MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010.

Átírás

1 MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 00.. Tetszőleges, nem negatív szám esetén, Göktelenítsük a nevezőt: (B). Menni a 0 kifejezés értéke? (D) Felhasznált azonosságok:.. 3. Melik síknegedben lehet a pont, ha az helvektor iránszögére igaz, hog sin 0 és tg 0? (C) csak a II-ban A sin 0 feltétel teljesül, ha 0 < α < π, azaz az I. és a II. síknegedben. A második, tan 0 feltétel teljesül, ha sinα és cosα előjele különbözik, azaz a II. és a IV. síknegedben. A két feltétel egszerre a II. síknegedben teljesül. A megoldás a C. 4. Az alábbi állítások közül melik igaz? Tetszőleges pozitív, és számokra teljesül, hog (D) egik sem igaz 3 log log log

2 Az első nem igaz. Az azonosság helesen: A második nem igaz. Az azonosság helesen: A harmadik nem igaz. Az azonosság helesen: log log log log 5. Mel valós értékre értelmezhető az lg függvén? (C) 0 vag A logaritmus utáni kifejezésnek nagobbnak kell lennie, mint 0, azaz, 0 értékekre lesz értelmezhető a függvén. Eszerint 0. Átfogalmazhatjuk a kérdést íg: mel esetén lesz az függvén grafikonja a függvén grafikonja felett? Lássuk a görbéket: g() f() g() A két görbe a ( ; ) és az (;) pontokban metszi egmást. Amint az ábrából látszik, a megoldás 0 vag esetén teljesül. 6. Mennivel egenlő a sin 75 cos 75 szorzat? (C) Használjuk a sin sin cos összefüggést: sin cos sin cos Ezek után sin

3 sin 50 sin 75 cos 75 Mint látható, a 50 szinuszát kell megállapítanunk, ami megegezik a 30 szinuszával, amint azt az ábra is mutatja: (sin) (cos) - - Tehát a keresett érték. 7. Az alábbi függvének közül melik páros függvén? cos 3 0 (A) csak az Ábrázoljuk a függvéneket. Amelik szimmetrikus az -tengelre az páros, amelik, az origóra szimmetrikus az páratlan: f().5 -π/3 -π/3 π/3 π/ g() h() cos 3 páros páratlan nem páros, nem páratlan 8. Mekkora a satírozott rész területe, ha,,, pontok eg egségoldalú négzet oldalfelező pontjai? (B) 5 (ELSŐ) S A Z X P V Y B Q D R C

4 Húzzuk be a szakaszt és jelöljük -szel a satírozott négzet oldalát (ld. lenti ábra). Az és az háromszögek hasonlóak. Az szakasz a Pitagorasz-tételből adódóan: Íg a hasonlósági aránok felhasználásával: Végül a satírozott négzet területe: A P=A' B=P' X Q Y X' P' S Z Q B A X' A' V D R C (MÁSODIK) Daraboljuk át az négzetet a következő ábrán látható módon. Az ábrából látszik, hog az eredeti négzet egségni területe megegezik az öt egbevágó kisebb négzet területének összegével. X' A P B X Z' S Z Y Q Y' V D R C V' 9. Eg autó a 9 km-es út első felét 00 km/h sebességgel, a második felét 60 km/h sebességgel tette meg. Mekkora volt az egész útra vonatkozó átlagsebessége? (A) 75 km/h Az út első felének megtételéhez szükséges idő:

5 46 km 46 3 h 00 km h h Az út második felének megtételéhez szükséges idő: 46 km 46 3 h 60 km h h Az egész út megtételéhez szükséges idő: h Az egész útra vonatkozó átlagsebesség: 9km 75 km h 9 75 h 0. Mennivel egenlő az kifejezés értéke, ha 4? (B) 94 Emeljük négzetre az 4 egenlet mindkét oldalát: Árvízi védekezésre darab köbméteres tartált töltöttünk meg homokkal. Hán darab köbméteres tartálba tudtunk volna uganenni homokot beletölteni? (D) Jelölje a szükséges köbméteres tartálok számát. Írjuk fel az egenletet: Szorozzunk -nel és osszunk -mel:.. Az alábbiak közül melik az sin függvén grafikonja? (A) Lássuk lépésenként:

6 Alapfüggvén: sin :.5 -π -π π π ábra Toljuk el a függvén -vel jobbra: sin :.5 -π -π π π ábra Nújtsuk a függvént vízszintes iránban a kétszeresére: sin :.5 -π -π π π ábra

7 Toljuk el a függvént felfelé egséggel: sin :.5 -π -π π π ábra Ez a görbe látható az. ábrán, a heles válasz az (A). 3. Melik állítás igaz az alábbiak közül? Az egenletű körre teljesül, hog. középpontja a 4; pont. sugara 4 egség 3. érinti az tengelt (E) több állítás is igaz Az általános köregenlet: Az egenletben az a kör középpontjának koordinátája, a a középpont koordinátája, végül a kör sugara. Alakítsuk át a kör egenletét a fenti formára (használjuk a teljes négzetté alakítás módszerét): Az egenletből látszik, hog a kör középpontja 4; pontban van és sugara 4. Rajzoljuk fel a kört: Tehát a. állítás hamis, a. állítás igaz. Mivel a kör középpontja az tengeltől 4 egségre van és a sugara is 4, ezért érinti az tengelt, íg a 3. állítás igaz.

8 4. Írja fel az 5; és ; 7 pontokat összekötő szakasz felező merőleges egenesének egenletét. (A) 3 4 Az vektor az és pontokra illeszkedő egenesnek az iránvektora, ezért a keresett egenesnek a normálvektora. Állítsuk elő -t: 5; 7 3; 9 eg egenes normálvektorának többszörösei is normálvektorok, tehát ; 3. A normálvektoros egenlethez kell eg pont is, ami rajta van az egenesen. Ilen pont az és szakasz felezési pontja. Állítsuk elő -t: 5 7 ; 7 ; 5 Az általános normálvektoros egenlet, ha ; és ; : Végül írjuk fel a mi egenletünket: Eg gép értéke évente 0%-kal csökken. Két év használat után a gépet akkori értékének részéért eladták. Az eredeti ár hán százalékáért jutott az új tulajdonos a géphez? (B) 48% Jelölje a gép eredeti árát. Ekkor: 0,8 0, , év után. év után Azaz az eredeti ár 48%-át fogja érni a gép az eladáskor