Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Átírás

1 Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

2 Számsorozatok SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n-edik tagja: n, a sorozat elsõ n tagjának összege: n(n + ).. a) n n( n + ) b) c) (n )(n n +). A bizonításokat például teljes indukcióval lehet elvégezni.. a) Érdemes a n -t átalakítani íg: b) Az a n -t itt íg érdemes felírni: n n n n an =... ( + )... ( )... n a n = n + n n 5. A sejtés általánosan íg írható fel: n + n n + n = n + n + +n + n n +n. Az összegzés után a bizonítás közvetlenül adódik.. Példák rekurzív sorozatokra. a), b), c) teljes indukcióval könnû igazolni.. =. Az eges ferde vonalak mentén adódó összegek a következõk:,,,, 5, 8,,,, 55, 89,... Az általános sejtés tehát az lehet, hog az n-edik sorban álló számok öszege f n. A sejtés teljes indukcióval igazolható. = +. ábra. A sorozat tulajdonságait teljes indukcióval igazolhatjuk. A szemléltetést az. ábrán lehet elvégezni. = 5. A sorozat tulajdonságait teljes indukcióval igazolhatjuk, a sorozat tagjainak szemléltetését a. ábrán végezhetjük el.. ábra

3 . Számtani sorozatok = + = A feltételbõl a = és d = adódik. Íg azt a legkisebb pozitív egész n-et keressük, amelre + ( n ) n 000. Az eredmén: n =.. Elég igazolni, hog az a + c =b és egenlõségek ekvivalensek. b+ c + a+ b = a+ c. a) a = 7, d =. b) Két megoldás van: a =, d =, 59 a =, d =. c) A kitûzött feladat hibás. A heles feladat: a + a 7 =, a + a 7 =. Ennek két megoldása van: a = 7, d =, 67 a =, d = Nem. Indirekt bizonítást alkalmazva arra az ellentmondásra jutunk, hog racionális szám ,5 másodperc alatt esik le a test 0 m magasról ( ) = = Az egenlõtlenséget kielégítõ egész koordinátájú pontok száma.. Mértani sorozatok. a = 6, q =... q =. 0.

4 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 5. a) a =, q = b) A feladatban hiba van, a heles feladat: a 7 a = 6, a 5 a = 7. Az egetlen megoldás: a =, q = (a q = eset nem ad jó megoldást). c) Két megoldás van: a = 5, q =, a = 5, q = A helesen kitöltött táblázat: Két megoldás van:, 8, ;,, (A második megoldás esetében a számtani sorozat differenciája 0, a mértani sorozat hánadosa.) 9. A számtani sorozat elsõ tagja, különbsége Kamatszámítás, törlesztõrészletek kiszámítása 0. Jelölje p az + = számot (ez az eghavi kamat kiszámításához szükséges), akkor a havi törlesztõ részlet: p 5000 p 57 Ft.. Feltesszük, hog havonta egenlõ részletekben törlesztjük a kölcsönt, ekkor a szükséges 0 havi összeg a q = + = jelölés felhasználásával: Tehát a kölcsönt felvehetjük. q q Ft.

5 Térgeometria. Térelemek. 5 rész. a) 5 vag 8 rész. b) 9, 0 vag rész.. a) a b) c) a. a 5. 90º; 0º a 6. 5,6º; 90º 7. a; 5a; 9,º; 8,º *9. Igaz. A sík és a tér felosztása n. n+ véges; n végtelen tartomán n nn ( ) = n n n n n = ( + ) ( )( ) n n *7. + 5

6 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Testek osztálozása, szabálos testek. Igen. Pl. ilen eg térbeli kereszt.. Legkevesebb 6, legfeljebb 0.. tetraéder kocka oktaéder dodekaéder ikozaéder. 5. a ; a; 0 6 cm a 6. 8,6 cm; 6, cm *7. *8. a 6 a. A terület fogalma, a sokszögek területe. a. cm; 5,8º; 5,6º. 7,8 cm;,7 cm; 6,68º. 7-szerese. 5. része A súlvonal a megfelelõ egenes. 7. 7,05 cm területegség. * 0. Igen. Az oldalai lehetnek: és 6, vag és. *. b) n =, vag 6 esetén. 6

7 5. A kör és részeinek területe. ; 9.. Igen.. 6,8 km-rel 5. a),09 cm b) cm c),9 cm 6. 0,56 m 7. a) 5,5 cm b) 5,8 cm c) 5,7 cm d),5 cm 8. a) b) 0. Egenlõk.. 5, cm. 6,77 cm *. 6,88 cm 6. A térfogat fogalma, a hasáb és henger térfogata. 8 féle. A ma = 6 (; ; 6). A min = 66 (; ; ).. Élei: 6 ; 8 ; 0 ; V = 960 ; A = 75; 5º; 6,9º. Élei: cm; 6 cm; 8 cm. A = 08 cm. Élei: 0 cm; 5 cm; 0 cm. V = 000 cm 5. a) A = 686,6 cm ; V = 866 cm b) A =, cm ; V = cm c) A = 79,6 cm ; V = 596, cm d) A = 58,8 cm ; V = 68, cm 6. a) V = 785, cm ; A = 7, cm b) V = 0000 cm ; A = 68, cm c) V = 790,9 cm ; A = 5080,99 cm 7.,6% 8. V =,76 cm ; A = 58,7 cm V = 58,9 cm ; A = 9,57 cm 9. V = 68, cm ; A = 08, cm V = 005, cm ; A = 65,5 cm 0. V = 88,5 cm ; V = 7,5 cm A = 0,9 cm ; A = 500, cm *. A = cm ; V = 6 cm *. féle. 7

8 7. A gúla és a kúp térfogata SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. a) 76,9 cm ;,78 cm b) 6,6 cm ; 87, cm c) 08,09 cm ; 656,7 cm d) 500 cm ; 80,77 cm. a) 57,08 cm ; 0, cm b) 0,59 cm ; 0,59 cm c) 0,59 cm ; 0,59 cm. 58,9 cm. 678, cm 5. 78,55 cm 6. 65,5 cm 7.,6 cm ;,. cm 8. 66,6. cm ; 7, cm 9. 0,6 cm ; 5,78 cm *. A= a; V = *. a = r esetén. a 8 8. A csonka gúla és a csonka kúp. a) 6,69 cm b) 8,58 cm ; 70, cm c) 8,76º. a) 5,9 cm ; 75,96 cm b) 8,9 cm ; 88,5 cm. a) 57,75 cm ; 9,8 cm b) 5,9 dm ; 58,58 dm c) 07,9 dm ; 57,58 dm. 97,9 cm ; 9,8 cm 5. V =,. cm ; V =,. cm A = 7,7 cm ; A = 66,5 cm 6. A = 60 cm ; a = 5,º π dm ; π dm 8. a) 8,9 cm; 6, cm b),85 cm; 8,5 cm 9. 57,87 dm 0. 90, dm 8

9 9. A gömb térfogata és felszíne. a) cm ; 5 05 cm b) 50 cm ; 507 cm. 97 m. 0 cm π r. ; rész , N 8.,6 dm ; 6,6 dm *9. * r π V = h ( r h) π R 8 * cm ; 0 06 cm 0. Egmásba írt testek. 0 cm. 6,7 cm. a) 0 cm; cm; cm b) 60 cm ; 55,6 cm. 6 cm ,% 7. r =,07 cm; A = 89,6 cm ; igaz ,57 cm ; 68, cm *9. 9,% 0. A A V = ; = 8 V., cm. 5 m (m a kúp magassága) 9 9

10 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Algebra és számelmélet összefoglalás. Számok és mûveletek... Igen, a négzete is irracionális.. Pl.:,.... km %-át. 6. 7%-os a haszon. 7.» 77%,» 9% tanuló.. Számelmélet, oszthatóság A számjegek összege, nem lehet prím.. Nincs. p és p + közül az egik páros, p = -re nem igaz.. Igen, 00 = 7, minden prímténezõ kisebb 5-nél. 5. a) Pl.: 988 = b) Pl.: 988 = es, 8-as, 9-es *8. n = 5 és n =.. Hatván, gök, logaritmus nullára végzõdik.. a) 8 éves, 70 kg-os tanuló esetén 7 00 m. b) kg.. a) 5 = b) 5 c) 0 =

11 5. a) 9 5 = 5 b) 6. a) Az elsõ a nagobb. b) Az elsõ a nagobb. 7. a) ; a > b) 6; b ³ 0; b ¹ ; b ¹ 6 0 *8. A kifejezés = n. ( ) 9. a) b) 6 c) 6 0. a) = 9< 9 = 7 b) c) log 5 log log75 log log9 = < log7 = < = < = < = < 9 = 7 5 log = = log 0, 5 < log7 = < log5 5 = < log 8= 6 7. a) = 0 b) 5 5 = = =, 5 8 c) =. Mûveletek racionális kifejezésekkel. a) a(a ) b) b (5b + )(5b ) c) 7(c +). Pl. d ½(d ) + (d ) +(d ). a) 000 b) = ( 7). a) b) c) ( 9) b 8 ( + ) 5. Egenletek, egenlõtlenségek. 7,5 liter 0%-os és,5 liter 80%-os km km. 6. Legkésõbb órakor. 7. a) n = 8; 9; ; 5 b) n = 0; ; ; ; ; 5; 6 c) 7 < n <

12 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 8. m széles, m hosszú. 9. I. 0 órát, óránként 0 db. II. 6 óra; óránként 5 db ért vette. *. p= ; p= ; p= *. p = 0 5. b) = 6,5; =,5 c) =. a) = 7 b) = c) = ; = 0 * 5. n = 6. a) < vag > b) 5 < < vag < 7. a) π π π 8π = + k k b) = + kπ; + lπ ; k, l Z ; Z c) π π = + lπ ; l Z d) = kπ; = + lπ ; k, l Z 8. a) π 7π 5 kπ + + kπ; b) lπ + π + lπ ; l Z 6. Egenletrendszerek. a) Kb. 65 Ft liter üdítõ ára. b) Ft-nak adódik liter ára. Az ár nem arános az üdítõ menniségével.. 8 piros; kék.. 9 polc; könv.. a) 77-szerese. b) 98,7%-kal kisebb. 5. a) = ; = b) = ; = ; 5 5 c) = 0; = ; = 0; = 7 6. a) = ; = 9; = ; Î R\{0} b) = ; = c) = ; = 5; = ; = 5; = ; = 5; = ; = 5; 5 = 5; 5 = ; 6 = 5; 6 = ; 7 = 5; 7 = ; 8 = 5; 8 = = ; =

13 Függvének összefoglalás. A függvén fogalma, grafikonja, egszerû tulajdonságai. a) = sin p p p p b) c) =lg 0, 0 d) e) =tg p p p p 9 f) A függvén görbéje nem rajzolható meg pontosan, két szakasz mentén mindenütt sûrûn elhelezkedõ pontokból áll.. a) injektív; b) egik sem; c) egik sem; d) szürjektív; e) bijektív; f) injektív.. Mûveletek függvénekkel. a) f f: R R, ; b) f g: R R, ; c) g f: R R, ; d) g g: R R,.. f f: R R, ; f f f: R R, ; + + f f... f: R R,, az fn-szer szerepel. + n

14 . a) f : R R, ; b) g : R \ { } R \ { }, ; + c) h : [0; ] [0; ], ; d) k : [0; ] [ ; 0], ; SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. Függvéntulajdonságok. a) b) c) 8 6 =( +) ( ) 6 6. a) b) c) Zérushel: =. Zérushel: = 7. Zérushel: =.. a) b) c) A kitûzött feladatban hiba van. A heles függvén: log, 5 6 log Î [; + [ log Minimumhel = 0, mini- Minimumhel =, mini- A függvénnek minimumum értéke: ; maimum- mum érték: ; maimum- ma nincs (alulról nem helek: =, =, hel: = 5, maimum ér- korlátos), maimumhemaimum értéke: 5. ték: 6. le =, a maimum érték:.

15 d) = sin½½ p p p p p p p p Minimumhelek: és = π = π, a minimum értéke:, maimumhelek: és = π = π, a maimum értéke:, az = 0 helen heli minimuma van a függvénnek, a minimum értéke 0. e) Minimumhel = 0, a minimum értéke: 0, π π maimumhelek =, =, a maimum értéke.. A függvén zérushele: = 0, minimumhele =, a minimum értéke:, maimumhele =, a maimum értéke:. p p p p 5. a) Az egetlen valós gök: =. b) Az egetlen valós gök: =. c) A két valós gök: = és =. 6. a) A kitûzött feladatban hiba van. A heles feladat: log log, >, ¹. A megoldás: <. b) A megoldás: < <. π π c) A megoldások a következõ intervallumok: + kπ < < + kπ, k Z. 7. a) Eg valós göke van: =. b) Két valós göke van: = 0, =. c) A két valós gök: = és =. 8. Nem periodikus, indirekt úton lehet bizonítani. 5

16 Geometria összefoglalás. Alapvetõ fogalmak. a) hamis; b) igaz. a) AB cm; b) igaz SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A szögek nagsága: º, 57º, 7º, 87º, 0º.. A hajó az északi iránnal +05º-ot bezáró, közelítõleg délnugati iránban halad. a 5. Jelölje a park hosszabbik oldalának hosszát a, a rövidebbikét b. Ha akkor a köz- b, a refogott alakzat négzet, ha akkor az ösvének és a park határa eg hatszöget fog b >, közre. 6. Legfeljebb pontot kaphatunk íg. Nincs mindig megfelelõ pont. 7. A metszéspontok száma a) 8 térrész; b) 5 térrész; c) 6 térrész; d) 9 térrész.. Geometriai transzformációk. Két megfelelõ négzet van, csúcsaik rendre (6; 0), 0; 6), ( 6; 0), (0; 6), illetve (8; 8), ( 8; 8), ( 8; -8), (8; 8).. a) A közös rész eg oldalú szabálos háromszög. K = cm, T = cm 9» 0,77 cm. 68 b) Az egesítés eg konkáv hétszög. K = 0 cm, T = cm, 087 cm a) A'( ; 0), B'(; 6), C'(6; ) b) A'( 0; ), B'( ; ), C'(0; 6) cm 8. A nagítás 80-szoros, a kép és a vászon távolsága,95 m.. Vektorok. Szögfüggvének. h»,9 m.. d» 8,5 m.. a» 5,5º.. a) sina = 0,6; tga = ctga = ;. 6

17 b) cosa = 0,8; tga = ctga = ;. c) sina» 0,909; cosa» 0,99; ctga» 0,76. d) tga = 5+»,6; sina» 0,909; cosa» 0, Az osztópontok helvektorai rendre a B csúcstól a C csúcs felé haladva: 5b + c b + c b + c b + c b + 5c,,,,. 6 6 a b b c c a a b c 6. fab = +, fbc = +, fca = +, s ABC = + +. a+ c b + d + a+ b + c + d a+ c b + d a b c d 7. a) b), c) = Az átlók felezõpontjait összekötõ szakasz felezõpontja azonos a középvonalak metszéspontjával. 9. = 6. Nevezetes síkidomok tulajdonságai. a) a = 0º; b» 7,5 cm; c» 7,05 cm. b) a»,97 cm; a»,º; g»,69º. c) c» 8,88 cm; a» 6,9º; b» 7,8º. d) a» 59,6º; b» 8,05º; g» 9,59º.. A befogók: a» 8,6 cm; b» 8,6 cm. A hegesszögek: a» 65,9º; b»,08º; 68 T = cm, 087 cm. 9. a) a» 75,5º; T» 7557,8 m. b) A maimális területû játéktér oldalai 9,6 m és 7,9 m, területe T» 8779, m. 5. a) a = 50º; b = 60º; g = 70º. b) a»,06 cm; b»,6 cm; c»,76 cm; T»,99 cm. c) T a»,5 cm ; T b»,6 cm ; T c»,6 cm. 6. A belsõ szögfelezõk által meghatározott négszög szögei valamelik körüljárási iránban: 87,5º; 5º; 9,5º; 65º. Ha eg konve négszög belsõ szögfelezõi közrefognak eg négszöget, akkor az mindig húrnégszög. 7. a) Az oldalfelezõ pontok által meghatározott négszög téglalap, íg az eredeti négszög átlói merõlegesek egmásra. b) Az oldalfelezõ pontok által meghatározott négszög rombusz, íg az eredeti négszög átlói egenlõ hosszúak. 7

18 SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE 8. a) n = 9; b) n (a sokszög oldalszáma) lehetséges értékei:, 5, 6, 7, A sokszög oldalainak száma: n = k A legkisebb szög 7º-os, a legnagobb 7º-os. 5. Koordinátageometria. a) A'(; 0), B'(8; ), C'( 6; ) b) c) S ; d) K ABC = ( ), 6 e) T ABC = 86. Az érintõ egenlete: + =.. A csúcsok koordinátái (0; 0), (0; ), (; 0), a háromszög területe 6 egség.. A H ( ; 5) harmadoló pontra illeszkedõ érintõk egenlete = és 8 5 = 5, a H ( ; 7) harmadoló pontra illeszkedõ érintõk egenlete pedig = = 6 Ès A súlpontok halmaza az = + egenletû egenes kivéve a ; pontot, 9 9 uganis ekkor nem jön létre háromszög. 6. a) a = ; a = b) a = 7. T = 9 8. A két érintõ hajlásszöge», a= ; T =. 0. a) b) c)