme.hu, insperger@mm.bme.hu Absztrakt: A regeneratív szerszámgéprezgések elméletét alkalmazzuk csavart élű marószerszámmal történő megmunkálás stabilitás vizsgálata során két szabadságfokú modellt feltételezve. A forgácsolóerőt szerszámél mentén állandó intenzitással megoszló erőrendszer eredőjeként modellezzük. Ezáltal eg rövid, periodikusan változó, megoszló időkésés jelenik meg a rendszer egenletében a regeneratív időkésés mellett. E megoszló időkésés jelentősen befolásolja a rendszer stabilitását alacson fordulatszámok esetén, ezt rövid regeneratív hatásnak nevezzük. A rövid regeneratív hatás foltán a marási folamat stabilitási határaiban bekövetkező változásokat a szemi-diszkretizáció módszere segítségével vizsgáljuk. Megmutatjuk, hog a rövid regeneratív hatás miatt a stabilitási határok magasabb fogásmélség értékek felé tolódnak el alacson fordulatszámok esetén. Ezt a jelenséget a szakirodalomban általában az ún. folamat csillapítás (process damping) hatásnak tulajdonítják. Megmutatjuk továbbá, hog a szerszámél mentén állandó intenzitással megoszló erőrendszert feltételezve alacson fordulatszámokon csúcsok jelennek meg a stabilitási határok alsó burkolóján. Kulcsszavak: marás, késleltetett differenciálegenlet, megoszló időkésés, stabilitás 1. BEVEZETÉS A megmunkálási folamatok dinamikai modellezése több évtizede megjelent és azóta is tárgalt probléma. A modellezés célja a megmunkálás közben fellépő rezgések fizikai okainak megismerése. Ezáltal lehetségessé válik a szerszámgéprezgések csillapítása vag elkerülése, mel igen fontos a gártás során, hiszen e rezgések rontják a megmunkált felület minőségét, csökkentik a gép termelőképességét, zajt okoznak, sőt kárt is tehetnek a szerszámban és a munkadarabban. A szerszámgéprezgések hatékon modellezése tehát fontos kutatási terület. Az egik legelterjedtebb elmélet, mel magarázatul szolgál a rezgések kialakulására, az ún. regeneratív szerszámgéprezgések elmélete [1, 2]. Ez alapján a szerszám mozgását az előző vágás során érvénes pozíciója is meghatározza, íg a szerszámgéprezgések késleltetett differenciálegenletek segítségével írhatók le. Az elméletet számos különböző típusú megmunkálási folamat leírására alkalmazták. Jelen cikk során marási folamatokat fogunk vizsgálni, és a [3] és [4] munkákban bevezetett modelleket terjesztjük ki. Azaz a [4] könvben leírt két szabadságfokú marási modellt vizsgáljuk csavart élű szerszámot feltételezve. A marószerszám eges élein ható forgácsolóerő komponenseket pedig a [3] cikkben bevezetett módszer alapján eg megoszló erőrendszer eredőjeként modellezzük. A forgácsolóerőt meghatározva levezetjük a rendszer mozgásegenletét, majd ezen egenlet numerikus módszerrel (szemi-diszkretizációval) történő stabilitásvizsgálata által ábrázoljuk a rendszer stabilitási térképét a marószerszám fordulatszámának és az axiális fogásmélségnek a síkján. E stabilitási térképek alapján a szerszámgéprezgésektől mentes megmunkálás technológiai paraméterei megválaszthatók. 2. MECHANIKAI MODELL Mivel a megmunkáló berendezés legrugalmasabb része általában maga a szerszám, a marási folamatok során féllépő rezgések modellezésekor tekintsük a munkadarabot merevnek és a szerszámot rugalmasnak. A marószerszámot befogott rúdként modellezve legegszerűbb közelítésként eg két szabadságfokú mechanikai modellhez jutunk. A modell az 1. ábrán látható. Íg a marószerszám mozgásegenlete az alábbi alakban írható fel: M q(t) + C q(t) + Kq(t) = F(t), (1) ahol q(t) = [ ] [ ] x(t) Fx (t), F(t) = (t) F (t) (2)

2 feed m c F Ω F x k (t) p c k x x x (t) p η ξ x z a p Ω β l p v -l -σ s θ 1. ábra. Két szabadságfokú marási modell. az általános koordináták és a forgácsolóerő vektora, a M, C and K menniségek pedig a modális tömeg, csillapítási és merevségi mátrixokat jelölik. Az 1. ábrán bemutatott csavart élű szerszámot feltételezve a F x (t) és F (t) forgácsolóerő komponenseket úg számíthatjuk, hog axiális iránban dz magasságú elemi részekre osztjuk a szerszámot és az ezeken ható df x (t, z) és df (t, z) elemi forgácsolóerőket integráljuk a teljes a p az axiális fogásmélség mentén: F x (t) = F (t) = Fx(t,a p) F x(t,) F(t,a p) F (t,) df x (t, z), df (t, z). (3) Az elemi forgácsolóerő komponenseket pedig eg N élű szerszám esetén a j = 1, 2,..., N indexekkel ellátott szerszáméleken ható erők összegeként kapjuk, df x (t) = df (t) = df j,x (t, z), df j, (t, z). (4) A forgácsolóerőt a szerszámél mentén állandó intenzitással megoszló erőrendszer eredőjeként modellezzük. A megoszló erő a forgács és a szerszámél találkozásánál levő érintkezési felületen hat. Az érintkezési felület j-edik szerszámélen és z axiális fogásmélségnél érvénes hossza időben periodikusan változik. Ennek oka az, hog marási folamatok esetén a megmunkálás megszakított jellegű: a szerszám minden fordulatánál az eges szerszámélek belépnek a munkadarabba és később el is hagják azt. Anagba lépéskor a forgács fokozatosan felcsúszik a szerszámél mentén, kialakul a érintkezési felület, majd ahog a szerszámél elhagja az anagot az érintkezési felület megszűnik. Tehát modellünk szerint az érintkezési hossz zérus, amíg a szerszámél a munkadarabon kívül van, lineárisan növekszik az anagba való belépés pillanatát követően, majd eg maximális l érték elérése után állandó marad az anagból való kilépésig, ld. 2. ábra. A szerszám D átmérője, a j-edik szerszámél z axiális fogásmélségnél érvénes ϕ j (t, z) szögelfordulása, valamint a ϕ en és ϕ ex be- és kilépési szögek segítségével tehát az alábbi függvén írható fel az érintkezési hossz meghatározására: ha (ϕ j (t, z) mod 2π) < ϕ en or ϕ ex < (ϕ j (t, z) mod 2π), D = 2 [(ϕ j(t, z) mod 2π) ϕ en ] ha ϕ en (ϕ j (t, z) mod 2π) < ϕ en + l 2 D, (5) l ha ϕ en + l 2 D (ϕ j(t, z) mod 2π) ϕ ex, ahol mod a modulo függvén. A ϕ j (t, z) szögelfordulás pedig a fordulat/percben mért Ω fordulatszám segítségével írható fel, ϕ j (t, z) = 2πΩ t + (j 1)2π Ψ(z), (6) 6 N

3 l (t,z) j σ (t,z) j l σ l σ j=2 l σ j=3 τ τ ϕ ϕ 2π ex en Nτ σ Nτ t t t 2. ábra. A szerszámél és forgács közötti érintkezési hossz, illetve az ennek megfelelő rövid időkésés időbeli változása a különböző szerszámélek esetén. ahol Ψ(z) a szerszámél elcsavarodási szöge, mel az 1. ábrán jelölt β szög, illetve az l p menetemelkedés segítségével kifejezhető: Ψ(z) = 2z tan β D Elleniránú marást feltételezve a be és kilépési szögek pedig ϕ en =, ϕ ex = arccos = z 2π Nl p. (7) ( 1 2a ) e, (8) D ahol a e a radiális fogásmélség. A forgácsolóerő komponenseket tehát az méretű érintkezési felületen megoszló P j,x (t, z, s) és P j, (t, z, s) erőrendszer eredőjeként modellezhetjük. A 1. ábrán látható módon felvett s [, ] érintkezési felület mentén végigfutó lokális koordináta segítségével a forgácsolóerő számítása az alábbi integrállal történik: df j,x (t, z) = P j,x (t, z, s)ds, df j, (t, z) = l j(t,z) l j(t,z) P j, (t, z, s)ds. (9) Jelen tanulmánban azt feltételezzük, hog a forgácsolóerő állandó intenzitással oszlik meg a szerszámél mentén ideális, azaz szerszámgéprezgésektől mentes forgácsolás esetén. Ekkor a h j (t, z) forgácsvastagság az érintkezési felület mentén nem változik (s-től független), íg a megoszló erő intenzitása pedig a forgácsolóerő és az érintkezési hossz hánadosaként számítható: P j,x (t, z, s) df j,x(t, z) P j, (t, z, s) df j,(t, z),. (1) Szerszámgéprezgések kialakulása során azonban a szerszám hullámos felületet hag maga után, íg a h j (t, z, s) forgácsvastagság nem lesz állandó az érintkezési felület mentén (függ s-től). Íg valójában a megoszló erő sem tekinthető állandó intenzitásúnak, nagságát az érintkezési felület eg adott pontján az ott érvénes h j (t, z, s)

4 forgácsvastagság szerint számíthatjuk, azaz P j,x (t, z, s) = df j,x T (t, z, s), P j, (t, z, s) = df j, T (t, z, s), (11) ahol dfj,x T (t, z, s) és df j, T (t, z, s) az eges forgácsolóerő komponensek nagsága az érintkezési felület megfelelő pontján érvénes h j (t, z, s) forgácsvastagsággal számítva. A dfj,x T (t, z, s) és df j, T (t, z, s) erőkomponensek a forgácsvastagság ismeretében például a Talor által bevezetett ún. háromnegedes szabál segítségével számíthatók [5]. Először alakítsuk át később jobban kezelhető formára a forgácsolóerő kifejezését, és a szerszámél menti térbeli leírás helett határozzuk meg, hog változik a forgácsolóerő időben, ahog a forgács végighalad az érintkezési felület mentén. Ha a forgácsolás állandó Ω fordulatszám mellett történik, feltételezhetjük, hog a forgács az állandó v = DπΩ/6 vágási sebességgel a csúszik végig az érintkezési felület mentén. Íg bevezethetjük az s lokális térbeli koordináta helett a θ = s/v lokális időkoordinátát, mel megadja, hog menni idő alatt jut el a forgács adott pontja a szerszámcsúcstól az s koordinátájú pontig. Azaz a lokális időkoordináta a θ [ σ j (t, z), ] tartománban változik, σ j (t, z) = /v. Az (5) egenlet alapján kifejezhető a σ j (t, z) idő, mel alatt a forgács eg pontja végigcsúszik az hosszúságú érintkezési felületen: ha (ϕ j (t, z) mod 2π) < ϕ en or ϕ ex < (ϕ j (t, z) mod 2π), (ϕ j (t, z) mod 2π) ϕ en σ j (t, z) = ha ϕ en (ϕ j (t, z) mod 2π) < ϕ en + σ2πω/6, (12) 2πΩ/6 σ ha ϕ en + σ2πω/6 (ϕ j (t, z) mod 2π) ϕ ex, ahol σ = l/v. A σ j (t, z) időfüggvént a 2. ábra szemlélteti. Íg a forgácsolóerő térbeli leírása áttranszformálható időbe, azaz a (9) és (11) egenletek az alábbi formában írhatók fel: df j,x (t, z) = df j, (t, z) = df T j,x dfj, T (t, z, θ) dθ, σ j (t, z) (t, z, θ) dθ. (13) σ j (t, z) A dfj,x T (t, z, θ) és df j, T (t, z, θ) forgácsolóerő komponensek nagságát mérések által előállított empirikus formulák segítségével határozhatjuk meg. E formulák megmutatják a forgácsolóerő főbb technológiai paraméterektől (előtolástól, vágási sebességtől, axiális fogásmélségtől) való függését. A mérések során azonban általában tangenciális és radiális iránú forgácsolóerő komponensek határozhatók meg. Ezért felbontjuk a dfj,x T (t, z, θ) és (t, z, θ) menniségeket tangenciális és radiális összetevőkre, azaz df T j, df T j,x(t, z, θ) =df T j,t(t, z, θ) cos ϕ j (t, z) + df T j,r(t, z, θ) sin ϕ j (t, z), df T j,(t, z, θ) = df T j,t(t, z, θ) sin ϕ j (t, z) + df T j,r(t, z, θ) cos ϕ j (t, z), (14) ahol a t és r indexek a tangenciális és radiális iránt jelölik. A Talor [5] által bevezetett háromnegedes szabál értelmében a forgácsolóerő az alábbi alakban fejezhető ki a technológiai paraméterek függvénében: dfj,t(t, T z, θ) =g j (t, z)k t h q j (t, z, θ)dz, dfj,r(t, T z, θ) =g j (t, z)k r h q j (t, z, θ)dz, (15) ahol K t és K r jelölik a forgácsolóerő mérésekor meghatározott tangenciális és radiális vágási ténezőket, q pedig szintén mérési konstans, értéke jellemzően q = 3/4. A g j (t, z) függvén megadja, hog a vizsgált elemi szerszámél szegmens éppen végez-e forgácsolást vag anagon kívül mozog, { 1 ha ϕen < (ϕ g j (t, z) = j (t, z) mod 2π) < ϕ ex, (16) egébként. Íg a (3)-(4) és (13)-(15) egenleteket felhasználva megkapjuk a forgácsolóerő kifejezését, ap F x (t) = g j (t, z) σ j (t, z) hq j (t, z, θ) [K t cos ϕ j (t, z) + K r sin ϕ j (t, z)] dθ dz, F (t) = ap g j (t, z) σ j (t, z) hq j (t, z, θ) [ K t sin ϕ j (t, z) + K r cos ϕ j (t, z)] dθ dz. (17)

5 Emellett σ j (t, z) = esetén (amikor egúttal g j (t, z) = ) a forgácsolóerőt zérusnak tekintjük, ekkor F x (t) =, F (t) =. A (17) egenletben kapott forgácsolóerő a szerszám mozgására gerjesztőerőként hat. Amenniben a szerszám elkezd rezegni, akkor az hullámos felületet hag maga után. A következő vágás során e hullámos felület befolásolja a forgácsvastagságot és íg a forgácsolóerőt is. Emiatt a szerszámgéprezgések öngerjesztés útján erősödhetnek, a szerszám mozgását leíró egenletekben pedig időkésés jelenik meg [1, 2]. Ez jól látszik, ha felírjuk a forgácsvastagság kifejezését, mel a szerszám aktuális és az előző vágás során érvénes pozíciójától függ. A szerszámpálát körívvel közelítve és a fogankénti előtolást f z -vel jelölve a forgácsvastagság kifejezése a következő: h j (t, z, θ) = [f z + x(t τ + θ) x(t + θ)] sin ϕ j (t, z) + [(t τ + θ) (t + θ)] cos ϕ j (t, z), (18) ahol τ = 6/(NΩ) a fogkövetési periódus. Az (17) és (18) egenleteket az (1) mozgásegenletbe visszaírva eg nemlineáris, periodikus egütthatójú, késleltetett differenciálegenletet kapunk. Az egenletben szerepel eg τ pont időkésés, melet regeneratív időkésésnek nevezünk. Ezenkívül megjelenik eg maximum σ hosszúságú megoszló időkésés. A két időkésés arána ε = σ/τ = N l/(dπ) a maximális érintkezési hossz és az egmást követő fogak közötti ívhossz aránával egezik meg. Mivel ez az arán jellemzően kicsi, ezért a σ paramétert rövid regeneratív időkésésnek nevezzük. A kapott mozgásegenletnek létezik eg q p (t) = [x p (t) p (t)] T periodikus megoldása, q p (t) = q p (t + τ), mel az ideális, szerszámgéprezgésektől mentes megmunkálási állapotot reprezentálja [4]. Szerszámgéprezgés esetén a mozgásegenlet megoldását a periodikus megoldás és eg szerszámgéprezgést leíró ɛ(t) = [ξ(t) η(t)] T perturbáció összegeként adhatjuk meg: q(t) = q p (t)+ɛ(t). Ezt a mozgásegenletbe helettesítve és az egenletet q p (t) körül linearizálva az alábbi egenlethez jutunk: ap M ɛ(t) + C ɛ(t) + Kɛ(t) = G j (t, z) [ɛ(t τ + θ) ɛ(t + θ)] dθ dz, (19) ahol G j (t, z) = [ Gj,xx (t, z) ] G j,x (t, z) G j,x (t, z) G j, (t, z) (2) eg τ-periodikus egüttható mátrix, melnek elemei: G j,xx (t, z) = [K t cos ϕ j (t, z) + K r sin ϕ j (t, z)] g j(t, z) z q sin q 1 ϕ j (t, z) sin ϕ j (t, z), G j,x (t, z) = [K t cos ϕ j (t, z) + K r sin ϕ j (t, z)] g j(t, z) z q sin q 1 ϕ j (t, z) cos ϕ j (t, z), G j,x (t, z) = [ K t sin ϕ j (t, z) + K r cos ϕ j (t, z)] g j(t, z) z q sin q 1 ϕ j (t, z) sin ϕ j (t, z), G j, (t, z) = [ K t sin ϕ j (t, z) + K r cos ϕ j (t, z)] g j(t, z) z q sin q 1 ϕ j (t, z) cos ϕ j (t, z). (21) 3. STABILITÁSI TÉRKÉPEK Mivel a szerszámgéprezgéseket leíró (19) egenlet eg lineáris, periodikus egütthatójú és időkésésű késleltetett differenciál egenlet, a stabilitásvizsgálat elvégzésére jól alkalmazható a [6] által bevezetett szemi-diszkretizáció. A módszer lénege, hog az időkéséses tagot, a periodikus egütthatókat és a periodikusan változó időkésést szakaszonként konstans függvénnel helettesítve időlépésről időlépésre megoldjuk a differenciálegenletet. E megoldás által az eges időlépésekben érvénes rendszerállapotok között felírható eg diszkrét leképezés. A rendszer τ periódusa alatt érvénes leképezések sorozata által létrehozható a rendszer főmátrixa, melnek a sajátértékei meghatározzák a rendszer stabilitását. A módszer részleteit, a hatékon numerikus implementálás főbb szempontjait [4] tartalmazza, itt nem részletezzük azokat. A stabilitásvizsgálat eredménét stabilitási térképek formájában ábrázolhatjuk, amel az Ω fordulatszám és az a p axiális fogásmélség síkján mutatja a rendszer stabilitási határait. Ezáltal a szerszámgéprezgéstől mentes megmunkáláshoz tartozó paramétertartománok meghatározhatók, a fordulatszám és axiális fogásmélség paraméterek pedig a kívánt anagleválasztási sebesség függvénében megválaszthatók. A kapott stabilitási térképek a 3. ábrán láthatók, ahol 4 2 pontban határoztuk meg a rendszer stabilitását a szemi-diszkretizáció segítségével. E példában eg négélű (N = 4) és l p = 15 mm menetemelkedésű marószerszámmal végzett megmunkálást vizsgáltunk a e /D =.2 radiális fogásmélség esetén. A modális tömeg-,

6 a p [mm] a p [mm] a p [mm] ε=.1 ε=.2 ε=.5 ε=.1 ε=.2 ε=.3 ε=.4 ε=.5 ε= Ω [krpm] Ω [krpm] Ω [krpm] 3. ábra. A vizsgált két szabadságfokú marási modell stabilitási térképei különböző maximális érintkezési hossz értékek feltételezésével. csillapítási és merevségi mátrixok feltételezett értéke [ ] [ ].4 8 Ns M = kg, C =.4 8 m, K = [ 13 ] kn 13 m. E szimmetrikus mátrixokhoz tartozó csillapítatlan sajátfrekvencia f n = 97 Hz, a csillapítási ténező pedig ζ =.18. Továbbá feltételeztük, hog a forgácsolóerő karakterisztika a háromnegedes szabált (q = 3/4) követi, a tangenciális és radiális vágási ténezők értéke pedig K t = N/m 1+q és K r = N/m 1+q. A fogankénti előtolást f z =.1 mm értékűnek feltételezve a linearizált vágási ténezők K t qf q 1 z = N/m 2 és K r qf q 1 z = N/m 2. A 3. ábrán látható stabilitási térkép sorozat különböző térképein a forgács és szerszámél közötti érintkezési felület maximális l hosszát változtattuk. Az l érintkezési hossz és a Dπ/N ívhossz arána (amel egben a σ és τ időkésések arána is) rendre ε =.1,.2,.5.1,.2,.3,.4,.5 és.6. A gakorlatban ε >.2 általában nem fordul elő, ekkora nagságú érintkezési hossz nem alakul ki. Azonban nag ε értékekre kapott stabilitási térképeket is ábrázolva a rövid regeneratív hatás által okozott változások jól megfigelhetők. A 3. ábra első két stabilitási térképe a koncentrált forgácsolóerő esetén érvénes stabilitási határgörbéket közelíti. A koncentrált forgácsolóerő az állandó intenzitással megoszló erőrendszer speciális esetének is tekinthető, amikor az érintkezési felület hossza nullához tart, azaz ennek megfelelőlen ε. A nagobb érintkezési felületekhez (ε.5) tartozó stabilitási térképek esetén látható, hog a forgácsolóerőt koncentrált erő helett megoszló erőrendszer segítségével modellezve az alacson fordulatszámhoz tartozó stabilitási határok kedvező módon magasabb axiális fogásmélség értékek felé tolódnak el ahog az érintkezési felület növekszik. A stabilitási határok alacson fordulatszámon történő eltolódását kísérletekben is megfigelték. A jelenség magarázatára különböző elméletek születtek, ezek közül legismertebb az ún. folamat csillapítás (process damping) hatás, mel figelembe veszi a szerszám hátlapjának és a munkadarab hullámos felületének érintkezése során a hátlapon ébredő erőt is [7, 8, 9]. Ezáltal eg fordulatszámmal fordítottan arános csillapítóerő jelenik meg a rendszer mozgásegenletében, mel a stabil terület növekedéséhez vezet alacson fordulatszámok esetén. Hasonló

7 csillapítóerő komponens jelenik meg a mozgásegenletben, ha a forgácsolóerő kiszámításánál a (18) forgácsvastagság helett annak a szerszámcsúcs sebességére vett merőleges vetületét használjuk fel [1]. E modell is eg fordulatszámmal fordítottan arános csillapítóerőhöz vezet. A 3. ábra alapján azonban látható, hog a stabilitási határok alacson fordulatszámokon történő eltolódása azáltal is magarázható, hog a forgácsolóerőt szerszámcsúcsnál ható koncentrált erő helett eg szerszámél mentén megoszló erőrendszer eredőjeként modellezzük, azaz az ún. rövid regeneratív hatást figelembe vesszük. A folamat csillapítással ellentétben a rövid regeneratív hatás azonban a magasabb fordulatszámokon érvénes stabilitási határokat is befolásolja. Látható, hog a legnagobb ábrázolt fordulatszámokhoz tartozó stabilitási határgörbék a rövid regeneratív hatás miatt kis mértékben, de módosulnak. Emellett szerszámél mentén állandó intenzitással megoszló erőrendszert feltételezve alacson fordulatszámokon csúcsok jelennek meg a stabilitási határok piros vonallal jelölt alsó burkolóján. E csúcsok a koncentrált forgácsolóerő modellt feltételezve, illetve pusztán a folamat csillapítás figelembe vételével nem mutatkoznak. A csúcsok kis érintkezési felület, azaz ε.2 esetén NΩ/(6f n ) = ε, ε/2, ε/3,... dimenziótlan fordulatszámoknál helezkednek el. Az ehhez tartozó Ω fordulatszámokat a 3. ábrán függőleges vonalakkal jelöltük. Az NΩ/(6f n ) = ε, ε/2, ε/3,... összefüggés a burkoló csúcsainak helzetére eg szabadságfokú esztergálási modell esetén analitikusan is kiszámítható [11]. 4. ÖSSZEFOGLALÁS Jelen tanulmánban eg két szabadságfokú marási modell stabilitását vizsgáltuk a szemi-diszkretizáció módszerének segítségével. A forgácsolóerőt szerszámél mentén állandó intenzitással megoszló erőrendszer eredőjeként modelleztük. Íg szerszám mozgását eg késleltetett differenciálegenlet írja le, melben a regeneratív pont időkéséshez eg periodikusan változó hosszúságú megoszló időkésés adódik. Ugan a megoszló időkésés a regeneratív időkéséshez képest kicsi, a rendszer stabilitását jelentősen befolásolhatja, melet rövid regeneratív hatásnak nevezzük. Megmutattuk, hog az ún. folamat csillapításhoz hasonlóan a rövid regeneratív hatás figelembe vételével magarázható az a jelenség, hog a stabilitási határok magasabb fogásmélség értékek felé tolódnak el alacson fordulatszámok esetén. Uganakkor a rövid regeneratív hatás miatt magasabb fordulatszámokon változhat a rendszer stabilitása, illetve további csúcsok jelennek meg a stabilitási határok alsó burkológörbéjén. KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS Az ezekhez az eredménekhez vezető kutatás az Európai Kutatási Tanács (ERC) részéről, az Európai Közösség hetedik keretprogramjából (27-213), az EKT sz. haladó kutatási támogatási megállapodása (Advanced Grant Agreement) valamint a K15433 sz. OTKA projekt alapján finanszírozásban részesült. HIVATKOZÁSOK [1] S. A. TOBIAS, W. FISHWICK. Theor of regenerative machine tool chatter. The Engineer, , , [2] J. TLUSTY, M. POLACEK. The stabilit of the machine tool against self-excited vibration in machining. ASME Production Engineering Research Conference, Pittsburgh, , [3] G. STÉPÁN. Dela-differential equation models for machine tool chatter. In F. C. Moon (Ed.), Nonlinear Dnamics of Material Processing and Manufacturing, John Wile and Sons, New York, [4] T. INSPERGER, G. STÉPÁN. Semi-discretization for time-dela sstems - stabilit and engineering applications. Springer, New York, 211. [5] F. W. TAYLOR. On the art of cutting metals. American Societ of Mechanical Engineers, New York, 197. [6] T. INSPERGER, G. STÉPÁN. Semi-discretization method for delaed sstems. International Journal of Numerical Methods in Engineering, 55(5):53-518, 22. [7] B. E. CLANCY, Y. C. SHIN. A comprehensive chatter prediction model for face turning operation including tool wear effect. International Journal of Machine Tools and Manufacture, 42(9): , 22. [8] K. AHMADI, F. ISMAIL. Experimental investigation of process damping nonlinearit in machining chatter. International Journal of Machine Tools and Manufacture, 5(11):16-114, 21. [9] Y. SHI, F. MAHR, U. VON WAGNER, E. UHLMANN. frequencies of micromilling processes: Influencing factors and online detection via piezoactuators. International Journal of Machine Tools and Manufacture, 56:1-16, 212. [1] Y. ALTINTAS. Manufacturing Automation - Metal Cutting Mechanics, Machine Tool Vibrations and CNC Design, Second Edition. Cambridge Universit Press, Cambridge, 212. [11] T. G. MOLNÁR. Analsis of the short regenerative effect for milling processes. Master s thesis, Universit of Bristol (UK) and Budapest Universit of Technolog and Economics (Hungar), 215.