Sokszínû matematika 9. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Sokszínû matematika 9. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE"

Átírás

1 Sokszínû matematika 9. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

2 Összeállította: FRÖHLICH LAJOS gimnáziumi tanár A Kombinatorika, halmazok c. fejezetet szakmailag ellenõrizte: DR. HAJNAL PÉTER egetemi docens

3 Tartalom Kombinatorika, halmazok... Algebra és számelmélet... Függvének... 0 Háromszögek, négszögek, sokszögek... 7 Egenletek, egenlõtlenségek, egenletrendszerek... Egbevágósági transzformációk... Statisztika... 6

4 Kombinatorika, halmazok. Számoljuk össze.! = 0. SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 9 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. a)! = 6; b)! = ; c)! = 0; d) 6! = 70; e) 7! = 00.. a)!; b) ez nem lehet; c) ; d) = számjeget (0 db jegû, 90 db jegû, 900 db jegû, 00 db jegû).. Ez 000 db szám, és minden 0-edik -re végzõdik, íg 00 db. A második heli értéken 0 0 db, a harmadikon 00 db van. Összesen 00 db. 6. a) db -as 9-ig; b) 8 db -as 9-ig; c) 8 db -as -ig. 7. a) = 6; b) 96; c) 6; d) a) Ha a testeket elmozdíthatjuk, akkor kevesebb vágással is megoldhatjuk a feladatot. Két egiránú vágással elérhetjük, hog eg és két méretû téglatesthez jussunk. Egetlen vágással meg tudjuk felezni a két nagobb testet (és íg öt darab méretû téglatesthez jutunk), ha a felezendõ testeket a megfelelõ módon átrendezzük. Íg vágással elérjük, amit elõbb -gel tettünk meg. Összesen ++=9 vágással boldogulunk. Kevesebb vágás nem elég. Eg vágás után a nagobb test tartalmaz eg -as téglatestet. Ezt a részt kövessük és az átrendezéseinket mindig úg végezzük el, hog a követett test ne mozduljon (ezt megtethetjük). A követett test mindig a nagobbik maradék lesz. Az eges vágás által érintett oldalakra adható alsó becslés módon változik. Azaz valóban minden iránban legalább három vágásra szükség is van. b) + + = vágásra. Másképpen: Minden vágás eggel több testet ad. darab kis kockához vágás vezet el. c) = 7, melnek nincs; 6 =, melnek ; = 6 melnek és 8 olan, melnek piros lapja van.,, 6 piros lapot tartalmazó kis kocka nincs. 0. a) 7 különbözõ testet.. a) ; b) ; c) ; d).. Ákos 6 párnál ner, Zsombor párnál.. Gabi -féleképpen és Zsuzsi -féleképpen.. Kati 6-féleképpen, Dani 0-féleképpen.. Zsófi -féleképpen, Dorka -féleképpen.

5 6. Tibi 0-féleképpen, Pisti 6-féleképpen. 7. Egik ner, ha a dobott számok összege 7-nél kisebb, a másik, ha nagobb, és döntetlen, ha e: azon napok, amikor délelõtt esett, u: amikor délután, n: amikor nem esett. Íg e + n =, u + n = 9, e + u =. Innen e = 7, n =, u =. napon nem volt esõ. Rejtvén: = 0 négzetet.. Halmazok. a) {január, március, május, július, október, december}; b) Æ; c) {január, február, március, április, szeptember, október, november, december}; d) {kedd, szerda, péntek}; e) {Budapest, Gõr, Pécs, Debrecen, Szeged}.. a) {cs, dz, sz, zs, t, l, g, n}; b) {Duna}; c) {Európa, Ázsia, Afrika, Ausztrális, Amerika, Antarktisz}; d) {80}; e) Æ.. a) igaz; b) hamis; c) igaz; d) hamis; e) igaz; f) hamis.. a) igaz; b) igaz; c) igaz; d) igaz; e) hamis.. a) Æ {} {; } {} b) Æ {a} {a, b} {b, c} {a, b, c} {a, b, c, d} {b} {a, c} {b, d} {a, b, d} {c} {a, d} {c, d} {b, c, d} {d} {a, c} {b, d} {a, c, d} c) Æ { } {, } {,, } { } {, } { } {, } d) Legen = a, = b, = c, = d; és lásd a b) részt. 6. a) hamis; b) igaz; c) igaz; d) igaz; e) hamis; f) hamis. 7. a) b) A B A B

6 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 9 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE c) d) A B A B e) A B 8. = féle összeget, a legnagobb 8 Ft. 9. a) igaz; b) hamis; c) igaz; d) igaz; e) igaz; f) hamis.. Halmazmûveletek. a) A = {; ; ; 7; 9; 0} B = {; ; 8; 9; 0} A Ç B = {; 6} A È B = {; ; ; ; 6; 7; 8} b) A = {d; e; f} B = {a; b; c} A Ç B = Æ A È B = U c) A = {á; é; í; ó; ú; ü; û} B = {a; á; é; i; í; ó; ú; ü; û} A Ç B = {e; o; u} A È B = A d) A = {k; o; r} B = {p; e; n; o; r} A Ç B = {é; s; z} A È B = {p; e; n; é; s; z; k} e) A = {; ; ; ; 6; 7; 8; 9; ;...; ; 6;...} B = {;...; 9; ;...; 9; ;...; 9;...} A Ç B = B A È B = A f) A = B B = A A Ç B = Æ A È B = U 6

7 g) A = {6-tal nem osztható számok} B = {-gel nem osztható számok} A Ç B = {-vel osztható számok} A È B = {6-tal vag -gel osztható számok} h) A = {-tel nem osztható számok} B = {6-tal nem osztható számok} A Ç B = {0-cal osztható számok} A È B = {-tel vag 6-tal osztható számok} i) A = {olan paralelogrammák, melekben nincs derékszög} B = {olan paralelogrammák, meleknek van különbözõ hosszú oldala} A Ç B = {négzetek} A È B = {olan paralelogrammák, meleknek oldaluk vag szögük egenlõ} j) A = {olan négszög, melben nincs két-két szomszédos egenlõ oldal} B = {olan négszög, melben az átlók nem felezik egmást} A Ç B = {rombuszok} A È B = {két-két oldaluk egenlõ} k) A = B B = A A Ç B = Æ A È B = U l) A = B B = A A Ç B = Æ A È B = U m) A = {nempozitív számok} B = {nemnegatív számok} A Ç B = Æ A È B = U \ {0} n) A = {negatív számok} B = {pozitív számok} A Ç B = {0} A È B = U. a) A = {n½n ÎN és n > }; b) A = {n½n ÎN és n < 0}.. U A B 6 7 a) A = {; ; } d) A Ç B = A b) B = {; } e) A È B = {; ; ; ; } c) A È B = B f) A È B = A g) A Ç B = B h) A Ç B = Æ i) A B= A B j) A B= A B k) A \ B = B l) A \ B = Æ m) A \ B = {6; 7} n) A \ B = A o) A\ B= B p) A È U = U q) B Ç U = B r) A \ U = Æ 7

8 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 9 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. U A C 6 8 B a) A Ç B = {0; 8; 9} b) A Ç B = {; 6} c) A B={ ; ; ; ; ; ; } d) A B= A B e) A B f) A È B = {0; ; ; ; ; 7; 8; 9} g) A Ç B = A B = {; 7} h) A È C = U i) B Ç C = {; ; 6} j) B È C = {0; ; ; ; 6; 7; 8; 9} k) (A Ç B) È C = {0; ; ; ; ; 6; 8; 9} l) (A È B) Ç C = {; ; 6} m) (A Ç B) È C = C n) (A È B) Ç C = {; } o) A B C = A B C = p) Æ. U A u i o e B a) hamis b) hamis c) igaz d) hamis e) igaz f) hamis g) igaz h) igaz a C 6. a) A = {; 8; 9; 0} B = {; 6; 7} b) A = {7} B = {; 6; 8; 9; 0} 7. a) b) A B A B 9 0 C C A = {; ; ; 8; 9; 0} A = {; ; ; ; 6; 7; 8} B = {; ; ; 6; 7} B = {; ; ; ; 6; 7; 9} C = {; ; ; ; 6; 8} C = {; ; 6; 7; 8; 0} 0. a) igaz b) nem szükségszerûen igaz c) nem szükségszerûen igaz d) igaz. a) nem igaz b) nem igaz c) igaz d) igaz. a) nem szükségszerûen igaz b) igaz c) nem szükségszerûen igaz 8

9 . a) cm, a sárga és a kék terület uganakkora, hisz a metszettel kiegészítve uganakkora négzetet adnak. b) cm, a különbség 0 cm. Rejtvén: Nincs hiba, mindkét állítás lehet igaz egszerre, mivel nem állítja, hog két nelvet nem tanulhat valaki.. Halmazok elemszáma, logikai szita. a) 0 b) c) 8. a) b) c) 9. a) b) c) 9 d) 6. lépcsõfokot használnak pontosan ketten.. a) b) 6 c) d) 6. 0,8 = tanuló matematika szakkörre és kosarazni is jár. / 0, = 0 tanuló kosarazik. 7. Az elsõ és a második problémát legalább = 70 tanuló oldotta meg. A harmadik és negedik problémát legalább = 0 tanuló. Mivel ennek a két halmaznak nem lehet közös eleme, pontosan enni az elemszámuk. Tehát 0 tanuló nert díjat. 8. Barna szemû és sötét hajú tanuló legalább + 0 = 9 van. 0 kg-nál nehezebb és 60 cm-nél magasabb pedig =. Ezen két halmaz metszetében, azaz akik mind a nég tulajdonsággal rendelkeznek, legalább = tanuló van. 9. Mivel jeles tanuló, sportoló lán van a 0 sportoló lán között, a 6 nem jeles lán közül 8-nak kellene sportolnia, ami lehetetlen. 0. Akkor oldható meg, ha egetlen férj sem azonos magasságú, illetve súlú a feleségével. Legen a feleségüknél magasabb férjek száma. Íg a magasabb és nehezebb, a magasabb és könnebb és az alacsonabb és nehezebb férjek száma. Tehát 9 Innen = férj nehezebb és magasabb, mint a felesége = A = {; ; } Megfelelõ öt halmaz: A = {; ; ; } B = {; ; } B = {; ; 6; 7} C = {; ; 6} C = {; 7; 8; 9} D = {; ; 6} D = {; 6; 9; 0} E = {; ; 8; 0} Öt darab elemû halmaz nem adható meg. 9

10 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 9 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A = {n vag n + alakú számok, n ÎN} B = {n + vag n + alakú számok, n ÎN} C = {n vag n + alakú számok, n ÎN} Rejtvén: H, E, A, B, C, F, Y, G, D a sorrend.. Számegenesek, intervallumok. a) b) c) 0 d) e) f) g) h) i) j) k) l) 0 0 0,, , 0 70, 0 0, a) b) c) 0 d) e) f) 0 g) h) , a) [ ; 6[ b) ] 6; 0] c) [0; 8] d) ] ; [ e) ]; 6]. a) Æ b) {} c) Æ d) [0; [ e) ] ; ] f) [0; ] 0 g) [ ; ] h) [ ; 0] 0. a) ]; [ b) ] 6; [ È ] ; [ È ]; 6[ c) ] 6; [ È ] ; [ È ]; [ È ]; 6[ a) b) c) 0 d) e) f) A Ç B = [ ; ] B Ç E = [ ; ] C Ç F = Æ A Ç F = Æ B È C = [ ; [

11 E Ç D = Æ A Ç C Ç D = [; [ B Ç F Ç C = Æ 0 8. a) igaz b) hamis c) hamis d) igaz e) igaz f) igaz Rejtvén: Például: 8 8 (8 + 8) ( ).

12 Algebra és számelmélet SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 9 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Betûk használata a matematikában. a) -tel osztva maradékot adó pozitív egész számok. b) -tel osztva maradékot adó pozitív egész számok. c) Racionális számok.. Racionális számok.. m + ; m Î N.. ; 7, 8; ; 0, 6; ;. 7. a) a a a+ < b) a ; c) c c abc ab c+ c < b a a) ¹ 0; b) ¹ 0; c), ; d),, 0; e), 0,,. ab + 8ab a > a b; 7. a) 6; b) ; c) 9 d) ; e) 7 f) nincs értelmezve. ; 8. s = v t +(v ) (t +) 7 ; 9. a) A könvek száma: t k + m. b) A könvek száma: (t j) k. 0. a l t a f. Hatvánozás. a) > ( ) ; b) > ( ) ; 6 c) d) 6 = ( ) < ( ) = 0 ; = ; e) 9 9 = 9 < 9 = ; f) 6 = 6 < 00 7 =.

13 . a) 6000; b) ; c) d) 6 = 067; ; e) f) g) 9; h) ; ;. a) a 6 b ; b) a, a ¹ 0; c) ab, a és b ¹ 0; d), és ¹ 0; a e), és ¹ 0; f), a és b 0; g) a b, a és b ¹ 0. b. a) 000; b) ; c) ; d). Rejtvén: b =, c =, a = Hatvánozás egész kitevõre. a) b) c) 9; 8 ; 9 ; d) e) ; f) ; ; 7 g) h) i) ; ; b. a), a és b 0; b), 0; c) a 8 a d), a 0; e), a és b 0; f) b8 a 6 0. b, a és b 0; a 8, és 0; g) a b 8, a és b ¹ 0; h) 7, és ¹ 0.. a) ; b) 9 ; c) 8.. a) ; b) 0; c) ; d) 9; e) a) = > = b) ; = > = ; c) = > = 7 ( ) 6; d) Rejtvén: a =, b =, c =, d = = = 8 8.

14 . A számok normál alakja. 0 7 szemet tartalmaz.. 00 másodperc = perc ~ 8, perc.. 6, 0 elektron. SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 9 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 6. A bolgók össztömege ~ kg =, kg. A Nap tömege kg. Az arán 0,%. Rejtvén: a = 0, b = 0, c =, d =.. Egész kifejezések (polinomok). 0,a b; d + ;,g g ; 8s t 7s t;.. a) + ; b) ; c) a b ab + b.. a) ; b) 6 +9; c) a b +6ab ab ; d) a a; e) ; f) a) 8a a; b) 6 9 +; c) 6a +a a; d) 6a +a 6; e) 6 8 +; f) a) a +a +; b) 9a a +9; c) 6a ; d) a + b +ab +a +b Az egütthatók összegét az = helettesítéssel kapjuk, ami. 6. Nevezetes szorzatok. a) 6a 60ab +b ; b) 00a +0ab +b ; c) ; d) ; e) a 8ab +8b 6 ; f) 6a 0a b +b 0 ; g) a + ab+ b; h) a) a +6b + c 6 +6ab +ac +8bc ; b) ; c) d) z 8 8z + z; 9 9 a + b + ab+ a b; e) a +9b +6c + d ab +6ac ad bc +6bd 8cd.

15 . a) ; b) 6a 6 96a b +8a b 8b ; c) ; d) ; e) a6+ ab+ ab+ b; f) a ab+ ab b a) 9 6 ; b) 9a b ; c) d) 6a ; 9; e),a 6 8b ; f) 6 9 a ; g) b ; h) 6.. a) ; b) + ; c) 0a b 80a +b +b ; 7 9 d) ; e) 9 6 a + a a) ( ) +; b) ( +6) +; c) d) + e) ( ) +; f) 7 ; 7 + ; a) a 8; b) b + 7; c) a) = ; b) (00 ) (00 + ) = = a) 900 = (0 + ) (0 ) = 9; b) 7778 = ( ) (7778 ) = 0 00 =. Rejtvén: = (6 760 ) ( ) = ; tehát < A szorzattá alakítás módszerei. a) ( + ); b) a b(a b); c) 0( ); d) 7 ( +); e) 6a b (a b + b +a ); f) 0( ).. a) (a b) ( ); b) (a +) ( + ); c) ( 7) (a b); d) (a +b) ( ); e) (6a b) ( +); f) ( +) ( ); g) 6a 9a +a = (a ) (a + ); h) (a + b) (a b) ( + ).

16 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 9 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. a) (8 ) ; b) ( + ) ; c) (a + 7b) (a 7b); d) + ; e) (7a +b) ; f) (a +) (a +) (a ); g) (6a b ) ; h) i) (a 8 +) (a +) (a +) (a +) (a ).. a) ( ) ; b) a (a +b) ; c) a b(b a ) ; d) ( 7) ( + ); e) ( +) ( ); f) ( +) ( + ).. a) ( + +) ( + + ); b) ( +) ( + +); c) ( + +) ( + ). Rejtvén: (; ); (9; 6); (; 0); (7; 8); (; 0). 7 ; 8. Mûveletek algebrai törtekkel. a), és 0; b) ( ), ± ; + c), ± ; d), ; + + e) + a +, és ; f), a és b. a 9ab a. a) ; b) c) 8 6 ; ( b + ) d) ; e) ; f) 6; b ( ) g) h). ( a b) ; + ( + ) ( + ) ( ) ; +. a), 0; b) a, a 0; a c) d) b + b + 6, b ; ( ), + ; ( b + ) 6

17 a a+ e) a ± f) ( a+ ) ( a ), ; 9 ( + ) g) ± h) ( + ) ( ), ; Rejtvén: az összeg 0. a a+ 98 a ± 7 ( a+ 7) ( a 7), ; ( ) ( ), ± Oszthatóság. Mivel 8½000, eg 000a + b (a; b ÎN) alakú szám akkor és csak akkor osztható 8-cal, ha 8½b.. A k + (k Î N) alakú számok -re végzõdnek, a 6-ra végzõdõ számok pozitív egész kitevõjû hatvánai pedig 6-ra. Íg a ra végzõdik, tehát osztható 0-zel.. Ak + (k Î N) alakú számok pozitív egész kitevõjû hatvánainak -as maradéka. Mindhárom alap ilen alakú, tehát az összeg osztható -mal.. a) Tudjuk, hog ½k Û ½k és ½k. ½ 7 Û = 0;. = 0: ½ 70 Û = ; ; 7. = : ½ 7 Û = ; ; 8.. 0a +6b = (a +b) + 7a. A feltétel miatt mindkét tag osztható 7-tel, íg az összeg is osztható. 6. Ha p =, akkor p + 7 = 9, mel nem prím. Ha p >, akkor páratlan, és p + 7 páros, tehát nem lehet prím. Tehát nincs ilen p prímszám. 7. Van, például p =. 8. a) a maradék; b) a maradék; c) 0 a maradék. 9. a) a maradék; b) vag a maradék nek osztója, 8-nak 0 osztója, 6-nak 7 osztója, -nek osztója, 00-nak osztója, 6-nek osztója van. A nem négzetszámoknak van páros számú osztója.. A 8 a legkisebb ilen szám. 7

18 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 9 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 0. Legnagobb közös osztó, legkisebb közös többszörös 9. a) b) c) ; ;. Legközelebb 08 méter távolságra fordul elõ. 7.. Kétszer, 8.0-kor és.00-kor.. Igaz.. és 0, vag 70 és a = ; b = ; c = [a; b] = b és (a + b; b) = a. 8. a = 9; 8; 6; Tudjuk, hog 7½ és 60½. Íg a legkisebb ilen szám a Bontsuk fel a-t és b-t prímténezõs alakban. A közös ténezõk közül a kisebb kitevõjûek az (a; b)-ben, a nagobb kitevõjûek az [a; b]-ben, az azonos kitevõjûek mindkettõben szerepelnek. A nem közös ténezõk [a; b]-ben szerepelnek a bal oldalon. Íg a illetve b ténezõi közül mind szerepel a bal oldalon és más ténezõk nem. Tehát a két oldal egenlõ. Rejtvén: Mivel (a; b)½[a; b], (a; b)½a és (a; b)½b, ezért (a; b)½p. Tehát (a; b) = p vag (a; b) =. a) Ha (a; b) = p, akkor a = k p; b = l p; (k; l) = ; k, l Î Z +. Íg k l p + p = k p + l p + p, (k ) (l ) =. Ez nem lehet, hisz k = l = kellene legen. b) Ha (a; b) =, akkor [a; b] = a b. Íg a b + = a + b + p, (a ) (b ) = p. Az egik ténezõ, a másik p. Legen a = és b = p +. Ha (a; b) =, akkor p nem lehet páratlan, tehát p =. Tehát a =, b =, p =. 8

19 . Számrendszerek. a) 06 8 = = 8; b) 00 = = 89; c) 0 = = 77.. Mivel 00 6 = 876, és 60 8 = 876, ezért 00 6 > a) 7 = ; b) 7 = 00 ; c) 7 = = 0. a maradék a maradék. 7. a) ; b) 0 ; c) ; d) kg-tól 0 kg-ig bármekkora tömeget, melnek mérõszáma egész. Rejtvén: a =, b =, c =. 9

20 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 9 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Függvének. A derékszögû koordináta-rendszer, ponthalmazok. E C A D F B. a) b) = = c) d) = = +. a) b) ³ 0

21 c) d) <½½ <. a) A tengelek pontjai. b) c) d) ½½ ½½ ½½ + ½½ ½ ½+ ½ + ½. a) b) c) d) 6. a) b)

22 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 9 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE c) d) Rejtvén: a) 8 s b) 8! = 6!!. Lineáris függvének. a) b) c) f ()= + g ()= h ()= d) e) f) k ()= l ()= + m ()= g) n ()=. a) f( ) = +, m=, 0; b) f( ) =, m=, 0;

23 . a) P Î f; P Ï f; P Î f b) Q Ïg; Q Îg; Q Îg. a) R PQ b) R PQ. B 00 A t 0 0 t (h) 0t0 = 00 0t0 0 t0 = óra 0 perc múlva találkoznak.. Az abszolútérték-függvén. a) f ()= ½½ + { ; ha 0 f( ) = 0; ha < 0 D f = R R f = [0; ) ( ; 0] konstans [0; ) szig. mon. növõ ma. nincs min. van, hele Î( ; 0], értéke: = 0 alulról korlátos zérushel: Î( ; 0] b) D g = R R g = [0; ) g ()=½½ ( ; 0] szig. mon. csökkenõ [0; ) szig. mon. növõ ma. nincs min. van, hele = 0, értéke = 0 alulról korlátos zérushel nincs

24 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 9 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE c) D h = R R h = [; ) ( ; ] szig. mon. csökkenõ h ()=½ ½+ [; ) szig. mon. növõ ma. nincs min. van, hele =, értéke = alulról korlátos zérushel nincs d) D k = R R k = ( ; ] k ()= ½ ½ ( ; ] szig. mon. növõ [; ) szig. mon. csökkenõ ma. van, hele =, értéke = min. nincs felülrõl korlátos alulról nem korlátos zérushel: =, =. a) D f = R R f = [; ) ( ; 0] szig. mon. csökkenõ [0; ) szig. mon. növõ ma. nincs min. van, hele = 0, értéke = alulról korlátos f ()=½½ + ½ ½ zérushel nincs b) D g = R 9 R g = [0; ) 8 ( ; 0] szig. mon. csökkenõ 7 6 [0; ) szig. mon. növõ ma. nincs min. van, hele = 0, értéke = 0 alulról korlátos g ()= ½½ +½ ½ ½½ zérushel nincs

25 c) D h = R R h = [7; ) 0 ( ; ] szig. mon. csökkenõ 9 [; ) szig. mon. növõ 8 7 ma. nincs 6 min. van, hele =, értéke = 7 alulról korlátos zérushel nincs h ()= ½+½+ ½ ½+ ½ ½. a) A függvén az f() =½½+½ + ½+½ ½+½ + ½+½ 6½. 6 Minimumhele = Tehát: b) A függvén az f() =½½+½ ½+½ ½+½ 0½+½ ½+ +½ ½. Minimumhele Î[; 0]. Íg lehet ; 6; 7; 8; 9 vag

26 . A másodfokú függvén SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 9 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. a) f ()= + D f = R R f = [; ) ( ; 0] szig. mon. csökkenõ [0; ) szig. mon. növõ ma. nincs min. van, hele = 0, értéke = alulról korlátos zérushel nincs b) D g = R R g = ( ; 0] ( ; 0] szig. mon. növõ g ()= [0; ) szig. mon. csökkenõ ma. van, hele = 0, értéke = 0 6 min. nincs felülrõl korlátos alulról nem korlátos zérushel: = 0 c) D h = R R h = ( ; 0] ( ; ] szig. mon. növõ [ ; ) szig. mon. csökkenõ h ()= ( +) ma. van, hele =, értéke = 0 min. nincs felülrõl korlátos alulról nem korlátos zérushel: = d) D k = R R k = ( ; ] k ()= + ( ; 0] szig. mon. növõ 6 [0; ) szig. mon. csökkenõ ma. van, hele = 0, értéke = min. nincs felülrõl korlátos alulról nem korlátos zérushel: = ± 6

27 . a) D f = R 0 R f = [0; ) 9 8 ( ; 0] szig. mon. csökkenõ 7 f ()= 6 [0; ) szig. mon. növõ ma. nincs min. van, hele = 0, értéke = 0 alulról korlátos zérushel: = 0 b) D g = R 0 9 R g = [0; ) g ()= 8 ( ; 0] szig. mon. csökkenõ 7 6 [0; ) szig. mon. növõ ma. nincs min. van, hele = 0, értéke = 0 alulról korlátos zérushel: = 0 c) D h = R h ()= 6 + d) D k = R 6 k ()= + R h = [ ; ) ( ; ] szig. mon. csökkenõ [; ) szig. mon. növõ ma. nincs min. van, hele =, értéke = alulról korlátos zérushel: = vag = R k = ( ; 6] ( ; ] szig. mon. növõ [; ) szig. mon. csökkenõ ma. van, hele =, értéke = 6 min. nincs felülrõl korlátos alulról nem korlátos zérushel: = 6 vag = + 6 7

28 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 9 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A kõ röpte h magasságának idõ függvéne: ht () = vt gt 0. v Zérushele: t = 0, illetve t = 0 =. g Tehát s múlva ér földet. Maimumának hele t =, értéke h() = 0. A kõ 0 m magasra repül fel.. A négzetgök függvén. a) D f = ( ; 0] R f = [0; ) f ()= Ö szig. mon. csökkenõ ma. nincs min. van, hele = 0, értéke: = alulról korlátos zérushel: = 0 b) D g = [0; ) R g = [; ) g ()= Ö + szig. mon. növõ ma. nincs min. van, hele = 0, értéke = alulról korlátos zérushel nincs c) D h = [; ) R h = [ ; ) h ( )= Ö szig. mon. növõ ma. nincs min. van, hele =, értéke = alulról korlátos zérushel: = 6 8

29 d) D k = [ ; ) R k = [0; ) k ()= Ö+ szig. mon. növõ ma. nincs min. van, hele =, értéke: = 0 alulról korlátos zérushel: =. a) szig. mon. növõ 6 ma. nincs min. nincs 6 b) ( ; ] È [,; ] È [0; ] È [,; ] szig. mon. csök. 0 9 [ ;,] È [ ; 0] È [;,] È [; ) szig. mon. növõ 8 ma. nincs 7 6 lokális ma. van, hele: = 0 =, =, értéke: = = = min. van, hele: = = = = értéke: = 0 c) ( ; ] szig. mon. csökkenõ [; ) szig. mon. növõ ma. nincs min. van, hele =, értéke = 0 d) 6 szig. mon. növõ ; [ ; ) szig. mon. csökkenõ ; ma., illetve min. nincs lokális ma.: hele = értéke, = 6 lokális min.: hele =, értéke = 0 9

30 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 9 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. a) b) c) uganaz, mint b) , ha f( ) =, ha > = 0,6 g(0,6) = a maimum hele és értéke 6. Minimum hele = 0, értéke =. 6. Lineáris törtfüggvének. a) D f = R \ {0} R f = R \ {0} ( ; 0) szig. mon. növõ (0; ) szig. mon. növõ ma. nincs min. nincs alulról nem korlátos zérushel nincs b) D f = R \ {} R f = R \ {0} ( ; ) szig. mon. csökkenõ (; ) szig. mon. csökkenõ ma. nincs min. nincs alulról nem korlátos zérushel nincs 0

31 c) D f = R \ {} R f = R \ {0} ( ; ) szig. mon. növõ (; ) szig. mon. növõ ma. nincs 6 7 min. nincs alulról nem korlátos zérushel nincs d) D f = R \ { } R f = R \ {0} ( ; ) szig. mon. csökkenõ ( ; ) szig. mon. csökkenõ ma. nincs min. nincs alulról nem korlátos zérushel nincs. a) b) f( )= g ( )= D f = R \ {} R f = R \ {0} ( ; ) szig. mon. csökkenõ (; ) szig. mon. csökkenõ ma. nincs min. nincs alulról nem korlátos zérushel =, D f = R \ {} R f = R + È {0} ( ; ] szig. mon. csökkenõ [; ) szig. mon. növõ (; ) szig. mon. csökkenõ ma. nincs min. van, hele =, értéke = 0 alulról korlátos zérushel =

32 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 9 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE c) d) h ( )= k ( )= + ± D f = R \ {} R f = R \ {} ( ; ) szig. mon. növõ (; ) szig. mon. növõ ma. nincs min. nincs alulról nem korlátos zérushel = D f = R \ { ; } R f = R \ (; ] ( ; ) szig. mon. növõ ( ; 0] szig. mon. növõ [0; ) szig. mon. csökkenõ (; ) szig. mon. csökkenõ ma. nincs lokális ma. van, hele = 0, értéke = min. nincs alulról nem korlátos zérushel =±. a) igen b) nem c) nem d) igen. f g 6 7 8

33 7. Az egészrész, a törtrész és az elõjelfüggvén. a) D f = R R f = Z mon. növõ ma. nincs min. nincs 6 alulról nem korlátos zérushel van: Î[ ; ) b) D f = R R f = Z mon. növõ 6 7 ma. nincs min. nincs alulról nem korlátos zérushel van: Î[; ) c) D f = R R f = Z mon. növõ ma. nincs min. nincs 6 alulról nem korlátos zérushel van: Î[0,; ) d) D f = R R f = Z mon. csökkenõ ma. nincs min. nincs alulról nem korlátos zérushel van: Î(0; ] e) D f = R R f = [0;) periodikus, periódusa 0, eg perióduson belül szig. mon. növõ ma. nincs min. van, hele = 0,k (k ÎZ), értéke = 0 felülrõl korlátos alulról korlátos zérushel van: = 0,k (k ÎZ)

34 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 9 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. a) D f = R R f = {½ = k, k ÎZ + } ( ; ) mon. csökkenõ [0; ) mon. növõ ma. nincs min. van, hele Î[0; ), értéke = 0 alulról korlátos zérushel van: Î[0; ) b) D f = R R f = Z + È {0} ( ; ) mon. csökkenõ ( ; ) mon. növõ ma. nincs min. van, hele Î( ; ), értéke = 0 alulról korlátos zérushel van: Î( ; ) c) D f = R \ [0; ) R f = ½ =, k k Z \{ 0} { } ( ; 0) mon. csökkenõ [; ) mon. csökkenõ ma. van, hele Î[; ), értéke = min. van, hele Î[ ; 0), értéke = felülrõl korlátos alulról korlátos zérushel nincs d) D f = R \ {} R f = Z + È {0} ( ; ) mon. növõ (; ) mon. csökkenõ ma. nincs min. van, hele Î( ; ], értéke = 0 alulról korlátos zérushel van: Î( ; ]

35 . a) b) c) További példák függvénekre. a) D f = R \ { } R f = R \ ( ; 0) ( ; ] szig. mon. növõ [ ; ) szig. mon. csökkenõ ( ; 0] szig. mon. csökkenõ [0; ) szig. mon. növõ ma. nincs lokális ma. van, hele =, értéke = min. nincs lokális min. van, hele: = 0, értéke = 0 alulról nem korlátos zérushel van: = 0 b) D f = R \ {} R f = R \ ( ; ) ( ; 0] szig. mon. növõ [0; ) szig. mon. csökkenõ (; ] szig. mon. csökkenõ [; ) szig. mon. növõ ma. nincs lokális ma. van, hele: = 0, értéke = min. nincs lokális min. van, hele: =, értéke = alulról nem korlátos zérushel nincs c) D f = R \ {0} R f = R + ( ; 0) szig. mon. növõ (0; ) szig. mon. csökkenõ ma. nincs min. nincs alulról korlátos zérushel nincs

36 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 9 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE d) D f = R \ {} R f = R + ( ; ) szig. mon. növõ (; ) szig. mon. csökkenõ 6 7 ma. nincs min. nincs alulról korlátos zérushel nincs Rejtvén: A sárga A kék A zöld A piros t t t t 6

37 Háromszögek, négszögek, sokszögek. Néhán alapvetõ geometriai fogalom (emlékeztetõ). A a) b) c) d) B C D E. a) rész, félegenes, szakasz d) (n + ) rész, félegenes, (n ) szakasz b), c) a d) alapján. a) 6 b) 0 c) d) n +. a) b) c) d) 6 e). a) b) 0 c) d) e) 6. a) b) 6 c) d) e) 7. AB BC CD AC BD AD m m 8 m 8 m m 6 m dm dm dm 6 dm dm 7 dm cm cm 6 cm cm 7 cm 9 cm km 6 km 7 km km km 8 km mm mm cm mm mm 0, dm nn ( ) nn ( ) 8. a) 0º; 0º b) 8º; º c),º; 6,8º d) 60º ; 9º º = 0º + 0º 70º 80º 0. a) a = º; b = 0º b) a = ; b = c) 00º 0º a = ; b =. 0º 7

38 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 9 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Összefüggés a derékszögû háromszög oldalai között. a) 90º; 0º; 0º; 90º b) 60º; º; 0º; 0º c) 7º; 98º; º; 08º d) 80º; 90º; 70º; 00º e),9º; 6,º; 6,º; 8,º f) º; 9º; 89º; 79º. a) g = 6º; a = º; b = 00º; g = º b) b = 67º; g = 7º; a = º; g = º c) a = 8º; b = º; b = º; g = 0º d) b = 98º; g = 8º; a = º; a = 6º e) a = 90º nem lehetséges f) a = 88º; g = º ez nem lehetséges. a) 0º; 60º; 90º; 0º; 0º; 90º b) 8º; 60º; 7º; º; 0º; 08º c) 7º; 6º; 90º; º; 7º; 90º d) º; 67,º; 97,º; 6º;,º; 8,º e) º; 0º; 9º; º; 0º; 8º f) º; 60º; 6º; º; 0º; º. 8º; 60º; 8º; º; 0º; 98º. a) van b) van c) van d) nincs 6. a) ; ; b) 8; 7; 6; ; ; ; ; c) 8; 8;...; d) 6;...; 7. a) cm; a szárszög a kisebb. b) dm; a szárszög a nagobb, vag cm és a szárszög a nagobb, vag cm és az alapon fekvõ szög a nagobb. c) A harmadik oldal (c) lehetséges értéke 0 m < c < 8 m. Ha m < c < 8 m, akkor a szárszög a nagobb; ha c = m, akkor a szögek egenlõek; ha 0 m < c < m, akkor az alapon fekvõ szög a nagobb. d) 8 mm, szárszög a kisebb 8. Szabálos háromszög 6 db, egenlõ szárú db, általános db, összesen db háromszög szerkeszthetõ. 9. a) b b) b c) b = c d) b e) nem háromszög f) c 0. Tudjuk a = b. a+ b+ c < a + c c? a + < a+ c ez igaz Ezzel az állítást beláttuk.?? a+ c< ( a+ b+ c)? a+ c< 6a+ c? c< a ez igaz. a cm dm m b cm dm 7 m c cm dm 6 8

39 6. A négszögekrõl (emlékeztetõ). a) g = 96º; d = 9º; a = 80º; b = 08º; d = 88º b) g = 7º; d = 8º; a = 0º; b = º; d = 97º c) b < 7º; g = 7º b; b > º; g = b + º; d = 9º d) b = 9º; d = 0º; g = º; a = º; g = 8º. a) 90º, 90º; 0º, 60º, 90º, 90º b) 07,º, 07,º; º, 80º, 7,º, 7,º c) 9,º, 9,º; 7,º, 67º, 87,7º, 87,7º d) a < 98º, b = 98º a; 99º, 99º, 80º a, a 8º. a) Nem lehet trapéz. b) 80º ; 7 80º ; 0 80º ; 80º c) º; 7º; 0º; º d) nem lehet trapéz. a) 0º; 0º b) 7º; º c) 9º; º d),º; 6,8º. a) º; º b) 80º; 00º c) 7º; 0º d) 6. a) 0º; 0º b) 7º; º c) 8º; 97º d) 7º; 6º 7. a) 98,º b) 90,º c) º d) º 8. a) 78º vag 6º b) 9º vag º c) 0º d) º vag º 9. a) 60º b) º c) 77,º d) a 0. a + b = 60º (g + d) = 60º (80º g + 80º d ) = g +d a 80 º b 80 º ; a+ b a+ b. a) hamis b) hamis c) igaz d) igaz e) hamis f) hamis g) igaz h) igaz i) igaz j) igaz k) hamis 7. A sokszögekrõl. a) b) c) 0 d) º e) 77. a) 0º b) 900º c) 080º d) 800º e) 860º 900º. a) 08º b) c) º d) 0º e) 7. a) 8 b) 0 c) 6 d) e). a) b) 7 c) d) 9 6. a) b) 0 c) d) 0 860º 9 7. A külsõ és belsõ szögek összege n 80º. Ebbõl a belsõ szögek összege (n ) 80º. Íg a külsõ szögek összege a kettõ különbsége, azaz 60º. 9

40 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 9 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 8. a) 6 b) 0 c) 7 d) 6 9. a) 0º; 60º b) º; 6º c) 7,º;,º d) 0. a) b) c) 9 d) º 0º ; 7. a) b) c) 7 d) 9. 6º + º = 88º = 0º 8. Nevezetes ponthalmazok. 90º. A húrt felezõ átmérõ két végpontja.. A keresett pontok az AB szakasz felezõ merõlegesének és a körnek a metszéspontjai. Lehet, vag 0 ilen pont.. a) Az AB felezõ merõlegese által meghatározott azon félsík, amel A-t tartalmazza. b) Az a félsík, amel B-t tartalmazza (a határegenes nélkül).. A középpont a szögtartománban a száraktól cm-re lévõ, velük párhuzamos két egenes metszéspontja. 6. Mindkét szárhoz létezik eg ilen kör. 7. Mivel a szögfelezõk az oldalakkal º-os szöget zárnak be, egmásra a metszõek merõlegesek, a szemköztiek párhuzamosak. Íg eg téglalapot határoznak meg. 8. a) A keresett körök középpontjai az A és B középpontú, cm sugarú körök metszéspontjai. megoldás van. b) A keresett középpontok az A és B középpontú, cm sugarú körök metszéspontjai és az A középpontú cm / cm, illetve B középpontú cm / cm sugarú körök metszéspontjai. megoldás van. c) A keresett középpontok az A és B középpontú, 6 cm sugarú körök metszéspontjai és az A középpontú cm / 6 cm, illetve B középpontú 6 cm / cm sugarú körök metszéspontjai. 6 megoldás van. 9. ½½=½½ 0. Eg pontban metszik egmást.. Eg pontban metszik egmást. Rejtvén: Az egik pont mint középpont körül a másik ponton keresztül rajzolunk eg kört, majd uganezen távolsággal a kerületen lévõ pontból kiindulva a körön felmérünk 6 pontot. Ezek szabálos hatszöget alkotnak, és bármel két szemközti pontnak a távolsága az eredeti két pont távolságának kétszerese. 0

41 9. A háromszög beírt köre. a) 60º; 60º; 60º b) 7º; 7º; º c) 8º; 8º; º d) 0º; 0; 0º. a) 0 cm 8. b) cm =, cm. c) 6, cm. d) 6, cm. 0. A háromszög köré írt kör. a) Megrajzoljuk a kört, és abban felveszünk eg, az alappal megegezõ hosszúságú húrt. A húr felezõ merõlegese metszi ki a körbõl a keresett csúcsot. Két megoldás van, ha az alap nem nagobb a sugár kétszeresénél. b) A kör kerületének eg pontjából körzõzünk a szár hosszával. Ez két pontban metszi a kört, ezek a háromszög keresett csúcsai. Eg megoldás van, ha a szár hossza kisebb mint a sugár kétszerese.. Thalész tétele és néhán alkalmazása. d) 00 a cm a befogó, az átfogó 0 cm.. a) cm b) cm c) 8 cm d) cm. A két talppont illeszkedik a harmadik oldal Thalész-körére.. A két talppont által meghatározott szakasz felezõ merõlegese metszi ki az oldalegenesbõl a harmadik oldalhoz tartozó Thalész-kör középpontját. Ezen középpontból a két talpponton keresztül körzõzünk, mel kör az oldalegenesbõl kimetszi az oldal két végpontját. A talppontok és a végpontok határozzák meg a keresett háromszög oldalait. Két megoldás van, ha a pontok az egenes egik oldalán vannak, és egenesük nem merõleges az egenesre.. A kör az alapot a felezõpontjában metszi, mivel innen a szár derékszögben látszik, és íg ez az alaphoz tartozó magasság talppontja. 6. Vegük fel az átfogót, majd szerkesszünk eg vele párhuzamos egenest magasság távolságnira. Ebbõl a párhuzamos egenesbõl az átfogó Thalész-köre kimetszi a háromszög harmadik csúcsát. Ha a magasság nagobb, mint az átfogó fele, akkor nincs megoldás; ha egenlõ vele, akkor eg egenlõ szárú háromszög a megoldás; ha kisebb, akkor két egbevágó háromszöget kapunk. 7. A körök a harmadik oldalhoz tartozó magaság talppontjában metszik ezt az oldalt. 8. a) cm; cm b) cm; cm c) 6 cm; cm d) Rejtvén: K =. 66; 66 7

42 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 9 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Érintõnégszögek, érintõsokszögek. Ha érintõnégszög, akkor a szemközti oldalak összege egenlõ, azaz az oldalai egenlõek, azaz rombusz.. A belsõ szögfelezõk a beírt kör középpontjában metszik egmást, mivel ez az a pont, mel minden szögszártól egenlõ távolságra van.. a) Felveszünk eg oldalhosszúságú szakaszt, majd párhuzamost szerkesztünk vele kétszeres sugár távolságra. Az oldal két végpontjából oldalhosszúságú sugárral körzõzünk, íg pontot kapunk. Ezeket megfelelõen összekötve az oldal végpontjaival, két egbevágó rombuszt kapunk. b) Felvesszük a beírt kört, majd eg szakaszt, melnek felezõpontja a kör középpontja, hossza pedig az átlóval egenlõ. Az átló két végpontjából a körhöz érintõket szerkesztve megkapjuk a rombuszt.. Vegünk fel a beírt kör átmérõjével egenlõ hosszúságú szakaszt, majd mindkét végpontjában állítsunk rá két merõleges félegenest azonos iránban. A derékszögek szögfelezõi kimetszik a beírható kör középpontját. Rajzoljuk meg a kört. Az egik félegenesre mérjük fel az alap hosszát a derékszögû csúcsból, majd az új végpontból szerkesszünk érintõt a beírt körhöz. Ez a másik párhuzamos félegenesbõl kimetszi a trapéz negedik csúcsát.. Vegünk fel eg derékszöget, majd szerkesszünk eg olan négzetet, amelnek egik csúcsa a derékszög csúcsa, oldalhosszúsága pedig egenlõ a beírt kör sugarával. A nem a derékszögû szárakra illeszkedõ csúcs lesz a beírt kör középpontja. Az adott derékszög egik szárára mérjük fel az adott oldalt a csúcsból, majd rajzoljuk meg az íg kapott végpont és kör középpontja által meghatározott egenest. Erre tükrözve a derékszöget megkapjuk a deltoidot. 6. a) 6 cm vag cm vag 7 cm. b) cm vag cm. 7. A beírt kör középpontját a csúcsokkal összekötve olan háromszögekre bontjuk a négszöget, melek magassága a beírt kör sugara. A háromszögek területeinek összege adja a négszög területét ar br cr dr K r T = =.

43 Egenletek, egenlõtlenségek, egenletrendszerek. Az egenlet, azonosság fogalma. a) állítás b) állítás, igaz c) állítás, igaz d) nem állítás e) állítás, hamis f) nem állítás g) nem állítás. a) Igaz, ha téglalap. b) Igaz, ha c = 0. c) Igaz, ha = l, l ÎZ +. d) Igaz, ha = ; ; ; ; 6;. e) Igaz, ha = 9. f) Igaz, ha n = ; ; 0; ; ; ;.. a) = + b) = c) ( + 0) = d) 7 = + e) =. a) R \ {} b) R \ { ; } c) R \ {0; } d) R \ { ; 0; } { } e) R \ 0; f) R \ { ; } g) R \ { ; } h). a) Azonosság, ha a =, az = 0 mindig megoldás. b) Azonosság, ha a =, nincs megoldás, ha a ¹. c) Azonosság, ha a =, mindig van megoldás. d) Azonosság, ha a =, a 0 mindig megoldás. 6. a) = b) = c) = Rejtvén: A negedik állítás igaz csak. { } R \ 0;. Az egenletek megoldásának grafikus módszere. a) = b) = c) = vag = d). ½½= + =. Nincs.. = =

44 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 9 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Az egenlet értelmezési tartománának és értékkészletének vizsgálata. a) nincs megoldás b) nincs megoldás c) nincs megoldás d) nincs megoldás. a) a < 7 b) a < c) a < d) a < 0. a) = ; = b) = ; = c) = ; = d) = ; = e) = f) = ; = ; z = Rejtvén: A szorzat 0, mivel a 77. ténezõ 0, az összeg 0.. Egenlet megoldása szorzattá alakítással. ; ; ; 0 vag ; ; 0; vag ; 0; ; vag 0; ; ;. a) = ; = ; = ; = b) = 0; = ; c) = 0; = ; = 8 = d) = e) = ; f) = 0; g) = 0; = ; h) = ; = 8 = = 0 7. a) = ; = b) = 0; 9 6 c) = ; = d) = ; = Rejtvén: A második lépésnél 0-val egszerûsített, ami nem ekvivalens átalakítás. = 8 = 8

45 . Megoldás lebontogatással, mérleg-elvvel. a) = b) = c) z = d) 9 v = 7 8. a) = b) = c) z = d) v = Egenlõtlenségek. a) < b) c) d). a) > b) < c) < d) a) b) vag c) < vag < < d) < vag < < vag <. a) < b) > c) vag <. a) < vag < < 0 b) < vag < c) < vag < < 0 vag < 7. Abszolútértéket tartalmazó egenletek, egenlõtlenségek. a) = ; = b) = ; = c) < < d) < vag <. a) = b) = 0; = c) ÎR d) =. a) ÎR b) nincs megoldás c) < 0 d) vag. a) b) = ; = c) = 6; = 6 d) = ; = ; = ; = 7

46 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 9 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. a) nincs megoldás b) vag c) 6 < < 6 d) vag vag 7 8. Paraméteres egenletek. a) a = 0: ÎR b) b = : Æ a ¹ 0: = b b ¹ : = b c) a = 0 és b = : ÎR d) a = 0: ÎR a = 0 és b ¹ : Æ a ¹ 0: = a b a ¹ 0: = + a. a) a = : ÎR b) a = : ÎR a ¹ : = a a ¹ : = a c) b = 0: Æ d) a = 0: Æ b = : ÎR a = : Æ a b ¹ 0; : = a ¹ 0; : = b aa ( ). a) v s b) p F U =, t 0 = c) I = d) t A, A 0 R, R 0 s t = v, v 0 A = F, p 0 p. a = b = 0: nem értelmezhetõ a ¹ 0 és b ¹ 0: b = a: Æ ab a ¹ 0 és b ¹ 0: b ¹ a: = b a R = U, I 0 I P = W, t 0 t W t = P, P 0. a) Nem lesz zérus. b) b > a > 0; a > 0 és b < 0; 0 > b > a c) a > b > 0; 0 > a > b; b > 0 és a < 0 6

47 9. Egenletekkel megoldható feladatok I.. : a kerékpártúra hossza km-ben = = km hosszú volt a kerékpártúra.. A testvér életkora legen,, z ( < < z). + + z= 0 = + = z = 0; = ; z = 7 A testvérek 0, és 7 évesek.. : az apa kora éves az apa.. : a gondolt szám + ( 8) = 60 = ( + ) 8= = 0. : az egesek helén álló számjeg ( ) 0 + = 0+ ( ) + 7 = A szám az. 6. : összesen anni forintja volt 0, 8 0, 0 + 0, 0, 0 + 0, 0 0, 0 = , 0 0, 9 = 6 00 = forintja volt összesen. Rejtvén: e: az erdõben lévõ fák mennisége, f: a kivágandó fenõfák mennisége e 099, f = ( e f) 098, e= f Az erdõ felét ki akarják vágni. 7

48 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 9 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 0. Egenletekkel megoldható feladatok II.. a: az elvégzendõ munka mennisége a Az egik munkás teljesítméne a másiké, Közös teljesítménük a 0 A közös munkához szükséges idõ =. a a + 0 óra 0 perc alatt végeznek egütt.. a: a kád ûrtartalma a a Az egik csap teljesítméne a másiké és a lefolóé 0, Egüttes teljesítménük a a +. 0 a a a a 0. a 0 6 A feltöltéshez szükséges idõ = = 8 +. a a a Körülbelül 8 óra 8 perc alatt telik meg. a 6.. : a kikötõk távolsága : a hajó sebessége állóvízben 70 km a kikötõk távolsága. + = 7 = = 70; = 7. : az agár által megtett út A sebessége m, az agáré m idõegségenként. 0 = = 0 0 métert kell megtennie.. : az elpárologtatott víz mennisége 0 0, = ( 0 ) 0, 6 0 = 0 l vizet kell elpárologtatni. 8

49 6. : az eredeti ár 00 forintba került. 0, 8, = 00 = 00 Rejtvén: a) túk nap alatt 0 tojás, 9 túk nap alatt 09 tojás, 9 túk 9 nap alatt 7 tojás. b) túk nap alatt tojás, túk nap alatt tojás, túk 6 nap alatt 0 tojás. c) túk nap alatt tojás, túk 9 nap alatt 0 tojás, 7 túk 9 nap alatt tojás.. Elsõfokú kétismeretlenes egenletrendszerek. a) (; ) b) (; ) c) (; ). a) (; ) b) 6 ; c) ;. a) b) 7 ; ; c) 6. a) a ¹ b) nincs ilen a c) a = 6 ;. a) a = b és b b) a= b= Rejtvén: Mindkét egenlet eg-eg egenest határoz meg a koordinátasíkon. Ha a értékét kicsit változtatjuk, akkor a hozzá tartozó egenes meredeksége kicsit változik, de az tengelen vett metszéspont nem. Íg a két egenes metszéspontja, azaz az egenletrendszer megoldása kicsit fog változni. Az állítás tehát igaz. 9

50 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 9 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Egenletrendszerekkel megoldható feladatok. 8 0, 6 + 0, = 0, 9 0 Akárhog keverjük õket össze, 9,%-os oldatunk lesz. km. : a villamos sebessége -ban mérve h : a villamos követési ideje órában mérve Eg iránban haladva két találkozás között a második villamosnak meg kell tannie a két villamos közötti távolságot ( ) és az ember által megtett utat. Ha szembe mennek, akkor az ember által megtett úttal kevesebbet kell megtennie. tehát = + km = = = = + 8 ; h 6 min. h 0. : a tízes heli értéken álló számjeg : az eges heli értéken álló számjeg A szám a = ( 0+ ) + 0+ = ( ) + = 7; = > a. Legen a b + = g Ekkor a nagobb az egik szögnél és kisebb a másiknál. Tegük fel,. hog b < a < g. Íg a b + = g a + g = b a + b + g = 80º a = 60º; b = º; g = 7º. Lineáris többismeretlenes egenletrendszerek. a) ( ; 6; 8) b) (; 0; 0) c). Nemnegatív tagok összege csak akkor 0, ha minden tag ; ; a) (8; ; ) b) 6 ; ; c) (; ; ) 6 0

51 . : vízszintes útszakasz hossza : emelkedõ hossza oda felé z: lejtõ hossza oda felé = 0; = 60; z = 00 Odafelé 0 km vízszintes, 60 km emelkedõ és 00 km lejtõ.. Játék elõtt: A: B: C: z. játék után: A: z B: C: z. játék után: A: ( z) B: ( z +z) = C: z = z. játék után: A: ( z) B: ( z) C: z ( z + z) = = 7z z= 00 6 z= 00 7z = 00 7 = ; = ; z= 0. a, b, c: a szakaszok hossza cm-ben z + + = z = z= 00 a+ b= b+ c= 8 a+ c= 0 a = 7; b = ; c = Mivel a + c < b, nem alkothatnak háromszöget.

52 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 9 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Egbevágósági transzformációk. Tengeles tükrözés a síkban. Számozzuk meg a nilakat! Tengelesen szimmetrikus: ; ; 6; 7; PP szakasz felezõ merõlegese.. a) A ( ; ); B (; ); C ( ; ) b) A (; ); B ( ; ); C (; ). A( ; ); B(; ); C(; 8) A kör középpontjából körzõzzünk olan nag sugárral, hog két helen metsze az egenest.. Ezen sugárral mindkét metszéspontból körzõzünk az egenes másik oldalán, hog az ívek metszék egmást.. A kapott pont a kör tükörképének középpontja, íg az adott sugárral megrajzoljuk a kör képét. 6. A középpontok által meghatározott szakasz felezõ merõlegese a keresett egenes. 7. Tükrözzük c egenest b-re. Ahol a kép metszi az a egenest ott van a keresett pont. 8. A P pont az AB egenesére illeszkedik, hiszen a szögfelezõre való tükrözés oldalegenest oldalegenesbe visz. 9. Mindkét csúcsot tükrözzük a szögfelezõre. Az eg félsíkban lévõ pontok eg-eg oldalegenest határoznak meg, meleknek a szögfelezõn kell metszeniük egmást. Ha a csúcsok szimmetrikusak a szögfelezõre, akkor a háromszög egenlõ szárú, és a harmadik csúcs a szögfelezõ egenes bármel olan pontja lehet, amel nem illeszkedik az adott oldalra. 0. Tükrözzük A-t e-re. A B Ç e a keresett pont.. Mivel az eredeti csúcsoknál lévõ szög az új alakzatban 80º, az eredeti háromszög mindhárom szögének 60º-nak kell lennie. Az eredeti háromszög tehát szabálos. Rejtvén: Attól függ, hog a számlap számozása azonos vag ellentétes iránú. (Ha azonos a számozás irána, akkor 6 óra múlva; ha ellentétes, akkor mindig uganazt az idõt mutatják.). Tengelesen szimmetrikus alakzatok. a) hamis b) igaz c) hamis d) igaz e) hamis f) igaz g) hamis h) igaz i) igaz j) hamis k) hamis. Tükrözzük a harmadik csúcsot a szimmetriatengelre.

53 . Mindkét csúcsot tükrözzük a szimmetriatengelre.. Tükrözzük az egik egenest a tengelre. Ahol a kép metszi a másik egenest, az a deltoid egik csúcsa, melet tükrözve a tengelre, a negedik csúcsot is megkapjuk. Ha a tükrözésnél a kép egbeesik a másik egenessel, akkor bármelik pontja lehet a deltoid harmadik csúcsa.. A két pont által meghatározott oldalegenes két pontban metszi a tengeleket. Ezek csúcspontok. Ezeket tükrözve a tengelekre, megkapjuk a másik két csúcspontot is. Ez mindig megszerkeszthetõ. 6. Egik lehetõség: (; ); ( ; ); ( ; ); (; ). Másik lehetõség: 0 ; ; 0; ; 0 ; ; 0;. ( ) ( ) ( ) ( ) 7. Mindkét tengelnek eg-eg csúcsra kell illeszkednie. A tengelekre illeszkedõ csúcsokból induló oldalak egmásra szimmetrikusak, azaz egenlõek. Íg mindhárom oldal egenlõ, tahát van harmadik szimmetriatengel.. Középpontos tükrözés a síkban. Számozzuk meg a nilakat! Középpontosan szimmetrikus: ; 6; 8; 9.. Az AB szakasz felezõpontja a tükrözés középpontja B képe A lesz.. A középpontok által meghatározott szakasz felezõpontja a tükrözés középpontja. O O 6 O O. a) A (; ); B ( ; ); C (; ) b) A (; ); B ( ; ); C (; ) c) A (; ); B (0; 7); C (7; 9). A( ; ); B ( 7; ); C ( ; 0) 6. a) cm oldalú szabálos hatszög. b) cm oldalú -szög, hatágú csillag. 7. Tükrözzük az egik egenest a pontra. Ahol a kép metszi a másik egenest, ott lesz az egik pont, melet tükrözve az adott pontra, megkapjuk a másik pontot is. 8. Eg háromszöget kapunk, hisz az eredeti háromszög csúcsainál egmás mellé kerül a három belsõ szög, melek összege 80º. 9. Az egik ilen szelõ a két metszéspont által meghatározott közös szelõ. A másik szelõ megszerkesztéséhez tükrözzük az egik metszéspontra az egik kört. A kép és a másik kör metszéspontja a kiválasztott metszésponttal meghatározzák a keresett szelõt. 0. Tükrözzük az egik szögszárat a P-re. Az a pont, ahol a kép metszi a másik szárat, a P- vel meghatározza a keresett egenest. Rejtvén: Az elsõ érmét az asztal középpontjába tege, majd mindig az ellenfél érméjének ezen pontra való tükörképére tege az érméit

54 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 9 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Középpontosan szimmetrikus alakzatok. a) hamis b) igaz c) hamis d) igaz e) igaz f) igaz g) hamis h) igaz i) igaz. A két csúcsot tükrözzük az átlók metszéspontjára.. C(; ); D(; ). Paralelogrammát, hiszen átlói felezik egmást.. Tükrözzük O-ra a szög csúcsát, íg a paralelogramma másik csúcsát kapjuk. Ezen keresztül húzzunk párhuzamosokat a szög száraival, melek a paralelogramma oldalegenesei. Ezek a szögszárakból kimetszik a hiánzó két csúcsot. 6. a) 7º; 08º b) 80º; 00º c) º; 6º d) p 80 º q 80 º ; p + q p + q 7. Húzzunk a szögfelezõjével párhuzamost C-n keresztül, íg a kapjuk j szöget. j és váltoszögek íg egenlõek. Tehát j egik szára szögfelezõ. Mivel eg szögnek eg és csak eg szögfelezõje van, a két szögfelezõ párhuzamos. Ha a két szögfelezõ eg egenesbe esik, akkor a paralelogrammát két olan háromszögre bontják, melekben két szög egenlõ, azaz egenlõ szárúak. Tehát a paralelogramma rombusz. a A D B j C 8. Nem igaz, mert az átlók nem feltétlenül lennének egenlõ hosszúak, csak biztosan feleznék egmást. Rejtvén: Van, például egenes, sík. 6. A középpontos tükrözés alkalmazásai 7. a) cm ; cm ; cm b) dm ; dm ; dm c),6 m; 0 cm; dm d) nem alkotnak háromszöget, hiszen = 7, +,8. a) 6 cm b) dm c), cm d) 7 mm. Az átfogó hossza a vele párhuzamos középvonal hosszának kétszerese, azaz 6 cm. Vegük fel az átfogót, és rajzoljunk vele párhuzamos egenest cm távolságban (két párhuzamos egenes). Rajzoljuk meg az átfogó Thalész-körét. Ez a párhuzamosokból kimetszi a háromszög harmadik csúcsát. Íg db egbevágó háromszöget kapunk.. a) 7 b) c) cm dm mm d) a + b

55 . a) 6 cm b) 9 dm c) 8, m d) 6. Paralelogrammát határoz meg. a) 0 cm; 8 cm b) cm; cm c) ; d 7. Szerkesszük meg az a, b, s c oldalú háromszöget. Tükrözzük B-t F-re. Az íg kapott pont a keresett háromszög harmadik csúcsa (A). 8. A felezõpontokat összekötõ szakasz a két szomszédos oldal által meghatározott háromszög középvonala, melrõl tudjuk, hog párhuzamos a harmadik oldallal, mel a négszög egik átlója. AC 9. A 8. feladat alapján F F ª AC ª F F és FF = = FF. Mivel az F F F F négszögben két oldal hossza egenlõ és párhuzamosak, a négszög paralelogramma. 0. A 9. feladat alapján a középvonalak eg paralelogramma átlói, melekrõl tudjuk, hog felezik egmást.. Ha a középvonalak egenlõ hosszúak, akkor az oldalfelezõ pontok által meghatározott paralelogramma téglalap, tehát a négszög átlói merõlegesek egmásra.. A körök páronként a harmadik oldalon, a magasság talppontjában metszik egmást. Íg a szelõk metszéspontja a magasságpont. D A F A D s c F F b F F s c B B C a C F. a) Az egik oldal felezõpontjára tükrözve a háromszöget, mindig kapunk eg olan háromszöget, melnek oldalai az eg csúcsból induló háromszögoldalak és a súlvonal kétszerese. Ebben a háromszög egenlõtlenség alapján a b a c b c sc + ; s b + ; sa +. Ezeket összeadva kapjuk, hog s a + s b + s c a + b + c. b) Tükrözzük a háromszög csúcsait mindhárom oldalfelezõ pontra. Íg kapjuk A B C háromszöget. Ebben SA' = s s s Hasonlóan SC' = a a = a. s c. SA C háromszögben a háromszög egenlõtlenség alapján sc + sa b. Hasonlóan kapjuk, hog sa + sb c, sb + sc a. B' s c b s c b C S A a A' B C'

56 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 9 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Ezeket összeadva, kapjuk: 8 ( sa + sb + sc) ( a+ b+ c). Innen sa + sb + sc a+ b+ c ( ). Ezzel az állítást beláttuk. 7. Pont körüli forgatás a síkban. a) b) c) +º +90º 60º d) e) f) +70º 80º 90º. a) b) c) 60º º O O O +0º. Az AB szakasz felezõ merõlegesének pontjai.. Az egik szakasz egik végpontját összekötjük a másik szakasz egik végpontjával, majd a megmaradt végpontokat is összekötjük. Az íg kapott szakaszok felezõ merõlegeseinek metszéspontja lesz a forgatás középpontja. Két ilen középpont kapható. 6

57 . Az AB szakasz adott szöghöz tartozó megfelelõ látószög körívének és a szakasz felezõ merõlegesének metszéspontja a forgatás középpontja. a) b) O A B A B O c) d) O O A B A B 6. a) A ( ; ); B ( ; ); C ( ; ) b) A (; ); B (; ); C (; ) c) A (; ); B ( ; ); C (; ) d) A (; ); B (; ); C (; ) 7. a) ( ; ) vag (; ) b) (; ) vag ( ; ) c) (; ) vag ( ; ) d) (8; ) vag ( 8; ) 8. Forgassuk el az egik egenest 60º-kal. Ahol a kép metszi a másik egenest, ott lesz a háromszög eg másik csúcsa. Ezt a pontot az elõzõvel ellentétes iránban forgatva 60º-kal kapjuk a harmadik csúcspontot. Két megfelelõ háromszöget kaphatunk. 9. Az átlók metszéspontja körül -szor forgassuk el a csúcspontot 90-90º-kal. 0. 7

58 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 9 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 8. A pont körüli forgatás alkalmazásai I.. a) 80º b) 0º c) 70º d) 70º 7. a) 90º b) 60º c) º d) 00º p p p 7p p. a) b) c) d) e) f) 6 8 7p g) h) 8 7 p p. a) 60º b) 0º c) 0º d) 7º e) 0º 60º f) 6º g) 0º h) 900º p,. a) Nagmutató: p m; kismutató: p cm. b) Nagmutató: p m; kismutató: 0p cm. c) Nagmutató: 8p m; kismutató: 0p cm. d) Nagmutató: 67p m; kismutató: 60p cm. e) Nagmutató: 0p m; kismutató: 060p cm. f) Nagmutató: 87,6p km; kismutató:,8p km. 6. a) p cm ; ( + p) cm b) 7p c) 7p cm ; + cm d) 6 6 p 7. a) A hulladék: m; 9%. b) 6 c) p p A hulladék: 8 m; 7%. d) 8. a) p %, % b) p c) % 60, 7 % d) 8 p 6 9 p cm ; + cm p 6p cm ; + cm 9 A hulladék: A hulladék: p % 7 % p % 7 % p m; 6%. p m;, %. 8

59 9. A pont körüli forgatás alkalmazásai II.. a) A forgatás szöge: 0º; 0º. b) A forgatás szöge: 90º; 80º; 70º. c) A forgatás szöge: 7º; º; 6º; 88º. d) A forgatás szöge: 0º; 60º; 90º; 0º; 0º; 80º; 0º; 0º; 70º; 00º; 0º. Súlpont körül forgatunk.. a) tengeles tükrözés, az oldalfelezõ merõlegesekre. Középpont körüli 0º, 0º-os forgatás. b) tengeles tükrözés, az átlókra. tengeles tükrözés, az oldalfelezõ merõlegesekre. Középpont körüli 90º, 80º, 70º-os forgatás. Középpontra való tükrözés.. a) igaz b) hamis c) hamis d) igaz e) igaz f) igaz g) hamis h) hamis. A súlpont körül forgassuk el a csúcsot kétszer, 0º-kal.. A két csúccsal szerkesztünk eg szabálos háromszöget, majd az új csúcs körül elforgatjuk egmás után -ször 60º-kal a háromszöget. 0. Párhuzamos eltolás, vektorok. B' B D A' C A. A C F; D E. B A 9

60 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA 9 A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Nem oldható meg, ha a két egenes párhuzamos. a) B' b C' B S' A' C S a A CC' = BB' = AA' = SS' b) Uganíg.. a) igaz b) hamis c) igaz d) hamis e) igaz 6. B v B' B'' 7. A º A'' v = v + v v A' a = e = h; b = f; i = j = d = c 8. A B pontot toljuk el a foló felé a folóra merõleges és a foló szélességével egenlõ nagságú vektorral. Ahol az AB egenes metszi a foló A felõli partvonalát, ott kell épülnie a hídnak.. Mûveletek vektorokkal. a) AC b) AD c) GB d) DB e) DF. a) (; ) b) (; ) c) (7; 7) d) (; ) e) (; 0) f) ( + a; + b). a) (; ) b) (; ) c) (6; ) d) ( ; ) e) (0; ) f) (p + ; q ). a) v( 0 ; ) b) v( 9; ) c) v( ; ) 6. AC = AB + AD; DB = AB AD 60

61 . Alakzatok egbevágósága m. a) a = alapján oldalaik egenlõek, tehát egbevágóak. b) Uganaz, mint a) mivel s = m. R c) Mivel m= R az a) alapján a = és íg az oldalaik egenlõek, ha a sugarak, egenlõek. a) A befogók az átfogó -ed részei, íg ha az átfogók egenlõek, akkor a befogók is. Vag eg-eg oldalban és a rajta fekvõ két szögben (º; º) egenlõek. b) Eg-eg oldalban és a rajta fekvõ két szögben (90º; º) egenlõek. c) Uganaz, mint a) hisz a körülírt kör sugara az átfogó fele.. a) Két-két oldalban és a közbezárt szögben egenlõek. b) A szemközti szög legen a; eg-eg oldaluk és a rajta fekvõ két szögük (90º; 90º a) egenlõ. c) Kössük össze az átfogó felezõpontját a szemközti csúccsal. Mivel ez a köréírt kör sugara egenlõ az átfogó felével. A két háromszögben kapott, a sugár és a magasság által meghatározott derékszögû háromszögek egbevágóak (két-két oldalban és a nagobbikkal szemközti szögben egenlõek). Ebbõl adódik, hog ezen sugarak által meghatározott két-két részében, a két eredeti derékszögû háromszögnél, két oldalban és a közbezárt szögben egenlõek, íg egbevágóak. a. a) Legen a szárszög a, ekkor eg-eg oldaluk és a rajta fekvõ két-két szögük 90º egenlõek. a b) Legen az alap a, íg b = +m a, tehát ha az alap és a hozzá tartozó magasságuk egenlõ, akkor a száraik is egenlõek. c) Legen az alapon fekvõ szög b, a magasság két derékszögû háromszögre vágja mindkét háromszöget. Ezek páronként egbevágóak, hisz eg oldaluk (magasság) és a rajta fekvõ két-két szögük (90º; 90º b) egenlõ. Íg a két háromszög is egbevágó.. Ha két szögük egenlõ, akkor mindhárom szögük egenlõ. Az adott oldal azonban lehet alap vag szár is, íg nem egértelmû a megadás, a két háromszög nem feltétlenül egbevágó. 6. Ha a két szár egbevágó, akkor azok csak háromszögek lehetnek. Tehát a szelõ egenes eg csúcson halad át és eg oldalt metsz. A két keletkezett háromszögben, az eredetileg egmással érintkezõ két oldallal szemközti szögek egenlõek az egbevágóság miatt. Íg az eredeti háromszögben van két egenlõ szög, tehát a háromszög egenlõszárú. 7. Legen a két magasság m a és m b. Az AT a C è és a BT b C è egbevágó, mivel eg-eg oldaluk (m a = m b ) és a rajta fekvõ két szögük (90º; 90º g) egenlõ. Tehát a = b, azaz a háromszög egenlõszárú. a ma b mb Másként: A területképlet alapján =, és m a = m b, tehát a = b. b A T b m a C T a m b B 6

a.) b.) c.) d.) e.) össz. 4 pont 2 pont 4 pont 2 pont 3 pont 15 pont

a.) b.) c.) d.) e.) össz. 4 pont 2 pont 4 pont 2 pont 3 pont 15 pont 1. Az alábbi feladatok egszerűek, akár fejben is kiszámíthatóak, de a piszkozatpapíron is gondolkodhat. A megoldásokat azonban erre a papírra írja! a.) A 2x 2 5x 3 0 egenlet megoldása nélkül határozza

Részletesebben

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x

Részletesebben

TANMENET ... Az iskola fejbélyegzője. a matematika tantárgy. tanításához a 9. a, b osztályok számára

TANMENET ... Az iskola fejbélyegzője. a matematika tantárgy. tanításához a 9. a, b osztályok számára Az iskola fejbélyegzője TANMENET a matematika tantárgy tanításához a 9. a, b osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján

Részletesebben

Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola

Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola O k t a t á s i H i v a t a l A 017/018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmáni Versen második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Adja meg

Részletesebben

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS GEOMETRIA 1. Az A, B, C egy egyenes pontjai (ebben a sorrendben), AB szakasz 5 cm, BC szakasz 17 cm. F 1 az AB szakasz, F 2 a BC szakasz felezőpontja. Mekkora az F 1 F 2 szakasz? 2. Az AB és CD szakaszok

Részletesebben

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam I. Pontok, egyenesek, síkok és ezek kölcsönös helyzetet 1) a pont, az egyenes, a sík és az illeszkedés alapfogalmak 2) két egyenes metsző, ha van közös pontjuk

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Számsorozatok SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n-edik

Részletesebben

9. évfolyam Javítóvizsga felkészülést segítő feladatok

9. évfolyam Javítóvizsga felkészülést segítő feladatok Halmazok: 9. évfolam Javítóvizsga felkészülést segítő feladatok. Adott két halmaz. A : a ; a : páros és B : ;;8;0;;;8;0;. Add meg a következő halmazműveleteket az elemek felsorolásával és készíts Venn

Részletesebben

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z

1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria 146/1. a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z. b) 0; H; I; N; O; S; X; Z 146/1 147/2 1. Középpontos tükrözés, középpontos szimmetria a) 0; 3; 8; A;B;C; D; E;H; I; M; O; T; U; V; W; X; Y;Z b) 0; H; I; N; O; S; X; Z c) 0; O; H; I; X; Z a) kőr dáma b) pikk jumbo; kőr dáma.; káró

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010.

MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010. MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 00.. Tetszőleges, nem negatív szám esetén, Göktelenítsük a nevezőt: (B). Menni a 0 kifejezés értéke? (D) 0 0 0 0 0000 400 0. 5 Felhasznált

Részletesebben

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek Geometria 1 összefoglalás Alapfogalmak: a pont, az egyenes és a sík Axiómák: 1. Bármely 2 pontra illeszkedik egy és csak egy egyenes. 2. Három nem egy egyenesre eső pontra illeszkedik egy és csak egy sík.

Részletesebben

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala

Részletesebben

Matematika pótvizsga témakörök 9. V

Matematika pótvizsga témakörök 9. V Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP J UHÁSZ I STVÁN P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ T é m a k ö r ö k é s p r ó b a f e l a d a t s o r 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP 1. oldal 9. OSZTÁLYOS PÓTVIZSGA TÉMAKÖRÖK: I.

Részletesebben

Matematika szintfelmérő szeptember

Matematika szintfelmérő szeptember Matematika szintfelmérő 015. szeptember matematika BSC MO 1. A faglaltok éjszakáján eg közvéleménkutatásban vizsgált csoport %-ának ízlett az eperfaglalt, 94%-ának pedig a citromfaglalt. A két gümölcsfaglalt

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM

SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM A vizsga szerkezete: A vizsga írásbeli és szóbeli vizsgarészből áll. 1.) Írásbeli vizsga Időtartama: 45 perc Elérhető pontszám: 65 pont Feladattípusok:

Részletesebben

Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben

Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )

Részletesebben

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak.

ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. Időtartam: 60 perc 1. Halmazműveletek konkrét halmazokkal.

Részletesebben

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III. Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N

Részletesebben

Egybevágóság szerkesztések

Egybevágóság szerkesztések Egybevágóság szerkesztések 1. Adott az ABCD trapéz, alapjai AB és CD. Szerkesszük meg a vele tengelyesen szimmetrikus trapézt, ha az A csúcs tükörképe a BC oldal középpontja. Nyilvánvaló, hogy a tengelyes

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2 10. Tétel Háromszög Tulajdonságok: - Háromszögnek nevezzük a sokszöget, ha 3 oldala, 3 csúcsa és 3 szöge van - A háromszög belső szögeinek összege 180 o - A háromszög külső szögeinek összege 360 o - A

Részletesebben

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és

Részletesebben

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Tizenharmadik, átdolgozott kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012

Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Tizenharmadik, átdolgozott kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012 Kosztoláni József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönv 9 Tizenharmadik, átdolgozott kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 0 KOMBINATORIKA, HALMAZOK. Mi mit jelent a matematika nelvén? AKÁR

Részletesebben

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy

Részletesebben

Koordináta - geometria I.

Koordináta - geometria I. Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat

Részletesebben

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög, 52. Sorold fel a deltoid tulajdonságait! 53. Hogy számoljuk ki a deltoid területét? A deltoid egyik átlója a deltoid Átlói. A szimmetriaátló a másik átlót és a deltoid szögét. A szimmetriatengely két ellentétes

Részletesebben

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok! Kedves 10. osztályos diákok! Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam Közeleg a szakaszvizsga időpontja, amelyre 019. április 1-én kerül sor. A könnyebb felkészülés érdekében adjuk közre ezt a feladatsort,

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja

Bolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja Bolai János Matematikai Társulat Rátz László Vándorgűlés 06. Baja Záródolgozat dr. Nag Piroska Mária, Dunakeszi Dunakeszi, 06.07.. A Vándorgűlésen Erdős Gábor az általános iskolai szekcióban tartott szemináriumot

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET)

KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) KOSZTOLÁNYI MIKE MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10 14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK (II. KÖTET) Kosztolányi József - Mike János MATEMATIKA ÖSSZEFOGLALÓ FELADATGYÛJTEMÉNY 10-14 ÉVESEKNEK MEGOLDÁSOK **

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK MATEMATIKA TÉMAKÖRÖK 11. évfolyam 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges,

Részletesebben

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.

2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú. Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.

Részletesebben

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY SÍKIDOMOK Síkidom 1 síkidom az a térelem, amelynek valamennyi pontja ugyan abban a síkban helyezkedik el. A síkidomokat

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny Bonyhád, 011. március 11 15. 10. osztály 1. feladat: Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b és c. Bizonyítsuk be, hogy 3 (a+b+c) ab+bc+ca 4 Mikor állhat

Részletesebben

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Szakasz mert van két végpontja Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja Tört vonal Szög mert van két szára és csúcsa Félegyenes mert van egy kezdőpontja 5 1 1 Két egyenes egymásra merőleges ha egymással

Részletesebben

16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek

16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek 16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Geometriai transzformáció Def:Olyan speciális függvény, melynek értelmezési

Részletesebben

Hasonlóság 10. évfolyam

Hasonlóság 10. évfolyam Hasonlóság Definíció: A geometriai transzformációk olyan függvények, melyek értelmezési tartománya, és értékkészlete is ponthalmaz. Definíció: Két vagy több geometriai transzformációt egymás után is elvégezhetünk.

Részletesebben

Koordináta geometria III.

Koordináta geometria III. Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r

Részletesebben

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van. Geometria, sokszögek, szögek, -, 2004_01/5 Lili rajzolt néhány síkidomot: egy háromszöget, egy deltoidot, egy paralelogrammát és egy trapézt. A következő állítások ezekre vonatkoznak. Tegyél * jelet a

Részletesebben

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály

Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 1. félév 1. Kombinatorika, halmazok Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Matematikai logika Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma,

Részletesebben

Középpontos hasonlóság szerkesztések

Középpontos hasonlóság szerkesztések Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen

Részletesebben

Halmazok Egész számok

Halmazok Egész számok Halmazok.. Egész számok A,,,,,,,, számokat egész számoknak nevezzük. ármel két egész szám összege, szorzata, különbsége is egész szám..5. ábra Adóslevél.6. ábra Az adósságok könvelése is megkívánta a negatív

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások 005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának

Részletesebben

Kisérettségi feladatsorok matematikából

Kisérettségi feladatsorok matematikából Kisérettségi feladatsorok matematikából. feladatsor I. rész. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) Ha két egész szám összege páratlan, akkor a szorzatuk páros. b)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

XXVII. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Nagyvárad, február I. forduló - 9. osztály

XXVII. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Nagyvárad, február I. forduló - 9. osztály Nagvárad, 07. február 3 6.. feladat: Két játékos a következő játékot játssza: Az,,3,...,07 véges számsorozatból váltakozva kiválasztanak eg-eg számot, és azt törlik a sorozatból. Bármelikük látja, hog

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005.október 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

Geometriai feladatok, 9. évfolyam

Geometriai feladatok, 9. évfolyam Geometriai feladatok, 9. évfolyam Szögek 1. Nevezzük meg az ábrán látható szögpárokat. Mekkora a nagyságuk, ha α =52 o fok? 2. Mekkora az a szög, amelyik a, az egyenesszög 1/3-ad része b, pótszögénél 32

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás

Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Matematika BSc Elemi matematika 3 Témák: geometria, kombinatorika és valósuínűségszámítás Kitűzött feladatok Geometria 1. Egy ABD háromszög szögei rendre α, β, γ. Mekkora szöget zár be egymással a) az

Részletesebben

Gyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal:

Gyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal: Gyakorló feladatok 9.évf.. Mennyi az összes részhalmaza az A a c; d; e; f halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Legyen U ;;;;;6;7;8;9, A ;;6;7; és B ;;8. Add meg a következő halmazokat és ábrázold

Részletesebben

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét. Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a

Részletesebben

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat 1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer

Részletesebben

Geometriai transzformációk

Geometriai transzformációk Geometriai transzformációk I. Egybevágósági transzformációk 58. a) Eltolás az y tengely mentén -vel negatív irányba. (Eltolás a v(0; -) vektorral.) b) Tükrözés az x = 10 egyenesre. c) A körüli -90 -os

Részletesebben

Algebrai egész kifejezések (polinomok)

Algebrai egész kifejezések (polinomok) Algebrai egész kifejezések (polinomok) Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát! Függvének Feladatok Értelmezési tartomán ) Adja meg a következő függvének legbővebb értelmezési tartománát! a) 5 b) + + c) d) lg tg e) ln + ln ( ) Megoldás: a) 5 b) + + = R c) és sosem teljesül. d) tg

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

Pótvizsga matematika 7. osztály (Iskola honlapján is megtalálható!) Tételek

Pótvizsga matematika 7. osztály (Iskola honlapján is megtalálható!) Tételek Pótvizsga matematika 7. osztály (Iskola honlapján is megtalálható!) Tételek 1. Hatványozás 2. Normálalak. Mértékegységek. Műveletek racionális számokkal (tört, tizedes tört) 5. Középpontos tükrözés 6.

Részletesebben

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a GOMTRI ndrea Philippou, Marios ntoniades Szakaszok és félegyenesek gy szakasz felezőmerőlegese egy olyan egyenes, félegyenes vagy szakasz, ami áthalad a szakasz középpontján és merőleges a szakaszra. Tétel:

Részletesebben

. Számítsuk ki a megadott szög melletti befogó hosszát.

. Számítsuk ki a megadott szög melletti befogó hosszát. Szögek átváltása fokról radiánra és fordítva 2456. Hány fokosak a következő, radiánban (ívmértékben) megadott szögek? π π π π 2π 5π 3π 4π 7π a) π ; ; ; ; ; b) ; ; ; ;. 2 3 4 8 3 6 4 3 6 2457. Hány fokosak

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 9 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY

OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Gráfok Betűk használata a matematikában Hatványozás. A

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria III. Trigonometria III. TÉTEL: (Szinusz - tétel) Bármely háromszögben az oldalak és a velük szemközti szögek szinuszainak aránya egyenlő. Jelöléssel: a: b: c = sin α : sin β : sin γ. Megjegyzés: A szinusz -

Részletesebben

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

Síkgeometria. Ponthalmazok

Síkgeometria.  Ponthalmazok Síkgeometria http://zanza.tv/matematika/geometria Ponthalmazok Alapfogalmak: pont egyenes sík (nincs kiterjedése; általában nagy betűvel jelöljük) (végtelen hosszú; általában kis betűvel jelöljük) (végtelen

Részletesebben

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok 2. ELŐADÁS Transzformációk Egyszerű alakzatok Eltolás A tér bármely P és P pontpárjához pontosan egy olyan eltolás létezik, amely P-t P -be viszi. Bármely eltolás tetszőleges egyenest vele párhuzamos egyenesbe

Részletesebben