Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné dr. Simon Judit. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Átírás

1 Juhász István Orosz Gula Parócza József Szászné dr Simon Judit MATEMATIKA 9 Az érthetõ matematika tankönv feladatainak megoldásai A megoldások olvasásához Acrobat Reader program szükséges, amel ingenesen letölthetõ az internetrõl (például: adobelahu weboldalról) A feladatokat fejezetenként különkülön fájlba tettük A fejezetcímmel ellátott fájl tartalmazza a fejezet leckéinek végén kitûzött feladatok részletes megoldásait A feladatokat nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnebb; K középszint, nehezebb; E emelt szint, könnebb; E emelt szint, nehezebb feladat Lektorok: dr Jelitai Árpád, Pálma Lóránt Szakábra: Szalóki Dezsõ lllusztráció: Urmai László Tipográfia: Bajtai Zoltán Felelõs szerkesztõ: Szloboda Tiborné Juhász István, Orosz Gula, Parócza József, Szászné dr Simon Judit, Nemzeti Tankönvkiadó Zrt, 009 Nemzeti Tankönvkiadó Zrt wwwntkhu Vevõszolgálat: info@ntkhu Telefon: A kiadásért felel: Jókai István vezérigazgató Raktári szám: RE 6 Mûszaki igazgató: Babicsné Vasvári Etelka Mûszaki szerkesztõ: Marcsek Ildikó Grafikai szerkesztõ: Görög Istvánné Terjedelem:,69 (A/5) ív kiadás, 009

2

3 TARTALOM Fontosabb jelölések I Halmazok, kombinatorika A számok áttekintése bevezetés 5 Halmazok, részhalmazok 9 Mûveletek halmazokkal 4 Egszerû összeszámolási feladatok 8 5 Halmazok elemszáma 6 Ponthalmazok 8 7 Nevezetes ponthalmazok Számokról és halmazokról (olvasmán) 6 II Geometria sokszögek 8 9 A háromszögre vonatkozó ismeretek 8 0 Pitagorasztétel 40 A háromszögek nevezetes pontjai, vonalai 4 A háromszögek oldalait érintõ körök (olvasmán) 45 4 Négszögek áttekintése, osztálozása 46 5 A sokszögekrõl 47 III Algebra 6 Mûveletek racionális számkörben 48 7 Összetett mûveletek racionális számkörben 50 8 A hatvánozás fogalmának kiterjesztése 5 9 A hatvánozás azonosságai, a permanenciaelv 54 0 Számok normálalakja 56 A számológépek számábrázolása (olvasmán) 58 Eg és többváltozós algebrai kifejezések, helettesítési érték 59 Egnemû kifejezések szorzása, összevonása, polinomok 6 Polinomok fokszáma, egenlõsége, zérushele 6 4 Mûveletek polinomokkal 65 5 Néhán nevezetes szorzat 66 6 Az azonosságok alkalmazása 68 7 Polinomok szorzattá alakításának módszerei 7 8 Szorzattá alakítás nevezetes szorzatok felhasználásával 74 9 Algebrai törtkifejezések egszerûsítése, szorzása, osztása 76 0 Algebrai törtkifejezések összevonása, mûveletek törtkifejezésekkel 79 IV Oszthatóság, a számelmélet alapjai A maradékos osztás, az oszthatóság fogalma, tulajdonságai 8 Oszthatósági szabálok 84 Prímszámok, a számelmélet alaptétele, osztók száma 86 4 Legnagobb közös osztó, euklideszi algoritmus, legkisebb közös többszörös 88 5 Polinomok oszthatósága 90 6 Számrendszerek 9 V Függvének 7 Bevezetõ feladatok a függvénekhez 94 8 Mit nevezünk függvénnek? Ponthalmazok és függvének ábrázolása derékszögû koordinátarendszerben 98 4 Lineáris függvének 00 4 Az abszolútértékfüggvén 04

4 TARTALOM 4 A másodfokú függvén Racionális törtfüggvének Az egészrész, törtrész és az elõjelfüggvén (olvasmán) 4 VI Statisztika Adatok és ábrázolásuk A statisztika tárga, feladata Középértékek VII Geometria tükrözések 50 5 Tengeles tükrözés 5 5 A Thalésztétel Középpontos tükrözés 8 56 Középvonalak A háromszögek nevezetes pontjai, vonalai VIII Egenletek, egenlõtlenségek, egenletrendszerek 59 Az egenlet, egenlõtlenség fogalma 4 60 Egenlet, egenlõtlenség megoldási módszerei 7 6 Egenlet, egenlõtlenség megoldása szorzattá alakítással 4 6 A legáltalánosabb módszer: a mérlegelv 45 6 Abszolút értéket tartalmazó egenletek, egenlõtlenségek Paraméteres egenletek, egenlõtlenségek Elsõfokú egenletrendszerek Gakorlati alkalmazások 6 67 Gakorlati alkalmazások 66 IX Geometria további egbevágóságok 68 A pont körüli elforgatás származtatása és tulajdonságai A középponti szög és a hozzá tartozó körív A körív hossza, a körcikk területe Eltolás 7 7 A vektor fogalma 7 74 Vektorok összegzése 7 75 Két vektor különbsége Egbevágóság 76 X Függvének transzformációk 77 Egenletek és egenlõtlenségek grafikus megoldása 77 Függvéntranszformációk (olvasmán) 8

5 FONTOSABB JELÖLÉSEK Az A pont és az e egenes távolsága: d(a; e) vag Ae vag Ae Az A és B pont távolsága: AB vag AB vag d(a; B) Az A és B pont összekötõ egenese: e(a; B) vag AB Az f és f egenesek szöge: vag A B csúcspontú szög, melnek egik szárán az A, másik szárán a C pont található: ABCB A C csúcspontú szög: CB Szög jelölése: a, b, c, f Az A, B és C csúcsokkal rendelkezõ háromszög: ABC9 Az ABC9 területe: T(ABC) vag T ABC Az a, b és c oldalú háromszög fél kerülete: s a b c + + A derékszög jele: * Az e egenes merõleges az f egenesre: e f Az e egenes párhuzamos az f egenessel: e < f Egbevágóság:,; ABCO, AlBlCO l Az A pontból a B pontba mutató vektor: AB A v vektor: v vag v vag Egenlõ, nem egenlõ:,!; Azonosan egenlõ: /; Közelítõleg egenlõ: ; a,; v " B(; f f) a+ b / 5 (; f f) B a, b! 5 8,54 8,5 Kisebb, kisebb vag egenlõ: <, #; <, 5 # Nagobb, nagobb vag egenlõ: >, $; 6 > 4, a $ A természetes számok halmaza: N; {0; ; ; } Az egész számok halmaza: Z { ; ; ; 0; ; ; } A pozitív, a negatív egész számok halmaza: Z +, Z {; ; ; }, { ; ; ; } A racionális, az irracionális számok halmaza: Q, Q* A pozitív, a negatív racionális számok halmaza: Q +, Q A valós számok halmaza: R A pozitív, a negatív valós számok halmaza: R +, R Eleme, nem eleme a halmaznak:!, "; 5! N, g Z Részhalmaz, valódi részhalmaz:, ; A R, N Q Nem részhalmaza a halmaznak: j; Z Y Q Halmazok uniója, metszete:,, +; Halmazok különbsége: \; A \ B Üres halmaz: Q, {} Az A halmaz komplementere: A Az A halmaz elemszáma: A ; Zárt intervallum: [a; b] Balról zárt, jobbról nílt intervallum: [a; b[ Balról nílt, jobbról zárt intervallum: ]a; b] Nílt intervallum: ]a; b[ Az szám abszolút értéke: ; + A, B, A+ B " 0;;,,, Az szám egész része, tört része: [], {}; [,], {,} 0, Az a osztója bnek, b többszöröse anak: a b; Az a és b legnagobb közös osztója: (a, b); (4, 6) Az a és b legkisebb közös többszöröse: [a, b]; [4, 6] Az f függvén hozzárendelési szabála: f: 7; f: 7 + Az f függvén helettesítési értéke az 0 helen: f0 ( ); f(5), ha

6

7 I HALMAZOK, KOMBINATORIKA A SZÁMOK ÁTTEKINTÉSE BEVEZETÉS K Az alábbi kifejezések értékét próbáljuk fejben (azaz íróeszköz és számológép nélkül) meghatározni! a) A ; b) B ; c) C ; d) D ; e) E $ 97$ $ 5; f) F 67 $ $ a) ; ; tehát ezen számok összege 0 A b) ; B c) ; ; ; C d) ; 6 ; 6 ; D e) E $ 97 $ $ 5 $ $ 5 $ $ f) F (67 + ) K A példa a) c) feladataiban háromféleképpen zárójeleztük a kifejezést, s három különbözõ eredmént kaptunk Számítsuk ki az alábbi d) g) kifejezések értékét, s a kapott értékeket hasonlítsuk össze a korábbi a) c) eredménekkel! d) : ; e) b : ; f) b : ; g) b : 6 5 l 6 5 l 6 5 l d) E feladatban a legmagasabbrendû mûvelet az osztás, elõször ezt végezzük el: : $ Íg: 4; e) ; 5 8 4; f) ; b ; 6 l g) ; : $

8 I HALMAZOK, KOMBINATORIKA A különféle módon zárójelezett kifejezések értékei: a) ; b) 4; c) ; d) 4; e) 4; f) ; g) A b) :, a d) : és az e) b : kifejezések egenlõségének az az 6 5 l 6 5 b 5 l oka, hog a zárójelek használatával elõírt mûveleti sorrend lénegében nem befolásolja a végeredmént K Végezzük el a következõ mûveleteket! a) ; b) ; c) : b : + $ b l l c b lm b 6 5 l Törtek összeadása és kivonása a közös nevezõre hozás segítségével történhet; szorzás esetén a számlálót a számlálóval, nevezõt a nevezõvel szorozzuk; végül törttel úg osztunk, hog az osztó reciprokával szorzunk a) ; b 6 5 l b l b 6 l b) b : : : : l c + b lm b + l b l b l 5 $ 5 65 ; 8 88 c) : $ b l + $ b $ l K Az alábbi állítások között hán igaz van? (Indokoljunk!) a) Bármel szám kétszerese kisebb, mint a háromszorosa b) Bármel szám fele kisebb, mint maga a szám c) Bármel szám négzete nagobb, mint maga a szám d) Bármel szám reciproka kisebb, mint maga a szám e) Nagobb számnak kisebb a reciproka f) Minden számhoz található olan szám, hog a két szám összege 0 g) Minden számhoz található olan tõle különbözõ szám, hog összegük éppen h) Van olan egész szám, amelnek a reciproka is egész szám a) Hamis; ellenpélda a 0 vag bármel negatív szám b) Hamis; ellenpélda a 0 vag bármel negatív szám c) Hamis; ellenpélda bármel 0 és közötti szám (a határokat is beleértve) d) Hamis; ellenpélda, ha vag 0 < e) Hamis Például <, de nem igaz f) Igaz; megfelel a szám ellentettje g) Hamis; egetlen ellenpélda az h) Igaz; ilen szám az vag a Az állítások közül igaz 6 5 K Rendezzük növekvõ sorrendbe az alábbi számokat! A,8; B 59 ; C 7 ; D,; E 7 5, 4 ; F ; 6 G 544, Ha szükséges, az eges kifejezések közelítõ értékét olan pontossággal adjuk meg, amellel a nagságviszoni kapcsolat már eldönthetõ B 59 8,8,,,, 4 E 9,8 6 4 o C 7, 5, 4 F, G 5, 44, A sorrend: E < B < A < F < D < G < C

9 A SZÁMOK ÁTTEKINTÉSE 6 K Figeljük meg az alábbi sorozatok tagjait! Mit állíthatunk az egmást követõ tagok nagságrendi viszonairól? a) ; ; ; ; f b) ; ; ; ; f 9 c) ; 5 ; 7 ; 9 ; f 4 5 a) ; ; 4 4 ; 5 4 f A tagok egre nagobbak (hiszen egre közelebb vannak az hez) b) Hasonlóan: ; ; ; f A tagok egre nagobbak, mert egre kisebb számot vonunk ki az bõl c) A sorozat általános kadik tagja k + alakú (k,,, ) k + k + ] k + g Egre kisebb számot vonunk ki bõl, tehát a tagok egre k + k + k + nagobbak 7 K Adjuk meg az alábbi racionális számokat tizedes tört alakban (számológépet ne használjunk)! A 7 ; B 7 ; C 7 ; D 7 ; E ; F Megjegzés: A számológépes megoldás nem adhat minden esetben pontos értéket, hiszen általában csak 0 számjeget ír ki a gép Az osztás hagomános algoritmusával: A,75; B 0,85; C, 4857; D 8, o ; E, o ; F, Megjegzés: Például a hagomános, 0 jeget kiíró zsebszámológépeken 7,, ami nem a heles eredmén 8 K Adjunk meg olan közönséges törtet, amelnek egész számú többszöröse a) és 7; b) és ; c) és! Többféle megoldás lehetséges a) A és 7 egész számú többszöröse az nek, íg megfelelõ szám például, vag minden k alakú tört, ahol k 0 egész szám b) 8, íg megfelelõ szám például, vag minden alakú tört, ahol k 0 egész szám 4 4 4k c) nak és 5nek a legkisebb közös többszöröse 5 Megfelelõ szám például, vag minden 5 alakú tört, ahol k 0 egész szám 5k 9 E A racionális számoknak sok érdekes tulajdonsága van Néhán ezek közül: a) alakjuk nem egértelmû; b) a pozitív racionális számok között nincs legkisebb; c) bármel két különbözõ racionális szám között található további racionális szám; d) bármel két különbözõ racionális szám között végtelen sok további racionális szám található Bizonítsuk be a fenti állításokat! Hasonló problémákról részletes anag található A számológépek számábrázolása c olvasmánban 7

10 I HALMAZOK, KOMBINATORIKA a) Az a alakú racionális szám (a, b egész számok, b 0) felírható a, a stb alakokban is b b b b) Bármel a alakú racionális számnál (a, b pozitív egész számok) könnû kisebb számot megadni: például b a, a stb b + b a c c) a és c + közé esik például a két szám átlaga b d Ha uganis a c, akkor egszerûen adódik, hog b d b d a a a c c c b b b d d d Más megoldási lehetõségek: Elegendõ a pozitív racionális számokat vizsgálni (Két negatív szám esetén a bizonítás ehhez az esethez hasonlóan történhet; ha a két szám különbözõ elõjelû, közrefogják a 0t; ha pedig az egik szám 0, akkor például a másik szám fele megfelelõ) Legen a c, ahol a, b, c, d pozitív egész számok; közös nevezõre hozás után ad cb b d bd bd Ha cb ad >, akkor ad + megfelelõ Ha cb ad, akkor bõvítsük a törtet k > egész számmal; bd az adk cbk számok közé esik adk + bdh bdk bdk Végül általában megmutatható, hog a és c közé esik a+ c is b d b+ d d) Az állítás a c) feladat megoldásából következik 8

11 HALMAZOK, RÉSZHALMAZOK HALMAZOK, RÉSZHALMAZOK K Az alábbi meghatározások eg adott osztál tanulóira vonatkoznak A definíciók közül melek határoznak meg egértelmûen eg halmazt? a) az osztálba járó fiúk; b) a magas tanulók; c) a barna hajú lánok; d) a budapesti lakosok; e) akiknek taval év végén 5ös matematikaosztálzatuk volt; f) akik szeretnek iskolába járni Bármilen elemrõl egértelmûen el kell tudnunk dönteni, hog beletartozik a halmazba, vag sem Ezért nem határoznak meg halmazt a b), c), f) körülírások Például a b) esetben eg szõkésbarna hajú lánról nem dönthetõ el egértelmûen, hog a halmazba tartozik, vag sem K Az alábbi A, B és C halmazokat megadhatjuk felsorolással, körülírással és képlettel is Pótoljuk a hiánzó megadásokat, és ábrázoljuk a halmazokat a Venndiagramon! halmaz felsorolás körülírás képlet A {; ; 5; 7; 9} B egjegû, pozitív prímszámok C C { 4 # # 9 és! N} A prímszámokra vonatkozóan még nem találtak egszerû képletet Eg lehetséges megoldás: halmaz felsorolás körülírás képlet A {; ; 5; 7; 9} B {; ; 5; 7} C {4; 5; 6; 7; 8; 9} egjegû, pozitív páratlan számok egjegû, pozitív prímszámok a 4 és 9 közötti természetes számok (a határokat is beleértve) A { k, # k # 5 és k! N} B { # # 7 és prím} C {! N 4 # # 9} A C 6 B 9

12 I HALMAZOK, KOMBINATORIKA K Az alábbi táblázatban eg osztál tanulóit kétkét csoportra osztottuk a nemük szerint, valamint attól függõen, hog év végi matematikaeredménük jó (4es vag 5ös), illetve genge (es vag as) volt A táblázat mezõibe írt számok a megfelelõ tulajdonságú tanulók számát jelentik jók (4es, 5ös érdemjeg) gengék (es, as érdemjeg) F (fiúk) 8 7 L (lánok) 0 7 Értelmezzük a táblázat adatait! a) Menni az osztállétszám? b) Az összes tanuló hán százaléka jó matematikából? c) Az összes fiú hánad része genge matematikából? d) Ábrázoljuk az adatokat az F (fiúk) és J ( jók ) halmazok Venndiagramján! (Az alaphalmaz az osztál tanulóinak a halmaza; az eges tartománokba a megfelelõ elemszámot írjuk) a) Az osztállétszám fõ b) tanuló jó matematikából Ez az összes tanuló 8 0,565öd része, azaz 56,5%a c) Az összes fiú 7 7 része genge matematikából d) F J K Legen A {egjegû páros természetes számok}, B {egjegû négzetszámok} Adjuk meg az A halmaz eg lehetséges X és a B halmaz eg lehetséges Y részhalmazát úg, hog a) Y X; b) Y X; c) X A és Y X; d) X A és Y X; e) Y X! A {0; ; 4; 6; 8}, B {0; ; 4; 9} Például az Y {4}, X {, 4} részhalmazok az a) d) feladatoknak egaránt megoldásai, s e)nek Y X {4} a megoldása 5 K Fogalmazzuk meg, mit jelent, hog a) az A halmaz nem üres halmaz; b) az A halmaz nem részhalmaza Bnek (jelölés: A j B); c) az A halmaz nem egenlõ Bvel! a) Az A halmaznak van eleme b) Az A halmaznak van olan eleme, amelik nem eleme Bnek (Képlettel: van olan! A, amelre " B) c) Van olan eleme az A halmaznak, amelik nem eleme Bnek; vag van olan eleme a B halmaznak, amelik nem eleme Anak Másképpen: A j B vag B j A 0

13 HALMAZOK, RÉSZHALMAZOK 6 K Fogalmazzunk meg a következõ számhalmazok között néhán tartalmazáskapcsolatot (melik halmaz meliknek részhalmaza, valódi részhalmaza, vag nem része)! Igaze, hog: a) N + Z + ; b) N + Z + ; c) Q 0+ R + ; d) R j Q stb a) Igaz; N + Z + b) Hamis; az elõzõ pont megoldása alapján c) Hamis; 0 " R + d) Igaz Bizonítható, hog például r irracionális szám; vagis r! R, de r " Q 7 K Tekintsük az A {mal osztható egész számok}, B { 0k, k! Z + }, C {négzetszámok} halmazokat Melik igaz, melik hamis az alábbi állítások közül? a) Az A halmaznak nég olan eleme van, amelik egjegû szám b) Van olan egjegû szám, amelik mindhárom halmaznak eleme c) Van olan kétjegû szám, amelik két halmaznak is eleme d) Van olan kétjegû szám, amelik mindhárom halmaznak eleme e) Van olan esre végzõdõ szám, amelik két halmaznak is eleme f) Van olan 4esre végzõdõ szám, amelik két halmaznak is eleme g) 0! A h) 0 " C i) {0; 576; 96} C j) {0; 576; 96} A k) {0; 576; 96} j B l) 0 A m) {0} A n) Q B o) { } C p) A A q) B B A halmazokat felsorolással is megadhatjuk: A { 9; 6; ; 0; ; 6; 9; }, B {7; 7; 7; 7; 47; 57, }, C {0; ; 4; 9; 6; 5; } a) Hamis b) Hamis c) Igaz; például 7 vag 6 d) Hamis A négzetszámok nem végzõdhetnek 7re, íg Bnek és Cnek nincs közös eleme e) Hamis A négzetszámok nem végzõdhetnek re, íg es végzõdésû szám csak az A halmazban szerepelhet f) Igaz; például 44 g) Igaz h) Hamis i) Igaz 576 4, 96 6 j) Igaz; mindhárom elem osztható mal (gondoljunk az oszthatósági szabálra!) k) Igaz l) Hamis; a 0 nem halmaz m) Igaz n) Igaz o) Igaz p) Igaz q) Hamis Minden halmaz része önmagának, de nem valódi része 8 K Az alábbi állításokban A és B tetszõleges halmazok Melik igaz az állítások közül? () Ha! A, akkor {} A () Ha A B, akkor A B () Ha! A, akkor j A Az () és () állítások definíció szerint igazak, () pedig azért teljesül, mert j A mindig igaz (Az nem halmaz)

14 I HALMAZOK, KOMBINATORIKA 9 E Igazoljuk a következõ állításokat! a) Minden halmaz része önmagának b) Ha H H és H H, akkor H H is teljesül c) Ha H H és H H, akkor H H is teljesül d) Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza e) Egetlen üres halmaz van a) A B, ha minden! A esetén! B is fennáll Emiatt A A is teljesül: a definícióban Bt Aval helettesítve ha! A, akkor! A b) Minden! H esetén! H, és minden! H esetén! H ; vagis H H c) Az elõzõ meggondolásunk anniban módosul, hog H H miatt H H sem teljesülhet d) Q j A, ha van olan! Q, amelre " A De az üres halmaznak ilen eleme nincs, ezért az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza e) Legen például A {a Földön élõ marslakók}, B {5 méter magas emberek} Jelenlegi tudásunk szerint mindkét halmaz üres halmaz: A Q, B Q Két halmaz akkor különbözõ, ha legalább az egik halmazban van olan elem, amelik nincs benne a másikban Az A és B halmazokban és általában az üres halmazban nincs ilen elem, ezért A B; és hasonló okok miatt bármel két üres halmaz is egenlõ 0 K A {; ; }, B {; ; 4; 5; 6; 7} a) Hán részhalmaza van Anak? b) Hán valódi részhalmaza van Anak? c) Hán elemû részhalmaza van Bnek? d) Hán 4 elemû részhalmaza van Bnek? e) Hán olan halmaz van, amelik Anak és Bnek is részhalmaza? a) 8 darab 0 elemû, elemû, elemû és elemû b) 7; nem valódi részhalmaz az {; ; }, azaz A önmaga c) 5 A öt részhalmazban szerepel; a további nég részhalmazban (a {; } lehetõséget már számoltuk); a 4 további három részhalmazban; az 5 kettõben; végül a 6 egben (ez a {6; 7} részhalmaz) Öszszesen a elemû részhalmazok száma d) 5 Minden elemû részhalmaz egúttal eg 4 elemût is meghatároz Például: {; } {4; 5; 6; 7}, {4; 6} {; ; 5; 7} stb Ezért a elemû és 4 elemû részhalmazokat párokba állíthatjuk, számuk ugananni e) Ezek a {; } halmaz részhalmazai: {}, {}, {}, {; } Összesen 4 megoldás van

15 MÛVELETEK HALMAZOKKAL MÛVELETEK HALMAZOKKAL K Legen A {egjegû páros természetes számok}, B {5nél nem nagobb természetes számok}, s a H alaphalmaznak tekintsük az egjegû természetes számok halmazát a) Szemléltessük a halmazokat Venndiagrammal! Adjuk meg például felsorolással az alábbi halmazokat! b) A + B; c) B + A; d) A, B; e) B, A; f) A \ B; g) B \ A; h) A; i) B; j) A+ B; k) A, B; l) A\ B; m) B\ A; n) A+ B; o) A+ B; p) A, B; q) A, B A kapott eredmének között vannake egenlõk? a) H 6 A 0 B b) {0; ; 4}; c) {0; ; 4}; d) {0; ; ; ; 4; 5; 6; 8}; e) {0; ; ; ; 4; 5; 6; 8}; f) {6; 8}; g) {; ; 5}; h) {; ; 5; 7; 9}; i) {6; 7; 8; 9}; j) {; ; 5; 6; 7; 8; 9}; k) {7; 9}; l) {0; ; ; ; 4; 5; 7; 9}; m) {0; ; 4; 6; 7; 8; 9}; n) {; ; 5}; o) {7; 9}; p) {0; ; 4; 6; 7; 8; 9}; q) {; ; 5; 6; 7; 8; 9} Egenlõ halmazok: b) és c); d) és e); g) és n); k) és o); m) és p) Ez alapján sejtéseket fogalmazhatunk meg: például B \ A A+ B, A, B A+ B vag B\ A A, B K Legen A {5nél nem nagobb, vel osztható természetes számok}, B {5nél nem nagobb, mal osztható természetes számok}, C {5nél nem nagobb, 5tel osztható természetes számok}, s a H alaphalmaznak tekintsük a 5nél nem nagobb természetes számok halmazát a) Szemléltessük a halmazokat Venndiagrammal! Adjuk meg például felsorolással az alábbi halmazokat! b) (A + B) + C; c) A + (B + C); d) (A, B), C; e) A, (B, C); f) (A \ B) \ C; g) A \ (B \ C); h) (A, B) + C; i) A, (B + C); j) (A, B) \ C; k) A, ( B \ C); l) (A + B) \ C; m) A + (B \ C); n) A \ (B, C); o) A \ (B + C); p) B; q) B+ C; r) B, C; s) B\ C; t) B+ C; u) B+ C; v) B, C; z) B, C A kapott eredmének között vannake egenlõk?

16 I HALMAZOK, KOMBINATORIKA a) H A B 5 9 C 7 b) {0}; c) {0}; d) {0; ; ; 4; 5; 6; 8; 9; 0; ; 4; 5}; e) {0; ; ; 4; 5; 6; 8; 9; 0; ; 4; 5}; f) {; 4; 8; 4}; g) {0; ; 4; 8; 0; 4}; h) {0; 0; 5}; i) {0; ; 4; 6; 8; 0; ; 4; 5}; j) {; ; 4; 6; 8; 9; ; 4}; k) {0; ; ; 4; 6; 8; 9; 0; ; 4}; l) {6; }; m){6; }; n) {; 4; 8; 4}; o) {; 4; 6; 8; 0; ; 4}; p) {; ; 4; 5; 7; 8; 0; ; ; 4}; q) {; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0; ; ; ; 4}; r) {; ; 4; 7; 8; ; ; 4}; s) {0; ; ; 4; 5; 7; 8; 0; ; ; 4; 5}; t) {5; 0}; u) {; ; 4; 7; 8; ; ; 4}; v) {0; ; ; 4; 5; 7; 8; 0; ; ; 4; 5}; z) {; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0; ; ; ; 4} A bonolultabb feladatokat érdemes részekre bontással megoldani, azaz a mûveleteket lépésenként végezni Például: g) A \ (B \ C): Elõször meghatározzuk a B \ C halmazt: {0; ; 6; 9; ; 5} \ {0; 5; 0; 5} {; 6; 9; } Ezután a kapott halmazt kivonjuk Aból: {0; ; 4; 6; 8; 0; ; 4} \ {; 6; 9; } {0; ; 4; 8; 0; 4} Eg másik példa: t) B+ C: Elõször meghatározzuk a B halmazt: B {; ; 4; 5; 7; 8; 0; ; ; 4} Ezután a két halmaz metszetét állapítjuk meg: B+ C {; ; 4; 5; 7; 8; 0; ; ; 4} + {0; 5; 0; 5} {5; 0} Eg másik megoldási út (szemléltetési lehetõség) a megfelelõ tartománok lépésenként, másmás színnel történõ színezése Egenlõ halmazok például: b) és c); d) és e); f) és n); l) és m); q) és z); r) és u); s) és v) Ez alapján sejtéseket fogalmazhatunk meg: (A + B) + C A + (B + C); (A, B), C A, (B, C); (A \ B) \ C A \ (B, C); (A + B) \ C A + ( B \ C); B+ C B, C; B, C B+ C; B\ C B, C K Adjuk meg például felsorolással vag egszerûbb mûveletek segítségével az alábbi halmazokat (A, B, C, H az elõzõ feladatban definiált halmazok)! a) ] A, Bg+ C; b) A, ] B+ Cg ; c) ] B+ Cg \ A; d) B+ ] C\ Ag; e) A\ ] B, Cg ; f) ] A\ Bg, C; g) A+ ] B\ Cg; h) B, C+ A; i) A+ ^B\ Ch ; j) A\ ^B\ Ch; k) (A, B) \ (A, C); l) (A + B), (A \ C); m) (A + B), (B \ C); n) (A \ B), (B \ C) a) H \ {0; 0; 5}; b) {; ; 5; 7; 9; ; }; c) H \ {5}; d) H \ {5}; e) H \ {; 4; 8; 4}; f) {; ; 6; 7; 9; ; ; }; g) {; 9}; h) {; 4; 8; 4}; i) {0}; j) {0; 6; 0; }; k) {; 9}; l) {0; ; 4; 6; 8; ; 4}; m) {0; ; 6; 9; }; n) {; ; 4; 6; 8; 9; 0; ; 4} A bonolultabb feladatokat ismét érdemes részekre bontással megoldani, azaz a mûveleteket lépésenként végezni Például: f) ] A\ Bg, C: Elõször meghatározzuk az A \ B halmazt: {0; ; 4; 6; 8; 0; ; 4} \ {0; ; 6; 9; ; 5} {; 4; 8; 0; 4} Következik (A \ B), C: {; 4; 8; 0; 4}, {0; 5; 0; 5} {0; ; 4; 5; 8; 0; 4; 5} Végül ezen halmaz komplementere: {; ; 6; 7; 9; ; ; } 4

17 MÛVELETEK HALMAZOKKAL Eg másik példa: j) A\ ^B\ Ch: Elõször meghatározzuk a B halmazt (lásd elõzõ feladat): B {; ; 4; 5; 7; 8; 0; ; ; 4} B\ C {; ; 4; 5; 7; 8; 0; ; ; 4} \ {0; 5; 0; 5} {; ; 4; 7; 8; ; ; 4}; végül: A\ ^B\ Ch {0; ; 4; 6; 8; 0; ; 4} \ {; ; 4; 7; 8; ; ; 4} {0; 6; 0; } Eg másik megoldási út (szemléltetési lehetõség) a megfelelõ tartománok lépésenként, másmás színnel történõ színezése 4 K A H alaphalmazon adott az A és B halmaz (azaz A H, B H) Határozzuk meg az alábbi halmazokat! a) A + B, ha A Q; b) A, B, ha A Q; c) A \ B, ha A Q; d) B \ A, ha A Q; e) A, ha A Q; f) A + B, ha A B; g) A, B, ha A B; h) A \ B, ha A B; i) B\ A, ha A B; j) A; k) A a) Q; b) B; c) Q; d) B; e) H; f) A; g) B; h) Q; i) Q; j) A; k) A A j) és k) feladatok alapján általánosíthatunk: ha eg A halmaznak nszer vesszük a komplementerét, akkor az eredmén n paritásától függõen A vag A 5 K Az A j B kapcsolatot fogalmazzuk meg a metszet, illetve a különbség mûvelete segítségével! Ha A j B, akkor A + B A; illetve ekkor A \ B Q 6 K Mivel egenlõk az alábbi halmazok? a) Z + a Z alaphalmazon; b) Z a Z alaphalmazon; c) N a Z alaphalmazon; + d) Z a Q alaphalmazon; e) Q az R alaphalmazon; f) R 0 az R alaphalmazon a) Z ; b) N; c) Z 0 ; d) Z {racionális, de nem egész számok}; azaz olan, tovább már nem egszerûsíthetõ a alakú racionális számok (a, b! Z, b 0), amelekben b! b e) {irracionális számok}; f) R 7 E Az és feladat megoldása alapján megsejthetjük az alábbi összefüggéseket (a) és b) az ún de Morganazonosságok): a) A, B A+ B; b) A+ B A, B; c) (A + B), C (A, C) + (B, C); d) (A, B) + C (A + C), (B + C) A Venndiagram segítségével bizonítsuk be a sejtéseket! A H alaphalmaz, valamint A és B Venndiagramján (), (), (), illetve (4)gel jelöltük az eges tartománokat (Például () jelenti az A \ B részhalmazt) Vizsgáljuk meg, hog az eges mûveletek melik tartománokat (mel részhalmazokat) adják eredménül! a) A, B: (4); A: (), (4); B: (), (4); A+ B: (4) Vagis A, B A+ B: az állítást igazoltuk H A B () () () (4) 5

18 I HALMAZOK, KOMBINATORIKA b) A+ B: (), (), (4) tartománok A, B: (), (), (4) szintén; ezzel az állítást igazoltuk H A B (5) () (6) () () (4) (8) (7) C A H alaphalmaz, valamint A, B és C Venndiagramján (), (),, (8)cal jelöltük az eges tartománokat (Például () jelenti az (A + B) \ C részhalmazt) A c) és d) feladat által meghatározott tartománok: c) (A + B), C: (), (), (), (4), (7); (A, C) + (B, C): (), (), (), (4), (7); vagis az egenlet két oldala valóban azonos d) (A, B) + C: (), (), (4); (A + C), (B + C): (), (), (4) Ez az állítás is igaz 8 K Adott a H alaphalmaz, valamint két halmaz, A és B Venndiagramjukon (), (), (), illetve (4)gel jelöltük az eges tartománokat (Például () jelenti az A \ B részhalmazt) H A B () () () (4) Az alábbi, logikai kötõszókat tartalmazó megfogalmazások az eges tartománok elemeire vonatkoznak Állapítsuk meg, hog az a) p) meghatározások mel részhalmazok elemeire igazak, azaz a feladatokban megadott elemek mel tartománokat határozzák meg! Például: az eleme Anak és eleme Bnek meghatározás az A + B részhalmazra vonatkozik (ennek elemeire teljesül), tehát az () tartománt határozza meg a) eleme Anak vag eleme Bnek; b) (A és B közül) legalább az egik halmaznak eleme; c) legfeljebb az egik halmaznak eleme; d) pontosan az egik halmaznak eleme; e) legalább az A halmaznak az eleme; f) legfeljebb az A halmaznak az eleme; g) nem eleme Anak; h) sem Anak, sem Bnek nem eleme; i) egik halmaznak sem eleme; j) csak az egik halmaznak eleme; k) csak Anak eleme; l) eleme Anak, de Bnek nem; m) eleme az egik halmaznak, de a másiknak nem; n) vag Anak, vag Bnek eleme (de csak az egiknek); o) ha eleme Anak, akkor eleme Bnek is; p) ha eleme az egik halmaznak, akkor eleme a másik halmaznak is a) (), (), (); b) (), (), (); c) (), (), (4); d) (), (); e) (), (); f) (), (4); g) (), (4); h) (4); i) (4); j) (), (); k) (); l) (); m) (), (); n) (), (); o) (), (), (4); p) (), (4) 6

19 MÛVELETEK HALMAZOKKAL 9 K Tekintsük az A {egjegû páros természetes számok} és B {egjegû (pozitív) prímszámok} halmazokat, s a H alaphalmaznak tekintsük az egjegû természetes számok halmazát! H A B () () () (4) Fogalmazzuk meg, hog mi jellemzi az alább felsorolt tartománok elemeit, s ezeket adjuk meg az unió és kivonás halmazmûveleteivel is! a) (); b) (); c) (4); d) (), (); e) (), (4); f) (), (4); g) (), (), (4); h) (), (), (4) A tartomán (vag tartománok) elemei olan egjegû természetes számok, a) amelek páros számok és prímszámok; b) amelek páros számok, de nem prímszámok; c) amelek sem páros számok, sem prímszámok; d) amelek vag páros számok, vag prímszámok (de a két tulajdonság egszerre nem teljesül); e) amelek legfeljebb páros számok (azaz a két tulajdonság közül legfeljebb az elsõ igaz rájuk); f) amelekre vag mindkét tulajdonság teljesül, vag egik sem; g) amelek ha páros számok, akkor prímszámok is; h) amelekre nem teljesül mindkét tulajdonság A tartománok többféleképpen is megadhatók az eges mûveletekkel Például: a) A \ (A \ B); b) A \ B; c) H \ (A, B); d) (A \ B), (B \ A); e) H \ B; f) az a) és c) feladat alapján: (A \ (A \ B)), (H \ (A, B)); g) a b) alapján: H \ (A \ B); h) H \ (A \ (A \ B)) 7

20 I HALMAZOK, KOMBINATORIKA 4 EGYSZERÛ ÖSSZESZÁMOLÁSI FELADATOK K A Magar Értelmezõ Kéziszótár (Akadémiai Kiadó, Budapest, 97) címszavakat tartalmazó oldalai tõl 550ig számozottak Az oldalak sorszámozása közben összesen hán számjeget nomtattak a leikon lapjaira? tõl 9ig 9 darab egjegû számot nomtattak; 0tõl 99ig 90 darab kétjegût; 00tól 999ig 900 darab háromjegût; 000tõl 550ig 55 darab négjegût Az összes leírt számjeg száma darab K Az A vag B összeg a nagobb? a) A , B ; b) A , B a) A B összeg minden tagja gel kisebb, íg az A összeg a nagobb ( ; 700 : 50; tehát az A és B összeg is 5 tagból áll A B 5) b) Az A összeg 0 tagú, a B 0 tagú; B a nagobb (A különbség: ) K Eg televíziós vetélkedõn hangzott el a következõ kérdés Eg körvonalon felvettünk öt kék és eg piros pontot A pontok által meghatározott háromszögek közül melikbõl van több: ameliknek van piros csúcsa, vag ameliknek nincs? Nos? Minden piros csúccsal rendelkezõ háromszöget (kölcsönösen egértelmûen) párosíthatunk a kimaradt három kék csúcsból álló háromszöggel A kétfajta háromszög száma egenlõ 4 K Eg ismeretlen halott fogazatát azonosítás céljából összehasonlítják az egkori fogászati kartotékokkal Hánféle különbözõ emberi fogazat lehetséges, ha a) azt vizsgálják, hog az eges fogak hiánoznak valakinél vag sem; b) eg pontosabb vizsgálatban a fogak állapota háromféle lehet: a meglévõ fogakat is kétfelé osztják, egészségesekre, illetve már kezeltekre, tömöttekre ( foggal számoljunk!) a) A fog állapota féle lehet: b) A fog mindegikének az állapota féle lehet:, Enni ember nem is él a Földön! 5 K Adott két párhuzamos egenes, a és b Kijelölünk az a egenesen, a b egenesen 4 pontot, és összekötjük mindegik pontot mindegik ponttal Hán új összekötõ egenes keletkezett? Az a egenesen lévõ pontok ( lehetõség) bármelikét összeköthetjük a b egenesen lévõ 4 pont bármelikével A szorzási szabál miatt az összekötõ egenesek száma 4 6 K Adott az A {; ; ; ; 00} halmaz a) Az A halmaznak hán kételemû részhalmaza van? b) Az A halmaznak hán 98 elemû részhalmaza van? c) Az A halmaz melik fajta részhalmazaiból van több: amelek, vag amelek 67 elemûek? 8

21 4 EGYSZERÛ ÖSSZESZÁMOLÁSI FELADATOK a) Az elem 99 darab részhalmazban szerepel: {; }, {; },, {; 00} A további 98 részhalmazban, mert az {; } lehetõséget már számoltuk: {; }, {; 4},, {; 00} A további 97 részhalmazban; a 4 további 96ban és íg tovább Végül a 99 elem eg részhalmazban (ez a {99; 00} részhalmaz) Összesen a elemû részhalmazok száma (Ez utóbbi összeget legegszerûbben a párosítás módszerével határozhatjuk meg ; ; stb Mivel 49 pár képezhetõ, a keresett összeg ) b) 4950 Minden 98 elemû részhalmaz párosítható a kimaradt két elembõl álló részhalmazzal A 98 és elemû részhalmazok száma megegezik c) Az elõzõ pontban leírt szimmetriatulajdonság miatt a kétfajta részhalmaz száma ugananni 7 K Eg összejövetelen 5 fiú és 5 lán vesz részt A táncoló pároknak hánféle összetétele lehetséges, ha mindenki táncol, és a lánok egmással, illetve a fiúk egmással nem táncolnak? Állítsuk sorba a fiúkat! Ehhez a rögzített sorrendhez a lánok bármilen sorrendje egeg lehetséges (különbözõ) táncrendet ad Az öt lánt 5! 0féleképpen állíthatjuk sorba 8 K Feldobunk egszerre eg piros és eg fehér dobókockát a) Hánféle eredméne lehet a dobásnak? b) Hán esetben kaphatunk legalább eg hatost? c) Hán esetben lesz a dobott számok összege legalább 0? d) Hán esetben lesz a két dobott szám összege páratlan? e) Hán esetben lesz a két dobott szám szorzata páros? f) Hán esetben lesz a két dobott szám szorzata mal osztható? a) A piros és a fehér dobókocka is 6féle értéket mutathat Ezek egmástól függetlenek, ezért a szorzási szabál alapján a dobásnak 6 6 6féle eredméne lehet b) A komplementer leszámolás módszerét alkalmazzuk Az összes lehetõség száma 6 A 6os nélküli dobások száma Összes rossz Jó : 6 5 esetben van a dobott számok között 6os Más megoldási lehetõség: Ha az elsõ dobás 6os: ez 6 lehetõség; ha a második dobás 6os: ez is 6 lehetõség Kétszer számoltuk azt az esetet, amikor mindkét dobás 6os, ezért az összegbõl ezt egszer le kell vonni Eredmén: c) Az összeg 0: 4 + 6, 5 + 5, 6 + 4; ez lehetõség Az összeg : 5 + 6, 6 + 5; ez eset Az összeg : 6 + 6; ez esetben áll fenn Összesen esetben lesz a dobott számok összege legalább 0 d) Eg lehetséges okoskodás a következõ: Az elsõ piros (6féle) dobás tetszõleges lehet A második fehér kockán az elsõ eredménétõl függõen, de mindig féle szám esetén lesz az összeg páratlan Íg 6 8 a megfelelõ esetek száma e) A komplementer leszámolás módszerét alkalmazzuk Az összes lehetõség száma 6 Mindkét kockán páratlan számot 9féleképpen dobhatunk A számok szorzata esetben lesz páros f) Ha az elsõ (piros) dobás vag 6, és a második akármi: ez 6 eset Ha a második (fehér) dobás vag 6, és az elsõ akármi: ez 6 újabb eset + 4; de kétszer számoltuk azokat az eseteket, amikor mindkét kockán mal osztható számot dobtunk Ez 4féleképpen fordulhat elõ, tehát az eredmén

22 I HALMAZOK, KOMBINATORIKA 9 K Hánféle különbözõen kitöltött, hagomános totószelvén van? (A klasszikus totószelvénen + mérkõzés végeredménére tippelhetünk, mindegik tipp lehet, vag X) Mindegik tipp féle lehet, a különbözõ kitöltések száma K A es számrendszerben hán a) legfeljebb 6 jegû; b) pontosan 6 jegû természetes szám van? a) Az számnál kisebb természetes számok száma 64 b) A legnagobb heliérték, a többi 5 számjeg féle lehet, 0 vag Eredmén: 5 K Oldjuk meg a példát a komplementer leszámolás módszerével! A 0,,,, 5 számjegekbõl hán darab 5 jegû, 5tel osztható természetes szám készíthetõ, ha a) minden számjeget fel kell használni; b) egeg számjeg többször is szerepelhet? a) Összesen ötjegû természetes szám készíthetõ a számjegekbõl Ezek közül 5tel nem osztható 54 darab van: az utolsó helre féle számjeg kerülhet; ezután az elsõ helre szintén féle számjeg (0 és a már felhasznált szám nem), majd a további helekre rendre,, Az 5tel osztható számok száma tehát b) Összes 5 jegû szám: ; az 5tel nem oszthatók száma 4 5 ; az 5tel oszthatók száma tehát K Jancsi a padláson eg régi, poros füzetben találta az alábbi feladatot Két teljesen egforma, külsõre megkülönböztethetetlen kockát feldobunk, a dobott számok összegét tekintjük Hán esetben fordul elõ, hog a dobott számok összege 7? Az összes lehetséges kimenetel hánad részében fordul elõ ez az esemén? Az elsárgult papírlapokon három, régesrégen leírt megoldási gondolatmenetet is olvasott Mi a véleménünk ezekrõl? Elsõ gondolatmenet: Mivel a kockák teljesen egformák, féle lehetséges összeg van:,,, Ebbõl eg eset kedvezõ, a keresett arán Második gondolatmenet (ez a megoldási javaslat Leibniz híres német matematikustól származik): Az eges összegek többféleképpen is elõállhatnak: A lehetséges összegbõl állítja elõ a 7et, íg a keresett arán db: 0

23 4 EGYSZERÛ ÖSSZESZÁMOLÁSI FELADATOK Harmadik gondolatmenet: Hiába egforma külsõre a két kocka, azért csak különböznek egmástól Íg az elõzõ táblázat módosul: A keresett arán db: Az elsõ két gondolatmenet hibás Komol probléma, hog mást jelent a különbözõség és mást a megkülönböztethetõség fogalma Külsõleg hiába teljesen egforma két kocka, azért különböznek egmástól (például befesthetõk pirosra és fehérre) Tehát a matematika sok területén kiválót alkotó Leibniz a megoldásban hibázott 6+6 Hán szám készíthetõ az alábbi számjegekbõl? (Minden megadott számjeget fel kell használni) K a),, ; K d),,,,, 4; E g) 0,,,,, ; K b),,, ; K e),,,,, 4; E h) 0,,,,,, K c),,,, 4; K f),,,,,, 4; a) b) Ha egforma számjegek szerepelnek, akkor a következõ gondolatmenettel érhetünk célt Tegük fel, hog a két es különbözõ; jelöljük õket például aval és bvel Ekkor az a, b,, elemek összes sorrendje a kérdés, ez 4! De az íg számolt sorrendekben a és b azonossága miatt minden ténleges sorrendet kétszer számoltunk, hiszen a és b felcserélhetõ (Például ab és ba megegeznek) Ezért a valóban különbözõ sorrendek száma 4! c) 5! 60 d) Ha a három es különbözõ lenne (például a, b, c), akkor 6!féle sorrendet kapnánk De most az a, b, c betûk egmás között!féleképpen cserélgethetõk, s a cserével kapott sorrendek valójában az eredeti feladat szempontjából megegeznek A különbözõ sorrendek száma tehát 6! 0! e) Osztanunk kell a két darab es miatt!sal, a két darab es miatt pedig ismét!sal Eredmén: 6! 80! $! f) 7! 40! $! g) A komplementer leszámolás módszerét alkalmazzuk Az összes (legfeljebb) 6 jegû szám száma a 0 lehet a szám elején is 6! A rossz esetek száma amikor a 0 áll a szám elején! $! 5!! $! Eredmén: 6! 5! 50! $!! $! h) 7! 6! 0! $!! $!

24 I HALMAZOK, KOMBINATORIKA 4 Eg szabálos játékkockával három dobást végzünk, a kapott számokat egmás mellé írjuk, s íg eg háromjegû számot kapunk K a) Hánféle számot kaphatunk? K b) Hánféle számot kaphatunk, amelben legalább az egik számjeg 6os? K c) Hánféle számot kaphatunk, amelben a számjegek szorzata páros? E d) Hánféle számot kaphatunk, amelben van es és 6os számjeg is? a) 6 6 b) Nincs 6os: 5 5 lehetõség Van 6os: c) Ha minden számjeg páratlan: 7 eset A komplementer leszámolás módszerével az eredmén (Ekkor a számjegek között van páros) d) Nincs es: 5 5 lehetõség Az összes lehetõségbõl kivonjuk azt, amikor nincs es, majd kivonjuk, amikor nincs 6os: De ekkor kétszer vontuk ki azokat az eseteket, amikor sem est, sem 6ost nem dobtunk; ezek számát egszer hozzá kell adni az összeghez Nincs sem es, sem 6os: 4 64 eset Eredmén: K A közelmúltban újfajta rendszámtáblákat vezettek be A régifajta rendszámtáblán két betût és nég számjeget lehetett felhasználni, például BG 0 8 Az újabb rendszámtáblákon három betû és három számjeg használható fel, például MTA 0 a) Hán különbözõ rendszámtábla készíthetõ az eges típusokból? b) Melik fajta rendszámtáblából van több: amelikben nem ismétlõdik számjeg, vag amelikben igen? (A kérdésre mindkét típus esetén válaszoljunk) (A rendszámtáblán összesen 6féle betû és 0féle számjeg szerepelhet) a) A régifajtából ; az új típusból (Az újfajta rendszám,6 szer több lehetõséget biztosít) b) A régi típus esetén: Ha minden számjeg különbözõ, akkor féle rendszámtábla készíthetõ Tehát van ismétlõdés (esetleg több is) esetben Ez több mint az összes lehetõség fele; vagis több van azokból a rendszámtáblákból, ameleken van(nak) azonos számjeg(ek) Az új típus esetén: Itt azokból a rendszámtáblákból van több, ameleken nem ismétlõdik számjeg 6 K Tíz diáknak szeretnénk két jutalomtárgat kiosztani Hánféleképpen tehetjük ezt meg, ha a) a tárgak egformák, és eg diák csak eg tárgat kaphat; b) a tárgak egformák, és eg diák két tárgat is kaphat; c) a tárgak különbözõk, és eg diák csak eg tárgat kaphat; d) a tárgak különbözõk, és eg diák két tárgat is kaphat? a) (Lásd 6 a) feladat) b) (Az elõzõ a) feladatbeli lehetõségekhez hozzáadtuk azokat, amikor valamelik gerek két ajándékot kap) c) (Az elsõ tárgat 0, a másodikat már csak 9 gereknek adhatjuk) d) 0 00 (Mindkét tárgat 0féleképpen oszthatjuk ki)

25 5 HALMAZOK ELEMSZÁMA 5 HALMAZOK ELEMSZÁMA Legen a H {; ; ;, 50} alaphalmaz három részhalmaza A {páros számok}, B { mal osztható számok}, C {négzetszámok} Határozzuk meg az alábbi halmazok elemszámait! K a) C; K b) B + C; K c) A, C; K d) A \ C; K e) B, C; K f) B\ C; K g) C+ A; K h) C\ A A {; 4; 6; ; 50}, B {; 6; 9; ; 48}, C {; 4; 9; 6; 5; 6; 49} a) C 4, mert C 7 b) B+ C ; B + C {, 6 } c) A, C A, {; 9; 5; 49}, mert C páros elemei szerepelnek Aban Ezért A, C 9 d) A \ C A \ {4; 6; 6}, mert C páratlan elemei nem szerepelnek Aban Ezért A\ C e) B, C B, {; 4; 6; 5; 49}, mert C többi eleme közös B 6; B, C ; B, C 50 9 f) B \ C B \ {9; 6}, mert C többi eleme nincs benne Bben B\ C 50 (6 ) 6 g) C + A {4; 6; 6}; C+ A 47 h) C \ A {; 9; 5; 49}; C\ A 46 K A 0, B 8 Menni a legkisebb és legnagobb érték, amit felvehet a) A\ B ; b) A+ B ; c) A, B? a) A\ B $ ; akkor lehet egenlõség, ha B A A\ B # 0; akkor lehet egenlõség, ha A + B Q b) A+ B A+ B 0, ha A + B Q # 8; akkor lehet egenlõség, ha B A c) A, B A, B $ 0; akkor lehet egenlõség, ha B A # 8; akkor lehet egenlõség, ha A + B Q K A, B véges halmazok Melik igaz, melik hamis az alábbi állítások közül? a) Ha A A, B, akkor B A b) Ha A A, B, akkor B A c) Ha A A+ B, akkor A B d) Ha A A+ B, akkor A\ B 0 e) Ha A A\ B, akkor B A a) Igaz; ha A A, B, akkor B \ A Q b) Hamis; lehetséges A B is c) Igaz; A \ B Q d) Igaz A \ B Q e) Hamis; a feltételbõl A + B Q következik

26 I HALMAZOK, KOMBINATORIKA 4 E Melik igaz az elõzõ feladat állításai közül, ha A, B végtelen halmazok, és az állításokban az elemszámok helett halmazok számossága szerepel? Egik állítás sem fog teljesülni a) Ellenpélda: A Z +, B N Most az A és A, B B halmazok számossága megegezik az 0,, stb megfeleltetés miatt, de B j A b) Az elõzõ ellenpélda most is megfelelõ c) Legen fordítva az ellenpélda: A N, B Z + Ekkor A és A + B számossága megegezik, és A j B d) Az elõzõ c) ellenpélda most is megfelelõ e) Ellenpélda az A {; ; 5; 7; } és B {; 4; 6; 8; } halmaz 5 K A, B, C véges halmazok, H az alaphalmaz Milen feltételek esetén teljesülnek az alábbi egenlõségek, egenlõtlenségek? a) A, B A + B ; b) A\ B A B ; c) B H B ; d) A+ B A + B ; e) A + B + C A, B, C ; f) A+ B+ C A B C + + Alkalmazzuk az A+ B, A\ B a, B\ A b jelölést (a, b,! N) a) A feltétel: A + B Q (Egébként az A + B összegben az A + B elemszámát kétszer számolnánk: A, B a + b +, A + B (a + ) + (b + ) a + b + ) b) a (a + ) (b + ) a b, azaz b 0 A feltétel: B \ A Q, vagis B A c) Ez azonosság (a definícióból közvetlenül következik, mert B H), íg az egenlõség mindig igaz ] d) a b + g + ], innen a + b 0, azaz a b 0 A \ B B \ A Q, vagis A B + g e) Az egenlõtlenség általában teljesül; csak akkor nem igaz, ha az A + B, B + C, A + C részhalmazok mindegike üres halmaz f) Tudjuk, hog A+ B+ C # A ; A+ B+ C # B ; A+ B+ C # C A három egenlõtlenség össze adásából A+ B+ C # A + B + C következik Egenlõség csak akkor állhat fenn, ha A + B + C A, A + B + C B, A + B + C C; azaz A B C 6 K A H {a, b, c,, g} alaphalmaz A, B, C, D részhalmazait az alábbi táblázattal adtuk meg: H a b c d e f g A B C 0 0 D Az elsõ sorban a H halmaz elemeit tüntettük fel; a következõ sorokban az eges halmazoknál est írtunk, ha az aktuális elem benne van a halmazban, 0t, ha nincs Például a! A, de a " B Szemléltessük a táblázat segítségével, hog mivel egenlõ az alábbi halmazok elemszáma, s határozzuk is meg az elemszámokat! a) (A, B), C; b) A + (B + C); c) (A + B), C; d) A, (C \ D); e) A, (C \ B); f) (A, C) \ (B, D); g) A, B; h) A, ] C\ Bg; i) A+ C; j) ] C\ Bg \ D; k) C\ ] B\ Dg 4

27 5 HALMAZOK ELEMSZÁMA a) Az (A, B), C halmazba szemléletesen azok az elemek tartoznak, ahol az elsõ három sor valamelikében es szerepel Az elemszám: 6 b) Az elemszám Az elsõ három sor mindegikében es van c) Az elemszám 6 A sorban, vag az elsõ két sor mindegikében es szerepel d) Az elemszám 6 C \ D {a, d, g}; (a sorban es szerepel, de a 4 sorban 0) A, (C \ D) {a, c, d, e, f, g} e) Az elemszám 5 f) Az elemszám Az és sor valamelikében es szerepel, feltéve, hog a és 4 sorokban 0 van; " a, g, g) Az elemszám Az elsõ két sorban 0 szerepel h) Az elemszám Az e) halmaz komplementere i)! b+ (Az és sorban 0 van) j) Az elemszám Azok az elemek nem tartoznak ebbe a halmazba, amelek Cben benne vannak, de Bben és Dben nem {a, g} k) Az elemszám B \ D {d, e}: a sorban es van, de a 4 sorban 0 C \ {B \ D} {a, c, f, g} 7 K A 600nál nem nagobb pozitív egész számok között hán olan van, amelik a) osztható 4gel; b) osztható 5tel; c) osztható 4gel és 5tel; d) osztható 4gel vag 5tel; e) osztható vag 4gel, vag 5tel (de csak az egikkel); f) a 4 és 5 közül legalább az egikkel osztható; g) a 4 és 5 közül legfeljebb az egikkel osztható; h) a 4 és 5 közül pontosan az egikkel osztható; i) ha osztható 4gel, akkor osztható 5tel is; j) a 4 és 5 számok közül ha osztható az egikkel, akkor osztható a másikkal is; k) nem osztható sem 4gel, sem 5tel? Jelölje A és B a 4gel, illetve 5tel osztható számok halmazát, s legen H H {; ; ; ; 600} az alaphalmaz Ekkor A 50, B 0, A A+ B 0 (A + B a 0szal osztható számok halmaza) A Venndiagramon az eges tartománokat (), (), (), (4)gel jelöltük, s A + Bbõl kiindulva meghatároztuk az elemszámaikat 0 0 a) A 50; b) B 0; c) A+ B 0; d) A, B 40; e) ; f) A, B 40; g) pontosan az egik számmal vag egikkel sem osztható számok: (), () és (4)es tartománok: ; h) 0 (megegezik e)vel); i) az állítás a ()es tartomán számaira nem teljesül: ; j) az állítás a () és () tartománokra nem teljesül: ; k) (4)es tartomán: 60 B () () () 90 (4) 60 8 K Hán elemû lehet az A és B halmaz, ha a) A+ B 0 és A, B ; b) A, B és A\ B 8? 5

28 I HALMAZOK, KOMBINATORIKA Vezessük be az A\ B a, B \ A b, A+ B c jelöléseket (a, b, c! N) a) a + b, íg 0 # a #, és 0 # A #, s hasonló állítható Brõl is A lehetséges elemszámok: A \ B 0 B \ A 0 A 0 B 0 b) b + c 5 B 0 b 5, íg 8 A 9 K Az A, B, C halmazokról tudjuk, hog A\ B 8, A+ B, A, B, C\ A, A+ B+ C, C 5, B, C Határozzuk meg az A és B halmazok elemszámát! megoldás: Szemléltessük a halmazokat Venndiagrammal, s jelöljük (), (), (),, H (7)tel az eges tartománok elemszámait (ábra)! Ekkor 7 egenletet kapunk 7 ismeretlennel: () + (5) 8, () + (), () + () + () + (4) + (5) + (6), 4 (4) + (7), 5 (), 6 () + () + (4) + (7) 5, 7 () + () + () + (4) + (6) + (7) Az egenletrendszer megoldása után A () + () + () + (5), B () + () + () + (4) + (5) + (6) az eredmén Megjegzés: Ez a bonolult megoldási módszer hasonló feladatokban mindig alkalmazható Az egenletrendszert megoldva A és B mellett meghatározhatjuk C elemszámát is, vag bármel, a halmazokból fel épülõ kifejezés elemszámát, például ] A, Bg\ C Az alábbiakban megoldjuk az egenletrendszert, de a feltételeket figelembe véve a feladatra most egszerûbb megoldás is adható A és 5 egenletbõl () ; a 6 és 4 egenlet különbségébõl, figelembe véve (5)öt, () Az elsõ egenletbõl (5) 5, íg a következõ egenleteink maradtak: (4) + (6) 0, 4 (4) + (7), 7 (4) + (6) + (7) 7 és 4 összegébõl kivonjuk 7 t: (4) 4; s innen (6) 6 és (7) 7 adódik Az alábbi ábrán tüntettük fel az eges tartománok elemszámát A B (5) () (6) () () (4) (7) C H A B C 6 6 A, B

29 5 HALMAZOK ELEMSZÁMA megoldás: A A\ B + A+ B 8+ A, B A + B A+ B, innen B A, B A + A+ B + (Ebben a megoldásban nem használtuk fel a Cre vonatkozó összefüggéseket) 0 E a) Adjunk meg három olan A, B, C halmazt, amelek közül bármel kettõnek végtelen sok közös eleme van, de a három halmaz közös része üres! b) Az elõzõ feladat további megkötése, hog A, B, C N is teljesüljön! a) Sokféle megoldás adható Például az ábra A, B, C halmazainak (i)vel jelölt részhalmazaiba kerüljenek a 0k + i alakú számok, ahol k! Z, és i,,, 4, 5, 6 (A (7) íg üres halmaz marad) H A B () () () (7) (4) (5) (6) C b) Legen például A {páros számok}, B {mal osztható egész számok}, C {6tal nem osztható egész számok}; ezek a halmazok a feltételeknek megfelelnek Können megmutatható, hog bármel két halmaznak végtelen sok közös eleme van, és a három halmaz közös része üres Uganakkor A, B, C N is teljesül, mert A + B C, és íg minden olan természetes szám, amelik nincs benne sem az A, sem a B halmazban, benne van Cben 7

30 I HALMAZOK, KOMBINATORIKA 6 PONTHALMAZOK K Ábrázoljuk az A ] ; 6], B [ 4; ], C ] ; [, D ]; ], E [4; 6[ és F [7; [ intervallumokat a számegenesen! A B C D E F K Tekintsünk három intervallumot: A [ 50; 55], B ] ; 77[, C [; 8[ Hán egész szám van a { 00; 99; 98; ; 00} halmazban, amel az intervallumok közül a) csak Anak eleme; b) pontosan egnek az eleme; c) legfeljebb kettõnek az eleme; d) legalább kettõnek az eleme; e) Bnek nem eleme; f) Bnek nem eleme (de valamelik másik intervallumnak igen); g) eleme Bnek és Cnek, de Anak nem? B A C 8 a) A \ (B, C) [ 50; ]; az intervallum 50 8 egész számot tartalmaz b) A [ 50; ], [77; 8[ halmaz egész számot tartalmaz c) A [ 00; [, ]55; 00] halmaz egész számot tartalmaz d) A ] ; 77[ intervallum egész számot tartalmaz e) A [ 00; ], [77; 00] halmaz egész számot tartalmaz f) A [ 50; ], [77; 8[ halmaz egész számot tartalmaz g) (B + C) \A ]55; 77[; az intervallum egész számot tartalmaz K Határozzuk meg az A, B, A + B, A \ B és B \ A halmazokat, ha: a) A [; 5], B {; ; 7}; b) A ] ; 4[, B { 4; ; }! a) A, B [; 5], {7}, mert! A és! A A + B {; } A \ B [; 5] \ {; } ]; 5] \ {} (Az eredmént megadhatjuk ]; [, ]; 5] alakban is) B \ A {7} b) A, B ] ; 4[, { 4; } { 4}, [ ; 4[, mert! A A + B { } A \ B ] ; 4[ \ { } (Vag A \ B ] ; [, ] ; 4[) B \ A { 4; } 4 K Határozzuk meg a derékszögû koordinátarendszerben azon P(; ) pontok halmazát, amelek koordinátáira teljesülnek az alábbiak: a), ; b) 0; c) 4; d) > 0 és > 0; e) 0 vag 0! 8

31 6 PONTHALMAZOK Az eges ponthalmazok az ábrán láthatók b c A a) A ponthalmaz egetlen pontból, az A pontból áll; b) a ponthalmaz a b egenes (az tengel); c) a ponthalmaz a c egenes, valamint az alatta lévõ félsík; d) a ponthalmaz az elsõ síkneged (a koordinátatengelek nem tartoznak a halmazhoz); e) a ponthalmaz az elsõ, második és negedik síkneged (a koordinátatengelek a halmazhoz tartoznak) 5 K Határozzuk meg a derékszögû koordinátarendszerben azon P(; ) pontok halmazát, amelek koordinátáira teljesülnek az alábbiak! a) 5 < ; b) 4 < < 7 és 0; c) + 0; d) ; e) < ; f) és < < ; g) 0; h) 0 A kapott ponthalmazok az ábrán láthatók: A B 0 c d d h F h 0 0 E G 0 F a) Az A ponthalmaz balról zárt, jobbról nílt sáv b) A B ponthalmaz téglalap (A vízszintes határok a ponthalmazhoz tartoznak, a függõlegesek nem) c) A ponthalmaz az egenletû c egenes d) A ponthalmaz a d egenes 9

32 I HALMAZOK, KOMBINATORIKA e) Az E ponthalmaz a d egenes alatti nílt félsík f) A ponthalmaz az ábrán látható F F nílt szakasz g) A G ponthalmaz az elsõ és harmadik síknegedbõl áll, a tengelekkel h) ( + )( ) 0 A H ponthalmaz a h : + 0 és h : 0 egenletû egenesekbõl áll 6 E Adjunk meg három olan ponthalmazt, amelekre teljesül az alábbi feltételek mindegike! A halmazok elemszáma végtelen Bármel két halmaznak végtelen sok közös eleme van A három halmaz metszete üres halmaz megoldás: Az 5 lecke 0 feladatának alapján képezünk ponthalmazokat Tekintsük az A {páros számok}, B {mal osztható egész számok}, C {6tal nem osztható egész számok} számhalmazok elemeinek megfelelõ pontokat a számegenesen Können belátható, hog az íg kapott ponthalmazok a feltételeknek megfelelnek megoldás: Megfelelõ geometriai konstrukció például a háromoldalú egenes hasáb; ennek a palástját alkotó három téglalap pontjai adják a halmazokat 0